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Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá
Pesquisa Operacional
Livro: Introdução à Pesquisa Operacional
Capítulo 4 – Modelo de Transporte Simples
Fernando Marins – [email protected]
Departamento de Produção
Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá
Sumário
2
Modelo de Transporte Simples
Histórico e CaracterísticasModelo MatemáticoModelo em Grafos“Stepping Stone Algorithm”Casos Especiais
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Modelo de Transporte Simples
3
Histórico • Kantorovich (1939) - problema da distribuição• Koopman (1941) - problema de transporte
Observação: dividiram o Prêmio Nobel de Economia em 1975.• Dantzig (1947) - algoritmo eficiente
Características • Transporte de um produto a partir de várias origens para diversos destinos.• Produção ai em cada origem Oi, i = 1, m.
• Demanda bj em cada destino Dj, j = 1, n.
• Custos unitários de transporte cij em cada trajeto Oi - Dj.
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Modelo de Transporte Simples
Variáveis de decisão:Xij = quantidade a ser transportada da origem Oi ao destino Dj. Função objetivo: minimização do custo total transporte Min C =
Restrições:
Observação importante:
Cij Xij
ji
0. Xiji
destinos nos balanço -n 1, = j bj, = Xij
origens nas balanço - m 1, = i aj
i, =
ijX
ai = j
ji
b (modelo balanceado)
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Modelo de Transporte Simples
Exemplo: considere situação onde há 3 fábricas produzindo o mesmo produto e 4 depósitos onde estes produtos são estocados para posterior venda. As produções nas fábricas são: a1 = 40, a2 = 80, a3 = 110. nos depósitos devem ser atendidas as seguintes demandas: b1 = 20, b2 = 30, b3 = 100, b4 = 80. Os custos unitários de transporte do produto são dados por:
Achar um modelo de PL para determinar o programa de entregas do produto com mínimo custo de transporte.
D1 D2 D3 D4
O1 10 5 12 4
O2 2 0 1 9
O3 13 11 14 6
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Sujeito a:
Formulação do modelo
343332
3124232221141312+ 11
6X + 14X + + 11X +
+ 13X + 9X + 1X + 0X + 2X + 4X + 12X + 5X X10 = C Min
4. 1, = j e 3 1, = i 0, X
80 = X + X + X
100 = X + X + X
30 = X + X + X
20 = X + X + X
110 = X +X + X + X
80 = X + X + X + X
40 = X + X +X+
ij
342414
332313
3222 12
312111
34 333231
24232221
1413 12 11X
Variáveis de decisão: Xij = quantidade de produto enviado de Oi para Dj
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X =
Qualquer equação do sistema de restrições é combinação linear das demais no. de equações Linearmente Independentes = (m + n -1).
Representação matricial das restrições(excluindo os zeros na matriz de coeficientes das variáveis)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
40
80
110
20
30
100
80
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Modelos em Grafos
Rede de transporte
(a1= 40) O1 D1 (b1=20)
D2 (b2=30)
(a2=80) O2
D3 (b3=100)
(a3=110) O3 D4 (b4=80)
Cij
10512
4
2019
13 1114
6
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Solução Básica Viável equivale a uma Árvore na rede de transporte com (m + n - 1) = 3 + 4 -1 = 6 variáveis básicas.
Exemplo: x11, x12, x22, x23, x33, x34 são as variáveis básicas.
40 20
80 30
110 100
80
9
Solução Básica Viável = Árvore
X11= 20
X12 = 20
X22 = 10
X23 = 70
X33 = 30
X34 = 80
Observação: as demais variáveis são não-básicas e nulas.
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Algoritmos e Equivalência de Conceitos
entre PL e Grafos
- Método Simplex - Algoritmo especializado: “Stepping Stone Algorithm” Toma vantagem da estrutura especial da matriz de restrições de modelos de transporte formada por “0” e “1”.
Equivalência de Conceitos
Programação Linear Teoria dos Grafos
Valor da Variável de Decisão Valor do Fluxo no Arco
Solução Básica Viável Árvore Viável
Solução Inicial Árvore Inicial
Coeficiente de Custo Relativo Coeficiente de Custo Marginal
Variável (Não) Básica Arco (Não) Básico
Pivoteamento Balanceamento de Fluxo no Ciclo de compensação
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Etapas de aplicação do “Stepping Stone Algorithm”
Passo 1: Inicialização*Achar árvore inicial. Ir ao passo 2. Passo 2: Teste de OtimalidadeAchar os coeficientes de custos (lucros) marginais dos fluxos não-básicos. Se for árvore ótima Parar.Caso contrário escolher arco para entrar na próxima árvore básica. Ir ao passo 3. Passo 3: Melhoria da solução atualAchar ciclo de compensação formado pelo arco que entra e a árvore básica atual. Determinar no ciclo qual arco básico será substituído. Efetuar o balanceamento de fluxo no ciclo. Voltar ao passo 2.
*Métodos de inicialização do “Stepping Stone Algorithm”:Regra do canto esquerdo (ou regra do canto noroeste).Regra do custo mínimo (lucro máximo para problemas de Maximização).
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Métodos de inicialização do “Stepping Stone Algorithm”
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Regra do canto esquerdo: Consiste em, iniciando pelo arco (1, 1) ou trajeto O1D1 associado ao canto superior esquerdo da tabela usada pelo algoritmo, e através de deslocamentos sucessivos para a direita e para baixo, atingir o canto inferior direito da tabela, distribuindo a produção disponível nas origens pelos arcos (chamados arcos básicos) de forma a atender as demandas nos destinos.
Uma linha (ou coluna) é explorada até que a produção (ou demanda) desta linha (ou coluna) seja esgotada (ou atendida). Em cada arco deve-se alocar a maior quantidade de produto possível.
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Modelo de Transporte Simples
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Regra do custo mínimo (ou lucro máximo):
Consiste em atribuir o máximo valor transportável aos trajetos associados aos menores (ou maiores) custos (ou lucros) unitários de transporte.
Escolhe-se primeiro o trajeto associado com o menor (ou maior) custo (ou lucro) unitário, depois o trajeto associado ao próximo
menor (ou maior) custo (ou lucro), e assim por diante até se esgotar toda a produção disponível e atender toda a demanda
existente.
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Aplicação do “Stepping Stone Algorithm”
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Árvore inicial obtida pela regra do canto esquerdo:
D1 D2 D3 D4 Produção
O1 10 5 12 4 40
O2 2 0 1 9 80
O3 13 11 14 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
D1 D2 D3 D4 ProduçãoO1 10 5 12 4 40
O2 2 0 1 9 80
O3 13 11 14 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
Tabela inicial com os dados do problema:
Número de arcos básicos:(m + n - 1) = 3 + 4 -1 = 6.Custo da solução: 20.10 + 20.5 + 10.0 + 70.1 + 30.14 + 80.6 = 1270.
20 20
10 70
30 80
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D1 D2 D3 D4 Produção
O1 10 5 12 4 40
O2 2 0 1 9 80
O3 13 11 14 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
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Árvore inicial obtida pela regra do custo mínimo
30 50
40
4020 50
Número de arcos básicos: (m + n - 1) = 3 + 4 -1 = 6.
Custo da solução: 40.4 + 50.1 + 30.0 + 20.13 + 50.14 + 40.6 = 1410.
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Ciclo de Compensação
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X11= 20
X12 = 20
X22 = 10
X23 = 70
X33 = 30
X34 = 80
40
80
110
20
30
100
80
X21 =0-1
-1
+1
+1
X21 (É candidato a entrar)
(C(C21 21 =2)=2)
(C(C11 11 =10)=10)
(C(C12 12 =5)=5)
(C(C22 22 =0)=0)
C21 = 22.(+1) +1010.(-1) +55.(+1) +00.(-1) = -3/unidade.
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Ciclo de compensação do arco não-básico (2, 1) .
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D1 D2 D3 D4 ProduçãoO1 20 10 20 5 12 4 40
O2 2 10 0 70 1 9 80
O3 13 11 30 14 80 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
(+1)
(-1) (+1)
(-1)
Custo marginal do arco (2, 1):
C21 = 2.(+1) + 10.(-1) + 5.(+1) + 0.(-1) = -3/unidade. (É candidato a entrar)
Ciclo de compensação formado pela árvore básica, obtida pela Regra do Canto esquerdo, e pelo arco não-básico (2, 1).
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Ciclo de Compensação
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X11= 20
X12 = 20
X22 = 10
X23 = 70
X33 = 30
X34 = 80
40
80
110
20
30
100
80
X14 =0-1
-1
-1
+1
+1
+1
X14 (Não é candidato a entrar)
(C(C1414=4)=4)
(C(C34 34 =6)=6)
(C(C33 33 =14)=14)
(C(C23 23 =1)=1)
(C(C22 22 =0)=0)
(C(C12 12 =5)=5)
C14 = 44.(+1) +66.(-1) +1414.(+1) +11.(-1) +00.(+1) +55.(-1) = 6/unidade.
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Ciclo de compensação do arco não-básico (1, 4).
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D1 D2 D3 D4 Produção
O1 20 10 20 5 12 4 40
O2 2 10 0 70 1 9 80
O3 13 11 30 14 80 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
(+1)
(-1)(+1)
(-1)(+1)
(-1)
Custo marginal do arco (1, 4):
C14 = 4.(+1) + 6.(-1) + 14.(+1) + 1.(-1) + 0.(+1) + 5.(-1) = +6/unidade. (Não é candidato a entrar)
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Ciclo de Compensação
20
X11= 20
X12 = 20
X22 = 10
X23 = 70
X33 = 30
X34 = 80
40
80
110
20
30
100
80
X31 =0-1
-1
-1
+1
+1
+1
X31 (É candidato a entrar)
(C(C31 31 =13)=13)
(C(C11 11 =10)=10)
(C(C12 12 =5)=5)
(C(C22 22 =0)=0)
(C(C23 23 =1)=1)
(C(C33 33 =14)=14)
C31 = 1313.(+1) +1010.(-1) +55.(+1) +00.(-1) +11.(+1) +1414.(-1) = -5/unidade.
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Determinação dos coeficientes de custos marginais de alguns arcos não-básicos
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Ciclo de compensação formado pela árvore básica, obtida pela Regra do Canto esquerdo, e pelo arco não-básico (3, 1).
D1 D2 D3 D4 ProduçãoO1 20 10 20 5 12 4 40
O2 2 10 0 70 1 9 80
O3 13 11 30 14 80 6 110Demanda 20 30 100 80 230
(+1)
(-1) (+1)
(-1) (+1)(-1)
Custo marginal do arco (3, 1):
C31 = 13.(+1) +10.(-1) + 5.(+1) + 0.(-1) + 1.(+1) + 14.(-1) = -5/unidade. (É candidato a entrar)
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Balanceamento de Fluxo no Ciclo de Compensação
22
X11= 20
X12 = 20
X22 = 10
X23 = 70
X33 = 30
X34 = 80
40
80
110
20
30
100
80
X31 =0-1
-1
-1
+1
+1
+1
X31 (É que Entrar) = X22 (É que sai)=10
Possui o menor valor de fluxo dos valores com (-1)
dentro do ciclo de compensação.
.(10)
.(10)
.(10)
.(10)
.(10)
.(10)
Novo valor da função objetivo = valor anterior + c31.X31= 1270 + (-5).10 = 1220.
Sairá o arco básico do ciclo que se anular primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco não-básico (3, 1) escolhido para entrar: neste caso será o arco (2, 2) =>Xij 0 (satisfazera condição de não-negatividade)
O arco (2,2) é substituído pelo Arco (3,1)
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Balanceamento de Fluxo no Ciclo de Compensação
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X11= 10
X12 = 30
X31 = 10
X23 = 80
X33 = 20
X34 = 80
40
80
110
20
30
100
80 X31 (É que Entrar) = X22 (É que sai)=10
Novo valor da função objetivo = valor anterior + c31.X31= 1270 + (-5).10 = 1220.
Nova solução básica com arco (3, 1) no lugar do arco (2, 2)
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Melhoria da solução básica
Escolhendo o arco não-básico (3, 1) para entrar na próxima árvore básica deve-se determinar o arco básico do ciclo de compensação que será substituído.
Deve-se fazer o balanceamento dos fluxos nos arcos do ciclo a partir do novo valor de fluxo no arco (3, 1)= x31 = 10: assim
X11 = 20 - 10 = 10 X12 = 20 + 10 = 30X23 = 70 + 10 = 80X33 = 30 - 10 = 20X34 = 80 (não se altera pois não é do ciclo)
Novo valor da função objetivo = valor anterior + c31.X31= 1270 + (-5).10 = 1220.
Sairá o arco básico do ciclo que se anular primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco não-básico (3, 1) escolhido para entrar: neste caso será o arco (2, 2). O novo fluxo no arco (3, 1) será exatamente o valor do fluxo que passava pelo arco substituído (2, 2): assim x31 = 10 na nova árvore básica.
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Nova solução básica com arco (3, 1) no lugar do arco (2, 2)
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Aplicando-se o Passo 2 tem-se:
D1 D2 D3 D4 ProduçãoO1 10 10 30 5 C13 = +1 12 C14 = +1 4 40
O2 C21 = +2 2 C22 = +5 0 80 1 C24= +16 9 80
O3 10 13 C32 = +3 11 20 14 80 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
Não há cij < 0: Árvore atual é ótima.X11 = 10 Remeter 10 unidades do produto da fábrica 1 ao depósito 1X12 = 30 Remeter 30 unidades do produto da fábrica 1 ao depósito 2X23 = 80 Remeter 80 unidades do produto da fábrica 2 ao depósito 3X31 = 10 Remeter 10 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 1X33 = 20 Remeter 20 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 3X34 = 80 Remeter 80 unidades do produto da fábrica 3 ao depósito 4Custo Ótimo mínimo de transporte = 1220.
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Modelo de Transporte Simples
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Método alternativo para cálculo dos coeficientes de custos marginais dos arcos não-básicos
Método Modificado (Modi): Inspirado nas condições de folgas complementares da teoria da dualidade da Programação Linear.Maneira mais simples de se calcular os coeficientes de custo marginais.
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Método Modificado (Modi):
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Procedimento:
Considere uma dada solução básica para o modelo Definir:
custo marginal Li com i = 1, m para cada linha i da tabela, custo marginal Kj, com j = 1, n para cada coluna j da tabela,
de forma que, para cada trajeto (ou arco) básico (i, j) da solução dada tem-se: Li + Kj = cij
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Modi
O sistema de equações resultante tem solução indeterminada: (m + n) variáveis Li, Kj
(m + n - 1) equações, uma para cada um dos arcos básicos da árvore associada a solução em estudo.
Para levantar a indeterminação do sistema basta fazer, por exemplo, L1 = 0 e calcular por inspeção os demais valores de Li e Kj.
Para o cálculo do valor do coeficiente de custo marginal de cada arco não-básico (i, j) usar a expressão: Cij = cij - (Li + Kj)
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Exemplo do MODI
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Considere no exemplo anterior a tabela associada à solução inicial, obtida pela regra do custo mínimo, onde deseja-se calcular todos os coeficientes de custo marginal dos arcos não-básicos.
Número de arcos básicos: (m + n - 1) = 3 + 4 -1 = 6.
D1 D2 D3 D4 Produção
O1 10 5 12 40 4 40
O2 2 30 0 50 1 9 80
O3 20 13 11 50 14 40 6 110
Demanda 20 30 100 80 230
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Modelo de Transporte Simples
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Aplicando-se o método Modi tem-se as variáveis L1, L2, L3, K1, K2, K3, K4, e o sistema de equações:
L1+ K4 = 4 L2 + K2= 0L2 + K3 = 1
L3 + K1 = 13L3 + K3 = 14L3 + K4 = 6
Fazendo-se L1= 0 tem-se: K4 = 4 L3 = 2, K3 = 12, K1 = 11, L2 = -11, K2 = 11.Cálculo dos Coeficientes de Custo Marginal:
C11 = C11 - (L1 + K1 ) = 10 - (0 + 11) = -1C12 = C12 - (L1 + K2 ) = 5 - (0 + 11) = -6 C13 = C13 - (L1 + K3 ) = 12 - (0 + 12) = 0 C21 = C21 - (L2 + K1 ) = 2 - ( -11 + 11) = 2C24 = C24 - (L2 + K4 ) = 9 - (-11 + 4) = 16C32 = C32 - (L3 + K2 ) = 11 - (2 + 11) = -2
Candidatos
Candidato
Mantém o valor da FO
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“Stepping Stone Algorithm”
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Para um Modelo de Minimização Passo 1: InicializaçãoDeterminar uma árvore básica inicial com (m + n - 1) arcos básicos. Ir ao Passo 2. Passo 2: Teste de Otimalidade Calcular os coeficientes de custos marginais dos arcos não-básicos. Se coeficiente de custo marginal > 0 solução atual é ótima. Parar. Se há coeficiente de custo marginal cij < 0 solução atual não é ótima. O arco (i, j) deve se tornar arco básico na próxima árvore básica. assim o arco (i, j) é escolhido para entrar. Ir ao Passo 3.
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Passo 3. Melhoria da Solução
Achar ciclo de compensação formado pelo arco não-básico (i, j) escolhido para entrar e a árvore básica atual.
No ciclo achar o arco básico (k, l) que se anula primeiro ao se aumentar o valor do fluxo no arco (i, j) que entra. O arco básico (k, l) sai e será substituído pelo arco (i, j).
Efetuar o balanceamento de fluxo no ciclo, com todo o fluxo do arco (k, l) indo para o arco (i, j). Voltar ao Passo 2.
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Passo 2: Teste de Otimalidade - Modelos de Maximização
Calcular os coeficientes de lucro marginal.
Se coeficiente de lucro marginal < 0 Solução Atual é Ótima. Parar.
Se há coeficiente de lucro marginal lij > 0 solução atual não é ótima. O arco (i, j) deve se tornar arco básico na próxima árvore básica. Assim o arco (i, j) é escolhido para entrar
Todo o restante do algoritmo é igual ao caso de mimimização
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Casos especiais(1) ofertas e demandas desbalanceadas
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Podem ocorrer duas situações
ai > j
j
i
b
i
j
j i ba
Custos de transporte nos trajetos fictícios são nulos.Aplica-se o “Stepping Stone Algorithm” para o modelo ampliado e
balanceado.
excesso de oferta criar destino fictício.
excesso de demanda criar origem fictícia.
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Casos especiais - (2) Condições proibidas de embarque e recepção – Trajetos proibidos
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Quando há restrições adicionais, como a existência de trajetos proibidos entre determinadas origens e destinos do modelo:
Basta bloqueá-los na tabela de aplicação do algoritmo, de forma a desconsiderá-los da solução.
Ou seja, associar a cada um destes trajetos proibidos um custo de transporte muito alto na função objetivo
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Casos Especiais - (3) Soluções degeneradas
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Podem ocorrer a partir de duas situações: (I) Na inicialização do algoritmo se o nº. de arcos básicos for menor que (m + n - 1), ou seja, a regra de inicialização não fornece uma árvore:
(II) No Passo 3 do algoritmo durante a determinação do arco básico a ser substituído pelo arco não-básico escolhido para entrar pode se verificar um “empate na saída”, ou seja, mais de um arco básico do ciclo de compensação encontrado se anula para um dado valor de fluxo no arco que entra:
Escolher qualquer um destes arcos básicos para sair e manter os demais, com fluxo nulo na próxima árvore básica (degenerada).
Efetuar o balanceamento de fluxo para os demais arcos.
Acrescentar convenientemente arcos com fluxo nulo até que se obtenha uma árvore (= grafo com m + n - 1 arcos e sem ciclos).
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Exemplo com degeneração e desbalanceamento
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Há um excesso de produção no valor de 220 - 200 = 20 unidades criar um destino fictício DF com demanda associada de 20 unidades.
D1 D2 D3 D4 DF Produção
O1 20 10 20 5 C13= +6 12 C14= +6 4 C1F= +8 0 40
O2 C21= -3 2 10 0 70 1 C24= +16 9 C2F= +13 0 80
O3 C31= -5 13 C32= -2 11 10 14 70 6 20 0 100
Demanda 20 30 80 70 20 220
D1 D2 D3 D4 Produção
O1 10 5 12 4 40
O2 2 0 1 9 80
O3 13 11 14 6 100
Demanda 20 30 80 70 200\220
Solução inicial para o novo modelo (balanceado)
Custo da solução inicial: 930
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D1 D2 D3 D4 DF Produção
O1 20 (-1) 10 20 (+1) 5 12 4 0 40
O2 2 10 (-1) 0 70 (+1) 1 9 0 80
O3 (+1) 13 11 10 (-1) 14 70 6 20 0 100
Demanda 20 30 80 70 20 220
38
Escolhendo para entrar o arco (3, 1) obtém-se o ciclo de compensação :
Exemplo com degeneração e desbalanceamento
Percebe-se que quando o fluxo no arco que entra (3, 1) é aumentado até o valor 10 os fluxos nos arcos básicos (2, 2) e (3, 3) se anulam
configurando-se um “empate na saída”.
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Exemplo com degeneração e desbalanceamento
Escolhendo, por exemplo, o arco (2, 2) para sair e ser substituído pelo arco (3, 1):
Arco (3, 3) fica na árvore básica (degenerada) com fluxo nulo
D1 D2 D3 D4 DF Produção
O1 10 10 30 5 C13= +1 12 C14= +1 4 C1F= +3 0 40
O2 C21= +2 2 C22= +5 0 80 1 C24= +16 9 C2F= +13 0 80
O3 10 13 C32= 3 11 0 14 70 6 20 0 100
Demanda 20 30 80 70 20 220
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D1 D2 D3 D4 DF Produção
O1 10 10 30 5 C13= +1 12 C14= +1 4 C1F= +3 0 40
O2 C21= +2 2 C22= +5 0 80 1 C24= +16 9 C2F= +13 0 80
O3 10 13 C32= +3 11 0 14 70 6 20 0 100
Demanda 20 30 80 70 20 220
40
Esta tabela corresponde a solução ótima (degenerada) com custo ótimo = custo anterior + C31.X31 = 930 + (-5).10 = 880.
Valores ótimos de fluxo para os arcos básicos: X11 = 10, X12 = 30, X23 = 80, X31 = 10, X33 = 0, X34 = 70, X3F = 20.
Exemplo com degeneração e desbalanceamento
Observe que o valor de fluxo igual a 20 no arco fictício (O3, DF) significa que 20 unidades do produto ficarão estocadas na origem 3.
Os arcos não-básicos tem fluxo nulo.
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Exercícios
41
1. Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, com as seguintes capacidades de produção e demandas relativas a um produto de interesse:
Fábrica Capacidade Cliente Demanda
F1 200 C1 140
F2 100 C2 120
F3 80 C3 90
C4 30
Total 380 Total 380
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Exercícios
42
Os custos de transporte ($/por unidade) são os seguintes:
Clientes
Fábricas C1 C2 C3 C4
F1 5 4 6 14
F2 2 9 8 10
F3 6 11 7 12
Com o objetivo de minimizar os custos de transportes, determinar o programa de embarque do produto de cada fábrica a cada cliente. Formule os modelos em Redes e de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo com a Regra do Canto Esquerdo.
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Exercícios
43
2. Uma companhia tem 3 depósitos e 4 clientes, com as seguintes capacidades mensais de estocagem e demanda para um dado produto:
Depósito Capacidade Cliente Demanda
D1 30 C1 10
D2 90 C2 100
D3 70 C3 70
C4 30
Total 190 Total 210
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Exercícios
44
No contrato com os Clientes foram incluídas multas ($/unidade de produto faltante) associadas a eventuais faltas dadas por: $1 se faltar para o Cliente 1, $3 se faltar para o Cliente 3 e $2 se faltar para o Cliente 4. Os custos de embarque ($/por unidade) são os seguintes:
Sabendo-se que obrigatoriamente o cliente C2 deve ser atendido completamente, encontrar o programa de embarque de mínimo custo. Formule um modelo de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo com a Regra do Custo Mínimo.
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Exercícios
45
3. Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, referentes a um determinado produto, e conhece-se os dados abaixo:
Fábrica
Capacidade
mensal da
produção
Custo de
produção
($/unidade)Cliente
Demanda
mensal
Preço de
venda
($/unidade)
F1 85 50 C1 100 100
F2 90 30 C2 80 110
F3 75 40 C3 20 105
C4 40 125
Total 250 Total 240
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Exercícios
46
Conhecem-se os custos de se manter o produto em estoque ($/unidade estocada) em cada Fábrica: $1 para estocagem na Fábrica 1, $2 para estocagem na Fábrica 2 e $3 para estocagem na Fábrica 3. Os custos de transporte ($/unidade) são:
Local de Locais de Venda
Fabricação C1 C2 C3 C4
F1 43 57 33 60
F2 30 49 25 47
F3 44 58 33 64
Encontrar o programa de distribuição que proporcione lucro máximo. Formule o modelo de PL e aplique o Stepping Stone Algorithm. Inicialize o algoritmo pela Regra do canto Esquerdo.