1 Apostila de Matemática – CAAK .......................

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Cursinho Pré-Vestibulinho – Universidade Federal de São Paulo – SJC

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Conjuntos Numéricos

Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números, cada conjunto numérico possui elementos de mesma natureza. A seguir mostramos os conjuntos numéricos mais importantes: I) Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.

Os números inteiros, como veremos abaixo, são os números isentos de casas decimais, ou seja, sem vírgula (ou ponto).

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

O conjunto dos números naturais possui infinitos elementos, são elementos a partir do zero ”em diante”.

Atenção: O ZERO é um número sem sinal, ou seja, não é positivo nem negativo.

II) Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros possui, além de números (naturais) positivos e o zero, também números negativos. É representado pela letra maiúscula Z.

Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

III) Números Racionais

São aqueles que podem ser expressos na forma a/b (a sobre b), onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. É representado pela letra maiúscula Q.

Q ={ a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 ; 1 ; 2,5 ;...

-Números decimais exatos são racionais

Pois 0,1 = 1/10

2,3 = 23/10 ... - Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99



2

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

Observe que se b=1, então o número racional q=a/b é o mesmo que q=a, assim é um número inteiro.

IV) Números Irracionais

- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

-São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Exs:

V) Números Reais

- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:

Notação:

Quando um elemento está presente num conjunto dizemos que ele pertence a (usamos o símbolo ϵ ). Do

contrário dizemos que ele não pertence a e usamos o símbolo .

Já se um conjunto A está presente num outro conjunto B dizemos que A é subconjunto de B e/ou A está contido em B (ou usamos o símbolo ). Poderiamos dizer também que B contém A (ou A B).

Do contrário A não está contido em B (ou usamos o símbolo ).



3

Intervalos:

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b:

=

Intervalo fechado em a e aberto em b:

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos também:



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Frações

O que é uma fração? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Uma pizza inteira Quatro pedaços de pizza

1 4 x 1/4

Qual o significado de uma fração?

Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim:

indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o numerador e b, o denominador.

Leitura de frações:

Metade

Um terço

Dois quartos

Três quintos

Um sexto



5

Quatro sétimos

Sete oitavos

Dois nonos

Um décimo

Dois onze avos

Cinco doze avos

... ...

Um centésimo

Um milésimo

Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio

nome já diz, são equivalentes.

Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

a)

b)



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Outros exemplos:

a)

b) Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível.

Tipos de fração:

- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador.

Ex: ( 7<9 )

- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador.

Exs: ou

Numa fração imprópria temos o seguinte:

Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 sétimos. Vejam que 7x1+5=12

Outros exemplos:

a)

b)

M.M.C (Mínimo múltiplo comum)

Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que é o mínimo múltiplo comum. Mas o que isso significa? Vejamos:

Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e 6 simultaneamente? Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar?

m.m.c

3 e 4 12

5 e 30 30

12 e 15 60



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8 e 6 24

Adição e subtração de frações:

1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. Vejam os exemplos:

a)

b)

c)

2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações.

a)

O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos numa fração equivalente de denominador 6.

Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, simplifiquem.

b)

O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar e em frações equivalentes de mesmo denominador 12.

Assim:

Multiplicação de frações:



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Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

a)

b)

c)

Divisão de frações:

Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifique.

a)

b)

c)

d)

e)



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Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no

mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.



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2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação

temos:



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Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a

equação temos:



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Exercícios: 1) (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um número de dias igual a: a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20 2) (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalhadores for elevado para 24, o número de dias necessários para a construção da mesma ponte será: a) 180 b) 128 c) 100 d) 80 e) 60

3) (UNICRUZ-RS) Uma pessoa viajando de automóvel fez o percurso Cruz Alta - Porto Alegre em 5h, viajando numa velocidade média de 80 km/h. Na volta retornou mais apressado e fez o mesmo percurso em 4h. Portanto, a velocidade, ao retornar, foi de (km/h): a) 80 b) 85 c) 64 d) 90 e) 100 4) (UFPA) Cinco bordadeiras fazem 3/8 de uma toalha em 16 dias. Para acabar a toalha elas levarão: a) 30 dias b) 28 dias e 12h c) 26 dias e 16h d) 18,7 dias e) 9,6 dias 5) (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 16

6) (FAFI-BH) Se 120 operários constroem 600m de estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários necessários para construir 300m de estrada em 300 dias é: a) 6 b) 24 c) 240 d) 600 e) 2400 7) (CONCURSO BOLSA DE ESTUDOS - COLÉGIO DIVINO SALVADOR/1998 - JUNDIAÍ) Num internato, 45 alunos menores gastam R$ 1850,00 pelas refeições em 20 dias. Se o internato admitir mais 15 alunos menores, qual será a despesa das refeições em 60 dias? (R$) a) 700,00 b) 7400,00 c) 3200,00 d) 1500,00 e) 2500,00 8) (Unicruz-RS) Se a saca de soja está cotada em US$ 10,00, qual será o valor de 3 toneladas do produto, e se a densidade é 0,75 da água, qual o volume ocupado por 15 toneladas de soja? Densidade absoluta da água ------ 1 kg/l Saca de soja ------------------------------- 60 kg

a) US$ 550,00 e 20m³ b) US$ 500,00 e 10m³ c) US$ 550,00 e 10m³ d) US$ 500,00 e 20m³ e) US$ 505,00 e 15m³ Respostas: 1 – a; 2 – d; 3 – e; 4 – c; 5 – e; 6 – a; 7 – b; 8 - d



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Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b,

, à razão tal que

Indica-se por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:

Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.

Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).

Exemplos para compreendermos melhor:



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Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500;

Solução: = 50.

b) 25% de 200: Solução: = 50.

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:

a) 3 sobre 5?

= 3/5 ou

5x = 300 x= 60

A taxa é de 60%

b) 10 sobre 20?

= 10/20 ou

20x = 1000 x = 50

A taxa é de 50%

Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.

Exercícios resolvidos:

1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?

Resolução:

O desconto será: = 300.



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Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200.

Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%)

Logo, = 1200.

2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

O acréscimo será de: = 1200.

Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200

Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

= 13200.

3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. Qual foi a porcentagem de lucro sobre o preço de venda?

Resolução: = 5.

Portanto, 5%.

4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

Vamos por etapas: O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

= 300.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.

Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda, ou seja, o preço de venda será de 60% (100 – 40 = 60) sobre o preço atual:

= 180.

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.



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Exercícios:

9) (FEBA-SP) O valor de (raiz de 1%) é: a) 10% b) 10 c) 1 d) 1% 10) (UNIRIO-RJ) Para comprar um tênis de R$ 70,00, Renato deu um cheque pré-datado para 30 dias no valor de R$ 74,20. A taxa de juros cobrada foi de: a) 0,6% ao mês b) 4,2% ao mês c) 6% ao mês d) 42% ao mês e) 60% ao mês 11) (UFSM-RS) Se nesta prova de Matemática de 40 questões objetivas um vestibulando errar 12

questões, o porcentual de acertos será: a) 4,8% b) 12% c) 26% d) 52% e) 70% 12) (UFAL) A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2, nessa ordem, é equivalente a: a) 2,25% b) 4,75% c) 22,5% d) 27,5% e) 47,5% 13) (UNIRIO-RJ) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% e o outro com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João: a) lucrou 4% b) lucrou 2% c) perdeu 4% d) perdeu 2% e) não lucrou nem perde

14) (VUNESP) As promoções do tipo "leve 3 e pague 2", comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: a) 50/3 % b) 20% c) 25% d) 30% e) 100/3 % 15) (adaptado VEST. RJ) (1991) Está sendo proposta a criação de um imposto sobre transações financeiras de 0,3% sobre o valor de cada cheque. Se esse imposto for criado, quem descontar um cheque de R$ 250.000,00 receberá: (R$) a) 242.250,00 b) 242.500,00 c) 247.500,00 d) 249.250,00 e) 249.925,00 16) (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço de

tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 17) (UFMG) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, voltou aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, o porcentual de redução foi de: a) 10% b) 60% c) 75% d) 100% e) 150% 18) (adaptado UFPA) Uma aplicação em poupança rendeu, com juro simples, o valor de R$ 3248,00 em 4 meses que ficou depositada. Se a taxa é de 2% ao mês, o capital inicial era de (R$): a) 40 600,00 b) 46 000,00 c) 48 720,00 d) 121 800,00 e) 258 840,00



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19) (UNIFOR-CE) Do total de funcionários de certa empresa, 20% pertencem à área de informática. Se 10% do número de funcionários da área de informática e 15% do número de funcionários das outras áreas ocupam os 21 cargos de chefia da empresa, quantos funcionários dessa empresa não trabalham na área de informática? a) 75 b) 90 c) 100 d) 120 e) 150 20) (FUVEST) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19 500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro para o importador? (R$) a) 22 500,00 b) 24 000,00 c) 25 350,00 d) 31 200,00 e) 39 000,00 21) (adaptado FAFI-BH) O tempo, em dias, que um capital de R$ 20 000,00 deve permanecer

aplicado a uma taxa de juros simples de 25% ao mês para render um juro de R$ 15 000,00 é: a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 150 22) Para ser aprovado numa disciplina, um aluno precisa ter média maior ou igual a 50, obtida num conjunto de cinco provas, sendo quatro parciais, com peso 1 (um) cada, e uma prova-exame, com peso 2 (dois). Um certo aluno obteve em Matemática, nas quatro provas parciais, notas iguais a 30, 60, 50 e 70. Esse aluno, para ser aprovado nessa disciplina, deverá obter, na prova-exame, nota mínima igual a: a) 20 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 23) (UNIRIO-RJ) Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das mulheres tem mais de 20 anos. Quantas mulheres ainda não comemoraram seu 20º aniversário? a) 260 b) 182 c) 120 d) 105 e) 98

24) (UFJF-MG) Em certo dia, a relação entre ouro e dólar era de 1 pra 12, isto é, 1 grama de ouro valia 12 dólares. A partir daí, houve um aumento de 40% no valor do dólar e de 20% no preço do ouro. A nova relação entre o ouro e dólar passou a ser de 1 para: a) 4 b) 6 c) 12 d) 14 e) 24 25) (CONCURSO BOLSA DE ESTUDOS - COLÉGIO DIVINO SALVADOR/1998 - JUNDIAÍ) Numa turma, 80% dos alunos foram aprovados, 15% reprovados e os 6 alunos restantes desistiram do curso. Quantos haviam na turma? a) 120 b) 100 c) 80 d) 150 e) 25

Respostas: 9 – a; 10 – c; 11 – e; 12 – c; 13 – c; 14 – e; 15 – d; 16 – c; 17 – b; 18 – a; 19 – d; 20 – b; 21 – c; 22 – d; 23 – b; 24 – d; 25 – a.

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Curso de Matemática para Concursos – Ensino Médio

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FUNÇÃO

Este certamente é um conceito que você já aprendeu no inicio de Álgebra na 7ª série. Este é um assunto que está presente em todas as ciências e no ensino de matemática. Se estenderá até o final do ensino médio e na grande maioria dos cursos de 3º grau. Nesta seção, você terá apenas idéias de Função. Vejamos alguns exemplos: 1) A quantidade de "toner" consumida por uma máquina copiadora é função do número de cópias tiradas.

2) A conta (R$) de água é função do consumo do seu volume. 3) A conta (R$) de luz é função do consumo de energia. 4) O peso de um indivíduo normal é função da sua idade, até certo tempo. 5) O número de vereadores é função do número de eleitores de um município. Vendo os exemplos, podemos constatar que funções relacionam duas grandezas. Relacione as grandezas envolvidas em cada um dos exemplos acima. Exemplos: 1) Depois de muitos testes, uma indústria automobilística anunciou que seu carro era supereconômico, pois fazia na estrada 15 km/l. Analisando este dado, temos:

Grandezas envolvidas: quilômetro rodado (km) consumo de combustível (l) Matematicamente, essa situação pode ser escrita assim: y = 15 . x (Fórmula) y -- km rodados x -- litros consumidos TABELA

x (litros) 1 2 2,5 3

y (quilômetros) 15 30 37,5 45

As grandezas são chamadas de variáveis. Elas podem ser Dependentes ou Independentes. Variável Independente x litros Variável Dependente y quilômetros rodados GRÁFICO:

Iremos utilizar um gráfico de linhas; não esqueça que existem muitos outros.



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Usamos escalas diferentes nos eixos, pois as unidades são diferentes (litros e quilômetros).

Responda às perguntas: a) Entre 0 e 1 litro existem outros valores? Dê 3 exemplos. b) Quantos exemplos a mais você poderia dar? c) Para percorrer 1 km, quanto se consome de combustível? d) Para percorrer 0,5 km, quanto se consome de combustível? e) Para percorrer 1 m (cuidado), quanto se consome de combustível? f) Entre 1 e 2 litros existem outros valores? Dê 3 exemplos. g) Quantos exemplos a mais você poderia dar? h) Entre 2 e 3 litros existem outros valores? Dê 3 exemplos. i) Quantos exemplos a mais você poderia dar? j) Com as espostas obtidas nos itens anteriores, a que conclusão você chegou? l) Construa o gráfico correto. 2) Tabela, Fórmula, Gráfico

A tabela abaixo representa o espaço percorrido (em metros) em função do tempo (minutos) de um indivíduo que está se exercitando.

Tempo (min) t 0 1 2 3 4 5 6 7

Espaço (m) e 10 110 210 310 410 - - -

a) Copie e complete a tabela. b) Escreva a fórmula que relaciona o espaço e o tempo. c) Construa o gráfico.



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FUNÇÃO DO 1º GRAU

Os dois exemplos mencionados são de funções do 1º grau. y = 15 . x (x litros -- y quilômetros rodados)

e = 10 + 100 . t (t tempo -- e metros andados) Definição Diremos que uma função é do 1º Grau quando estiver na forma y = ax + b, onde a, b pertencem a IR (conjunto dos números reais). a - Chama-se coeficiente angular

b - Chama-se coeficiente linear Os pontos que pertencem ao gráfico dessa função estão sempre alinhados. Quando podemos uni-los temos uma RETA. E quando é que não podemos uni-los? Exemplos: 1) O público presente a uma determinada feira agropecuária durante 5 dias foi o seguinte:

Dias 1 2 3 4 5

Público (em mil) 2 3 4 5 6

Construa o gráfico dessa função e verifique se os pontos poderão ser unidos.

2) y = 2x, sendo x pertencente a Z a) Faça uma tabela atribuindo para x os valores -2, -1, 0, 1 e 2 b) Faça a representação gráfica verificando se os pontos devem ou não ser unidos. Os eixos x e y representam o Conjunto dos Números Reais (R). Ligamos os pontos do gráfico quando a variável independente pode assumir qualquer valor real (R). A variável independente numa função fará parte de um cnojunto denominado Domínio de uma Função. Os valores encontrados pela fórmula farão parte de um conjunto denominado Imagem. Exemplos: 1) Construa os gráficos das funções do 1º grau. Suponha o Domínio e Imagem Reais. Como sabemos que o gráfico é uma reta, necessitaremos apenas de 2 pontos para sua construção.

a) y = x b) y = 2x c) y = x/2 d) y = -x e) y = -2x f) y = - x/2 2) Construa os gráficos das funções: a) y = x+1 b) y = 2x + 1 c) y = x/2 - 1 d) y = -x + 1 e) y = - 2x - 1 f) y = - x/2 - 1

g) y = - x/3 + 2



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3) Responda: a) Algumas das retas do exercício 2 passaram pela origem? Qual a diferença entre as funções dos exercícios 1 e 2? b) O que garante que uma reta não passa pela origem? 4) Construa num mesmo plano cartesiano o gráfico das funções: a) y = 2x + 1 b) y = 2x + 2 c) y = 2x + 3 d) y = 2x + 4

5) Responda: a) O que você observou com as retas do exercício anterior? Quem garante esse fato? b) O que faz uma reta se deslocar para a direita ou esquerda? 6) Represente num mesmo plano cartesiano os gráficos das funções: a) y = 1/3x b) y = 1/2x c) y = x d) y = 2x

e) y = 3x f) y = - 1/3 x g) y = - 1/2 x h) y = -x

i) y = -2x j) y = -3x

8) Sem fazer os gráficos, encontre os pontos de interseção das retas com os eixos coordenados: a) y = 2x - 4 b) y = -2x - 4 c) y = -x + 1

d) y = 4x - 1 e) y = - x/3 + 1/4 f) y = - 2/3x

g) y = 4/3x - 3 h) y = - 2/3x + 1/4

7) Dada a função do 1º grau: y = ax + b, representada no gráfico abaixo, vamos encontrar as coordenadas dos pontos X e Y.

a) Note que o ponto X é elemento do eixo x; logo sua ordenada y vale zero. Desse fato, voltando à função y = ax + b, podemos encontrar a abscissa x do ponto: x = - b/a Esse valor chama-se Zero da Função, que é a Raiz da Equação ax + b = 0. b) Note que o ponto Y é elemento do eixo y; logo sua abscissa x vale zero. Desse fato, voltando à função y = ax + b, podemos encontrar abscissa y do ponto y = b. Esses pontos X(-b/a, 0) e Y(0,b) são denominados de interseção do gráfico da função com os eixos coordenados. 9) O preço (y) a pagar por uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa chamada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Supondo que a bandeirada esteja custando R$ 3,50 e o quilômetro rodado R$ 0,80, escreva uma função que expresse y em função de x.



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FUNÇÃO DO 2º GRAU

Foi organizada uma excursão para as Oimpíadas de avião com 100 lugares. A pessoa responsável, para evitar prejuízos, impôs a seguinte condição aos participantes:

Cada pessoa que viajar deverá pagar inicialmente R$ 2.000,00 e mais R$ 40,00 por lugar desocupado (passagem não vendida). Quantas pessoas devem viajar para que tenhamos arrecadação máxima? Para resolução desse problema faremos inicialmente algumas considerações, respondendo às perguntas:

1) Quanto será arrecadado se todos viajarem? (Chame a arrecadação de y reais.) 2) Quanto será arrecadado se: a) 99 passagens forem vendidas, ou seja, 1 lugar desocupado? b) 98 passagens forem vendidas, ou seja, 2 lugares desocupados? c) 80 passagens forem vendidas, ou seja, 20 lugares desocupados? d) 75 passagens forem vendidas, ou seja, 25 lugares desocupados? e) 97 passagens forem vendidas, ou seja, 3 lugares desocupados? f) x passagens forem vendidas, ou seja, (100 - x) lugares desocupados? Se você organizou corretamente a expressão do item f, deve ter chegado à seguinte função: y = -40x² + 6000x, onde x é passageiro e y (R$) é arrecadação A expressão acima caracteriza uma Função do 2º Grau. Porém, não conseguimos responder à pergunta do problema, pois não conhecemos ainda esse assunto.

Definição: Uma função é do 2º Grau quando é da forma y = ax² + bx + c, onde a, b, c são elementos de R, a ≠ 0, são chamados de COEFICIENTES. Por que a ≠ 0? O gráfico que caracteriza a função do 2º grau chama-se PARÁBOLA e tem os formatos abaixo:

Constuiremos 2 gráficos dessa função que consideraremos como fundamentais. A partir deles, poderemos traçar outros. 1) y = x²

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4



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2) y = -x²

x -2 -1 0 1 2

y -4 -1 0 -1 -4

3) O que você pode concluir sobre os dois gráficos? Qual é o coeficiente da função que caracteriza a diferença de dois gráficos? 4) Sem utilizar a tabela de valores e tomando como referencial o gráfico já construído no exemplo 1, construa o gráfico das funções. Utilize o compasso.

a) y = 2x² b) y = 3x²

c) y = x²/2 d) y = x²/3

5) Idem ao exercício anterior, tomando como referencial o gráfico já construído no exemplo 2. a) y = -4x² b) y = -5x² c) y = -x²/2

d) y = - x²/3 e) y = -2x² f) y = -3x²

g) y = -x²/4 h) y = -x²/5

6) Ainda sem uma tabela de valores, construa o gráfico das funções abaixo, tomando como referencial o gráfico do exemplo 1 ou o gráfico do exemplo 2. a) y = x² + 1

b) y = x² - 1

c) y = x² + 2

d) y = x² - 2

e) y = -x² + 1

f) y = -x² - 2



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Os gráficos anteriores estão relacionados com funções incompletas do 2º grau. Iremos construir o gráfico da função completa, utilizando a tabela de valores. A partir desse gráfico identificaremos alguns elementos importantes que o compõem. y = x² - 4x + 3

x 0 1 2 3 4

y 3 0 -1 0 3

C (0 , 3) é o ponto onde a parábola corta o eixo das ordenadas. Esse ponto tem sempre abscissa zero. Generalizando para a função do 2º grau y = ax² + bx + c, temos: x = 0 --> y = a . (0)² + b(0) + c --> y = c C (0,c)

As abscissas dos pontos A e B são chamados de Zeros da Função. Observe que A e B pertencem ao eixo das abscissas, logo y = 0. No exemplo dado: x² - 4x + 3 = 0 (trinômio) Fatorando o trinômio:

(x - 1) (x - 3) = 0 x - 1 = 0 -> x1 = 1 x - 3 = 0 -> x2 = 3 x1 e x2 são os zeros da função A(1,0) B(3,0) --> Pontos de interseção da parábola com o eixo das abscissas

V - é chamado de vértice da parábola. Ele também é um ponto que possui uma abscissa (x) e uma ordenada (y). Observe que a abscissa do vértice é um valor situado exatamente no meio dos 2 zeros da função. Logo, poderemos encontrar essa abscissa, que representaremos por xv, fazendo: xv = (x1 + x2)/2



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Para o nosso exemplo: xv = (1+3)/2 = 2. Como encontrar o yv? Basta substituirmos na função o valor de x encontrado. yv = (2)² + -4(2) + 3 = -1 V(2, -1) Pelo vértice da parábola podemos traçar uma reta perpendicular ao eixo das abscissas (x). Essa reta será chamada de Eixo de Simetria (e) Você observou nos 2 primeiros exemplos de gráficos das funções do 2º grau que elas podem se

apresentar de 2 maneiras:

Estas setas indicam a região da parábola denominada de concavidade da parábola. Batizaremos

essa concavidade como sendo a "boca" da parábola. No primeiro exemplo, dizemos que a concavidade está "voltada para cima", no segundo exemplo, que está "voltada para baixo". Será que ficou claro? Vamos exercitar um pouco: 1) Sem construir os gráficos identifique: - concavidade da parábola: "para cima" ou "para baixo"; - ponto em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas; - o(s) zero(s) da função; - ponto(s) em que a parábola intercepta o eixo das abscissas; - coordenadas do vértice V da parábola. a) y = -x² + 2x b) y = x² - 7x + 10 c) y = x² - 2x - 3

d) y = -x² + 6x - 5 2) Com os elementos encontrados, esboce os gráficos das funções do exercício anterior. 3) A parábola da figura é dada por y = x² - 2x - 3. Calcule a área do triângulo ABC.

Agora, retornando ao nosso problema da Olimpíada mencionado anteriormente, já é possível responder quantas pessoas devem viajar para que a arrecadação seja máxima.



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Lembrando que a lei encontrada foi y = - 40x² + 6000x onde: x - representa o número de pessoas que devem viajar y - representa a arrecadação (R$) Analisando a função para construção do seu gráfico: a) Identifique a concavidade da parábola. b) Determine o ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas. c) Determine os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas. d) Determine o vértice da parábola. e) Construa o gráfico. f) Observando o gráfico responda à pergunta do problema:

Quantas pessoas devem viajar para que a arrecadação seja máxima? Qual é o valor dessa arrecadação? Para encontrar o(s) zero(s) de uma função do 2º grau, resolvemos uma equação, utilizando a fatoração. Exemplo: y =x² - 4x + 3 Para encontrarmos o(s) zero(s) dessa função: x² - 4x + 3 = 0 Trinômio

Fatorando: (x - 1) (x - 3) = 0 x - 1 um dos fatores x - 1 = 0 ----> x1 = 1 x - 3 um dos fatores x - 3 = 0 ----> x2 = 3 x1 e x2 são zeros da função.



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Resolução de Equações do 1º grau com uma

variável 1. Introdução Consideremos o seguinte problema: Uma pessoa comprou uma televisão a prazo. Deu R$ 300,00 de entrada e pagará o restante em três prestações mensais, iguais. Nestas condições, essa pessoa pagará R$ 1500,00 pela televisão. Qual é o valor de cada uma das prestações?

Representando pela letra x o valor de cada prestação, podemos estabelecer a seguinte equação que representa simbolicamente o problema. 300 + 3x = 1500 300: Quantia dada como entrada 3x: Total das prestações 1500: Preço total Como você verifica, o problema pode ser representado por uma equação que nos exigiu imaginação, lógica e raciocínio para ser estabelecida. A partir daí, utilizaremos os conhecimentos que possuímos para resolver tal equação.

2. Resolução de Equações do 1º grau com uma variável Com o exercício feito, aprendemos a representar simbolicamente um fato matemático, e verificamos a necessidade de usar imaginação, lógica e raciocínio para essa representação. Agora, resolveremos problemas por meio de equações do 1º grau com uma variável; por esse motivo, são chamados problemas do 1º grau, ou equações do 1° grau. A resolução desses problemas é constituída de 3 fases: 1ª) Escrever a equação do problema. 2ª) Resolver a equação estabelecida. 3ª) Interpretar a solução da equação, isto é, verificar se a raiz da equação satisfaz as condições colocadas no problema.

Vejamos alguns exemplos: 1º exemplo: A soma do dobro de um número com 17 é igual a 45. Calcular esse número. Número procurado: x Equação: 2x + 17 = 45 Resolução: 2x + 17 = 45 --> 2x = 45 - 17 --> 2x = 28 --> x = 28/2 --> x = 14 Resposta: O número procurado é 14 2º exemplo: A metade de um número aumentada de 15 é igual ao dobro do mesmo número menos 45. Determinar esse número. Número procurado: x Equação: x/2 + 15 = 2x - 45 Resolução: x/2 + 15 = 2x – 45, multiplicando todos os fatores por 2 temos --> x + 30 = 4x - 90 --> x - 4x = - 90 - 30 --> - 3x = -120 --> 3x = 120 --> x = 120/3 --> x = 40

Resposta: O número procurado é 40.



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3º exemplo: A soma de dois números é 420. O maior deles é igual ao menor mais 60. Determinar os dois números. Número menor: x Número maior: x + 60 Equação: x + (x + 60) = 420 Resolução: x + (x + 60) = 420 --> x + x + 60 = 420 --> x + x = 420 - 60 --> 2x = 360 --> x = 360/2 --> x = 180 Cálculos:

Número menor = x = 180 Número maior = x + 60 = 180 + 60 = 240

Resposta: Os números são 180 e 240. 4º exemplo: A soma de dois números é 56. O maior deles é igual ao triplo do menor. Determinar os dois números. Número menor: x Número maior: 3x

Equação: x + 3x = 56 Resolução: x + 3x = 56 --> 4x = 56 --> x = 56/4 --> x = 14 Cálculos:

Número menor = x = 14 Número maior = 3x = 3 (14) = 42

Reposta: Os números são 14 e 42.

5º exemplo: A soma de dois números é 97, e a diferença entre eles é 31. Quais são os dois números? Número maior: x Número menor: x - 31 Equação: x + (x - 31) = 97 Resolução: x + x - 31 = 97 --> x + x = 97 + 31 --> 2x = 128 --> x = 128/2 --> x = 64 Cálculos:

Número maior = x = 64 Número menor = x - 31 = 64 - 31 = 33

Resposta: Os números procurados são 64 e 33. 6º exemplo: Na 6ª série A, o número de meninos é igual a 4/3 do número de meninas. Certo dia, faltaram 8 meninos e 2 meninas, ficando o número de meninas igual ao número de meninos.

Quantos meninos e quantas meninas há na 6ª série A? Número de meninas: x Número de meninos: 4/3 x Equação: x - 2 = 4/3 x - 8 Resolução: x - 2 = 4/3 x - 8 --> 3x/3 - 6/3 = 4x/3 - 24/3 --> 3x - 6 = 4x - 24 --> 3x - 4x = - 24 + 6 --> - x = - 18 --> x = 18 Cálculos:

Número de meninas = x = 18 Número de meninos = 4/3 x = 4/3(18) = 24

Resposta: Na 6ª série A, há 24 meninos e 18 meninas. 7º exemplo: A soma de três números é 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em 7 unidade, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar os três números. 1º número: x 2º número: x + 7



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3º número: x + 10 Equação: x + (x + 7) + (x + 10) = 47 Resolução: x + x + 7 + x + 10 = 47 --> x + x + x -= 47 - 7 - 10 --> 3x = 30 --> x = 30/3 --> x = 10 Resposta: Os números são 10, 17 e 20.

Exercícios de fixação

1º grupo - Resolva os seguintes problemas do 1º grau com uma variável: a) A soma do quádruplo de um número com 17 é igual a 65. Calcule esse número. b) Ao triplo de um número adicionamos 12, e o resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número. Qual é esse número? c) A soma da metade de um número com 21 é igual ao dobro do mesmo número menos 9. Determine esse número.

d) Uma casa com 130m² de área construída tem três dormitórios do mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam uma área de 70m²? e) (FUVEST) A soma de um número com sua quinta parte é igual a 2. Qual é o número? f) Comprei uma bicicleta, a prazo, por R$ 850,00. Dei R$ 250,00 de entrada e vou pagar o restante em três prestações mensais, iguais. Qual é o valor de cada prestação?

g) Calcule o número tal que a soma da metade com a quinta parte do número seja igual ao próprio número diminuído de 12. h) Um aluno acertou 7/10 do número de questões de uma prova de Matemática. Sabendo-se que errou 15 questões, qual o número de questões da prova?

i) Uma pesquisa doi feita sobre a preferência na leitura de três jornais. Verificou-se que a metade dos entrevistados lia o jornal A, a terça parte lia o jornal B, e 400 outras pessoas liam o jornal C. Quantas pessoas foram entrevistadas? j) (FAAP-SP) Uma comerciante, no final do ano, distribuiu uma parte do seu lucro entre seus três empregados. O primeiro recebeu 2/5 da parte do lucro mais R$ 5 000,00; o segundo recebeu 3/7 da parte do lucro mais R$ 7 000,00; o terceiro recebeu R$ 9 000,00. Qual foi a parte do lucro distribuída? 2º grupo - Resolva os seguintes problemas do 1º grau com uma variável: a) A soma de dois números é 140. O maior deles supera o menor em 18 unidades. Calcule esses números.

b) A soma de dois números é 160. O maior deles é igual ao triplo do menor. Quais são esses dois números? c) Helena tinha 5 anos quando Isabela nasceu. Atualmente, a soma das suas idades é 45 anos. Calcule a idade de cada uma. d) Zico e Lico foram os principais goleadores do Flamengo no último campeonato, e marcaram juntos 26 gols. Zico fez 4 gols a mais que Lico. Quantos gols fez cada um?



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e) Num terreno de 1 200m², a área construída deve ter 300m² a mais que a área destinada a jardins. Qual será a área construída? f) Uma indústria em expansão admitiu 500 empregados durante os três primeiros meses do ano. Em janeiro, admitiu 80 empregados, e em março admitiu o triplo de empregados admitidos em fevereiro. Quantos empregrados foram admitidos em cada um desses dois meses? g) Uma escola ocupa um terreno de 6 000m² de área. Sabe-se que a área construída é o quádruplo da área livre existente. Calcule a área construída e a área livre da escola. h) Calcule dois números inteiros e consecutivos cuja soma é 95.

i) A soma de dois números é 117 e a diferença entre eles é 47. Calcule os dois números. j) Num jogo de basquete, os quadros A e B marcaram juntos 154 pontos. O quadro A foi o vencedor por diferença de 12 pontos. Qual foi a contagem final deste jogo? l) Numa eleição para o Centro Cívico de uma escola concorrem duas chapas, A e B. Votaram 960 alunos, e a diferença entre o número de votos da chapa A e da chapa B foi de 80 votos. Quantos votos obteve a chapa A? m) Numa indústria, o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número destas ficaria igual ao número de homens. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na fábrica?

3º grupo - Resolva os seguintes problemas do 1º grau com uma variável: a) A soma de três números é 46. O segundo tem 4 unidades a mais que o primeiro, e o terceiro tem 5 unidades a mais que o segundo. Calcule esses três números. b) Devo repartir R$ 3 000,00 entre três pessoas, A, B e C. Sabe-se que A e B devem receber quantias iguais, e C deve receber R$ 600,00 a mais que A. Qual a quantia que deve dar a cada pessoa? c) Um terreno de 2 100m² de área deve ser repartido em três lotes, de tal forma que o segundo lote tenha o dobro da área do primeiro, e o terceiro tenha 100m² a mais que o segundo. Qual deverá ser a área de cada lote? d) Três alunos disputam o cargo de representante de classe da 6ª série A que tem 43 alunos.

Sabendo-se que o vencedor obteve 6 votos a mais que o segundo colocado, e que este obteve 5 votos a mais que o terceiro colocado, pergunta-se quantos votos obteve o vencedos. e) Distribuíram-se 360 bolinhas em três urnas. Sabe-se que a segunda tem o dobro de bolinhas da primeira, e a terceira tem o triplo de bolinhas da segunda. Quantas bolinhas foram colocadas em cada urna?



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3. Aplicação em Geometria Observe os exemplos: 1.º exemplo: O perímetro de um retângulo é 30 cm. A medida da base supera a medida da altura em 3 cm. Determinar as dimensões desse retângulo. Medida da altura: x Medida da base: x + 3 Equação: x + (x + 3) + x + (x + 3) = 30 x + x + 3 + x + x + 3 = 30

x + x + x + = 30 - 3 - 3 4x = 24 x = 24/4 x = 6 Cálculos Medida da altura = x = 6 Medida da base = x + 3 = 6 + 3 = 9 Resposta: As dimensões do retângulo são 6 cm e 9 cm. 2.º exemplo: A área de um trapézio mede 50 m². A medida da base menor é 8 m, e a medida da altura é 5 m. Calcular a medida da base maior.

Área do trapézio = (B + b) x h / 2 onde: B = Medida da base maior; b = Medida da base menor; h = medida da altura. Medida da base maior: x Equação: (x + 8) x 5 / 2 = 50 (fómula da área do trapézio) (x + 8) x 5/2 = 50 5x + 40/2 = 50 5x + 40/2 = 100/2 5x + 40 = 100 5x = 100 - 40 5x = 60 x = 60/5

x = 12 Resposta: A base maior mede 12 m. 3.º exemplo: O volume de um bloco retangular é de 120 m³. O comprimento do bloco é de 8 m e a sua largura é de 5 m. Calcular a altura do bloco. Volume do bloco = a*b*c a = comprimento; b = largura; c = altura altura: x Equação: 8*5*x = 120 (fórmula do volume do bloco)

40x = 120



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x = 120/40 x = 3 Resposta: A altura do bloco é de 3 m.

Exercícios de fixação, Aplicação em Geometria

Aplicando equações do 1.º grau, resolva os problemas: a) O perímetro de um retângulo é 60 cm. A medida da base é igual ao dobro da medida da altura. Calcule as dimensões do retângulo. b) O perímetro de um triângulo é 27 cm. As medidas dos lados são expressas por três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo? c) Num terreno retangular, a lateral mede 12 m a mais que a frente. Se o perímetro do terreno é 76 m, calcule suas dimensões. d) Num terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o triplo da

frente do terreno. Querendo se colocar grade de ferro na frente do terreno, quantos metros de grade serão necessários? e) A fórmula usada para calcular a área de um retângulo é: área = b*h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. Se a área de um terreno retangular é de 360 m² e uma das suas dimensões é 12 m, calcule a outra dimensão.

f) O volume de concreto num bloco retangular é de 4 800 cm³. Se a largura do bloco é 20 cm e a altura é 8 cm, calcule o comprimento, sabendo que volume = comprimento*largura*altura. g) Um terreno tem a forma de um trapézio com uma área de 270 m². A base maior desse terreno mede 20 m e a altura, 15 m. Quanto mede a base menor do terreno? (Veja a fórmula da área do trapézio no 2.º exemplo.)

Exercício complementares

Resolva os seguintes problemas e veja qual é a resposta correta: 1. Sejam três números inteiros e consecutivos; se representarmos o menor deles por x os outros dois podemos representar por:

a) x + 2 e x + 3 b) x - 1 e x - 2 c) x + 1 e x + 2 d) x e x + 1 2. A expressão "o quadrado da soma do número x com 3" pode ser representada por: a) (x - 3)² b) x² + 3² c) (3 - x)² d) (x + 3)² 3. A equação que corresponde à setença "três quartos de um número aumentados do dobro do mesmo número é igual à metade do número diminuído de 5" é: a) 3/4 + 2x = x/2 - 5

b) 3/4x + 2x = x/2 - 5 c) 3/4x + 2x = x - 5



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d) 3/4x + x/2 = 2x - 5 4. A idade de Rui é x anos. Cristin tem a terça parte da idade de Rui, mais 3 anos. A idade de Cristina pode ser representada por: a) 3x + 3 b) x/3 - 3 c) x/3 + 3 d) 3x - 3 5. O triplo de um número menos a sua metade é igual a 25. O número é: a) 10 b) 12

c) 20 d) 30 6. A soma de um número com 3, e o quociente deste mesmo número por 3 são iguais. Logo, este número é: a) 9/2 b) -9/2 c) 9/4 d) -9/4 7. Oreste tem hoje 36 anos, e seu filho, 6 anos. Dentro de quantos anos a idade de Oreste será igual ao quádruplo da idade de seu filho? a) 8 anos. b) 6 anos

c) 4 anos d) 2 anos 8. Um terreno de 480 m² doi comprado para construir um pavilhão. Este pavilhão deverá ter 5 salas do mesmo tamanho e um pátio cuja área deve ser igual ao triplo da área de cada sala. Logo, cada sala terá uma área de: a) 60 m² b) 80 m² c) 70 m² d) 50 m² 9. Um reservatório está cheio de água até 4/7 de sua capacidade total. Como faltam ainda 12000L para enchê-lo, podemos afirmar que a capacidade total do reservatório é de: a) 84000L

b) 28000L c) 56000L d) 42000L 10. Gláucia quer repartir certa quantidade de balas entre as crianças de uma creche. Se der 15 balas a cada criança, sobram 10 balas e, se der 16 balas a cada criança, ficam faltando 10 balas. Gláucia tem para repartir: a) 300 balas b) 320 balas c) 290 balas d) 310 balas



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Respostas dos exercícios de fixação:

1.º grupo: a) 12 b) 6

c) 20 d) 20 m² e) 5/3 f) R$ 200,00 g) 40 h) 50 questões i) 2 400 pessoas j) R$ 122 500,00 2.º grupo: a) 61 e 79 b) 40 e 120 c) Helena = 25 anos e Isabela = 20 anos d) Zico = 15 gols e Lico = 11 gols

e) 750 m² f) Fevereiro = 105 e Março = 315 g) Área construída = 4 800 m² e área livre = 1 200 m² h) 47 e 48 i) 82 e 35 j) 83 a 71 l) 520 votos

m) 50 homens e 30 mulheres 3.º grupo: a) 11, 15 e 20 b) A = R$ 800,00 B = R$ 800,00 e C = R$ 1 400,00 c) 1.º lote = 400 m², 2.º lote = 800 m² e 3.º lote = 900 m² d) 20 votos

e) 1ª urna = 40 bolinhas, 2ª urna = 80 bolinhas e 3ª urna = 240 bolinhas. Exercícios de Fixação, Aplicação em Geometria: a) base = 20 cm e altura = 10 cm b) 8 cm, 9 cm e 10 cm c) frente = 13 m e lateral = 25 m d) 10 m e) 30 m f) 30 cm g) 16 m



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Inequações do 1.º grau com uma variável 1. Introdução Consideremos o seguinte problema: Numa cidade, em certo dia, a temperatura mínima registrada foi de 10°C e a temperatura máxima foi de 18° C. Usando x, como podemos representar a variação de temperatura registrada na cidade, neste dia, excluindo a mínima e a máxima?

Como resposta, podemos dizer que x deve ser maior que 10 (x > 10) e x deve ser menor que 18 (x < 18), isto é, x deve representar um número compreendido entre 10 e 18 (10 < x < 18). Verificamos, facilmente, que as sentenças matemáticas abertas x > 10 e x < 18 não são equações, pois não expressam uma igualdade. Nesta Unidade, estudaremos as sentenças matemáticas abertas que expressam uma desigualdade. 2. Inequação Observe as seguintes sentenças matemáticas abertas. a) x + 2 = 5 b) x != 3 c) x < 10 d) x = 6

e) x - 1 > 0 f) 2x != -10 d) 3x - 1 = 0 h) x - y = 8

i) 2x - 3 < 1 j) x² - x = x - 1 l) x² + 3x > -2 m) x - y < 1

Vamos considerar apenas as sentenças que expressam uma desigualdade: x ≠ 3 x < 10 x - 1 > 0

2x ≠ - 10 2x - 3 < 1 x² + 3x > -2

x - y < 1

Essas sentenças matemáticas abertas são chamadas inequações. Assim podemos definir: Toda sentença matemática aberta, expressa por uma desigualdade, é denominada inequação. Exemplos

São inequações: x - 10 > 6 2y < 20 x² - 9 > 0 t/2 + t/3 < 1 x + y > 4 Não são inequações: 3² + 1 > 2³ --------> não é uma sentença aberta x = 3 ---------------> é uma equação

Para as inequações, vamos aplicar a mesma nomenclatura usada nas equações.



36

2x + 1/2 {1.° membro da inequação} > x - 2/3 {2.° membro da inequação} 3. Inequação do 1º grau com uma variável Nesta série, estudaremos apenas as inequações do 1º grau com uma variável. Veremos, mais tarde, que uma inequação é do 1º grau com uma variável quando pode ser transformada numa inequação equivalente da forma ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b >= 0 ou ax + b <= 0, com a != 0. Assim:

x - 3 > 0 2y + 1 < 7 x/2 - 3 ≥ x + 1/2 2(t + 1) ≤ 10 + t São inequações do 1º grau com uma variável PROCESSO GERAL DE RESOLUÇÃO Por meio de alguns exemplos, veremos que o processo geral de resolução de uma inequação do 1º grau com uma variável é semelhante ao processo já estudado na resolução de uma equação do 1º grau com uma variável. 1º exemplo: Resolver a inequação 5x + 20 < - 10, sendo U = Q

5x + 20 < -10 5x < - 10 - 20 5x < - 30 x < - 30/5 x < - 6 S = {números racionais menores que - 6} = {x e Q| x < - 6} forma simplificada 2º exemplo: Resolver a inequação 3(2x - 1) + 10 > 7(x + 2), sendo U = Q. 3(2x - 1) + 10 > 7(x + 2) 6x - 3 + 10 > 7x + 14 6x - 7x > 14 + 3 - 10 -x > +7 *(-1)

x < -7 ---> multiplicação por número negativo S = {x e Q | x < -7} 3º exemplo: Resolver a inequação x/2 + (1 - x/5) ≥ 1/4, sendo U = Q. x/2 + (1 - x)/5 ≥ 1/4 10x/20 + 4(1 - x)/20 ≥ 5/20 10x + 4(1 - x) ≥ 5 10x + 4 - 4x ≥ 5 10x - 4x ≥ 5 - 4 6x ≥ 1 x ≥ 1/6



37

S = {x e Q | x >= 1/6}

Exercícios de Fixação

1º grupo - Resolva as seguintes inequações do 1º grau com uma variável (U = Q):

a) x + 2 > 5 b) -2x + 1 < - 9

c) 5x - 12 ≤ 2x d) 7x - 20 > 6x - 12

e) 2x + 1 + 3x > - 14 f) 8x + 5 ≤ 10x + 4

2º grupo - Resolva as seguintes inequações do 1º grau com uma variável (U = Q): a) 2(x + 1) < 10 b) 3(x - 1) - 2x ≥ 10 c) x - 4(x - 1) > 19 d) 5(x - 2) < 3(x - 1) e) x + 5 ≥ 4(2x - 1) - 3x f) 7x - 3(x - 2) - 2 > 0 g) 2(x - 4) + 8 < x h) 2(3x - 1) - 4(x + 2) ≤ 5x - 1

3º grupo - Resolva as seguintes inequações do 1º grau com uma variável, sendo U = Q: a) x/2 + 1 < 5/3 - x b) x/4 < x/5 + 1 c) x/6 - 1/2 ≥ x/9 d) x/3 + 1 > x - 1/2 e)(x - 4)/6 > (x - 2)/8 f) x + 2/10 - 1 ≤ (1 - x)/4

g) x/5 ≥ 1/4 - (2 - x)/2 h) (x - 1)/4 + x/6 - (x - 2)/3 > 0 4º grupo - Resolva as seguintes inequações do 1º grau com uma variável, sendo U = Q: a) 3(x - 1) ≥ 2/3 b) 2(1 - x) < x/2 c) (x + 5)/2 > 3(1 - x)

d) (x + 1)/4 - (x - 2)/8 ≤ 0 e) 1/3(x - 2) < x/2 - 1 f) 1/2(x + 1/3) - 1 > - 1/3(x - 1/2)

Exercício complementares

Resolva os seguintes problemas e veja qual é a resposta correta: 1. Seja x o número de letras de uma palavra. A setença x < 5 pode ser aplicada à palavra: a) matemática b) cinco c) solução d) zero 2. Uma prova de Matemática tem 10 questões. Um aluno não fez 4 quetões. Sendo x o número de questões que o aluno pode acertar, podemos representar o número de possíveis acertos desse aluno pela inequeção: a) x < 10 b) x > 4 c) x ≤ 6 d) x < 6 3. Uma indústria se instala numa cidade X. De acordo com os seus estatutos, o número de

empregados residentes na cidade onde está situada deve ser sempre maior que o número de empregados vindos de outras cidades. Sabendo que vieram 20 empregados de outras cidade e



38

usando x para representar o número de empregados que residem na cidade X, podemos afirmar que: a) x < 20 b) x > 20 c) x ≤ 20 d) x ≥ 20 4. Quando multiplicamos os dois membros da inequação - x > 3 pelo número - 1, obtemos a inequação equivalente: a) x > - 3 b) x > 3 c) x < 3 d) x < - 3 5. (Supletivo-80) No conjunto Q, o conjunto solução da inequação 7x - x/2 ≤ (x - 5)/4 é: a) S = {x e Q | x ≤ -1/5} b) S = {x e Q | x ≤ 1/5} c) S = {x e Q | x ≤ - 5}

d) S = {x e Q | x ≤ 5} 6. Sendo S o conjunto soluçao da inequação 3x - 7 + 2x > 3(- 1 + 2x), em Q, então é verdadeira a afirmação: a) - 3 e S b) - 5 e S c) - 4 e S d) S = conj. vazio 7. O conjunto solução S da inequação x/2 - x/2 < -1, sendo U = Q, é: a) S = {x e Q | x < 6} b) S = {x e Q | x <1} c) S = {x e Q | x > 6} d) S = {x e Q | x > 1} 8. No conjunto |N, o conjunto solução da inequação 4x - 1 < 2 + 3x é: a) S = {1, 2, 3}

b) S = {1, 2} c) S = {0, 1, 2, 3} d) S = {0, 1, 2} 9. (Supletivo-80) O conjunto solução da inequação (x - 7)/5 + x/10 < 1, sendo U = Q, contém o conjunto: a) {-3, 0, 3, 8} b) {-3, 0, 3, 9} c) {-3, 0, 3, 7} d) {9, 10, 11, 12} 10. O número -5 pertence ao conjunto solução da inequação: a) -3x + 8 < 29 b) - 3x + 8 < - 7

c) - 3x + 8 < 20 d) - 3x + 8 < 0

Respostas dos exercícios de fixação:

1º grupo:

a) S = {x e Q | x > 3} b) S = {x e Q | x > 5} c) S = {x e Q | x ≤ 4} d) S = {x e Q | x > - 5} e) S = {x e Q | x ≥ 1/2} 2º grupo: a) S = {x e Q | x < 4} b) S = {x e Q | x ≥ 13}



39

c) S = {x e Q | x < - 5} d) S = {x e Q | x < 7/2} e) S = {x e Q | x ≤ 9/4} f) S = {x e Q | x > - 1} g) S = {x e Q | x < 0} h) S = {x e Q | x ≥ -3} 3º grupo: a) S = {x e Q | x < 4/9} b) S = {x e Q | x < 20} c) S = {x e Q | x ≥ 9} d) S = {x e Q | x < 9}

e) S = {x e Q | x > 10} f) S = {x e Q | x ≤ 3} g) S = {x e Q | x ≤ 5/2} h) S = {x e Q | x > - 5} 4º grupo: a) S = {x e Q | x ≥ 11/9} b) S = {x e Q | x > 4/5} c) S = {x e Q | x > 1/7} d) S = {x e Q | x ≤ - 4} e) S = {x e Q | x > 2} f) S = {x e Q | x > 6/5}



40

Funções Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1. Introdução

A palavra trigonometria significa “medida dos triângulos” e é a parte da matemática que tinha como objetivo inicial o cálculo dos elementos de um triângulo (lados e ângulos).

Atualmente, a trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos. Encontramos suas aplicações em campos de atividades como Engenharia, Astronomia, Eletricidades, Acústica, Topografia, que dificilmente lembram os triângulos que originaram a trigonometria. Definições:

Saiba que um ângulo reto é o ângulo de 90° (noventa graus), que ângulos agudos são os ângulos que possuem menos de 90° e que os ângulos que possuem mais que 90° são chamados de obtusos.

Assim podemos ver que no triângulo retângulo abaixo, triângulo que possui um ângulo reto e dois agudos, A é o ângulo reto e B e C são agudos.

Além disso, definimos que o lado deste triângulo mostrado como a é chamado de hipotenusa e os lados b e c são chamados de catetos, sendo b o cateto oposto ao ângulo B e cateto adjacente ao ângulo C, assim como o cateto c que é oposto a C e adjacente a B.

Uma propriedade muito importante dos triângulos retângulos é conhecida como Teorema

de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, ou seja, a = b + c .

2. Funções trigonométricas no triângulo retângulo Funções trigonométricas de um ângulo agudo

Consideremos um triângulo ABC, reto em A. Os outros dois ângulos, B e C, são agudos e complementares (B + C = 90º).

Para ângulos agudos, temos as seguintes definições das funções trigonométricas:

cotangenteopostocateto

adjacentecateto

_

_

secanteadjacentecateto

hipotenusa

_

co-secanteopostocateto

hipotenusa

_

senohipotenusa

opostocateto

co-senohipotenusa

adjacentecateto _

tangenteadjacentecateto

opostocateto

_

_

A B

C

a

c

b



41

A partir dessas definições, no triângulo retângulo da figura, temos:

sen B = b/a

cossec B = a/b sen C = c/a cossec C = a/c

cos B = c/a sec B = a/c cos C = b/a sec C = a/b

tg B = b/c cotg B = c/b tg C = c/b cotg C = b/c

Observando que

sen B = cos C tg B = cotg C sec B = cossec C sen C = cos B tg C = cotg B sec C = cossec B. Concluímos que as co-funções de ângulos complementares são iguais. Apesar de termos iniciado algumas noções de funções trigonométricas, iremos, apenas, usar em nosso curso as três funções principais: seno (sen), co-seno (cos) e tangente (tg). 3. Valores notáveis

A partir de triângulos retângulos convenientes, as definições de seno, co-seno e tangente permitem a obtenção do seguinte quadro de valores notáveis (decore-os).

x sen x cos x tg x

30º

2

1

2

3

3

3

45º

2

2

2

2

1

60º

3

3

2

1

3

A seguir, temos a obtenção de alguns valores dessa tabela.

A B

C

a

c

b



42

No triângulo eqüilátero de lado L, a altura vale h 2

3.L , assim:

sen 30º = 2

12 L

L

cos 30º = 2

32 L

L

tg 30º = 3

3

3

1

2

3

2 L

L

sen 60º = 2

32

3

L

L

cos 60º = 2

12 L

L

tg 60º = 3

3

3

1

2

3

2 L

L

Seja um quadrado de lado L, então d = 2.L é a medida da diagonal, pois pelo Teorema

de Pitágoras temos d = L + L , que implica em d = 2.L , daí temos ,

enfim d = 2.L ,

h L L

L / 2

60º 60º

30º 30º

L / 2



43

assim:

sen 45º = 2

2

2

1

2

L

L

cos 45º = 2

2

2

1

2

L

L

tg 45º = 1L

L

Exercícios resolvidos 1. No triângulo retângulo da figura, calcular a medida do lado AB.

Resolução Dados: 10 (hipotenusa) e x (cateto oposto ao ângulo de 30º), temos:

sen 30º = 10

x

102

1 x x = 5

Resposta: 5

2. Calcular a medida do lado AC, no triângulo ABC, sabendo que o co-seno do ângulo α é 3

2.

L

d L

45º

x

10

30º



44

Resolução Dados: 15 (hipotenusa) e x (cateto adjacente ao ângulo α), temos:

cos α = 15

x

152

3 x x=10

Resposta: 10

3. Determinar a altura do edifício da figura abaixo.

Resolução: Dados: H (cateto oposto ao ângulo de 60º) e 100 (cateto adjacente ao ângulo de 60º, temos:

tg 60º = 100

H

3.100100

3 HH

m

Resposta: 100. 3 m

4. Na figura, calcular h e d.

Resolução:

60º

H

100 m



45

ΔBCD: tg 60º = 3dhd

h

ΔACD: tg 30º = 3

)40(3

40

dh

d

h

Então: 203

)40(33

d

dd m, portanto 320h m

Resposta: 320h m e 20d m

5. Calcular a medida do lado BC, de um triângulo ABC, sabendo-se que B= 60º, C = 45º e AB = 2 m

Resolução: A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos retÂngulos. Assim:

ΔADB: cos 60º = 22

1 BD

AB

BD BD = 1m

sen 60 = 22

3 h

AB

hh = 3 m

ΔADC: tg 45º= CDCD

h 31 CD = 3 m

Logo: a = BD + CD a = (1+ 3 )m

Resposta: (1+ 3 )m

6. Um avião levanta vôo de um aeroporto A, e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. Determinar a altura e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por um prédio situado a 2 quilômetros do ponto de partida. São dados: sem 15º = 0,26 e

tg 15º = 0,27.

a

B

A

C D

h 2 m



46

Resolução:

Cálculo da altura (em relação ao solo).

tg 15º = mhhh

5402000

27,02000

Cálculo da distância percorrida.

sen 45º= d

hmdd

d2077

26,0

54054026,0

Respostas: h = 540 m e d = 2077m 7. Durante um vendaval, um poste de iluminação quebro-se em um ponto à certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 4m da base dele e formando um ângulo de 50º com o solo. Determinar a altura do

poste, dados: sem 50º = 0,77, cos 50º = 0,64 e tg 50º = 1,20. Resolução: A partir do enunciado e da figura a seguir, temos:

1) tg 50º= mxxx

8,44

20,14

15º

A P

15º

h

2000 m

d

A P

B



47

2) cos 50º= myyy

25,64

64,04

A altura do poste será H = x + y = 4,8 + 6,25 = 11,05m

Resposta: 11,05 m

4. Relações fundamentais e auxiliares Seja x um ângulo agudo num triângulo retângulo. De acordo com as definições das funções trigonométricas, podemos verificar as seguintes relações fundamentais:

(sen²x = 1 – cos²x)

(cos²x = 1 – sen²x) Nota: As funções trigonométricas valerão para outros ângulos (mesmo que não sejam agudos),

desde que as funções trigonométricas estejam definidas para esses ângulos.

Exercícios propostos

1) (UNA) – Considere o triângulo retângulo representado na figura abaixo, onde AB = 3 e AC = 4.

O valor de cos(α) é:

a) b) c) d) e)

2) Quando o Sol está a 30° acima do horizonte (ver figura), a sombra de um edifício de 80m de altura tem que comprimento?

50º

y

y

x

4 m

sen²x + cos²x = 1 tg x = sen x cos x

α

C A

B



48

a) 136 m b)175 m c)165 m d) 68 m e) 113 m 3) (USF) – Sobre uma rampa plana de 3,5 metros de comprimento e inclinação α, como mostra a figura, será construída uma escada com 7 degraus, todos de mesma altura.

Se cos α = , então a altura de cada degrau, em cm, é a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

4) (UN. Norte do Paraná) – Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem a e 3a, respectivamente, então o co-seno do ângulo oposto ao menor lado é

a) b) c) d) e)

5) (MED. SANTOS) – Sendo sen a + cos a = m, então (sen a) . (cos a) é igual a

a) b) c) d) e)

6) (PUC-CAMP) – Na figura abaixo tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.



49

A medida do lado desse losango, em cm, é

a) b) 6 c) d) 4 e) 7)(EU-CEARÁ) – Se um ângulo é igual ao seu complemento, então o seno deste ângulo é igual a

a) b) c) d) 1 e) 8) Na figura abaixo, determine h, sendo dados α, β e d.



50

Triângulos

1. Definição

Dados três pontos não colineares A, B e C, chama-se triângulo a união dos segmentos AB ,

AC e BC

Simbolicamente

A união do triângulo ABC com os pontos de sua região interior é chamada região triangular.

A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o sentido de região triangular. 2. Elementos do triângulo

a) Os pontos A, B e C, são vértices do triângulo.

b) Os seguimentos BCAB, e AC são os lados do triângulo

c) Os ângulos BAC = A, ABC = B e ACB = C são os ângulos internos do triângulo

d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno. Na figura, α, β e γ são os ângulos externos dos vértices A, B e C, respectivamente.

3. Propriedades Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

Demonstração:

A

B C

A

B C

A

B C

β B

α

γ

A

C



51

Como , e + + =180°

A+B+C=180º

Soma dos ângulos externos

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos externos é 360º.

Demonstração

A + α = 180º B + β = 180º

C + γ = 180º A + B + C + α + β + γ =540º α + β + γ = 360º

Teorema do ângulo externo Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Demonstração A + α = 180º A + B + C = 180º α =B + C

Observações

a) De forma análoga, provamos que β = A + C e γ = A+ B

b) A medida de um ângulo externo do triângulo é maior que a medida de qualquer ângulo interno não adjacente\AS

α > x α > y

α

x

y

A

B C

β B

α

γ

A

C

180º



52

4. Classificação dos triângulos Classificação quanto aos lados Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em:

a) eqüilátero, quando tem os três lados congruentes. b) isósceles, quando tem dois lados congruentes. c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são congruentes.

Classificação quanto aos ângulos Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classificado em:

a) retângulo, quando possui um ângulo reto. b) acutângulo, quando possui os três ângulos agudos. c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.

Observações

a) Todo triângulo isósceles é também isoângulo. Assim, no triângulo ABC da figura seguinte,

como ACAB temos .

O lado BC é chamado base do triângulo isósceles.

b) Todo triângulo eqüilátero é eqüiângulo.

A medida de cada ângulo do triângulo eqüilátero é de 60º.



53

c) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados catetos.

5. Segmentos notáveis do triângulo Mediana Mediana de um triângulo é o segmento de reta que tem uma extremidade num dos vértices do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

AM é a mediana relativa ao vértice A. Bissetriz Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice do triângulo e pela intersecção do lado oposto a esse vértice com a bissetriz do ângulo interno desse vértice.

AB é uma bissetriz do triângulo. Altura Altura Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta determinado por um vértice e pela

intersecção da reta que contém o lado oposto a esse vértice, com a perpendicular a ela traçada por esse vértice.

cateto

cateto

hipotenusa



54

AH é a altura relativa ao vértice A. Observações

a) Num triângulo isósceles, a altura relativa à base, coincida com a mediana e com a bissetriz.

b) Num triângulo equilátero, a altura relativa à qualquer lado coincide com a mediana e com a bissetriz.

6. Propriedade importante do triângulo retângulo Se um triângulo está inscrito numa circunferência e um de seus lados é um diâmetro então o triângulo é retângulo.

a) COBOAO (raio da circunferência)

b)ABO BAO pois ΔAOC é isósceles c)ACO CAO pois ΔAOC é isósceles d)No triângulo ABC, temos:



55

α + α + β + β = 180º 2 α + 2 β = 180º α + β = 90º BAC = 90º

Observação Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo tem a metade da medida da referida hipotenusa.

2

BCAM

7. Condição de existência do triângulo A condição necessária e suficiente para existir um triângulo é que a medida de cada um de seus lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois.

Se a, b, e c forem, respectivamente, as medidas dos lados BC , AC e AB do triângulo ABC,

então: a < b + c b < a + c c < a + b

Observação Se a for o maior lado, a condição necessária e suficiente para existir o triângulo é apenas a < b + c

8. Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer ema correspondência entre os vértices de um e os de outro, de modo que os lados e os ângulos correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.



56

ΔABC ΔRPQ

QC

PB

RA

RQAC

PQBC

RPAB

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ


1) Num triângulo ABC, a medida do ângulo supera a medida do ângulo em 20°. O ângulo agudo formado pela bissetriz e pela altura , em graus, mede

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30

2) (FUVEST) – Num triângulo ABC, os ângulos e medem 50° e 70° respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6

A

Q

P

B

C R



57

3) (FUVEST) – Um triângulo ABC tem ângulo Â = 40° e = 50°.

Qual o ângulo formado pelas alturas relativas aos vértices Â e desse triângulo? a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° 4) Assinale a afirmação falsa: a) Todo triângulo eqüilátero é acutângulo. b) Todo triângulo eqüilátero é eqüiângulo. c) Todo triângulo eqüilátero é isósceles.

d) Todo triângulo acutângulo é eqüilátero. e) Nenhum triângulo retângulo é eqüilátero.

Nos exercícios de 5 a 8, determine o valor de x e associe com as alternativas seguintes: a) 30° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°



58

Polígonos – Quadriláteros Notáveis I-Polígonos 1. Definição Consideremos, num plano, n pontos (n≥ 3), A1, A2, A3, ..., An , ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares. Chama-se polígono A1, A2, A3, ..., An , à figura formada pela união dos n segmentos consecutivos:

_____ _____ ____ ____

A1 A2 U A2 A3 U A3 A4 U ... U An A1

Região Poligonal E a região determinada pela união do polígono com os pontos de sua região interior.

Polígono Convexo É o polígono cuja região poligonal é convexa. Observação Estudaremos somente polígonos convexos.

2. Nomenclatura

De acordo com o numero de lados, temos: triângulo - 3 lados quadrilátero - 4 lados pentágono - 5 lados

A1

A2

A3

A4

A5

An

REGIAO POLIGONAL CONVEXA



59

hexágono - 6 lados heptágono - 7 lados octógono - 8 lados eneágono - 9 lados decágono - 10 lados undecágono - 11 lados docecágono - 12 lados pentadecágono - 15 lados icoságono - 20 lados Genericamente utiliza-se o termo polígono de n lados.

Observação importante Um polígono convexo com n lados tem n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos. Classificação Polígono eqüilátero É o polígono que tem todos os lados congruentes. Exemplos: Losango, quadrado, etc. Polígono eqüiângulo É o polígono que tem todos os ângulos internos congruentes. Exemplos: Retângulo, quadrado, etc. Polígono regular É o polígono que é eqüilátero e eqüiângulo simultaneamente.

Exemplo: Quadrado. Observe que o losango da figura é eqüilátero mas não é eqüiângulo e que o retângulo da figura é eqüiângulo mas não é eqüilátero.

3. Número de diagonais Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos desse polígono. Num polígono de n lados: a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais. b) Os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais.

Losango

Retângulo



60

c) Com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes, pois cada uma delas é determinada por dois vértices. Assim, sendo d o numero de diagonais do polígono, temos:

d = n . (n – 3)

2 Exemplo O polígono convexo da figura seguinte tem 8 lados e cada vértice dá origem a 8 – 3 = 5 diagonais.

Assim: d = 8 . 5= 20

2 4. Soma dos ângulos internos Seja um polígono de n lados e P um ponto interno. Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é 180º . n Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do polígono, temos

Si = 180º . n - 360º e,

portanto,

Exemplo:

A soma dos ângulos internos do polígono da figura é: 6 . 180º - 360º = 720º

P

Si = (n - 2) . 180º



61

5. Soma dos ângulos externos Sejam, num polígono de n lados, ai e ae, respectivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo externo adjacente a ele, Si a soma ângulos internos e Se a soma dos ângulos externos. Sendo ai + ae = 180º para cada um dos vértices do polígono, temos Si + Se = 180º . n Se = 180º . n - Si Se = 180º . n – (n – 2) . 180º e, portanto,

Se = 360º Exemplo No pentágono convexo da figura seguinte, tem-se:

ai1 + ae1 = ai2 + ae2 = ai3 + ae3 = ai4 + ae4 = ai5 + ae5 = 180º Assim sendo: Si + Se = 180º . 5 Se = 900º - (5 - 2) . 180º Se = 360º

Observação Se o polígono for eqüiângulo, todos os ângulos internos são congruentes e todos os ângulos externos são congruentes e, portanto,

Exercícios Resolvidos 1. Calcule o numero de diagonais de um eneágono convexo. Resolução

2. Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é o dobro do número de lados?

ae1

ai1

A1

A2

A3

A4

A5

ae2

ae3

ae4

ae5

ai4

ai3

ai2

ai5

ai Si

n

ae Se n

e = =

n=9 d= n(n-3)

2 d= 9 (9-3) = 9 . 6 = 27 2 2 d= 27 Resposta: 27 diagonais.



62

=> => => n = 7 Resposta: O polígono é um heptágono convexo. 3. A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é: a) 360º b) 540º c) 1400º d) 900º e)180º Resolução

n=7 Si= (n-2) . 180º Si= (7-2) . 180º Si= 900º Resposta: d 4. Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular? Resolução:

Resposta: 120º 5. Cada um dos ângulos internos de um polígono regular mede 150º . Qual é o numero de lados do polígono? Resolução

Resposta: 12 lados. 6. Cada um dos ângulos externos de um decágono regular mede: a) 30º b) 36º c) 40º d) 45º e)54º

ai + ae =180º ai = 150º

ae = 30º

=>

ae = Se => 30º = 360º => n=12 n n

ai = Si = (n-2) . 180º n n

ai = (6-2) . 180º = 120º 6

d= 2n d= n (n-3) 2

2n= n(n-3) 2

4n= n(n-3)



63

Resolução

Resposta: B 7. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15º. Quantas diagonais tem esse polígono? Resolução:

Resposta: 252 diagonais 8. Calcule em graus a soma dos ângulos assinalados na figura seguinte:

ae = Se = 360º = 36º n 10

I. ae = Se => 15º = 360º = > n=24º n n

II. d= n (n-3) => d = 24 . 21 => d = 252 2 2



64

Resolução:

a + b + c + d + e +f + g + h + i + j = Se = 360º Resposta: 360º

9. Num polígono convexo a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número de diagonais desse polígono. Resolução: I. Si = 5. Se

(n – 2) . 180º = 5 . 360º (n – 2) = 10 => n = 12 II. d = n (n -3) => d = 12 . 9 => d= 54

2 2 Resposta: 54 diagonais 10. Quantos lados tem um polígono convexo, cujo número de diagonais é d e a soma dos ângulos internos é 180º . d ? Resolução: I. Si = (n – 2) . 180º 180º . d = (n – 2) . 180º = > d = n -2

II. d = n (n -3) => n – 2 = n (n -3) => 2n – 4 = n2 – 3n

a b

c c

d

e

j

i

f g

h



65

2 2 n2 – 5n + 4 = 0 => n=1 ou n = 4 Resposta: O polígono tem 4 lados.

Exercícios propostos 1. Quantas diagonais tem um icoságono convexo? a) 20 b) 70 c) 160 d) 170 e) 200 2. Um polígono convexo tem 9 diagonais. O número de lados é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11 3. O número de lados de um polígono é igual a terça parte do número de diagonais. O número de

lados desse polígono é igual a: a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 27

4. (UFSCar) – Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: a) 6 lados b) 9 lados c) 10 lados d) 12 lados e) 20 lados 5. (FEI) – A seqüência a seguir representa o número de diagonais d de um polígono convexo de

n lados.

n 3 4 5 6 7 ... 13

d 0 2 5 9 14 ... x

O valor de x é: a) 44 b) 60 c) 65 d) 77 e) 91 6. (UNIABC) – Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige

que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia:

a) triangular b) quadrangular c) pentagonal d) hexagonal e) decagonal 7. (UnB – DF) – Num polígono convexo, o número de lados é o dobro do número de diagonais.

Calcule o número de lados do polígono. 8. A soma das medidas dos ângulos internos de um decágono convexo é igual a: a) 1000º b) 1080º c) 1180º d) 1440º e) 1800º 9. A soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono convexo é igual a: a) 36 retos b) 36 rasos c) 20 retos d) 20 rasos e) 18 retos 10. (PUC) - Cada ângulo interno de um decágono regular mede: a) 360º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º

11. (FAAP) – A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:

a) 60º b) 45º c) 36º d) 83º e)51º



66

12. (USF) – O polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo é o: a) pentágono b) hexágono c) octógono d) decágono

e) dodecágono 13. (MACKENZIE-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e)132 14. (FUVEST)- Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:

a)32º b) 34º c) 36º d) 38º e)40º

15. (MACKENZIE) – A medida em graus do ângulo interno de um polígono regular é um número inteiro. O número de polígonos regulares não semelhantes que possuem essa propriedade é: a) 24 b) 22 c) 20 d) 18 e)16

16. (MACKENZIE) – Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para

formar uma estrela. O número de graus em cada vértice da estrela é:

a) 360º b) (n – 4) . 180º c) (n – 2) . 180º d) 180º - 90º e) 180º n n n n n

I. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

Alguns quadriláteros que possuem propriedades particulares são chamados quadriláteros notáveis.

α

A

B E

D C



67

Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e suas propriedades. 1. Trapézio Trapézio é todo quadrilátero que possui dois lados paralelos. Os lados AB e CD (AB // CD) são as bases do trapézio da figura. Os lados AD e BC são chamados lados transversais ou lados transversos. No trapézio, ângulos adjacentes a um mesmo lado transverso são suplementares.

No trapézio da figura, temos Α + β = 180º e γ + θ = 180º Observações a) Trapézio isósceles é aquele que possui os lados transversais congruentes. b) Trapézio retângulo é aquele que possui um ângulo reto. 2. Paralelogramo

Paralelogramo é todo quadrilátero que possui lados opostos paralelos. Nos paralelogramos valem as seguintes propriedades: a) os lados opostos são congruentes b) os ângulos opostos são congruentes c) as diagonais se cortam em seus respectivos pontos médios.

3. Retângulo Retângulo é todo paralelogramo que possui um ângulo reto. Nos retângulos, alem das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: a) as diagonais são congruentes

b) os quatro ângulos são retos

s

r//s

C D

A B

θ

α γ

β

A B

C D

CDAB // e BCAD //

Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem dois lados paralelos.



68

4. Losango

Losango é todo paralelogramo que possui dois lados adjacentes congruentes. Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: a) as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos. b) as diagonais são perpendiculares. c) os quatro lados são congruentes.

5. Quadrado Quadrado é todo quadrilátero que é retângulo e losango ao mesmo tempo. No quadrado valem todas as propriedades do retângulo e de todas as propriedades do losango.

6. Relações de inclusão entre os conjuntos dos quadriláteros notáveis

45º

45º

Todo retângulo é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.

Todo losango é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio.

Todo quadrado é retângulo e losango e, portanto, também é paralelogramo e trapézio.



69

Diante do que foi exposto nos itens anteriores, pode-se montar o seguinte diagrama:

Exercícios resolvidos 1. Assinale a afirmação falsa a) todo quadrado é um retângulo. b) todo quadrado é um losango. c) todo losango é um paralelogramo.

d) todo retângulo é um paralelogramo. e) todo trapézio é um paralelogramo. Resolução Basta observar as relações de inclusão na figura acima. Resposta: E. 2. Assinale a afirmação falsa a) as diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto médio. b) as diagonais de um losango são perpendiculares. c) as diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos internos. d) as diagonais de um retângulo são congruentes. e) as diagonais de um paralelogramo são congruentes. Resolução

As diagonais de um paralelogramo são congruentes se e somente se esse paralelogramo é um retângulo. Resposta: E. 3. Determinar o menor ângulo de um paralelogramo, cuja diferença entre dois ângulos internos seja de 64º. Resolução

quadrados

retângulos

losangos

paralelogramos

trapézios quadriláteros



70

β + α = 180º

β = 122º e α = 58º β - α = 64º Resposta: O menor ângulo mede 58º.

4. Provar que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto médio.

Resolução

5. No trapézio ABCD da figura seguinte, tem-se AB = BD e CD = DA. A medida α do ângulo BÂD assinalado Oe igual a:

a) 75º b) 72º c) 60º d) 45º e) 36º

A B

C D

M

α

β

γ

δ

α

α

β

AB // CD α β e γ δ

ABCD é paralelogramo AB CD

Portanto: α β

AB = CD γ δ ΔABM = ΔCDM

AM = CM M é o ponto médio de AC

BM = DM M é o ponto médio de BD



71

Resolução

2α + β = 180º α + 3β = 180º α = 72º 6. Calcule a medida do ângulo BÂD assinalado na figura seguinte, onde ABC é um triângulo eqüilátero e BCDE é um quadrado.

Resolução

7. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos DE e ABF são eqüiláteros. A medida do ângulo FÊA, em graus, é:

A B

C D

A B

C D

α

α

β

β

α + β β

A

B C

D E

A

B C

D E

60º

60º

α

α

α + α + 60º = 180º α = 15º x + α = 60º x = 60º - 15º

x = 45º Resposta: 45º



72

a) 5 b)10 c)15 d)20 e)25

Resolução


1. Num trapézio retângulo, a medida do maior ângulo interno é o quádruplo da medida do menor. A medida do menor dos ângulos desse trapézio é: a) 30º b)36º c) 45º d) 72º e)90º 2. A soma da medida dos ângulos agudos de um paralelogramo é 84º. Quanto medem os ângulos desse paralelogramo? 3. Num paralelogramo ABCD, a diagonal BD forma com o lado BC um ângulo de 28º e com o lado DC um ângulo de 67º. Calcule os ângulos desse paralelogramo. 4. Sabendo que os ângulos obtusos de um losango são expressos por x + 80º e 2x + 20º, calcule as medidas dos 4 ângulos desse losango.

5. Num paralelogramo, os ângulos agudos medem a metade dos ângulos obtusos. Determine as medidas dos ângulos desse paralelogramo. 6. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes sentenças: a) ( ) Todo o retângulo é um trapézio. b) ( ) Nem todo quadrado é retângulo. c) ( ) Todo paralelogramo é retângulo. d) ( ) Todo losango é paralelogramo. e) ( ) Nem todo trapézio é paralelogramo.

F

A B

C D

E

F

E

A B

C D

α

α

60º

60º

EÂF = 360º - 60º - 60º - 90º = 150º α + α + EÂF = 180º 2 α = 180º - 150º α = 15º

Logo, FÊA = 15º

Resposta: C



73

7. (CESGRANRIO) – Em um trapézio retângulo, o menor ângulo mede 350. O maior ângulo desse polígono mede: a)155o b)150o c)145o d)142o e)140o 8. (UNESP) – A afirmação falsa é? a) Todo o quadrado é um losango. b) Existem retângulos que não são losangos. c) Todo paralelogramo é um quadrilátero. d) Todo quadrado é um retângulo. e) Um losango pode não ser um paralelogramo.

9. (UNESP) – Considere as seguintes proposições: Todo quadrado é um losango.

Todo quadrado é um retângulo.

Todo retângulo é um paralelogramo.

Todo triangulo eqüilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que: a) Só uma é verdadeira. b) Todas são verdadeiras. c) Só uma é falsa. d) Duas são verdadeiras e duas são falsas. e) Todas são falsas. 10. (PUCCAMP) – Na figura a seguir tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4cm.

A medida do lado desse losango, em centímetros, é:

a)6 3 b)6 c)4 3 d)4 e)2 3

11. (UERJ-RJ) – Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que esta proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) Losango b) Trapézio c) Retângulo d) Quadrado 12. (UFRS-RS) – Considere as seguintes afirmações sobre o quadrilátero convexo.

I. Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um retângulo. II.Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um losango. III.se as diagonais se interceptam perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado.

Quais são corretas? a)Apenas II



74

b)Apenas III c) Apenas I e II d) Apenas I e III e) I, II e III 13. (UFMG) – Sobre figuras planas é correto afirmar-se que: a) Um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados opostos têm comprimentos iguais. b) Um quadrilátero que tem duas diagonais perpendiculares é um quadrado. c) Um trapézio que tem dois ângulos consecutivos iguais é isósceles. d) Duas Um triangulo eqüilátero é também isósceles. e) Um triangulo retângulo é aquele cujos ângulos são retos.

14. (PUC-SP) Num teste de múltipla escolha, propõe-se um problema que se refere a quadriláteros. As opções do teste são: a)Paralelogramo b)Losango c) Retângulo d) Quadrado e)N.D.A. Um candidato descobre que a opção e é incorreta e que o teste possui uma única opção correta. Logo, o candidato, para acertar o teste, deve assinalar a opção: a) a b) b c) c d) d e) e

15. O retângulo a seguir de dimensões a e b está decomposto em quadrados. Qual o valor da razão a/b? a) 5/3 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) ½

16. (UFOP) – Assinale a afirmativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é a menos do que a outra.

b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. c) Um As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triangulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 17. (ITA) – Dadas as afirmações:

I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. Podemos garantir que: a) todas são verdadeiras. b) apenas I e II são verdadeiras.

c) apenas II e III são verdadeiras.

b

a



75

d) apenas II é verdadeira. e) apenas III é verdadeira. 18. (ESPECEX) – Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero.

Calcular, em graus, a medida do ângulo DFB ˆ . 19. (UFMG) – Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo AÊB, em graus, é: a) 30 b) 49 c) 60 d) 75 e) 90

20. (ITAJUBÁ) – Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABM é um triângulo eqüilátero. Então,

quanto mede o ângulo DMC ˆ ?

21. (UNIP) – O quadrilátero ABDE é um quadrado e o triângulo ABC é eqüilátero. O ângulo ADC ˆ

vale: a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 35º

24. (FUVEST) – Na figura abaixo os ângulos a , b , c e d medem respectivamente, 2

3,2,

2

xx

xe

D C

F

D

A B

C

M

E A

D B

C

x

D



76

x. O ângulo e é reto. Qual a medida do ângulo f ?

a) 16º b) 18º c) 20º d) 22º e) 24º

25. (MACKENZIE) – Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190o. O maior dos dois outros ângulos mede: a) 105o b) 100o c) 90o d) 95o e) 85o

26. (UNICAMP) – Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois

ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de β seja igual a cinco vezes a medida de α. a) Calcule a medida de α, em graus, b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto. 27. (UNIFOR) – Na figura a seguir têm-se as circunferência de centros O1 e O2, tangentes entre

si e tangentes à reta r nos pontos A e B, respectivamente

Se os raios das circunferências medem 18cm e 8cm, então o seguimento mede, em

centímetros: a)20 b)22 c)23 d)24 e)26 28. (FUVEST) – No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lanchar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que se as bolas tocam o chão, é:

a)8 b) c) d) e)

29. Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em

O1

O2

A B r

A B

b

c

a

d e

f



77

metros é:

a) b) c) d)

e)

h

2,5

o o

o



78

Áreas das figuras planas – Polígonos Regulares ÁREA DOS QUADRILÁTEROS 1. Definição Área de uma figura é um numero associado à sua superfície, que exprimi a relação existente entre esta superfície e a superfície de um quadrado de lado unitário. Dizemos que duas superfícies são equivalentes quando possuem a mesma área. 2. Área do retângulo A área S de um retângulo é o produto das medidas de a e b de dois de seus lados consecutivos.

Assim, S = a . b 3. Área do quadrado Sendo o quadrado um caso particular do retângulo, a área S de um quadrado de lado L é S = L.L

Assim, S = L² 4. Área do paralelogramo Os triângulos RST e QPU são congruentes pelo critério LAAo e, portanto, são equivalentes. O paralelogramo PQRS e o retângulo UQRT ambos de base b e altura h possuem, portanto, a mesma área

Assim, S = b . h 5. Área do losango O retângulo ABCD esta dividido em oito triângulos retângulos congruentes. O losango PQRS cujas diagonais medem D e d é composto por quatro desses triângulos. A área S do losango é,

P

Q

S

R

L

P

Q

S

a

b

P S T S

R Q

U

b

h



79

portanto, a metade da área do retângulo.

Assim,

6. Área do trapézio O trapézio PQRS, cujas bases medem B e b e cuja altura mede h, é equivalente ao trapézio P’Q’SR. A união dos dois trapézios é o paralelogramo PQP’Q’, cuja basse mede B + b e a altura mede h. A área S do trapézio PQRS é, portanto, a metade da área do paralelogramo. Assim,

ÁREA DOS TRIÂNGULOS 1. Em função da base e da altura O triangulo PQR, cuja base mede b e a altura h, é equivalente ao triangulo RQ’P.

A área S do triangulo PQR é, portanto, a metade da área do paralelogramo PQRQ’, cuja base mede b e a altura h.

Assim,

2. Triângulo eqüilátero Seja ABC um triangulo eqüilátero cujo lado mede L, a altura h e a área S.

h

R

S B

Q

P Q’ b

P’ b

R

b Q’

Q

P

b

h



80

Lembrando que eh2

3

2

hS

, temos: 4

3²

S

HEXÁGONO REGULAR Sendo L a medida do lado do hexágono regular da figura, temos:

a) Apótema: a = 2

3.L (altura do triângulo eqüilátero AOB)

b) Raio da circunferência circunscrita; R = L (lado do triângulo eqüilátero AOB)

c) Área: S = 6 . SΔAOB S 2

3²..3 L

R

R a L

L

L

L

L

L

O

A B



81

Bibliografia:

Matsubara, Roberto, Big Mat: matemática: história, evolução, conscientização, 8° série / Matsubara & Zaniratto. – São Paulo : IBEP, 1998.

Krikorian, Jorge e Grespan, Meuro, Curso e Colégio Objetivo, Coleção Objetivo, livro 24, Trigonometria e Geometria Plana.

Sites:

http://www.exatas.mat.br/ http://www.somatematica.com.br/

1 Apostila de Matemática – CAAK .......................

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