1. O MUNDO E A FORÇA...

NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202)

Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo

CAPÍTULO 14 – GRAVITAÇÃO

1. O MUNDO E A FORÇA GRAVITACIONAL.

Na figura a seguir se vê a galáxia conhecida como Via Láctea. O planeta Terra está

próximo à borda do disco, a cerca de 26000 anos-luz (2,5x1020 m) do seu centro, que na

figura está localizado no agrupamento de estrelas conhecido como Sagitário.

Figura 14.0(inicio do capítulo)

A Via Láctea é um membro do grupo Local de galáxias, que inclui a galáxia de

Andrômeda a uma distância de 2,3x106 anos-luz e vária galáxias anãs mais próximas, como a

Grande Nuvem de Magalhães.

A força que mantém reunidas estas estruturas progressivamente maiores, da estrela à

galáxia e ao superagrupamento, é a força gravitacional. Esta força não apenas nos mantém

sobre a Terra, mas também exerce influência em todo Espaço intergalático.

FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 02

2. LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO.

Em 1655, Isaac Newton mostrou que a força que mantém a Lua em sua órbita é a

mesma que faz com uma maçã caia em direção à Terra. I. Newton concluiu que todo corpo no

Universo atrai todos os outros corpos; esta tendência dos corpos de se moverem cada um em

direção ao outro é chamada de gravitação.

Newton propôs uma lei de forças conhecida hoje como lei da gravitação de Newton,

dada por:

1 22

m mF G

r= ,

onde m1 e m2 são as massas dos corpos, r é a distância entre os mesmos e G é a constante

gravitacional com valor dado por:

G = 6,67 x 10-11 N . m / Kg2

= 6,67 x 10-11 m3 / Kg . s2

Como mostra a figura a seguir, uma partícula m2 atrai uma partícula m1 com uma força

gravitacional F→

dirigida para a partícula m2 e a partícula m1 atrai a partícula m2 com uma

força gravitacional - F→

dirigida para a partícula m1. As forças F→

e -F→

formam um par de

forças ação e reação. Estas forças não se alteram pela presença de outros corpos, mesmo que

estes corpos e situem entre as duas partículas.

Fig 14.2


A intensidade da forças gravitacional depende do fator G. Se, por algum fenômeno

estranho, G fosse multiplicado por um fator 10, seríamos esmagados contra o piso da Terra.

Ao contrário, se G fosse dividido por 10, poderíamos saltar um prédio.

A lei de gravitação pode ser aplicada a corpos desde que as dimensões dos mesmos

sejam pequenas comparadas com as distâncias entre eles. No caso de pequenos corpos

próximos à superfície de um planeta, pode-se usar o Teorema da Casca:

Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está

fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada

em seu centro.

A Terra pode ser imaginada como um conjunto de tais cascas, uma dentro da outra.

3. GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO

Em um grupo de partículas, a força gravitacional resultante em uma delas, exercida

pelas outras partículas, pode ser calculada usando o princípio da superposição, em que o

efeito resultante é obtido pela soma dos efeitos individuais.

Para n partículas interagindo, o princípio da superposição pode ser escrito como segue:

nres FFFFF 1141312,1 ...→→→→→

++++= ,

onde resF ,1

→ é a força resultante sobre a partícula 1 e 13

→F é a força exercida sobre a partícula 1

pela partícula 3. Em um modo mais compacto tem-se:

∑=

→→=

n

i

ires FF2

1,1

A força gravitacional sobre um objeto qualquer, em que as dimensões do outro corpo

não sejam desprezíveis pode ser calculada por:

∫→→

= FdF 1


A integral é tomada sobre todo objeto de dimensões finitas.

4. GRAVITAÇÃO PRÓXIMA À SUPERFÍCIE TERRESTRE.

Supondo-se que a Terra seja uma esfera uniforme de Massa M, a intensidade da força

gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada a uma distância r do centro

da terra ( r > Raio da Terra) é dada por:

2r

mMGF =

Se a part6ícula for solta ela cairá em direção a centro da Terra com uma aceleração

gravitacional →

ga . Da segunda lei de Newton relacionamos F e ag por:

F = m ag

Das duas últimas relações obtemos:

2r

GMag =

A tabela 14.1 mostra valores de ag calculados para várias altitudes acima da superfície da

Terra.

TABELA 14.1 Variação de ag com a Altitude

Altitude (km) Ag (m/s2) Exemplo de Altitude

0 9,83 Superfície média da Terra

8,8 9,80 Monte Everest

36,6 9,71 Balão tripulado mais alto

400 8,70 Órbita do Ônibus espacial

35 700 0,225 Satélites de Comunicações

Desprezando a rotação da Terra e supondo que a mesma seja um referencial inercial, a

aceleração de queda livre g pode ser dada por ag. Entretanto esses valores diferem por tres

motivos: (1) a Terra não é uniforme, (2) ela não é uma esfera perfeita e (3) ela está girando.


Neste caso, o peso medido da partícula mg difere da força gravitacional dada por GMm/r2.

Examinando as três razões:

1 A Terra não é uniforme. A massa específica da Terra varia radialmente e na crosta

varia de região para região. Então g varia de região para região na superfície.

2 A Terra não é uma esfera. Pode-se considerar a Terra um elipsóide, achatado nos

pólos e saliente no equador. Como um ponto do pólo está mais próximo do núcleo da

Terra, a aceleração g aumenta à medida que aproximamos dos pólos.

3 A Terra está girando. O eixo de rotação passa pelos pólos Norte e Sul. Essa rotação

gera uma força resultante centrípeta

Para entendermos como a rotação da Terra provoca diferença entre g e ag , considere uma

situação de um caixote de massa m sobre uma balança situados na linha do equador, conforme

mostra a figura a seguir.

Figura 14.7


Na parte b da figura, um diagrama de livre mostra as duas forças sobre o caixote,

ambas tem a direção radial. A força normal da balança sobre o caixote está dirigida para fora,

na direção positiva do eixo r. A força gravitacional →

gam , está dirigida para dentro. Como o

caixote se move em um círculo em torno do centro da Terra, à medida que a Terra gira, ele

possui uma aceleração centrípeta →a dirigida para dentro. Esta aceleração centrípeta é dada por

ω2R, onde ω é a velocidade angular da Terra e R o seu raio. Então, da segunda lei de Newton

vem:

N - m ag = m ( -ω2R ),

ou seja:

( )centrípetaaceleraçãoxmassanalgravitacioforça

daeintensidad

medido

peso−

=

O módulo da força norma é igual ao peso mg obtido da balança. Então:

mg = mag – m(ω2R) ,

Então o peso medido é de fato menor que a intensidade da força gravitacional. Da relação

anterior também obtemos:

g = ag - ω2R

ou:

−

=

centrípeta

aceleração

nalgravitacio

aceleração

livrequeda

deaceleração

Então, a aceleração de queda livre medida é menor do que a aceleração gravitacional por

causa da rotação da Terra.

5. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Seja uma bola de beisebol lançada na vertical se afastando da terra, ao longo da

trajetória mostrada na figura a seguir:


Deseja-se encontrar uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto

P da trajetória. Para tanto, calcula-se o trabalho realizado pela força gravitacional sobre a bola

quando ela se desloca do ponto P até uma distância infinita da terra. O trabalho é dado por:

( ).R

W F r dr∞

= ∫r r

onde

( ). ( ) cosF r dr F r dr φ=r r

Substituindo os respectivos valores obtém-se:

2( ).

GMmF r dr dr

r=

r r

então

2

1

RR

GMmW GMm dr

r r

∞∞

= = ⇒∫

0GMm GMm

WR R

= − = −

Fr

drr

P

R

M

φ


Na expressão anterior W é o trabalho para mover a bola do ponto P até o infinito.

Como:

,U W∆ = −

então

U U W∞ − = −

Como a energia potencial no infinito é nula, obtém-se:

GMmU W

r= = −

INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA

Na figura a seguir mostra-se o movimento da bola de beisebol do ponto A ao ponto G,

composto de três segmentos radiais e três circulares. O trabalho total realizado pela força

gravitacional é dado pela soma das parcelas individuais nos respectivos segmentos nos

segmentos circulares o trabalho é nulo, pois a força é perpendicular à trajetória. O trabalho

restante é dado pelo trabalho realizado nos segmentos radiais, que já foi calculado no item

anterior. Isso significa que, sendo a força gravitacional uma força conservativa, o trabalho

independe da trajetória, o que nos leva à relação:

f iU U U W∆ = − = −

Como o trabalho independe da trajetória, a variação da energia potencial também independe

da trajetória.

Fig.14.11


ENERGIA POTENCIAL E FORÇA

Pode-se fazer o caminho inverso, isto é calcular a força gravitacional a partir da

energia potencial.

dU d GMmF

dr dr r

GMmF

r

= − = − −

= − →

a força aponta radialmente para dentro, em direção a M.

Velocidade De Escape

Velocidade de escape é a velocidade mínima a partir da qual um projétil lançado na

superfície da Terra escape do campo gravitacional da mesma.

Seja um projétil de massa m com velocidade v deixando a superfície da Terra. Ele

possui energia cinética K dada por m v2/2 e energia potencial dada por:

R

GMmU −=

Na relação anterior M é a massa do planeta e R seu raio.

Quando o projétil atinge o infinito ele pára e por isso não possui mais energia cinética,

nem energia potencial (r→∞ ⇒ U→0), ou seja a energia mecânica total no infinito é nula. Do

princípio da conservação da energia total tem-se:

0)(2

1 2 =−+=+R

GMmmvUK

Explicitando a velocidade vem:

R

GMv

2=

Lei da Gravitação do Newton


Velocidade de Escape

Lua 2,38 km/s

Terra 11,2 km/s

Sol 618 km/s

Supernova (Est.de N.) 2x105 km/s

6. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLER.

O movimento dos planetas sempre despertou interesse nos seres humanos. Após ter

dedicado toda sua vida a esses fenômenos, Johannes Kepler (1571-1630), estabeleceu leis

empíricas que governam estes movimentos, que foram compiladas mais tarde por Tycho Brae

(1546-1601). Posteriormente, Newton (1642-1727) mostrou que a lei da gravitação leva às

leis de Kepler. Neste seção discutiremos cada lei de Kepler.

1. Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o sol em um dos focos.

A figura a seguir mostra um planeta de massa m se movendo em uma órbita deste tipo

em torno do Sol, com massa M. Sendo M ⟩⟩ m, pode-se considerar o centro de massa do

sistema no Sol.

Fig. 14.13

Nesta órbita nota-se o semi-eixo maior a e a excentricidade e. Pode-se calcular a

excentricidade fazendo e.a = F . Um círculo corresponde a uma excentricidade nula. As

excentricidades das órbitas planetárias são pequenas, parecendo círculos.

2. Lei das Áreas: Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em no plano da

órbita do planeta em tempos iguais ou seja, a taxa dA/dt com que a linha varre Áreas A é

constante.


Isso significa que o planeta se moverá mais lentamente quando estiver afastado do Sol

e mais rapidamente quando estiver mais próximo do Sol. Essa segunda lei é equivalente à

conservação do momento angular, que mostrado em seguida.

Na figura a seguir, a área da cunha sombreada é próxima da área varrida no intervalo

de tempo ∆t por uma linha que liga o Sol ao planeta, separados por uma distância r.

Figura 14.14

A área deste setor é aproximadamente igual à área do triângulo com base r∆θ e altura

r. Então, a área deste triângulo será ∆A = r2 ∆θ/2. A taxa instantânea que a área está sendo

varrida será:

ωθ 22

2

1

2

1r

dt

dr

dt

dA ==

A linha que liga o Sol ao planeta tem velocidade angular ω.

A quantidade de movimento linear do planeta e suas componentes radial e

perpendicular, também são mostrados na figura anterior. Como L = r p⊥ tem-se:

L = r p⊥ = r (m v⊥) = r (mω r) ⇒

L = m ω r2

Eliminando r2ω chega-se em:

m

L

dt

dA

2=


Se dA/dt é constante, então L também é constante, ou seja se conserva.

3. Lei dos Períodos. O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-

eixo maior da sua órbita.

Seja a órbita circular da figura a seguir. Aplicando a lei de gravitação e a segunda lei

de Newton ao planeta ( F = ma) tem-se:

)( 2

2rm

r

GMm ω=

Nesta relação ω2 r é a aceleração centrípeta. Fazendo ω = 2π/T obtém-se:

32

2 4r

GMT

= π

Fig. 14.15

7. SATÉLITES: ÓRBITAS E ENERGIA

Quando um satélite órbita a terra em uma trajetória elíptica, tanto a velocidade quanto

sua distância ao centro da terra flutuam, afetando a sua energia cinética e energia potencial

gravitacional. Entretanto a energia mecânica E permanece constante.

A energia potencial do sistema e-:

GMmU

r= −


Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular, escreve-se a

segunda Lei de Newton Como:

2

2,

GMm mv

r r=

onde 2 /v r é a aceleração centrípeta do satélite. Então a energia cinética será:

21

2 2

GMmK mv

r= =

ou seja, para um satélite em órbita circular tem-se:

2

UK = −

A energia total do satélite é

2

GMm GMmE K U

r r= + = −

2

GMmE

r= −

Portanto, a energia mecânica é igual a – K.

E K= −

Para um satélite com órbita elíptica substituímos r por a e obtemos:

2

GMmE

a= −

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