1 Introdução

Em uma viga biapoiada submetida à flexão quando carregada, são geradas

tensões de tração na fibra inferior do concreto e tensões de compressão na

fibra superior. Como o concreto simples tem baixa resistência à tração e alta

resistência a compressão, é necessário o uso do aço na região tracionada para

resistir a estas tensões, pois este possui ótima resistência à tração. Estas são

chamadas estruturas em concreto armado.

Figura 1 – Viga de concreto armado

Fonte: Arquivo pessoal

O aço também possui boa resistência a compressão, sendo assim o mesmo

pode colaborar com o concreto em regiões comprimidas.

Em estruturas de concreto armado adotam-se armaduras em forma de barras

com seção circular, chamadas armaduras passivas.

Os projetos de estruturas em concreto armado tem como base a norma

regulamentadora ABNT NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto —

Procedimento.

Segundo a NBR 6118 (2014, pág 04):

3.1.5 armadura passiva: Qualquer armadura que não seja usada para

produzir forças de protensão, isto é, que não seja previamente alongada.

O aço será solicitado apenas quando as cargas externas começarem a atuar

na estrutura, e isso ocorre principalmente devido a aderência entre o concreto

e o aço.

A NBR 6118 (2014, pág 04) define elementos de concreto armado como:

3.1.3 elementos de concreto armado: Aqueles cujo comportamento estrutural

depende da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se aplicam

alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência.

O bom desempenho das estruturas de concreto armado deve-se a três fatores:

Aderência entre o concreto e o aço;

Valores próximos dos coeficientes de dilatação térmica;

Proteção do aço contra corrosão feita pelo concreto envolvente.

Vantagens do concreto armado

Apresenta boa resistência à maioria das solicitações;

Tem boa trabalhabilidade, e por isso se adapta a várias formas,

podendo, assim, ser escolhida a mais conveniente do ponto de vista

estrutural, dando maior liberdade ao projetista;

Permite obter estruturas monolíticas, onde existe aderência entre o

concreto já endurecido e o concreto lançado posteriormente, facilitando

a transmissão de esforços, onde todo o conjunto trabalha quando a peça

é solicitada;

As técnicas de execução são razoavelmente dominadas em todo o país,

o que ocasiona o baixo custo de mão-de-obra;

É um material durável, desde que bem executado;

Baixo custo dos materiais – água e agregados graúdos e miúdos.

Desvantagens do concreto armado

Resulta em elementos com grandes dimensões, o que acarreta em um

peso próprio elevado, limitando seu uso em determinadas situações ou

aumentado seu custo;

As reformas e adaptações são de difícil execução;

É necessário um sistema de fôrmas e escoramentos que precisam

permanecer no local até que o concreto alcance resistência adequada.

2 Concreto Estrutural

A NBR 6118 (2014) nos fornece as propriedades do concreto para estruturas

de concreto armado no item 8.2.

8.2.1 Classes

Esta Norma se aplica aos concretos compreendidos nas classes de resistência

dos grupos I e II, da ABNT NBR 8953, até a classe C90.

Tabela 1 – Classes de resistência do grupo 1

Grupo I de resistência Resistência característica à

compressão (MPa)

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa

Fonte: NBR 8953 (1992)

Tabela 2 – Classes de resistência do grupo 2

Grupo I de resistência Resistência característica à

compressão (MPa)

C55 C60 C70 C80 C90

55 MPa 60 MPa 70 MPa 80 MPa 90 MPa

Fonte: NBR 8953 (1992)

A classe C20, ou superior, se aplica ao concreto com armadura passiva e a

classe C25, ou superior, ao concreto com armadura ativa. A classe C15 pode

ser usada apenas em obras provisórias ou concreto sem fins estruturais,

conforme a ABNT NBR 8953.

O concreto estrutural deve ter resistência característica à compressão aos 28

dias (fck) mínimo de 20 MPa para estruturas em concreto armado podendo

chegar até 90 MPa. A norma ainda nos fornece definições importantes a

respeito do concreto estrutural:

3.1.2 elementos de concreto simples estrutural: Elementos estruturais

elaborados com concreto que não possui qualquer tipo de armadura, ou que a

possui em quantidade inferior ao mínimo exigido para o concreto armado (ver

17.3.5.3.1 e tabela 17.3).

Se ao dimensionar uma estrutura em concreto armado, o aço calculado for

menor do que a quantidade mínima estabelecida pela norma não podemos

usar o aço calculado, pois a estrutura será considerada uma estrutura de

concreto simples estrutural. Devemos sempre atender a quantidade de aço

mínima exigida pela NBR 6118 para que tenhamos uma estrutura em concreto

armado.

8.2.2 Massa Específica

Esta Norma se aplica aos concretos de massa específica normal, que são

aqueles que, depois de secos em estufa, têm massa específica (ρc)

compreendida entre 2 000 kg/m³ e 2 800 kg/m³.

Se a massa específica real não for conhecida, para efeito de cálculo, pode-se

adotar para o concreto simples o valor 2 400 kg/m³ e para o concreto armado, 2

500 kg/m³.

Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se

considerar para valor da massa específica do concreto armado aquela do

concreto simples acrescida de 100 kg/m³ a 150 kg/m³.

Não é usual a realização de ensaios para determinação da massa específica

do concreto, então como prática recorrente utilizamos como massa específica

do concreto armado 2500 kg/m³.

8.2.3 Coeficiente de dilatação térmica

Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser

admitido como sendo igual a 10-5/°C.

O coeficiente dilatação térmica é utilizado para o cálculo do alongamento e

encurtamento devido à variação de temperatura no dimensionamento de juntas

de dilatação.

8.2.4 Resistência à compressão

As prescrições desta Norma referem-se à resistência à compressão obtida em

ensaios de corpos de prova cilíndricos, moldados segundo a ABNT NBR 5738

e rompidos como estabelece a ABNT NBR 5739.

Quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28

dias. A estimativa da resistência à compressão média, fcmj, correspondente a

uma resistência fckj especificada, deve ser feita conforme indicado na ABNT

NBR 12655.

A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida por

ensaios especialmente executados para tal. Na ausência desses resultados

experimentais, pode-se adotar, em caráter orientativo, os valores indicados em

12.3.3.

O parâmetro mais importante para a execução de um projeto estrutural é a

resistência característica à compressão do concreto aos 28 dias (fck). É ela

que irá determinar a classe do concreto, portanto devemos sempre realizar

ensaios para que o concreto usado na obra seja correspondente ao concreto

definido em projeto.

8.2.5 Resistência à tração

A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f

devem ser obtidas em ensaios realizados segundo as ABNT NBR 7222 e

ABNT NBR 12142, respectivamente.

A NBR 7222 (2011) determina a resistência à tração por compressão diametral

de corpos de prova cilíndricos. O ensaio de compressão diametral ou ensaio de

tração indireta, também conhecido como splitting test criado pelo Prof.

Fernando Luiz Lobo Carneiro se tornou referência mundial. Para conhecer

como foi criado este ensaio acesse o link abaixo: http://aquarius.ime.eb.br/~webde2/prof/ethomaz/lobocarneiro/comp_diametral.pdf

Figura 2 – Ensaio de resistência à tração por compressão diametral

Fonte:

𝑓𝑐𝑡, 𝑠𝑝 =2

𝜋∗𝐹𝑐

𝑑 ∗ ℎ

A NBR 12142 (2010) determina a resistência à tração na flexão de corpos de

prova prismáticos. Para a realização deste ensaio, um corpo de prova se seção

prismática é submetido à flexão, com carregamentos em duas seções

simétricas, até a ruptura. O ensaio também é conhecido por ―carregamento nos

terços‖, pelo fato das seções carregadas se encontrarem nos terços do vão.

Figura 3 – Ensaio de resistência à tração na flexão

Fonte:

𝑓𝑐𝑡,𝑓 =6 ∗𝐿3 ∗ 𝐹

𝑏 ∗ ℎ²

No ensaio de tração direta, a resistência à tração direta (fct) é determinada,

aplicando-se tração axial, até a ruptura, em corpos de prova de concreto

simples. Figura 4 – Ensaio de resistência à tração direta

Fonte: Pinheiro (2010)

𝑓𝑐𝑡 =𝐹𝑡

𝐴

A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7

fct,f, ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o

seu valor médio ou característico por meio das seguintes equações:

— para concretos de classes até C50:

𝑓𝑐𝑡𝑘 = 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∗ 𝑓𝑐𝑘²3

— para concretos de classes C55 até C90:

𝑓𝑐𝑡𝑘 = 𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ∗ ln(1 + 0,11 ∗ 𝑓𝑐𝑘)

onde:

fct,m e fck são expressos em megapascal (MPa).

sendo

fckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades

diferentes de 28 dias.

A NBR 6118 (2014) estabelece um limite mínimo e máximo para a resistência à

tração o fctk,inf e o fctk,sup respectivamente limite inferior e limite superior. O

fctk,inf é utilizado nas análises estruturais e o fctk,sup é utilizado para

determinação das armaduras mínimas.

onde:

𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7 ∗ 𝑓𝑐𝑡,𝑚

𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑠𝑢𝑝 = 1,3 ∗ 𝑓𝑐𝑡,𝑚

8.2.8 Módulo de elasticidade

É um parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um

material sólido. Um determinado material ao ser submetido a uma tensão (σ)

sofre uma deformação específica (𝜀) onde temos o diagrama tensão-

deformação que pode ser considerado linear.

Figura 5 – Módulo de elasticidade ou módulo deformação longitudinal

Fonte: Arquivo pessoal

𝐸 =𝜎

𝜀

Como o diagrama tensão-deformação do concreto não é linear, conforme figura

6 abaixo, a expressão do módulo e elasticidade é aplicada somente à parte

retilínea da curva, ou quando não existir uma parte retilínea, a expressão

aplica-se à tangente da curva na origem, por isso é chamado módulo de

elasticidade tangencial ou módulo de deformação tangencial inicial (Eci).

Figura 6 – Módulo de elasticidade ou módulo deformação tangencial inicial do concreto

Fonte: Arquivo pessoal

O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo o método de ensaio

estabelecido na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo

de deformação tangente inicial, obtido aos 28 dias de idade.

Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do módulo de

elasticidade inicial usando as expressões a seguir:

— para fck de 20 MPa a 50 MPa:

𝐸𝑐𝑖 = 𝛼𝑒 ∗ 5600√𝑓𝑐𝑘

— para fck de 55 MPa a 90 MPa:

𝐸𝑐𝑖 = 21,5 ∗ 10³ ∗ 𝛼𝑒 ∗ 𝑓𝑐𝑘

10+ 1,25

1/3

sendo:

αe = 1,2 para basalto e diabásio

αe = 1,0 para granito e gnaisse

αe = 0,9 para calcário

αe = 0,7 para arenito

onde

Eci e fck são dados em megapascal (MPa).

Obs: No Brasil a grande maioria dos agregados procede do granito e basalto.

O módulo de elasticidade secante é utilizado nas análises elásticas de

projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação

de estados limites de serviço.

O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo método de ensaio

estabelecido na ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão:

𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 ∗ 𝐸𝑐𝑖

sendo:

𝑎𝑖 = 0,8 + 0,2 ∗𝑓𝑐𝑘

80≤ 1,0

A Tabela 3 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados

no projeto estrutural.

Tabela 3 – Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência

característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado

graúdo)

Classe de resistência

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90

Eci (GPa)

25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47

Ecs (GPa)

21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47

αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00

Fonte: NBR 6118 (2014)

A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do

concreto, especialmente da natureza dos agregados.

Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção

transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à

compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs.

No cálculo das perdas de protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de

elasticidade inicial Eci.

O módulo de elasticidade em uma idade menor que 28 dias pode ser avaliado

pelas expressões a seguir:

— para os concretos com fck de 20 MPa a 45 MPa:

𝐸𝑐𝑖(𝑡) = 𝑓𝑐𝑘𝑗

𝑓𝑐𝑘

0,5

— para os concretos com fck de 50 MPa a 90 MPa:

𝐸𝑐𝑖(𝑡) = 𝑓𝑐𝑘𝑗

𝑓𝑐𝑘

0,3

onde:

Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre

7 dias e 28 dias;

fckj é a resistência característica à compressão do concreto na idade em que

se pretende estimar o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa).

A importância da determinação dos módulos de elasticidade está na

determinação das deformações nas estruturas de concreto, como nos cálculos

de flechas em lajes e vigas (Figura 2.11). Nos elementos fletidos, como as

vigas e as lajes, por exemplo, o conhecimento das flechas máximas é muito

importante e é um dos parâmetros básicos utilizados pelo projetista estrutural.

8.2.9 Coeficiente de Poisson

Ao se aplicar uma força no concreto surgem deformações em duas direções,

na direção da força e na direção transversal à força. A relação entre a

deformação transversal e a deformação longitudinal é chamada coeficiente de

Poisson (ν).

Figura 7 – Deformações longitudinais (Δl) e transversais (Δt)

Fonte: Arquivo pessoal

Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores

que fct, o coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o

módulo de elasticidade transversal Gc igual a Ecs/2,4.

𝜈 = 0,2

𝐺𝑐 =𝐸𝑐𝑠

2,4

8.2.10 Diagramas tensão-deformação

8.2.10.1 Compressão

Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, pode-se admitir uma relação

linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o

valor secante dado pela expressão constante em 8.2.8.

Para análises no estado-limite último, podem ser empregados o diagrama

tensão-deformação idealizado mostrado na Figura ou as simplificações

propostas na Seção 17.

Figura 8 – Diagrama tensão-deformação do concreto à compressão

Fonte: Arquivo pessoal

Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica

de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação

específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir:

— para concretos de classes até C50:

εc2 = 2,0 ‰;

εcu = 3,5 ‰

— para concretos de classes C55 até C90:

ε𝑐2 = 2,0‰ + 0,085‰∗ (fck− 50)0,53

ε𝑐𝑢 = 2,6‰+ 35‰∗ (90− 50

100)4

Ver indicação sobre o valor de fcd em 12.3.3.

A resistência à compressão de cálculo do concreto (fcd) é obtida a partir da

expressão abaixo:

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘

𝛾𝑐

A resistência à tração de cálculo do concreto (fctd) é obtida a partir da

expressão abaixo:

𝑓𝑐𝑡𝑑 =𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓

𝛾𝑐

γc é o coeficiente de minoração da resistência do concreto, obtido na tabela

12.1 da NBR 6118 (2014) conforme tabela abaixo.

Tabela 4 – Valores dos coeficientes γc e γs

Combinações Concreto Aço

Normais 1,4 1,15

Especiais ou de construção

1,2 1,15

Excepcionais 1,2 1,0 Fonte: extraída da NBR 6118 (2014)

As resistências dos materiais serão minoradas e as cargas serão majoradas,

ou seja, aplicaremos um coeficiente de segurança para reduzir as resistências

dos materiais e um coeficiente de segurança para aumentar as cargas.

Segundo a NBR as resistências dos materiais devem ser minoradas pelo

coeficiente:

𝛾𝑚 = 𝛾𝑚1 ∗ 𝛾𝑚2 ∗ 𝛾𝑚3

No concreto este coeficiente será o γc e no aço será o γs.

Segundo o item 12.1 da NBR 6118 (2014):

γm1 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera

a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos.

γm2 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera

a diferença entre a resistência do material no corpo de prova e na estrutura.

γm3 – Parte do coeficiente de ponderação das resistências γm, que considera

os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do

ponto de vista das resistências.

O fator 0,85 encontrado no diagrama σ x ε da Figura 8 funciona como um fator

corretivo, dado que a resistência de cálculo fcd é determinada por meio de

ensaios de corpos-de-prova cilíndricos em ensaios de compressão que têm a

duração em torno de 2, 3 ou 4 minutos, enquanto que nas estruturas de

concreto o carregamento é aplicado durante toda a vida útil da estrutura, ou

seja, durante muitos anos.

Exercício 1

Calcule as características do concreto a partir do fck adotado.

Concreto fck

(MPa) fcd

(MPa) fctk

(MPa) fctk,inf (MPa)

fctk,sup (MPa)

fctd (Mpa)

Eci (MPa)

Ecs (MPa)

C20

C40

C50

Espaço para cálculo

3 Aço

A NBR 6118 (2014) nos fornece as propriedades do aço para estruturas de

concreto armado no item 8.3.

8.3.1 Categoria

Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço

classificado pela ABNT NBR 7480, com o valor característico da resistência de

escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60. Os diâmetros e seções

transversais nominais devem ser os estabelecidos na ABNT NBR 7480.

De acordo com a NBR 7480 (2007) o aço para armadura passiva é dividido em:

Tabela 5 – Categorias de aços destinados a armaduras para estruturas de concreto armado

CATEGORIA fyk (MPa)

CA-25 250 MPa

CA-50 500 MPa

CA-60 600 MPa Fonte: extraída da NBR 7480 (2007)

Onde fyk é a resistência característica do aço ao escoamento na tração.

Aços mais usados em estruturas de concreto armado:

CA-50: 6,3 mm (1/4‖), 8 mm (5/16‖), 10 mm (3/8‖), 12,5 mm (1/2‖), 16 mm

(5/8‖), 20 mm (3/4‖), 25 mm (1‖), 32 mm (1 1/4"), 40 mm (1 9/16‖).

CA-60: 4,2 mm (5/32’’), 5 mm (3/16’’).

De acordo com a NBR 7480 (2007) as barras de aço são classificadas nas

categorias CA-25 e CA-50, e os fios de aço na categoria CA-60.

8.3.1 Tipo de superfície aderente

Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de saliências ou

mossas. A configuração e a geometria das saliências ou mossas devem

satisfazer também o que é especificado nesta Norma, nas Seções 9 e 23.

Para os efeitos desta Norma, a capacidade aderente entre o aço e o concreto

está relacionada ao coeficiente η1, cujo valor está estabelecido na abaixo.

Tabela 6 – Valor do coeficiente de aderência η1

TIPO DE SUPERFÍCIE η1

Lisa 1

Entalhada 1,4

Nervurada 2,25 Fonte: extraída da NBR 6118 (2014)

8.3.3 Massa específica

Pode-se adotar para a massa específica do aço de armadura passiva o valor

de 7 850 kg/m3.

8.3.4 Coeficiente de dilatação térmica

O valor de 10−5/°C pode ser considerado para o coeficiente de dilatação

térmica do aço, para intervalos de temperatura entre -20 °C e 150 °C.

8.3.5 Módulo de elasticidade

Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de

elasticidade do aço pode ser admitido igual a 210 GPa.

8.3.6 Diagrama tensão-deformação, resistência ao escoamento e à tração

O diagrama tensão-deformação do aço e os valores característicos da

resistência ao escoamento fyk, da resistência à tração fstk e da deformação na

ruptura εuk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a

ABNT NBR ISO 6892-1. O valor de fyk para os aços sem patamar de

escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de

0,2 %.

Para o cálculo nos estados-limite de serviço e último, pode-se utilizar o

diagrama simplificado mostrado na Figura 8.4, para os aços com ou sem

patamar de escoamento.

Onde:

fyk é a resistência característica do aço ao escoamento na tração.

fyd é a resistência de cálculo do aço ao escoamento na tração.

εyd é a deformação específica do aço correspondente ao limite do patamar de

escoamento.

𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀

𝜀 =𝜎

𝐸

𝜀𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑑

𝐸𝑠

Tendo em vista o trabalho conjunto concreto/aço a deformação do aço na

compressão também será 3,5 ‰, já na tração limitamos em 10 ‰, pois além

disso, o concreto cria grandes fissuras.

A resistência de cálculo do aço ao escoamento na tração (fyd) é obtida a partir

da expressão abaixo:

𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠

Exercício 2

Calcule as características do aço a partir da categoria adotada.

CATEGORIA fyk fyd 𝜀𝑦𝑑 ‰

CA-25

CA-50

CA-60

Espaço para cálculo