47Capítulo 4

CINEMÁTICA VETORIAL

1. Introdução

A cinemática vetorial pode descrever quaisquer movimentos,independentemente de conhecer-se previamente as trajetórias.

As grandezas vetoriais não podem ser confundidas com asescalares, que possuem conotação distinta. Devemos fazerum esforço para visualizar as questões propostas a seguir demaneira “espacial”, para que, com a adição das ferramentasmatemáticas, o entendimento seja completo.

2. Movimento balístico

Neste tipo de movimento, podemos analisar lançamentosoblíquos e horizontais de corpos sob a ação da gravidade.

Consideremos, inicialmente, o lançamento oblíquo a seguir:

48Capítulo 4

No gráfico, vemos um corpo P, lançado com velocidade ini-cial v0

→, que faz com a horizontal um ângulo θ, chamado ângu-

lo de tiro. Para facilitar o estudo do movimento de P ao longoda trajetória, utilizamos a análise das projeções do movimentonos eixos x e y, sendo desprezada a resistência do ar.

O ponto P sofre a ação da aceleração da gravidade g→ . Noeixo x, a projeção de g→ é nula; logo, o movimento de P noeixo x é Retilíneo e Uniforme (MRU). No eixo y temos a açãode g→ , que é �g (usando convencionalmente a orientação doeixo y para cima); assim, o movimento de P é Retilíneo Uni-formemente Variado (MRUV).

x � v0x � t e y � v0y � t �

g t� 2

2

Para calcular a velocidade em qualquer instante, devemosconsiderar que a componente horizontal da velocidade doponto P é constante e vale:

vx � v0 � cos θ

A componente vertical da velocidade do ponto P variacom o tempo, conforme a equação:

vy � v0y � g � t

Podemos também escrever a equação de Torricelli para omovimento de P no eixo y:

vy2 � v0y

2 � 2g � �y

Das fórmulas anteriores, obtém-se a equação da trajetória,que é:

y � tg θ � x �

g

vx

2 02 2

2

� cos θ

49Capítulo 4

A equação da trajetória é de segundo grau em x e, portan-to, a trajetória é uma parábola.

A velocidade em um ponto qualquer é obtida com a apli-cação do teorema de Pitágoras:

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decor-rido desde o instante do lançamento até o instante em que omóvel atinge o vértice da parábola. Neste instante, a compo-nente vertical da velocidade é nula; logo, podemos concluir:

0 � v0 � sen θ � g � tPortanto:

t

v sengs �

�0 θ

O tempo de descida é igual ao de subida; assim, o tempototal é:

t

v sengT ��2 0 θ

v2 v vx

2y2� �

50Capítulo 4

A altura máxima h é obtidapor meio da equação deTorricelli aplicada ao movi-mento vertical de P, e permitecalcular h admitindo-se vy � 0quando �y igual a h.

Assim:

0 � v0y2 � 2g � h ⇒

⇒ v02 � sen2 θ � 2g � h ⇒

h

v seng

�� �0

2 2

2

O alcance horizontal é obtido pela função horária do movi-mento horizontal de P, quando o tempo é igual ao tempo total:

a

v seng

�� �0

2 2

O alcance máximo é obtido sabendo-se que o ângulo detiro máximo é θ � 45°. Então, o alcance máximo é dado por:

a

vgmáx � 0

2

Nessas condições, a altura máxima atingida é obtida por:

h

vg

ou ha

� �02

4máx

4

No caso do lançamento horizontal, o ângulo de tiro é nuloe, portanto, v0x � v0 e v0y � 0.

Orientando o eixo y para baixo, temos:

51Capítulo 4

Exemplos

a) Um avião voa horizontalmente

com velocidade de 110 ms

a

1.500 m de altitude. Num certoinstante, o piloto lança um paco-te de alimentos e remédios. Dado

g � 10 ms2

, determine:

1) o instante, a partir do lança-mento, em que o pacote atingeo solo;

2) a que distância da vertical em que o pacote foi lançado ele atingeo solo;

3) a velocidade com que o pacote atinge o solo.

Solução

a.1) No instante em que o pacote atinge o solo, y � 1.500 m.

y �12

� gt2 ⇒ 1.500 � 5t2 ⇒ t �17,32 s

a.2) x � v0 � t ⇒ x � 110 � 17,32 ⇒ x � 1.905,3 m

a.3) Ao atingir o solo a velocidade resultante é v0 � 110 m/s e avelocidade vertical vy:

vy � g � t ⇒ vy � 10 � 17,32 � 173,2 ms

v2 � v02 � vy

2 ⇒ v2 � 1102 � 173,22 ⇒ v � 205,2 ms

x � v0 � t

y

g t�

� 2

2

vy� g � t

52Capítulo 4

b) Um corpo é lançado obliquamente no vácuo, com velocidade ini-

cial de módulo 50 ms

. O ângulo de tiro é de 60°. Considerando

g � 10 ms2

, determine:

1) as componentes vertical e horizontal da velocidade inicial e omódulo da velocidade;

2) as funções horárias do movimento na horizontal e na vertical;

3) a equação da trajetória;

4) a altura máxima e o alcance horizontal;

5) o tempo total até o corpo atingir o solo.

Solução

b.1) vx � v0 � cos θ ⇒ vx � 50 � 0,5 ⇒ vx � 25 ms

vy � v0 � sen θ ⇒ vy � 50 � 0,866 ⇒ vy � 43,3 ms

v2 � 252 � 43,32 ⇒ v2 � 625 � 1.874,9 ⇒

⇒ v2 � 2.499,9 ⇒ v � 50 ms

b.2) Na horizontal o movimento é uniforme, logo:

x � vx � t ⇒ x � 25t

Na vertical temos MUV, logo:

y � v0y � t � 12

αt2 ⇒ y � 43,3t � 5t2

b.3) Eliminaremos t das equações horárias do item anteriorpara obter a equação da trajetória, logo:

t x

�25 ;

y x x

� � �43 325

525

2

, ⎛⎝

⎞⎠ ⇒ y � 1,73x � x2

125

b.4) Altura máxima:

h

v seng

��0

2 2

2θ ⇒

h �

�50 0 7520

2 , ⇒ h � 93,7 m

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Alcance horizontal:

a

v seng

��0

2 2θ ⇒ a �

�50 0 86610

2 , ⇒ a = 216,5 m

b.5) t

v sengT ��2 0 θ

⇒ tT �

� �2 50 0 86610

, ⇒ tT � 8,66 s

1. (Unesp-SP) A escada rolante que liga a plataforma de uma estaçãosubterrânea de metrô ao nível da rua move-se com velocidade

constante de 0,80 ms

.

a) Sabendo-se que a escada tem uma inclinação de 30o em rela-ção à horizontal, determine, com o auxílio dos dados abaixo, acomponente vertical de sua velocidade.

Dados: sen 30o � 0,50, sen 60o � 0,867, cos 30o � 0,867 e cos60o � 0,500.

b) Sabendo-se que o tempo necessário para que um passageiroseja transportado pela escada do nível da plataforma ao nívelda rua é de 30 segundos, determine a que profundidade se en-contra o nível da plataforma em relação ao nível da rua.

2. (UECE) Aline anda 40 m para o leste e certa distância X para onorte, de tal forma que fica afastada 50 m do ponto de partida. Adistância percorrida para o norte foi de:a) 20 m b) 30 m c) 35 m d) 40 m

3. (UF Uberaba-MG) Uma bola é chutada segundo uma direção queforma um ângulo de 45o com a horizontal. Desprezando-se a re-sistência do ar, no ponto mais alto que a bola atinge, a intensida-de de:a) sua velocidade é zero;b) sua aceleração é zero;c) sua velocidade é mínima, mas diferente de zero;d) sua aceleração é mínima, mas diferente de zero;e) n.d.a.

54Capítulo 4

b) e)

c)

4. (UFGO) Uma esfera rola sobre uma mesa horizontal, abandona-acom velocidade inicial V0 e toca o solo após 1 s. Sabendo-se quea distância horizontal percorrida pela bola é igual à altura da

mesa, a velocidade V0, considerando-se g � 10 ms2

, é de:

a) 1,25 ms

c) 20,00 ms

e) 2,50 ms

b) 10,00 ms

d) 5,00 ms

5. Quais das figuras propostas representa a trajetória percorrida pelabola depois de deixar a mesa?

a) d)

6. (Fuvest-SP) Adote g � 10ms2 . Uma pessoa sentada num trem,

que se desloca numa trajetória retilínea a 20 ms

, lança umabola verticalmente para cima e a pega de volta no mesmo níveldo lançamento. A bola atinge uma altura máxima de 0,80 m emrelação a este nível. Ache:

a) o valor da velocidade da bola, em relação ao solo, quando elaatinge a altura máxima;

b) o tempo durante o qual a bola permance no ar.