MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

01 PERMUTAÇÃO CIRCULAR

09/06/2020

2

(Pucrs 2017) A capital dos gaúchos, oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também capital dos Pampas recebe o nome de PORTO ALEGRE. Adicionando o número de anagramas formados com as letras da palavra ALEGRE ao de anagramas formados com as letras da palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas, obtemos quantos anagramas?

a) 378 b) 396 c) 738 d) 756 e) 840

QUESTÃO 01

3

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=¿

4

ALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!

SOLUÇÃO

5

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3

6

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

7

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.

8

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.

9

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.

𝑃32=3 !2!=

3.2!2! =3

10

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.

𝑃32=3 !2!=

3.2!2! =3

11

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas

___ ___ ___

12

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas

_3_ ___ ___

13

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas

_3_ _2_ ___

14

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas

_3_ _2_ _1_

15

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Consoantes juntas

_3_ _2_ _1_ = 3! = 6

16

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.

𝑃32=3 !2!=

3.2!2! =3

17

SOLUÇÃOALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas.𝑃𝑃𝑃 Temos 5 letras na palavra PORTO.

𝑃32=3 !2!=

3.2!2! =3

3 .3 !=3 .6=18

18

ALEGRE tem 6 letras com 2 E

𝑃62=6 !2!=

6.5 .4 .3 .2 !2 ! =6.5 .4 .3=360

PORTO queremos anagramas em que a consoantes aparecemJuntas. Temos 18 anagramas

Total = 360+18 = 378 anagramas

SOLUÇÃO

19

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

20

As permutações circulares são agrupamentos, em círculos, de n elementos distintos em que os grupos formados se diferenciam apenas ordem de seus elementos.

Exemplo: rodas, sentar em torno de mesa, etc.

Permutações Circulares

! 1) - n(PC n

21

Permutações CircularesImagine que temos 5 pessoas: Alex, Bruno, Caio, Daniel e Elias. Existem 5! Maneiras de organiza lós em fila.

A permutação Circular deles e coloca – lós de forma circular e só se importar pela posição relativa entre eles, sem se importar com a posição fixa

22

Permutações Circulares

Em uma fila, ABCDE, EABCD, DEABC, CDEAB,

23

Permutações Circulares

24

De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?

Exemplo

25

De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?

Exemplo

𝑃𝑃8=(8−1) !

! 1) - n(PC n

26

De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?

Exemplo

! 1) - n(PC n

27

De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?

Exemplo

! 1) - n(PC n

28

De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo

29

De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo

𝑃𝑃𝑃=(𝑃−1)!

30

De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo

31

De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo

32

De quantas maneiras seis crianças podem se organizar para brincar de roda?Exemplo

33

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

34

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

35

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

36

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

𝑃𝑃5=(5−1)!

37

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

38

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

39

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

PAI E MÃE JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

40

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

MÃE E PAI JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

41

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

MÃE E PAI JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

42

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

MÃE E PAI JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

43

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

MÃE E PAI JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

44

Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos?

Exemplo

MÃE E PAI JUNTOS

TEMOS 5 PESSOAS

No total temos 24+24= 48 disposições

45

46

47

48

49

50

51

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53

54

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57

58

59

60

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