06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidade

MÓDULO I – PARTE 6

Noções de Probabilidade

MATEMÁTICA

2011 1

Prof. Bruno Vianna Projeto

Vestibular


Experimento determinístico Experimentos que ao serem realizados repetidas vezes em condições consideradas idênticas, apresentam resultados essencialmente idênticos são denominados experimentos determinísticos.

Experimento aleatório

Experimentos que ao serem realizados repetidas vezes em condições consideradas idênticas, apresentam resultados diferentes, não sendo possível portanto a previsão lógica dos resultados, são denominados experimentos aleatórios (ou casuais). Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U. Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral. O conjunto Ø é chamado evento impossível . O conjunto espaço amostral U é também um evento, chamado de evento certo . Os subconjuntos unitários de U são chamados eventos elementares ou eventos simples . Espaço Amostral Eqüiprovável

O espaço amostral de um experimento aleatório é chamado eqüiprovável se todos os seus eventos elementares têm a mesma chance de ocorrer Probabilidade

Seja U um espaço amostral eqüiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

)U(n)A(n

)A(P =

onde: n(A) = número de elementos do evento A. n(U) = número de elementos do espaço amostral U. Como A é subconjunto de U, decorre que:

0 ≤ n(A) ≤ n(U)

Dividindo todos os membros da desigualdade por n(U), vem:

)U(n)U(n

)U(n)A(n

n(U)

0 ≤≤ ∴ 1)A(P0 ≤≤

Probabilidade de Não Ocorrer Um Evento

Sendo A evento complementar do evento A do espaço amostral U, temos:

1)A(P)A(P =+ Exercícios Resolvidos 01) Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? Espaço amostral U = {1,2,3,...,13,14,15} Evento requerido A = {11,12,13,14,15} (Nºs maiores ou iguais a 11) n(A) = 5 n(U) = 15

%3,3331

155

)()(

)( ≅===Un

AnAp

É certo que também podemos simplificar a idéia de probabilidade quando as situações estudadas são de fácil compreensão:

%3,3331

155

ºº ≅===

casosdetotaln

favoráveiscasosdenp

02) Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser:

a) menor que 3? %3,333

1

6

2 ≅==p

b) maior ou igual a 3? %6,663

2

6

4 ≅==p

Observe que P(A) + P(B) = 13

2

3

1 =+

Ou seja, como 1)A(P)A(P =+ , temos que )()( APBP =



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� Probabilidade da união de eventos

Se A e B são eventos quaisquer de um experimento aleatório do mesmo espaço amostral U, então:

)BA(n)B(n)A(n)BA(n IU −+=

Dividindo ambos os membros dessa igualdade por n(U), temos:

)U(n)BA(n

)U(n)B(n

)U(n)A(n

)U(n)BA(n IU −+=

Onde concluímos que:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P IU −+=

Pode ocorrer que os eventos A e B do

espaço amostral U não tenham elementos comuns. Nesse caso, são chamados de eventos mutuamente exclusivos ( ou eventos disjuntos ). Quando isso ocorre, temos:

0B)P(A } {BA =⇒= II

Logo, se A e B são eventos mutuamente exclusivos, temos:

)B(P)A(P)BA(P +=U

Resumindo:

( ) =∩⇔+=∪ BABpApBAp )()( Ø ou

( ) ( ) ≠∩⇔∩−+=∪ BABApBpApBAp )()( Ø

Exercício Resolvido : 03) Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. a) Qual a probabilidade de o nº da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3?

Múltiplos de 2 > 25

12)( =Ap

Múltiplos de 3> 25

8)( =Bp

Múltiplos de 2 e 3 > 25

4)( =∩ BAp

%6464,025

16

25

4

25

8

25

12)( ===−+=∪ BAp

b) Qual a probabilidade do nº da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7?


5)( =Ap


3)( =Bp

Múltiplos de 5 e 7 > Ø)( =∩ BAp

%3232,025

8

25

3

25

5)( ===+=∪ BAp

� Probabilidade Condicional

Denomina-se probabilidade de B condicionada a A a probabilidade de ocorrência do evento B, sabendo que vai ocorrer ou que já ocorreu o evento A. Representaremos esse caso por P( B | A ) (lê-se probabilidade de B dado A ). Observe que, sabendo que o evento A ocorreu, então os casos favoráveis à ocorrência do evento B estão em A ∩ B. Temos então:

)A(n)BA(n

)A|B(PI=

Dividindo numerador e denominador do segundo membro da igualdade por n(U), temos:

)U(n)A(n)U(n

)BA(n

)A|B(P

I

= ==> )A(P

)BA(P)A|B(P

I=

Logo:

)A|B(P)A(P)BA(P ⋅=I

U

A ∩ B

A B



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Então, para a ocorrência ao mesmo tempo de dois eventos, temos que a probabilidade de ocorrer A e B é igual à probabilidade de ocorrer A multiplicada pela probabilidade condicional de B dado A.

Os eventos A e B são chamados eventos independentes ou seja, a ocorrência de um evento não depende da ocorrência do outro, quando vale a igualdade:

)B(P)A(P)BA(P ⋅=I

Exercícios Resolvidos 04) Uma urna contém exatamente sete bolas: quatro azuis e três vermelhas. Retira-se ao acaso uma bola da urna, registra-se sua cor e repõe-se a bola da urna. A seguir, retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua cor. Calcular a probabilidade de: a) sair uma bola azul e outra vermelha.

Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda seja vermelha. A probabilidade de a primeira

bola ser azul é 74 , e a probabilidade de a segunda bola

sair vermelha é 7

3 . Assim, a probabilidade de obtermos

a sequência: A e V é 49

12

7

3

7

4 =⋅=P

b) saírem duas bolas de cores diferentes. Temos duas sequências possíveis, com as respectivas probabilidades: A e V →

49

12

7

3

7

41 =⋅=P OU V e A →

49

12

7

4

7

32 =⋅=P

Assim a probabilidade total é: 49

24

49

12

49

1221 =+=+= PPP

Exercícios Propostos 01) Estudando Genética, os alunos da E.A. Corcovado construíram o quadro ao lado, em que os quatro eventos são prováveis. Qual a probabilidade de que ocorra o evento aa (em que o filho de um casal híbrido de olhos castanhos teria olhos azuis) ? Masc \ Fem A a

A AA (castanho) Aa (castanho) A Aa (castanho) aa (azul)

(A) 50% (B) 25% (C) 75% (D) 10% (E) 20%

02) (UNI-RIO) – O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre ? (A) 1 / 7 200 (B) 1 / 1 500 (C) 1 / 2 000 (D) 1 / 720 (E) 1 / 200 03) (UNIRIO-2000) Numa urna existem bolas de plástico, todas do mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade de se sortear um número primo ao pegarmos uma única bola, aleatoriamente, é de: (A) 45% (B) 40% (C) 35% (D) 30% (E) 25% 04) (UERJ-02) Em uma experiência de fecundação in vitro, 4 óvulos humanos, quando incubados com 4 suspensões de espermatozóides, todos igualmente viáveis, geraram 4 embriões, de acordo com a tabela abaixo.

Observe os gráficos:

Considerando a experiência descrita, o gráfico que indica as probabilidades de os 4 embriões serem do sexo masculino é o de número: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 05) (UERJ-06-2ºex) Com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico.



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Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro. A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:

(A) 25% (B) 30% (C) 35% (D) 40% 06) (OBMEP-05) Brasil e Argentina participam de um campeonato internacional de futebol no qual competem oito seleções. Na primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais os adversários são escolhidos por sorteio. Qual é a probabilidade de Brasil e Argentina se enfrentarem na primeira rodada?

(A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 (D) 1/5 (E) 1/4

07) (PM-05-1) Pedro brinca com um dado com seus amigos. Ele não gosta do número 3. Se Pedro lançar o dado duas vezes, a probabilidade de que o número 3 não apareça em nenhum dos lançamentos é de, aproximadamente:

(A) 40% (B) 50% (C) 60% (D) 70%

08) (PM-04-2) Em certo quartel, a probabilidade de um soldado ser torcedor do Flamengo é 0,60 e de gostar de praticar exercício de tiro é 0,70. As probabilidades mínima e máxima de um soldado deste quartel ser torcedor do Flamengo e, simultaneamente, gostar de praticar exercícios de tiro, são, respectivamente: (A) 10% e 60% (B) 20% e 60% (C) 30% e 60% (D) 40% e 60%

09) (PM-04-2) Um comandante deseja premiar três dos sete soldados mais qualificados de seu quartel, adotando o critério de sorteio. Todos os soldados qualificados têm nomes diferentes e João e Pedro estão entre eles. A probabilidade de João e Pedro serem dois dos nomes sorteados é de: (A) 1/7 (B) 2/7 (C) 3/7 (D) 4/7 10) (UERJ-99)

(O Dia, 25/08/98) Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma caixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas, a probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é: (A) 4 % (B) 16 % (C) 20 % (D) 36 %

11) (UERJ)

Protéticos e dentistas dizem que a procura por dentes postiços não aumentou. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem nenhum dente na boca e 80% delas já usam dentadura. Assunto encerrado. (Adaptado de Veja, outubro/97)

Considere que a população seja de 160 milhões de

habitantes. Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a

probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:

(A) 0,28%; (B) 0,56%; (C) 0,70%; (D) 0,80%. 12) Numa urna contendo 5 bolas brancas e 10 bolas pretas, cada vez que se retira uma delas procede-se da seguinte maneira:

− Se a bola for branca: não se repõe esta bola, porém acrescenta-se 6 outras bolas pretas;

− Se a bola for preta: repõe-se esta bola juntamente com outras 5 bolas brancas.

A probabilidade da SEGUNDA bola retirada desta urna ser branca, é:

(A) 20% (B) 25% (C) 33,333...% (D) 40% (E) 50%

13) Uma urna A contém x bolas vermelhas e y bolas brancas. Uma urna B contém z bolas vermelhas e w bolas brancas. Uma bola é retirada da urna A e colocada na urna B e, então, uma bola é retirada da urna B. A probabilidade desse última bola ser vermelha é:

(A) w1z

1z

+++

(B) wzyx

zx+++

+

(C)

++++

+ 1wzzyxzx

yx1

(D)

++++

+ 1wzzyxzxy

yx1



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14) (Enem-2001) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é (A)1/27. (B) 1/36. (C) 1/54. (D)1/72. (E) 1/108. 15) A figura abaixo representa um alvo de dardos, composto de três círculos concêntricos de raios r, 2r e 3r. Sabendo que um competidor acertou o alvo, qual é a probabilidade dele ter acertado a parte clara do alvo?

(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1/4 (D) 1/9 (E) 4/9

16) (PUC-RIO-2010) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?

(A) 81

(B) 92

(C) 41

(D) 31

(E) 83

17) (PUC-RIO-2011) Jogamos três dados comuns simultaneamente. Qual a probabilidade de que os três números sorteados sejam distintos?

(A) 21

(B) 361

(C) 95

(D) 3617

(E) 175

18) (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%. (D) 35%. (E) 40%. 19) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo vinte bolas numeradas de 1 a 20. Retiram-se três bolas simultaneamente e de maneira aleatória de dentro desta urna. a) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 6? b) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 8? c) Qual a probabilidade de que a soma seja igual a 15? 20) (PUC-RIO-2011) Considere uma urna contendo 5 bolas pretas e 5 bolas brancas. Retiram-se simultaneamente e de maneira aleatória 3 bolas de dentro desta urna. a) Qual a probabilidade de que todas as bolas retiradas sejam brancas? b) Qual a probabilidade de que, entre as bolas retiradas, duas bolas sejam brancas e uma bola seja preta?



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21) (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é:

(A) 31

(B) 51

(C) 52

(D) 75

(E) 145

22) (ENEM-09) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de

(A) 21

(B) 207

(C) 258

(D) 51

(E) 253

23) (ENEM-09) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? (A) 2 × (0,2%)4. (B) 4 × (0,2%)2. (C) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2. (D) 4 × (0,2%). (E) 6 × (0,2%) × (99,8%). 24) (ENEM-09) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

(A) 21

1 vez menor (B) 21

2 vezes menor

(C) 4vezes menor (D) 9vezes menor (E) 14vezes menor 25) (UERJ-2011 -1º ex qualif) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. Considere uma caixa com 12 garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se, ao acaso, 2 garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a: (A) 9,1% (B) 18,2% (C) 27,3% (D) 36,4%



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26) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração:

Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: (A) 5 (B) 13 (C) 31 (D) 40 27) (UERJ 2011- 2ºex qualif) Inserindo-se 3 moedas, uma de cada vez, a probabilidade de que a máquina libere 3 bolas, sendo apenas duas delas brancas, é aproximadamente de: (A) 0,008 (B) 0,025 (C) 0,040 (D) 0,072 28) (UFRJ-2004-PE) Manoel e Joaquim resolveram disputar o seguinte jogo: uma bola será retirada ao acaso de uma urna que contém 999 bolas idênticas, numeradas de 1 a 999. Se o número sorteado for par, ganha Manoel; se for ímpar Joaquim ganha. Isto foi resolvido após muita discussão, pois ambos queriam as pares.

Se todas as bolas tem a mesma probabilidade de serem retiradas, identifique quem tem mais chances de ganhar o jogo. Justifique sua resposta. 29) (UFRJ-98-PE) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem bolas brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.

Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas. 30) (UFRJ-2009) João criou uma senha de 4 algarismos para o segredo de seu cofre. Mais tarde, quando foi abrir o cofre, João percebeu que não lembrava mais qual era a senha, mas sabia que os algarismos eram 1, 3, 8 e 9. Ele, então, resolveu escrever todos os números possíveis formados pelos 4 algarismos e, em seguida, tentar abrir o cofre sorteando ao acaso, um a um, os números de sua lista, sem repetir números já testados.

a) Determine quantos números João escreveu.

b) Calcule a probabilidade de que ele abra o cofre na 12ª tentativa.

31) (UFF-2010-2ºF) Dois dados cúbicos não viciados, cujas faces estão numeradas de 1 a 6, são jogados aleatoriamente e simultaneamente sobre uma mesa plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for um número par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um número ímpar, Lúcia ganha. Ao perder a primeira partida, Lúcia diz que não irá mais jogar porque a regra favorece Paulo. Seu argumento é o seguinte: dentre os onze valores possíveis para a soma (os inteiros de 2 a 12), há seis números pares e apenas cinco números ímpares. Logo, Paulo tem maior probabilidade de ganhar. a) Calcule a probabilidade de Lúcia ganhar uma partida. Justifique sua resposta. b) Use o item a para verificar se o argumento de Lúcia está correto. (*) Valor sorteado é o número escrito na face do cubo oposta à face que está apoiada na mesa. 32) (PUC-2010 – 2ª f) Considere o lançamento de três dados comuns. a) Qual é a probabilidade de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5? b) Qual é a probabilidade de que os três números sorteados sejam diferentes? 33) (UERJ-2011-2ª FASE) Para a realização de uma partida de futebol são necessários três árbitros: um juiz principal, que apita o jogo, e seus dois auxiliares, que ficam nas laterais. Suponha que esse trio de arbitragem seja escolhido aleatoriamente em um grupo composto de somente dez árbitros, sendo X um deles. Após essa escolha, um segundo sorteio aleatório é feito entre os três para determinar qual deles será o juiz principal. Calcule a probabilidade de X ser o juiz principal. 34) (UERJ-2007-ESP) João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.



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Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco. As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.

A figura correspondente à etapa 3 foi colada em uma roleta, que após ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posições distintas. Uma seta indica o número correspondente a cada posição, como ilustra a figura abaixo.

João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os números indicados pela seta após cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses números ser par. 35) (UERJ-2009-ESP) Os baralhos comuns são compostos de 52 cartas divididas em quatro naipes, denominados copas, espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles. Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e rei.

Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as n cartas restantes, não rasgadas, foram guardadas em uma caixa. A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, as seguintes cartas:

Calcule o valor de n. 36) (UERJ-2010-ESP) Uma criança guarda moedas de R$ 1,00 e de R$ 0,50 em duas caixas, uma verde e outra amarela. Na caixa amarela, há, exatamente, 12 moedas de R$ 1,00 e 15 moedas de R$ 0,50. Admita que, após a transferência de n moedas de R$ 1,00 da caixa verde para a amarela, a probabilidade de se retirar ao acaso uma moeda de R$ 1,00 da caixa amarela seja igual a 50%. Calcule o valor de n. 37) (UFRJ-2010) Um ponto P é aleatoriamente selecionado num retângulo S de dimensões 50 cm por 20 cm. Considere, a partir de S, as seguintes regiões: Região A – retângulo de dimensões 15 cm por 4 cm com centro no centro de S e Região B – círculo de raio 4 cm com centro no centro de S. Suponha que a probabilidade de que o ponto P pertença a uma região contida em S seja proporcional à área da região. Determine a probabilidade de que P pertença simultaneamente às regiões A e B. 38) (UFRJ-2011) Um ponto M é selecionado ao acaso no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em O, que tem M como ponto médio de um de seus lados. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C.



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39) (PUC-2010 – 2ª f) O diagrama abaixo mostra uma sala do jogo Os Labirintos da Simetria. Isaac, o herói do jogo, entra na sala por um portão no extremo esquerdo da sala e precisa sair pelo portão que está no extremo direito da sala e que inicialmente está fechado.

No corredor entre os dois portões há sete cristais, cada um com uma cor do arco íris: Vermelho, Laranja, Amarelo, Verde, Azul, Índigo e Violeta. A cada partida as posições dos cristais são sorteadas, com igual probabilidade para cada uma das ordens possíveis. Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar os sete cristais exatamente na ordem acima. Na sala há uma corrente de ar da esquerda para a direita. Assim, Isaac pode mover-se facilmente da esquerda para a direita, mas para mover-se da direita para a esquerda ele precisa acionar as suas Hélices Mágicas. Cada vez que ele aciona as Hélices ele gasta uma carga. Para tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se depois de tocar um cristal ele precisar se mover novamente para a esquerda ele precisará gastar outra carga. Assim, por exemplo, se num jogo a posição dos cristais for: Amarelo - Laranja - Índigo - Verde - Violeta - Vermelho – Azul então Isaac chegará gratuitamente ao cristal Vermelho, gastará uma carga para voltar até Laranja e uma segunda para voltar até Amarelo. Depois disso ele se moverá gratuitamente até Verde e daí até Azul. Isaac gastará uma terceira carga para voltar até Índigo e depois se moverá gratuitamente até Violeta e de lá para o portão de saída, finalmente aberto. Neste exemplo, para passar pela sala, Isaac gastou três cargas. Considerando agora uma sala com cristais em posições sorteadas, responda: a) Qual a probabilidade de que Isaac possa passar pela sala sem gastar nenhuma carga? b) Qual a probabilidade de que Isaac passe pela sala gastando uma carga para ir de Vermelho até Laranja e depois não precise gastar mais nenhuma outra carga? c) Qual a probabilidade de que Isaac precise gastar exatamente uma carga para passar pela sala?

40) (UNICAMP - 2002) Em Matemática, um número natural a é chamado palíndromo se seus algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se: a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999? b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta. GABARITOS 01) B 02) C 03) B 04) A 05) C 06) B 07) D 08) C 09) A 10) D 11) C 12) D 13) C 14) C 15) A 16) C 18) B 19) a) 1/1140 b) 1/570 c) 1/95 20) a) 1/12 b) 5/12 21) D 22) C 23) C 24) C 25) C 26) C 27) B 28) Joaquim tem mais chances de ganhar o jogo, já que há 500 bolas com números ímpares e 499 bolas com números pares. 29) 50% 30) a) 24 b) 1/24 31) a) 50% b) 50% 32) a) 1/36 b) 5/9 33) 1/10 34) 5/8 35) n = 40

36) n = 3 37) 3000

32416 += πP 38) ½

39) a) 1/7! = 1/5040 b) 6/7! = 1/840 c) 120/7! = 1/42 40) a) 196 b) 1,96



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2011 10


Vestibular

Algumas resoluções: Questão 8) 60 – x + x + 70 –x = 100 >> x = 30% Como x ≥ 0 >> x ≤ 60% Questão 9) As cinco são : João Pedro __ ____ ____ ____ ____

Questão 19) Há C20,3 = 1140 maneiras de se retirarem 3 bolas da urna. a) Soma igual a 6: 1 + 2 + 3 (somente um maneira). Logo P(a) = 1/1140. b) Soma igual a 8: 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4 (duas maneiras). Logo P (b) = 2/1140 = 1/570. c) Soma igual a 15: 1 + 2 + 12, 1 + 3 + 11, 1 + 4 + 10, 1 + 5 + 9, 1 + 6 + 8, 2 + 3 + 10, 2 + 4 + 9, 2 + 5 + 8, 2 + 6 + 7, 3 + 4 + 8, 3 + 5 + 7, 4 + 5 + 6 (doze maneiras). Logo P (c) = 12/1140 = 1/95.

Questão 20)

Há C10,3 =120 maneiras de se retirarem 3 bolas da urna.

a) Tirar três bolas brancas: 121

12010

)(3,10

3,5 ===C

CaP

b) Tirar duas brancas e uma preta:

125

12050

)(3,10

1,52,5 ==⋅

=C

CCbP

Questão 29) Qualquer que seja a cor da bola retirada na primeira urna, a chance de se retirar uma bola de cor diferente da segunda urna é de 100/200.

Logo: P = ½ = 50%

Questão 30) a) São 4 algarismos distintos. Tem-se que 4! = 24. João escreveu 24 números. b)Solução da Banca: Olhando-se uma lista qualquer dos 24 números possíveis, observe que a probabilidade da senha correta estar na n-ésima posição não depende de n. Deste modo a probabilidade de João acertar na 12ª tentativa é igual à probabilidade de João acertar na primeira, que é 1/24 Solução mais simples: Para que João acerte apenas na 12ª tentativa, obrigatoriamente ele deve errar as onze tentativas anteriores e acertar a 12ª, logo:

131

1413

1514

1615

1716

1817

1918

2019

2120

2221

2322

2423 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=P

241=P

Questão 31) a) O espaço amostral desse experimento é o conjunto A, com 36 elementos: A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }. O evento “a soma dos valores sorteados é um número ímpar” é o conjunto E, com 18 elementos: E = { (1, 2), (1, 4), (1, 6),(2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4), (3, 6),(4, 1), (4, 3), (4, 5),(5, 2), (5, 4), (5, 6),(6, 1), (6, 3), (6, 5) }. Logo, a probabilidade de Lúcia ganhar é igual a 18/36 = 1/2 = 50%. b) O cálculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lúcia têm a mesma probabilidade de ganhar uma partida. Questão 32) Temos no lançamento de três dados 63 possibilidades. a) O evento ter soma 5, tem casos : (1,2,2), (2,2,1) , (1,2,1),(1,1,3),(1,3,1) e (3,1,1) então, P= 6/216 = 1/36 b) O evento ter todos os números diferentes, vale 6 × 5 × 4. Logo, P = (6.5.4)/216 = 5/9

Resol: 7

1

35

5

3,7

1,5 ==C

C

x 60 - x 70 - x

Fla Tiro



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2011 11


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Questão 33) A = {x; a2 ; a3 ; a4 ; ...; a10}

1º sorteio: 103

12036

1238910

12

89

)(3,10

2,9 ==

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

==C

CxP

101

103

31

)( =⋅=JUÍZ

xP

Questão 34)

Probabilidade de ocorrer par e par ⇒ P1 = 16

1

Probabilidade de ocorrer ímpar e ímpar ⇒ P2 = 16

9

Probabilidade de ocorrer soma par ⇒

P1 + P2 = 16

10 = 8

5

Questão 35) Número de cartas guardadas na caixa: n Probabilidade de retirada de: - um rei → P(R) = 0,075 - uma carta de copas → P(C) = 0,25 - um carta de copas ou um rei → P(C ∩ R) = 0,3 - o rei de copas → P(R ∩ C) = P(R) + P(C) – P(R ∪ C)

P(R ∩ C) = 0,075 + 0,25 − 0,3 = 0,025 =n1

4040

1 =⇒= nn1

Questão 36)

1512

12

+++=n

n

21

→ 12 + n + 15 = 2 (12 + n) → → n + 27 = 24 + 2n → → 27 – 24 = 2n – n → → n = 3 Questão 37) Por hipótese, a probabilidade de que o ponto P pertença a uma região F, contida em S, é dada pela razão entre a medida da área de F e a medida da área de S. Assim, a probabilidade de que o ponto P pertença a

ambas as regiões é dada por: )(

)(Sárea

BAárea ∩

Seja C a região sombreada na figura abaixo. Então,a área (A∩B) = 16π – 4 × área (C).

Observando-se o triângulo retângulo OLN, tem-se que o ângulo LÔN mede 60º. Assim, a medida da área do

setor circular OMN é 2

38

cmπ

e a área do triângulo OLN

é 232 cm . Portanto, a medida da área da região C

é 2323

8cm

−π.

Logo, a medida da área de A∩ B é:

2323

8416 cm

−− ππ

Como a medida da área de S é 1000 cm2, tem-se que a

probabilidade solicitada é 3000

32416 += πP .

Questão 38) A diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro do círculo C, ou seja, d = 4. A medida L do lado deste

quadrado é, por Pitágoras, 2L2 = 16 , ou seja, L = 22 .

Para que o quadrado esteja inteiramente contido em C, a distância de M ao centro de C deve ser menor do que

ou igual a 2L

. Ou seja, M pertence a um círculo CM de

raio 2L

e mesmo centro C.

Então a probabilidade pedida é:

2

1

4

2

)(

)( ===ππ

Cárea

Cáreap M



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Questão 39) a) Isto só ocorrerá se os cristais estiverem na ordem: Vermelho - Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo - Violeta A probabilidade de isso ocorrer é 1/7! = 1/5040. b) Isto ocorrerá se as cores: Laranja - Amarelo - Verde - Azul - Índigo – Violeta aparecerem nesta ordem da esquerda para a direita, com Vermelho em qualquer posição exceto na primeira. Há, assim, 6 configurações possíveis e a probabilidade pedida é 6/7! = 1/840. c) Para formar uma configuração deste tipo, devemos primeiro selecionar um conjunto de posições (há 27 = 128 maneiras de fazer isso). Primeiro preenchemos as posições do conjunto da esquerda para a direita com as cores na ordem em que Isaac deve tocá-las e depois preenchemos as posições no complemento do conjunto. Isto só *não* funcionará se as posições do conjunto estiverem todas à esquerda das posições do complemento (pois neste caso Isaac não gastaria nenhuma carga), ou seja, para os 8 conjuntos {}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, ..., {1,2,3,4,5,6,7}. Assim há 128 - 8 = 120 configurações possíveis, e a probabilidade pedida é 120/7! = 1/42. Questão 40)

a) De 1 até 9.999, temos desde palíndromos de 1 algarismo até palíndromos de 4 algarismos.

Assim, ou ou ou 9 + 9 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 + 9 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 = 198 Considerando que “entre 1 e 9.999” não devam ser incluídos os extremos, temos 196 palíndromos. Resposta: 196

b) “Entre 1 e 9.999” temos 9.997 números.

Assim, a probabilidade pedida é:

P = 96,1997.9

196 ≈ %

Nota: Se interpretássemos o “entre 1 e 9.999” com a possibilidade da inclusão dos extremos, teríamos: a) 198 palíndromos.

b) P = 98,1101

2

999.9

198 ≈= %.

x x x x

06 eac proj vest mat módulo 1 noções de probabilidade

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