02 Mecânica - Movimentos
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AULA 2
MECÂNICA
MOVIMENTOS
1- INTRODUÇÃO
Estudaremos a seguir os movimentos uniforme e uniformementevariado. Veremos suas definições, equações, representações gráficas eaplicações.
Faremos o estudo de cada movimento separadamente.
MOVIMENTO UNIFORME
2- DEFINIÇÃO.
Vimos na classificação de movimentos, que um movimento é dito uniformequando sua função horária dos espaços S=f(t) é de primeiro grau econseqüentemente sua velocidade tem módulo constante e não nula.Assim sendo a aceleração neste movimento será constante e nula.
3- FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS.
Sendo o movimento uniforme, sua velocidade será constante e uma dasformas de definirmos a função horária é através da equação da velocidadeescalar média que para este movimento é exatamente igual à velocidadeescalar instantânea.
4- REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO MOVIMENTO UNIFORME
if
ifm tt
SSV
tS
VV-
-=fi
D
D==
SSVtSSVttSS
V
:vemt, instante no corpo
do posição a é S e t instante no corpo do posição a é S como 00
=+fi-=fi-
=
0=
000
VtSS += 0
4.1- S = f(t)
Como a função horária dos espaços é de 1º grau, seu gráfico será uma retacrescente se o movimento for progressivo (V>0) e uma reta decrescente se omovimento for retrógrado (V<0).
s s S0
S0
t t 0 0
4.2- V = f(t)
Como a velocidade é constante, seus valores médios e instantâneos serãoiguais para qualquer instante. Sua representação gráfica será uma retaconstante acima do eixo dos tempos se a velocidade for positiva e abaixo doeixo se for negativa.
V V t V 0
T -V 0
4.3- a = f(t)
Como a velocidade é constante, a aceleração para qualquer instante seránula independentemente do movimento ser progressivo ou retrógrado.
a a
t t
0 0
5- PROPRIEDADES GRÁFICAS DO MOVIMENTO UNIFORME.
5.1- S=f(t)
0S
S
t
q SD
tD
0
S
t
A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL AVELOCIDADE ESCALAR
5.2- V=f(t)
A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL AO DESLOCAMENTOESCALAR NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
6- DEFINIÇÃO
Vimos na classificação de movimentos que um movimento é ditouniformemente variado quando sua função horária dos espaços S=f(t) é desegundo grau, sua velocidade tem módulo variável e sua aceleração temmódulo constante e não nulo.
tS
tgN
D
D=q
VtgN
=q
V.tAN
D=
tS
.tAN
D
DD=
SAN
D=
V
1t 2t
V
t
A V
tD
7- ACELERAÇÃO, SEUS GRÁFICOS E PROPRIEDADE GRÁFICA.
No movimento uniformemente variado a aceleração escalar é constante e,portanto, o seu valor médio é exatamente igual ao seu valor instantâneo. Arepresentação gráfica é uma reta paralela ao eixo dos tempos.
A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL À VARIAÇÃO DAVELOCIDADE NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.
8- FUNÇÃO HORÁRIA DAS VELOCIDADES
Sendo a aceleração constante neste movimento, os seus valores médios einstantâneos são iguais. Assim temos:
if
ifm tt
VVtV
--
=DD
=a=a
tV
A.tANN
DD
=fiaD=
VAN
D=
a
t
a
0
t
a
a-
0
a
a
t0
1t 2t
A a
tD
a
9- PROPRIEDADE BÁSICA DO M.U.V.
No movimento uniformemente variado a velocidade escalar é representadapor uma
função de primeiro grau o que nos permite determinar o seu valor médio pelamédia aritmética entre seus valores inicial e final num determinado intervalode tempo.
“A velocidade escalar média entre dois instantes(t1 e t2) é a media
aritmética das velocidades escalares nestes instantes.”
10–GRÁFICOS DA VELOCIDADE E SUAS PROPRIEDADES.
Como a função horária da velocidade é de 1º grau, seu gráfico será umareta crescente se o movimento for acelerado ( V crescente) e uma reta
decrescente se o movimento for retardado ( V decrescente).
tVV a+= 0
VVtVVttVV
:vemt, instante no corpo
do eavelocidad é V e t instante no corpo do velocidade a é V como i0
=+afi-=afi-
=a
0=
000
if
if
ttVV
tV
--
=DD
=a
2VV
tS
V 21m
+=
D
D=
V
0V
V
tt0 0
0V
Vt
t
V
A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL AACELERAÇÃO ESCALAR
A ÁREA SOB A RETA É NUMERICAMENTE IGUAL À VARIAÇÃO DOESPAÇO NO INTERVALO DE TEMPO CONSIDERADO.
11– FUNÇÃO HORÁRIA DOS ESPAÇOS
A função horária dos espaços pode ser definida de várias formas, umadelas é usando a propriedade vista acima.
fiDD
=qtV
tgN
a=qN
tg
fi2
D+= 0 t).VV(
AN
t.tS
AN
DDD
=
SAN
D=
:então,SA e t).VV(
A ComoNN
D=2
D+= 0
t
t0
q
V
V
0VtD
VD
A0V
V
t
t0
V
0V
V
tD
12-GRÁFICOS DO ESPAÇO E SUAS PROPRIEDADES
Como a função horária dos espaços é de 2º grau, seu gráfico será umaparábola com concavidade voltada para cima se a > 0 e concavidade voltada
para baixo se a < 0.
tVV que sabemos ,t).VV(
S a+=2
D+=D 0
0
0t instante no espaço
o e velocidade a mente,respectiva são,S e V onde
)tt).(tV(S-S
t).VtV(S
0
0
0
=
2-a+2
=fi2
D+a+=D
0
0000
tt
VSSt.tV
SS ˜¯
ˆÁË
Ê2
a+=-fi˜
¯
ˆÁË
Ê2
a+
22
=- 000
0
fi2
a+=-
2
00
ttVSS
2a
++=2
00
ttVSS
q= tgVN
1
0t
S
t0
S
t0
S
q1t
tangente reta
A TANGENTE DO ÂNGULO q É NUMERICAMENTE IGUAL À
VELOCIDADE ESCALAR PARA O INSTANTE t1.
13-EQUAÇÃO DE TORRICELLI
A equação de Torricelli pode ser demonstrada de várias maneiras. Vejauma demonstração onde se faz a fusão das funções horárias dos espaços e dasvelocidades.
tVVtVV 00 a=-fia+=
a
-= 0VV
t(I)
200 t
2tVSS
a++=
(II)
:vem (I), em (II) dosubstituin
2
0000
VV2
VVVSS ˜
¯
ˆÁË
Êa
-a+˜
¯
ˆÁË
Êa
-+=
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê
a
+-a+
a
-=D 2
200
2200 VVV2V
2VVV
S
a
+-+-=D
2VVV2VVVV
S200
2200
S2VV 20
2 Da+=
EXERCÍCIOS
1. (UESPI) – Um passageiro perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5minutos e pegou um táxi para alcança-lo.
O ônibus e o táxi descrevem a mesma trajetória e seus movimentos sãouniformes.
A velocidade escalar do ônibus é de 60km/h e a do táxi é de 90km/h.O intervalo de tempo necessário ao táxi para alcançar o ônibus é de:a) 5 min b) 10 min c) 15 min d) 20 min e) 25 min
2. (UNIP-SP) – O gráfico a seguir representa o espaço s em função dotempo t para o movimento de um ciclista. Considere as proposições quese seguem:I) A trajetória do ciclista é retilínea.II) A velocidade escalar do ciclista é crescente.III) O ciclista passa pela origem dos espaços no instante t = 2,0s.IV) O movimento do ciclista é uniforme e progressivo.Estão corretas apenas:a) III e IV b) I e II c) II e III d) I, III e IV e) I e IV
3. (PUC-SP) – Duas bolas, A e B, de dimensões desprezíveis se aproximamuma da outra, executando movimentos retilíneos e uniformes (veja afigura).Sabendo-se que as bolas possuem velocidades escalares de módulos2,0m/s e 3,0m/s e que, no instante t = 0, a distancia entre elas é de15,0m, podemos afirmar que o instante da colisão é:
a) 1,0s b) 2,0s c) 3,0s d) 4,0s e) 5,0s
4. (PUC-SP) – Alberto saiu de casa para o trabalho exatamente às 7,0 h,filho, percebe imediatamente que o pai esqueceu sua pasta comdocumentos e, após 1,0 min de hesitação, sai para encontrá-lo,movendo-se também com velocidade escalar constante, percorrendo amesma trajetória descrita pelo pai. Excelente aluno em Física, calcula
=
0ts/m,02 s/m,03
m,015
A B
que, como saiu 1,0 min após o pai, demorará exatamente 3,0 min paraalcançá-lo.Para que isso seja possível, qual a velocidade escalar do carro de Pedro?a) 60,0 km/h b) 66,0 km/h c) 72,0 km/h d) 80,0 km/h e)
90,0 km/h
5. (UNITAU-SP) – Uma motocicleta com velocidade escalar constante de20,0m/s ultrapassa um trem de comprimento 100m e velocidade escalarconstante de 15,0m/s. A duração da ultrapassagem é:a) 5s b) 15s c) 20s d) 25s e) 30s
6. (UNICAMP) – As faixas de aceleração das auto-estradas devem serlongas o suficiente para permitir que um carro, partindo do repouso,atinja a velocidade escalar de 108km/h em uma estrada horizontal. Umcarro popular é capaz de acelerar de 0 a 108km/h em 15s. Suponha quea aceleração escalar seja constante.a) Qual o valor da aceleração escalar?b) Qual a distancia percorrida em 10s?c) Qual deve ser o comprimento mínimo da faixa de aceleração?
7. (VUNESP) – Um motorista, dirigindo seu veículo à velocidade escalarconstante de 72,0 km/h, numa avenida retilínea, vê a luz vermelha dosemáforo acender quando está a 35,0 metros do cruzamento, suponhaque entre o instante em que ele vê a luz vermelha e o instante em queaciona os freios decorra um intervalo de tempo de 0,50 segundo.Admitindo-se que a aceleração escalar produzida pelos freios sejaconstante, para que o carro pare exatamente no cruzamento, o modulodessa aceleração escalar deve ser, em m/s2, de:
a) 2,0 b) 4,0 c) 6,0 d) 8,0 e) 10,0
8. (FUVEST) – Um carro viaja com velocidade escalar de 90km/h (ou seja,25m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, omotorista vê um animal parado na pista. Entre o instante em que omotorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carropercorre 15,0m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de5,0m/s2, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir oanimal, que permanece imóvel todo o tempo, se o tiver percebido a umadistancia de, no mínimo:a) 15,0m b) 31,25m c) 52,5m d) 77,5m e) 125,0m
9. (AFA) – O gráfico espaço x tempo para uma partícula que descreve uma trajetória retilínea, com aceleração escalar constante, é dado na figuraa seguir:
)s(t
03, 06,
)m(S
0
09,
A velocidade escalar inicial (V0) e a aceleração escalar (a ) são,respectivamente, iguais a :a) 6,0m/s e –2,0m/s2 b) 6,0m/s e –3,0m/s2
c) 9,0m/s e –3,0m/s2 d) 6,0m/s e 6,0m/s2
e) 9,0m/s e 6,0m/s2
10. (FUVEST) – Dois trens, A e B, fazem manobra em uma estaçãoferroviária deslocando-se paralelamente sobre trilhos retilíneos, noinstante t = 0s eles estão lado a lado. O gráfico representa asvelocidades escalares dos dois trens a partir do instante t = 0s até t =150s, quando termina a manobra. A distancia dos dois trens no final damanobra é:
a) 0m b) 50m c) 100m d) 250m e) 500m
RESPOSTAS
1. ALTERNATIVA B
)s(t
)s/m(V
05,
05- ,0 50 100 150B
A
2. ALTERNATIVA A
3. ALTERNATIVA C
A e B se encontram quando estiverem na mesma posição.Para resolver este exercício vamos adotar a posição inicial de Acomo sendo ZERO (0) e conseqüentemente a posição inicial de Bserá 15m.
VERDADEIRO )IV(
sttt.t.t.VSS
s/mVV)(
tS
V
VERDADEIRA (III)constante. é
velocidade sua e uniforme é movimento o reta, uma é gráfica curva a como
FALSA (II)posição.
de coordenada uma apenas mostra nos gráfico o pois adaindetermin
FALSA )I(
2=fi5
10=fi5=10fi5+10-=0fi+=
5=fi6
30=fi
0-610--20
=DD
=
0
st,
t
t.,tt.,
t.,tt.6090
5t
90.t5)60.(t
t.V)t.(V
SS
taxiônibus
taxiônibus
10=fi50
5=
50=5fi-51=5
51=5+fi=+
=+
=5+
D=D
4. ALTERNATIVA C
Como o tempo que o filho leva para alcançar o pai é de 3 minutos(180s), o movimento do pai desde que saiu de casa até ser alcançado pelofilho é de 4 minutos (240s).
5. ALTERNATIVA C
A distância que a motocicleta percorre para ultrapassar otrem, é de 100m somados à distancia que trem percorreu atéser ultrapassado.
6.
stt
155.t153.t2.t
3.t-152.t0
.tVS.tVS
SS
B0A0
BA
BA
3=fi5
15=
=
=+
=+
+=+
=
h/kmV,.V
s/mVV.
.V15.240
t.Vt.V
SS
filhofilho
filhofilho
filho
filhofilhopaipai
filhopai
72=fi6320=
20=fi=180
24015
180=
D=D
D=D
st
tt.
t.t.t.15t.
t.Vt.V
SS
tremmoto
tremmoto
20=D5
100=Dfi100=D5
100=D15-D20
100+D=D20
100+D=D
100+D=D
7. ALTERNATIVA D
Entre o instante que o motorista vê a luz vermelha e o instanteque ele começa a frear o carro percorre uma distância DSR comvelocidade constante de 72,0km/h (20m/s).
Para chegar ao cruzamento ele tem 25m.
8. ALTERNATIVA D
Entre o instante que o motorista vê o animal e o instante que elecomeça a frear o carro percorre uma distância DSR comvelocidade constante de 90,0km/h.
mS
.SS
VVts
)c
mS).(S
t.SS
t.t.VSS )b
s/m,tV
)a
0
225=D
1515=Dfi2
30=
15D
2
+=
DD
100=Dfi1022
=D
2a
=-
2a
++=
02=a1530
=DD
=a
0
2
20
20
mS,.S
t.VStS
V
RR
RRR
R
10=Dfi5020=D
D=DfiD
D=
22
2
20
2
08=afi08-=a
a=50400-
fia50=400-
a50+400=0fi25a2+20=0
Da2+=
s/m,s/m,
.
...
S..VV
mSR 15=D
Durante o retardamento do movimento, temos:
9. ALTERNATIVA A
-No instante 3,0s, a velocidade é nula (V=0), pois aí ocorre ainversão de movimento.
-Do gráfico temos que para 3,0s de movimento o deslocamento é
9,0m
10. ALTERNATIVA D
m,S
SS.
S.S)..(
S..VV
562=D10625
=Dfi625=D10
D10-625=0fiD5-2+25=0
Da2+=2
20
2
m,S
,S
SSS
total
total
Rtotal
577=D
15+562=D
D+D=D
s/m,V
V,.,V
,,
VVts
06=
=0203fi2
=0309
2
+=
DD
0
00
0
202-=a
0-0306-0
=afiDD
=a
s/m,
,,
tV
mS
S
).(.S
AAS
A
A
A
N
A
125-=D
250-125=D2
5-100+
2550
=D
+=D 21
)s(t
)s/m(V
05,
05- ,0 50 150
B
A1A
2A
Como o trem A deslocou 125m em um sentido e o trem B deslocou125m em sentido oposto, a distância entre eles é de 250m.
mS
S
.).(S
AAS
B
B
B
N
B
125=D
250+125-=D2
5100+
25-50
=D
+=D 21
B
A
1A2A )s(t
)s/m(V
05,
05- ,0 50 100 150