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2a FASE UFPE 2008

PROVA

01 01. Seja x a área total da superfície de um cubo, e y, o

volume do mesmo cubo. Analise as afirmações a seguir, considerando essas informações.

0-0) Se x = 54 então y = 27. 1-1) 6y = x3 2-2) O gráfico de y em termos de x é

4

3

2

1

0 10 20 30 40

3-3) As diagonais do cubo medem 2/x . 4-4) As diagonais da face do cubo medem

2 y1/3.

02. Admita que a pressão arterial P(t) de uma pessoa no instante t, medido em segundos, seja dada por

P(t) = 96 + 18 cos(2 πt), t ≥ 0

Considerando esses dados, analise a veracidade das seguintes afirmações.

0-0) O valor máximo da pressão arterial da pessoa é 114.

1-1) O valor mínimo da pressão arterial da pessoa é 78.

2-2) A pressão arterial da pessoa se repete a cada segundo, ou seja, P(t + 1) = P(t), para todo t ≥ 0.

3-3) Quando t = 1/3 de segundo, temos P(1/3) = 105.

4-4) O gráfico de P(t) para 0 ≤ t ≤ 4 é

0 1 2 3 4

80

85

90

95

100

105

110

03. Uma transportadora de volumes só aceita caixas na forma de paralelepípedos retângulos quando a soma do perímetro da base e da altura é no máximo 2m. Suponha que se pretenda transportar uma caixa, com maior volume possível, no formato de um paralelepípedo com base quadrada, de lado x metros, e altura h metros, como ilustrado na figura abaixo.

x x

h

Para obtermos volume máximo, os valores de x e h devem satisfazer 4x + h = 2.

Analise as afirmações abaixo, considerando esses dados.

0-0) O volume da caixa, em m3, é dado por 2x2 (1 – 2x).

1-1) Quando o lado da base mede 1/3 de metro, o volume da caixa é (1/9)m3.

2-2) A área total da caixa é -8x + 14x2, em m2. 3-3) A área total da caixa será máxima quando a

altura for 6/7 de metro. 4-4) Quando a área total da caixa é máxima, seu

volume é (24/343)m3.

04. Qual o coeficiente de x2 na expansão de

(1+ x) (1+ 2x) (1+ 3x) (1+ 4x) (1+ 5x)?

05. A ilustração a seguir é parte do gráfico de um polinômio p(x), de grau três e com coeficientes reais. O gráfico passa pelos pontos (-3,0), (-1,0), (2,0) e (0,-1).

1 2

-2

2

4

6

8

10

3 4 -4 -3 -2 -1

Indique o valor de p(6).


Gabaritos 2008

06. Uma calha tem a forma de um prisma reto de base triangular. A altura do prisma é 1m, e sua base é um triângulo isósceles com lados congruentes, medindo 0,4m e formando entre si um ângulo α .

α

Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume, em litros, que a calha pode ter?

07. O preço do produto X é 20% menor que o do produto Y, e este, por sua vez, tem preço 20% maior que o do produto Z. Se os preços dos três produtos somam R$ 237,00, quanto custa, em reais, o produto Z?

08. Admita que o lucro mensal de uma companhia de telefone celular que tem x milhares de assinantes seja de (24x – 400) milhares de reais. No momento, o lucro da companhia é de 320 mil reais. Quantas novas dezenas de assinantes são necessárias para que o lucro da companhia passe de 320 mil reais para 332 mil reais?

09. Calcule a distância d entre os pontos de interseção das circunferências com equações.

x2 + y2 – 2x – 2y +1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0.

Indique 4d2.

10. Um paciente toma diariamente 0,06mg de certa droga. Suponha que o organismo do paciente elimina, diariamente, 15% da quantidade desta droga presente no organismo. Assim, no momento, após ser administrada a droga, permanecem no organismo do paciente, além desta dose, o remanescente das doses dos dias anteriores. Na tabela abaixo, temos a quantidade da droga presente no organismo do paciente, em mg, nos dias depois do início do tratamento, após ser administrada a dose diária:

1º dia 0,06 2º dia 0,06 + 0,85.0,06 3º dia 0,06 + 0,85.0,06 + 0,852.0,06

etc.

Assim, no n-ésimo dia permanece no organismo do paciente um total de (0,06 + 0,85.0,06 + ... + 0,85n-1. 0,06) miligramas da droga.

Determine a quantidade q da droga, em mg, presente no organismo do paciente, após um ano de tratamento e assinale 100q. Dado: use a aproximação 0,85365 ≈ 0.

11. O número de quatro dígitos 1391 tem a propriedade seguinte: o número formado tomando quaisquer dois de seus dígitos consecutivos é divisível por 13. Existe um número com 100 dígitos, com o primeiro dígito (à esquerda) igual a 3, tendo a mesma propriedade. Indique o número formado pelos dois últimos dígitos (à direita) deste número.

12. Em uma gaveta, estão quatro pares de meias, cada par de uma cor diferente. Escolhendo aleatoriamente duas das meias da gaveta, qual a probabilidade percentual p% de elas serem da mesma cor? Indique o inteiro mais próximo de p.

13. João e Maria possuem, juntos, R$ 510,00. Se, simultaneamente, João presenteia Maria com 1/8 do que ele possui, e Maria presenteia João com 1/6 do que ela possui, então, os dois ficarão com quantias iguais. Em quantos reais a quantia que Maria possuía inicialmente excede a que João possuía?

14. Indique a solução da equação 2x-5 + 22x-13 = 5/2.

15. Sabendo que 1+ i é uma das raízes da equação x3 – 2x + a = 0, com a real, indique o valor de a.

16. Na figura abaixo, quatro das cinco circunferências possuem o mesmo raio. Três destas são tangentes à circunferência de maior raio e têm centros em vértices de um triângulo eqüilátero. A quarta circunferência de raio menor é tangente às outras três. Se a e b representam as áreas das regiões de cor cinza indicadas na figura, assinale 100a/b.

a b

01. VFFVV 05. 42 09. 12 13. 30 02. VVVFF 06. 80 10. 40 14. 06 03. VFFFV 07. 75 11. 13 15. 04 04. 85 08. 50 12. 14 16. 60


2a FASE UFPE 2009

PROVA

02 01. Analise as afirmações a seguir, considerando a

função f, tendo como domínio e contradomínio o

conjunto dos números reais, dada por f(x) = 2x

x2 +1.

Parte do gráfico de f está esboçada a seguir.

0-0) f é uma função par. 1-1) A única raiz de f(x) = 0 é x = 0. 2-2) |f(x)| ≤ 1, para todo x real. 3-3) Dado um real y, com |y| < 1 e y ≠ 0, existem

dois valores reais x tais que f(x)= y. 4-4) f é uma função sobrejetiva.

02. Das companhias que publicam anúncios nos jornais C, D ou F, sabemos que:

- 30 publicam no C, - 25 publicam no D, - 30 publicam no F, - 10 publicam em C e D, - 9 publicam em F e D, - 11 publicam em C e F, e - 6 publicam em C, D e F. Considerando estas informações, analise as sentenças a seguir.

0-0) Onze companhias publicam anúncios em exatamente dois dos jornais.

1-1) Dezoito companhias publicam anúncios em pelo menos dois dos jornais.

2-2) Quarenta e três companhias publicam anúncios em um único jornal.

3-3) Sessenta e uma companhias publicam anúncios em pelo menos um dos três jornais.

4-4) Treze companhias publicam anúncios apenas no jornal D.

03. Um cilindro C1, reto e de altura 4, está inscrito em

uma semi-esfera de raio 21cilindro repousa na base da semi-esfera e a circunferência da outra base está contida na semi-esfera), como ilustrado abaixo na figura à esquerda. Seja x a altura de outro cilindro, C2, inscrito na mesma semi-esfera, e de mesmo volume que C1.

Admitindo estes dados, analise as informações a seguir.

0-0) O raio da base de C2 é 2x21− . 1-1) O volume de C2 é 18π. 2-2) A altura x de C2 é raiz da equação

x3 - 21x +20 = 0. 3-3) A altura x de C2 é raiz da equação x2 - 4x - 7

= 0.

4-4) A área lateral de C2 é 2π 5 .

04. Em uma escala de um vôo, as seguintes tarefas

precisam ser executadas, nos intervalos de tempo mencionados. Quando alguma tarefa precisa ser executada depois de outra(s), tal fato é observado; quando não há nenhuma observação, as tarefas podem ser executadas simultanea-mente.

1) Desembarque dos passageiros (15min) 2) Desembarque das bagagens (15min) 3) Embarque das bagagens dos novos

passageiros (20min)(depois de 2) 4) Higienização da aeronave (15min)(depois de 1) 5) Abastecimento de combustível (20min) (depois

de 1) 6) Checagem mecânica (20min) 7) Embarque das refeições (10min)(depois de 4) 8) Embarque dos novos passageiros (20min) (de-

pois de 4 e 5). Quantos minutos são necessários para executar todas as tarefas acima?

05. Admita que, quando a luz incide em um painel de vidro, sua intensidade diminui em 10%. Qual o número mínimo de painéis necessários para que a intensidade da luz, depois de atravessar os painéis, se reduza a 1/3 de sua intensidade? Dado: use a aproximação para o logaritmo decimal log 3 ≈ 0,48.


06. As parábolas com equações y = -x2 + 2x + 3 e y = x2 – 4x + 3 estão esboçadas a seguir. Qual a área do menor retângulo, com lados paralelos aos eixos, que contém a área colorida, limitada pelos gráficos das parábolas?

07. Júnior se exercita correndo 5km, 7km ou 9km por dia. Em certo período de dias consecutivos, superior a 7 dias, ele percorreu um total de 51km, e, pelo menos uma vez, cada um dos percursos de 5km, 7km e 9km. Quantas vezes, neste período, Júnior percorreu a distância de 5km?

08. Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo retângulo com os catetos AB e AC medindo, respectivamente, 40 e 30. Se M é o ponto médio de AB e N é a interseção da bissetriz do ângulo ACB com o lado AB, qual a área do triângulo CNM?

09. Ao efetuarmos o produto dos polinômios abaixo

(1 + x + x2 +...+ x100)(1 + x + x2 + ... + x50)

qual o coeficiente de x75? (Observação: os polinômios têm graus 100 e 50 e todos os coeficientes iguais a 1.)

10. Quatro amigos, A, B, C e D compraram um presente que custou R$ 360,00. Se:

– A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D,

– B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D e

– C pagou um quarto do que pagaram juntos A, B e D,

quanto pagou D, em reais?

11. Em uma festa, cada um dos participantes cumprimenta cada um dos demais, uma vez. Se o número de cumprimentos entre dois homens foi 21, e entre duas mulheres foi 45, quantos foram os cumprimentos entre um homem e uma mulher?

12. Uma gaveta contém 3 canetas pretas e 1 caneta vermelha. Uma segunda gaveta contém 7 canetas pretas e 3 azuis. Aleatoriamente, uma caneta é retirada da segunda gaveta e colocada na primeira e, em seguida, uma caneta é retirada da primeira gaveta e colocada na segunda. Qual a probabilidade percentual de o número de canetas de cada cor permanecer o mesmo nas duas gavetas?

13. Em um sistema de coordenadas ortogonais xOy, um triângulo tem vértices nos pontos de interseção das retas com equações y = x, y = -x + 12 e y = x/5 (ilustradas a seguir). Se a equação da circunferência circunscrita ao triângulo é x2 + y2 + ax + by + c = 0, indique o valor de (a - b + c)2.

14. Qual a distância entre um vértice de um cubo, com aresta medindo 20 3 , e uma das diagonais do cubo que não passam pelo vértice?


Gabaritos 2009

15. Um retângulo ABCD é dividido em nove retângulos, e o perímetro de cada um de três destes retângulos, está indicado está indicado em seu interior, como ilustrado na figura a seguir.

Qual o perímetro do retângulo ABCD?

16. A ilustração a seguir é parte do gráfico da função y = a.sen (b π x) + c, com a, b e c sendo constantes reais. A função tem período 2 e passa pelos pontos com coordenadas (0,3) e (1/2,5).

Determine a, b e c e indique (a + b + c)2.

01. FVVVF 05. 12 09. 51 13. 64 02. FVVVF 06. 15 10. 78 14. 40 03. VFVFF 07. 07 11. 70 15. 98 04. 55 08. 75 12. 62 16. 36


2a FASE UFPE 2010

PROVA

03 01. Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas

de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com inclinação m < 0, que passa pelo ponto (a, b). A reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto P, e o eixo das ordenadas no ponto Q, definindo desta maneira um triângulo OPQ, com O sendo a origem do sistema de coordenadas, como ilustra-do a seguir.

Avalie a veracidade das afirmações a seguir,

referentes a esta configuração.

0-0) A equação de r é y = mx + b – ma 1-1) P = (a + b/m, 0) e Q = (0, b – ma) 2-2) A área do triângulo OPQ é ab – (ma2 + b2

/m)/2 3-3) A área de OPQ é sempre ≥ 2ab 4-4) Para o triângulo OPQ ter a menor área

possível, a reta r deve interceptar os eixos coordenados nos pontos P = (2a, 0) e Q = (0, 2b).

02. Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais,

com coeficiente líder 1, de grau 4, satisfazendo: p(x) = p(-x) para todo x real, p(0) = 4 e p(1) = -1. Parte do gráfico de p(x) está esboçado a seguir.

Analise as afirmações a seguir, acerca de p(x).

0-0) p(x) = x4 + 6x2 + 4

1-1) As raízes de p(x) são 53 ±± , para qualquer escolha dos sinais positivos e ne-gativos.

2-2) As raízes de p(x) são2

210 ±± , para

qualquer escolha dos sinais positivos e ne-gativos.

3-3) p(x) = (x2 – 3)2 + 5

4-4) O valor mínimo de p(x) ocorre em x = 3±

03. Para cada número real α, defina a matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1000αcosαsen0αsenαcos

)α(M

Analise as afirmações seguintes acerca de M(α):

0-0) M(0) é a matriz identidade 3 x 3 1-1) M(α)2 = M(2α) 2-2) M(α) tem determinante 1 3-3) M(α) é invertível, e sua inversa é M(-α) 4-4) Se M(α)t é a transposta de M(α), então,

M(α)M(α)t = M(0).


04. Uma fábrica tem 2.000 unidades de certo produto em estoque e pode confeccionar mais 100 unidades deste produto por dia. A fábrica recebeu uma encomenda, de tantas unidades do produto quantas possa confeccionar, para ser entregue em qualquer data, a partir de hoje. Se o produto for entregue hoje, o lucro da fábrica será de R$ 6,00 por unidade vendida; para cada dia que se passe, a partir de hoje, o lucro diminuirá de R$ 0,20 por unidade vendida.

Calcule o lucro máximo, em reais, que a fábrica pode obter com a venda da encomenda e indique a soma de seus dígitos.

05. Na ilustração a seguir, à esquerda, uma pirâmide regular invertida, com base quadrada de lado medindo 2 e altura 6, está preenchida por um líquido, até dois terços de sua altura. Se a pirâmide é colocada na posição ilustrada à direita, qual será então a altura h do líquido? Indique

23 )192h( + .

06. Na população de uma cidade, 50% das pessoas têm sangue do tipo A, e as demais têm sangue dos outros tipos (B, AB ou O). Se 6 pessoas da cidade são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade percentual de exatamente 3 delas terem sangue do tipo A? Indique o inteiro mais próximo do valor percentual obtido.

07. Um modelo novo de motor está equipado com três mecanismos, A, B e C, para economizar combustível. Os mecanismos A, B e C economizam, respectivamente, 20%, 30% e 50%, em comparação com os mecanismos antigos. Quando os três mecanismos são utilizados conjuntamente, quanto se economiza, percen-tualmente, de combustível?

08. Quantas soluções a equação trigonométrica

sen x = 1− cos x xcos1−

admite, no intervalo [0, 80π) ?

09. Um martini seco é uma mistura de 15 partes de gin com uma parte de vermute. O gin contém 40% de álcool, e o vermute, 20%. Qual o percentual de álcool em uma dose de martini seco? Indique o valor inteiro mais próximo.

10. Um teste para uma DST dá o resultado correto em 98% dos casos; ou seja, se uma pessoa tem a doença e faz o teste, este terá 98% de probabilidade de ser positivo; e, se uma pessoa não tem a doença e faz o teste, este terá 98% de probabilidade de ser negativo. Admita que, da população de uma grande cidade, 0,5% tem a DST. Se uma pessoa da cidade se submete ao teste e o resultado foi positivo, qual a probabilidade percentual de ela ter a DST? Indique o valor inteiro mais próximo.

11. Na ilustração a seguir, a casa situada no ponto B deve ser ligada com um cabo subterrâneo de energia elétrica, saindo do ponto A. Para calcular a distância AB, são medidos a distância e os ângulos a partir de dois pontos O e P, situados na margem oposta do rio, sendo O, A e B colineares. Se OPA = 30o, POA = 30o, APB = 45o e OP = (33 ) km, calcule AB em hectômetros.


Gabaritos 2010

12. O cubo duplo, ilustrado a seguir, é construído a partir de um cubo, de aresta 2cm, adicionando, em cada uma de suas faces, um tetraedro, que é congruente ao obtido do cubo cortando-o por um plano que passa pelos pontos médios de duas arestas incidentes em um vértice, e pelo outro extremo da terceira aresta que incide no vértice.

Calcule a área da superfície do cubo duplo, em cm2.

13. Se b e c são naturais escolhidos aleatoriamente no conjunto {1, 2, 3,..., 10}, qual a probabilidade percentual de as raízes da equação x2 + bx + c = 0 não serem reais?

14. Na ilustração a seguir, ABC é um triângulo equilátero, e o lado AB contém o centro O da circunferência. Se a circunferência tem raio 6, qual o inteiro mais próximo da área da região sombreada (interior ao triângulo e exterior à circunferência)?

15. Uma pessoa deve a outra a importância de R$ 17.000,00. Para a liquidação da dívida, propõe os seguintes pagamentos: R$ 9.000,00 passados três meses; R$ 6.580,00 passados sete meses, e um pagamento final em um ano. Se a taxa mensal cumulativa de juros cobrada no empréstimo será de 4%, qual o valor do último pagamento? Indique a soma dos dígitos do valor obtido. Dados: use as aproximações 1,043 ≈ 1,125, 1,047 ≈ 1,316 e 1,0412 ≈ 1,601.

16. Os 200 estudantes de uma escola que praticam esportes escolhem duas dentre as modalidades seguintes: futebol, handebol, basquete e futebol de salão. Entretanto, nenhum estudante da escola escolheu futebol e basquete ou handebol e futebol de salão. Sabendo que 65% dos alunos escolheram futebol, 60% escolheram futebol de salão, 35% escolheram basquete e 25% dos jogadores de handebol também jogam basquete, quantos são os alunos da escola que jogam futebol e futebol de salão?

01. VFVVV 05. 36 09. 39 13. 38 02. FVVFV 06. 31 10. 20 14. 12 03. VVVVV 07. 72 11. 20 15. 14 04. 08 08. 80 12. 30 16. 70


2a FASE UFPE 2010.2

PROVA

04 01. Um carro flex faz 8 km com 1 litro de etanol e 11

km com 1 litro de gasolina. Assumindo que o litro de etanol custa R$1,70 e o litro de gasolina custa R$ 2,50, analise as seguintes afirmações:

1) é mais barato usar gasolina. 2) para percorrer 100 km com etanol, o motorista

gasta mais que R$ 21,00. 3) para percorrer 100 km com gasolina, o

motorista gasta menos que R$ 22,00. 4) antes de decidir usar etanol ou gasolina, o

motorista precisa saber quantos quilômetros vai percorrer.

Está(ão) correta(s)

a) 1 e 4 apenas b) 2 e 3 apenas c) 2 apenas d) 4 apenas e) 1, 2, 3 e 4

02. A letra V da figura abaixo está em um retângulo

com 10 cm de largura e 12 cm de altura. Qual a área ocupada pela letra V?

a) 30 cm2 b) 36 cm2

c) 38 cm2

d) 40 cm2

e) 42 cm2

03. Júnior aplicou certo capital na caderneta de

poupança e na bolsa de valores. Na poupança, Júnior aplicou dois terços do capital, que lhe rendeu 5% de juros. Na bolsa, o restante do capital lhe provocou um prejuízo de 3%. Se, no final, Júnior teve um lucro de R$ 56,00, qual foi o capital investido?

a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.200,00 c) R$ 2.400,00 d) R$ 2.600,00 e) R$ 2.800,00

04. Uma agulha de tricô é confeccionada com plástico

e tem volume igual ao de um cilindro reto com diâmetro da base medindo 6 mm e altura 32 cm. Qual o volume de plástico necessário para se confeccionar 50.000 agulhas de tricô? Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.

a) 4.521.600dm3

b) 45.216dm3

c) 45,216m3 d) 4.521.600mm3

e) 452.160cm3

05. Júnior visitou três lojas e, em cada uma delas, gastou um terço da quantia que tinha ao chegar à loja. Se o valor total gasto nas três lojas foi de R$ 190,00, quanto Júnior gastou na segunda loja que visitou?

a) R$ 45,00 b) R$ 50,00 c) R$ 55,00 d) R$ 60,00 e) R$ 70,00

06. Cinco cadeiras iguais estão alinhadas. Maria escolhe uma delas, aleatoriamente e, com a mesma probabilidade para as cinco cadeiras, senta-se. Em seguida, Pedro escolhe, aleato-riamente, uma cadeira e, com a mesma probabilidade para as quatro cadeiras restantes, senta-se. Qual a probabilidade de Maria e Pedro estarem sentados lado a lado?

a) 1/5 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/6


07. Se 1cm2 de filme fotográfico de alta resolução armazena 1,5.108 bits de informação, qual a área de filme necessária para armazenar uma enciclopédia contendo 9.1010 bits?

a) 60cm2 b) 6dm2 c) 600mm2

d) 6.000mm2 e) 0,6m2

08. Um armazém de construção precisa entregar 26 toneladas de areia para um construtor. A entrega será efetuada usando os dois caminhões do armazém, um deles com capacidade para transportar 3 toneladas, e o outro com capacida-de para 2 toneladas. Se, em cada viagem, os caminhões estiverem preenchidos com sua capacidade máxima, e os dois caminhões forem utilizados na entrega, de quantas maneiras diferentes a entrega pode ser feita?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

09. Um laboratório tem em seu acervo besouros (com seis pernas cada um) e aranhas (com oito pernas cada uma). Se o número total de pernas excede em 214 o número de besouros e aranhas, e o número de aranhas é inferior em 14 ao número de besouros, quantas são as aranhas?

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

10. O gráfico abaixo representa a folha de pagamento

de uma pequena empresa. Na horizontal, estão representados os números de trabalhadores de cada categoria salarial e, na vertical correspon-dente, os salários respectivos, em reais.

Qual a média salarial da empresa?

a) R$ 840,00 b) R$ 842,00 c) R$ 844,00 d) R$ 846,00 e) R$ 848,00

11. Nos anos bissextos, o mês de fevereiro tem 29 dias. O último ano bissexto foi 2008 e o dia 29 de fevereiro foi uma sexta-feira. O próximo ano bissexto será em 2012. Em qual dia da semana cairá o dia 29 de fevereiro de 2012?

a) Domingo b) Segunda-feira c) Terça-feira d) Quarta-feira e) Quinta-feira

12. Uma calça e uma camisa foram compradas em uma liquidação: a calça com 30% de desconto sobre o preço de venda anterior à liquidação, e a camisa com 40% de desconto. Na compra dos dois itens, obteve-se um desconto de 32% sobre o valor que se pagaria antes da liquidação. Qual percentual do preço da calça equivale ao preço da camisa, antes da liquidação?

a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40%


Gabaritos 2010.2

13. As populações de duas cidades, em milhões de

habitantes, crescem, em função do tempo t, medido em anos, segundo as expressões 200.2t/20 e 50.2t/10, com t = 0 correspondendo ao instante atual. Em quantos anos, contados a partir de agora, as populações das duas cidades serão iguais?

a) 34 anos b) 36 anos c) 38 anos d) 40 anos e) 42 anos

14. Uma torneira, que apresenta um vazamento de 30

gotas por minuto, desperdiça 200 litros de água em um período de 40 dias. Qual o volume de água desperdiçado pela mesma torneira, com um vazamento de 45 gotas por minuto, durante 60 dias?

a) 420 litros b) 430 litros c) 440 litros d) 450 litros e) 460 litros

15. Na ilustração abaixo, temos uma pirâmide hexagonal regular com altura igual ao lado da base e volume 3cm34 . Qual a área total da superfície da pirâmide?

a) 2cm)73(7 +

b) 2cm)73(6 +

c) 2cm)73(5 +

d) 2cm)73(4 +

e) 2cm)73(3 +

16. Uma padaria oferece a seguinte promoção:

“Compre x kg de pão e ganhe (4x)% de desconto no preço a ser pago”, (para 0 < x < 15). Sem desconto, o preço do quilo de pão é de R$ 7,00. Na ilustração a seguir, temos o preço p pago, em reais, em termos da quantidade de pão comprada x, em kg.

Se um consumidor vai comprar 11 kg de pão,

pagando o preço sem desconto, que outra quantidade de pão, com desconto, ele poderia comprar, pagando a mesma quantia?

a) 13,2 kg b) 13,4 kg c) 13,6 kg d) 13,8 kg e) 14,0 kg

01. C 05. D 09. D 13. D 02. B 06. B 10. E 14. D 03. C 07. B 11. D 15. B 04. E 08. D 12. B 16. E


2a FASE UFPE 2011

PROVA

05 01. Considere a função f, com domínio e

contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x – sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir.

Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f:

0-0) f(x) = 2.sen(x + π/6), para todo x real. 1-1) f é periódica com período 2π. 2-2) As raízes de f(x) são -π/6 + 2kπ, com k

inteiro. 3-3) f(x) ≥ - 3 , para todo x real. 4-4) f(x) ≤ 2, para todo x real.

02. O Jogo do Nim é um jogo de estratégia entre dois jogadores com palitos dispostos em três linhas. A quantidade de palitos por linha é estabelecida no início do jogo. Cada jogador retira, na sua vez de jogar, uma quantidade qualquer de palitos de uma só linha (pelo menos um palito). Vence o jogo aquele que retirar o último grupo de palitos. João e Maria estão jogando o Jogo do Nim com 3 palitos por linha, e Maria começa retirando os três palitos de alguma linha. A propósito, analise as seguintes afirmações:

0-0) Se João retirar apenas um palito de outra linha, ele com certeza vence o jogo.

1-1) Se João retirar dois palitos de outra linha, ele com certeza vence o jogo.

2-2) Se João retirar todos os palitos de outra linha, ele só vence se Maria permitir.

3-3) Independentemente da jogada de João, Maria vencerá se quiser.

4-4) Com a configuração inicial de 3 palitos por linha, a única jogada inicial que garante a vitória é a usada por Maria.

03. Antônio nasceu no século vinte, e seu pai, que

tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha x anos no ano x2. Considerando estas informações, analise as afirmações seguintes:

0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte. 1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936. 2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936. 3-3) Antônio nasceu em 1922. 4-4) Antônio nasceu em 1936.

04. Na nota de compra de certo produto aparecem o número de unidades adquiridas e o preço total pago. O número de unidades foi 72, mas dois dígitos do preço pago estão ilegíveis e aparece R$ _13,3_. Determine os dígitos ilegíveis e assinale seu produto.

05. Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço, A1, A2 e A3 na construção de três tipos de carros, C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de aço, em toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, está na tabela a seguir:

Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1, 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3, qual o total de carros construídos (dos tipos C1, C2 ou C3)?

06. Se as raízes da equação

x3 – 7x2 - 28x + k = 0

são termos de uma progressão geométrica, deter-mine e assinale o valor do termo constante k.

07. O proprietário de uma loja comprou certo número de artigos, todos custando o mesmo valor, por R$ 1.200,00. Cinco dos artigos estavam danifi-cados e não puderam ser comercializados; os demais foram vendidos com lucro de R$ 10,00 por unidade. Se o lucro total do proprietário com a compra e a venda dos artigos foi de R$ 450,00, quantos foram os artigos comprados inicialmente?


Gabaritos 2011

08. Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm3. Dado: use a aproximação 3 ≈ 1,73.

09. Na ilustração a seguir, temos três circunferências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm.

Calcule a área A da região do triângulo, em cm2, limitada pelas três circunferências e indique 10A. Dado: use as aproximações π ≈ 3,14 e arctg 0,75 ≈ 0,64.

10. A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a igualdade 2|z – i| = =|z – 2| formam uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e assinale 9(a2 + b2 + r2).

11. Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). Assinale 4a – 2b.

12. Na ilustração abaixo, temos dois retângulos congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação 3 ≈ 1,73.

13. Na figura abaixo AB = AD = 25, BC = 15 e DE = 7.

Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine e assinale AF.

14. Um escritório tem 7 copiadoras e 8 funcionários

que podem operá-las. Calcule o número m de maneiras de se copiar simultaneamente (em máquinas distintas, sendo operadas por funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. Indique a soma dos dígitos de m.

15. Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.

16. No desenvolvimento binomial de (1 + 1/3)10, quantas parcelas são números inteiros?

01. FVFFV 05. 9 09. 19 13. 15 02. FFVVV 06. 64 10. 40 14. 09 03. FFVVF 07. 60 11. 24 15. 75 04. 30 08. 83 12. 10 16. 02


2a FASE UFPE 2011.2

PROVA

06 01. A curva da figura abaixo representa parte do

conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação

y2 – 4y – 4x = 0.

Com base nesses dados, analise as afirmações seguintes.

0-0) Para cada y real, existe um real x tal que (x,y) está na curva.

1-1) A curva é o gráfico da função y = 2 ± 21x + , com domínio os reais ≥ -1.

2-2) A parte da curva em traço pontilhado ilustra o gráfico da função y = 2 + 2 1x + , com domínio os reais ≥ -1.

3-3) A parte da curva em traço contínuo ilustra o gráfico da função y = 2 - 2 1x + com domínio os reais ≥ -1.

4-4) Não é possível expressar x como função de y.

02. Na ilustração a seguir, temos parte dos gráficos

das funções f : IR → IR dada por f(x) = 5 – x2 e g : IR {0} → IR dada por g(x) = 2/x.

Analise as afirmações a seguir referentes às duas funções.

0 0) Um dos pontos de interseção dos gráficos

de f e g é (2, 1). 1 1) As abscissas dos pontos de interseção dos

gráficos de f e g são as raízes reais da equação x3 – 5x + 2 = 0.

2 2) f(x) – g(x) = (x – 2)(x2 + 2x – 1)/x , para todo x real e diferente de zero.

3 3) O ponto de interseção dos gráficos de f e g situado no terceiro quadrante

tem ordenada )21(2 − .

4 4) Os gráficos de f e g se interceptam em quatro pontos.

03. Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado 1,

e BCG é um triângulo equilátero.

C

0-0) O ângulo DEC mede 45º

1-1) O segmento ED mede 33

2-2) A tangente do ângulo AEB é 2

33 +

3 3) O triângulo EBC é isósceles

4 4) O segmento EB mede 3

321+


04. Se o número complexo 3 + 2i é raiz da equação

x3 – 23x + c , com c sendo uma constante real, qual o valor de c?

05. Diferentes quantidades de fertilizantes são aplicadas em plantações de cereais com o mesmo número de plantas, e é medido o peso do cereal colhido em cada plantação. Se x kg de fertilizantes são aplicados em uma plantação onde foram colhidas y toneladas (denotadas por t) de cereais, então, admita que estes valores estejam relacionados por y = k. xr, com k e r constantes. Se, para x = 1 kg, temos y = 0,2 t e, para x = 32 kg, temos y = 0,8 t, encontre o valor de x, em kg, quando y = 1,8 t e assinale a soma dos seus dígitos.

06. A população de peixes de um lago é atacada por uma doença e deixa de se reproduzir. A cada semana, 20% da população morre. Se inicialmente havia 400.000 peixes no lago e, ao final da dé-cima semana, restavam x peixes, assinale 10log x. Dado: use a aproximação log 2 ≈ 0,3.

07. Em um grupo de cinco torcedores, três torcem pelo time A, e dois torcem pelo time B. Esco-lhendo aleatoriamente três torcedores do grupo, qual a probabilidade percentual de serem sele-cionados os dois torcedores do time B?

08. Na ilustração a seguir, temos a circunferência com equação x2 + y2 + 6x + 8y = 75 e a reta passando pela origem e pelo centro da circunfe-rência. Determine o ponto da circunferência mais distante da origem e indique esta distância.

09. Nos anos de 2008, 2009 e 2010, um trabalhador recebeu um total de rendimentos de R$ 66.200,00. Se a renda do trabalhador, em 2010, foi 10% superior à renda de 2009, e a renda em 2009 foi 10% superior à renda de 2008, calcule o total de rendimentos do trabalhador em 2010 e indique a soma de seus dígitos.

10. Sabendo que 1x

C2x

BxA

x2xx4x2x

23

2

−+

++=

−+

+− ,

assinale A + B + 2C.

11. Considere três cubos, com arestas medindo 1 cm, 2 cm e 3 cm. Os cubos serão colados ao longo de suas faces de modo a se obter um sólido. Pretende se saber quais os sólidos com menor área total da superfície.

Por exemplo, se a colagem é feita como na ilustração a seguir temos um sólido com área da superfície 6(1 + 4 + 9) – (8 + 2) = 74 cm2.

Dentre os sólidos obtidos, colando os três cubos ao longo de suas faces, existem alguns com menor área total da superfície. Indique o valor desta área em cm2.


Gabaritos 2011.2

12. Uma locadora de vídeos tem três estilos de filmes: de ficção científica, dramáticos e comédias. Sabendo que:

– o total de filmes de ficção científica e dramáticos, adicionado de um quarto dos filmes de comédia, corresponde à metade do total de filmes da locadora;

– o número de filmes de comédia excede em 800 o total de filmes de ficção científica e dramáticos;

– o número de filmes dramáticos é 50% superior ao número de filmes de ficção científica.

Encontre o número de filmes dramáticos da locadora e indique a soma de seus dígitos.

13. Qual o menor inteiro positivo que deixa resto 2, quando dividido por 3; resto 3, quando dividido por 5, e resto 5, quando dividido por 7?

14. Na ilustração a seguir, temos um octaedro regular com área total da superfície 2cm336 . Indique o volume do octaedro, em cm3.

15. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo que:

– o número de alunos que cursam Matemática e Física excede em 5 o número de alunos que cursam as três disciplinas;

– existem 7 alunos que cursam Matemática e Química, mas não cursam Física;

– existem 6 alunos que cursam Física e Química, mas não cursam Matemática;

– o número de alunos que cursam exatamente uma das disciplinas é 150;

– o número de alunos que cursam pelo menos uma das três disciplinas é 190.

Quantos alunos cursam as três disciplinas?

16. Quantas soluções a equação trigonométrica sen2x

+ cos x = 5/4 admite no intervalo [0, 60π]?

Parte do gráfico da função sen2x + cos x está esboçada abaixo.

01. VFVVF 05. 09 09. 08 13. 68 02. VVFVF 06. 46 10. 02 14. 36 03. FVVFF 07. 30 11. 72 15. 22 04. 78 08. 15 12. 12 16. 60


2a FASE UFPE 2012

PROVA

07 01. O preço pago por uma corrida de táxi normal

consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a bandeirada, adicionada de R$ 0,25 por cada 100 m percorridos, enquanto o preço pago por uma corrida de táxi especial consiste de uma quantia fixa de R$ 4,20 adicionada de R$ 0,35 por cada 100 m percorridos. Seja f(x) o preço pago, em reais, por uma corrida de x km no táxi normal e g(x) o preço pago, em reais, por uma corrida de x km no táxi especial. Analise as afirmações seguintes referentes a esta situação.

0-0) f(10) = 28,50 reais 1-1) g(20) = 74,20 reais 2-2) Os gráficos de f(x) e g(x), para 0 ≤ x ≤ 10,

estão esboçados a seguir são, respecti-vamente, as semi-retas com origem nos pontos (0, 3,5) e (0, 4,2) e com inclinações 2,5 e 3,5)

3-3) Para qualquer corrida, o preço do táxi

especial é 30% mais caro que o táxi normal.

4-4) g(x) – f(x) = 0,7 + x.

02. O sólido ilustrado abaixo é limitado por um

hemisfério e um cone. Sejam r o raio do hemisfério (que é igual ao raio da base do cone) e h a altura do cone. Acerca dessa configuração, analise a veracidade das afirmações seguites:

0-0) se h = 2r o volume do hemisfério e o do

cone serão iguais. 1-1) se h = 2r a área lateral do cone será igual a

área do hemisfério (sem incluir o círculo da base).

2-2) mantendo o valor de h e duplicando o valor de r o volume total duplicará.

3-3) duplicando os valores de h e r a área total do sólido ficará multiplicada por quatro.

4-4) para r = 3 e h = 4, a área total do sólido é 33π.


03. Suponha que seu nutricionista recomendou que você tomasse 350mg de vitamina C, 4200 UI de vitamina A e 500 UI de vitamina D. Cada unidade de suplemento X, Y e Z contêm as quantidades indicadas na tabela abaixo das vitaminas C, A e D:

Admitindo essas informações analise as afir-

mações abaixo:

0-0) para atender corretamente às recomen-dações de seu nutricionista você pode utilizar: três unidades do suplemento x, uma unidade do suplemento y e duas unidades do suplemento z.

1-1) para atender corretamente às recomen-dações de seu nutricionista você pode utilizar: duas unidades de cada um dos suplementos.

2-2) é impossível atender às recomendações do nutricionista usando os suplementos X, Y e Z.

3-3) para atender corretamente às recomenda-ções de seu nutricionista você pode utilizar: seis unidades dentre os suple-mentos X, Y e Z, escolhidas como desejar.

4-4) é possível atender às recomendações do nutricionista de infinitas maneiras diferen-tes.

04. O gráfico da função real f dada por

f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d com a, b, c e d constantes reais está esboçado a seguir.

Se o gráfico passa pelos pontos (1, 0), (2, 0), (0, 2) e (-1, 12) é correto afirmar que:

0-0) f(x) é divisível por x2 – 3x + 2. 1-1) f(x) é múltiplo de x2 + 1. 2-2) f(x) admite quatro raízes reais. 3-3) A soma das raízes de f(x) é 3. 4-4) O produto das raízes de f(x) é 2.

05. Sobre o triângulo, cujos lados medem 8, 7 e 5,

podemos afirmar que:

0-0) um dos ângulos internos do triângulo mede

60º. 1-1) o maior dos ângulos internos mede mais

que o dobro da medida do menor dos ângulos internos do triângulo.

2-2) a área deste triângulo é 17,5. 3-3) o triângulo é obtusângulo; 4-4) o menor dos ângulos internos tem seno

igual a 1435 .

06. Em uma escolinha de futebol, a razão entre o

número total de alunos e o número de meninas é 13/5. Se o número de meninos da escola é 120, quantas são as meninas?

07. Suponha que: a probabilidade de cada pessoa, de um grupo de quatro pessoas, ser aprovada no vestibular seja de 60%. Calcule a probabilidade percentual de, exatamente, duas das quatro pessoas serem aprovadas no vestibular e indique a soma de seus dígitos.

08. Sejam AB e AC cordas de mesma medida em uma circunferência e D um ponto no arco maior BC, conforme ilustração abaixo. Se o ângulo BAC mede 150° assinale a medida, em graus, do ângulo BDA.


Gabaritos 2012

09. Oito rapazes e doze moças concorrem ao sorteio de dois prêmios. Serão sorteadas duas dessas pessoas, aleatoriamente, em duas etapas, de modo que o sorteado na primeira etapa concorrerá ao sorteio na segunda etapa. Qual a probabilidade percentual de ser sorteado um par de pessoas de sexos diferentes?

10. Na ilustração a seguir, as retas a, b e c são paralelas.

11. São dados os 8 pontos A, B, C, D, E, F, G e H sobre uma circunferência, como na figura abaixo. De quantas maneiras podem-se formar triângulos com vértices nesses pontos?

12. Cinco números distintos A, B, C, 21 e D estão, nesta ordem, em progressão aritmética, de modo que ao eliminarmos C e 21, temos uma progressão geométrica; determine a soma dos cinco números.

13. Seja f(x) = x2 + 4x + 1, com x sendo um número real. Seja R a região que consiste dos pontos (x, y) do plano que satisfazem f(x) + f(y) ≤ 10. Indique o inteiro mais próximo da área de R. Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.

14. A figura abaixo ilustra a parábola com equação y = -x2 + 4x e uma circunferência de raio r e centro (2, a). O único ponto comum a ambas é o vértice da parábola. O gráfico da circunferência está entre o eixo das abscissas e o gráfico da parábola, exceto pelo ponto comum à circunferência. Assinale a + r.

15. Indique o valor do natural n, n > 0, para o qual o polinômio n2x2n+1 – 25nxn+1 + 150xn-1 é divisível pelo polinômio x2 – 1.

16. Se a é um número real e o número complexo

i5i5a

−− é real, qual o valor de a?

01. VVVFV 05. VVFFV 09. 48 13. 50 02. VFFVV 06. 75 10. 26 14. 04 03. VFFFF 07. 18 11. 56 15. 10 04. VVFVV 08. 15 12. 75 16. 25


2a FASE UFPE 2012.2

PROVA

08 01. Analise a veracidade das afirmações seguintes,

sobre propriedades aritméticas dos números:

0-0) Se n é um número natural, então, o número n(n + 1)(2n + 1) é um natural par.

1-1) Se a e b são números reais, e a4 – b4 > 0, então, a – b > 0.

2-2) O produto de dois números irracionais é sempre irracional.

3-3) Se n é um número natural, então, n2+n+11 é um natural primo.

4-4) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número irracional.

02. Esta questão refere-se à parábola com equação y = x2 + 5 e à reta não vertical com inclinação m e passando pelo ponto (0, 1), que será designada por rm. Abaixo, ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y = 2x +1, y =4x + 1 e y= 6x +1.

Admitindo esses dados, analise as afirmações

seguintes.

0-0) Uma equação de rm é y = mx + 1. 1-1) rm intercepta a parábola em um único ponto

se e somente se m = 4. 2-2) Se -4 < m < 4, então, rm não intercepta a

parábola. 3-3) Se m < -4, então, rm intercepta a parábola

em dois pontos diferentes. 4-4) Se m > 4, então, rm intercepta a parábola

em um único ponto.

03. Analise as afirmações seguintes sobre o número

complexo z = 2i1+ :

0-0) z é uma das raízes quadradas do complexo i.

1-1) z4 = 1. 2-2) A forma trigonométrica de z é

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛4π

isen4π

cos .

3-3) z2012 = 1. 4-4) z, z3, z5 e z7 são as raízes complexas da

equação x4 + 1 = 0.

04. Analise a veracidade das afirmações seguintes sobre identidades trigonométricas.

0-0) sen4x – cos4x = sen2x – cos2x, para todo x real.

1-1) sen ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + x4π = cos ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − x4π , para todo x real.

2-2) tg x + cotg x = )x2(sen

2 , para x real e

x 2πk

≠ , com k inteiro.

3-3) 2cos2x + cos(2x) = 3+4cos2x, para todo x real.

4-4) sen(x + y) + sen(x - y) = 2cos xcos y , para quaisquer x e y reais.

05. Considere a função, f(x) = |x+1|-|x – 1|, definida

para x real. Analise as afirmações seguintes sobre f.

0-0) f é par. 1-1) f é positiva. 2-2) f é injetora. 3-3) A imagem de f é o intervalo fechado [-2,2]. 4-4) f(x+y) = f(x) + f(y), para quaisquer x e y

reais.

06. Numa determinada sala de aula, antes das férias do meio do ano, tinha 1/3 de meninos; depois do retorno às aulas, entraram mais 5 meninos na turma e nenhum estudante saiu. Nesta nova configuração, temos 60% de meninas. Quantos alunos (meninos e meninas) tinha esta sala antes das férias?


Gabaritos 2012.2

07. As pedras de um dominó usual são compostas por dois quadrados, com 7 possíveis marcas (de zero pontos até 6 pontos). Quantas pedras terá um dominó se cada quadrado puder ter até 9 pontos? Veja no desenho abaixo um exemplo de uma nova pedra do dominó.

08. Lançando-se dois dados perfeitos, qual a probabilidade percentual de o produto dos resultados obtidos ser maior que a soma? Indique o inteiro mais próximo do resultado calculado.

09. Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a soma dos dígitos.

10. O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem coeficientes a, b números inteiros, e suas raízes são inteiras e distintas. Indique |a| + |b|.

11. Admita que a população humana na terra seja hoje de 7 bilhões de habitantes e que cresce a uma taxa cumulativa anual de 1,8%. Em quantos anos, a população será de 10 bilhões?

Dados: use as aproximações 15,0710

log10 ≈⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ e

log10 1,018 ≈ 0,0075.

12. Um joalheiro fabricou um pingente maciço de prata banhado a ouro, no formato de tetraedro regular com 1 cm de aresta. O custo com material para confeccionar o pingente foi R$ 11,25 (R$ 3,75 em prata e R$ 7,50 em ouro). Quanto o joalheiro gastará com material para confeccionar outro pingente do mesmo tipo com aresta 2 cm? Considere que a espessura do banho de ouro permanece constante nos pingentes.

13. Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto

termo da expansão binomial de n3 )x1

x( + seja

independente de x na expansão em potências decrescentes de x.

14. Uma circunferência está circunscrita ao triângulo com lados sobre as retas com equações x = 0, y = 0 e 4x + 3y = 24, conforme a ilustração abaixo. Encontre a equação da circunferência e indique a soma das coordenadas de seu centro e de seu raio.

15. Em uma aula de Biologia, os alunos devem

observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após 1 hora mas, sabendo que a população de bactérias obedece à equação P(t)=P0.ekt, Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência?

16. Os vértices de um tetraedro são um dos vértices de um cubo de aresta 30 cm e os três vértices ligados a ele por uma aresta do cubo, como ilustrado na figura abaixo. Se V é o volume do tetraedro, em cm3, assinale V/100.

01. VFFFV 05. FFFVF 09. 10 13. 16 02. VFVVF 06. 45 10. 20 14. 12 03. VFVFV 07. 55 11. 20 15. 06 04. VVVFF 08. 67 12. 60 16. 45


2a FASE UFPE 2013

PROVA

09 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta

medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E.

Com base nas informações acima, analise as proposições a seguir.

0-0) A distância entre A e B mede 26 cm.

1-1) A distância entre B e D mede 36 cm.

2-2) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes. 3-3) O seno do ângulo FDE é.

4-4) A distância entre E e F mede 62 cm.

02. Sobre o sistema de equações lineares

apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo um parâmetro real.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++

=++

3zyx21z2ayx

2zyx

0-0) Se α = 2, então o sistema admite infinitas soluções.

1-1) O sistema sempre admite solução. 2-2) Quando o sistema admite solução, temos

que x = 1. 3-3) Se α ≠ 2, então o sistema admite uma única

solução. 4-4) Se α = 1, então o sistema admite a solução

(1, 2, –1).

03. Considere a função ƒ: {x ∈ R ; x ≠ 2} → R, dada

por ƒ(x) = 2x3x5

−+ , que tem parte do seu gráfico

esboçada a seguir.

Analise as proposições a seguir, referentes a ƒ.

0-0) A imagem de ƒ é o conjunto dos reais diferentes de 1.

1-1) ƒ admite inversa.

2-2) Se y é um número real diferente de 5, então

ƒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+5y3y2 .

3-3) O gráfico de ƒ intercepta o eixo das abscissas no ponto com coordenadas (–3/5, 0).

4-4) Se x é real e x > 2, então ƒ(x) > 5.

04. Para cada número real α, analise as proposições a seguir, referentes à representação geométrica da equação x2 + αy2 + 2x – 2αy = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas xOy.

0-0) Se α = 1, a equação representa uma circunferência.

1-1) Se α = 0, a equação representa uma reta. 2-2) Se α = 3, a equação representa uma

hipérbole. 3-3) Se α = –2, a equação representa uma

elipse. 4-4) Se α = –1, a equação representa a união de

duas retas.


05. A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y = –x2 + 8x – 13 e y = x2 – 4x – 3.

Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração.

0-0) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1, –6).

1-1) O vértice da parábola A é o ponto (4, 2). 2-2) A reta que passa pelos pontos de

interseção das parábolas A e B tem equação y = 2x – 6.

3-3) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102 .

4-4) A parábola B intercepta o eixo das orde-nadas no ponto com coordenadas (0, –3).

06. Uma compra em uma loja da Internet custa 1250

libras esterlinas, incluindo os custos de envio. Para o pagamento no Brasil, o valor deve ser inicialmente convertido em dólares e, em seguida, o valor em dólares é convertido para reais. Além disso, paga-se 60% de imposto de importação à Receita Federal e 6,38% de IOF para pagamento no cartão de crédito. Se uma libra esterlina custa 1,6 dólares e um dólar custa 2 reais, calcule o valor a ser pago, em reais, e indique a soma de seus dígitos.

07. A, B e C são sócios de uma pequena empresa. Quando os três trabalham o mesmo número de horas em um projeto, o pagamento recebido pelo projeto é dividido da seguinte maneira: A recebe 45% do total, B recebe 30% e C recebe os 25% restantes. Em determinado projeto, A trabalhou 15 horas, B trabalhou 20 horas e C trabalhou 25 horas. Se o pagamento foi de R$ 1.900,00, quanto caberá a C, em reais? Indique a soma dos dígitos do valor recebido por C.

08. Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?

09. Determine o polinômio com coeficientes reais p(x) = x3 + bx2 + cx, tal que

p(x +1) – p(x) = 6x2

e indique a2 + b2+ c2.

10. Uma expedição tinha alimento suficiente para 30 dias. Passados 10 dias do seu início, outras 18 pessoas se juntaram às primeiras e o alimento durou mais 16 dias. Quantas eram as pessoas no início da expedição?

11. Um capital é aplicado a uma taxa anual de juros compostos e rende um montante de R$ 15.200,00 em 3 anos, e um montante de R$ 17.490,00 em 4 anos. Indique o valor inteiro mais próximo da taxa percentual e anual de juros.

12. Encontre o menor inteiro positivo η tal que a potência η)i3( + seja um número real.

13. Seja ƒ uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por ƒ(x) = a ⋅ sen(ω ⋅ x + b), com a, ω e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de ƒ, restrito

ao intervalo fechado ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−6π5

,6π . A função ƒ tem

período π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado [–5, 5] .

Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique a2 + ω2 + 3b/π.


Gabaritos 2013

14. Seja ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

dcba

a inversa da matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

41113

. Indique

|a| + |b| + |c| + |d|.

15. Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de música sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o comprador do jornal não sabe qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele gostar do CD encartado em seu jornal?

16. Uma circunferência tem centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas (0, 0) e (4, 0) e é tangente, internamente, à circunferência com equação x2 + y2 = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas circunferências.

Indique o inteiro mais próximo da soma das

coordenadas do ponto de interseção das duas circunferência.

.

01. VVVVF 05. VFFFV 09. 14 13. 30 02. FFVVV 06. 27 10. 72 14. 19 03. FFVVV 07. 13 11. 15 15. 66 04. VFFFV 08. 67 12. 6 16. 11


2a FASE UFPE 2013.2

PROVA

10 01. Quando o preço médio do aluguel é de R$ 400,00

mensais, uma imobiliária aluga 200 imóveis. Uma pesquisa de mercado revelou que, para cada desconto de R$ 5,00 no preço do aluguel, o número de imóveis alugados aumenta de 4. Denote por p(x) o valor total arrecadado com o valor dos aluguéis, em reais, depois de descontos de R$ 5,00. Suponha que a imobiliária disponha de 280 imóveis para alugar e que há inquilinos interessados em todos. Com base nesses dados, analise a veracidade das afirmações a seguir:

0-0) p(x) = – 20x2 + 600x + 80.000. 1-1) O valor máximo arrecadado será de

R$ 84.000,00. 2-2) O valor máximo arrecadado ocorrerá quan-

do o preço do aluguel for de R$ 350,00. 3-3) Para 0 ≤ x ≤ 20, o gráfico de p(x)/1.000 é

4-4) O valor máximo arrecadado ocorrerá

quando forem alugados 250 imóveis.

02. Na ilustração abaixo, temos os quadrados ABCD e EFGH.

Se HA mede 7 cm e BF mede 4 cm, então:

0-0) os triângulos AEH e BFE são congruentes. 1-1) o quadrado EFGH tem área medindo 65cm2.

2-2) HF mede 135 . 3-3) o perímetro do quadrado ABCD mede 42

cm. 4-4) o triângulo DHG tem área medindo 12 cm2.

03. Considere os números naturais m = 25 × 34 × 53 e n = 27 × 36 × 72, dados em suas fatorações em números primos. Analise a veracidade das afirma-ções seguintes, referentes a m e n.

0-0) O maior divisor comum de m e n é 25 × 34. 1-1) O menor múltiplo comum de m e n é 27×36. 2-2) A expansão decimal de m termina em três

zeros à direita. 3-3) O número de divisores naturais de m é 120. 4-4) A raiz quadrada de n é um número

irracional.

04. Um carro consome um litro de gasolina para percorrer 10 km. O proprietário do veículo adquiriu um kit gás, que permite que o combustível do carro seja gás natural ao invés de gasolina, por R$ 3.000,00, incluindo instalação e taxas. Usando gás natural, o mesmo carro percorre 9 km para cada de gás. Além disso, o preço do litro de gasolina é R$ 2,60, e o de gás custa R$ 1,80. O motorista percorre 100 km por dia. Sob essas condições:

0-0) usando gasolina, o custo de percorrer 1 km neste carro é de R$ 0,26.

1-1) usando gás, o custo de percorrer 1 km neste carro é de R$ 0,20.

2-2) usando gás, ao invés de gasolina, o proprietário economizará o valor do kit quando percorrer 500.000 km.

3-3) usando gás, ao invés de gasolina, o motorista economizará R$ 60,00 por dia.

4-4) usando gás, ao invés de gasolina, o motorista economizará o valor do kit em menos de um ano.

05. João e Maria participam do seguinte jogo:

alternadamente, eles lançam um dado perfeito, com suas faces numeradas de 1 a 6; ganha o jogo quem obtiver o primeiro 6. Além disso, Maria faz o primeiro lançamento. Nesta situação:

0-0) a probabilidade de Maria ganhar o jogo em seu primeiro lançamento é de 1/6.

1-1) a probabilidade de João ganhar o jogo em seu primeiro lançamento é de 5/6.

2-2) a probabilidade de Maria ganhar o jogo em seu segundo lançamento é de (5/6) .1/6.

3-3) a probabilidade de Maria ganhar o jogo é de 6/11.

4-4) a probabilidade de João ganhar o jogo é de 5/11.


06. Uma pesquisa de mercado, em 2012, revelou que 3/4 dos consumidores consultados preferiam o produto A, e 1/4, o produto B. Depois de uma intensa campanha publicitária para divulgar o produto A, uma nova pesquisa, em 2013, com os mesmos consumidores, revelou que 1/5 dos consumidores que antes preferiam o produto B, agora consomem o produto A, e os que, em 2012, consumiam o produto A, continuam com a mesma preferência. Qual o percentual de consumidores consultados que, em 2013, preferem o produto A?

07. Quando João fica em pé em uma cadeira, sua altura, em relação ao piso, é 55 cm maior que a de Maria, que está em pé no piso. Quando Maria fica em pé na mesma cadeira, sua altura, em relação ao piso, fica maior que a de João, que está de pé no piso, em 45 cm. Indique a altura da cadeira, em cm.

08. Na ilustração abaixo, os triângulos ABC e BDE são equiláteros e congruentes, e o ângulo CBE mede 70o. Qual a medida, em graus, do ângulo CAE?

09. Na ilustração abaixo, o quadrado ABCD tem lado medindo 5 cm, e o triângulo BEC tem a mesma área do quadrado. Qual a medida da distância, em cm, entre o ponto E e a reta que passa por A e D?

10. A tabela a seguir deve ser preenchida com números naturais. A soma dos números em cada uma das linhas é o mesmo valor, e a soma dos números em cada uma das colunas também é o mesmo valor (mas não necessariamente igual à soma dos valores em cada linha).

Qual a soma de todos os elementos da tabela?

11. Se o raio da base de um cilindro reto é aumentado de 60%, e sua altura é dividida pela metade, qual o aumento percentual no volume do cilindro?

12. Em quatro meses do ano, um hotel tem 85% de sua capacidade preenchida. Nos oito meses restantes, a média de ocupação do hotel é de 55%. Indique a média de ocupação percentual do hotel ao longo do ano.

13. Para um estudante ser aprovado em um exame, precisa responder pelo menos 60% das questões corretamente. Um estudante examinou 20 das questões do exame e, destas, ele não sabe resolver a metade. Se ele não responder as 10 questões que não sabe, e responder corretamente todas as demais questões do exame, ele acertará 60% das questões e será aprovado no exame. Quantas questões tem o exame?

14. Na ilustração a seguir, os três quadrados têm lado medindo 4 cm. Qual o maior inteiro menor ou igual à medida da área do círculo, em cm2 ? Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.


Gabaritos 2013.2

15. Um grupo com 3n rapazes e 2n moças participam de um torneio de jogo de damas (com n sendo um número natural). Cada participante enfrentará cada um dos demais uma única vez. Se o número de partidas entre participantes de sexos diferentes foi 96, quantas foram as partidas entre participantes do mesmo sexo?

16. Na ilustração a seguir, os vértices do triângulo PQR são as interseções, duas a duas, das três retas esboçadas. O ponto P tem coordenadas (1, -1), a reta contendo Q e R tem equação x – 3y + 6 = 0, a reta contendo P e R tem equação x – y – 2 = 0, e o ponto Q está no eixo das ordenadas. Determine a área do triângulo PQR.

.

01. VFFVF 05. VFVVV 09. 15 13. 25 02. VVFFF 06. 80 10. 48 14. 83 03. VFVVV 07. 50 11. 28 15. 94 04. VVFFF 08. 35 12. 65 16. 10


2a FASE UFPE 2014

PROVA

11 01. Seja C o conjunto de pontos (x, y) do plano

cartesiano, cuja distância ao ponto (0,3) é igual à distância da reta com equação y = –3. Analise as afirmações a seguir.

0-0) C é a parábola com foco no ponto (0,3) e reta diretriz y = –3.

1-1) C consiste dos pontos (x, y) do plano que satisfazem à equação y = y3/3.

2-2) C é uma parábola com vértice no ponto 3-3) C é simétrico em relação à reta com

equação x = 0. 4-4) A reta com equação x – y = 3 tem dois

pontos em comum com C.

02. Na ilustração abaixo, temos um paralelepípedo retângulo, e estão indicados três de seus vértices A, B e C. A diagonal AB mede 2 cm e forma com a horizontal um ângulo de 45o. A diagonal AC forma com a horizontal um ângulo de 30o.

0-0) A altura do paralelepípedo, com relação à

base que não contém B e C, mede 1 cm. 1-1) BC mede 2 cm.

2-2) O cosseno do ângulo BAC é 4/2 .

3-3) A área do triângulo BAC mede 2/7 cm2. 4-4) As diagonais do paralelepípedo medem

6 cm.

03. Admita que a poupança rende juros mensais compostos de 0,5% e que um investidor fez um depósito de R$ 1.000,00. Seja o montante, em milhares de reais, resultante, t meses após efetuado o depósito. Admitindo estes dados, analise as afirmações abaixo.

0-0) ƒ(t) = 1,005t 1-1) ƒ(t + 10) = ƒ(t) ⋅ ƒ(10) 2-2) Se h é um número real não negativo então

ƒ(t + h) – ƒ(t) = ƒ(t) ⋅ [ƒ(h) – 1]. 3-3) t = log1,005 ƒ(t) 4-4) ƒ(2t) = ƒ(t)2

04. Uma esfera está inscrita em um cone reto com

raio da base medindo 15cm e altura 36cm, conforme a ilustração a seguir.

Considerando estas hipóteses, analise as afirmações a seguir.

0-0) A geratriz do cone mede 40 cm. 1-1) A tangente do ângulo agudo formado pelo

eixo do cone e a geratriz é 5/12. 2-2) Os triângulos ABC e AED são semelhantes. 3-3) A esfera tem raio medindo 9 cm. 4-4) A área da superfície da esfera mede 400π

cm2.

05. A função ƒ tem como domínio e contradomínio o conjunto dos números reais e é definida por

ƒ(x) = 1x

x22 +

. Analise a veracidade das

afirmações seguintes sobre ƒ, cujo gráfico está esboçado a seguir.

0-0) é uma função par. 1-1) Para todo número real positivo x, temos

ƒ(x) > 0. 2-2) Se x é um número real não nulo, então

ƒ(1/x) = ƒ(x). 3-3) ƒ(x) ≤ 1, para todo número real x. 4-4) ƒ(x) ≥ –1, para todo número real .


Gabaritos 2014

06. Para decidir qual tipo de transporte utilizará para ir ao trabalho, Júnior lança um dado perfeito e, se o resultado for 1, ele vai de táxi, se o resultado for 4 ou 6, ele vai de ônibus e, nos demais casos, ele vai de bicicleta. Se Júnior vai de táxi, a probabilidade de chegar atrasado no trabalho é 1/4, se vai de ônibus é 1/3, e, se vai de bicicleta, é 1/6. Considerando estas condições, analise as afirmações seguintes.

0-0) A probabilidade de Júnior chegar atrasado ao trabalho é de 17/72.

1-1) A probabilidade de Júnior não chegar atrasado ao trabalho é de 45/72.

2-2) A probabilidade de Júnior não se atrasar em nenhum dos cinco dias úteis de uma semana é de (55/72)5.

3-3) Se Júnior chegar atrasado ao trabalho, a probabilidade de que ele tenha ido de táxi é de 2/17.

4-4) Se Júnior chegar ao trabalho sem atraso, a probabilidade de que ele tenha ido de bicicleta é de 6/11.

07. O médico prescreveu para Júnior uma dose diária de insulina, equivalente a 0,4 unidades de insulina por quilo do peso de Júnior. A insulina é vendida em vidros de 3 ml que custam R$ 96,00 cada um, e cada ml corresponde a 100 unidades de insulina. Se Júnior pesa 80 kg, calcule o valor, em reais, que ele gastará mensalmente com a compra da insulina, e indique a soma dos dígitos do valor obtido. Obs.: considere o mês com 30 dias.

08. O preço da refeição em um restaurante é composto de três partes: 20% do preço correspondem à entrada, 50%, ao prato principal, e 30%, à sobremesa. Se o preço da entrada aumenta de 5%, e o preço do prato principal aumenta de 10%, de qual percentual deve diminuir o preço da sobremesa, para que o preço da refeição fique inalterado?

09. Na ilustração a seguir, as retas formam entre si um ângulo de 60o, e os círculos são tangentes entre si e tangentes às duas retas. Se o círculo menor tem raio medindo 1 cm, qual o inteiro mais próximo da área do círculo maior, em cm2?

Dado: use a aproximação π ≈ 3,14.

10. Uma equipe formada por 25 pessoas extrai, em 5 dias, 1 tonelada de carvão. Em quantos dias, uma equipe formada por 30 pessoas extrai 6 toneladas de carvão? Admita que as pessoas tenham a mesma capacidade de trabalho e que trabalharão o mesmo número de horas por dia.

11. Considere 50 retas distintas r1, r2, r3, ..., r50 no plano. As retas com índice ímpar r1, r3, r5, ..., r49 são paralelas duas a duas. As retas com índice divisível por quatro r4, r8, r12, ..., r48 são con-correntes em um mesmo ponto. Qual o maior número possível de pontos de interseção, duas a duas, das 50 retas? Indique um décimo do número obtido.

12. Um investidor aplicou as quantias de R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00 nos fundos de investimentos A e B, respectivamente. Passado um ano, o fundo de investimentos B rendeu de juros um ponto percentual a mais que o fundo A, e a diferença entre os rendimentos nos dois fundos foi de R$ 72,00. Calcule a taxa (percentual) anual de juros do fundo de investimentos A e indique 10 vezes o seu valor.

13. Encontre números inteiros x, y e z tais que

3333

4z2yx4221

3++=

++

e indique x2 + y2 + z2 .

14. Dois termos da expansão de (x + y)n são 66xn-2y2 e 220xn-3y3. Calcule e indique o valor de n.

15. Se x é um número complexo e 2x4 – 37x + 2 = 0,

qual o maior valor de x + x1 ?

16. Encontre o maior valor de b, tal que a distância entre o ponto com coordenadas (0,2) e a reta com

equação y = 34 x + b, seja 6.

01. VFFVF 05. FVVVV 09. 28 13. 2 02. VVVVF 06. VFVFV 10. 25 14. 12 03. VVVVV 07. 12 11. 86 15. 18 04. FVVFV 08. 20 12. 56 16. 12

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