027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro

7/21/2019 027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro

1/126

Captulo1

Universidade Estadual Paulista UNESPFaculdade de Engenharia de Ilha Solteira FEIS

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica

Controle Discreto com Modos

Deslizantes em Sistemas Incertos com

Atraso no Sinal de Controle

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Ps

Graduao da Faculdade de Engenharia de Ilha

Solteira da Universidade Estadual Paulista

UNESP/FEIS, como parte dos requisitos necessrios

para a obteno do ttulo de Doutor em Engenharia

Eltrica, rea de concentrao em Controle e

Automao.

por

Jean Marcos de Souza RibeiroEngenheiro Eletricista FEIS/UNESP

Mestre em Engenharia Eltrica FEIS/UNESP

Ilha Solteira, Agosto de 2006

Orientador: Prof. Dr. Jos Paulo Fernandes Garcia FEIS/UNESP


2/126

i

Controle Discreto com Modos Deslizantes em Sistemas Incertoscom Atraso no Sinal de Controle

Jean Marcos de Souza Ribeiro

TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA FACULDADE DE ENGENHARIADE ILHA SOLTEIRA UNESP, COMO PARTE DOS REQUISITOSNECESSRIOS PARA A OBTENO DO TTULO DE DOUTOR EMENGENHARIA ELTRICA (DR).EM 30/08/2006

_________________________________________________Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira - Coordenador

COMISSO EXAMINADORA:

_________________________________________________Prof. Dr. Jos Paulo Fernandes Garcia Orientador

_________________________________________________Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira

_________________________________________________Prof. Dr. Edvaldo Assuno

_________________________________________________Prof. Dr. Fuad Kassab Junior

_________________________________________________Prof. Dr. Marco Henrique Terra


3/126

ii

Quando passares pelas guas, estarei contigo, e quando passares pelos rios, eles no te submergir.Quando passares pelo fogo, no te queimars, nem a chama arder em ti. Pois eu sou o Senhor teu Deus

o Santo de Israel, o teu Salvador... no temas! (Isaas 43:1-2)

A Deus pelo seu imensurvel amor e

fidelidade, por ser minha retaguarda e

meu lugar seguro e por dar sentido ao

meu viver.

OFEREO

Aos meus pais, Ferrari e Flausina, pelo

incentivo, fora, apoio e, principalmente, pelo

amor incondicional que me sustenta em cada

momento de luta.

DEDICO


4/126

iii

Agradecimentos

Toda minha fora vem dEle e no teria sentido comear meus agradecimentos sem

mencion-lo: Obrigado Deus!

Aos meus pais que, com sabedoria e pacincia, me do fora nos momentos de

dificuldade, me ajudam em cada nova fase, novo passo, novo objetivo e que fazem

minha vida valer a pena.As minhas irms Joicee Gisley, pela fora, amizade e carinho. Ao meu sobrinho Vitor

que me d nimo s de estar por perto.

Ao meu orientador Prof. Dr. Jos Paulo, pela amizade, sabedoria, compreenso,

educao, conselhos, enfim por todos anos de boa convivncia, minha eterna gratido.

A querida professora Lizete, que teve uma importante participao em minha formao

desde os anos graduao e que acompanhou de perto todos meus passos no programa de

ps-graduao, me ajudando, aconselhando e dando idias no desenvolvimento do meu

trabalho.

A minha namorada, pelo amor, pacincia, apoio e fora em minhas lutas.

Aos professores Edvaldoe Marcelopelas importantes contribuies cientficas e pela

amizade fortalecida ao longo desses anos.

Aos tcnicos Adilson, Aderson, Chaves, Everaldo e Hidemassa, que participaram

sempre de todo desenvolvimento da pesquisa.Minha gratido tambm s professoras ricae Neusinhapelas sugestes no trabalho.

A todos amigos do Laboratrio de Controle e Automao da FEIS, com os quais pude

compartilhar conhecimentos, idias, boas risadas e amizades vedadeiras.

Finalmente Capes pelo suporte financeiro e auxlios fornecidos durante a execuo

deste trabalho.


5/126

iv

RESUMO

Este trabalho apresenta trs novas estratgias de controle discreto. O enfoque principaldo trabalho foi dado ao Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD) aplicados

em sistemas que possuem atraso no processamento do sinal de controle. As novas

estratgias de controle objetivam a elaborao de leis de fcil implementao prtica e

que ao mesmo tempo sejam robustas a incertezas da planta. Uma caracterstica destas

novas abordagens para controle discreto com atraso no tempo a utilizao de um

Controle com Modos Deslizantes sem a necessidade de predio do sinal de controle. Os

mtodos de projeto propostos podem ser aplicados no controle de plantas estveis ou

instveis com atraso no sinal de controle. Uma das estratgias foi elaborada para realizar

controle apenas em sistemas discretos que no possuem atraso no sinal de controle,

enquanto que as demais so utilizadas para controle em sistemas com atraso. So

apresentadas simulaes e resultados de implementaes prticas, sobre uma planta

estvel de Controle Automtico da Gerao (CAG) e sobre um Sistema Pndulo

Invertido, que caracteriza bem uma planta instvel. Os resultados comprovam a eficcia

dos novos controladores.


6/126

v

ABSTRACT

This work presents three new strategies of discrete-time control. The main focus of thework was given to the Sliding Mode Control (SMC) applied in systems that present

delay in the processing of the control sign. The new control strategies provide laws of

control of easy practical implementation and that at the same time are robust to

uncertainties of the plant. A characteristic of these new approaches, for discrete-time

control with delay-time, is the use of a Sliding Mode Control without the need of

prediction of the control signal. The proposed design methods can be applied in the

control of stable or unstable plants, with delay in the control signal. One of the strategies

was elaborated to accomplish control just in discrete-time system without delay-time in

the control sign, while the others are used for control in systems with delay-time.

Simulations and experimental results are shown on a stable plant of Automatic

Generation Control (AGC) and on Inverted Pendulum System, that is an unstable plant.

The results prove the controllers' effectiveness.


7/126

vi

Lista de Figuras

2.1 A superfcie deslizante a interseco das i-simas superfcies existentes............................................21

2.2 Ilustrao bidimensional do domnio do modo deslizante.......................................................................22

2.3 Diagrama de blocos do sistema em exemplo............................................................................................40

2.4 Controle descontnuo sem camada limite e com camada limite..............................................................41

2.5 Trajetria dos estados e lei de controle sem usar camada limite.............................................................41

2.6 Trajetria dos estados e lei de controle usando camada limite............................................................... 42

3.1 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso. ............................................................ 443.2 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso. ............................................................ 44

3.3 Estratgia de controle com preditor proposto por Smith. .......................................................................45

3.4 Controle EV/MD para o sistema sem atraso - robustez. .........................................................................49

3.5 Controle EV/MD para o sistema com atraso. ..........................................................................................50

5.1 Sistema pndulo invertido.........................................................................................................................71

5.2 Equipamento utilizado para realizao do controle sobre o sistema pndulo invertido. ......................74

5.3 Representao esquemtica do sistema pndulo invertido com o dispositivo de controle..................75

5.4 Representao em diagrama de blocos da simulao do pndulo invertido utilizando CCMD...........76

5.5 CCMD realizado por um computador: simulaes com perodo de amostragem de 0.001 seg..........765.6 CCMD realizado por um computador: simulaes com perodo de amostragem de 0.065 seg........... 77

5.7 Controlador contnuo emulado em um computador digital ....................................................................77

5.8 CCMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.001 seg....................................................................................................................................................78

5.9 CCMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de 0.01seg. .............................................................................................................................................................78

5.10 Diagrama de blocos representando o procedimento para simulao do CDMD aplicado ao pnduloinvertido. ....................................................................................................................................................79

5.11 CDMD realizado por um computador digital: simulao com perodo de amostragem de 0.01 seg. 80

5.12 CDMD realizado por um computador digital: simulao com perodo de amostragem de 0.1 seg... 805.13 Controlador discreto implementado em um computador digital. .........................................................81

5.14 CDMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.001 seg....................................................................................................................................................81

5.15 CDMD realizado por um computador: resultados experimentais com perodo de amostragem de0.01 seg. .....................................................................................................................................................82

8.1a Planta, observador e lei de controle utilizando a estratgia CDMD-A. ...............................................98

8.1b Planta, observador e lei de controle utilizando a estratgia CDMD-B. ...............................................98

8.2 Planta do sistema de Controle de Gerao. ..............................................................................................98


8/126

vii

8.3 Resposta do sistema com entrada atrasada h=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg,

utilizando o projeto contnuo convencional CEV-MD.........................................................................1038.4 Resposta do sistema com CEV-MD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), com entrada atrasada em

h=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................103

8.5 Resposta do sistema com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12), com entrada atrasada emh=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................104

8.6 Resposta do sistema com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), com entrada atrasada emh=0.15 seg e perodo de amostragem de 0.20 seg.................................................................................104

8.7 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD, napresena de atraso do sinal de controle. ................................................................................................106

8.8 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), comatraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................106

8.9 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, proposto no Captulo 5 (equao 5.32), comatraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg (instvel). ...................................................107

8.10 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD-A, napresena de atraso do sinal de controle. ................................................................................................108

8.11a Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12),com atraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.............................................................108

8.11b Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, proposto no Captulo 6 (equao 6.12),com atraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.............................................................109

8.12 Representao em diagrama de blocos do sistema pndulo invertido, controlado com CDMD-B, napresena de atraso do sinal de controle e com incertezas.....................................................................110

8.13 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), comatraso de 0.01 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................110

8.14 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, proposto no Captulo 7 (equao 7.31), comatraso de 0.04 seg e perodo de amostragem de 0.06 seg.....................................................................111

8.15 Equipamento utilizado para realizao da implementao prtica dos controles sobre o sistemapndulo invertido. ...................................................................................................................................112

8.16 Esquema do sistema pndulo invertido com o dispositivo de controle .............................................113

8.17 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, com perodo de amostragem de 0.005 seg eatraso de 0.004 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................114

8.18 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, com perodo de amostragem de 0.005 seg e

atraso de 0.004 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................1148.19 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-A, com perodo de amostragem de 0.010 seg eatraso de 0.009 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................115

8.20 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD, com perodo de amostragem de 0.010 seg eatraso de 0.009 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................115

8.21 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, com perodo de amostragem de 0 .005 seg eatraso de 0.0025 seg. Implementao atravs de computador. ............................................................116

8.22 Resposta do sistema Pndulo Invertido com CDMD-B, com perodo de amostragem de 0 .010 seg eatraso de 0.005 seg. Implementao atravs de computador. ..............................................................116


9/126

viii

Lista de Smbolos e Abreviaturas

A/D Conversor Analgico/Digital

B Matriz de entrada

C Matriz de sada

CAG Controle Automtico da Gerao

CCMD Controle Contnuo com Modos Deslizantes

CDMD Controle Discreto com Modos Deslizantes

CEV Controle com Estrutura Varivel

CMD Controle com Modos Deslizantes

D/A Conversor Digital/Analgico

EDF Equao Diferencial Funcional

EDO Equao Diferencial Ordinria

EDP Equao Diferencial Parcial

EV Estrutura Varivel

FTMF Funo de Transferncia de Malha Fechada

),( xtf Matriz de estados no-linear da planta

G Planta

mG Modelo da Planta

grad Gradiente

h Atraso

K Ganho escalar

m Dimenso do vetor de entradas

MD Modos Deslizantes

MIMO Sistema com mltiplas entradas e mltiplas sadas

n Dimenso do vetor de estados

p Dimenso do vetor de sada

S Ganhos da superfcie de deslizamento


10/126

ix

SAT Sistemas com Atraso no Tempo

sgn Funo sinal

SISO Sistema com uma entrada e uma sada

mT Modelo do Atraso

)(tu Sinal de controle contnuo no tempo

equ Controle equivalente

ku Sinal de controle discreto no tempo

nu

Controle descontnuo

),( xtV Funo de Lyapunov

x Vetor de estados estimado

)(tx Estados da planta no sistema contnuo

kx Estados da planta no sistema discreto

ky Sada discreta

)(ty Sada contnua

Superfcie de deslizamento contnua no tempo

Ganho escalar

f Incertezas


11/126

x

Sumrio

1. INTRODUO............................................................................................................................................ 13

2. CONTROLE COM ESTRUTURA VARIVEL E MODOS DESLIZANTES.................................18

2.1 Modelo do Sistema ..................................................................................................................192.1.1 Superfcie de Deslizamento .............................................................................................................192.1.2 Modos Deslizantes ...........................................................................................................................202.1.3 Condies de Existncia de um Modo Deslizante .........................................................................21

2.2 O Mtodo do Controle Equivalente........................................................................................24

2.3 Reduo de Ordem ..................................................................................................................26

2.4 Forma Regular .........................................................................................................................30

2.5 Projeto do Controlador ............................................................................................................32

2.6 Sistemas Incertos e CEV/MD.................................................................................................35

2.7 Trepidao................................................................................................................................38

2.8 Comentrios .............................................................................................................................42

3. SISTEMAS COM ATRASO NO CONTROLE......................................................................................43

3.1 Motivao e Apresentao do Problema sob o Enfoque CEV/MD...................................... 47

3.2 Comentrios .............................................................................................................................50

4. OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS INCERTOS COM ATRASO NO CONTROLECOM EV/MD.................................................................................................................................................... 52

4.1 Projeto do Observador............................................................................................................. 554.1.1 Algoritmo para o Projeto do Observador Robusto.........................................................................58

4.2 Comentrios .............................................................................................................................60

5. UM NOVO CONTROLADOR COM MODOS DESLIZANTES DISCRETO NO TEMPO(CDMD) .............................................................................................................................................................61

5.1 Controle Contnuo com Modos Deslizantes (CCMD) ..........................................................625.1.1 Projeto da Superfcie de Deslizamento...........................................................................................635.1.2 Projeto da Lei de Controle Contnua...............................................................................................63

5.2 Nova Estratgia de Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD)...........................655.2.1 Projeto da Superfcie de Deslizamento...........................................................................................665.2.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................665.2.3 Anlise da Robustez da Estabilidade ..............................................................................................69

5.3 O Modelo Pndulo Invertido................................................................................................... 71

5.4 Sistema Pndulo Invertido com CMD....................................................................................72


12/126

xi

5.5 Simulaes e Resultados Experimentais................................................................................745.5.1 Controle Contnuo com Modos Deslizantes (CCMD)...................................................................75

5.5.1.1 Simulaes................................................................................................................................755.5.1.2 Implementao prtica..............................................................................................................77

5.5.2 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD)....................................................................795.5.2.1 Simulaes................................................................................................................................795.5.2.2 Implementao prtica..............................................................................................................80

5.6 Comentrios .............................................................................................................................82

6. CONTROLE DISCRETO COM MODOS DESLIZANTES PARA SISTEMAS COM ATRASONO SINAL DE CONTROLE E SEM ESTIMATIVA DAS INCERTEZAS (CDMD-A).....................84

6.1 Modelo Discreto com Atraso ..................................................................................................84

6.2 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta..............................................................................866.3 Projeto da Lei de Controle Discreta .......................................................................................87

6.4 Anlise da Robustez da Estabilidade...................................................................................... 87

6.5 Comentrios .............................................................................................................................89

7. CONTROLE DISCRETO COM MODOS DESLIZANTES PARA SISTEMAS SEM E COMATRASO NO SINAL DE CONTROLE E COM ESTIMADOR DE INCERTEZAS (CDMD-B).....90

7.1 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-B) sem atraso no sinal de controle... 907.1.1 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta ......................................................................................917.1.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................91

7.2 Controle Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-B) com Atraso no Sinal de Controle 937.2.1 Projeto da Superfcie Deslizante Discreta ......................................................................................947.2.2 Projeto da Lei de Controle Discreta................................................................................................95

7.3 Comentrios .............................................................................................................................96

8. RESULTADOS: SIMULAES DOS CONTROLES CDMD, CDMD-A E CDMD-BAPLICADOS A UMA PLANTA ESTVEL E UMA INSTVEL, E IMPLEMENTAES DOSCONTROLADORES SOBRE O SISTEMA PNDULO INVERTIDO.................................................97

8.1 Simulaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Estvel: ControleAutomtico de Gerao (CAG) com Entrada Atrasada...............................................................97

8.1.1 Sistema CAG com Projeto Contnuo Convencional CEV-MD...................................................1008.1.2 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD..................................................................................101

8.1.3 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD-A .............................................................................1018.1.4 Sistema CAG com o Novo Projeto CDMD-B..............................................................................102

8.2 Simulaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Instvel: ModeloPndulo Invertido com Entrada Atrasada...................................................................................105

8.2.1 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD ........................................................1058.2.2 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD-A....................................................1078.2.3 Sistema Pndulo Invertido com a Nova Estratgia CDMD-B ....................................................109

8.3 Implementaes do CDMD, CDMD-A e CDMD-B, Aplicados a uma Planta Instvel:Modelo Pndulo Invertido com Entrada Atrasada.....................................................................112

8.3.1 Resultado da Implementao das Estratgias CDMD e CDMD-A ............................................1138.3.2 Resultado da Implementao da Estratgia CDMD-B ................................................................115


13/126

xii

9. CONCLUSES..........................................................................................................................................117

9.1 Concluses Gerais .................................................................................................................117

9.2 Trabalhos Publicados.............................................................................................................118

9.3 Sugestes de Trabalhos .........................................................................................................119

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................................................................120


14/126

Captulo 1 13

CAPTULO 1

1. INTRODUO

H algumas dcadas o estudo de sistemas dinmicos com atraso no tempo

tem sido foco de considervel ateno por parte de vrios pesquisadores, que se sentiram

atrados pela busca de um melhor critrio para anlise e soluo de problemas causados

pelo atraso [1,2,3]. Esta concentrao de esforos, na pesquisa de solues de problemas

para sistemas com atraso no tempo, motivada pelo fato de que o fenmeno de atraso

encontrado em vrios problemas da engenharia [4], e pode ser responsvel pelocomprometimento do desempenho do controlador e, at mesmo, pode levar

instabilidade todo sistema controlado.

Sistemas com Atraso no Tempo (SAT) tambm so chamados de sistemas

com tempo morto, sistemas hereditrios ou equaes com argumento divergentes. Eles

pertencem a uma classe de equaes diferenciais funcionais (EDFs) as quais so de

dimenso infinita, ao invs de equaes diferenciais ordinrias (EDOs). Muitas

pesquisas esto sendo feitas sobre este tema [7]. O que pode motivar esse interesse e

desenvolvimento to contnuo? Quatro pontos podem dar uma possvel explicao:

i) SAT um problema aplicado: bem conhecido que, junto com as expectativas

crescentes de desempenhos dinmicos, engenheiros precisam dos modelos do

processo que se comportam mais prximo do real possvel. Muitos processos incluem

fenmenos com atraso no tempo na dinmica interna deles. Por exemplo,

Kolmanovskii e Myshkis [8] e Niculescu [9] do exemplos de atraso em biologia,

qumica, economia, mecnica, viscoelasticidade, fsica, fisiologia, dinmica de


15/126

Captulo 1 14

populao e tambm em cincias da engenharia. Alm disso, atuadores, sensores,

redes de campo, que normalmente so envolvidas em loops de realimentao,

introduzem tal atraso. Assim, eles so fortemente envolvidos em reas de

comunicao e tecnologia de informao. Ento, o interesse para EDF contnua

crescendo em todas as reas cientficas e, especialmente, em engenharia de controle.

ii) sistemas com atraso ainda no apresentam bom desempenho a muitos

controladores clssicos: pode-se pensar que a aproximao mais simples consiste no

mtodo substituir o atraso por funes de dimenses finitas. Infelizmente, ignorar

efeitos que so representados adequadamente por EDFs no uma alternativa geral: a

melhor situao (atrasos constantes e conhecidos), conduz ao mesmo grau de

complexidade no projeto de controle. Casos crticos (atrasos com tempo variado, por

exemplo), potencialmente desastroso em termos de estabilidade e oscilaes.

iii) Propriedades do atraso tambm trazem resultados surpreendentes j que vrios

estudos mostraram que a introduo voluntria de atraso tambm pode beneficiar o

controle [7]. Por exemplo, para EDOs: amortecimento e estabilizao [61].

iv) apesar de sua complexidade, SAT freqentemente aparecem como simples

modelos de dimenso infinita na rea mais complexa de equaes diferenciais

parciais (EDP): como mencionado em Kolmanovskii e Myshkis [8], "normalmente

no difcil mostrar que o aparecimento do atraso em uma equao diferencial

resulte de alguma simplificao essencial do modelo".

Em geral, os sistemas em malha fechada, com atrasos nas malhas, esto

sujeitos a mais problemas de estabilidade do que os sistemas sem atrasos. Um atraso h

modelado pela funo de transferncia she [11], assim a equao caracterstica do

sistema ter coeficientes que dependem do atraso, podendo levar o sistema

instabilidade. Conhecendo-se exatamente o valor do atraso e tendo-se uma planta

estvel, Smith [14] props uma tcnica, com preditor, capaz de suprir os efeitos

causados pelo atraso e garantir a estabilidade do sistema atrasado podendo-se assim

utilizar normalmente os controladores. Controladores baseados em preditores incluem

um preditor para compensar o atraso, ou, pelo menos, minimizar seu efeito. Para o


16/126

Captulo 1 15

projeto de um controlador baseado em preditor, o sistema com atraso pode ser

transformado em um sistema livre de atraso na malha de controle, contudo o efeito do

atraso estar presente no numerador da funo de transferncia em malha fechada,

podendo assim alterar o desempenho de sistema [15,20]. Contudo, na prtica, nem

sempre possvel ter-se uma planta estvel com valor conhecido do atraso no tempo.

O atraso est presente em vrios sistemas dinmicos devido a: i) utilizao,

na planta e/ou malha de controle, de dispositivos microprocessados, que necessitam de

um tempo para o processamento de informaes; ii) atraso no sistema de medio das

variveis de controle do sistema, e iii) prpria natureza da planta, que pode apresentar

atrasos embutidos em sua funo de transferncia. Vrios exemplos de sistemas

eletrnicos, biolgicos, mecnicos, qumicos, podem ser dados a respeito da presena de

atraso em um sistema, por exemplo, sistemas de controle industrial atravs de

dispositivos microprocessados, computao do sinal de controle, controle via rede,

fenmenos de transporte, transmisso pneumtica, canais de comunicao, processos

qumicos e trmicos, problemas de radiao etc [2]. Nestes sistemas, a sada no

comear a responder a uma entrada antes de transcorrer o tempo de atraso [21].Durante muito tempo as pesquisas, relacionadas ao controle de sistemas com

atraso, sempre geravam trabalhos que abordavam a estratgia de preditores, derivados

dos preditores de Smith, na tentativa de sanar os problemas de plantas instveis e

incertezas no atraso, exemplo disso que vrios trabalhos so encontrados na literatura

com o ttulo A new Smith Predictor.... Porm as malhas de controle propostas,

embora apresentem bons resultados, nem sempre so de fcil implementao, por

exemplo, Lee e Lee [2]; Mondi, Garcia e Lozano [23]. Este trabalho prope uma

soluo simples e factvel a este problema, atravs de um controlador robusto, que

utiliza a estratgia de Controle com Estrutura Varivel e Modos Deslizantes (CEV-MD).

O CEV/MD foi primeiramente proposto e elaborado nos anos 50, na Unio Sovitica

por Utkin e outros [5,6,7]. Basicamente, sistemas CEV-MD tm como principais

caractersticas: robustez na estabilidade e no desempenho diante de determinadas classes

de incertezas e no linearidades [10,12]. No entanto, tais caractersticas podem no

existir em sistemas com atraso no sinal de controle, caso tais atrasos no sejam


17/126

Captulo 1 16

considerados durante o projeto. Neste trabalho proposta uma soluo para o problema

de atraso no sinal de controle gerado por um computador digital, atravs de um

controlador com Modos Deslizantes.

Outro problema o projeto de controladores capazes de minimizar os efeitos

das incertezas. Muitos resultados podem ser encontrados na literatura, como a

abordagem pela equao de Riccati [16,17,22], por Linear Matrix Inequalities LMI

[24,25,26] e o mtodo min-max [27]. Essas abordagens no consideram uma

compensao para a entrada com atraso. Em [28] investigou-se o problema de

estabilizao robusta para sistemas incertos com entradas com atraso usando a teoria de

controle H . Em [29,30] aplica-se a teoria de modos deslizantes em sistemas incertos

com atraso no estado. Nos trabalhos apresentados em [31,32,33] aplica-se CEV/MD em

sistemas com atraso no controle considerando somente o caso em que h acesso pleno

aos estados.

Especificamente em CEV/MD, o problema do atraso mais evidente, uma

vez que este mtodo utiliza uma lei de controle com chaveamento de alta velocidade

para conduzir e manter a trajetria dos estados de uma planta em uma superfcieespecfica escolhida no espao de estados (chamada de superfcie de deslizamento ou

superfcie de chaveamento). Este chaveamento depende dos estados atuais e executado

pelo sinal de controle. Se o efeito do atraso no for minimizado, o chaveamento poder

no direcionar a trajetria do sistema para a superfcie de deslizamento planejada,

podendo com isto levar o sistema instabilidade. Para evitar que os efeitos do atraso

interfiram de maneira mais acintosa na estrutura de controle, este trabalho prope a no

utilizao da componente chaveada da estrutura de controle (CEV), que ser substituda

por um controle sem descontinuidade, tratando assim de um controlador apenas em

Modos Deslizantes (MD).

Neste trabalho aborda-se o projeto de MD em sistemas incertos com atraso

devido computao do sinal de controle. Alm da sistematizao do projeto, algumas

anlises so feitas considerando observadores preditivos que tambm utilizam EV/MD.

Do Captulo 2 ao 4 so apresentados anlises e estratgias de CEV-MD para

sistemas contnuo no tempo.


18/126

Captulo 1 17

No Captulo 2, so apresentados os aspectos mais relevantes de Sistemas

com Controle de Estrutura Varivel e Modos Deslizantes.

No Captulo 3, descreve-se uma introduo sobre preditores de Smith e

alguns conceitos relacionados a sistemas com atraso no sinal de controle. Tambm,

neste captulo, apresenta-se um exemplo numrico cujos resultados obtidos em

simulaes ilustram a importncia de se considerar os atrasos na sistemtica de projeto

CEV/MD.

No Captulo 4, apresentado um observador proposto por Spurgeon e

Davies [12,38], porm com uma abordagem que leva em considerao o atraso no

tempo [21,61] e utiliza a estratgia CEV/MD.

A partir do Captulo 5 so apresentadas as novas estratgias de Controle com

Modos Deslizantes (CMD), considerando processamento digital e atraso no controle,

alm de incertezas na planta.

No Captulo 5, apresentado um novo controlador discreto no tempo, que

leva em considerao o processamento digital, mas no leva em conta o atraso no sinal

de controle [19,52]. Simulaes e resultados de implementaes deste controladortambm so apresentados neste captulo.

No Captulo 6, apresentado tambm um novo controlador discreto, com

modos deslizantes, que leva em considerao, alm do processamento digital, tambm o

atraso no sinal de controle [30]. No Captulo 7 apresentado mais um controlador

discreto, cuja estratgia compensar os efeitos do atraso no sinal de controle e

incertezas da planta, atravs de sua estimao.

Finalmente, no Captulo 8 so apresentados os resultados finais de

simulaes e implementaes em laboratrio das trs novas estratgias de controle

discreto proposto neste trabalho. So mostrados os resultados de simulaes do Controle

Automtico da Gerao (CAG) e tambm resultados obtidos de simulaes e

implementaes realizadas sobre o sistema pndulo invertido.

No Captulo 9 so dadas as concluses finais e sugestes para prximos

trabalhos.


19/126

Captulo 2 18

CAPTULO 2

2. CONTROLE COM ESTRUTURA VARIVEL E MODOSDESLIZANTES

A caracterstica de um sistema de Controle com Estrutura Varivel e Modos

Deslizantes (CEV/MD) uma lei de controle chaveada em alta velocidade, que ocorre

quando o estado do sistema cruza certas superfcies descontnuas no espao de estados.

Essas superfcies so projetadas de forma que a dinmica dos estados obedea a um

comportamento desejado quando em deslizamento. A estrutura de controle usualmenteno-linear e resulta em um sistema com estrutura varivel que pode ser considerado

como uma combinao de subsistemas, cada um com uma estrutura fixa e que opera em

uma regio especfica do espao de estados [5].

Assim, a estratgia de CEV/MD utiliza uma lei de controle chaveada para

conduzir e manter a trajetria dos estados de uma planta em uma superfcie especfica

(chamada superfcie de deslizamento ou superfcie de chaveamento), ou sobre a

interseco de todas as superfcies escolhidas no espao de estados. Quando a trajetriados estados atinge esta superfcie e nela permanece, diz-se que o sistema est na

condio de deslizamento ou em modo deslizante e, nesta situao, o comportamento do

sistema sofre menor influncia por parte de alteraes paramtricas ou de distrbios

externos, o que d a caracterstica robusta ao sistema controlado.

A existncia de um modo deslizante requer a estabilidade da trajetria de

estado para a superfcie de deslizamento. Uma lei de controle chaveada deve ento ser


20/126

Captulo 2 19

projetada para assegurar que a trajetria de estados se dirija superfcie de deslizamento

(alcanabilidade) e nela permanea durante todo o tempo subseqente (atratividade) [6].

Assegurar a existncia de um modo deslizante na superfcie de deslizamento

um caminho necessrio no projeto de CEV/MD. Projetar a dinmica da superfcie

um caminho complementar do problema.

Assim, so duas as etapas principais no projeto:

(a)Projeto de uma superfcie de deslizamento, tal que a dinmica da planta, quando em

deslizamento, tenha uma trajetria desejada;

(b)Desenvolvimento de uma lei de controle tal que satisfaa as condies de existncia

e alcanabilidade ao modo deslizante.

2.1 Modelo do Sistema

Considera-se uma classe de sistemas no-linear no vetor de estado )(tx e

linear no vetor controle )(tu , da forma [34]

)(),(),(),,()( tuxtBxtfuxtftx +==

(2.1)

onde o vetor de estado nx , o vetor controle mu , nxtf ),( , e

mnx),( tB . Alm disso, cada elemento de ),( xtf e ),( xtB so assumidos contnuos,

com derivadas contnuas e limitadas com respeito t e x .

2.1.1 Superfcie de Deslizamento

A superfcie de deslizamento ou superfcie de chaveamento ( ) 0x = um

espao fechado (n-m) dimensional em nR , determinado pela interseco de m

superfcies de chaveamento de dimenso (n-m). As superfcies de chaveamento so


21/126

Captulo 2 20

projetadas tal que o sistema, restrito a superfcie ( ) 0x = , tenha comportamento

desejado.

Seja a superfcie de deslizamento definida por

{ }0))((|)( =txtx . (2.2)

Cada entrada (t)ui do controle chaveadomu(t) tem a forma

=

+

0com

1

0com

(x(t))(t, x)u

, m,i,

(x(t))

(t, x)u

(t, x)u

i

-

i

ii

i

(2.3)

onde { }0))((|)( =txtxi

a i-sima superfcie de deslizamento associada com a

superfcie de deslizamento (2.2) de dimenso (n-m).

As superfcies de deslizamento so projetadas tais que a resposta do sistema

restrito { }0))((|)( =txtx tenha o comportamento desejado.

Considera-se neste trabalho, a superfcie de deslizamento da forma

{ }0)())((|)( == txStxtx , (2.4)

em que S chamada matriz da superfcie de deslizamento, sendo nxmS .

Por simplicidade, a notao utilizada para designar a superfcie de

deslizamento ser

0)())(( == tSxtx . (2.5)

2.1.2 Modos Deslizantes

Depois de projetada a superfcie de deslizamento desejada, o prximo

aspecto importante de CEV/MD garantir a existncia de um modo deslizante. Um

modo deslizante existe se na vizinhana da superfcie de deslizamento, 0(x(t)) = , a

tangente ou vetor velocidade da trajetria de estado sempre est direcionado para

superfcie de deslizamento. Conseqentemente, se a trajetria do estado intercepta a


22/126

Captulo 2 21

superfcie de deslizamento, o valor da trajetria de estado ou ponto representativo se

mantm dentro de uma vizinhana de { }/ ( ) 0x x = . Se o modo deslizante existe em

( ) 0x = , ento ( )x chamado superfcie de deslizamento. Como visto na Figura 2.1,

o modo deslizante no pode existir na i-sima superfcie deslizante ( ) 0i x =

separadamente, mas somente na interseco de todas superfcies.

Figura 2.1 A superfcie deslizante a interseco das i-simas superfcies existentes.

Um modo deslizante ideal existe somente quando a trajetria de estado )(tx

da planta controlada satisfaz 0))(( =tx para todo 0tt , para algum 0t . Isto requer

chaveamentos infinitamente rpidos. Em sistemas reais, todas as funes com controle

chaveados tem imperfeies tais como retardamento, histereses, etc., que foram os

deslizamentos ocorrerem em uma freqncia finita. A trajetria de estado ento oscila

em uma certa vizinhana da superfcie de deslizamento. Esta oscilao chamada

trepidao. Portanto, o modo deslizante real no ocorre sobre as superfciesdescontnuas, mas dentro de uma camada limite [5,6].

2.1.3 Condies de Existncia de um Modo Deslizante

A existncia de um modo deslizante requer estabilidade da trajetria para a

superfcie de deslizamento 0(x(t)) = , ou no mnimo para uma vizinhana desta, ou

(x0, t0)

(x1, t1)

1= 0

2= 0= 0


23/126

Captulo 2 22

seja, os estados devem aproximar-se da superfcie assintoticamente. A maior vizinhana

chamada a regio de atrao. Geometricamente, o vetor tangente ou derivada no tempo

do vetor de estado, dever apontar para a superfcie de deslizamento, na regio de

atrao.

O problema de existncia assemelha-se a um problema de estabilidade

generalizada, ento o segundo mtodo de Lyapunov fornece um conjunto natural para a

anlise. Assim, a estabilidade para a superfcie de deslizamento requer a seleo de uma

funo de Lyapunov generalizada ),( xtV que definida positiva e tem uma derivada

negativa em relao ao tempo, na regio de atrao [34].

Definio 1: Um domnio D no espao fechado 0 = um domnio de modo

deslizante se para cada 0> , existe 0 > , tal que qualquer movimento iniciado dentro

de uma vizinhana de dimenso n de D pode deixar a vizinhana de dimenso n

de D somente atravs da vizinhana de dimenso n da fronteira de D (Figura 2.2).

x1

x2

D

Pontolimite de D

Vizinhanado ponto

limite de D

=0x1

x2

D

Pontolimite de D

Vizinhanado ponto

limite de D

=0

Figura 2.2 - Ilustrao bidimensional do domnio do modo deslizante.

Teorema 2.1: Para o domnio D, de dimenso )( mn ser o domnio de um modo

deslizante, suficiente que, para D , de dimenso n , exista uma funo ),,( xtV


24/126

Captulo 2 23

diferencivel com respeito a todos os seus argumentos, satisfazendo as seguintes

condies [5]:

(a) ),,( xtV definida positiva em relao , isto , ),,( xtV > 0 com 0 e t, x

arbitrrios, 0)0,,( =xtV ; e na esfera = para todo

x e algum t, tem-se:

i) p

h)x,V(t,inf ==

, 0hp > (2.6)

ii) 0H,H)x,V(t,sup p

>==

(2.7)

ondepp Hh e dependem de 0)se0( hp .

(b)A derivada em relao ao tempo de ),,( xtV para o sistema (2.1) tem um supremo

negativo para todo x , exceto para x na superfcie de deslizamento onde o

controle na entrada no est definido, e por isso a derivada de ),,( xtV no existe.

Nota 2.1: Um modo deslizante globalmente alcanado se o domnio de atrao todo

o espao de estados. De outra forma o domnio de atrao um subconjunto do espao

de estado.

Considere o sistema de equao (2.1), com a notao

u) f(t, x,(t)x =

(2.8)

e a seguinte estratgia geral de controle

=

+

0se

0se

(x)(t, x)u

(x)(t, x)u

u . (2.9)

De acordo com [35], as trajetrias de estado do sistema (2.8), com controle

(2.9), na condio de deslizamento, 0(x(t))= , so as solues da equao

10,f)f-(1f(t)x 0- =+= +

onde )ux,f(t,f),ux,f(t,f -- == ++ .


25/126

Captulo 2 24

Resolvendo a equao 0f,grad 0 = para tem-se

)f-(f,grad

f,grad

-

-

+=

.

Sendo:

(a) ( ) 0f-f,grad - >+ , e

(b) 0f,grad + e 0f,grad , em que a notao, ba, , denota o

produto interno entre a e b, tambm escrito como a.b, e grad o gradiente de (x) .

Assim, pode-se concluir que, a soluo de (2.8) com controle (2.9) existe e

unicamente definida em 0(x(t)) = [35]. Nota-se tambm que esta tcnica pode ser

usada para determinar o comportamento da planta no modo deslizante [34, 35].

O mtodo de Filippov [35] apresentado resumidamente acima uma tcnica

que torna possvel a determinao do movimento de um sistema num modo deslizante.

0f representa a velocidade mdia, x , da trajetria de estado restrita superfcie de

deslizamento. Uma outra tcnica mais simples o mtodo do controle equivalente

descrito a seguir.

2.2 O Mtodo do Controle Equivalente

O mtodo do controle equivalente [5, 34] utilizado para determinar o

movimento do sistema restrito superfcie de deslizamento 0(x(t)) = . Suponha queem 0t , a trajetria de estado da planta intercepta a superfcie de deslizamento e um

modo deslizante existe para 0tt . A existncia de um modo deslizante ideal implica

que ( ) 0)( =tx e 0(x(t)) = para todo 0tt .

Diferenciando ,0)( =x em relao t, tem-se


26/126

Captulo 2 25

0xx

=

.

Substituindox por (2.1), tem-se

[ ] 0B(t, x) uf(t, x)x

xx

eq =+

=

(2.10)

onde ueq chamado de controle equivalente e soluo da equao (2.10).

Para calcular ueq, assume-se que o produto matricial B(t, x)x

no

singular para todo te x . Ento,

f(t, x)x

B(t, x)

x

-u

-

eq

=

1

. (2.11)

Aps a substituio deste ueq em (2.1), a equao resultante descreve o

comportamento do sistema restrito superfcie de deslizamento, desde que a condio

inicialx(t0) satisfaz ( ) 0)( 0 =tx .

Assim, dado ( ) 0)( 0 =tx , a dinmica do sistema sobre a superfcie de

deslizamento para 0tt , dada por

f(t, x)x

B(t, x)x

x)I - B(t,x

-

=

1

. (2.12)

Supondo que a superfcie de deslizamento linear e dada por

,tSxtx 0)())(( == ento Sx

=

, e (2.12) reduz-se a

[ ][ ]f(t, x)SS B(t, x)x)I - B(t,x -1= . (2.13)

Observe que (2.12), juntamente com a restrio 0(x)= determina o

movimento do sistema sobre a superfcie de deslizamento. Ento, o movimento do


27/126

Captulo 2 26

sistema (2.1), restrito superfcie de deslizamento, ser governado por um conjunto de

equaes de ordem reduzida.

Algumas aplicaes de controle requerem uma superfcie de deslizamento

variando no tempo: 0x),( =t . Neste caso, ( ) xx

t

t, x

+

= e o controle

equivalente toma a forma

+

=

t

f(t, x)x

B(t, x)x

-u

-

eq

1

. (2.14)

2.3 Reduo de Ordem

Por simplicidade, ser estudado o caso em que a superfcie de chaveamento

linear, 0)( == xSx . Como mencionado anteriormente, em um modo deslizante, o

sistema equivalente deve satisfazer no somente a dinmica de estado de dimenso n,

mas tambm as m equaes algbricas, 0)( =x . Estas restries reduzem a dinmica

do sistema de um modelo de n-simaordem para um modelo de (n-m)-simaordem.

Suponha que o sistema no-linear (2.1) restrito superfcie de

deslizamento (2.4), isto , ,Sx(t) (x(t)) 0== com o sistema dinmico dado por

(2.13), ento, possvel resolver m variveis de estado, em termos das )( mn

variveis de estado, se o posto de [ ] mS = .

Se o posto [ ] mS = , implica que B(t, x)x

no singular para todo te

x .

Para obter a soluo, resolve-se para as m variveis de estado

( )x,,x n1m-n + em termos das )( mn variveis de estado que permanecem.

Substituindo estas relaes nas )( mn equaes de (2.13) e nas equaes

correspondendo a mvariveis de estado, o sistema resultante de ordem )( mn descreve

o sistema equivalente com condio inicial satisfazendo 0(x)= .


28/126

Captulo 2 27

Exemplo 2.1: Para esclarecer o procedimento acima, considere o sistema

)()(),( tuBtxxtAx +=

, sendo que

=

=

10

00

01

00

00

;

),(),(),(),(),(

10000

),(),(),(),(),(

00100

00010

),(

2524232221

1514131211 B

xtaxtaxtaxtaxta

xtaxtaxtataxtaxtA

Assume-se que a terceira e quinta linhas de A(t,x) tm elementos no-

lineares variantes no tempo e so limitados. O mtodo de controle equivalente leva ao

seguinte dinmica, conforme (2.13).

[ ][ ] (t)A(t, x) xSS BI - Bx -1=

dado ( ) 0)(0

=tx para qualquer t0.

Se os parmetros da superfcie de chaveamento linear so dados por:

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

S S S S S S

S S S S S

=

ento

13 15

23 25

S SSB

S S

=

Para simplificar o exemplo, escolhe-se 123152513 = SSSS .

Especificamente, escolhe-se 1,2 25231513 ==== SSSS . Assim,

( )

25 15

1 23 13

13 25 15 23

1 1

1 2

S S

S SSB

S S S S

= =


29/126

Captulo 2 28

O que leva seguinte equao,

)(

20220

10000

00

00100

00010

)(

241422122111

142412221121 tx

SSSSSS

SSSSSStx

=

sujeito a 0)( =x .

De 0)( =x resulta que

13 11 12 14

25 21 22 24

4

2 1

1 1

xx S S S

xx S S S

x

=

Observa-se da equao, que a principal vantagem do controle com estrutura

varivel a eliminao da influncia dos parmetros da planta quando o sistema est

sobre a superfcie de deslizamento.

Obs.: Isso vlido desde que os parmetros estejam casados, ou seja, possam ser

compensados pelas entradas do sistema.

Resolvendo a equao acima parax3ex5.

13 11 12 14

25 21 22 24

4

1 1

1 2

xx S S S

xx S S S

x

=

O sistema linear invariante no tempo equivalente de ordem reduzida dadopor:

=

3

2

1

241422122111

142412221121

3

2

1

~

~

~

222

010

~

~

~

x

x

x

SSSSSS

SSSSSS

x

x

x

sendo que 432211~,~,~ xxxxxx === .


30/126

Captulo 2 29

Um exemplo de como o projeto de controle pode ser realizado o seguinte:

suponha que uma limitao de projeto exige que o sistema equivalente tenha os

seguintes plos {-1, -2, -3}, resultando na equao caractersitica desejada.

3 2( ) 6 11 6A = + + +

A equao caracterstica do sistema equivalente

3 212 22 24 14 12 24 14 22 11 21 11 24 14 21( ) ( 2 ) ( ) ( )A S S S S S S S S S S S S S S = + + + + +

Os coeficientes de potncias semelhantes de produzem o conjunto deequaes

11

12

1424 22

2124 14

22

24

0 1 1 0 1 2 6

1 1 0 0 11

0 0 0 0 6

S

S

SS S

SS S

S

S

=

Uma soluo que realiza o objetivo do projeto de controle :

1 1.833 2 6 1

1 1.833 1 0 1S

=

Concluindo, o sistema equivalente de ordem reduzida com os autovalores

desejados xAx ~~~ =

, sendo que,

=

6833.11

600010~

A

A facilidade na resoluo deste exemplo se deve ao fato de que a dinmica

do sistema original foi dado na forma cannica de Luenberger. Os sistemas que no

esto nesta forma freqentemente exigem uma transformao para uma forma mais

geral denominada forma regular.


31/126

Captulo 2 30

2.4 Forma Regular

Suponha que a planta dinmica (2.1) tenha a seguinte forma regular

+=

=

(t, x)uB(t, x)fx

(t, x)fx

222

11

(2.15)

onde mn-m xx 21 e . Assume-se que ),(2 xtB seja uma funo matricial, mm ,

no singular.

Assume-se uma superfcie de deslizamento linear da forma

[ ] 02

121

x

xSS (x) =

= , (2.16)

com )(1mnmS e mmS 2 no singular.

Ento, no modo deslizante

111

22 xS- Sx-= (2.17)

e

( )111

21111 ,, xS- Sxtf(t, x)fx-==

(2.18)

Observe que se f1 tem uma estrutura linear do tipo

xAxA(t, x)fx 21211111 +==

ento a dinmica de ordem reduzida fica,

[ ] 111212111 xSS- AAx -=

(2.19)

que tem a estrutura de malha fechada FAA 1211 +

comS- SF

-

1

1

2=. Se o par

( )1211 ,AA controlvel, ento possvel calcular Ftal que FAA 1211 + proporcione a

caracterstica dinmica desejada. Tendo encontrado F, pode-se calcular [ ] SS 21 tal

que 11

2 S- SF-= . Assim, completa-se o projeto da superfcie de deslizamento.

Para o caso de uma superfcie de deslizamento no-linear da forma

0)()( 2211 =+= xSxx (2.20)


32/126

Captulo 2 31

que linear em2

x e no-linear em1

x , a dinmica de ordem reduzida do sistema (2.15)

num modo deslizante ter a forma

( )( )111

21111 )( x, - St, xft, xfx -==

. (2.21)

Nota 2.2: Para transformar o sistema dinmico (2.1) para a forma regular (2.15),

considera-se o caso de uma superfcie de deslizamento linear (2.16) e uma

transformao invariante no tempo, linear e no singular xTz= . Derivando z em

relao a t, vem

ut, xBTt, xfTxTz )()( +==

. (2.22)

Se

= BBT

20

(2.23)

ento, na nova coordenada, a dinmica da planta (2.1) :

+==

uztBztfzztfz

),(),(),(

222

11

. (2.24)

Logo, num modo deslizante a dinmica de ordem reduzida , por (2.18),

dada por

)( 111

2111 zSS, -t, zfz-

=

(2.25)

onde [ ] 12121 -TSSSS = .

Nota 2.3: Para transformar o sistema dinmico (2.1) para a forma regular (2.15),

considera-se o caso de uma superfcie de deslizamento linear (2.16) e no existindo

uma transformao linear tal que (2.23) seja satisfeita, ento primeiro deve-se recorrer a

uma transformao no-linear da forma

== t, xT

t, xTt, xTz

)(

)()(

2

1 (2.26)


33/126

Captulo 2 32

onde

(a) nn:,T )( uma funo diferencivel cuja inversa tambm

diferencivel,

(b) n-mn T :),(1 e

mn T :),(2 .

Diferenciando z em (2.26) em relao a t, tem-se

)()( t, xt

Txt, x

x

Tz

+

=

. (2.27)

Substituindo (2.1) em (2.27) vem

t

Ttut, xB

x

Tt, xf

x

Tz

+

+

= )()()(

. (2.28)

Se a transformao tem a propriedade

=

=

(t, x)Bt, xB

x

T

x

T

t, xBxT

22

1

0

)()( (2.29)

ento nas novas coordenadas, as equaes descrevendo o sistema (2.1) so:

( ) (t, z)ft

T(t, z)Tt,f

x

Tz

111

1~ =

+

=

( ) ( ) ( ) (t, z) uB(t, z)fu(t, z)Tt,BxT

(t, z)Tt,t

T

(t, z)Tt,fx

T

z

22

222

2

~~~

+=

+

+

=

. (2.30)

2.5 Projeto do Controlador

No projeto de controle, o objetivo a obteno de uma lei de controle tal

que satisfaa as condies de existncia e alcanabilidade ao modo deslizante. A

suposio que a superfcie de deslizamento j tenha sido projetada.


34/126

Captulo 2 33

Em geral, o controle um vetor m dimensional que tem a estrutura da forma

=

+

0)(para)(

0)(para)(

xt, xu

xt, xuu

i

-

i

ii

i (2.31)

onde [ ] 0(x),(x),)( m1 ==T

x

.

Uma estrutura muito utilizada para o controle (2.31)

inieqi uuu += (2.32)

onde iequ a i-sima componente do controle equivalente equ (que contnuo) e onde

inu a parte descontnua ou parte chaveada do controle nu .

Para o sistema (2.1), com um controlador tendo a estrutura (2.32), tem-se

( )[ ]

[ ]

n

neq

neq

B(t, x) ux

B(t, x) ux

B(t, x) uf(t, x)

x

uuB(t, x)f(t, x)x

x

x

(x)

=

++

=

++

=

=

Sem perda de generalidade, assume-se que It, xBx

=

)( , sendo I a matriz

identidade. Entonu(x)

=

. Esta condio permite uma fcil verificao das

condies suficientes para a existncia e alcanabilidade de um modo deslizante, isto ,

condies que satisfazem a condio de Lyapunov 0(x)quando0 iii


35/126

Captulo 2 34

Observe que este controle satisfar as condies suficientes para a existncia

de um modo deslizante, pois

( ) 0se0sgn (x)(x)(x) iiiiii


36/126

Captulo 2 35

ondeL

mm

uma matriz constante definida positiva. A condio para a existnciade um modo deslizante facilmente vista

0.(x)se0,(x)L(x)-(x))( T


37/126

Captulo 2 36

Definio 2.1: As parcelas de incertezas f e B que encontram-se na imagem de

( )xtB , para todos valores de texso chamadas incertezas casadas [10].

Considerando que todas as incertezas so do tipo casadas, possvel represent-

las em um nico vetor ( ) ( ) ( )( )tutrtxte ,,, . Ento o sistema (2.38) pode ser representado

por

=

++=

00 x)x(t

u)(t, x, r,B(t, x) eB(t, x)uf(t, x)x. (2.39)

Considere a seguinte estrutura de controle para o sistema (2.39)

neq uuu += (2.40)

ondeeq

u o controle equivalente assumindo todas incertezas e(t, x, r, u) nulas en

u

parte no-linear do controle projetado sem desconsiderar as incertezas. Considerando

0)x,t( = , tem-se

+

=

fx

t

Bx

-ueq

1

(2.41)

assumindo que

B

x

no singular e que ( ) 0,,, =urxte . Agora, necessrio

considerar as incertezas na planta e desenvolver uma expresso paranu . Para isto,

assume-se que

x)(t,u)r,x,e(t, (2.42)

onde )x,t( uma funo escalar com valores no negativos. Tambm, introduz-se a

funo com valores escalares

x)(t,x)(t, += (2.43)

onde 0> .


38/126

Captulo 2 37

Antes de especificar a estrutura do controle, escolhe-se a funo de

Lyapunov generalizada,

)()(21

)( t,xt, xt, xV T= . (2.44)

Para assegurar a existncia de um modo deslizante e atratividade para a

superfcie, suficiente escolher um controle com estrutura varivel tal que

0)(


39/126

Captulo 2 38

De fato, diferenciando a equao (2.44) em relao ao tempo, tem-se

)( BeBufx

t

V TT ++

+

=

. (2.49)

Substituindo (2.47) em (2.49), vem

-x

f -

x

f -

x

t

V TTTT

+

=

0

x

-

x

x

T

TTT

T

como a chamada Camada Limite de espessura 2 . Considere a lei de controle:


40/126

Captulo 2 39

2

( , ) ( , ) se

( , ) ( , )

, se

T

T

eq T

T

eq

B t x t xx

u ,u

B t x t xx

u p

=

+ K suficiente

para estabilizar o sistema em malha fechada. Contudo, se um atraso na forma e-sh, sendo

h o valor do atraso, for introduzido no caminho direto da sistema G, a estabilidade,usando a escolha do Kanterior, no garante a estabilidade, pois a nova FTMF

sh

sh

eKs

eK

SR

SY

++=

1)()(

,

fazendo com que a soluo de K para estabilizar este sistema no seja bvia. A

exponencial no numerador no preocupante, pois pode ser considerada como um

distrbio ou algo que compromete apenas o desempenho do sistema. Contudo, a


45/126

Captulo 3 44

componente exponencial presente no denominador o que dificulta o calculo do ganho

K. Algumas tcnicas de aproximao so utilizadas para o termo e-sh: expanso em srie

de Taylor, aproximao Pade, transformao equivalente digital no domnio z [59], entre

outras. Porm, essas aproximaes geram resultados divergentes e no precisos.

Assim, Smith [14] apresentou um algoritmo com preditor cujo objetivo era

eliminar os efeitos do atraso na equao caracterstica do sistema em malha fechada

garantindo assim uma melhor realizao da malha de controle.

Para ilustrar o desenvolvimento de Smith utiliza-se o diagrama de bloco,

considerando o atraso na sada da malha

Figura 3.1 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso.

onde, no domnio da freqncia, R representa a entrada, C o controlador, L os

distrbios, GPa dinmica da planta, TPo atraso e YPa sada do sistema. Para um sistema

simples de primeira ordem1+

=s

KG

P

PP

com atraso puro p

hs

P eT = , pode-se obter

dois sistemas subdivididos entre um sistema livre de atraso e um puramente com atraso,

desde que a varivel fictcia B pudesse ser acessada como na Figura 3.2.

Figura 3.2 Diagrama de bloco descrevendo um tpico sistema com atraso.

Nesta condio o atraso TP movido para fora da malha de controle e o sinal Y P

ser o mesmo sinal de B, porm com o atraso. Portanto a estabilidade do sistema

garantida, pois a equao caracterstica deste sistema no depende do atraso. Contudo

C GP TPB

L

R +

-

+ + YP

C GP TPB

L

R +

-

+ + YP


46/126

Captulo 3 45

esta realizao no possvel, pois este atraso distribudo e no se pode acessar a

varivel B antes do efeito do atraso.

Smith [14] props uma soluo para este problema tendo-se como objetivo

eliminar a influncia do atraso na equao caracterstica do sistema em malha fechada.

Um modelo do preditor de Smith descrito em diagrama de blocos do sistema abaixo

[59]

Figura 3.3 Estratgia de controle com preditor proposto por Smith.

A parte pontilhada GSP o preditor,1+

=s

KmG

mm

o modelo da planta e

mhsm eT

= o modelo do atraso.

A FTMF, considerando L=0, do sistema apresentado na Figura 3.3

PPmmm

PPP

TCGTCGGC

TCG

sR

sY

++=

1)(

)(

Se o modelo da planta e do atraso descrevem fielmente a planta real, ou seja,

Pm GG = e Pm TT = , a FTMF se reduz a

m

PPP

GC

TCG

sR

sY

+=

1)(

)(

mostrando que os efeitos do atraso no tempo so removidos do denominador da funo

de transferncia e conseqentemente facilitando a metodologia de projeto para o

controlador C. Contudo, sabe-se que na realizao desse procedimento praticamente

C GP TPB

L

R +

-

+ + YP

-

Tm

Gm

+

-

+

GSP


47/126

Captulo 3 46

impossvel garantir quePm

GG = ePm

TT = , sendo assim, esta metodologia proposta

por Smith no a mais vivel a ser utilizada na implementao de controladores para

sistemas com atraso no tempo, a no ser que junto ao preditor proposto por Smith exista

um bom sistema adaptativo para compensar as diferenas entre a planta real e o modelo.

Por este motivo, neste trabalho utilizado um novo conceito de anlise e projeto

de controle, utilizando um Controlador em Modos Deslizantes, onde o atraso

compensado na escolha adequada da superfcie deslizante.

Pode-se considerar que existem dois tipos de atrasos em processos: atrasos de

transferncia e atrasos de transporte. Em termos prticos, o atraso de transferncia

conseqncia dos efeitos combinados devido propriedade que tm partes de um

processo em armazenar energia ou material e propriedade de partes que tm em resistir

transferncia de energia ou material. O atraso de transporte o intervalo de tempo

relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e

durante o qual a perturbao ainda no chegou ao ponto observado [6].

Estes atrasos de transporte, tambm chamados tempo morto, atraso puro, dead

time, time delay, ocorrem quando h um fenmeno de transporte de material ou energiaou h, por exemplo, um clculo matemtico no dispositivo de controle que ocasiona um

atraso na resposta.

No caso de um sistema com uma entrada e uma sada, se este contiver atraso de

transporte puro, a equao que o descreve dada por

)()( = tuty (3.1)

sendo )(ty sua sada, )(tu o sinal de entrada e o tempo de atraso.

Em termos de sistemas descritos no espao de estados, pode-se ter atrasos nos

estados e/ou no controle. Sua descrio , genericamente, dada por [27, 28]

= =

+=p

i

q

j

jjiii rtuBrtxAtx1 1

)()()(

(3.2)

ondei

rej

r so atrasos fixos, para pi1 , qj1 ,ii

mn BeAux ,, de

dimenses apropriadas.


48/126

Captulo 3 47

Sistemas com uma entrada e atraso no controle, na notao (3.2), ficam

)()()( htuBtxAtx +=

. (3.3)

A presena de atrasos nos sistemas tem como conseqncia maior dificuldade no

projeto dos controladores sob o ponto de vista de se obter robustez e estabilidade.

A seguir sero apresentadas algumas consideraes que envolvem o problema de

CEV/MD aplicado a sistemas incertos com atraso no controle.

3.1 Motivao e Apresentao do Problema sob o Enfoque CEV/MD

Considere um sistema com incertezas e com acesso pleno aos estados,

mn ux

txtftButAxtx

++=

,

))(,()()()(

(3.4)

onde ))(,( txtf representa as no linearidades e incertezas do sistema.

Apresenta-se, atravs de um exemplo numrico, um projeto CEV/MD que

torna o sistema (3.4) robusto em relao s incertezas. Mostra-se tambm, queconsiderando o mesmo sistema (3.4) incluindo um atraso no controle, o mesmo no

apresenta robustez.

Em [5], proposta a lei de controle EV/MD da forma:

( )

+

+=+=||)(||

)(||)))(,(||max||,(||)()(

tMx

tNxtxtfxtxLxuutu NLeq (3.5)

sendoL,Me Nmatrizes constantes; )(x o ganho da parte no-linear que depende de

||))(,(|| txtf , todos definidos em [5]. um escalar constante para evitar a trepidao

[36].

No trabalho apresentado em [5], usando a lei de controle (3.5),

demonstrada a robustez do sistema (3.4) em relao s incertezas e no linearidades

casadas [4] e so feitas anlises a respeito da influncia das incertezas no casadas na

dinmica em modo deslizante.


49/126

Captulo 3 48

A seguir, ser dado um exemplo numrico, em que procura-se mostrar que o

sistema (3.4), com a lei de controle (3.5), robusto em relao s incertezas, mas que

no robusto quando h atraso no controle.

Exemplo 3.1:Seja o sistema linear dado pela planta nominal

13 ,

)()()(

+=

ux

tButAxtx

onde

=

=

5

0

0

;

500

49.9319.0365.0

432.598.32277.0

BA .

Projetando um controlador EV/MD, com lei de controle (3.5), conforme [5],

e realizando as simulaes para o sistema nominal, obtm-se as respostas no tempo

mostradas na Figura 3.4. Nesta figura, foram superpostas as respostas do sistema

nominal e no-nominal, com o mesmo controlador EV/MD (3.5). Os valores da matriz

1A fora das condies nominais consideradas no projeto do controle original, so

=

000.500

49.9319.1365.0

432.5000.50277.4

1A .

Os parmetros do projeto CEV/MD so:

1.0=

[ ]09.1796.758.0 =L

[ ]1.011.0 =N

[ ]1.011.0 =M


50/126

Captulo 3 49

Figura 3.4 - Controle EV/MD para o sistema sem atraso - robustez.

Pode-se notar que o sistema manteve-se estvel tanto para o caso em que

considera-se os parmetros nominais de projeto, como para a situao em que o sistema

apresenta parmetros com valores numricos fora de suas condies nominais.

Numa terceira simulao, manteve-se o mesmo controle com EV/MD (3.5),

as mesmas matrizes nominais A e B , e considera-se um atraso no controle, tal que o

sistema tem a forma

13 ,

)()()(

+=

ux

tButAxtx

com sendo o atraso no controle considerado constante e igual a 0.02 segundos.

Os resultados grficos so mostrados na Figura 3.5. Pode-se notar que este

pequeno atraso levou o sistema instabilidade e que portanto, o controlador com

EV/MD (3.5) no manteve a estabilidade para esta situao.


51/126

Captulo 3 50

Figura 3.5 - Controle EV/MD para o sistema com atraso de 0.02 segundos.

Este exemplo deixa evidente que a no considerao de atrasos no projeto

CEV/MD poder tornar o sistema instvel, mesmo que estes atrasos sejam

numericamente pequenos.

3.2 Comentrios

Na maioria dos sistemas reais existem atrasos. Sob o ponto de vista de

controle, a presena destes atrasos pode influenciar negativamente no que diz respeito

ao desempenho do sistema, caso no sejam levados em considerao no projeto de

controle.

No projeto de controle por modos deslizantes, so feitas vrias

consideraes para determinar o controlador com Estrutura Varivel tal que minimize a

influncia das incertezas e perturbaes. Com estas incertezas e perturbaes limitadas,

a lei de controle normalmente consegue conduzir o sistema estabilidade, desde que

este no apresente atraso no controle.


52/126

Captulo 3 51

No entanto, como visto no Exemplo 3.1, um pequeno atraso no controle

poder implicar em instabilidade do sistema, quando este atraso no for levado em

considerao no projeto CEV/MD.

No Captulo 4, a seguir, aborda-se a questo do atraso no projeto de um

observador com CEV/MD, proposto em [21,60]. Neste trabalho, este observador ser

utilizado para estimar os estados que sero utilizados na malha de controle discreto do

sistema CAG, verificando assim sua eficincia mesmo na presena de atraso no sinal de

controle.


53/126

Captulo 4 52

CAPTULO 4

4. OBSERVADORES DE ESTADO DE SISTEMAS INCERTOSCOM ATRASO NO CONTROLE COM EV/MD

O acesso pleno aos estados de um sistema para aplicaes de estratgias de

controle nem sempre possvel, por isso o estudo de observadores que estimem com

eficincia os valores dos estados sempre foi de grande importncia. Edwards e Spurgeon

[38] propuseram um observador muito eficiente utilizando a estratgia EV/MD. Baseado

neste observador, Garcia [21,60] props uma nova soluo para o observador com MD,porm, que leva em considerao o atraso proveniente da computao do sinal de

controle.

Neste captulo, portanto, ser apresentado um observador para uma planta

que apresenta atraso no controle e acesso somente sada [21,60]. Assim, para compor a

superfcie de deslizamento e a lei CEV/MD, utilizou-se um observador, tambm com

EV/MD, como apresentado esquematicamente na Figura 4.1.

Figura 4.1 - Esquema para o projeto.


54/126

Captulo 4 53

Seja o sistema incerto com atraso na entrada

0,)(,)()(,)0(

)()(

))(),(,()()()(

00 =+==

=

++=

hutuuxx

txCty

htutxtfhtuBtxAtx

t

(4.1)

onde nx , mu , py e


55/126

Captulo 4 54

Lema 4.2:Seja 0A uma matriz estvel decomposta como

=2221

1211

0AA

AAA

onde )()(11pnpnA e ppA 22 . Suponha que P seja a matriz de Lyapunov para 0A

que tem a forma diagonal em blocos dada por

=2

1

0

0

P

PP

onde )()(1pnpnP e ppP 2 . Ento as sub-matrizes 11A e 22A possuem

autovalores estveis [38].

Proposio 4.1:Seja o sistema ),,( 0 CBA para o qual existe o par ),( FP relacionado

ao observador proposto em [43]. Ento existe uma transformao no singular Ttal que

a tripla com respeito as novas coordenadas ),,( 0 CBA possui as seguintes propriedades:

( i )

=2221

1211

0AA

AAA

onde pppnpn AA 22)()(

11 , e ambas so estveis.

( ii )

=T

FPB

*22

0onde ppP *22 com 0)(

*22

*22 >=

TPP

( iii ) [ ]pIC 0=

( iv ) a matriz de Lyapunov 11 )( = TPTP T tem a forma diagonal em

blocos dada por

2

1

0

0

P

P


56/126

Captulo 4 55

onde as matrizes )()(1

pnpnP e ppP

2

[38].

Suponha que a matriz B seja escrita como

=2

1

B

BB

onde mpmpn BB 2)(

1 , .

Considere o problema de resolver a equao matricial

02121

=+ BTB (4.2)

para ppnT )(12 .

Lema 4.3: Se existe um observador tal que o erro decai assintoticamente para sistemas

do tipo (4.1), ento existe uma transformao ppnT )(12 tal que 02121 =+ BTB [38].

Lema 4.4:Uma matriz ppnT )(12 satisfazendo 02121 =+ BTB existe se, e somente

se, mBrank =)( 2 [38].

Proposio 4.3:Existe um observador robusto, tal que o erro decai assintoticamente se,

e somente se, ),( 11 mAA detectvel [38].

Corolrio 4.1:Quando pm= , um observador robusto existe se, e somente se, 11A

estvel [38].

4.1 Projeto do Observador

Considere o sistema dado em (4.1) e suponha que exista uma mudana de

coordenadas com respeito a uma matriz no singular 1T tal que o sistema possa ser

escrito como


57/126

Captulo 4 56

))(),(,()()()()(

)()()(

2222121

121111

htutxtBhtuBtyAtxAty

tyAtxAtx

+++=

+=

(4.3)

onde ppn yx ,)(1 , a matriz 11A tem autovalores estveis e

=

2221

1211111

AA

AAATT ,

=2

1

0

BBT

com .,,,, 222)(

21)(

12)()(

11pppppnpppnpnpn BAAAA

Considere agora o observador da forma

+

++=

+=

vPFeAA

htuBtyAtxAty

eAtyAtxAtx

y

s

y

122222

222121

12121111

)(

)()()()(

)()()(

(4.4)

onde ppT PBPF = 222 , uma matriz definida positiva e simtrica , 11A

estvel, sA22 uma matriz qualquer estvel. Seja os erros dos estados estimados

definidos por )()()(111

txtxte = e )()()( tytytey

= . O vetor v definido por

=

=

0,0

0,1

y

y

y

y

e

ee

e

v

(4.5)

com 01> .

Atravs de alguns clculos, chega-se a:

++==

))(),(,()()()()()(

21

222121

1111

htutxtBvPFteAteAteteAte

y

s

y

(4.6)

Teorema 4.1:Existe uma famlia de matrizes definidas positivas e simtricas 2P , tais

que a dinmica do erro dada pela equao (4.6) assintoticamente estvel.

Prova:

A prova similar a apresentada em [38], com a diferena de que o

observador considerado aqui possui um atraso h na entrada.


58/126

Captulo 4 57

Sejam )()(1

pnpnQ e ppQ

2

, matrizes de projeto definidas

positivas e simtricas e define-se ppP 2 como a nica soluo definida positiva e

simtrica da equao de Lyapunov

.)( 2222222 QPAAPTss =+

Define-se

12121

22213 QAPQPAQT +=

e nota-se que TQQ 33 = e 3Q definida positiva.

Seja )()(1pnpnP a nica soluo definida positiva e simtrica da

equao de Lyapunov

3111111 QPAAPT =+ .

Considera-se

y

T

y

T

y ePeePeeeV 21111 ),( += (4.7)

como uma candidata a funo de Lyapunov. Derivando (4.7), vem

222

121222111311

22

),(

BPevFeeQe

eAPeePAeeQeeeV

T

y

T

yy

T

y

T

yy

TTT

y

+

++=

(4.8)

Note que

1212

1

22211121222112

12121

2212121

2 )()(

eAPQPAeeAPeePAeeQe

eAPQeQeAPQe

TTT

yy

TT

y

T

y

y

T

y

+=

(4.9)

Substituindo (4.9) em (4.8) e escrevendo ye~ no lugar de )( 1212

12 eAPQey ,

tem-se

222

12121

222111311

22~~)(),(

BPevFeeQe

eAPQPAeeQeeeV

T

y

T

yy

T

y

TTT

y

+

+=

y

T

y

T

y eQeeQeeeV~~),( 21111

.


59/126

Captulo 4 58

Logo, 0),(1

==


66/126

Captulo 5 65

0)()()(


67/126

Captulo 5 66

onde mk

S e mxnG uma matriz constante, projetada de forma que o sistema

seja assintoticamente estvel quando este entra na condio de deslizamento. A lei de

controle (5.7) realizada por um computador digital. O controle gerado em cada

instante de amostragem k, onde o perodo de amostragem. Com um controlador

digital, a i-sima entrada de controle )(tui tem valor constante entre os instantes de

amostragens

+


68/126

Captulo 5 67

kT

kk SSV 21

= . (5.22)

Para garantir a condio de existncia para a superfcie de deslizamento

discreta, impe-se que

kk VV


69/126

Captulo 5 68

A equao (5.29) pode ser reescrita como

0,)(2

1

1

2

1

= kkkk VxfGxGV (5.41)


72/126

Captulo 5 71

Ou seja, a condio de atratividade , que kk

VV

027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro

Documents

Transcript of 027-Tese Jean Marcos de Souza Ribeiro