! 1 * ! 5- · -'e ,1&kk * / a / "m! -)'% ,1&kk * * * c . + . / - = * / + 6
1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k...
Transcript of 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k...
![Page 1: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/1.jpg)
1
1. Modelos de Sistemas Discretos 1. Modelos de Sistemas Discretos _______________________________________1
1.1. Representación en Variables de Estado ______________________________________________________________________________________ 2 1.1.1. Valor entre muestras _______________________________________________________________________________________________________________4
1.2. Cálculo de las Matrices Discretas ___________________________________________________________________________________________ 5 1.3. Teorema de Cayley-Hamilton ______________________________________________________________________________________________ 6 1.4. Evolución del Estado ____________________________________________________________________________________________________ 12 1.5. Pasaje de Discreto a Continuo_____________________________________________________________________________________________ 13 1.6. Muestreo de Sistemas con Retardo_________________________________________________________________________________________ 16 1.7. Variables de Estados con Otro Bloqueador __________________________________________________________________________________ 21 1.8. Transformaciones de Estados _____________________________________________________________________________________________ 22
1.8.1. Forma Observable ________________________________________________________________________________________________________________23 1.8.2. Forma Controlable _______________________________________________________________________________________________________________25
1.9. Modelos de Entrada Salida _______________________________________________________________________________________________ 26 1.10. Respuesta Impulsional __________________________________________________________________________________________________ 26 1.11. Operador Desplazamiento _______________________________________________________________________________________________ 29 1.12. Función de Transferencia _______________________________________________________________________________________________ 33
1.12.1. Función de Transferencia en Transformada Z__________________________________________________________________________________________41 1.12.2. Discretización de la Función de Transferencia _________________________________________________________________________________________42
1.13. Relación de Polos y Ceros Continuos y Discretos ____________________________________________________________________________ 50 1.14. Sistemas con Función de Transferencia Inversa Inestable_____________________________________________________________________ 54 1.15. Elección del Período de Muestreo_________________________________________________________________________________________ 56
![Page 2: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/2.jpg)
2
1.1. Representación en Variables de Estado La planta a controlar sigue siendo continua.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t
y t Cx t Du t
= +
= + [1.1]
Se lo controla con una señal u reconstruida con un bloqueador de orden cero.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k
k
tA t t A tk t
x t e x t e Bu dτ τ τ− −= + ∫ [1.2]
para el instante siguiente resulta,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 1
kk k
k
tA t t A tk k k kt
x t x e x t e d Bu tτ τ++ − −+ += = + ∫ [1.3]
Muestreo sincrónico y período de muestreo constante
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1, ,k k k k k k k
k k k
x t t t x t t t u t
y t Cx t Du t+ + += Φ + Γ
= +
[1.4]
con
![Page 3: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/3.jpg)
3
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
,
,
k k
k
k
A t tk k
t A tk k t
t t e
t t e d Bτ τ
+
+
−+
−+
Φ =
Γ = ∫ [1.5]
Este modelo es exacto solo para el instante de muestreo. Queda expresado como una ecuación en diferencias. Si el período de muestreo se lo llama T, si el sistema es invariante en el tiempo y la
matriz D es nula:
1k k k
k k
x x uy Cx
+ = Φ + Γ =
[1.6]
con
0
AT
T A
e
e d Bτ τ
Φ =
Γ = ∫ [1.7]
![Page 4: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/4.jpg)
4
1.1.1. Valor entre muestras Con la misma ecuación , variando t, se calcula el estado entre muestras. El cálculo del estado entre muestras es como calcular la respuesta al escalón. Entre muestras el sistema está en lazo abierto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
,
0
, ,
,
,
k
k
k k k k
A t tk
t t Ak
x t t t x t t t u t
t t e
t t e d Bτ τ−
= Φ + Γ
Φ =
Γ = ∫
[1.8]
![Page 5: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/5.jpg)
5
1.2. Cálculo de las Matrices Discretas Una posible forma es mediante desarrollo en serie de la matriz
( )
2 1
0 2! 1 !
i iT A AT A Te d ITi
τ τ+
Ψ = = + + ++∫ [1.9]
resultando
I A
BΦ = + ΨΓ = Ψ
[1.10]
Otra forma es utilizar la Transformada de Laplace ya que
( ){ }11ATe L sI A −−= − [1.11]
Una tercera opción es utilizar el siguiente teorema
![Page 6: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/6.jpg)
6
1.3. Teorema de Cayley-Hamilton
( ) ( ) 11 1 0det n n
nI A a a aλ λ λ λ λ−−− = ∆ = + + + + [1.12]
una matriz satisface su polinomio característico
1
1 1 0 0n nnA a A a A a−−+ + + + = [1.13]
o lo que es lo mismo
1
1 1 0n n
nA a A a A a−−= − − − − [1.14]
( )2 1, , , ,n nA f I A A A −= [1.15]
pero si se multiplica por A también quedará un función
( )( )
1 21 1 0
1 21 1 1 0 1 0
2 1, , , ,
n nn
nn n
n
A a A a A a A
a a A a A a a A a A
f I A A A
+−
−− −
−
= − − − −
= − − − − − − − −
=
[1.16]
es decir toda potencia de la matriz original se puede expresar como una combinación lineal de ( )2 1, , , , nI A A A − y por lo tanto cualquier polinomio ( )f A .
![Page 7: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/7.jpg)
7
También A satisface polinomios de grado menor a n-1. Esto se cumple cuando el polinomio característico tiene raíces múltiples. En este caso se define el polinomio mínimo que es de menor grado que el característico y depende del tamaño de los bloques de Jordan.
Todo polinomio puede ser expresado como una división de polinomios, de la forma ( ) ( ) ( ) ( )f q hλ λ λ λ= ∆ + [1.17]
pero el primer término es nulo, con lo que queda, calculado en A, lo siguiente ( ) ( )f A h A= [1.18]
este polinomio es de grado n-1. La ecuación [1.17] se cumple para todos los autovalores de A
En el caso del cálculo de ATe se puede considerar como un polinomio de grado infinito y calcularlo en base al polinomio característico de A.
![Page 8: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Ejemplo 1. Teorema Cayley-Hamilton
Se desea calcular ATe con la matriz
0 112 7
A = −
[1.19]
cuyo polinomio característico es
( ) ( )( )217 12 4 3
12 7I A
λλ λ λ λ λ λ
λ−
∆ = − = = − + = − − − [1.20]
el polinomio a calcular es
( ) Tf eλλ = [1.21]
el polinomio h tendrá orden 1 y será de la forma: ( ) 1 0h λ α λ α= + [1.22]
y se cumple que
( ) ( ) 1 0Tf e hλλ λ α λ α= = = + [1.23]
que calculado para los autovalores de A resulta
![Page 9: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/9.jpg)
9
41 0
31 0
4
3
T
T
e
e
α α
α α
= +
= + [1.24]
de donde se puede deducir el valor de las constantes
4 31
4 30 3 4
T T
T T
e e
e e
α
α
= −
= − + [1.25]
reemplazando
( ) ( )4 3 4 30 1 3 4AT T T T Te I A e e I e e Aα α= + = − + + − [1.26]
( )4 3 4 3
4 3 4 3
3 4
12 4 3
T T T TAT
T T T T
e e e ee
e e e e
− + −=
− − − [1.27]
![Page 10: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Ejemplo 2. Doble Integrador
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
0 1 00 0 1
1 0
x t x t u t
y t x t
= +
=
[1.28]
1 0 0 1
00 1 0 0 0 1
T T Φ = + + =
[1.29]
2
021
TT
dT
ττ
Γ = =
∫ [1.30]
[ ]
2
1
121 1
1 0
k k k
k k
TTx x u
T
y x
+
= +
=
[1.31]
![Page 11: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Ejemplo 3. Motor
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( )
1 0 11 0 0
0 1
x t x t u t
y t x t
− = +
=
[1.32]
( ) ( )( )
11
1 01 0 0 11
1 11 1 111
s s ssI A
s ss ss s s
−−
+ + − = = = − ++ +
[1.33]
0
1 1
TAT
T
ee
e
−
−
Φ = = −
[1.34]
0
11 1
TT
T
e ed
e T e
τ
ττ
− −
− −
−Γ = = − − +
∫ [1.35]
![Page 12: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/12.jpg)
12
1.4. Evolución del Estado por simplicidad: 1T = , ( ) kx kT x=
muestra inicial: ak
1
22 1 1 1
11
11
a a a
a a a a a a
a a
a a
a
a
a
k k k
k k k k k k
k k k kk k k k
kk k k j
k jj k
x x u
x x u x u u
x x u u
x u
+
+ + + +
− − ++
−− − −
=
= Φ + Γ
= Φ + Γ = Φ +ΦΓ + Γ
= Φ +Φ Γ + + Γ
= Φ + Φ Γ∑
[1.36]
una parte depende de las condiciones iniciales y otra de las entradas
![Page 13: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/13.jpg)
13
1.5. Pasaje de Discreto a Continuo El pasaje inverso no siempre tiene solución
Ejemplo 4. Sistema de primer orden 1 0,5k k kx x u+ = − + [1.37]
0,5aTe = − [1.38]
no tiene solución real El modelo discreto es más general que el continuo
0
AT
T A
e
e d Bτ τ
Φ =
Γ = ∫ [1.39]
de donde se desprende
( ) ( ) ( )
( ) ( )
d tA t t A
dtd t
t Bdt
Φ= Φ = Φ
Γ= Φ
[1.40]
![Page 14: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/14.jpg)
14
matricialmente
( ) ( ) ( ) ( )
0 00 0A Bt t t td
dt I IΦ Γ Φ Γ
=
[1.41]
Se puede resolver esta ecuación para t=T .
( ) ( ) exp
0 00A BT T
TI
Φ Γ =
[1.42]
Si el sistema discreto no tiene autovalores reales negativos se puede calcular:
( ) ( )1 ln0 0 0A B t t
T IΦ Γ
=
[1.43]
![Page 15: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Ejemplo 5. Oscilador Armónico Sistema continuo no único
( ) ( ) ( )0 0
0x t x t u t
ββ β
= + −
[1.44]
2 0,1,i iTπβ α= + = [1.45]
( ) ( )( ) ( )
( )( )1
cos sen 1 cossen cos senk k k
T T Tx x u
T T Tα α αα α α+
− = + −
[1.46]
El cálculo inverso tiene infinitas soluciones Esto pasa generalmente cuando Φ tiene autovalores complejos Pero existe una única solución en n n Tω β ω π≤ ≤ = que es el entorno de la frecuencia
de Nyquist.
![Page 16: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/16.jpg)
16
1.6. Muestreo de Sistemas con Retardo ( ) ( ) ( )dx t Ax t Bu t t= + − [1.47]
Retardo menor al muestreo dt T< :
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 11k T A k TAT
dkTx k T e x kT e Bu t dτ τ τ
+ + −+ = + −∫ [1.48]
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 11 1 1
1 0
1
1
d
d
k T kT t k TA k T A k T A k TdkT kT kT t
e Bu t d e Bd u k T e Bd u kT
u k T u kT
τ τ ττ τ τ τ+ + ++ − + − + −
+− = − +
= Γ − + Γ
∫ ∫ ∫
[1.49]
( )( ) ( ) ( ) ( )( )0 11 1x k T x kT u kT u k T+ = Φ + Γ + Γ − [1.50]
( )
1 0
0 0
dd
d
AT
tA T t A
T t A
e
e e d B
e d B
τ
τ
τ
τ
−
−
Φ =
Γ =
Γ =
∫∫
[1.51]
se puede usar una representación de estado
![Page 17: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/17.jpg)
17
( )( )( )
( )( )( ) ( )1 01
10 0 1x k T x kT
u kTu k Tu kT
+ Φ Γ Γ = + −
[1.52]
hay r nuevas variables ( )( )1u k T−
El sistema continuo tiene dimensión infinita, en cambio el discreto no. Para almacenar el retardo es necesario guardar los valores anteriores de las entradas.
![Page 18: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Ejemplo 6. Doble Integrador con Retardo
10 1
AT Te
Φ = =
[1.53]
( ) ( )2
1 0
1 220 1
ddddtA T t ddA
d d
tt t TT te e d B
t t
τ τ− −− Γ = = =
∫ [1.54]
( )2
0 0 2d
dT t A
d
T te d B
T t
τ τ−
− Γ = =
− ∫ [1.55]
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
2
1 2 210 1
10 0 0 1
ddd
d d
T ttT t Tx k T x kT
t T t u kTu k Tu kT
− − + = + − −
[1.56]
![Page 19: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Retardo mayor al muestreo ( )1d dt d T t′= − + :
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 11 1x k T x kT u k d T u k d T+ = Φ + Γ − + + Γ − [1.57]
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )
1 01 0 0
1 0 0 0 0
20 0 0 010 0 0 0 1
x k T x kTu k d Tu k d T I
u kTu k TIu k T
Iu k Tu kT
+ Φ Γ Γ −− + = + −− −
[1.58]
hay d.r nuevas variables
![Page 20: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Ejemplo 7. Máquina de Papel ( ) ( ) ( )2,5x t x t u t= + − [1.59]
1T = , 3d = , 0,5dt′ =
1 0,37e−Φ = = [1.60]
0,50,5 0,5 1
1 00,24e e d e eτ τ− − − −Γ = = − =∫ [1.61]
0,5 0,5
0 01 0,39e d eτ τ− −Γ = = − =∫ [1.62]
1
2 3
1 2
1
0,37 0,24 0,39 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
k k
k kk
k k
k k
x xu u
uu uu u
+
− −
− −
−
= +
[1.63]
![Page 21: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/21.jpg)
21
1.7. Variables de Estados con Otro Bloqueador El BOC es el más barato y más común En sistemas hidráulicos no se usa porque genera cambios bruscos de presión. Cambios en el bloqueador implican cambios en Γ , no en Φ
Ejemplo 8. Doble Integrador con Bloqueador Diferente
Bloqueador
0
uk
T/2T
αuk
βuk
10 1
AT Te
Φ = =
[1.64]
( ) ( )
2 22
0 2
312 4 4
T TA T A TT
T Te Bd e Bd
T Tτ τ α β
α τ β τα β
− − +Γ = + = +
∫ ∫ [1.65]
( )2
0 0 2d
dT t A
d
T te d B
T t
τ τ−
− Γ = =
− ∫ [1.66]
![Page 22: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/22.jpg)
22
1.8. Transformaciones de Estados k kx Tx= [1.67]
T matriz no singular.
11 1
1
k k k k k k
k k
k k k k k
k k
x Tx T x T u T T x T u
x u
y Cx Du CT x Du
Cx Du
−+ +
−
= = Φ + Γ = Φ + Γ
= Φ + Γ
= + = + = +
[1.68]
La ecuación característica [ ]det 0Iλ −Φ = [1.69]
se mantiene invariante
[ ]
[ ]
1 1 1det det det det det
det
I TT T T T I T
I
λ λ λ
λ
− − − −Φ = − Φ = −Φ = −Φ
[1.70]
![Page 23: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/23.jpg)
23
1.8.1. Forma Observable ecuación característica
[ ] 11det 0n n
nI a aλ λ λ −−Φ = + + + = [1.71]
si se construye la matriz
1n
CC
O
C −
Φ = Φ
[1.72]
y resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,
[ ]
1 1
2 2
1
1 1
1 0 00 1 0
0 0 10 0 0
1 0 0
k k k
n n
n n
k k
a ba b
x x ua ba b
y x
+
− −
− − = + − −
=
[1.73]
![Page 24: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/24.jpg)
24
fácil encontrar la relación entre variables de estado y relación entrada salida.
![Page 25: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/25.jpg)
25
1.8.2. Forma Controlable Se construye la matriz
2 1n nCo − − = Γ ΦΓ Φ Γ Φ Γ [1.74]
Si resulta no singular, se puede encontrar el nuevo estado de la forma,
[ ]
1 2 1
1
1 2
11 0 0 0 00 1 0 0 0
0 0 1 0 0
n n
k k k
k n k
a a a a
x x u
y b b b x
−
+
− − − − = +
=
[1.75]
![Page 26: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/26.jpg)
26
1.9. Modelos de Entrada Salida Modelo interno: Variables de estado Modelo Externo: Función de Transferencia (Entrada Salida) Como en los sistemas continuos, los discretos pueden expresarse en base a la respuesta
impulsional. 1.10. Respuesta Impulsional
Entrada y salida de un sistema discreto son secuencias de números que, en un intervalo finito de muestras, serán secuencias finitas.
Expresadas en forma de vectores resultan
[ ][ ]
0 1
0 1
TN
TN
U u u
Y y y−
−
=
= [1.76]
Un modelo lineal que relacione salida con entrada se puede escribir 0Y HU Y= + [1.77]
siendo H una matriz de N N× e 0Y las condiciones iniciales.
si Y es causal, H es triangular inferior En este caso
![Page 27: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/27.jpg)
27
( ) 00
,k
k m km
y h k m u y=
= +∑ [1.78]
h es la respuesta impulsional, función de peso o secuencia de ponderación Es fácil medir inyectando una entrada de amplitud 1 y duración una muestra.
Para más de una entrada h es una matriz Para sistemas invariantes en el tiempo
( ) ( ),h k m h k m= − [1.79]
Se puede calcular h a partir de variables de estado
0
0
0
11
kk k k j
k k jj k
y C x C u−
− − −
=
= Φ + Φ Γ∑ [1.80]
Para un impulso
1
0 11k k
kh
C k−
<= Φ Γ ≥
[1.81]
![Page 28: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/28.jpg)
28
La respuesta impulsional no varía con transformaciones
( ) ( )
( )
11 1 1
1 1 1 1
kkk
k kk
h C CT T T T
CT T T T C h
−− − −
− − − −
= Φ Γ = Φ Γ
= Φ Γ = Φ Γ = [1.82]
![Page 29: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/29.jpg)
29
1.11. Operador Desplazamiento
Es el equivalente discreto al operador diferencial dp dt=
La secuencia debe ir desde −∞ a +∞ El muestreo es 1T =
- Operador Adelanto 1k kqf f += [1.83]
- Operador Retardo
1
1k kq f f−−= [1.84]
Para análisis de estabilidad conviene Operador Adelanto Para causalidad, Retardo Las operaciones con ecuaciones en diferencias se reducen a operaciones algebraicas Es fácil confundirlo con la Transformada en Z así como se confunde s con p. No son exactamente iguales. Es útil para manejar ecuaciones en diferencias grandes.
![Page 30: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Sea el sistema
1 1 0a a a b bk n k n n k k n n k
a b
y a y a y b u b u
n n+ + − ++ + + = + +
> [1.85]
( ) ( )1 11 0 1
a a b b
a b
n n n nn k n kq a q a y b q b q b u− −+ + + = + + + [1.86]
( )( )
11
10 1
a a
a
b b
b
n nn
n nn
A q q a q a
B q b q b q b
−
−
= + + +
= + + + [1.87]
( ) ( )k kA q y B q u= [1.88]
expresado en función del operador retardo 1 1 0a a b bk k n k n k d n k d ny a y a y b u b u− − − − −+ + + = + + [1.89]
con a bd n n= − exceso de polos
polinomio recíproco
( ) ( )1* 111 a a a
a
n n nnA q a q a q q A q− −= + + + = [1.90]
[1.89] se puede escribir
( ) ( )* 1 * 1k k dA q y B q u− −
−= [1.91]
![Page 31: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Cuidado: **A no necesariamente es A, por ejemplo
( )( )( )
* 1
**
1
1
A q q
A q qq
A q
−
=
= =
=
[1.92]
- Propiedades Multiplicación: funciona División: no siempre
![Page 32: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Ejemplo 9. División con Operador Desplazamiento
( )1 1k k k
k k
y ay u a
q a y u+ − = <
− = [1.93]
valor inicial 0y
11 1
0 00 1
k kk k j k j
k j k jj j
y a y a u a y a u−
− − −−
= =
= + = +∑ ∑ [1.94]
Si la división funciona, se puede escribir
1
1
11k k k
qy u uq a aq
−
−= =− −
[1.95]
Esto es la convergencia de la serie
( )1 1 2 2 1
1
1 jk k k j
j
y q aq a q u a u∞
− − − −−
=
= + + + = ∑ [1.96]
[1.96] y [1.94] excepto que las entradas y salidas sean nulas para instantes negativos
![Page 33: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/33.jpg)
33
1.12. Función de Transferencia 1k k k kx qx x u+ = = Φ + Γ [1.97]
( ) k kqI x u−Φ = Γ [1.98]
( ){ }1k k k ky Cx Du C qI D u−= + = −Φ Γ+ [1.99]
Función de Transferencia
( ) ( ) 1H q C qI D−= −Φ Γ + [1.100]
expresada en operador retardo
( ) ( ) ( )1* 1 1 1H q C I q q D H q−− − −= − Φ Γ + = [1.101]
![Page 34: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Para sistemas UEUS (SISO)
( ) ( ) ( )( )
1 B qH q C qI D
A q−= −Φ Γ + = [1.102]
Si el sistema es de orden n, y A y B no tiene factores comunes, A es de grado n A es el polinomio característico del sistema lo que implica que el sistema se puede
escribir: 1 1 0a a b bk k n k n k d n k d ny a y a y b u b u− − − − −+ + + = + + [1.103]
generalmente 0 0b =
![Page 35: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Ejemplo 10. Función de Transferencia del Doble Integrador
( ) [ ] ( )( )
( )
1
2
1 2
1 2
1 1 0,5 0,5 11 0
0 1 1 1
0,51 2
q qH q
q q
q qq q
−
− −
− −
− − + = = − −
+=
− +
[1.104]
Ejemplo 11. Función de Transferencia del Doble Integrador con Retardo 0,5dt seg=
( ) ( ) ( )
[ ]( )( )
( )( )
1 10 1
1
2 1
2 1 2 3
2 1 22
1 1 0,125 0,37511 00 1 0,5 0,51
0,125 6 1 0,125 61 22 1
H q C qI q
q qq qq
q q q q qq qq q q
− −
−
−
− − −
− −
= −Φ Γ + Γ
− + = − +−
+ + + += =
− +− +
[1.105]
![Page 36: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Ejemplo 12. Sistema en Forma Canónica Observable
[ ]
1 11
2 2
10
1 0
k k k
k k
a bx x u
a b
y x
+
− = + − =
[1.106]
( ) [ ]1
1 1 1 22
2 2 1 2
11 0
q a b b q bH qa q b q a q a
−+ += = + +
[1.107]
![Page 37: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/37.jpg)
37
- Propiedades
( )H q es independiente de transformaciones
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
11 1 1 1
11 1
11 1
1
H q C qI CT qTT T T T
CT T qI T T
CT T qI T T
C qI H q
−− − − −
−− −
−− −
−
= −Φ Γ = − Φ Γ
= −Φ Γ
= −Φ Γ
= −Φ Γ =
[1.108]
- Polos y Ceros Polos: raíces del denominador de H Ceros: raíces del numerador de H
- Orden del Sistema cantidad de estados o cantidad de polos
![Page 38: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/38.jpg)
38
- Algunas Funciones de Transferencia Equivalencia entre la función de transferencia continua y el sistema muestreado con
bloqueador de orden cero
( )G s ( ) 1 22
1 2
b q bH qq a q a
+=
+ +
1s
1
Tq −
2
1s
( )( )
2
2
12 1T q
q+
−
sTe− 1q−
as a+
1 aT
aT
eq e
−
−
−−
( )a
s s a+ ( ) ( )
( )2
1 11 1
1
aT aT aT
aT aT
aT e q e aTea a
q e q e
− − −
− −
− + + − −
− + +
![Page 39: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/39.jpg)
39
( )
2
2a
s a+ ( )( ) ( )
2 2
1 1 12
aT aT aT
aT aT
e aT q e e aTq e q e
− − −
− −
− + + + −
− +
( )( )ab
s a s b+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )2
1 1 1 1aT bT bT aT aT bT
a b TaT bT
b e a e a e e b e eq
b a b a
q e e q e
− − − − − −
− +− −
− − − − − −+
− − − + +
( )( )s c
s a s b+
+ +
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )2
1 1bT aTbT aT
a b T aT bT
a b TaT bT
c e c ee e c b c c ab a q e e e
b a ab b a b a a b
q e e q e
− −− −
− + − −
− +− −
− −− + − − − + + +
− − −
− + +
20
2 20 02s
ωζω ω+ +
( ) ( )
( ) ( )( )
0
0 0
0
0
2 201 0 02
0
2 2 202 0 02
0
21 0
22
1 cos 1 sen 11
sen 1 cos 11
2 cos 1
T
T T
T
T
b e T T
b e e T T
a e T
a e
ζω
ζω ζω
ζω
ζω
ζωω ζ ω ζω ζ
ζω ω ζ ω ζω ζ
ω ζ
−
− −
−
−
= − − + − −
= + − − −
−
= − −
=
![Page 40: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/40.jpg)
40
2 20 02
ss ζω ω+ +
( )
( )
0
0
0
21 02
0
2 1
21 0
22
1 sen 11
2 cos 1
T
T
T
b e T
b b
a e T
a e
ζω
ζω
ζω
ω ζω ζ
ω ζ
−
−
−
= −−
= −
= − −
=
![Page 41: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/41.jpg)
41
1.12.1. Función de Transferencia en Transformada Z Ejemplo 13. Rampa ky kT= [1.109]
( )( )
1 2 220 2
1TzY z Tz T z
z− −= + + + =
− [1.110]
Usando Variables de Estado
1k k k
k k
x x uy Cx+ = Φ + Γ=
[1.111]
aplicando Transformada en Z
1 00 0 0 0
k k k kk k k k
k k k k
z x z z x x z x z u∞ ∞ ∞ ∞
− − − −+
= = = =
= − = Φ + Γ
∑ ∑ ∑ ∑ [1.112]
( )( ) ( ) ( )0z X z x X z U z− = Φ + Γ [1.113]
( ) ( ) ( )10X z zI zx U z−= −Φ + Γ [1.114]
( ) ( ) ( ) ( )1 10Y z C zI zx C zI U z− −= −Φ + −Φ Γ [1.115]
donde
![Page 42: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/42.jpg)
42
( ) ( ) 1H z C zI −= −Φ Γ [1.116]
1.12.2. Discretización de la Función de Transferencia Conociendo ( )G s ¿Cómo calcular ( )H z ?
Sistema con BOC La respuesta al escalón de un sistema es
( ) ( )G sY s
s= [1.117]
La Transformada en Z de la respuesta al escalón es
( ) ( ) ( )( )( )1Y z Z y Z L Y s−= = [1.118]
Para obtener la Función de Transferencia se divide por la Transformada en Z de la entrada, el escalón en este caso.
( ) ( ) ( )11H z z Y z−= − [1.119]
![Page 43: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Pasos
1- Antitransformar ( )G ss
2- Calcular la Transformada en Z (de una tabla)
3- Multiplicar por ( )11 z−−
![Page 44: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/44.jpg)
44
- Tabla de Transformadas en Z La siguiente Tabla muestra algunas Transformadas en Z. Cuidado: aplicarla de acuerdo
al procedimiento anterior.
f ( )L f ( )Z f
1(escalón) 1s
1
zz −
kT 2
1s
( )21Tz
z −
( )212
kT 3
1s
( )
( )
2
3
12 1
T z zz
+
−
kT
e τ−
1 sττ+
Tz
z e τ−
−
![Page 45: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/45.jpg)
45
1kT
e τ−
− ( )1
1s sτ+
( )
1
1
T
T
z e
z z e
τ
τ
−
−
−
− −
( )sen kTω 2 2sωω+
( )( )( )2
sen2 cos 1z T
z z Tωω− +
La fórmula general es:
( ) ( )1 1Rei
ii
s T
s Ts
eH z s G sz e s
−= − ∑ [1.120]
donde is son los polos de ( )G s
![Page 46: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Ejemplo 14. Motor Controlado Por Armadura
1 i
e e
p(t) = (t) (t)k i (t) = (t)k i
φφ
[1.121]
1 e e i
p i
p(t) = (t) (t)k k i ip(t) = (t)k i
[1.122]
f.c.e.m
m b m bd (t)(t) = (t) = u k k dtθ
ω [1.123]
circuito de armadura
ii ii i m
d (t)i(t) = (t) + + (t)u i ur L dt [1.124]
( )i i ii b(s) = + s (s) + s (s)U kr L I Θ [1.125]
carga: 2
m 2
(t) d (t)d(t) = J + B pdtdt
θ θ [1.126]
o sea
![Page 47: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/47.jpg)
47
( )2ip (s) = J + s B (s)k sI Θ [1.127]
Función de Transferencia
( ) ( )p
2i i i i i b p
(s) kG(s) = = (s) s J + J + B s + B + U s k kL r L r
Θ
[1.128]
para 0iL ≈
( )M
Mi
(s) KG(s) = = (s) s 1 + s U T
Θ [1.129]
con
pM
i b p
k = K B + k kr [1.130]
iM
i b p
Jr = T B + k kr [1.131]
Discretización con Bloqueador de orden 0:
![Page 48: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/48.jpg)
48
( )
M
M M
M
M
KK TG(s)
1s 1 + s T s + s T
= =
[1.132]
Función de Transferencia Discreta:
( ) ( ) ( )( )
M
-1 -1 MsT -1
G(s) G(s) 2 sT -1polos poloss s
M
KG(s) TG(z) = 1 - Res = 1 - Res z z 1s 1 - e z + s 1 - s e z
T
∑ ∑
[1.133]
Cálculo de los residuos:
ReMM
MMT1 - -1- TT
k Ts = 1 - e z
[1.134]
![Page 49: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/49.jpg)
49
( ) ( ) ( ) ( )0
0
Re
M M M sT -1
M M M2
2sT sT-1 -10 sT -1
M MM
K K K- - T e z1 d T T Ts 1 1 2 - 1 ! ds 1 + s 1 - + s 1 - e ez z + s 1 - e zT TT
= = +
[1.135]
finalmente
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
M M
M
T T2 - --1 -1 -1 -1 -1T TM M M-1
M M-1M 2 TsT -1 -1 -1 - -1 -1
T
1 - - 1 - 1 - + T 1 - e eK T z T z z z zT T T zG(z) = 1 - - + z K 1 - 1 - e z z 1 - z 1 - 1 - e z z
=
[1.136]
( )( )( ) ( )
M M
M
T T- --1 -1T TM M M M M
T- -1 -1T
T - + + - T + e eK z T T T T zG(z) =
1 - 1 - e z z
[1.137]
![Page 50: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/50.jpg)
50
1.13. Relación de Polos y Ceros Continuos y Discretos
Dado que ATeΦ = , los autovalores de Φ y de A se relacionan
( ) ( )i A Ti eλλ Φ = [1.138]
Plano S Plano Z
ωN
−ωN
Plano S Plano Z
ωN
−ωN
Plano S Plano Z
π/Τ
−π/Τ
3π/Τ
−3π/Τ
la transformación es sTz e= . Otra forma de ver la aliasing.
![Page 51: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Ejemplo 15. Sistema de Segundo Orden 20
2 20 02s
ωζω ω+ +
[1.139]
los polos en Z son las raíces de 2
1 2 0z a z a+ + = [1.140]
con
( )0
0
21 0
22
2 cos 1T
T
a e T
a e
ζω
ζω
ω ζ−
−
= − −
= [1.141]
los polos varían con T
![Page 52: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/52.jpg)
52
- Ceros Es más difícil relacionar los ceros continuos con los discretos Para pequeños períodos de muestreo se cumple
isiz e≈ [1.142]
El sistema continuo tiene 1d r= − ceros en infinito donde r es el exceso de polos. Para pequeños períodos de muestreo, los ceros coinciden con las raíces del polinomio
de la tabla siguiente:
r Polinomio Raíces
1 1 - 2 1z + 1− 3 2 4 1z z+ + -3.73 -0.27
4 3 211 11 1z z z+ + + -9.90 -1 -0.10
5 4 3 226 66 26 1z z z z+ + + + -23.20 -2.32 -0.43 -0.04
![Page 53: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Ejemplo 16. Sistema continuo sin Ceros
( )( )2
1 2s s+ + [1.143]
discretizando el cero se ubica
( ) ( )( ) ( )2 2
2
1 2 1
2 1 1
T T T T
T T
e e e ez
e e
− − − −
− −
− − −=
− − − [1.144]
cuando el período de muestreo se hace pequeño 1 3z T≈ − + [1.145]
De acuerdo a la tabla 2r = 1 0rZ z= + = [1.146]
![Page 54: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/54.jpg)
54
1.14. Sistemas con Función de Transferencia Inversa Inestable Un sistema continuo con función de transferencia racional y con ceros en el semiplano
positivo es llamado de fase no mínima. Lo mismo pasa con los sistemas discretos con ceros fuera del círculo unidad. El retardo no hace que los sistemas discretos sean de fase no mínima. Es por eso que se habla de sistemas con función de transferencia inversa inestable Un sistema continuo con inversa estable puede transformarse en discreto con inversa
inestable o viceversa.
![Page 55: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Ejemplo 17. Sistema Continuo con Inversa Inestable
( ) ( )( )( )
6 12 3
sG s
s s−
=+ +
[1.147]
discretizando el cero se ubica 2 3 5
2 3
8 91 9 8
T T T
T T
e e eze e
− − −
− −
− += −
− + [1.148]
para 1,25T ≈ , 1z ≈ − y para período de muestreo mayores la inversa es siempre estable.
![Page 56: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/56.jpg)
56
1.15. Elección del Período de Muestreo Recordar: sistema muestreado es más deficiente que el continuo. La elección del período de muestreo depende: comportamiento requerido dinámica propia del sistema perturbaciones actuadores sensores cómo fue modelado Período de muestreo muy grande
imposibilita la reconstrucción Mucho tiempo en lazo abierto
Período de Muestreo muy corto Incrementa la carga del computador Introduce errores numéricos
![Page 57: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Si el sistema tiene retardo 1 1
4 8 dT t≈ − [1.149]
Una buena medida es expresar el muestreo en función del tiempo de crecimiento rT introduciendo
rr
TNT
= [1.150]
es el número de muestras en el tiempo de crecimiento. Para una senoide pura, de acuerdo al teorema de Shannon, 0,32rN ≈
Este es el límite inferior, pero la reconstrucción de Shannon es complicada Para un sistema de primer orden, el tiempo de crecimiento es la constante de tiempo.
Suena lógico elegir 2 4rN ≈ −
Para un sistema de segundo orden, el tiempo de crecimiento es
tan
0
1rT e
ϕϕ
ω= cosξ ϕ= [1.151]
También se elige 2 4rN ≈ −
![Page 58: 1. Modelos de Sistemas Discretos 1materias.fi.uba.ar/6665/material/Clase_02b.pdf · 1 1 1 1,, kk k k At t kk t At kk t tt e tt e dBτ τ + + − + − + Φ= Γ=∫ [1.5] Este modelo](https://reader034.fdocumentos.tips/reader034/viewer/2022052020/6033b67e5315795fcf7f7166/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Dependiendo del tipo de proceso Caudal 1seg Presión 5 seg Nivel 10 seg Temperatura 20 seg