Propriedades do m.d.c. e do m.m.c.

Algoritmo de Euclides

António Martins Ferreira

Propriedades do m.d.c. e do m.m.c.• Vamos completar a tabela seguinte:

a b m.d.c.(a,b) m.m.c. (a,b) m.d.c.(a,b) x m.m.c. (a,b) a x b

8 20

24 60

4 40 4 x 40 = 160 8 x 20 = 160

12 120 12 x 120 = 1440 24 x 60 = 1440

Relação entre o m.d.c, e o m.m.c.

O produto do m.d.c. pelo m.m.c. de dois números é igualao produto desses números.

m.d.c.(a,b) x m.m.c. (a,b) = a x b

Propriedades do m.d.c. e do m.m.c.

Considera os números: 24 e 60• m.d.c. (24,60) =

Relação entre o m.d.c, e o m.m.c.

Dividindo dois números pelo seu m.d.c.obtêm-se dois números primos entre si

1224 : 12 = 2 60 : 12 = 5

m.d.c. (2,5) = 1 (2 e 5 são números primos entre si)

ALGORITMO DE EUCLIDES

Método simples para determinar o m.d.c. de dois números naturais

Este método foi apresentado no Livro VII dos Elementos (+ ou – 300 a. C.)

Este algoritmo é um dos mais antigos ainda utilizados

Euclides 360 a 295 a. C.

ALGORITMO DE EUCLIDES

Método simples para determinar o m.d.c. de dois números naturais

Sejam a e b dois números naturais em que a ≥ b. Se b dividir a, então m.d.c. (a,b) = b

Senão m.d.c. (a,b) = m.d.c. (b,r) sendo r o resto da divisão inteira de a por b.

ALGORITMO DE EUCLIDESSejam a e b dois números naturais em que a ≥ b. Se b dividir a,

então m.d.c. (a,b) = bSenão m.d.c. (a,b) = m.d.c. (b,r) sendo r o resto da divisão inteira

de a por b.

a b Resto (r)

2250 450

Aplicação do Algoritmo de Euclides

Cálculos

2250

000

450

5

m.d.c. (2250,450)= ?

o

m.d.c. (2250,450)= 450

ALGORITMO DE EUCLIDES

Sejam a e b dois números naturais em que a ≥ b. Se b dividir a, então m.d.c. (a,b) = bSenão m.d.c. (a,b) = m.d.c. (b,r) sendo r o

resto da divisão inteira de a por b.

a b Resto (r)

348 156

156 36

36 12

Cálculos

348

036

156

2

156 12

36

4

3600

12

3m.d.c. (348,156)= ?

36 m.d.c. (348,156)= m.d.c. (156,36)=

120

= m.d.c. (36,12)=

= 12