1. Matrizes.w3.ualg.pt/~drodelo/(Bio)Matemática/ExerciciosMatBiologia291114.pdf · 2.Se poss vel,...

Matematica Licenciatura em Biologia 2014 / 2015

1. Matrizes.

1. De um exemplo, em cada alınea, de uma matriz A = [aij ]m×n com:

(a) m = 3, n = 2 cuja soma das entradas principais seja 10.

(b) m = n = 4 com a23 6= a32 e a14 = a41.

(c) m = n = 3 tal que aij = i+ j.

(d) m = 3, n = 4 com aij =

1, i < j

2, i = j

3, i > j

.

(e) m = 2, n = 5 com a1j = −3a2j .

(f) m = 5, n = 2 tal que aij =

{1, i+ j ımpar

2, i+ j par.

2. Se possıvel, de um exemplo de uma matriz A de ordem 3:

(a) triangular superior com apenas 4 entradas nao nulas.

(b) triangular inferior com apenas 4 entradas nulas.

(c) diagonal com apenas 2 entradas nao nulas.

(d) escalar com apenas 2 entradas nao nulas.

3. Determine as matrizes transpostas dos exercıcios anteriores e indiques as que sao simetricas.

4. Considere as matrizes

A =

3 1 0 −2

1 1 −1 2

0 1 1 0

, B =

1 0 4 2

−1 2 −1 2

2 2 1 −1

e C =

0 0 1 −2

−2 −2 −1 1

2 2 1 −1

.(a) Indique:

i. aij , i ≥ j.ii. bij , i < j.

iii. cii.

iv. i e j tais que aij = bij = cij .

(b) Determine:

i. A+B.

ii. (A+B) + C.

iii. A+ (C +B).

iv. −B e −(−B).

v. −3A− 3B.

vi. (2A+ 2B) + 2C.

vii.1

2C.

(c) Determine a matriz X tal que:

i. A+X = 03×4.

ii. A− 2X = X −B.

1

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A =

[1 2 3

0 2 −1

], B =

1 2 −1 0

1 1 −1 1

2 1 0 2

, C =

2

−1

2

3

, D = CT e E = I2.

Sempre que seja possıvel, determine os produtos:

(a) AB, AE, EA, e BC.

(b) (AB)C e A(BC).

(c) DDT e DTD.


A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

, B =

−1 0 2

0 1 −2

1 −1 0

, C =

1 1 1

1 1 0

1 0 0

e D =

0 0 1

0 1 −1

1 −1 0

.Determine:

(a) AB, BA, AC, CD, DC e B2.

(b) BTB e BBT .

(c) BAAC e (BC)D.

(d) A(2B), (−A)(−B) e (−2A)(3B).

(e) (A+D)C e A(B + C).


A = [aij ]3×4, aij =

1, i = j

2, i 6= j, i+ j par

i+ j, i 6= j, i+ j ımpar

e B =

1 2 −1 3

1 0 1 0

−2 −1 0 1

.Se for possıvel, determine:

(a) A− 2B. (b) AB. (c) ABT .

8. Diga, justificando, se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas para as matrizes:

A =

−3 −5 −4

−5 8 −7

−4 −6 −9

, B =

0 −1 1

−1 1 0

1 0 0

e C =

[ √32

12

− 12

√32

].

(a) A e uma matriz simetrica.

(b) A entrada (1, 3) de (−7A)(2B) e 29.

(c) B e uma matriz triangular superior.

(d) A2 =

9 25 16

25 64 49

16 36 81

.

(e) C e uma matriz invertıvel tal que C−1 = CT .


9. Diga, justificando, se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas:

(a) as entradas de uma matriz em forma condensada sao sempre 0 ou 1.

(b) as matrizes

1 2 3

0 0 4

0 0 1

0 0 0

e

0 1 0 1 2 4 −2

0 0 0 0 3 0 4

0 0 0 0 0 1 8

0 0 0 0 0 0 6

estao em forma de escada.

(c)

([2 1

−2 −1

][1 −3

−2 6

])= 0 e

1 2 3

0 0 4

0 0 1

0 0 0

= 3.

(d)

1 0 0

2 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

4 0 1

1 0 0

0 1 0

0 5 1

=

1 0 0

2 1 0

4 5 1

=

1 0 0

0 1 0

0 5 1

1 0 0

0 1 0

4 0 1

1 0 0

2 1 0

0 0 1

.

10. Verifique se cada uma das seguintes matrizes e invertıvel:

(a)

[ √32

12

− 12

√32

]. (b)

1 0 0

0 1 0

0 −4 1

. (c)

5 0 0

0 18 0

0 0 −19

.

(d)

1 2 3

0 1 4

0 0 1

(e)

5 0 0

0 18 0

0 −4 −19

. (f)

1 2 3

1 6 8

0 0 6

.

11. Coloque as seguintes matrizes em forma de escada, em forma condensada e determine a sua caracterıstica:

(a)

1 2 3

0 0 4

0 0 1

0 0 0

. (b)

0 1 0 1 2 4 −2

0 0 0 0 3 0 4

0 0 0 0 0 1 8

0 0 0 0 0 0 6

. (c)

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

.

(d)

0 0 0

0 0 0

2 2 2

0 4 8

. (e)

0 0 0 1 −2

0 −2 −3 −5 1

0 2 3 1 −1

0 2 3 5 −1

. (f)

1 1 1 1 1

2 0 2 2 2

3 3 0 3 3

4 4 4 0 4

5 5 5 5 0

.

12. Efectue a decomposicao LU das seguintes matrizes:

(a)

2 2 7

1 3 3

−2 −5 1

. (b)

6 −2 0

9 −1 1

3 7 5

. (c)

1 2 1 −1

2 −1 −3 −2

4 1 2 −4

3 3 −1 −3

.


2. Sistemas de equacoes lineares.

13. Considere o sistema de equacoes lineares x− y + z + w = 3

2x− 2y + 3w = 2

x+ z + w = −1

(a) Verifique se (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1) e (−6,−4, 3, 2) sao solucoes do sistema.

(b) Classifique o sistema.

(c) Resolva o sistema pelo metodo de eliminacao Gauss-Jordan e indique a solucao geral.

14. Equacione e resolva os seguintes problemas:

(a) Sabendo que uma caneta, 5 cadernos e uma borracha custam 14 euros, duas caneta e duas borrachas

custam 5 euros e uma caneta, tres cadernos e cinco borrachas custam 13 euros, quanto custa cada caneta,

cada caderno e cada borracha?

(b) Determine os coeficientes da funcao y = ax3 + bx2 + cx + d que passa pelos pontos de coordenadas

(−1, 0), (0, 1), (1, 0) e (2, 3).

15. Determine a solucao geral dos seguintes sistemas utilizando um dos metodos de eliminacao dados nas aulas

teoricas:

(a)

x− y + z = 3

2x− 2y + 2z = 3

x+ y + z = −1

(b)

2x− 2y + z = 3

2x− 2y + 2z = 3

x− 2y + z = 3

(c)

x− y − 3z + 4w = 1

x+ y + z + 2w = −1

−y − 2z + w = 1

x+ 2y + 3z + w = −2

(d)

3x− 2y + 5z + w = 1

x+ y − 3z + 2w = 2

6x+ y − 4z + 3w = 7

(e)

x− 2y + 3z = −2

x− 3y − z = 7

3x− 7y + 6z = 4

(f)

2x− 4y + 6z = −4

x− 3y − z = 7

3x− 7y + 5z = 3

(g)

2x+ 3y − 3z = 2

x− 2y + z = 0

3x+ 8y − 7z = 4

2x+ 10y − 8z = 4

(h)

−x+ 2y − z = 0

2x− y + z = 2

3x+ z = 4

4x+ y + z = 5

(i)

4x− y + 3z − t = −4

3x+ 2y − z + 2t = −8

x+ 2y − t = 1

−x+ z − 2t = 6

16. Determine a solucao geral dos sistemas homogeneos associados relativamente aos sistemas do exercıcio 15.

17. Considere o sistema de equacoes lineares x+ 2y + z = 3

−3x− 6y + 8z = 2

4x+ 8y − 5z = 3

(a) Verifique se (1, 1, 0) e (−4, 3, 1) sao solucoes do sistema.

(b) Determine a solucao geral do sistema homogeneo associado.

(c) Utilize as alıneas anteriores para indicar a solucao geral do sistema completo.


18. Sejam A =

2 1 β

0 2 0

0 0 2β + β2

e B =

β

−2

β + 2

. Determine β tal que o sistema AX = B:

(a) tenha solucao(12 ,−1, 1

).

(b) seja impossıvel.

(c) seja possıvel e indeterminado (qual e o grau de indeterminacao?).

(d) seja possıvel e determinado.

19. Classifique os seguintes sistemas em funcao do parametro α ∈ R:

(a)

x+ y + z = −2

x− y + z = 3

x+ z = 12

3x− y + 3z = α

(b)

x+ 2y − 3z = 4

3x− y + 5z = 2

4x+ y + (α2 − 14)z = α+ 2

20. Se possıvel, complete A =

1 −1 2

−1 2

2

e B =

1

1

de modo que o sistema AX = B:

(a) seja impossıvel.

(b) seja possıvel e determinado.

(c) seja possıvel e indeterminado (qual e o grau de indeterminacao?).

(d) tenha solucao (−1, 1, 1, 1).

21. Sem recorrer a metodos de eliminacao, determine a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes:

(a)

1 0 0

0 1 0

0 −4 1

. (b)

5 0 0

0 18 0

0 0 −19

. (c)

1 2 3

0 1 4

0 0 1

.

(d)

5 0 0

0 18 0

0 −4 −19

. (e)

1 2 3

0 4 5

0 0 6

. (f)

1 2 3

1 6 8

0 0 6

.

22. Considere a matriz A =

1 1 1

1 2 3

−1 −2 k

, k ∈ R.

(a) Determine os valores de k para os quais a matriz A e invertıvel.

(b) Determine A−1 para k = 0.

23. Se possıvel, determine as inversas das seguintes matrizes:

(a)

[2 1

1 2

]. (b)

1 0 0

1 1 0

1 1 1

. (c)

1 0 1

1 1 0

−3 −4 1

. (d)

2 0 2 2

1 1 1 1

3 3 0 3

−2 −2 −2 0

.

24. Resolva, com a decomposicao LU, os sistemas Ax = b, com A as matrizes do exercıcio 12 e b os vectores

(a)[

7 1 4]T

, (b)[−2 −2 2

]T, (c)

[3 −4 3 2

]T, respectivamente.


3. Determinantes.

25. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:

(a)

[−1 2

−3 3

]. (b)

[−1 1

1 −1

]. (c)

2 0 0

4 1 0

2 −3 −3

.

(d)

3 2 −1

0 2 −3

2 6 −7

. (e)

1 2 3

3 1 −1

2 −1 2

. (f)

1 2 3 0

2 6 6 1

−1 0 0 3

0 0 0 0

.

(g)

2 −1 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 1

0 0 −1 −2

. (h)

0 0 0 0 −3

0 0 0 −4 0

0 0 −1 0 0

0 2 0 0 0

5 0 0 0 0

. (i)

1 2 3 4 5 6

1 0 3 4 5 6

1 2 0 4 5 6

1 2 3 0 5 6

1 2 3 4 0 6

1 2 3 4 5 0

.

26. Usando determinantes, determine para que valores α, β ∈ R as seguintes matrizes sao invertıveis:

(a)

[1 + α α

α 1− α

]. (b)

[α+ 1 2

α α− 1

]. (c)

α 0 3α

0 1 −3

1 0 2β

.

27. Calcule o determinante das seguintes matrizes atraves do Teorem de Laplace:

(a)

2 0 π 0 0

−2 2 95 0 2

4 5 5 −2 54π

−1 1 π 0 0

π 0 −2 0 0

. (b)

1 −1 0 1 1

−1 2 0 1 −1

1 0 1 0 −1

1 1 2 1 0

0 1 1 1 −1

. (c)

3 1 2 −1

1 2 1 3

4 1 2 5

3 −2 1 9

.

(d)

1 −1 1 0 1 1

0 1 2 1 0 1

−1 2 1 2 1 −1

1 0 1 −1 2 0

1 1 1 1 1 1

−1 0 1 0 1 −1

.

28. Calcule o determinante da matriz

A =

[cos (θ) sen (θ)

−sen (θ) cos (θ)

]e o determinante da matriz transposta de A.

29. Seja A = BC em que as matrizes B e C sao:

B =

[−1 2

−3 3

]C =

[−1 −1

1 −1

]. Verifique que detA = detB × detC.

30. Sabendo que para quaisquer matrizes invertıveis A, B e C, com A = BC, a relacao detA = detB × detC e

verdadeira, mostre que detA−1 =1

detA.


4. Produtos interno, externo e misto.

31. Para cada um dos pares de vectores

(i) u = (0, 1,−2,−1) e v = (2,−1, 0, 3)

(ii) u = (1,−1, 2, 2, 3) e v = (−2, 0, 2, 1, 1) ,

determine:

(a) u · v.

(b) ‖u‖ e ‖v‖ .

(c) cos] (u, v) .

32. Se possıvel de exemplos de:

(a) Dois vectores de R5 cujo produto interno seja −5.

(b) Um vector de R4 cuja norma seja√

5.

(c) Dois vectores em R5 cujo angulo seja π.

(d) Dois vectores em R6 cujo angulo sejaπ

2.

(e) Tres vectores u, v e w de R5 tais que u · v = 2, u · w = −1 e u · (v + w) = 3.

33. Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:

(a) (1, 2, 0,−1) · (−2, 0, 1, 3) = . . . . . . . . . . . . .

(b) ‖(1, 2, 0,−1)‖ = . . . . . . . . . . . . e ‖(−2, 0, 1, 3)‖ = . . . . . . . . . . . .

(c) cos] ((1, 2, 0,−1) , (−2, 0, 1, 3)) = . . . . . . . . . . . .

(d) Os vectores (1, 2, 0,−1) e (−2, 0, 1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ortogonais.

34. Sejam u = (4, 1, 2, 3) , v = (0, 2, 1,−2) e w = (3, 1, 0, 2) . Calcule:

(a) u · v(c) u · w(e) v · w(g) (−v) · (−w)

(i) ‖u‖ , ‖v‖ e ‖w‖(l) (2v − w) · (3u+ 2w) .

(n) ‖−2u‖+ 3 ‖v‖(p) cos] (v, w) .

(r) Um vector ortogonal a v

(b) v · u(d) u · (3w)

(f) (−v) · (2w)

(h) u · (v + w)

(j) (u+ v) · (w + v)

(m) ‖u+ v‖ e ‖u‖+ ‖v‖ .(o) ‖−2u+ 3v‖(q) cos] (u, v) .

(s) Um vector ortogonal a v e a w

35. Sejam u,v e w vectores de Rn, tais que

u · v = 3, v · w = 3, u · w = 1, ‖u‖ = 1, ‖v‖ =√

13 e ‖w‖ =√

5.

Calcule:

(a) w · v(c) (−w) · (2v)

(e) (u+ v) · (w + v)

(g) ‖u+ v‖ e ‖u‖+ ‖v‖ .(i) ‖−2u‖+ 3 ‖v‖(k) cos] (u, v) .

(b) (2w) · (−3w) .

(d) (−v) · (−w)

(f) (2v − w) · (3u+ 2w)

(h) ‖−2 (u+ v)‖(j) ‖−2u+ 3v‖(l) cos] (v, w)


36. Considere em R5 as afirmacoes:

(a) ‖(−1, 0, 2,−1, 3)‖ =√

15.

(b) ‖−2 (−1, 0, 2,−1, 3)‖ = −2√

15.

(c) ∀ (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5, (x1, x2, x3, x4, x5) · (x1, x2, x3, x4, x5) ≥ 0.

(d) (1, 2, 0,−1, 1) · (1, 2, 0,−1, 1) = 0

A lista correcta das afirmacoes verdadeiras e:

�(b) e (d) �(a), (b) e (c) �(a) e (b) �(a) e (c)

37. Sejam u e v vectores de Rn, satisfazendo u · v = 2, ‖u‖ = ‖v‖ =√

3. Entao ‖−4 (u+ 2v)‖ =

�4√

23 �12√

3 �0 �− 4√

23

38. Diga, justificando, se e verdadeira ou falsa, cada uma das seguintes afirmacoes:

(a) Se u e v sao dois vectores ortogonais de Rn, entao αu e βv tambem sao ortogonais, para quaisquer

numeros reais nao nulos α e β.

(b) Se {u, v, w, z} e um conjunto ortogonal em Rn, entao (u+ w) · (v + z) = 0.

(c) Se u e v sao vectores de Rn tais que ‖u‖ = ‖v‖ = 1, entao ‖u+ v‖ = 2.

(d) Se u, v e w sao vectores de Rn tais que u e ortogonal a v e v ortogonal a w, entao u e ortogonal a w.

39. Verifique que o conjunto de vectores {(2,−2, 1) , (2, 1,−2) , (1, 2, 2)} e ortogonal e transforme-o num conjunto

ortonormado por normalizacao dos vectores.

40. Determine para que valores de λ ∈ R sao ortogonais os seguintes pares de vectores:

(a) u = (1, 2,−1, 3) e v = (3, 2, λ− 5,−1) .

(b) u = (2, 0, 3, 0, 1) e v = (0, 0, λ+ 1, λ, λ− 2) .

41. Determine o conjunto dos vectores de R5 simultaneamente ortogonais a u = (1, 0, 1, 0, 1) , v = (0, 1, 0, 1, 0) e

w = (1, 1,−1, 1, 1) .

42. Sejam, em R4, u = (−1, 1, 0, 2) e v = (2, 0,−2, 1) .

(a) O conjunto dos vectores simultaneamente ortogonais a u e v e:

�

{(x, y, z, w) ∈ R4 : x =

1

2z − 1

2w e y =

1

2z − 5

2w

}

�

{(x, y, z, w) ∈ R4 : x =

1

2z − 1

2w e y = −1

2z +

5

2w

}

�

{(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z − 1

2w e y = z − 5

2w

}

�

{(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z +

1

2w e y = −z − 5

2w

}(b) Complete de modo a obter uma afirmacao verdadeira:

O conjunto {(−1, 1, 0, 2) , (2, 0,−2, 1) , ( , , , 2)} e ortogonal.


43. Para cada um dos grupos de vectores

(i) u = (1, 0, 0) , v = (0, 1, 0) , w = (0, 0, 1)

(iii)u = (3, 2,−1) , v = (0, 2,−3) , w = (2, 6, 7) .

(ii) u = (0, 0, 2) , v = (1, 0, 4) , w = (2, 1, 0) .

(iv)u = (1, 2, 4) , v = (1, 2, 4) , w = (−1, 2, 5) .

determine, se possıvel:

(a) (0, 0, 0)× v.

(b) w × (0, 0, 0) .

(c) u× v.

(d) u× w.

(e) v × w.

(f) v × u.

(g) w × u.

(h) w × v.

(i) (u+ w)× v.

(j) u× (v + w) .

(k) a equacao de um plano com a direccao de u e w e que passe pela origem.

(l) a equacao de um plano com a direccao de v e w e que passe pelo ponto de coordenadas (1, 2, 3).

(m) a area do paralelogramo definido por u e v.

(n) a area do paralelogramo definido por v e w.

44. Considere os vectores:

(i) u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (0, 0, 1)

(ii) u = (1, 2, 3), v = (0,−9, 4), w = (0, 0, 5).

(iii) u = (3, 2,−1), v = (0, 2,−3), w = (2, 6, 1) .

(iv) u = (1, 2, 4), v = (3, 4,−2), w = (2, 4, 8) .

Para cada conjunto u, v e w, determine, se possıvel:

(a) u · (v × w)

(b) (u× v) · w

(c) o volume do paralelipıpedo definido por u, v e w.

45. Sejam u = (−1, 2,−2), v = (0, 5,−3) e w = (0, 0, 7) . Entao:

(a) u× v =

� (0, 10, 6) � (8,−8,−6) � (0, 3, 16) � (4,−3,−5)

(b) O volume do paralelipıpedo definido por u, v e w e:

�− 42 �− 35 �35 �42

(c) A equacao geral do plano com a direccao de u e v e que passa pelo ponto de coordenadas (1, 0,−1) e:

�4x− 3y − 5z = 9 �8x− 8y − 6z = 0 �4x− 3y − 5z = 0 �8x− 8y − 6z = 14


5. Complementos de calculo diferencial.

46. Usando as regras de derivacao, calcule a derivada de cada uma das seguintes funcoes:

(a) x5 (b) x5 + 5

(c) 5− x5 (d) 3x5

(e)3√x7 (f)

13√x7

(g)3

73√x7

(h) 3 tanx

(i) xex (j) sinx cosx

(k) 2 lnx (l) x4 − 2x3 − 3x2 − 4x− 5

(m)1

x4+

2

x3+

3

x2+

4

x+ 5 (n)

3x

x− 1

(o)x

x2 + 1(p) tan (

√x)

(q) cot(−3x) (r) (x+ 1)2

(s)3x

(x+ 1)2 (t) 3x

(u) 3cos x (v) ln (2x)

(w) ln (ax) , a ∈ R\ {0} (x) e2x

(y) eax, a ∈ R\ {0} (z)ex − 1

ex+1

47. Sendo f (x) =√x, g (x) = x2, h (x) = cosx calcule:

(a) f ′ (b) g′

(c) h′ (d) (f + h)′

(e)

(−2f +

1

3g − 5h

)′(f) (f.h)

′

(g) (h.h)′

(h)

(f

h

)′(i)

(h

f

)′(j) (g ◦ f)

′

(k) (g ◦ h)′

(l) (f ◦ h)′

(m) (f ◦ g)′

(n) (h ◦ f)′

(o) (h ◦ g)′

(p) (f ◦ f)′

(q) (g ◦ g)′

(r) (h ◦ h)′

(s) (g ◦ h ◦ f)′

(t) (ln g)′

(u) (lnh)′

(v) (cot h)′

(w)(eh)′

(x) (eg)′

(y) (g (lnx))′

(z) (f (eg))′

′



(a)(x+ 5)

3

x+ 2(b)

√x+√x

(c)tan

(x2

)+ cot

(x2

)2

(d)tan

(x2

)+ cot

(x2

)x

(e) (1 + 3√x)

3(f) ln (cosx)

(g) sin (lnx) (h) esin x

(i)(sin2

(x3 + 1

)) (x2 + 2

)(j)√x2 − 1 + ln

(x3 − x

)(k) sin (cos (tanx)) (l) ln

(x2 − 1

)(m)

ex + e−x

2(n) ln

(1 + x

1− x

)(o)

ln (1 + 2x)

x(p)

x+ 1

x4 − 3x2 + 2x

(q) x sin

(1

x

)(r) e1−x +

π

4

(s) tan(π

4x)− π

2(t)

tan(ln(x2))

tan(π

4

) +2

e cos (π)

49. Calcule:

(a) arcsin

(√3

2

)

(c) arctan (−1)

(e) sin (arcsin (0.7))

(g) arctan(

tanπ

3

)(i) arcsin (cos 45o)

(k) cos

(arctan

1

2

)(m) sin2 (arcsin 0.2)

(b) arccos

(−1

2

)(d) arccot (1)

(f) cos (arcsin (0.7))

(h) arccot(

cotπ

4

)(j) arcsin (cos 40o)

(l) tan (arctan 1125)

(n) sin (arccos 0.35)

50. Usando o teorema da derivada da funcao inversa, determine:

(a) (arccosx)′

(b) (arctan x)′

(c) (arccot x)′


51. Usando formulas trigonometricas, simplifique as expressoes:

(a) sin (arccosx)

(b) cos (arctanx)

(c) tan (arccosx)

52. Para α ∈ R,

(a) arcsin (cosα) =

�α �π

2− α �

√1− α2 �π − α

(b) tan (arctanα) =

�α �π

2− α �

√1− α2 �π − α

53. cot (arcsinx) =

�x√

x2 + 1

�

√1− x2x

�1√

x2 + 1

�x√

1− x2


(a) 2 arcsinx

(c)arcsinx

3

(e) arcsin 2x

(g) arcsin(x8)

(i) arcsin

(x− 2

3

)(k) x arcsinx

(m) ln (arcsinx)

(o) arcsin

(1

x

)(q) −1

3arctanx

(s)√x arctanx

(u) x arctan ex

(w) arccot(x3)

(y)arccotx

x

(b) − arccosx

(d) −2 arccosx

21

(f) arccos(x2 − 3x

)(h) (arcsinx)

8

(j) arccos

(x− ba

), para a, b ∈ R.

(l) x2 arccosx

(n) (ln (arcsinx))5

(p)1

xarccos (x)

(r) arccot(−x

3

)(t) arctan ex

(v) ex arctanx

(x)√

arccot (x3)

(z) arccot( ax2

), a ∈ R,


6. Integracao.

55. Diga, justificando, se e verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmacoes:

(a) Se g (x) e uma primitiva de f (x), entao g′ (x) = f (x).

(b) Se g1 (x) e g2 (x) sao primitivas da mesma funcao, entao g1 (x) = g2 (x) .

(c) Uma funcao primitivavel tem um numero infinito de primitivas.

(d) Uma funcao contınua num intervalo I e primitivavel nesse intervalo.

(e) Duas primitivas de uma mesma funcao diferem por uma constante.

(f) Se g (x) e uma primitiva de f (x), entao, para qualquer k ∈ R, kg (x) e uma primitiva de de kf (x).

(g) Se g1 (x) e g2 (x) sao, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), entao (g1 + g2) (x) e uma primitiva

de (f1 + f2) (x) .

(h) Se g1 (x) e g2 (x) sao, respectivamente, primitivas de f1 (x) e f2 (x), entao (g1g2) (x) e uma primitiva de

(f1f2) (x) .

Em todos os exercıcios que se seguem, as funcoes consideram-se definidas em intervalos reais

nas quais sejam primitivaveis.

56. Para k ∈ R:

(a)∫

1dx =

�k �x �x+ k �0

(b)∫xdx =

�1 �x2 + k �x2

2�x2

2+ k

(c)∫

sinxdx =

� cosx+ k �− cosx+ k � sinx+ k �x2

2+ k

(d)∫t2dt =

�2t+ k �t3 + k �t3

3+ k �3t+ k

(e)∫etdt =

�et �et

2+ k �et + k �tet−1 + k

(f)∫ 1

tdt =

�− 1

t2+ k � ln t+ k � ln |t|+ k �− t−1 + k

(g)∫ 1

1 + t2dt =

� arctan (1 + t)2

+ k �− 1

t+ 1+ k � ln

(1 + t2

)+ k � arctan t+ k


57. Encontre a expressao geral das primitivas de cada uma das seguintes funcoes:

(a) f (x) = 0

(c) f (x) = a (a ∈ R)

(e) f (x) = 9x

(g) f (x) = ax+ b (a, b ∈ R)

(i) f (x) = 7x2 − 9x+ 5

(k) f (x) = x13

(m) f (x) = 5x8

(o) f (x) =1

x7

(q) f (x) = 7x−135

(s) f (x) =√x+

1√x

(u) f (x) =1

x lnx

(w) f (x) = 3x

(y) f (x) = e−x5

(b) f (x) = 3

(d) f (x) = x

(f) f (x) = 9x+ 4

(h) f (x) = x2

(j) f (x) = ax2 + bx+ c (a, b, c ∈ R)

(l) f (x) = x1317

(n) f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x+ 6

(p) f (x) =1

x5+

2

x4+

3

x3+

4

x2+

5

x+ 6

(r) f (x) =17√x13

(t) f (x) =x3 + x2 + x

x5

(v) f (x) =7

5√x13

(x) 2 sinx− 3 cosx

(z) f (x) = eax (a ∈ R)

58. Em cada alınea, determine a primitiva da funcao f (x) = 2x:

(a) que para x = −1 toma o valor 4.

(b) cujo grafico passa pelo ponto de coordenadas (0,−2)

Interprete geometricamente os resultados obtidos.

59. Em cada alınea determine a funcao f cuja derivada e f ′ e cujo grafico passa no ponto Q definido pelas suas

coordenadas:

(a) f ′ (x) = 2 sinx− 3 cosx; Q

(π

4,

3√2

).

(b) f ′ (x) =1

x; Q (5, 0) .

(c) f ′ (x) =x

x2 + 1; Q (0, 5) .

(d) f ′ (x) = 2x (x+ 1) ; Q (2, 0) .

(e) f ′ (x) = −3 + x2 + x3; Q (1, 5) .

60. Determine a funcao f (x) tal que f ′′ (x) = x− e−2x, f ′ (0) = −1 e f (0) = 0.


61. Calcule o conjunto das primitivas de cada uma das seguintes funcoes:

i. f (x) = −2xe−x2

iii. f (x) = tanx

v. f (x) =cosx− sinx

sinx+ cosx

vii. f (x) =1

1 + 3x2

ix. f (x) =a

b+ cx2, (a, b, c ∈ R)

xi. f (x) =x

1 + 4x2

xiii. f (x) =2 cosx

1 + sinx

xv. f (x) =2 sinx

(1 + cosx)3

xvii. f (x) =

√3√

1− 3x2

xix. f (x) =1√

4− 5x2dx

xxi. f (x) =1

x ln2 x

xxiii. f (x) =1

ex + e−x

xxv. f (x) = sin2 x

ii. f (x) = xe−x2

iv. f (x) = cotx

vi. f (x) = − 5

1 + x2

viii. f (x) =5

2 + 3x2

x. f (x) =2x

1 + x2

xii. f (x) =x

(x2 + 1)2

xiv. f (x) =1− cosx

sin2 x

xvi. f (x) = ex cos (ex)

xviii. f (x) =1√

1− 4x2

xx. f (x) =x√

1− 2x4

xxii. f (x) =sin√x√

x

xxiv. f (x) = cos2 x

62. Se possıvel. de exemplos de:

(a) Duas primitivas da funcao f (x) = ex

(b) Uma funcao cuja derivada seja o dobro dela propria.

(c) Duas funcoes f e g tais que P (fg′) = fg − P (f ′g)

63. A funcao f (x) = eax, a ∈ R, admite como primitiva:

�a

eax�aeax �

eax

a�eax

64. A funcao f (x) =1

bx, b ∈ R admite como primitiva:

� ln bx �1

blnx � ln

1

bx�b lnx

65. P

(1√x3

)=

�1√3x2

+ k, k ∈ R

�− 2√x

+ k, k ∈ R

�− 3

2√x5

+ k, k ∈ R

�− 2

5√x5

+ k, k ∈ R

66. Se f ′ (x) = 3x2 e f (2) = 15, entao

�f (x) = x3 + 15 �f (x) = x3 + 2 �f (x) = x3 + k �f (x) = x3 + 7

67. Determine a funcao g, definida e duas vezes diferenciavel em[0,π

2

[, tal que

g′′ (x) =3 + tanx

cos2 x, g′ (0) = 0 e g (0) = 1


68. Considere uma funcao f (x) tal que

1∫−4

f (x) dx = 4,

4∫1

f (x) dx = 2.

(a) O valor de1∫1

f (x) dx e

�6 �2 �0 � nao existe

(b) O valor de1∫−4

2f (x) dx e

�5 �6 �7 �8

(c) O valor de1∫4

f (x) dx e

�− 2 �− 4 �0 �2

(d) O valor de4∫−4f (x) dx e

�5 �6 �7 �8

69. Considere funcoes f (x) e g (x) tais que

4∫−4

f (x) dx = 2,

4∫1

f (x) dx = 3 e

1∫−4

(f (x) + g (x)) dx = 5.

O valor de1∫−4

(5f (x) + g (x)) dx e

�25 �0 �1 �5

70. Considere funcoes f (x) e g (x) tais que1∫0

f (x) dx = 2 e0∫1

g (x) dx = 3.

(a) O valor de1∫0

(f (x) + g (x)) dx e

� 0 �5 �− 1 �depende de f e g

(b) O valor de1∫0

f (x)

g (x)dx e

�0 �2

3�− 2

3�depende de f e g

71.2∫1

(2x+ 1) dx =

�4 �5 �6 �7

72. A expressao geral de ϕ (x) =

13∫x

e3t dt e

�e−1 − e−3x �e

3− e3x

3�− e−1

3+e−3x

3�e− e3x


73. Calcule:

(a)20∫−10

0 dx (b)5∫−1

2 dx

(c)5∫−1

3 dx (d)5∫−1a dx

(e)2∫−1

9x dx (f)2∫−1

(9x+ 4) dx

(g)2∫−1

3t2 dt (h)8∫−1

3t2 dt

(i)x∫−1

3t2 dt (j)1∫0

1

1 + x2dx

(k)5∫0

2x

1 + x2dx (l)

0∫− 1

3

e−3x dx

(m)

12∫0

3√1− x2

dx (n)1∫0

3x dx

(o)5∫1

1

x7dx (p)

π3∫0

(2 sinx− 3 cosx) dx

(q)8∫1

13√x4

dx (r)

12∫0

1

1 + 4x2dxπ

(s)0∫−1

3√1− x2

dxπ (t)e∫1

ln2 x

xdx

(u)4∫1

x√2 + 4x2

dx (v)π∫0

|cosx| dx

(w)

π4∫0

(tanx) dx (x)1∫0

arcsinx dx

(y)e∫1

lnxdx (z)2∫−1−2xe−x

2

dx

74. Em cada alınea determine a area da regiao limitada pelo eixo das abcissas e por:

(a) y = −x2 + 4x.

(b) y = x2 − 4.

(c) y = x3, x = −2 e x = 1.

(d) y =1

x, x = 1 e x = e.

75. Em cada alınea determine a area da figura limitada por:

(a) x+ y + 2 = 0 e y = −x2.

(b) y = cosx, y = − cosx e −π ≤ x ≤ π

76. Determine as areas dos seguintes conjuntos:

(a){

(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2x}.

(b){

(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e x2 ≤ y ≤ 2x}.

(c){

(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ |x|}.


77. Mostre que a area da regiao limitada pelos graficos:

(a) y = 4− x2, y = 0, x = −1 e x = 1 e22

3.

(b) y = x(x− 1)(x− 2) e y = 0 e1

2.

(c) y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0 e 22.

(d) y = 1− x2 e y = x− 1 e9

2.

78. Determine a expressao geral (sem o sinal de integral) de cada uma das seguintes funcoes

(a) ϕ (x) =x∫1

4 dt

(b) ϕ (x) =1∫x

4 dt

(c) ϕ (x) =x∫−x

4 dt

(d) ϕ (x) =2−x∫−1

(2t+ 4) dt

(e) ϕ (x) =2∫x

t dt

(f) ϕ (x) =2x∫x

1

1 + t2dt

(g) ϕ (x) =x∫− 1

3

e−3t dt

(h) ϕ (x) =x∫0

2t

1 + t2dt

(i) ϕ (x) =x∫0

t√1− 2t2

dt

(j) ϕ (x) =5x−2∫x

ln t

tdt

(k) ϕ (x) =

x2∫x

3√1− t2

dt

(l) ϕ (x) =1∫x

1

tdt

(m) ϕ (x) =x∫1

1√t3dt

(n) ϕ (x) =x∫0

(2 sin t− 3 cos t) dt

79. Determine a derivada de cada funcao definida no exercıcio anterior:

(a) Usando a expressao da funcao.

(b) Usando o teorema fundamental do calculo integral.


80. Se ϕ (x) =x∫2

3t2dt entao ϕ′ (x) =

�6x3 �x3 − 8 �3x2 �3x2 − 12

81. Se ϕ (x) = −1∫

cos x

t√1 + 4t

dt entao ϕ′ (x) =

� − x√1 + 4x

�sinx cosx√1 + 4 sinx

�− sinx cosx√1 + 4 cosx

� − sinx√1 + 4x

82. Usando o metodo de primitivacao por partes, primitive as funcoes:

(a) f (x) = x sinx

(b) f (x) = lnx

(c) f (x) = ln2 x

(d) f (x) = x lnx

(e) f (x) = arcsinx

(f) f (x) = x arctanx

(g) f (x) = ex sinx

83. Complete a decomposicao da seguinte funcao racional:

x+ 3

x+ x2 − 2=

. . .

x− . . .+

. . .

x− . . .84. Decomponha numa soma de fraccoes simples as seguintes funcoes racionais:

(a)x+ 3

x2 − 5x+ 6

(b)x− 3

(x+ 1) (x2 + x− 2)

85. Sendop (x)

q (x)=

A

x− a+

B

x− b, com a, b, A,B ∈ R, calcule P

(p (x)

q (x)

).

86. Calcule, utilizando o metodo de decomposicao, as seguintes primitivas:

(a)∫ 1

x2 − 5x+ 6dx (b)

∫ x+ 3

x2 − 5x+ 6dx

87. Calcule, utilizando o metodo de substituicao (e, possivelmente, mais algum metodo), primitivas das seguintes

funcoes:

(a) f (x) =2√x

√x

(b) f (x) =1√

ex − 1

(c) f (x) =ex

ex + e−x(d) f (x) =

e3x + ex2

ex − 1

(e) f (x) =√

1− x2 (f) f (x) =x√

2 + 4x

(g) f (x) =

√x− 1

x(h) f (x) =

cosx

6− 5 sinx+ sin2 x

Sugestoes: (a)t =√x (b)t =

√ex − 1 (c) t = ex (d) t = e

x2 (e) x = sin t (f) t =

√2 + 4x (g) t =

√x− 1 (h)

t = sinx


88. Ao efectuar a substituicao t =√

1 + 3x para calcular o integral8∫5

x√1 + 3x

dx obtem-se:

�5∫4

t2 − 1

3tdt �

8∫5

2t2 − 2

9dt �

8∫5

t2 − 1

3tdt �

5∫4

2t2 − 2

9dt

89. Ao efectuar a substituicao t = ex para calcular o integral3∫1

(e2x + 1

)ex

e2x − ex + 1dx obtem-se:

�e3∫e

t2 + 1

t2 − t+ 1dt �

3∫1

t2 + 1

t2 − t+ 1dt �

e3∫e

(t2 + 1

)t

t2 − t+ 1dt �

3∫1

(t2 + 1

)t

t2 − t+ 1dt

90. Ao efectuar a substituicao t = sinx, para calcular o integral

π2∫0

(cosx

sin2 x+ sinx

)dx obtem-se:

�

π2∫0

1

t2 + tdt �

π2∫0

√1− t2t2 + t

dt �1∫0

1

t2 + tdt �

1∫0

√1− t2t2 + t

dt

91. Calcule, por partes, os seguintes integrais:

(a)1∫0

x sinx dx

(b)e∫1

x lnx dx

(c)1∫0

x arctanx dx

(d)1∫0

arccotx dx

92. Calcule, utilizando o metodo de decomposicao, os seguintes integrais:

(a)1∫0

1

x2 + 2x− 8dx

(b)6∫4

x2 − 1

(x+ 5) (x− 2) (x− 3)dx

93. Calcule, utilizando o metodo de substituicao (e, possivelmente, o metodo de decomposicao), os seguintes

integrais:

(a)e2∫e

2

x(ln2 x+ 2 lnx

)dx(b)

4∫1

x√2 + 4x

dx

(c)5∫1

√x− 1

xdx

(d)

π2∫0

cosx

6− 5 sinx+ sin2 xdx


7. Equacoes diferenciais ordinarias.

94. Em cada uma das alıneas assinale a resposta verdadeira:

(a) y′ = y admite como solucao

�y = x �ex + k, k ∈ R �kex, k ∈ R �y = 1

(b) y′ = 5y admite como solucao

�y = 5x �y = e5x �y =x

5�y = e5x + k

(c) A equacao diferencial (y′)2

+ xy′ − y = 0 admite como solucao

�y = x2 �y = 1 �y = 2x+ 4 �y = 2x+ 2

(d) O problema de Cauchy y′ = 3y, y (0) = 5 admite como solucao

�y = 5e3x �y = e3x �y = 3e5x �y = 0

95. Considere a equacao diferencial x2y′′ − xy′ − 3y = 0.

(a) Verifique que, para quaisquer a, b ∈ R, a funcao y = ax3 +b

xe solucao da equacao dada, em R\ {0}.

(b) Use o resultado da alınea (a) para resolver o problema de valores iniciais:

x2y′′ − xy′ − 3y = 0, y (1) = 2, y′ (1) = −6.

96. Resolva as seguintes equacoes diferenciais de variaveis separaveis:

(a) y′ =x

y(b) y′ =

y

2x

(c) yy′ + x = 0 (d) y′ + y2 sinx = 0

(e) y′ =1 + y2

x2(f) y′ =

sinx

cos y

(g) y′ = 1 + y2 (h) y′ = ey

97. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:

(a)

y′ = 5y

y (0) = −1

3

(b)

(1 + x2

)y′ + y = 0

y (1) = 1

(c)

y′ + xy = x

y (0) = −1

2

(d)

y′ =

sinx

cos y

y (π) =e2

2

98. Resolva as seguintes equacoes diferenciais lineares:

(a) y′ + y = 0 (b) y′ + y = x

(c) y′ + 2y = 0 (d) y′ + 2y = 3

(e) y′ − 2y

x= 0 (f) y′ − 2y

x= x2

(g) y′ + y tanx = cos2 x (h) y′ + 3y = x+ e−2x

(i) y′ + y = e−x (j) y′ − 2y = x2e2x


99. Considere a equacao diferencial linear y′ +y

x=ex

x.

(a) Verifique que y =ex

xe solucao da equacao diferencial dada.

(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial homogenea associada.

(c) Utilize as alıneas anteriores para determinar a solucao geral da equacao diferencial dada.

100. Considere a equacao diferencial linear y′ cosx− y sinx = 1.

(a) Verifique que y =x

cosxe solucao da equacao diferencial dada.

(b) Determine a solucao geral da equacao diferencial homogenea associada.

(c) Utilize as alıneas anteriores para determinar a solucao geral da equacao diferencial dada.

101. Resolva os seguintes problemas atraves de equacoes diferenciais:

(a) Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce proporcionalmente a quantidade de bacterias presente em

qualquer instante. Ao fim de uma hora observam-se 1000 bacterias na cultura e apos quatro horas ha

3000 bacterias. Determine o numero de bacterias em qualquer instante assim como o numero inicial de

bacterias na cultura.

(b) A populacao de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao numero de habitantes existente. Em 1900

a populacao era de 30000 habitantes e em 1910 de 35000. Qual foi a populacao estimada para 1950?

(c) Sabe-se que o nucleo de certa substancia radioactiva diminui a uma taxa proporcional a quantidade

existente numa amostra inicial. O meio-tempo de vida desta substancia e de 1500 anos. Quantos anos

decorrem ate se obter um decimo da amostra inicial?

(d) O carbono radioactivo C14 representa uma importante ferramenta de datacao. A razao entre C14 e o

carbono (“normal”) C12 em seres vivos e na atmosfera e constante. Quando um organismo morre, deixa

de absorver C14 atraves da alimentacao e respiracao. Deste modo, e possıvel determinar a idade de um

fossil sabendo a razao entre os carbonos no fossil e a da atmosfera (W. Libby, Premio Nobel da Quımica,

1960). Sabendo que o C14 se desintegra a proporcao de −1, 2× 10−4 (aproximadamente) da quantidade

de substancia existente, determine:

i. o meio-tempo de vida do C14.

ii. a idade de um osso fossilizado que contem 25% de C14.

(e) Um corpo com peso igual a 2,5kg cai verticalmente partindo do repouso. A resistencia do ar e de 2v, onde

v e a velocidade do corpo (em m/s). Ao fim de quantos segundos e que o corpo atinge uma velocidade

de 1 m/s?

(f) Dois remadores e um barco pesam 200kg. Os remadores exercem uma forca de 30N no barco e a

resistencia da agua e igual a 3/2 da velocidade (em m/s). Se o barco partiu do repouso, qual e a

velocidade ao fim de um minuto?

(g) Uma carga, com peso igual a 40kg, parte do repouso e esta a ser transportada sobre o gelo sujeita a uma

forca de 20N. Desprezando a resistencia do gelo e sabendo que a resistencia do ar e igual a 7, 5 vezes a

velocidade (em m/s) da carga, determine a velocidade atingida em 8s. Qual foi a distancia percorrida?

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