35Capítulo 3

MOVIMENTOS VARIADOS EUNIFORMEMENTE VARIADOS

1. Movimento Variado

Denomina-se movimento variado qualquer movimento noqual a velocidade varie ao longo do tempo. Para descrever deque maneira a velocidade varia, utilizamos a grandeza físicachamada aceleração.

Considere um ponto material em movimento variado. Noinstante t1, a velocidade desse ponto material é v1; no instan-te t2, sua velocidade é v2. A variação da velocidade �v e o in-tervalo de tempo correspondente �t são:

�v � v2 � v1 e �t � t2 � t1

Define-se aceleração média como o quociente entre a va-riação da velocidade e o intervalo de tempo correspondente:

αm

vt

���

A unidade de aceleração no SI é ms2

.

A aceleraçäo instantânea pode ser entendida como uma ace-leração média para um intervalo de tempo muito pequeno, ten-dendo a zero. Isto corresponde à operação matemática limite:

36Capítulo 3

α �

���

limt

vt→0

Em uma corrida de Fórmula 1, por exemplo, vemos o auto-móvel, em uma única volta, frear e acelerar muitas vezes.Durante a largada, percebemos que a velocidade aumenta aolongo do tempo, ao passo que durante a freagem a velocidadediminui com o passar do tempo. Estas duas situações definemo que chamamos de movimento acelerado e movimento retar-dado.

O sinal matemático da velocidade tem relação com o sen-tido do movimento em uma determinada trajetória. Os sinaismatemáticos da velocidade e da aceleração para os diferentesmovimentos estão relacionados abaixo:

Velocidade Aceleração

Movimento acelerado positiva positiva

Movimento acelerado negativa negativa

Movimento retardado positiva negativa

Movimento retardado negativa positiva

Para facilitar a memorização, podemos dizer que:• No movimento acelerado, o valor absoluto da velocida-

de aumenta ao longo do tempo. Os sinais da velocidade e daaceleração são iguais.

• No movimento retardado, o valor absoluto da velocida-de diminui ao longo do tempo. Os sinais da velocidade e daaceleração são contrários.

Exemplos

a) Um móvel passa por um ponto A no instante t1 � 0 s, com a velo-

cidade de 5 ms

. Ao passar por B, no instante t2 � 3 s, sua veloci-

37Capítulo 3

dade é de 20 ms

. Determine a aceleração média e descreva o mo-vimento.

Solução

α αm m

vt

v vt t

ms

���

��

��

�

��2 1

2 12

20 53 0

5⇒

O movimento é acelerado.

b) Considere o mesmo enunciado do exemplo a, mudando os valores

da velocidade: 10 ms

para o ponto A e 4 ms

para o ponto B.

Solução

α αm m

vt

ms

���

��

�� �

4 103 0

22

⇒

O movimento é retardado.

2. Movimento Uniformemente Variado (MUV)

Chamamos Movimento Uniformemente Variado (MUV) omovimento em que a velocidade varia de modo uniforme aolongo do tempo, isto é, aquele em que ocorrem variações develocidade iguais em intervalos de tempo iguais.

A aceleração instantânea, neste movimento, é sempre amesma e igual à aceleração média.

Se a trajetória é retilínea, o movimento é denominado Re-tilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

2.1. Função horária do MUVA exemplo da equação horária do MU vista no Capítulo 2,

a equação horária para o MUV é:

v � v0 � α � t

em que v é a velocidade no instante t, v0 é a velocidade noinstante t � 0 (velocidade inicial) e α é a aceleração.

38Capítulo 3

Exemplos

a) Um móvel se locomove obedecendo a equação v � 4 � 5t (SI). Qualé a velocidade inicial do móvel, a aceleração e o tipo de movimento?

SoluçãoAnalisando a equação horária dada, temos: a velocidade inicial

do móvel é v0 � 4 ms

e a aceleração vale � �5ms2 . Quando a

velocidade assume o mesmo sinal da aceleração, temos um mo-vimento acelerado; quando estes sinais são contrários, o movimentoé retardado. Na equação dada, o movimento se caracteriza comoacelerado quando t � 0,8 s e como retardado para 0 t 0,8 s,pois α é sempre negativo; v, por sua vez, é positivo até t � 0,8 s enegativo a partir desse instante.Observação: O instante em que a velocidade é nula, ou seja,quando t � 0,8 s, marca a transição entre o movimento retardadoe o acelerado.

b) Um móvel se desloca com uma velocidade de 5 kmh

. Em um deter-

minado instante, passa a acelerar 2 mmin2

. Qual será sua equação

horária e sua velocidade após 1 h?

Solução

Sua velocidade inicial é v0 � 5 kmh

. Após t � 0, sua aceleração

passa a ser α � 2 mmin2

ou α � 7,2 kmh2

.

A equação horária pode ser escrita como:

v � 5 � 7,2t kmh

⎛⎝

⎞⎠

A velocidade do móvel após 1 h do instante inicial vale:

v � 5 � 7,2 � 1 ⇒ v � 12,2 kmh

2.2. Função do espaço no MUVÀ medida que um móvel descreve um MUV, sua posição

varia sobre a trajetória. No instante t � 0, o móvel ocupa umaposição dada pelo espaço inicial S0; no instante posterior t, a

39Capítulo 3

posição do móvel corresponde ao espaço S. Pode-se provarque o espaço S se relaciona com o tempo, no MUV, pela se-guinte fórmula:

S S v t t

� � � �

0 0

2

2

Exemplo

a) Um móvel realiza um MUV obedecendo a equação S � 10 � 9t �+ 2t2 (SI). Determine o espaço e a velocidade iniciais, a aceleraçãodo movimento, a função horária da velocidade, o instante em queo móvel muda de sentido e aquele em que o móvel passa pela ori-gem da trajetória.

Solução

O espaço inicial vale S0 � 10 m, a velocidade inicial,

v0 � �9 ms

, e a aceleração do movimento, α � 4 ms2

. A função

horária da velocidade v � v0 � α � t, pode ser escrita comov � �9 � 4t.

No instante em que o móvel muda de sentido, a velocidade énula. Logo:

0 � �9 � 4t ⇒ t � 94

⇒ t � 2,25 s

No instante em que o móvel passa pela origem, o valor do espaçoS é nulo. Logo: 2t2 � 9t � 10 � 0

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos como resposta doisinstantes em que o móvel passa pela origem: t1 � 2,5 s e t2 � 2,0 s.

1. Um móvel parte do repouso e, após 10 s, sua velocidade é de 6 ms

.

Sabendo-se que a aceleração do móvel é constante, qual a equa-ção horária da velocidade deste móvel e sua velocidade após 8 s?

2. Determine o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleraçãodados pelas equações abaixo (unidades SI):a) S � �30 � 2t � 5t2 c) S � 5t � 2t2

b) S � 10t2 d) S � 4 � t � 0,5t2

40Capítulo 3

Solução

O coeficiente linear da reta é igual ao valor numérico de v0. Logo,

v0 � 25 ms

.

O coeficiente angular da reta é numericamente igual ao valor daaceleração. Logo:

tg m

sms

θ α��

�� �

20 05 1

4 42 2

⇒

A equação horária pode ser escrita como v � �5 � 4t

3. Para cada equação do exercício anterior, descreva a equação davelocidade e calcule a velocidade após 2 s.

4. Um ônibus se move com velocidade de 50 kmh

. Quando ele pas-

sa pelo marco 100 km de uma rodovia, começa a acelerar e, em1 h, passará pelo marco 180 km. Qual será a aceleração do ôni-bus e sua velocidade aproximada quando atingir o marco 120 km?

2.3. Representação gráfica no MUVA representação gráfica da equação da velocidade no

MUV será uma reta de inclinação não-nula. Chamamos coe-ficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixoda velocidade e coeficiente angular a tangente do ângulo for-mado entre a reta e o eixo dos tempos.

Exemplos

O enunciado a seguir vale para os exemplos a e b.

a) A posição de um móvel varia conforme o gráfico abaixo. Determi-ne sua equação horária.

41Capítulo 3

b)

Solução

v0 � 25 ms

, tg θ �

25 00 5

52

�

�� �

ms

⇒ α � �5ms2

A equação horária pode ser escrita como v � 25 � 5t

* Evangelista Torricelli (1608-1647)Físico e matemático italiano, discípulo de Galileu. Uma de suas invenções mais importantesfoi o barômetro, aparelho destinado à medição da pressão atmosférica.

3. Equação de Torricelli*

A partir das funções horárias do espaço e da velocidade domovimento uniformemente variado, obtemos a equação querelaciona diretamente o espaço com a velocidade.

v2 � v02 � 2α(S � S0)

Esta equação é conhecida como equação de Torricelli.

Exemplos

a) Um corpo tem velocidade inicial de 4 ms

, variando uniformemen-

te para 10 ms

após um percurso de 7 m. Determine a aceleração

desse corpo.

Solução

v0 � 4 ms

, v � 10 ms

, S � 7 m, S0 � 0

v2 � v02 � 2α(S � S0) ⇒ 102 � 42 � 2α(7 � 0) ⇒ α � 6 m

s2

42Capítulo 3

Exemplos

a) Um corpo é abandonado de cima de uma ponte e chega ao solo em 2 s.Determine a altura da ponte e a velocidade do corpo ao atingir o chão.

Solução

α � 10 ms2

, t � 2 s, v0 � 0 ⇒ v � v0 � αt ⇒ v � 10 � 2 ⇒

⇒ v � 20 ms

(velocidade do corpo ao atingir o chão)

⇒ S � S0 � v0t �αt2

2⇒ S �

10 22

402

2�� ⇒

⇒ S � 20 m (altura da ponte)

b) Um trem trafega com velocidade de 80 kmh

, quando o maquinista

recebe um aviso de parada de emergência. Determine a aceleraçãoque deve ser imposta para a parada total em 100 m.

Solução

v0 � 80 kmh

, S � 100 m � 0,1 km, v � 0, S0 � 0

v2 � v02 � 2α(S � S0) ⇒ 0 � 22,22 m

s� 2α100 ⇒

0 � 493 ms

� 2α ⇒ α α�

��

493200

2 52

2

m sm

ms

/,⇒ �

4. Aceleração da gravidade

Todos os corpos exercem, uns sobre os outros, uma atra-ção denominada gravitacional.

Quando um corpo é abandonado de uma determinada al-tura, ele cai, devido à ação da atração gravitacional (gravida-de local). Seu movimento é chamado queda livre.

Nos lançamentos verticais e na queda livre, o movimentodo corpo será uniformemente variado, pois esse corpo sofrerá amesma aceleração, devido ao efeito da gravidade. Essa acelera-ção é chamada aceleração da gravidade. O valor da aceleraçãoda gravidade e da Terra no nível do mar é g � 9,8 m

s2.

43Capítulo 3

b) Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de

40 ms

. Determine o tempo que esse corpo leva para chegar até aaltura máxima e o valor desta altura.

Solução

v0 � 40 ms

, α � �10 ms2

A altura máxima será atingida quando v � 0, logo:

v � v0 � αt ⇒ t � 4010

⇒ t � 4 s

A altura máxima será:

S � S0 � v0t � αt2

2⇒ S � 40 � 4 �

10 42

2� ⇒ S � 80 m

5. (UFSE) Uma partícula tem velocidade escalar variável dada pelaequação v � 3 � 6t. Sabe-se que no instante t � 0 s, a partícula es-tava num ponto situado a 6 m do ponto de referência zero, por ondea partícula ainda vai passar. Considere que as unidades representa-das na equação são do SI. A equação horária para a partícula é:a) e � 6 � 3t � 6t2 d) e � �6 � 3t � 3t2

b) e � 6 � 3t � 3t2 e) e � �6 � 3t � 6t2

c) e � �6 � 3t � 3t2

6. (UFAC) Um corpo cai livremente de uma altura de 80 m. O tempogasto para chegar ao solo é de:a) 4 s b) 6 s c) 8 s d) 12 s e) 16 s

7. (UFSC) O gráfico ao la-do representa as acele-rações de um corpo mó-vel que percorre uma tra-jetória retilínea, em ummesmo sentido.Assinale as afirmativas cor-retas:

44Capítulo 3

8. A velocidade no instante da chegada é:

a) 5 ms

b) 7,5 ms

c) 10 ms

d) 15 ms

9. A distância total percorrida é igual a:

a) 400 m b) 425 m

c) 450 m d) 475 m

10. (UFPA) Dados os dois gráficos espaço–tempo ao lado para doiscarros que se movem segundo trajetórias retilíneas, podemosconcluir que:

a) No trecho AB , o corpo encontra-se obrigatoriamente parado,ou em repouso na origem.

b) No trecho BC , o corpo inicia seu movimento com aceleraçãopositiva e velocidade constante.

c) No trecho CD, o corpo possui um movimento retilíneo, unifor-memente acelerado.

d) No trecho DE , a aceleração varia com o tempo, e o movimen-to não é mais retilíneo e uniformemente acelerado.

e) No trecho FG, o corpo diminui sua aceleração até anulá-la. Omovimento então é uniformemente retardado.

Enunciado para as questões 8 e 9.

(UFAM) O gráfico a seguir representa a velocidade de um animal emcorrida, desde o instante da partida (t � 0 s) até a chegada final (t � 80 s).A aceleração no trecho I é o dobro da aceleração no trecho III.

45Capítulo 3

11. (UFPR) Dois corpos de pesos diferentes são abandonados no mesmoinstante e da mesma altura. Não levando em conta a resistência do ar:a) os dois corpos caem com a mesma velocidade em cada instan-

te, mas com acelerações diferentes;b) o corpo de menor volume chegará antes no solo;c) o corpo mais pesado chegará antes no solo.d) o corpo mais pesado chegará ao solo depois do outro;e) os dois corpos caem com a mesma velocidade em cada instan-

te e com a mesma aceleração.

a) o carro B possui maior aceleração;b) o carro A possui maior aceleração;c) os carros andam sempre juntos;d) os dois carros possuem

velocidades iguais emcada instante;

e) a velocidade do carro Aé sempre menor que ado B, em cada instante.

12. (Enem–MEC) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típicode um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir:

Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade docorredor é aproximadamente constante?

46Capítulo 3

Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade docorredor é aproximadamente constante?

a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos.

b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 12 e 15 segundos.

c) Entre 5 e 8 segundos.

13. (Enem–MEC) Em que intervalo de tempo o corredor apresentaaceleração máxima?

a) Entre 0 e 1 segundo. d) Entre 8 e 11 segundos.

b) Entre 1 e 5 segundos. e) Entre 9 e 15 segundos.

c) Entre 5 e 8 segundo.