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1
Especificações de Filtros
Especificação em tempo contínuo
Especificação em tempo discreto
Resposta em frequência de um filtro
210log20
atenuação
ARegião
irrelevante
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2
FIR e IIR
FIR – Finite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Finita)
IIR – Infinite Impulse Response Filter
(Resposta ao Impulso Infinita)
N
k
kk
M
m
mmM
mm
N
kk
za
zbzHmnxbknya
0
0
00 .
.)(][.][.
M
m
mm
M
mm zbzHmnxbny
00
.)(][.][
Só tem zeros sempre sempre estáveisestáveis
Contêm zeros e pólos
M – ordem M – ordem do filtrodo filtro
N – ordem do filtroN – ordem do filtro
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3
FIR vs IIR
FIR São sempre estáveis Permitem facilmente fase linear Podem necessitar de ordem elevada
IIR Menor peso computacional
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4
Projecto de Filtros IIR
Conversão de Filtros Analógicos
•Aproveita os resultados dos sistemas analógicos
Transformação Bilínear
• Um mapa do plano-s para o plano-z
1
1
1
12
z
z
Ts
zesT
Mapa exacto seria (AD-DSP-DA):
)2/tan(2 T
Provoca uma transformação na frequência
)2/arctan(2 T
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5
Transformação Bilínear
Transforma o semi-plano complexo esquerdo no circulo unitário!
Sistemas estáveis resultam em sistemas estáveis
Transformação na frequência:
Especificações devem ser ajustadas de forma a compensar a transformação
sT
sTz
)2/(1
)2/(1
1
1
1
12
z
z
Ts
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6
Invariância ao Impulso
k
tsK
TL
k K
K tueAthss
AsH K ][)()(
1
k
nkK
TZ
k k
K nuzAnhzz
AzH ][
1)(
1
Tsk
kez
amostragem
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7
Filtros Butterworth
São filtros que têm uma característica de amplitude maximamente plana na banda de passagem.
Têm a seguinte resposta em amplitude:
Nc
c jjjH
2
2
)/(1
1)(
A sua transformada de Laplace é constituída apenas por pólos nas posições:
N
kkss
sH
1
)/1(
1)(
)12)(2/( NkNjCk es
NCC jH 22
)//(1)(
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8
Filtros Chebyshev
Permitem oscilações na banda de passagem de forma permitir a utilização de filtros de menor ordem relativamente ao Butterworth.
)/(1
1)(
22
2
cNc VjH
1)(0 xV xxV )(1
12)( 22 xxV
)()(2)( 11 xVxxVxV NNN NCN
C jH 2122)/(4/1)(
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9
Filtros passa-banda
Projecto em tempo continuo Transformação passa-baixo passa banda Escolher o tal que,
Especificações ou mais apertadas
212
SSo
212
PPo
sB
sSBaixoPassaBandaPassa STsT 2
02)()(
12 PPB
2220 4
12
1PassLowPassLow
BB
BPassLow
20
2
12
PassLowP
11
PassLowP
12
12
1/2PP
SS
PassLowS
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10
Filtros passa-banda
1P 2P2S
1P
1S
12
12
PP
SS
S
212
SSo 12 PPB
Deve-se escolher P1 e P2 de forma que:
212
PPo
Mas garantindo que P1< P1real e
P2> P2real
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11
Projecto de Filtros FIR
deeHnh jjdd )(
2
1][
Método da Janela
Especificação de uma resposta ideal na frequência e determinação da resposta impulsiva correspondente:
)( jd eH
Multiplicação por janela:Pode ser infinita e não causal
truncagem
][][][ nwdnhnh d
cc ,0
0,1][
Mnnw
janela
Janela rectangular:
Atraso da janela
2/Md
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12
Janela Rectangular
]2/sin[
]2/)1(sin[)( 2/
MeeW Mjj
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13
Outras Janelas
cc ,0
0,1][
Mnnw
cc ,0
2/0,/22
2/0,/2][ MnMn
MnMnnw
RectangularBartlett (triangular)
cc ,0
0),/2cos(5.05.0][
MnMnnw
Hanning
Hamming
cc ,0
0),/2cos(46.054.0][
MnMnnw
Blackman
cc ,0
0),/4cos(08.0)/2cos(5.042.0][
MnMnMnnw
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14
JanelasRectangular
(o riple ou a atenuação nunca baixam de 20dB
por maior que seja a ordem! Fenómeno de
Gibbs)
triangular
Hanning
Hamming
Blackman
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15
Janelas
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16
Janela de Hanning
)(.2
2
2
2)()(
]'[))/'2cos(5.05.0(]'[
][))/2cos(5.05.0(][
jR
j
R
R
eWMM
eW
nwMnnw
nwMnnw
)( jR eW
)( jeW
2/' Mnn
]2/sin[
]2/)1(sin[)(
M
eW jR
WR – Janela Rectangular
W – Janela Hanning
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17
Janela Kaiser
cc ,0
0,)(
])]/)[(1([][
0
2/120 Mn
I
nInw
ps
10log20A
21,0.0
5021),21(07886.0)21(5842.0
50),7.8(1102.04.0
A
AAA
AA
285.2
8AM
Funções de Bessel
modificadas de ordem zero
É simples obter e M dadas as especificações
Permite trocar largura do lobo principal por amplitude do
lobo secundário
21
Ordem do filtro
(dB)
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18
Projecto Equiriple de FIR
Janela rectangular minimiza
deHeH jjd
22 )()(
2
1
Outro critério é o do erro máximo)()(max jj
d eHeH
Parks-McClellan algorithm
324.2
13)log(10 21M
Filtros de oscilação constante (equiriple)
Resulta em filtros de menor ordem do que pelo método das janelas
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19
Projecto Equiriple
Erro quadrático mínimo (janela rectangular) Óptimo sinais de banda larga, ex: ruído branco
Equiriple (erro máximo mínimo) Garante que qualquer sinal fora da banda é atenuado
pelo menos A dB Projecto para o pior caso, ie, sinais de banda estreita
junto à banda de transição