05_Noções de Probabilidade_2016.pdf

7/25/2019 05_Noes de Probabilidade_2016.pdf

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Noes de Probabilidadecom exemplos prticos

Notas de ula

Professora na Cristina Pordeus Ramos

RAMOS, A.C.P

Probabilidade

Uma cincia que comeou pelo estudo

dos jogos de azar tem se transformado nomais importante objeto do conhecimentohumano.

(Pierre-Simon Laplace, 1749-1827,no livro Teoria Analtica das Probabilidades)

RAMOS, A.C.P

Experimento Aleatrio

aquele que, ao ser realizado vrias vezes, nasmesmas condies, no poder ter o seu resultadoprevisto, mas somente o conjunto dos resultadospossveis, estando o mesmo acontecendo ao acaso.

Exemplos:

I - Lanar um dado e observar a face voltada para cima; II - Lanar uma moeda um nmero n de vezes e observar a

face que fica voltada para cima; III - Retirar uma bola de um recipiente contendo bolas de

diversas cores e observar a cor obtida; IV - Sortear um professor de uma escola.

4

RAMOS, A.C.P

Espao Amostral e Evento

O Espao Amostral o conjunto de todos osresultados possveis de um Experimento Aleatrio,representado por S.

Qualquer subconjunto do Espao Amostral (S)

chamado Evento (E).

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SE


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RAMOS, A.C.P

Espao Amostral e Evento Exemplo 1

Lanar um dado e observar o valor obtido na facevoltada para cima:

Espao Amostral (S): S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Exemplos de eventos possveis para S:

Nmero obtido mpar : E = { 1 , 3 , 5 } Nmero obtido menor que 3 : E = { 1 , 2 }

6 RAMOS, A.C.P

Espao Amostral e Evento Exemplo 2

Retirar sucessivamente 2 bolas de um recipiente

contendo 3 bolas pretas e 3 bolas brancas:

Espao Amostral:

S = { (P , P) ; (P , B) ; (B , P) ; (B , B) }Eventos:

As bolas tm a mesma cor: E = { (B , B) ; (P , P) } A primeira bola branca : E = { (B , B) ; (B , P) } Uma das bolas azul: E =

7

RAMOS, A.C.P

Espao Amostral e Evento - Exemplo 3

Lanar uma moeda 3 vezes e observar a sequencia

das faces que so obtidas (K: cara / C: coroa).

Espao Amostral:

S = { (C , C , C ) ; ( C , C , K ) ; ( C , K , C ) ; ( C , K , K ) ;( K , C , C ) ; ( K , K , C ) ; ( K , C , K ) ; ( K , K , K ) }

Eventos:

As faces so iguais : A = { ( C, C , C ) ; ( K , K , K ) } Cara no primeiro e ltimo: B = { ( K , K , K ) ; ( K , C , K ) } Coroa nos trs lanamentos : C = { ( C , C , C ) }

8 RAMOS, A.C.P

Usando a notao da Teoria dos Conjuntos, descreva um espao

amostral para o resultado de cada um dos seguintes

experimentos aleatrios:

1. lanamentode uma moeda;

2. lanamentode um dado;

3. lanamentode duasmoedas;

4. vida til de um carro;

Espao Amostral Exemplo 4

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3

RAMOS, A.C.P

Usando a mesma notao do exerccio anterior, descreva os

seguintes eventos que correspondem, respectivamente, aos espaos

amostraisdefinidosno exerccio anterior:

1. "cara"; "coroa;

2.par;maior que 3;

3. "cara" na primeira moeda;

4.vida til compreendida entre 3 e 5 anos;

Eventos Exemplo 5

10 RAMOS, A.C.P

Uma empresa seguradora vende um seguro de vida para mulheres de

30 anos de idade. A empresa est interessada em conhecer a idade do

segurada, quando esta eventualmente morre. Supondo w = 110,

S = (30,31, ... , 109)

O espao amostral tamb m pode ser infinito: Um estoque comprado por $ 100. Deseja-se observar o preo que

ele pode ser vendido em um ano. Uma vez que os preos das aes so

cotados em dlares e em fraes de dlares, as aes no poderiam ter

um nmero racional negativa como o seu valor futuro.

S = (x I x >=0 e x racional)

O espao amostral para uma experincia pode ser: um pequenoconjunto finito; um grande conjunto finito; ou um conjunto infinito.

Espao Amostral Seguradoras - Exemplo 6

11

RAMOS, A.C.P

a) bitos em uma seguradora. Uma companhiaseguradora est interessada na probabilidade que umsegurado tem de vir a falecer no prximo ano.S = {morte, sobrevivncia}

b) Uma companhia de seguros realizou 100 aplices deseguros individuais. Observa-se o nmero de reclamaesapresentadas no prximo ano.S = {0, 1,2, ..., 100}

Alguns dos exemplos anteriores podem ser analisados deforma diferente, as quais poderiam conduzir a diferentesespaos amostrais. O espao amostral determinado pelapergunta que est sendo feita.

Espao Amostral Seguradoras Exemplo 7

12 RAMOS, A.C.P

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Principais Tipos de Eventos

P(E=) = 0 = 0% P(E=S) = 1 = 100%

Eventos possveis

0


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RAMOS, A.C.P14

Principais Tipos de Eventos (cont.)

Tipo de Evento Definio Exemplo

Certo Corresponde ao prprio EspaoAmostral.

Sada de um n < 7 nolanamento de um dado

ImpossvelCorresponde ao conjunto vazio.

Sada de um n >10 nolanamento de um dado

UnioReunio de eventos.

Sada de um n primo oupar no lanamento de umdado

InterseoInterseo de Eventos. Mulheres e os f umantes

Mutuamente

Exclusivos

Eventos com conjuntos disjuntos, ouseja, no h interseco entre ele s ouos dois no podem ocorrersimultaneamente.

Estar vivo x Estar mortoao final de umdeterminado perodo

Complementares Aqueles em que a unio dos dois um evento certo e a interseco dosdois um evento impossvel.

Sada de um n 4nolanamento de um dadoSAAE

AAE

BAE

BAE

BAE

SE

E

RAMOS, A.C.P

Eventos A e B em um Espao Amostral S

Exemplos:

A: Ser Mulher

B: Estar de Blusa Verde

A: Ter febre B: Ter presso alta

A: Ser estudante B: Ser da Feaac

S

A

B

Diagrama de Venn

Ocorre A

No ocorre A

Ocorre somente A

Ocorre A ou B

Ocorre A e Bsimultaneamente

BA BABA

BA

No ocorrem A e Bsimultaneamente

No ocorre nem Anem B

A

RAMOS, A.C.P

Tipos de Probabilidade

Tipo Conceito Frmula

Clssica

Probabilidade obtida a priori sem a realizao de

experimento; pressupe a previso do espao

amostral inteiro como uma coleo de eventos

igualmente provveis.

Emprica

Coleta de dados empricos por meio de

observaes ou experimentos. Usada quando nose tem o conhecimento prvio dos eventos.

Subjetiva

Julgamento pessoal de algum sobre a

possibilidade de um evento. Informal e no

quantificada.

P = x%


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RAMOS, A.C.P

Questo 14*

A fim de analisar o risco de uma carteira de SeguroSade que possui 200 aplices individuais, oSegurador est interessado na quantidade de fumantesexistentes neste grupo, entre homens e mulheres.

Pede-se:A) A probabilidade de um indivduo do grupo citado ser

fumante;

Homens (H) Mulheres (M)Fumantes (F) 28 22

No-Fumantes (NF) 72 78

RAMOS, A.C.P

Soluo Questo 14* (item a)

Homens (H) Mulheres (M) Total

Fumantes (F) 28 22 50

No-Fumantes (NF) 72 78 150

Total 100 100 200

A) A probabilidade de um indivduo do grupo citado ser fumante;

25,0200/50200

2228

n(S)

n(F)P(F)

20078722228n(S)

Homens (H) Mulheres (M) Total

Fumantes (F) 28/200 22/200 50/200

No-Fumantes (NF) 72/200 78/200 150/200Total 100/200 100/200 200/200

Construo da Tabela de Contingncia

RAMOS, A.C.P

Questo 9**

Considerando apenas a teoria da probabilidade,responda:

Que tipo de probabilidade trata a afirmao Existe50% de probabilidade de que as empresas AT&RWireless e Center WL se juntem?

Como voc imagina que a probabilidade anterior foiderivada?

RAMOS, A.C.P

Soluo Questo 9**

Que tipo de probabilidade trata a afirmao Existe

50% de probabilidade de que as empresas AT&R

Wireless e Center WL se juntem?

Subjetiva Como voc imagina que a probabilidade anterior foi

derivada?

Uma possibilidade esta probabilidade seja oriunda daopinio de algum executivo influente de uma destasempresas.


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RAMOS, A.C.P

Lei dos Grandes NmerosCaracterstica do Enfoque da Freqncia Relativa

22

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

143

85

127

169

211

253

295

337

379

421

463

505

547

589

631

673

715

757

799

841

883

925

967

RAMOS, A.C.P

Regra da Adio

Utilizada para determinar a probabilidade de ocorrer um evento Aou outro B, em um s experimento / observao:

Caso especial - Eventos mutuamente exclusivos:

???)( BAP

B)P(A-P(B)P(A)B)(AP

SAB P(B)P(A)B)P(A

BA

RAMOS, A.C.P

Questo 7

Em uma carta retirada de umbaralho, qual a probabilidadede esta carta ser rainha ouvermelha?

RAMOS, A.C.P

Soluo Questo 7

Em uma carta retirada de um baralho, qual a probabilidade

de esta carta ser rainha ou vermelha?

Evento A: Ser rainha... P(A) = 4/52 Evento B: Ser vermelha... P(B) = 26/52 Evento A ou B: Ser Rainha ou Vermelha... P(AUB)=?

B)P(A-P(B)P(A)B)(AP 13/728/522/52-26/524/52


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RAMOS, A.C.P

Probabilidade Condicional

Probabilidade do evento A condicionada certezada ocorrncia do evento B

Probabilidade do evento A (sem condies)

RAMOS, A.C.P

Questo 5*

Considere o experimento de lanar

uma moeda justa trs vezes seguidas.Qual a probabilidade de se obterexatamente duas caras nestelanamento, sabendo que pelo menosuma cara j foi obtida?

RAMOS, A.C.P

Soluo Questo 5*

Considere o experimento de lanar uma moeda justa trs vezes seguidas.

Qual a probabilidade de se obter e xatamente duas caras neste lanamento,

sabendo que pelo menos uma cara j foi obtida?

Experimento: Lanar uma moeda justa 3 vezes seguidas... Evento A: Obter exatamente 2 caras... Evento B: Uma cara j foi obtida... P(A | B)=?

Experimento: {(kkk), (ckk), (kck), (kkc), (cck), (ckc), (kcc), (ccc)} Evento A: {(kkk), (ckk), (kck), (kkc), (cck), (ckc), (kcc), (ccc)} P(A) = 3/8 Evento B : {(kkk), (ckk), (kck), (kkc), (cck), (ckc), (kcc), (ccc)} P(B)=7/8

7

3

n(B)

B)(AnB)|P(A

RAMOS, A.C.P

Soluo Questo 14* (itens b, c e d)

Homens (H) Mulheres (M)Fumantes (F) 28 22No-Fumantes () 72 78

B) A probabilidade de um indivduo do grupo citado ser fumante dado que um homem;C) A probabilidade de um indivduo do grupo citado ser fumante dado que uma mulher.D) A interpretao dos nmeros em rela o ao tabagismo no grupo c itado.

200

0,28100/200

200/28P(H)H)(FPH)|P(Fb)

0,22100/200

200/22

P(M)

M)(FPM)|P(Fc)

d) De acordo com os dados apresentados, mais provvelum indivduo fumante ser homem do que mulher.


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RAMOS, A.C.P

Questo 11**

Em um processo de recrutamento e seleo de pessoas paracolocao no mercado de trabalho, um determinado psiclogotesta os profissionais de vrias formas. Se I o evento de umprofissional apresentar alto escore de inteligncia, A o evento

de um profissional acusar escore elevado em adaptao social eN o evento de um profissional apresentar tendnciasneurticas, expresse, com a simbologia da probabilidade, achance de um profissional:

A) com alto escore de inteligncia apresente tendncias neurticas;

B) que no apresenta alto escore em adapta o social no apresente altoescore de inteligncia;

C) com tendncias neurticas no apresente escore elevado nem eminteligncia nem em adaptao social.

RAMOS, A.C.P

CB

Soluo Questo 11**

...A) com alto escore de inteligncia apresentar tendncias neurticas;

B) que no apresenta alto escore em adaptao social no apresentar alto escore de

inteligncia;

C) com tendncias neurticas no apresentar escore elevado nem em inteligncia nem

em adaptao social.

A

)|() NAIPc )|() AIPb)|() INPa

RAMOS, A.C.P

Regra da Multiplicao (Teorema dos Produtos das Probabilidades)

Utilizada para determinar a probabilidade da ocorrnciasimultnea de dois eventos, A e B, do mesmo espaoamostral:

)(.)|(

)(.)()(

BPBAP

BPAPBAP

S

BA

Se os Eventos so independentes

Se os Eventos so dependentes

???)( BAP

RAMOS, A.C.P

Questo 13*

Uma empresa precisa de alguns dos seusempregados para uma tarefa que exige que elesno sejam daltnicos.

No teste, conclu-se que 7 dos 130 homens so

daltnicos e 2 das 170 mulheres sodaltnicas. Os eventos masculinos e daltnicos so

independentes ou dependentes?


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Soluo Questo 13* Uma empresa precisa de alguns dos seus empregados para uma tarefa que exige que

eles no sejam daltnicos. No teste, conclu-se que 7 dos 130 homens so daltnicos e 2das 170 mulheres so daltnicas. Os eventos masculinos e daltnicos so independentesou dependentes?

P(H) = 130/300 P(D) = 9/300 P(H D) =7/300. Se os eventos fossem independentes, ento P(H D) =

P(H) . P(D) Verdadeiro. No entanto, 7/300 =130/300 .9/300 FALSA, ento os eventos so dependentes.

Daltnicos No Daltnicos Total

Homens 7 123 130Mulheres 2 168 170Total 9 291 300

RAMOS, A.C.P

rvore de Probabilidades - Lanamento de 3 Moedas

Prob

1/8

1/2

1/21/2

RAMOS, A.C.P

rvore de Probabilidades ou Diagrama de rvore

Fonte da figura:http://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_%C3%A1rvore_%28estat%C3%ADstica%29

Evento A Evento B

RAMOS, A.C.P

Distribuio Binomial*

Probabilidade de um evento acontecer exatamente kvezes em n tentativas (x sucessos e n-x insucessos):

(*) Condies: (1) Nmero constante n de repeties independentes;(2) Cada repetio resulta em sucesso ou f racasso (Distribuio deBernoulli); e (3) Probabilidadep de sucesso constante.


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RAMOS, A.C.P

Questo 12**

Jos prepara dois despertadores (movidos bateria)para se certificar de levantar para sua prova marcadapara s 8 horas da manh.

Existe uma probabilidade de 75% de que um dosdespertadores acordar Jos.

Pergunta-se: (a) qual a probabilidade de que Jos perca a hora? (b) Se Jos tem trs despertadores, qual seria a

probabilidade de ele acordar?

RAMOS, A.C.P

Questo extra Distribuio Conjunta

Dois dados no-viciados so lanadossimultaneamente. Em relao ao resultado das facessuperiores dos dados lanados, considere:

X: varivel aleatria que representa a quantidade denmeros pares obtida; e

Y: varivel aleatria que representa a quantidade denmeros primos obtida.

Qual a distribuio conjunta de X e Y? (ou seja, quaisso as possveis possibilidades dos pares (X,Y) equais suas respectivas probabilidades)

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