Elementos de Mquinas 3 Mquinas simples Objetivos Ao fim desta unidade o participante dever ser capaz de: -Identificar as mquinas simples; -Determinar a vantagem mecnica de mquinas simples; -Determinar o momento ou torque de uma fora em situaes do cotidiano; -Identificar tipos de alavancas; -Resolver problemas envolvendo sistemas que funcionam como alavancas; -Resolver problemas do cotidiano envolvendo planos inclinados; -Identificar roldanas fixas e mveis e suas respectivas vantagens mecnicas; -Resolver problemas do cotidiano envolvendo combinaes de roldanas. Mquinas so aparelhos destinados a transmitir e multiplicar a ao das foras. Quando a fora muscular de um homem insuficiente para levantar uma pedra, por exemplo, ele pode recorrer a uma alavanca. Com a alavanca o homem poder executar um trabalho que no poderia ser executado somente com sua fora muscular. Portanto, pelo fato de realizar trabalho, a alavanca uma mquina. Elementos de Mquinas 4 Por mais complicada que seja uma mquina (torno convencional, torno CNC, retificadora, plaina, desempenadeira, guilhotina, prensa, mquina de costura, motor de automvel, rotativa, etc.) ela no passa de uma combinao de mquinas simples. As mquinas simples permitem a transferncia de energia mecnica de um ponto da mquina para outro ponto da mesma mquina. So trs a mquinas simples fundamentais: -A roda e o eixo; -Plano inclinado; -A alavanca. As demais mquinas simples so derivaes das citadas. A fora que se aplica mquina, isto , a que deve ser transmitida pela mquina, chama-se fora motriz ( FM) ou fora potente (FP) A fora que se ope a realizao do trabalho e que deve ser vencida pela fora motriz chama-se fora resistente ou carga (FR). A razo entre o mdulo da fora resistente e o mdulo da fora potente recebe o nome de vantagem mecnica (VM). Em smbolos: VM = FMFR Momento de uma fora Quando estamos apertando ou desapertando um parafuso, por exemplo, conseguimos produzir uma rotao no parafuso atravs de uma fora aplicada no cabo de uma chave. Elementos de Mquinas 5 Quando desejamos abrir ou fechar uma porta comum, aplicamos uma fora na maaneta. A partir dos exemplos vistos, podemos definir momento ou torque de uma fora do seguinte modo: momento de uma fora ou torque a capacidade que uma fora tm de produzir rotao no corpo ao redor de um eixo. A eficincia de uma fora para girar um corpo ao redor de um eixo depende: -Da intensidade da prpria fora; -Do brao de alavanca, isto , da distncia em que a fora atua em relao ao eixo de rotao. No caso do exemplo da porta, as afirmaes anteriores ficam bem claras: Podemos abrir a porta puxando a maaneta com pequeno esforo, pois a distncia do ponto de aplicao de nossa fora, em relao ao eixo de rotao (dobradias) da porta grande. Elementos de Mquinas 6 Podemos abrir a porta com mais dificuldade, empurrando-a em um local prximo do eixo de rotao (dobradias). Nesse caso, a fora aplicada ter que ser mais intensa para produzir o mesmo efeito, ou seja, abrir a porta. O momento de uma fora (M) calculado multiplicando-se o seu mdulo pelo brao de alavanca (d): M = F . d A finalidade do sinal algbrico () distinguir os momentos que do tendncia de rotao no sentido horrio, daqueles que do tendncia de rotao no sentido anti-horrio. Em cada problema, devemos convencionar que sinal ser atribudo ao momento. No devemos confundir momento de uma fora com trabalho mecnico. O momento de uma fora uma grandeza fsica vetorial e o trabalho mecnico uma grandeza fsica escalar. No SI a unidade de momento newton . metro (N.m) que no tem nome especial. Agora, observe o espargidor de gua de jardim e a representao das duas foras, de mesma intensidade, mesma direo e sentidos opostos que o fazem funcionar. Elementos de Mquinas 7 Tal sistema constitui um binrio. Um binrio tende a produzir apenas uma rotao no corpo em que aplicado. S pode ser equilibrado por outro binrio, pois uma fora sozinha que atuasse no corpo provocaria uma resultante no nula. A resultante de um binrio nula e o seu momento, em mdulo, dado por: Mbinrio = F . d Condies de equilbrio Para que um corpo permanea em equilbrio duas condies devem ser satisfeitas: -Mdulo da resultante das foras que nele atuam deve ser nula; -Mdulo do momento resultante das foras que nele agem deve ser nulo. Em smbolos: EF = 0 e EM = 0 Exerccios 1.Para movimentar um mecanismo, um operador imprime uma fora de 150N ao cabo da manivela. Determine o mdulo do momento de fora que atua no eixo do mecanismo. Soluo: Elementos de Mquinas 8 2.Um parafuso deve ser apertado com um momento pr-estabelecido de 40N.m. Se o comprimento do torqumetro de 0,20m, que fora se deve aplicar no seu cabo para obter o aperto ideal do parafuso? Soluo: 3.Um motorista de nibus faz uma curva para a esquerda, aplicando um binrio ao volante.

Determine o mdulo do momento desse binrio, sabendo que a fora exercida pelo motorista, no volante, tem intensidade 20N e que o raio do volante de 20cm. Soluo: 4.Considere as foras atuantes sobre a barra AD de peso desprezvel, indicadas na figura. Elementos de Mquinas 9 Determine : a)o momento de cada uma das foras em relao ao ponto O; b)o momento resultante em relao ao ponto O. Soluo: 5.Uma barra rgida e homognea de peso 10N articula-se sem atrito em O. Pelo centro de gravidade da barra suspende-se um corpo A de peso 30N. Determine a intensidade da foraF que equilibra o sistema. Soluo: Elementos de Mquinas 10 Alavanca Alavanca um slido alongado (geralmente uma barra) que pode girar ao redor de um ponto de apoio, tambm conhecido pelo nome de fulcro ou eixo de rotao. Em toda alavanca encontramos trs elementos: -Brao motriz ou brao potente ou brao de potncia (BP); -Brao resistente ou brao de resistncia (BR); -Fulcro ou eixo de rotao ou ponto de apoio (PA). O brao de potncia (BP) a distncia existente entre o ponto de apoio (PA) e o ponto de aplicao da fora potente (FP). O brao de resistncia (BR) a distncia existente entre o ponto de apoio (PA) e o ponto de aplicao da fora resistente ( FR). O ponto de apoio (PA) o local onde a alavanca se apia. Conforme a posio do ponto de apoio em relao fora potente e fora resistente, as alavancas so classificadas em trs espcies: interfixa; inter-resistente e interpotente. Elementos de Mquinas 11 Alavanca interfixaO ponto de apoio localiza-se entre o ponto de aplicao da fora potente e o ponto de aplicao da fora resistente. Esquematicamente: Alavanca inter-resistenteO ponto de aplicao da fora resistente encontra-se entre o ponto de apoio e o ponto de aplicao da fora potente. Esquematicamente: Alavanca interpotente O ponto de aplicao da fora potente encontra-se entre o ponto de apoio e o ponto de aplicao da fora resistente. Esquematicamente: Muitas ferramentas e dispositivos que utilizamos funcionam como se fossem alavancas. Por exemplo, o alicate funciona como alavanca interfixa; a guilhotina Elementos de Mquinas 12 manual de cortar chapas e papel funciona como alavanca inter-resistente e a pina de depilar funciona como alavanca interpotente. Para resolver problemas envolvendo alavancas, basta igualar os momentos em mdulo, ou seja: MFP = MFR FP . BR = FR . BR Ferramentas que funcionam como alavancas interessante estudar a vantagem mecnica que certas ferramentas apresentam quando funcionam como alavancas. Compreender a aplicao dos momentos ou torques fundamental. Acompanhe. Alicate O alicate, assim como a tesoura, uma associao de duas alavancas. Quando dobramos ou cortamos um pedao de fio com um alicate, a fora feita no cabo transferida e ampliada na extremidade contrria. Para determinar a vantagem mecnica do alicate, calculemos o torque da fora feita com a mo sobre o cabo e a fora que aparece ampliada na ponta da ferramenta em relao ao eixo de rotao (ponto O). A fora feita no cabo produz um torque fazendo-o girar em relao ao ponto O . Como o brao b desta fora a distncia entre o eixo e o ponto de aplicao da fora, o mdulo do torque determinado pela expresso: Mno cabo = FP no cabo . b(I) Elementos de Mquinas 13 Na ponta do alicate, a fora mais intensa que no cabo, e tambm produz um torque em relao ao ponto O . Neste caso o brao r da fora menor que o anterior, correspondendo distncia entre o local onde o fio comprimido e o ponto O . O mdulo do torque desta fora dado por: M na ponta = FR na ponta. r(II) Como os torques tem a mesma intensidade podemos igualar as expresses (I) e (II) : M no cabo = M na ponta FP no cabo . b= FR na ponta . r cabo noponta naFPFR =rb = VM Observe que a vantagem mecnica pode ser obtida pela relao entre os mdulos das foras de resistncia e potente como pode ser obtida pela relao entre os braos das foras. A vantagem mecnica indica o quanto foi ampliada a fora feita pela mo do operador sobre o cabo do alicate. Observe, tambm, que quanto menor for o brao da fora ampliada (brao r), maior ser a vantagem mecnica do alicate. por esta razo que o local do corte fica bem prximo da articulao (ponto O), pois a o brao o menor possvel e a fora ter ampliao mxima. Chave de fenda Quando usamos uma chave de fenda para apertar um parafuso, a mo exerce no cabo duas foras paralelas de sentidos opostos, simtricas ao eixo de rotao, constituindo um binrio. A ponta da chave tambm aplica um binrio de foras no parafuso, s que os valores das foras que compem este binrio devem ser maiores do que as do cabo para produzir o mesmo torque em relao ao eixo, uma vez que o brao na fenda R menor do que o brao no cabo (b). Supondo que as foras aplicadas pela mo tenham a mesma intensidade, o torque produzido por elas em relao ao eixo de rotao tem tambm a mesma intensidade. Elementos de Mquinas 14 Este dois torques produzem um giro da chave no mesmo sentido e por isso, o torque resultante dado por: M resultante no cabo = 2FP . b (I) Este mesmo torque resultante produzido na cabea do parafuso, ou seja: M resultante na ponta =2FR . r (II) Igualando as expresses (I) e (II) obtemos: 2P . b = 2R . r VMrb FP 2FR 2= =// Mesmo aplicando um torque pode no ocorrer rotao, como o caso de um parafuso enferrujado, em que o torque da fora de atrito, entre o parafuso e a porca, constitui um torque oposto ao produzido pela pessoa com a chave de fenda. Nestas situaes, o torque resultante nulo. Assim para que um objeto permanea em repouso, isto , no translade e no gire em relao um referencial, alm de a fora resultante ser nula, o torque resultante tambm deve ser nulo. P - de - cabra e martelo de unha Tanto para o p de - cabra quanto para o martelo de unha, quando utilizados para arrancar cravos ou pregos, a vantagem mecnica ser dada por: MP mo = MR prego FP mo. d = FR prego. x. cos o o=cos . xdFPFRmoprego = VM Salientemos que no h economia de trabalho usando mquinas. O trabalho sempre se conserva, ou seja, o trabalho realizado pela fora motriz ou potente igual ao Elementos de Mquinas 15 trabalho realizado pela fora resistente. De fato, o que ganhamos em fora perdemos em distncia e vice versa. Exerccios 1.O brao de resistncia de uma tesoura de bancada mede 0,20m e o brao de potncia mede 1,60m. Se um operador exerce uma fora muscular de 40N para cortar uma chapa de ao, determine o mdulo da fora resistente oferecida pela chapa. Soluo: 2.Uma chave de fenda usada para apertar um parafuso. Determine a vantagem mecnica dessa ferramenta, supondo que seu cabo tenha dimetro de 20mm e sua ponta 4mm. Soluo: Elementos de Mquinas 16 Plano inclinado O plano inclinado uma superfcie plana e inclinada que forma com a horizontal um ngulo compreendido entre 00 e 900 . Por ser encontrado na natureza, o plano inclinado a mquina simples mais antiga que se conhece. De fato, encostas de montanhas so planos inclinados. J estudamos alguma coisa a respeito de plano inclinado no captulo de atrito. Recordando: No equilbrio esttico temos que atF t P = ou seja: u = u cos . P . sen . P Dispositivos que derivam do plano inclinado Derivando do plano inclinado encontramos a cunha e o parafuso. Cunha A cunha funciona como dois planos inclinados ao mesmo tempo. Elementos de Mquinas 17 Veja os exemplos ilustrativos mostrando a presena de cunhas. Gume do machadoGume da facaGume do formo Gume da ferramenta de corte Gume do corta frioGume do alicate de corte lateral Para as cunhas existe a seguinte relao: FM = 2 .FR . 2senu Essa relao tm pouco valor prtico, pois devido ao atrito na cunha, o valor real da fora motriz muito diferente daquele dado pela equao. Parafuso O parafuso um plano inclinado enrolado em um cilindro. Elementos de Mquinas 18 O passo de um parafuso corresponde ao espao compreendido entre dois fios de rosca. Esse espao equivale a uma volta completa do parafuso. O passo de um parafuso a altura de seu plano inclinado. O comprimento do plano inclinado do parafuso obtido por meio da aplicao do teorema de Pitgoras: C2 = p2 + ( D . t )2 C2 = p2 + ( D2 . t2 ) C =. (D p) 2 2 2t + Adotando t2 = 10, temos: C =10) . (D p2 2+ Os parafusos so utilizados como elementos de fixao e tambm podem ser utilizados para movimentar os corpos. o caso do macaco articulado utilizado para trocar pneus Elementos de Mquinas 19 Consideremos, agora, uma morsa de bancada. Se avanarmos um passo (p) o parafuso deslocar uma resistncia ( R F), com velocidade constante. Assim, o trabalho da fora resistente (tR) dado pelo produto do mdulo da fora resistente pelo passo, ou seja, FR .p . Porm, para darmos um passo, ser necessrio darmos uma volta completa no manpulo da morsa sob a ao de uma fora potenteP F. Como a foraP F aplicada ao punho do manpulo, ela agir sempre tangencialmente a uma trajetria circular de raio r. Portanto, o trabalho da fora potente (tP) ser dado pelo produto: FP . 2 . t . r . Como o trabalho da fora potente igual ao trabalho da fora resistente (princpio da conservao do trabalho), teremos, desprezando os atritos, a seguinte vantagem mecnica: t P=t RFP . 2 . t . r=FR . p VM = pr . . 2FPFR t= Elementos de Mquinas 20 Exerccios 1.Um trabalhador carrega um caminho com grandes bobinas de fios de cobre. Para cada bobina o trabalhador aplica uma fora de 250N. A altura do piso at a carroaria mede 1,5m e as pranchas utilizadas tm o comprimento de 3m. Determine o mdulo da fora resistente oferecida por cada bobina, desprezando os atritos. Soluo: 2.Em relao ao problema anterior, considerando que o ngulo formado pelas pranchas em relao ao solo de 250, determine o mdulo da fora potente necessria para elevar uma carga de 8000N at a carroaria do caminho. Dados: sen 250 = 0,42 e cos 250 = 0,90. Soluo: Elementos de Mquinas 21 Roda A roda, com certeza, uma das mais importantes invenes do homem. Como ela foi inventada ningum sabe. Contudo, podemos imaginar que, devido s necessidades de deslocar grandes cargas a longas distncias, o homem primitivo no podia contar somente com sua fora ou com a fora de animais domesticados. Era preciso descobrir alguma coisa para facilitar a tarefa. Surgiu, ento, a roda. Mas, para ser til, a roda precisa estar acoplada a um eixo que no passa de uma segunda roda. No mundo moderno a presena das rodas imprescindvel. Sem elas no teramos automveis, caminhes, tratores, avies, polias, roldanas, volantes, engrenagens, etc. No teramos tantos progressos tecnolgicos, com certeza. As primeiras aplicaes da roda foram o sarilho e a roda dgua . Sarilho Roda dguaAs engrenagens ou rodas dentadas tambm derivam da roda. As engrenagens so utilizadas na transmisso de movimentos. Substituem polias e correias quando preciso eliminar provveis perdas de rotao em transmisses de grandes esforos. Elementos de Mquinas 23 Roldanas Tambm as roldanas derivam das rodas. As roldanas giram ao redor de eixos que passam por seus centros. Cordas ou cabos de ao, por exemplo, se encaixam em sulcos denominados garganta, gola ou gorne e as contornam parcialmente. As roldanas podem ser fixas ou mveis. Na roldana fixa, o eixo fixado a um suporte e, quando em uso, ela no acompanha a carga. Uma roldana fixa funciona como se fosse uma alavanca interfixa de braos iguais. Examine o esquema: Aplicando a relao das alavancas no esquema temos: P F. BO= R F . AO(1) Mas BO = AO = r (2) Substituindo (2) em (1) resulta: P F .r/= R F .r/ F P F = R Elementos de Mquinas 24 SeR F P F = , a vantagem mecnica de uma roldana fixa ser sempre igual a 1, isto , ela no economiza fora. De fato, as roldanas fixas servem para elevar pequenas cargas com comodidade e segurana, alm de possibilitarem a mudana de direo e sentido das foras aplicadas. Em termos de deslocamento, a distncia percorrida pelo ramo onde a fora motriz aplicada a mesma percorrida pelo ramo onde a fora resistente aplicada, ou seja: S1 = S2. Esquematicamente: S1 = S2 Opostamente, a roldana mvel, quando em uso, desloca-se juntamente com a carga. A roldana mvel funciona como se fosse uma alavanca inter-resistente. Elementos de Mquinas 25 Examine o esquema: Pelo esquema temos que: ) 1 ( AO . R F AB . P F = Mas, AB = 2r e AO = r (2) Substituindo (2) em (1) resulta: r . R F r 2 . P F = 2R FP F= Como se nota, a vantagem mecnica de uma roldana mvel ser igual a 2, economizando fora, portanto. A expresso 2R FP F= s vlida somente se as forasP F eFRforem paralelas. Uma expresso mais geral encontra-se no apndice III. Elementos de Mquinas 26 Em termos de deslocamento, enquanto o ramo onde a fora resistente est aplicada percorre uma distncia S1, o ramo onde a fora motriz aplicada percorre uma distncia S2 que o dobro de S1, ou seja: S2 = 2S1 As roldanas fixas e mveis, quando combinadas, do origem aos mais diversos aparelhos: moito, cadernal, talha exponencial, talha diferencial, etc. A figura abaixo mostra um moito . Observe que o moito apresenta a mesma quantidade de roldanas fixas e mveis. Tanto as roldanas fixas quanto as mveis encontram-se fixadas solidariamente nos respectivos eixos. No moito ao lado temos trs roldanas fixas e trs roldanas mveis. Para o moito vlida a seguinte relao : FP = m . 2R Fonde m o nmero de roldanas mveis. Elementos de Mquinas 27 Ao lado temos o esquema de um cadernal. No cadernal, o nmero de roldanas fixas igual ao nmero de roldanas mveis. As roldanas fixas so presas em um nico suporte e seus eixos no so solidrios uns com os outros. As roldanas mveis so presas em outro suporte e seus eixos tambm no so solidrios entre si. Para o cadernal vlida a mesma relao matemtica vista para o moito, ou seja, FP = m . 2R Fonde m o nmero de roldanas mveis. A figura abaixo mostra uma talha exponencial. A talha exponencial constituda por uma roldana fixa e vrias roldanas mveis. Para a talha exponencial vlida a seguinte relao entre os mdulos das foras resistente e motriz: n2R FP F= Elementos de Mquinas 28 Legenda: n = nmero de roldanas mveis. J a talha diferencial constituda por duas roldanas fixas de dimetros diferentes e solidrias ao mesmo eixo e uma roldana mvel : A roldana mvel responsvel pela elevao da carga e encontra-se vinculada s outras roldanas por uma corrente ou cabo que no possui extremidade livre. Para a talha diferencial vlida a seguinte relao: a . 2) b a ( R FP F= onde a = raio da roldana fixa maior e b = raio da roldanafixa menor. Sarilho Uma outra derivao da roda o sarilho. O sarilho compe-se de um cilindro ou tambor horizontal, montado sobre um eixo que se apia sobre dois mancais. Numa das extremidades do eixo h uma manivela que permite girar o tambor sob a ao de uma fora motriz. Elementos de Mquinas 29 No tambor se enrola uma corda que serve para prender a carga a ser deslocada. Para calcular a relao entre a fora motriz e a fora resistente (carga), consideremos a vista lateral do sarilho: No equilbrio os momentos, em mdulo, so iguais, ou seja: |M M F| =|M R F| | M F|. b = | R F|. r | M F| =|br . R F| O sarilho s permite aplicar uma fora motriz de mdulo menor que o mdulo da carga se o brao de sua manivela for maior que o raio do cilindro de seu tambor. Elementos de Mquinas 30 Exerccios 1.Um corpo de massa 10kg suspenso por um operador at a altura h de 2m em relao ao solo.Considerando g = 10m/s2 e desprezando o peso da roldana mvel e os atritos, determine o mdulo da fora motriz exercida pelo operador. Soluo: Elementos de Mquinas 31 2.Um servente de pedreiro eleva um balde cheio de concreto por meio do mecanismo mostrado abaixo. Sabendo que a massa do balde 1kg e que a massa do concreto 9kg e que g = 9,8m/s2, determine o mdulo da fora motriz exercida pelo servente. Soluo: