Allan_Sist Integr Prot e Autom Em Subestações_VerFinal_16_ Jun
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109 5- C ÁLCULO A PROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Integrar numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar um polinômio P n (x) que aproxime f(x) no dado intervalo. Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares ordenados (x 0 , f(x 0 )), (x 1 , f(x 1 )), ..., (x n , f(x n ))(onde os x i podem ser supostos em ordem crescente) , x 0 = a, x n = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a função y = f(x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação. Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f(x) no intervalo [a, b], a = x 0 , b = x n é um polinômio de aproximação para f(x) em qualquer subintervalo[x i , x j ], 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n do intervalo [a, b]. Podemos então usar o polinômio P n (x) para integrar f(x) em qualquer desses subintervalos. As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f(x) ao invés de f(x) são principalmente duas: a) f(x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente impossível, enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata; b) As vezes a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se conhece a expressão analítica da função em termos do argumento x. As fórmulas de integração são de manejo fácil e prático e nos permite, quando a função f(x) é conhecida, ter uma idéia do erro cometido na integração numérica, como veremos mais adiante. Os argumentos x i podem ser ou não igualmente espaçados, mas estudaremos aqui somente fórmulas de integração para o caso de argumentos x i igualmente espaçados. 5.2– FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS X I IGUALMENTE ESPAÇADOS (F ÓRMULAS DE NEWTON-C OTES) Seja y = f(x) uma função cujo valores f(x 0 ), f(x 1 ), ..., f(x n ) são conhecidos (por exemplo por meio de uma tabela). Seu polinômio de interpolação sobre [x 0 , x n ] se escreve na forma de Lagrange: Pn (x) = ∑ = n k k k x L f 0 ) ( Sabemos que: f(x) = P n (x) + Rn(x), ou que f(x) Pn (x). Então: ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ = = = n n n x x n k k k x x n x x b a dx x L f dx x P dx x f dx x f 0 0 0 ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( 0 (4.1)
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- 1. 109 5- CLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAONUMRICA Integrar numericamente uma funo y = f(x) num dado intervalo [a, b] integrar um polinmio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo. Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares ordenados (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))(onde os xi podem ser supostos em ordem crescente) , x0 = a, xn = b, podemos usar como polinmio de aproximao para a funo y = f(x) no intervalo [a, b] o seu polinmio de interpolao. Em particular, o polinmio de interpolao para a funo y = f(x) no intervalo [a, b], a = x0, b = xn um polinmio de aproximao para f(x) em qualquer subintervalo[xi, xj], 0 i n, 0 j n do intervalo [a, b]. Podemos ento usar o polinmio Pn(x) para integrar f(x) em qualquer desses subintervalos. As vantagens de se integrar um polinmio que aproxima y = f(x) ao invs de f(x) so principalmente duas: a) f(x) pode ser uma funo de difcil integrao ou de integrao praticamente impossvel, enquanto que um polinmio sempre de integrao imediata; b) As vezes a funo dada simplesmente atravs de uma tabela-conjunto de pares ordenados obtidos como resultados de experincias. A no se conhece a expresso analtica da funo em termos do argumento x. As frmulas de integrao so de manejo fcil e prtico e nos permite, quando a funo f(x) conhecida, ter uma idia do erro cometido na integrao numrica, como veremos mais adiante. Os argumentos xi podem ser ou no igualmente espaados, mas estudaremos aqui somente frmulas de integrao para o caso de argumentos xi igualmente espaados. 5.2 FRMULAS DE INTEGRAO NUMRICA PARA ARGUMENTOS XI IGUALMENTE ESPAADOS (FRMULAS DE NEWTON-COTES) Seja y = f(x) uma funo cujo valores f(x0), f(x1), ..., f(xn) so conhecidos (por exemplo por meio de uma tabela). Seu polinmio de interpolao sobre [x0, xn] se escreve na forma de Lagrange: Pn(x) = = n k kk xLf 0 )( Sabemos que: f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou que f(x) Pn(x). Ento: = == nnn x x n k kk x x n x x b a dxxLfdxxPdxxfdxxf 000 ))(()()()( 0 (4.1)
- 2. 110 Supondo os argumentos xi igualmente espaados de h e considerando-se u = h xx 0 (4.2) temos que dx = hdu; e quando x = x0 u = 0 x = xn u = n Relembrando que, Lk (x) = = n ki k 0 ik k )x(x )x(x , (4.3) substituindo-se a (4.2) na (4.3) tem-se: Lk (x) = k(u) = = n ki k 0 i)(k k)(u (4.4) ou ainda, k(u) = = n ki k 0 i)(k k)(u = )nk)......(1k(k))(1k(k)......(1k)(0k( )nu)......(1k(u))(1k(u)......(1u)(0u( + + Ento, substituindo a (4.4) na (4.1) resulta: === === n 0 k n 0k k x x k x x n 0k k n 0k kk x x hdu)u(fdx)x(Lfdx))x(Lf(dx)x(f n 0 n 0 n 0 du)u(hf n 0 k n 0k k = = Fazendo-se: n k n 0 k Cdu)u( = ; temos: = n 0k n kk x x Cfhdx)x(f n 0 (4.5) Trataremos de obter, agora, algumas frmulas de integrao. Mais adiante analisaremos o termo do resto.
- 3. 111 5.2.1- 1 Caso: Regra dos Trapzios Para n = 1; isto , queremos obter uma frmula para integrar f(x) entre dois pontos consecutivos x0 e x1, usando polinmio do primeiro grau. Temos, em vista de (4.5) que, = n 0k n kk x x Cfhdx)x(f n 0 : = 1 0k 1 kk x x Cfhdx)x(f 1 0 ; onde, de n k n 0 k Cdu)u( = , 2 1 du)u1(du 10 1u du)u(C 1 0 1 0 1 0 0 1 0 == == 2 1 du 01 0u du)u(C 1 0 1 0 1 1 1 = == Portanto )]x(f)x(f[ 2 h dx)x(f 10 x x 1 0 + Esta frmula conhecida como Regra do Trapzio. Obs.: Se o intervalo [a, b] pequeno, a aproximao razovel; mas se [a, b] grande, o erro tambm pode ser grande. Neste caso dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de amplitude n ab h = de tal forma que x0 = a e xn = b e em cada subintervalo [xj, xj+1], j = 0, 1, ..., n1 aplicamos a Regra do Trapzio. Assim obtemos: 2 h dx)x(f n 0 x x [f(x0) + f(x1)] + 2 h [f(x1) + f(x2)] + ... + 2 h [f(xn1) + f(xn)] = = 2 h [f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn1)) + f(xn)] Esta a frmula do Trapzio Generalizada.
- 4. 112 Exemplo 5.2.1: Calcular pela regra do Trapzio + 4 0 dx)x1(nl usando 5 pontos e sabendo-se que: x 0 1 2 3 4 nl (1 + x) 0 0.693 1.1 1.387 1.61 Temos: + 4 0 dx)x1(nl 2 h [f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)] = 2 1 [0 + 2(0.693 + 1.1 + 1.387) + 1.61] = 2 1 [2(3.180) + 1.61] = 2 1 [7.970] = 3.985. 4.2.2- 2 Caso: Regra 1/3 de Simpson Para n = 2; isto , queremos obter uma frmula para integrar f(x) entre trs pontos consecutivos x0, x1 e x2, usando polinmio de 2 grau. Temos de (4.5) que: = 2 0k 2 kk x x hCfdx)x(f 2 0 onde 3 1 du)2u3u( 2 1 du )20)(10( )2u)(1u( du)u(C 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 =+= == 3 4 du)u2u(du )21)(01( )2u)(0u( du)u(C 2 0 2 2 0 2 0 1 2 1 == == e pelo exerccio [4.1] temos 3 1 CC 2 0 2 2 == . Ento: )]x(f 3 1 )x(f 3 4 )x(f 3 1 [hdx)x(f 21 x x 0 2 0 ++ Esta frmula conhecida como Regra 3 1 de Simpson.
- 5. 113 De maneira anloga regra do Trapzio, a generalizao da regra 3 1 de Simpson para integrao ao longo de um intervalo [a, b], feita dividindo-se [a, b] num nmero par 2n (por que?) de subintervalos de amplitude h = n2 ab de tal forma que x0 = a e x2n = b. Usando a regra 3 1 de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+2], j = 0, 2, ..., 2n2, temos: )]x(f)x(f4)x(f2...)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[ 3 h dx)x(f n21n22n243210 x x n2 0 ++++++++ Esta a frmula 3 1 de Simpson Generalizada. Exemplo 5.2.2: Calcular 3 2 2 x dxxe pela regra 3 1 de Simpson, dada a tabela: x 2 2.25 2.5 2.75 3.0 2 x e 2.71 3.08 3.49 3.96 4.48 Assim, temos 3 2 2 x dxxe )]x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[ 3 h 43210 ++++ = 3 25.0 [5.42 + 4(6.93 + 10.89) + 2(8.725) + 13.44] = 3 25.0 [5.42 + 71.28 + 17.45 + 13.44] = 3 25.0 [107.59] = 8.965833 4.2.3- 3 Caso: Regra 3/8 de Simpson Para n = 3; isto , queremos obter uma frmula para integrar f(x) entre 4 pontos consecutivos x0, x1, x2 e x3, usando polinmio do 3 grau. Temos = 3 0k 3 kk x x hCfdx)x(f 3 0 onde
- 6. 114 8 3 du)6u11u6u( 6 1 du)u(C 3 0 23 3 0 0 3 0 =+== 8 9 du)u6u5u( 2 1 du)u(C 3 0 23 3 0 1 3 1 =+== Pelo exerccio [4.1], temos: 8 3 CC 3 0 3 3 == e 8 9 CC 3 1 3 2 == Assim )]x(f))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 dx)x(f 3210 x x 3 0 +++ Essa frmula conhecida como Regra 8 3 de Simpson. Para generalizar a regra 8 3 de Simpson devemos dividir o intervalo [a, b] em um nmero conveniente de subintervalos, de amplitude h de tal forma que x0 = a e x3n = b. Usando a regra 8 3 de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+3], j = 0, 3, 6, ..., 3n3, obtemos: )]x(f))x(f)x(f(3)x(f2... )x(f2))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 dx)x(f n31n32n33n3 6543210 x x n3 0 +++++ +++++++ Esta a frmula 8 3 de Simpson Generalizada. Exemplo 5.2.3: Calcular + 6.0 0 x1 dx pela regra 8 3 de Simpson e h = 0.1. Soluo: Construmos a tabela de f(x) = x1 1 + x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f(x) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6666 0.625
- 7. 115 Assim, temos )]x(f))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h 8 3 x1 dx 6543210 6.0 0 ++++++ + = 8 )1.0(3 [1 + 3(0.9091 + 0.8333 + 0.7143 + 0.6666) + 2(0.7692) + 0.625] = 8 3.0 [12.5333] = 0.469999 Obs.: Calcule diretamente + 6.0 0 x1 dx e compare os resultados. As frmulas vistas so chamadas frmulas de Newton-Cotes. 5.3 ERRO NA INTERPOLAO E NA INTEGRAO NUMRICA 5.3.1 Erro na Interpolao Quando aproximamos a funo f por Pn, ou seja, f(x) Pn(x), existe um erro cometido na interpolao expresso por Rn(x), assim, vlida a seguinte relao; f(x) = Pn(x) + Rn(x), Rn(x) definido pelo frmula do Resto de Lagrange, expresso por: Teorema 5.3.1.1 - frmula do Resto de Lagrange Rn(x) = )!1n( )xx)(xx)(xx( n10 + f(n + 1) () )!1n( )xx)(xx)(xx( n10 + )t(f )1n( ]x,...,x[t maxn0 + ; A frmula dada vlida quando conhecemos a lei de f. Se no conhecemos esta lei, Rn(x) pode ser estimado por : Teorema 5.3.1.2 Lei de f desconhecida ( )( ) ( )n10 xxxxxx L(x)Rn (maxj | f[x0 ,x1 ,...,xj ]|/((n+1)!) ). Se os pontos so igualmente espaados, vale tambm que: Teorema 5.3.1.3 Lei de f desconhecida e pontos igualmente espaados. Rn(x) ( )1n4 Mh j 1n + + , onde Mj = maxj | j f[x0 ]|.
- 8. 116 5.3.2 Erro na Integrao Numrica Integrando-se ambos os lados de f(x) = Pn(x) + Rn(x), obtemos: += b a n b a n b a dx)x(Rdx)x(Pdx)x(f Seja Tn = b a n dx)x(R , o termo complementar. Enunciaremos dois teoremas, cujas demonstraes aqui sero omitidas. Teorema 5.3.2.1 Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um nmero mpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contnua em [a, b], ento a expresso do erro para as frmulas de Newton-Cotes com n mpar dada por: Tn = + ++ n 0 )1n(2n du)nu)...(1u(u )!1n( )(fh para algum ponto [a, b]. Teorema 5.3.2.2 Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um nmero par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contnua em [a, b], ento a expresso do erro para as frmulas de Newton-Cotes com n par dada por: Tn = + ++ n 0 )2n(3n du)nu)...(1u(u) 2 n u(u )!2n( )(fh para algum ponto [a, b]. Exemplo 5.3.1: Determinar o menor nmero de intervalos em que podemos dividir [1, 2] para obter 2 1 dx)x(nl pela regra do Trapzio com erro 104 . Soluo: T1 )t(fmax 12 nh 2t1 3 Temos que f(t) = nl t, f(t) = t 1 , f(t) = 2 t 1 1)t(fmax 2t1 = T1 4 3 101 12 nh Mas h = n ab h = n 12 h = n 1
- 9. 117 n 4 3 10 12n 1 4 2 10 n12 1 n2 12 104 n2 = 834 nmin = 29 Assim devemos dividir o intervalo [1, 2] em 29 subintervalos iguais para obter 2 1 dx)x(nl pela regra do trapzio com erro 104 . 5.4- Exerccios: 5.4.1) Provar que: n kn n k CC = (Sugesto: Faa a mudana de varivel: u = n v em n kC ) 5.4.2) Determine h de modo que a regra do trapzio fornea o valor de I = 1 0 x dxe 2 , com erro inferior a 0.5 6 10 . 5.4.3) Achar o nmero mnimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra 3 1 de Simpson, obter 2 0 x xdxcose com erro inferior a 103 . 5.4.4) Nos exerccios [4.2] e [4.3], resolva as integrais numericamente pelas regras citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos. 5.4.5) Calcular 3 2 2 x dxxe pela regra 8 3 de Simpson, sobre 07 pontos e dar um limitante para o erro cometido.
