Instituto Tecnolgico de AeronuticaMAT-12 - Clculo Diferencial e Integral I - Sequncias e Sries Numericas1.

Sequncias Numricas

De modo informal, uma sequncia um arranjo innito ordenado de elementos de R. Por ordenado, queremosdizer qual o primeiro elemento da sequncia, qual o segundo, etc. Por exemplo, se 2, 3, 5, 7, . . . indica um arranjodos primeiros nmeros primos, entendemos que 2 o primeiro termo da sequncia, 3 o segundo termo, 5 oterceiro termo, etc.Como temos em mente ordenar os elementos de um arranjo, vamos usar nessas notas o smbolo N para indicaro conjunto N = {1, 2, 3, ...}. A denio que consideraremos a seguinte

Denio 1.1. Uma sequncia uma funo f

: N R.

Diremos ento que f uma sequncia real. Se f uma sequncia real, o elemento f (n) = an chamado on-simo termo da sequncia f . Usaremos a notao (an )nN ou (an )n=1 ou ainda {an }n=1 para indicar a sequnciapara a qual f (n) = an .Como denido, uma sequncia uma funo e, como tal, devemos distinguir os elementos da sequncia daprpria sequncia. Por exemplo, a sequncia { n1 }nN tem como elementos os nmeros1 1 1 111, , , , , ..., , ...2 3 4 5n

(1)

Por outro lado, a sequncia {an }nN para a qual

{

an =

se n mparse n par

1,2n+2 ,

tem como elementos11111, , 1, , 1, , 1, , ...2345

(2)

Claramente, os elementos das sequncias (1) e (2) so os mesmos; contudo, as sequncias so diferentes. Podemesmo acontecer que o conjunto {an : n N} seja nito. Um exemplo sequncia {an } na qual an = (1)n : aimagem o conjunto {1, 1}, enquanto que a sequncia o arranjo innito ordenado(3)(1, 1, 1, 1, 1, ....).Como no caso de funes reais, temos uma noo de limite para uma sequncia (an )nN .Denio 1.2. Seja {an }n=1 uma sequncia real. Dizemos que {an }n=1 convergente se existe um nmero real

L com a seguinte propriedade: para todo nmero real > 0, existe n0 N tal que |an L| < para todo n n0 .

Quando {an }n=1 convergente, o nmero L denominado limite da sequncia {an }n=1 e indicaremos lim an =nL, ou simplesmente, lim an = L.

Exemplo 1.3. Seja c um nmero real e considere a sequncia an = c para todo n N, ento {an }n=1 convergentee lim an = c.n

Exemplo 1.4. Se an =

1n

para todo n 1, ento lim an = 0.n

A imagem que o leitor deve fazer da noo de limite de uma sequncia a seguinte: para todo > 0, existe umndice n0 tal que, se n n0 , ento an (L , L + ). Ou ainda: todo intervalo aberto (L , L + ) contm todosos termos an da sequncia, exceto um nmero nito deles. Isso implica, em particular, {an }n=1 limitada, isto ,que existe M > 0 tal que |an | M , para todo n.Como no caso das funes reais, possvel mostrar que se {an }n=1 convergente, ento L nico. (Exerccio)

Denio 1.5. Uma sequncia que no convergente chamada divergente.Denio 1.6. Dizemos que uma sequncia an diverge para + se, dado M > 0, existe n0 N, tal que para todo

n n0 , tem-se an > M . Denotamos lim an = +. Analogamente, uma sequncia an diverge para se, dadoM > 0, existe n0 N tal que, para todo n n0 , tem-se an < M . Denotamos lim an = .

Antes de passar a exemplos, vamos enunciar alguns resultados que so extremamente teis. A demonstrao decada um deles uma consequncia imediata da Denio 1.2 e deixada ao leitor.1

2Teorema 1.7. Se {an }n=1 e {bn }n=1 so sequncias convergentes e um nmero real, ento

(i) lim (an ) = lim an ;n

n

(ii) lim (an bn ) = lim an lim bn ;n

n

n

(iii) lim (an bn ) = ( lim an )( lim bn );n

n

lim an

an= n,bnlim bnn

(v) lim |an | = lim an

(iv) lim

n

n

n

se lim bn = 0.n

n

Teorema 1.8. Se {an }nN e {bn }nN so sequncias que divergem para +, ento(i) lim an = + se > 0n

(ii) lim an = se < 0.n

(iii) lim an + bn = +n

(iv) lim an bn = +n

(v) lim

n

1=0an

Teorema 1.9. Se{an }n=1

f : [a, ) R uma funo tal que lim f (x) = L e se an = f (n) para todo n a, entox

convergente e tem-se lim an = L.n

Teorema 1.10. Se f

: [a, ) R uma funo tal que lim f (x) = + e se an = f (n) para todo n a, entox

lim an = +. (Vale um resultado anlogo para o caso de lim f (x) = .)

n

x

Teorema 1.11 (Teorema do Confronto). Se an

bn cn , para todo n 1 e se lim an = lim cn = L, enton

lim bn = L.

n

n

Uma sequncia {an }n=1 limitada se existe M > 0 tal que |an | M para todo n N. Como consequnciaimediata do Teorema do confronto 1.11, temos o seguinte

Corolrio 1.12. Se {an }n=1 limitada e lim bn = 0, ento lim an bn = 0.nnTeorema 1.13. Sejam {an }n=1 e {bn }n=1 sequncias tal que an bn . Se lim bn = + para todo n 1, enton

lim an = +.

n

Teorema 1.14. Suponha que

f : R R uma funo contnua num ponto x0 e suponha que {an }n=1 umaconvergeparaf(x).sequncia que converge para x0 . Ento, {f (an )}0n=1

2.

Exemplos

11para todo n 1, ento lim an = 0. De fato, se f (x) = , temos que f (n) = an parannxtodo n N e lim f (x) = 0. Pelo Teorema 1.9, temos lim an = 0.

Exemplo 2.1. Se an =x

n

lim an = . De fato, se f (x) = xsen( x ), ento f (n) = anExemplo 2.2. Se an = nsen( n ) para todo n 1, ento n

para todo n 1 e

sentlim f (x) = lim xsen( ) = lim= ;xt0+xt

x

pelo Teorema 1.9, lim an = .n

3

ln nln xpara n 1, ento lim an = 0. De fato, se f (x) =, ento f (n) = an para todonnx

Exemplo 2.3. Se an =

n1e

lim f (x) = lim

x.

que da formalim an = 0.

Como lim

x

x

ln xx

1= 0, pela Regra de L'Hospital, temos lim f (x) = 0. Pelo Teorema 1.9,xx

n

Exemplo 2.4. Seja

r um nmero real xado e seja an = rn para n 1. Ento, {an }n=1 convergente se esomente se 1 < r 1. Se |r| < 1, ento lim rn = 0.n

Os casos r = 1 ou r = 0 so imediatos. Nestes casos, an uma sequncia constante e, em particular, convergente.O caso r = 1 ser visto no exemplo 3.5, onde veremos que a sequncia an = (1)n divergente.Vamos examinar os casos |r| < 1, r = 0 e |r| > 1.Suponhamos primeiro que r > 1. Ento existe b > 0 tal que r = 1 + b. Do Teorema Binomial, segue-se quen(n 1) 2b + ... + bn > 1 + nb,2para todo n 1. Como lim (1 + nb) = +, pelo Teorema 1.10, temos lim an = +.

(4)

rn = (1 + b)n = 1 + nb +

n

n

Se r < 1, ento |r| > 1 e, procedendo como no caso anterior, temos que a sequncia bn = |an | diverge. Portanto,an diverge.1. De (4) segue-se que1+b111an =