03 - MATEMÁTICA NIVEL FUNDAMENTAL I INCOMPLETO

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CONTEÚDO DE MATEMÁTICANÚMEROS PARES E ÍMPARES:

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

SUCESSOR E ANTECESSOR:

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.(a) O sucessor de m é m+1.(b) O sucessor de 0 é 1.(c) O sucessor de 1 é 2.(d) O sucessor de 19 é 20.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:(a) 1 e 2 são números consecutivos.(b) 5 e 6 são números consecutivos.(c) 50 e 51 são números consecutivos.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.(a) O antecessor do número m é m-1.(b) O antecessor de 2 é 1.(c) O antecessor de 56 é 55.(d) O antecessor de 10 é 9.

NÚMEROS PRIMOS:

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

MÚLTIPLOS E DIVISORES:Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.



Múltiplos de um número natural

Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 2 x 8 = 16 2 x 9 = 18 2 x 10 = 20 É assim sucessivamente.

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)

3 x 0 = 0 3 x 1 = 3 3 x 2 = 6 3 x 3 = 9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 3 x 6 = 18 3 x 7 = 21 3 x 8 = 24 3 x 9 = 27 3 x 10 = 30 É assim sucessivamente.

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos:

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...

Divisores de um número natural

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48.

Observações importantes:

O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.

O maior divisor de um número é o próprio número.

O zero não é divisor de nenhum número.

Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

FATORAÇÃO - NIVEL FUNDAMENTAL - APLICADO AO CONCURSO

A fatoração é um recurso usado para analisar e estudar melhor os números com o objetivo de aperfeiçoar o cálculo. É uma técnica fácil e até divertida de ser apreendida, desde que fiquem claros alguns procedimentos.

O primeiro é o exercício de transformarmos qualquer número, diferente de zero, em uma multiplicação com pelo menos dois números, em outras palavras, em dois fatores.

O conceito de fatoração vem justamente desse procedimento de transformarmos um número em fatores, isto é, em números que se multiplicam. Se esses números não forem primos, poderão ser transformados em nova uma multiplicação de outros dois números permitindo a construção de um jogo de cálculo mental.

É um bom caminho para testarmos a condição de um número ser primo ou não. Se no desafio de transformarmos um número em dois fatores, depararmos com a situação de esses dois fatores serem obrigatoriamente o 1 e o próprio número, que está sendo fatorado, estaremos diante de um número primo.

Assim, o 17, por exemplo, é um número primo porque - na tentativa de reescrevê-lo - com dois fatores só há a possibilidade de fazê-lo sob a forma 1 x 17.

Partindo dessas noções e desses procedimentos, podemos tentar fatorar o número 1.000 perguntando: Qual a multiplicação entre dois números que possui o resultado igual a 1.000?

Temos várias respostas, sendo uma delas 100 x 10.

Além de descobrirmos que o número 1.000 não é primo, podemos construir uma nova pergunta para os dois números que compõe a multiplicação do 1.000, que no caso são o 10 e o 100.

Quais as multiplicações que possuem como resultado o 100 e o 10? Para o 100, podemos responder que é 10 x 10. Para o 10, a resposta é 2 x 5.

Esse jogo de cálculo mental permite escrever o número 1.000 em várias etapas, sendo a primeira 1000 = 100 x 10, a segunda como 1.000 = (10 x 10) x (2 x 5) e, continuando a brincadeira, finalizamos como 1.000 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5). O jogo termina quando todos os fatores forem primos. Neste exemplo, eles são somente o 2 e o 5.

Escrever 1.000 sob a forma de 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 é escrevê-lo sob a forma fatorada.

A partir desse resultado, não custa recordarmos que toda multiplicação pode ser escrita, por sua vez, na forma de potência quando há repetição dos fatores. Assim, concluímos que o número 1.000 - ao ser fatorado em 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5, finalmente pode ser escrito como 23 x 53.

Mas você poderia ainda perguntar: não seria mais fácil escrever 1.000 na forma de 103? Sim, só que não será uma fatoração completa.

O 103 é uma fatoração incompleta do número 1.000 porque a base não é um número primo.

Então, não esqueça que fatorar um determinado número é escrevê-lo na forma de multiplicação ou potenciação, na condição de que os fatores ou as bases sejam números primos.

EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU:

Introdução às equações de primeiro grau

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variável

Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a

equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos ver que toda equação tem:

• Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

• Um sinal de igualdade, denotado por =.

• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

• Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link , estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 14

1o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:c + a = 22c + (c - 4) = 222c - 4 = 222c - 4 + 4 = 22 + 42c = 26c = 13Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40Resposta: Cada quarto tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações1. 2x + 4 = 102. 5k - 12 = 203. 2y + 15 - y = 224. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variável

Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< menor

> maior

< menor ou igual

> maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original

Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros

Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros

Passo 4 x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5}

Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade

2x + 2 < 14

obteremos o conjunto solução:

S = {2, 4}

Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.

Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros

10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros

5 < x < 9 Solução

O conjunto solução é:

S = {6, 7, 8, 9}

Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis

Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:

a x + b y < c

onde a, b e c são valores dados.

Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 0

observamos que o conjunto solução contém os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;

(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;

(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.

(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

Sistemas linear de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja o sistema de duas equações:

2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.

x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistema

Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.

Para entender o método, consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação

2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2

x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação

3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2

114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números

114 - 36 = 13y simplificamos a equação

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros

13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:

x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema:

x + y = 2x - y = 0

Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no plano

No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.

Reta 1: ax + by = cReta 2: dx + ey = f

Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:

Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema

Concorrentes x + y = 2x - y = 0

Paralelas x + y = 2x + y = 4

Coincidentes x + y = 22x + 2y = 4

Problemas com sistemas de equações:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:C + A = 22C - A = 4Resposta: C = 13 e A = 9

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:A + B = 100000A = 3BResposta: A = 75000, B= 25000.

Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?

Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:3D + O = 260O = 140Resposta: D = 40

Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < cd x + e y > f

onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 65x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);

(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;

(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);

(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);

(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;

(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.

DIVISIBILIDADE - ENSINO FUNDAMENTALSobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Alguns critérios de divisibilidadeDivisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.


Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.


Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.


Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo

-16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.



1645 Diferença




154 Diferença




7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:


-2 Dobro do último algarismo

424 Diferença




34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.


Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.


Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível

por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.


Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).


Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número 1 3 5 3Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.


Número 2 9 4 5 8Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número 2 5 4 3Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.


Número 6 5 2 0 8Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11


Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele

dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.


+8 Quatro vezes o último algarismo

1664 Soma




182 Soma




26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.


Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.


Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:


-40 Cinco vezes o último algarismo

1819 Diferença




136 Diferença




-17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.


Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.



+16 Dobro do último algarismo

16608 Soma




1676 Soma




179 Soma




35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.




437 Soma




57 Soma




19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.


Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.




18653 Soma




1886 Soma




230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.


Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?



835 Diferença




68 Diferença




-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.


Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?


+24 Triplo do último algarismo

883 Soma




97 Soma




30 Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.


Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?


+40 Cinco vezes o último algarismo

899 Soma




134 Soma




33 Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

EXPRESSÕES SIMPLES - RAZÃO E PROPORÇÃO

Proporções com númerosQuatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

A

B=

C

D1. Os números A, B, C e D são denominados termos2. Os números A e B são os dois primeiros termos3. Os números C e D são os dois últimos termos4. Os números A e C são os antecedentes5. Os números B e D são os consequentes6. A e D são os extremos7. B e C são os meios8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada

constante de proporcionalidade K dessa razão.

Propriedades das proporçõesPara a proporção

A

B=

C

Dvalem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

A+B

A=

C+D

C e

A-B

A=

C-D

C3. A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim

como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:A+B

B=

C+D

D e

A-B

B=

C-D

D4. A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos

consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

A+C

B+D=

A

B=

A-C

B-D e

A+C

B+D=

A-C

B-D=

C

DGrandezas Diretamente ProporcionaisDuas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

X

Y= K

Exemplos:1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15

minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

15 minutos50 cm

30 minutos100 cm

45 minutos150 cm

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:Tempo (min) Altura (cm)

15 5030 10045 150

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

15

30=

50

100=

1

2(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

15

45=

50

150=

1

3Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

2. Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h)80 1160 2

240 3Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.(a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

1

2=

80

160=

1

3(b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

2

3=

160

240=

1

3Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

Grandezas Inversamente ProporcionaisDuas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:X · Y = KExemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.o melhor aluno receberá 24 livroscada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livroscada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livroscada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livroscada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros

Alunos escolhidos Livros para cada aluno1 242 123 84 66 4

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

4=

1

12/6=

1

2e

12

6=

1

2/4=2

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

2

6=

1

12/4e

12

4=

1

2/6Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:1 hora, velocidade média de 120 Km/h

2 horas, velocidade média de 60 Km/h3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:Velocidade (Km/h) Tempo (h)

120 160 240 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Elementos históricos sobre a Regra de trêsEmbora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

Regra de três simples diretaUma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

X

Y= K e

W

Z= K

assimX

Y=

W

ZExemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do corpo (Kg) Deslocamento da mola (cm)10 5415 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

10

15=

54

XObservamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Regra de três simples inversaUma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.A · B = K e C · D = Ksegue queA · B = C · Dlogo

A

C=

D

BExemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)180 20200 T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

180

200=

T

20Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Regra de três compostaRegra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação Grandeza 1 Grandeza 2 Grandeza 3 Grandeza 4 Grandeza 5 Grand... Grandeza ?Situação 1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1Situação 2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Z1

Z2=

A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 …Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

Z1

Z2=

A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 …

A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 …As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Z1

Z2=

A1 · B2 · C1 · D2

A2 · B1 · C2 · D1Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C)5 6 4007 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

400

x=

5×6

7×9que pode ser posta na forma

400

x=

30

63Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C)200 4 2500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

2

X=

200×5

500×4que pode ser posta como

2

X=

1000

2000Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

Porcentagem

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:Produto = M%.N = M.N / 100Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:X% de 4 = 3Assim:(X/100).4 = 34X/100 = 34X = 300X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total

de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse

problema pode ser representado por:42,5% de X = 255Assim:42,5%.X = 25542,5 / 100.X = 25542,5.X / 100 = 25542,5.X = 25500425.X = 255000X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço

marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que92% de X = 690logo92%.X = 69092/100.X = 69092.X / 100 = 69092.X = 69000X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.Juros SimplesJuro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é

denominada taxa de juros.3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a

taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i%

ao período, basta usar a fórmula:

j =C · i · t

100Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?A diferença entre os preços dados pela loja é:652,00 - 450,00 = 202,50A quantia mensal que deve ser paga de juros é:202,50 / 5 = 40,50Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:X% de 450,00 = 40,50X/100.450,00 = 40,50450 X / 100 = 40,50450 X = 4050X = 4050 / 450X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$

1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:3% de C = 960,003/100 C = 960,003 C / 100 = 960,003 C = 96000C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

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PORCENTAGEM – ENSINO FUNDAMENTAL

Denominador

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.

Exemplo:

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.

Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Exemplos:

O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.

A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.

Desconto de 25% nas compras à vista.

Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.

Exemplos:

Trabalhando com Porcentagem

Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.

Exemplos:

1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

(primeiro representamos na forma de fração decimal)

10% de 100 10% x 100

300 – 30 = 270

Logo, pagarei 270 reais.

2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.

32% =

Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.

3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.

O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.

Então, 2000 + 500 = 2500 reais.

Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.

4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)

(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)

5.O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Porcentagem Preço

120 35 000

100 x

Logo, o preço anterior era 29 166,67

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Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)400 3480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$)3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

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JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = jurosP = principal (capital)i = taxa de jurosn = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n)2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses


OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

Nesta matéria, que significamente é de fácil entendimento, encontramos o modo mais fácil para que o concurseiro entenda o que é operações com números naturais. Visando um melhor aprendizado mostraremos exemplos, bem como pedimos a resolução de alguns pelos próprios concurseiros:

Vamos recordar as quatro operações matemáticas, que você já aprendeu.

+ adição

- subtração

X multiplicação

: divisão

A adição é uma operação ligada a situações que envolvem as ações de juntar quantidades ou de acrescentar uma quantidade a outra.

A subtração é uma operação que está ligada a três idéias diferentes: tirar uma quantidade de outra, completar quantidades (quanto falta) e comparar (quanto a mais).

Idéia de retirar De 8, tiro 6, restam ...

Idéia de comparar Quanto 8 é maior que 6? ou Quanto 6 é menor que 8?

Idéia de completar Tenho 6 para completar 8, faltam...

A multiplicação é uma operação que pode estar ligada a idéia de juntar quantidades iguais, a uma idéia combinatória, à idéia de organização retangular ou à idéia de comparação (dobro, triplo etc.).

A divisão é uma operação que está ligada à idéia de repartir uma quantidade em partes iguais ou à idéia de verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra.

Agora resolva estes exercícios, e escreva ao lado qual operação você utilizou para resolver o exercício:

1) Em um ônibus cabem 35 pessoas sentadas e 20 pessoas em pé. Quantas pessoas cabem dentro deste ônibus?

Dentro deste ônibus cabem pessoas. R= 55 PESSOAS Operação utilizada: R= ADIÇÃO

2) Maisa tem 15 balas e quer dividir igualmente essas balas em 3 pessoas.Quantas balas cada pessoa irá ficar?

Cada pessoa irá ficar com balas. R= 5 BALAS A CADA PESSOA

Operação utilizada: DIVISÃO RESPONDA AS PRÓXIMAS CONCURSEIRO:

3) Um prédio tem 5 andares, cada andar tem 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm neste prédio?

Neste prédio tem apartamentos. Operação utilizada:

4) Gabriel comprou um saco com 20 balas. Ele deu 14 balas pra sua prima. Com quantas balas Gabriel ficou?

Gabriel ficou com balas. Operação utilizada:

5) Luiza tem 40 papéis de carta e Marina tem 60. Quantos papéis de carta Marina têm a mais que Luiza?

Marina tem papéis de carta a mais que Marina. Operação utilizada:

6) Mirella tem 12 bombons e ganhou mais 13 bombons da sua tia. Com quantos bombons Mirella ficou?

Mirella ficou com bombons. Operação utilizada:

7) Carolina tem 12 anos, e sua irmã Camila tem o dobro da sua idade. Quantos anos Camila têm?

Camila tem anos. Operação utilizada:


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FRAÇÃO ORDINÁRIA

Fração ordinária: são frações com o denominador diferente de 10 ou potência de 10.

Exemplos:

OUTROS CONCEITOS DE FRAÇÃO ORDINÁRIA:fração ordinária É a fração que não é decimal. A fração 1/4 é ordinária.número misto É um número obtido pela soma de um número inteiro com uma fração ordinária, como:

62

7= 6 +

2

7Fração Ordinária é a parte mais simples da matemática. Para que você entenda melhor a Fração Ordinária você poderá ver o video no link abaixo, centrado na rede de internet.Caso possua internet, clique no link abaixo e veja algumas resoluções da fração ordinária: http://www.youtube.com/watch?v=Z00tsAOmnKY

NA PRÓXIMA PÁGINA VEJA TUDO SOBRE FRAÇÃO ORDINÁRIA

http://www.youtube.com/watch?v=Z00tsAOmnKY

MATÉRIAL COMPLETO SOBRE FRAÇÃO ORDINÁRIA

Êsses símbolos, chamados frações ordinárias, são construídos indicando-se (por meio do sinal ¾ ou / ) as operações a serem realizadas;

Por exemplo,

1 : 2 = 1/23 : 4 = 3/42 : 3 = - 2/3 ....

Sejam a e b dois inteiros positivos diferentes quaisquer. Se na escala (a), o inteiro a ficar à esquerda do inteiro b, dizemos que a é menor do que b e escreveremos a < b.

Se, entretanto, a ficar à direita de b, dizemos que a é maior do que b e escrevemos a > b.

Se a < b, a fração (ordinária) a/b chama-se própria; caso contrário, imprópria. As frações próprias a/b são:

1/2

1/3 2/3

1/4 2/4 3/4

1/5 2/5 3/5 4/5

Sejam c/d e e/f duas frações quaisquer do conjunto acima. O problema que surge é: como podemos dizer se

c/d = e/f

c/d < e/f ou

c/d > e/f ?

Isso nos leva à regra mais útil para calcular com frações:

Frações Ordinárias - Regra 1

O valor de uma fração não se altera quando o numerador e o denominador forem multiplicados ou divididos por um mesmo número diferente de zero.

Por exemplo:

1/3 = 2/6 = 4/12 e

8/20 = 4/10 = 2/5

Pelo emprego da regra 1, duas ou mais frações quaisquer podem ser reduzidas ao mesmo denominador; por exemplo,

1/3, 2/5 e 3/10 podem escrever-se

10/30, 12/30 e 9/30 ou

20/60, 24/60 e 18/60 etc

Então, 3/10 < 1/3 < 2/5, visto como

9/30 < 10/30 < 12/30.

Ao somar e subtrair frações, é necessário reduzir as diversas frações ao mesmo denominador.

Dos muitos denominadores que se podem usar, há sempre um menor de todos, chamado o menor denominador comum.

No exemplo acima, 30 é o menor denominador comum.


A soma (diferença) de duas frações reduzidas ao mesmo denominador é uma fração cujo denominador é o denominador comum e cujo numerador é a soma (diferença) dos numeradores.

Por exemplo:

3/5 + 1/4 = 12/20 + 5/20 = (12+5) / 20 = 17/20e

2/3 + 3/2 - 5/4 = 8/12 + 18/12 - 15/12 = (8 + 18 - 15) / 12 = 11/12


O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das várias frações.

Por exemplo:

2/3 . 5/4 . 9/10 = 2.5.9 / 3.4.10 = 3/4


O quociente de duas frações pode ser avaliado pelo emprêgo da regra 1 com o menor denominador comum das frações como multiplicador.

Por exemplo:

22 : 12 = 35.22 : 35.12 = 5 . 22 = 5 . 11 = 55

7 5 7 5 7 . 12 7.6 42


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NÚMEROS NATURAIS E INTEIROSNúmeros Naturais:

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, ...). Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) tira-se o 0 (zero).

O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 quadros na parede") ou a ordenação ("Esta é a 2ª maior cidade do país"). Propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na Teoria dos Números. Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela combinatória.

Uma construção do conjunto dos número naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de Axiomática de Peano.

Sobre a teoria elementar dos númerosNormalmente, o primeiro contacto com a teoria dos números é por meio da teoria elementar dos números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

1. Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos; 2. Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a aritmética básica; 3. Estudos sobre a resolução de equações diofantinas.

Estas questões directamente ligadas ao estudo do conjunto dos números inteiros e o seu subconjunto: o conjunto dos números naturais.

Números Inteiros:Os números inteiros são constituídos dos números naturais {1, 2, 3...} e dos seus simétricos {0, -1, -2, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

Matemáticos expressam o facto de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.

A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d 2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O

menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).

Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

AplicaçõesInteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porem que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (28 para bytes, 232 para 32-bit arquitecturas, etc). No entanto, o uso de técnicas de Inteligência Artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.mas tambem tem os numeros caloteiros que servem para o interior

RSAO RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT, e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção desse sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

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CONCEITOS DE MMC E MDC

A utilização de mmc e mdc nas resoluções de problemas é muito comum já que um trata de múltiplos e o outro de divisores comuns de dois ou mais números. vejamos como obtê-los.

MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 260 2 18 230 2 9 3 15 3 3 35 5 1 22.32 1 23.3.5

m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12O m.d.c também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.

120 - 36 2 ( * )60 - 18 2 ( * ) 30 - 9 215 - 9 3 ( * )5 - 3 35 - 1 51 - 1 22.3 = 12

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C )O mínimo múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 260 2 18 230 2 9 3 15 3 3 35 5 1 22.32 1 23.3.5

m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360

O m.m.c também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.

120 - 36 2 60 - 18 230 - 9 215 - 9 35 - 3 35 - 1 51 - 1 23.32.5 = 360

OBS: Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b.

m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b

O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

Ensino Fundamental: Exercícios Resolvidos de MDC, MMC e Divisores

R[n] = raiz quadrada de z (z>0) e R³[z] = raiz cúbica de z.

1. Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 elementos

2 grupos com 9 elementos em cada grupo




18 grupos com 1 elemento em cada grupo

O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

2. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n

por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.

3. Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,...}.

4. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

5. Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

6. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc...

7. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

8. Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.5×( ) = 20( )×3 = 184×( ) = 10( )÷2 = 8

3÷( ) = 4( )÷3 = 4

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

10.Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:1 ovo = R$ 6,002 ovos = R$ 11,003 ovos = R$ 15,004 ovos = R$ 18,00

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?Sem promoção, quanto ele pagaria a mais pela compra dos 177 ovos?

Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00. Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

11.Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:(a) 49(b) 37(c) 12(d) 11

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

12.Qual é o menor número primo com dois algarismos?Resposta: O número 11.

13.Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?Resposta: O número 13.

14.Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?Resposta: O número 103.

15.Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b?Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

16.Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.R[9]=3 2³=8 R³[8]=2 R[16]=4 5²=25

17.Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?Resposta: 11, 13, 17 e 19.

18.Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.Resposta: 18, 12, ... A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

19.Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

Resposta: 9 quadradinhos.

20.Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3².Resposta: 3²=9.

21.De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico,

precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

Resposta: 27 cubinhos.

22.Qual o valor de 33 (3 elevado ao cubo)?Resposta: 3³=27.

NOSSA MAIOR SATISFAÇÃO É VER O CONCURSEIRO QUE ESTUDOU POR NOSSOS MÉTODOS DE ENSINO SER APROVADO!

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03 - MATEMÁTICA NIVEL FUNDAMENTAL I INCOMPLETO

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