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Matemática Aplicada às Operações Financeiras Prof.Cosmo Rogério de Oliveira
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
CONCEITUAÇÃO:
Capitalização simples é a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide somente sobre o valor nominal (capital inicial) aplicado.
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Apresentação Prof. Cosmo ROGERIO de Oliveira Mestre em Controladoria e
Contabilidade FEA/USP; Prof. Univ Estad Londrina-UEL, INBRAPE 12 anos na carreira docência –
Universidades. 11 anos de experiência em empresas de
grande porte (controladoria).
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Avaliação
Encontros 06/05; 20/05 e 03/06
03 avaliações 02 individuais e 01 em grupo
(estudos de casos); Presença mínima 75%
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Programa – 1o encontro Conceitos Básicos
Conceitos gerais: porcentagem; juros, abatimentos e acréscimos, taxa de juros, diagrama de fluxo e caixa;
Regime de Capitalização dos juros; Equivalência de valores no tempo;
Formas de Apresentação de Taxas de Juros
Conceitos Taxa Nominal; Taxa Efetiva;
Cálculo da Taxa Efetiva.
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Programa – 2o. encontro Séries de Pagamentos
Conceitos e classificações; Cálculo das parcelas; Cálculo do valor atual.
Séries Uniformes ou Rendas Serie Uniforme Postecipada; Serie Uniforme Antecipada; Serie Uniforme Diferida.
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Programa – 3o encontro Equivalência de Fluxos de Caixa Taxa Interna de Retorno - TIR Sistemas de Amortização de Empréstimos,
Cheque Especial; Métodos de Análise de Investimentos,
inflação e câmbio Empréstimos e Financiamentos Bancários
Sistema de Amortização Americano;; Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema
Price; Sistema de Amortização Constante (SAC) ou
Sistema Hamburguês;
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
ELEMENTOS1. Juros (J = VP.i.n): Remuneração sobre o capital
aplicado em determinado período;
2. Capital Inicial ou Valor Presente (VP): Valor nominal, aplicado com objetivo de obtenção de juros;
3. Taxa de Juros (i): Porcentual aplicado sobre o capital inicial para se determinar o valor dos juros.
4. Montante ou Valor Futuro (VF): É o valor do capital nominal somado os juros do período.
5. Tempo (n): Período pelo qual o qual é investido (dias, meses, bimestres, trimestres, anos)
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Notações Utilizadas1. C ou VP Valor aplicado ou Valor Presente;
2. n números de períodos que o capital será aplicado;
3. r Taxa de juros centesimal (p/ período) expressa em %;
4. i Taxa de juros unitária (p/ período) expressa em décimos;
5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda);
6. M ou VF Montante ou Valor Futuro
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
FÓRMULAS1. Taxa Unitária
2. Juros
3. Montante ou VF
r
i = -------
100
VF = VP. ((1+(i.n))
ou
VF = VP + J
J = VP.i.n
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DESCONTOS
(descapitalização)
SIMPLES
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DESCONTOS (descapitalização)
SIMPLES
CONCEITUAÇÃO:
• Desconto é a diferença entre o Valor Nominal (Bruto) e o Valor Atual (Líquido) de um título que será liquidado antes do seu vencimento.
• Abatimento dado sobre o valor nominal (geralmente títulos de crédito) quando este é resgatado antecipadamente.
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES -ELEMENTOS
1. Valor Nominal: Valor bruto do título;
2. Valor Atual: Corresponde ao valor líquido da operação de desconto;
3. Desconto: Diferença entre o valor nominal (Bruto) e o valor Atual (líquido).
4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido;
5. Tempo: Período pelo qual será antecipada a liquidação do título;
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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - Notações
VB ou VN Valor Bruto ou Valor Nominal, ou seja, o valor futuro do título;
1. n números de períodos que o título será descapitalizado;
2. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %;
3. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos;
4. D Valor total dos Desconto (expresso em moeda);
5.VA ou VL Valor Atual ou Valor Líquido, ou seja, o valor presente do título
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DESCAPITALIZAÇÃO SIMPLES - FÓRMULAS
Taxa Unitária
1.Desconto
2.Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)
3. Valor Atual (VA) ou Valor Líquido (VL)
r i = ------- 100
VL = VN. (1-(i.n))
ou
VL = VN - D
D = VN.(i.n)
VB = VL/((1-(i.n))
ou
VB = VL + D
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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS
JUROS SIMPLES
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1. Um investidor aplicou, a juros simples, a importância de R$ 50.000,00, à taxa de 2% a.m pelo prazo de 18 meses. Determinar o ganho sobre o capital aplicado.
Substituindo-se
J = 50.000*((2/100)*18)
Fórmula
J = VP.i.n
Resultado
J = 18.000
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2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ 20.000,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago:
a) Se o devedor quitar a duplicata no dia 20/05/X6, quanto pagará de encargos?
Substituindo-se
J+multa = 20.000*((5%/30*25)+10%)
Resultado
J+multa = 2.833,33
Fórmula
J = VP.((i+multa).n)
a)
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Substituindo-se J+multa+adicional=
20.000*(((5%/30*45)+0,10)+(0,5%*6))
Resultado
J+multa+adicional = 4.100,00
Fórmula
J = VP.((i+multa).n)
b)
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2. Uma empresa tem em seu poder uma duplicata no valor de R$ 20.000,00 com vencimento para 25/04/x6. A política de cobrança da empresa estabelece que seja cobrado, dentro dos primeiros 45 dias de 10% de multa e juros de 5% a.m. sobre o valor do título. Após este período será adicionado mais 0,5% de encargos ao dia de atraso. Qual será o valor pago:
b) Se o devedor quitar a duplicata no dia 15/06/X6, quanto pagará de encargos?
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3a. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.
a) Qual é a taxa de juros anual imposta pelo fornecedor?
Substituindo-se
I (a) = (333,33/800/5*12)
Resultado
i(a) = 100%
Fórmula
i (a) = (J/VP/5*12)
a)
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3b. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.
b) Qual seria o valor pago, caso a empresa resolva pagá-lo no 3º mês subseqüente, considerando um desconto de 5% a.m.?
Substituindo-se
VL=1.133,33*(1-(0,05.2))
Resultado
VL = 1.020,00
Fórmula
VL=VB*(1-(i.n))
b)
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3c. Uma empresa adquire de seu fornecedor um determinado produto cujo preço a vista seria R$ 800,00 por R$ 1.133,33 obtendo-se assim um prazo para pagamento único de 5 meses.
c) Qual seria o valor do pagamento no 8º, considerando além dos juros, uma multa de 10% sobre o valor principal?
Substituindo-se / Resultado i = (333,33/800/5) ,0833333 VF = 800.(1+(0,0833.8)+0,10) = 1.413,33
Fórmulas
i = (J/VP/5)
VF = VP.(1+(i.n)+multa)
c)
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4. Um investidor aplica R$ 50.000,00 à taxa de 3,375% ao trimestre.
a) Durante quanto tempo este capital deve ser aplicado para render R$ 3.000,00?
b) b) Quanto tempo levaria para render os mesmos R$ 3.000,00 descontando-se IR de 20%?
Resultadoi (diária) = 0,03375 / 90 0,000375i (total) = 3.000 / 50.000 0,06n = 0,06 / 0,000375 160 dias ou 5m 10d
Fórmulasi (diária) = i / 90
i (total) = J / VP
n = i (total) / i (diária)
a)
Resultadoi (diária) = 0,03375 / 90 0,000375i (total) = 3.750 / 50.000 0,075n = 0,075/0,000375 200 dias ou 6m 20d
Fórmulasi (diária) = i / 90
i (total) = J / VP
n = i (total) / i (diária)
VBrutoIR = 3.000/(1-0,20)
b)
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5. Determinar o capital necessário a se investir, considerando-se juros de 36% a.a., para se obter o ganho de R$ 1.800,00 em um período de 15 meses?
Substituindo-se
1.800 = VP.(0,36/12.15)
Resultado
VP = 4.000,00
Fórmula
J = VP.((i+m).n)
Invertendo os lados
-VP.0,45 = -1.800 .(1)
Substituindo-se
1.800 = VP.0,45
Substituindo-se
VP = 1800/0,45
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6a. Qual o montante que retornará para um investidor que aplicou R$ 20.000,00 pelo prazo de 11 meses a taxa de juros de 3,8% ao bimestre?
6b.Qual seria o valor do rendimento considerando-se uma taxa anual de 22,8%.
Substituindo-se
VF = 20.000*(1+(0,038/2*11)
Resultado
VF = 24.180,00
Fórmula
VF = VP.(1+(i.n))
a)
Substituindo-se
J = 20.000*(0,228/12*11)
Resultado
J = 4.180,00
Fórmula
J = VP.((i+m).n)
b)
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4ª AULA - JUROS
(capitalização) COMPOSTA
Prof. Rogério
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CONCEITUAÇÃO
É a operação que determina o crescimento do capital quando a taxa de juros incide sobre o valor do “montante”em cada período.
Capitalização Composta
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ELEMENTOS1. Valor Presente (Atual): Valor nominal do título;
2. Montante (Valor Futuro): Corresponde ao valor atual (VP) somado aos juros calculados no período;
3. Juros: Diferença entre o valor nominal (VP) e o Montante (VF).
4. Taxa: Porcentagem (representada em decimais) aplicada sobre o Valor Bruto para o cálculo do Valor Líquido;
5. Tempo: Período pelo qual será cálculo os juros sobre o título.
Capitalização Composta
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Notações Utilizadas1. VP ou VN Valor Presente ou Valor Nominal;
2. n números de períodos que o título será capitalizado;
3. r Taxa de desconto centesimal (p/ período) expressa em %;
4. i Taxa de desconto unitária (p/ período) expressa em décimos;
5. J Valor total dos Juros (expresso em moeda);
6. M ou VF Montante ou Valor Futuro.
Capitalização Composta
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FÓRMULAS1. Taxa Unitária
2. Juros
3. Montante (M) ou Valor Futuro (VF)
4. Taxa de Juros
5. Tempo
r i = ------- 100
VF = VP*((1+i)n)ou
VF = VP + J
J = VP*((1+i)n – 1)
i = VF
VP
1/n
-1 *100
n = Log Log (1+i)
VFVP
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Exemplo: Série UniformeMês(n)
Valor Inicial (VP)
Juros(J)
Montante(VF)
1 $ 1.000,00 $ 100,00 $ 1.100,00
2 $ 1.100,00 $ 110,00 $ 1.210,00
3 $ 1.210,00 $ 121,00 $ 1.331,00
4 $ 1.331,00 $ 133,10 $ 1.464,10
5 $ 1.464,10 $ 146,41 $ 1.610,51
Pagamento no 5o. Período $ 1.610,51
31
Exemplo: Série UniformeA) Calcular o valor do montante, com base nos seguintes dados:
VP = $ 1.000,00
i = 10% a.m.
n = 5
VF = ?
VP = 1.000
VF = ?i = 10%
n = 5
VF = VP*((1+i)n)
RESOLUÇÃO
VF = 1.000*((1+0,10)5)
VF = 1.610, 50VF = 1.000*1,6105
32
Exemplo: Série UniformeB) Calcular o valor da taxa, com base nos seguintes dados:
VP = $ 1.000,00
i = ?
n = 5
VF = $ 1.610,51
VP = 1.000
VF = 1.610,51i = ?
n = 5
RESOLUÇÃO
i = VF
VP
1/n
-1 *100
i = 1,61051
0,20
-1 *100
*100
i = 1.610,51
1/5
-11.000,00
i = 1,100 – 1 *100 i = 10%
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Exemplo: Série UniformeB) Calcular o tempo da aplicação, com base nos seguintes dados:
VP = $ 1.000,00
i = 10%
n = ?
VF = $ 1.610,51
VP = 1.000
VF = 1.610,51i = 10%
n = ?
RESOLUÇÃO
n = Log Log (1+i)
VFVP
n = Log Log 1,10
1,61051
n = Log Log (1+0,10)
1.610,511.000,00
0,206963n =
0,041392n = 5
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5ª AULA – Taxa Nominal de Juros e
Taxa Efetiva de JurosProf. Rogério
35
CONCEITUAÇÃO
Taxas Nominal e Efetiva
Taxa Nominal: É a taxa de juros expressa para um período de tempo diferente do
período de capitalização dos juros.
Taxa Efetiva: É a taxa de juros expressa para um período de tempo idêntica ao do período
de capitalização dos juros.
36
Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva
EXEMPLOS: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização
trimestral
Taxas Nominal e Efetiva
FÓRMULA
-1i = r
n
n
1 + i = 0,30
4
4
-11 + i = 33,55% a.a.
37
Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva
EXEMPLO: Qual é a taxa efetiva de 30% a.a. com capitalização trimestral
Taxas Nominal e Efetiva
Resolução
-1i = r
n
n
1 + i = 0,30
4
4
-11 + i = 33,55% a.a.
38
Outro exemplo: Qual é a taxa efetiva resultante de 12% a.a. com
capitalização mensal
Taxas Nominal e Efetiva
Resolução
-1i = r
n
n
1 + i = 0,12
12
12
-11 + i = 12,683% a.a
Prova Real M= 1.000 * (1,01)12
M= 1.126,83
M= 1.000 * (1, 12683)1
M= 1.126,83
ou
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Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor
precisou antecipar o resgate em 04 meses e negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-
se:a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42
c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537%
40
Conversão de Taxa Nominal p/Efetiva
Taxas Nominal e Efetiva
FÓRMULA -1i = r
n
n1 +
VP=VF/(1+i)n
VF=VP*(1+i)n
Conversão de Taxa Nominal p/ Efetiva
Cálculo de Valor Futuro
Cálculo de Valor Presente
i = VF VP
1/n
-1 *100
Cálculo da Taxa Eetiva
41
Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de
juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e
negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se:
a) Qual é o valor de resgate no título no vencimento? R. R$ 5.049,91
VP = 4.000
i = 24% a.a.
Cap. Trim.
n = 4
P(1) ?
VF=VP*(1+i)n VF=4000*(1+(0,24/4))4
VF=5.049,91
42
Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de
juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e
negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se:
VP = 4.000
i = 30% a.a.
Cap. Bim.
n= 4 trim
n= 5 bim
5.049,91P(1) ?
b) Qual foi o valor negociado do título? R. R$ 4.580,42
VP=VF/(1+i)n VF=5.049,91/(1+(0,30/6))2
VF=4.580,42
43
Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
1. Uma aplicação de R$ 4.000,00 foi efetuada em um título resgatável somente ao final de 12 meses, a uma taxa de
juros de 24% a.a. capitalizada trimestralmente. O investidor precisou antecipar o resgate em 04 meses e
negociou a venda do título à taxa de juros de 30% a.a. com capitalização bimestral. Pede-se:
P2 = 5.049,91
c) Qual foi a taxa anual efetiva (em %), obtida? R. i=22,537%
i=((4.580,42/4.000,00)^(12/8)-1)*100
i = 22,537%
VP = 4.000
i = ?? a.a.
n= 4 trim
n= 4 bim
P1 = 4.580,42
i = VF VP
1/n
-1 *100
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Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se:
a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a
b) No caso do item a) se a instituição financeira retivesse o montante líquido da aplicação por 6 (seis) dias além do prazo contratado, sem qualquer remuneração, qual seria a rentabilidade líquida obtida pelo investidor, em taxa de juros anual? R. 22,502% a.a
45
Exercício de fixação: Taxa Nominal e Efetiva
2. Um investidor fez uma aplicação financeira à taxa de juros de 27% a.a, com capitalização bimestral. Na data do resgate da aplicação são descontados a título de imposto de renda 20% sobre o ganho nominal obtido. Se o prazo da operação é de 04 meses, pede-se:a) Qual a rentabilidade obtida pelo investidor, em taxa de juros efetiva ao ao? R. 23,752% a.a
VP = 1.000
i = 27% a.a.
Cap. bim.
n = 4
P(1) ?-0,20 IR
VF=VP*(1+i)n VF=1000*(1+(0,27/6))2
VF=1.092,03Valor
Bruto
VL=((VF-1000)*(1-IR)+1000)Valor
Liquido
VL=(92,03*0,8)+1000) VL=1.073,24
Taxa
Efetiva
Anual
i = VF VP
1/n
-1 *100VL=(1.073,24/1000)^6/
2VL=23,752%