Jair Minoro Abe Alexandre Scalzitti Joo Incio da Silva Filho

Introduo Lgica para a Cincia da Computao

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Jair Minoro Abe Alexandre Scalzitti Joo Incio da Silva Filho

Introduo Lgica para a Cincia da Computao

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2001, by Editora Arte & CinciaDireo Geral Henrique Villibor Flory Editor e Projeto Grfico Aroldo Jos Abreu Pinto / Karel H. Langermans Editorao Eletrnica Alain Ferreira do Nascimento Capa Karel H. Langermans

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP) (Biblioteca de F.C.L. - Assis - UNESP)

ndice para catlogo sistemtico:1. 2. 3.

Editora Arte & Cincia Rua Treze de Maio, 71 Bela Vista So Paulo SP - CEP 01327-000 Tel/fax: (0XX11) 257-5871 Na internet: http://www.arteciencia.com.br

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Dedico este trabalho ao Rusky (1990-2000) que me ensinou muitas coisas, aprendi muitas coisas, por uma linguagem no falada. Jair Minoro Abe

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PrefcioEste texto foi elaborado pelos autores tendo por base os diversos cursos de Lgica que os mesmos tm lecionado nos ltimos anos. A presente monografia destinada a introduzir o leitor neste fascinante ramo do conhecimento humano que a moderna Lgica Matemtica. O trabalho foi redigido para atender um nmero maior de leitores, englobando estudantes de diversas reas, tais como, Cincia da Computao, Anlise de Sistemas, Processamento de Dados, Inteligncia Artificial, as diversas Engenharias, Matemtica, Cincias Biolgicas, Economia, Psicologia, Filosofia, Direito, enfim todo estudioso interessado no assunto. A Lgica se converteu nos ltimos anos em disciplina de primeira necessidade para os diversos cursos, e isto no surpreendente, pois, disse o pensador norte americano W. Quine : A Lgica o denominador comum das Cincias Especiais .... No se exige, praticamente, pr-requisito algum para sua leitura; com efeito, a exposio do texto est detalhada tanto quanto possvel com notas explicativas referente a pontos delicados do desenvlvimento, procurando fazer do texto uma leitura agradvel. Os tpicos escolhidos cobrem o que hodiernamente denominamos de ncleo da Lgica Clssica. Complementou-se com algumas aplicaes nas diversas reas. Um comentrio ao nefito em Lgica: no se l um livro de lgica como se l um livro de romance, i.e., sua leitura muitas vezes no conveniente que se faa de maneira linear; tambm sugere-se ao leitor que faa os inmeros exerccios propostos para um entendimento salutar dos conceitos vistos. Aqui se aplica vivamente um pensamento de Confcio: se ouo, esqueo; se vejo, gravo; se fao, compreendo ... O tomo que vem a lume apenas uma primeira verso que pretendemos futuramente aprimor-lo e enriquec-lo. Para tanto, contamos com as sugestes e crticas construtivas por parte dos leitores. Os Autores.

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SUMRIOPREFCIO 1 INTRODUO................................................................................................9 0.1 Nota Histrica......................................................................................9 0.2 O que Lgica ?.................................................................................10 0.3 Cincia e Lgica.................................................................................11 0.4 Aspectos da lgica atual..................................................................13 1 INTRODUO AO CLCULO PROPOSICIONAL 1.1 Introduo..........................................................................................15 1.2 Os paradoxos.....................................................................................15 1.3 Linguagens artificiais........................................................................20 1.4 A linguagem universal da lgica.....................................................22 1.5 Conectivos lgicos e tabelas-verdade...........................................22 1.6 Frmulas atmicas e frmulas.........................................................37 1.7 rvore de composio de uma frmula - rvore de decomposio............................................................................................38 1.8 Tabela-verdade de uma frmula......................................................49 1.9- Tautologias.........................................................................................65 1.10 rvore de refutao........................................................................70 1.11 Inferncia lgica..............................................................................82 1.12 Regra de eliminao de parntesis................................................93 1.13 A notao polonesa de frmulas..................................................94 1.14 Forma normal disjuntiva.................................................................95 1.15 Uma axiomatizao da lgica proposicional..............................101 2- O CLCULO DE PREDICADOS..................................................................117 2.1 Lgica e gramtica...........................................................................117 2.2 Um sistema formal para a lgica de predicados..........................125 2.3 Estrutura dedutiva...........................................................................128 2.4 Semntica..........................................................................................138 3 ALGUNS ASPECTOS DE PROGRAMAO EM LGICA E PROLOG 3.1 Introduo........................................................................................145 3.2 A proposta da programao em lgica........................................146 3.3 Clusula de Horn.............................................................................147 3.4 Consideraes preliminares...........................................................148 3.5 Clusula............................................................................................151

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3.6 Clusula de programa.....................................................................153 3.7- Clusula de programa condicional.................................................154 3.8- Clusula de programa incondicional.............................................155 3.9 Clusula gol......................................................................................156 3.10- Clusula vazia..................................................................................157 3.11- Clusula de Horn.............................................................................157 3.12 Programs lgicos e teoremas.......................................................159 3.13 Computao de gols......................................................................161 3.14 Substituies e unificadores........................................................170 3.15 Substituies..................................................................................171 3.16 Instncia de uma substituio........................................................... 3.17 Composio de substituies.....................................................172 3.18 Variante...........................................................................................172 3.19 Proposies....................................................................................173 3.20- Substituio mais geral....................................................................... .3.21 Unificadores...................................................................................173 3.22 Unificador mais geral umg........................................................174 3.23 Algoritmo de unificao..................................................................... 3.24 Resolvente......................................................................................180 3.25 SLD-derivao.................................................................................182 3.26 SLD-refutao.................................................................................183 3.27 Um pouco de PROLOG.................................................................190 3.28 A notao PROLOG.......................................................................190 3.29 A estratgia PROLOG...................................................................192 3.30 Interpretador PROLOG.................................................................193 3.31 Assuntos relacionados programao em lgica....................196 4 CIRCUITOS LGICOS DE CHAVEAMENTO 4.1 A lgebra da lgica.........................................................................199 4.2 Negao lgica circuito no......................................................202 4.3 Conjuno lgica circuito E.......................................................204 4.4- Disjuno lgica circuito OR......................................................205 4.5 Exemplos de aplicaes.................................................................207 5 PORTAS LGICAS.......................................................................................215 5.1 As portas lgicas bsicas..............................................................216 5.2 Porta lgica inversora.....................................................................216 5.3 Porta lgica E...................................................................................217 5.4 Porta lgica NO-E (NAND)........................................................217 5.5 Porta lgica OU...............................................................................218 5.6 Porta lgica NO-OU (NOR)........................................................219 5.7 Combinao de portas lgicas......................................................220 5.8 Exemplos de aplicao...................................................................207 APNDICE 1.Algumas estruturas algbricas...........................................................233 2.Lgica proposicional e lgebra de Boole..........................................235 3.Modelos de Herbrand..........................................................................236 4.A lgica clssica .................................................................................240 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.....................................................245

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1 INTRODUO1.1 - Nota HistricaA Lgica, ao que tudo indica, foi descoberta por Aristteles (384-322 a.C.). Os registros se encontram em seu famoso livro da Metafsica. Aps sua descoberta, ela permaneceu praticamente intacta por mais de dois mil anos, sendo retocada em detalhes de pouca importncia. E. Kant chegou mesmo a asseverar que a cincia descoberta pelo Estagirita se constitua numa cincia acabada: a lgica no havia dado nenhum passo para diante e nenhum para trs (desde sua introduo). No obstante, grandes mudanas comearam a ocorrer notadamente com G. Boole (1815-1864), A. De Morgan (1806-1871) e contemporneos com a introduo da simbolizao na Lgica. Boole, na realidade, estava estudando as Leis do Pensamento Humano. Houve, porm, alguns precursores dessa mudana, como G. Leibniz (1646-1716) e J.H. Lambert (1728-1777). Outras investigaes de carter mais filosfico foram efetuadas por G. Frege (1848-1925), contribuindo enormemente para o desenvolvimento da lgica de predicados. Porm, o grande avano propriamente dito foi estabelecido com a publicao da monumental obra Principia Mathematica, em trs volumes, de A. N. Whitehead e B. Russell no alvorecer deste sculo. Podese mesmo dizer que a moderna Lgica Matemtica teve incio com a publicao da referida obra. Alis, no seria exagero, se afirmarmos, como A. N. Whitehead disse, que a lgica atual est para a lgica aristotlica como a matemtica moderna est para a aritmtica das tribos primitivas. No entanto, as dcadas posteriores aguardavam mais novidades. K. Gdel, na poca um jovem lgico austraco, mostrou que no pode haver uma sistematizao completa da Aritmtica. Isto quer dizer que, intuitivamente e sem rigor, h proposies aritmticas que dizem: sou verdadeiro, porm indemonstrvel. Desse resultado, Gdel deduziu outro: que, se a Aritmtica for consistente, sua consistncia no pode ser demonstrada dentro da teoria, ou seja, h que se recorrer teorias que a englobem, mais gerais, e, portanto, mais inseguras que a original. Tais resultados so conhecidos como teoremas de incompleteza de Gdel. Como se sabe, os resultados de Gdel representaram o limiar de uma nova era na moderna Lgica Matemtica. Suas reflexes so de longo alcance, deixando muitas questes sobre os fundamentos da disciplina para as dcadas posteriores. Outra contribuio de envergadura foi efetuada pelo lgico polons A. Tarski. Constitui na matematizao do conceito de verdade como correspondncia. Tal concepo de verdade remonta Aristteles: dizer do que no que , e dizer do que , que no , falso. E, dizer do que no , que no

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, e dizer do que , que , verdadeiro. Noutras palavras, verdade aquilo que e falso, aquilo que no . Note que o conceito de verdade repousa no verbo ser. Antes de Tarski, a idia de verdade era utilizado livremente no discurso matemtico e inmeras contradies haviam aparecido nas teorias matemticas. Outra enorme revoluo que a lgica experimentou neste sculo foram alguns resultados de independncia de certos postulados da teoria dos conjuntos obtidas por P. Cohen. No incio da dcada de sessenta, Cohen mostrou, por exemplo, que um dos axiomas mais discutidos, o Axioma da Escolha, era independente dos demais postulados da teoria dos conjuntos. Tambm Cohen demonstrou a independncia de outros postulados significativos da teoria dos conjuntos. Cohen foi agraciado com a medalha Fields (o prmio de maior prestgio em Matemtica) por suas perquiries. Como a Matemtica constitui prolongamento natural da teoria dos conjuntos, segue-se que h patentemente Matemticas alternativas em relao Matemtica Clssica. Grosso modo, teorias dos conjuntos em que valem certos postulados como o Axioma da Escolha, Hiptese do Contnuo, e outros denominam-se Teoria dos Conjuntos Cantorianas. Teorias em que no valem essas condies, chamam-se No-Cantorianas. Logo, podemos falar em Matemticas Cantorianas e No-Cantorianas. As Matemticas NoCantorianas ganharam relevo sobretudo com os resultados de Solovay na dcada de setenta. Solovay considerou um modelo de teoria dos conjuntos no qual no vale a forma geral do Axioma da Escolha e, se obtm resultados que diferem muito da Matemtica Cantoriana. Por exemplo, prova-se que na reta real, todo subconjunto Lebesgue mensurvel (intuitivamente que todo conjunto de nmeros reais pode ser medido), ou, que num espao de Hilbert, todo operador limitado, e por conseguinte, contnuo. Porm, esses resultados modificam profundamente a maneira de se ver as teorias fsicas, pois, como sabido, teorias fsicas tm, em sua maioria, bases em certas estruturas conjuntistas. Advm, ento, a indagao: qual a teoria dos conjuntos que melhor retrata as teorias fsicas? Alm disso, qual o significado fsico quando uma mesma teoria fsica considerada em teorias de conjuntos distintas? Todas essas questes esto sendo pesquisadas intensamente. Tal situao se mostra absolutamente nova, pois, o investigador que vai aplicar a Lgica possui em mos agora Matemticas alternativas, situao esta muito distinta de um passado recente. Alis, a Matemtica que era una at ento, ceder fatalmente diversidade.

1.2 - O que Lgica ?O que Lgica? Talvez seja esta a primeira curiosidade que advm mente do leitor. Preliminarmente, observemos que o pblico no especialista costuma empregar o termo lgica em vrias acepes: por exemplo, costumamos ouvir expresses como a lgica do amor, a lgica do tcnico de futebol, a lgica do presidente, e assim por diante. Convm ressaltarmos que, apesar do uso do termo lgica nesses exemplos no ser destitudo totalmente de

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sentido, tais contextos so inadequados quando tratamos do termo lgica que adquire hodiernamente. Uma definio popular de lgica : Lgica o estudo das inferncias (raciocnios) vlidos. Tal definio no est incorreta, porm, ela no adequada se observarmos o que a Lgica modernamente. Por exemplo, a Teoria dos Modelos, um ramo importante da Lgica atualmente, dificilmente se enquadraria nessa definio. Outra definio que encontramos em algumas obras de Lgica a seguinte: Lgica o estudo do raciocnio feito pelos matemticos... Comentamos uma definio que nos parece mais adequada: Lgica o que os lgicos cultivam ou o que est nos tratados de Lgica. Ou seja, para bem compreendermos o que lgica, necessrio seu cultivo sistemtico. O leitor deve ter percebido que no existe uma definio satisfatria de Lgica. Tal questo pertence Filosofia que trata, entre outras coisas, de temas que no possuem resposta cabal. Esta situao se afigura constrangedora, pois vamos estudar Lgica sem poder saber exatamente o que ela ...

1.3 - Cincia e LgicaEntre as vrias indagaes que o homem se faz, uma das mais significativas e recorrentes diz respeito ao conhecimento. E justamente no campo da cincia que se d a investigao e a busca desse conhecimento. Seramos parciais se dissssemos que isto ocorre apenas no campo cientfico ou acadmico. Essa busca, na verdade, acontece na maioria das atividades que envolvem o ser humano. Existem mtodos de apreenso da realidade nos campos religioso, poltico, social, entre outros. Mesmo assim, a cincia (e o mtodo cientfico) ocupa um papel cada vez mais importante em todos esses campos. Mas, nos perguntamos, o que cincia? Ou, em outros termos, com o que se preocupa o cientista em sua investigao? Por exemplo, um bilogo est buscando o que? Uma resposta adequada e definitiva difcil, mas, em princpio, diramos que todo cientista est buscando compreender algum fenmeno, entender e explicar uma parte da nossa realidade. O bilogo que, por exemplo, esteja buscando conhecimento sobre moscas. Neste caso, a poro da realidade que ele pretende captar, compreender (e depois transmitir a outras pessoas, comunidade) seria algum aspecto relativo vida da mosca, ou algo assim. O mdico pesquisador, por exemplo, que busca investigar o mecanismo interno de certas doenas, a tuberculose, o cncer, etc. J o psicanalista, que se preocupa em compreender o psiquismo das pessoas. Enfim, cada cientista est, ento, tentando entender e explicar certas pores de nossa realidade. Passaramos, ento, para um segundo ponto, que seria o caminho percorrido na busca dessa compreenso da realidade. sabido que, em tempos mais remotos, alguns cientistas usaram uma boa dose de misticismo nas suas ponderaes, porm, hoje dificilmente uma tal atitude seria aceita ou encorajada no campo cientfico. Diramos que o cientista utiliza aquele que um dos atributos mais importantes do ser humano para empreender sua investigao, a razo. A cincia s se concretiza em virtude e atravs da razo humana, sendo definida, justamente, como uma atividade racional. Teramos assim uma primeira relao importante: cincia e razo.

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Mas afinal, perguntaramos novamente, o que razo? No pretendemos abusar da pacincia do leitor, mas responder tal questo no simples, sendo porm necessrio que consideremos um importante aspecto da questo. A questo fundamental a ser percebida, para a nossa discusso, que a razo humana se materializa, se corporifica sempre em algum contexto lingstico. Poderamos praticamente dizer que no h razo sem linguagem, o que ilustra a importncia da Teoria da Linguagem para a cincia. Pois bem, perguntemos neste ponto, ao bilogo, que linguagem estar ele utilizando para investigar seu objeto de estudo, as mosquinhas? Talvez ele se surpreenda com a pergunta, mas provavelmente dir, a lngua portuguesa, ou seja, a linguagem natural que aprendemos desde tenra idade. Talvez muitos dos cientistas diriam o mesmo: a linguagem natural! Voltemos aos lgicos e perguntemos a eles: qual a poro da realidade que o lgico busca compreender? Que linguagem estar ele empregando para isso? Vejamos um objeto lgico que a maioria das pessoas certamente conhece muito bem, os nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n, ... (sim! nmeros so entidades lgicas). Alm dos nmeros, a maioria das pessoas sabe somar e multiplicar nmeros, sabe tambm, comparar nmeros, e assim por diante. Uma peculiaridade interessante numa investigao em Lgica. Um bilogo que quer estudar as moscas, sabe onde ir busc-las. Um mdico tambm sabe em que espao se encontram as doenas que quer investigar, em seres vivos. Mas, e quanto ao nmero 2, onde ser que ele se encontra? Uma questo como essa, que pode parecer irrelevante primeira vista, tem desdobramentos interessantes. Indague o leitor a si mesmo se o nmero 2 existe de fato ou no. Acreditamos que um matemtico convencional no poria dvidas quanto existncia do nmero 2, mas certamente teria dificuldades em justific-la. Para aguarmos um pouco mais essa questo, o leitor est certo de que este livro, que est diante dele, existe mesmo? claro que sim! diria. Se pedssemos uma argumentao que justificasse essa certeza, talvez uma resposta suficiente aos olhos do senso comum seria: Eu estou vendo, tocando! Ou seja, justificaria a existncia do livro pelos sentidos usuais que os seres humanos so dotados. Infelizmente, no estaramos satisfeitos com essa argumentao. O tato pode falhar, a viso nos engana freqentemente. Logo, em termos racionais, os sentidos no so capazes de nos fornecer fundamentos para a certeza absoluta da existncia do livro. Se o leitor aplicasse essa argumentao a ele prprio, as coisas ficariam ainda piores. O leitor tem certeza absoluta que existe? O que pode parecer estranho, mas inatacvel, nessa linha de argumentao, que no conseguimos legitimar a existncia das coisas somente por argumentos lgicos. Um dos mais belos desenvolvimentos em cima desse argumento devido ao matemtico e filsofo francs Ren Descartes, resumido na frase penso, logo existo. Porm, o que podemos concluir da que existe pensamento, no o ser. Assim, necessitamos de uma postura para vermos as coisas. A maioria absoluta dos lgicos e cientistas em geral adota a postura platnica (muitas vezes inconscientemente). Grosso modo, Plato acredita na existncia de dois mundos: 1) O mundo fsico (em que vivemos) e

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2) O mundo das entidades ideais. Para nos familiarizarmos com o segundo mundo tomemos o exemplo clssico da circunferncia. Algum consegue desenhar uma circunferncia perfeita? Acreditamos que o leitor tenha respondido no. Porm, para Plato a circunferncia perfeita existe, porm no no nosso mundo fsico e sim no mundo das entidades ideais. Alm disso, Plato diz que as circunferncias do mundo fsico so cpias imperfeitas da circunferncia perfeita, do mundo ideal. Todas as entidades lgicas esto no mundo das entidades ideais. Os objetos so atemporais e no temos o conceito de espao em tal mundo. Nesse sentido, podemos dizer que o nmero 2 sempre existiu e sempre vai existir independentemente da existncia do homem e, alm disso, no se encontra em lugar algum. Decorre da, em particular, que a Lgica (ou Matemtica) a mesma para todos. Plato nos diz tambm que o nico acesso ao mundo das entidades ideais feita atravs de nosso intelecto, e segundo ele, esta a razo pela qual poucos o conhecem, e que a nossa relao com tais entidades de descoberta (e no de criao, por exemplo). Os poucos que no seguem a postura platnica so vistos como excntricos, porm existem adeptos de outras correntes, em nmero menor.

1.4 - Aspectos da Lgica AtualAs principais reas de pesquisa em lgica clssica na atualidade podem ser classificadas nas seguintes: 1. Sintaxe lgica: nesta rea estudam-se certos constructos lingsticos formalizados, as linguagens artificiais. Estas servem para traduzir problemas lgicos referentes s linguagens da matemtica e das cincias empricas. Tambm pode-se estudar questes ligadas s linguagens naturais. Por meio desta ferramenta, pode-se axiomatizar teorias, etc. e, como observamos anteriormente, obteve-se resultados extremamente fecundos como os teoremas de incompleteza de Gdel. 2. Teoria de modelos: aqui se estudam as inter-relaes existentes entre as linguagens artificiais e certas estruturas conjuntistas s quais elas se referem. Os contornos atuais deste ramo se devem a A. Tarski e A. Robinson. Um dos resultados mais importantes da teoria de modelos foi a matematizao do conceito de verdade feita por Tarski, dando-se assim, uma contribuio de profundo significado filosfico. Um dos resultados surpreendentes que o prprio Tarski observou foi de que a classe das proposies verdadeiras mais abrangente que a classe das proposies demonstrveis em teorias matemticas fortes e consistentes. A teoria de modelos possui atualmente as mais variadas aplicaes, por exemplo, em cincias empricas e na metodologia da cincia. 3. Teoria da recurso: grosso modo, a teoria da recurso trata do que exeqvel mecanicamente, computacionalmente, sem recurso inteligncia. Foram introduzidas certas mquinas ideais atualmente conhecidas como mquinas de Turing (outros contemporneos foram A. Church e E. Post).

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Todos os grandes computadores da atualidade (inicialmente projetados e construdos por J. von Neumann por volta de 1950) so realizaes fsicas da mquina de Turing. So conhecidos resultados deveras interessantes na teoria da recurso; atualmente uma das questes mais atraentes a investigao do que computvel, em particular, o problema conhecido como P = NP. No convm falar dele aqui por ser demasiado tcnico. 4. Fundamentos da matemtica: aqui um dos tpicos de pesquisa a obteno de sistemas lgicos potentes capazes de fundamentar a matemtica clssica, investigar alguns de seus axiomas, analisando suas conseqncias tanto matemticas quanto seu significado do ponto de vista das aplicaes. Alguns desses sistemas investigados so a teoria das categorias, teoria dos topos, teoria dos tipos e outros sistemas. O interessante que tais sistemas extremamente fortes servindo de anlise a prpria matemtica, encontraram aplicaes em cincia da computao e Inteligncia Artificial. 5. Lgica algbrica: a lgica serviu de catalisador deste ramo da matemtica pura. Todo sistema lgico no fundo uma certa estrutura algbrica; por exemplo, o clculo proposicional clssico constitui numa lgebra de Boole, que por sua vez uma estrutura mais bsica: ela constitui num anel de Boole. Muitos problemas em lgica ou matemtica, ou mesmo em cincia da computao, podem ser melhor tratados como certas estruturas algbricas. 6. Aplicaes da lgica em matemtica: este tpico estuda-se aplicaes de tcnicas da lgica para a soluo de problemas em matemtica. Por meio deste expediente foram resolvidas algumas questes relevantes em lgebra e topologia Tambm no teceremos mais comentrios por ser uma tema demasiado tcnico.

Exerccio 1. Responda sucintamente.1. Dar algumas definies usuais do que Lgica. A Lgica uma Cincia? Discutir de forma breve. 2. O que postura platnica ? 3. Comente o por qu a lgica clssica esteve estagnada por mais de dois milnios. 4. Quando pode ser considerado o incio da lgica moderna ? 5. Quem foi o introdutor dos smbolos em lgica ? 6. O que teoria dos conjuntos Cantoriana ? 7. A matemtica que voc viu at agora feita em que teoria de conjuntos ? 8. Qual o prmio de maior prestgio em matemtica ? 9. Por qu no existe prmio Nobel em Matemtica ? 10. Quais so algumas das principais reas de pesquisa em Lgica Clssica na atualidade ?

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2. INTRODUO AO CLCULO PROPOSICIONAL2.1 - IntroduoNeste captulo trataremos alguns conceitos elementares da lgica proposicional, de uma maneira intuitiva. Isto no nos impede, entretanto, de sermos rigorosos em nosso tratamento. O clculo proposicional o estudo da linguagem proposicional. Ela estuda basicamente cinco smbolos: 1. Negao: 2. Conjuno: ^ 3. Disjuno: 4. Implicao: 5. Bi-implicao:

2.2 Os paradoxosOs paradoxos ou antinomias foram objeto de estudos e inquietaes por parte de filsofos e lgicos, desde os tempos da Antiga Grcia. Sem muito rigor, os paradoxos podem ser classificados em paradoxos semnticos e paradoxos lgicos. Vejamos alguns. Paradoxos semnticos. 1)Paradoxo do mentiroso. Dentre os paradoxos desta categoria, destaca-se aquele descoberto pelo filsofo grego Eublides de Mileto (384-322 a.C.) conhecido popularmente como o paradoxo do mentiroso. Eublides foi professor de Demstenes, contemporneo e declarado inimigo de Aristteles. Teamos algumas consideraes sobre esse assunto. Inicialmente, trata-se do senso comum que toda sentena declarativa da lngua portuguesa ou verdadeira ou falsa, nunca ambas simultaneamente. Suponhamos, por exemplo, que, num quadro negro, se escreva a seguinte (nica) frase : S1 : A sentena escrita neste quadro contm oito palavras. Verifica-se, neste caso, prontamente, que a sentena S1 constitui uma

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sentena verdadeira, pois S1, contm efetivamente, oito palavras. Consideremos agora esta outra sentena: S2 : A sentena escrita neste quadro contm onze palavras. Evidentemente trata-se de uma sentena falsa pois S2 contm oito palavras e no onze. Passemos a considerar agora esta terceira sentena, de interesse para nosso argumento: S3 : A sentena escrita neste quadro falsa. Constitui S3 uma sentena verdadeira ou falsa ? Analisemo-la: observemos, preliminarmente, que S3 se trata de uma sentena declarativa, legtima do ponto de vista gramatical e, pelo exposto, ou S3 verdadeira, ou S3 falsa. Se S3 for verdadeira, verdadeira S3 - verdadeiro que A sentena escrita neste quadro falsa - e, portanto, conclumos que S3 falsa. Analogamente, se S3 falsa, falsa S3 - falso que A sentena escrita neste quadro falsa - logo, deduzimos que S3 verdadeira. Por conseguinte, S3 verdadeira se e somente se S3 falsa ! Tal o paradoxo do mentiroso. Ressaltamos que esta antinomia de difcil soluo, e constitui, at agora, um genuno paradoxo. 2) Paradoxo do carto Proposto pelo matemtico britnico P. Jourdain, em 1913: suponha-se que numa das faces de um carto esteja escrita a frase

A sentena escrita no verso deste carto verdadeira.

A sentena escrita no verso deste carto falsa.

Pergunta-se, a sentena escrita em cada um dos lados do carto verdadeira ou falsa ? E a resposta que cada uma das sentenas verdadeira se, e somente se, for falsa. 3) Paradoxo de Grelling Proposto em 1908 por Leonhard Nelson e Kurt Grelling, da seguinte maneira: definimos os adjetivos como autolgicos, se a propriedade que ele denota pode ser atribuda a ele mesmo. Assim, os adjetivos curto e proparoxtona so autolgicos, enquanto os adjetivos que no possuem tal propriedade de denotarem atributos que no sejam aplicados a si prprios, chamam-se heterolgicos. Longo, oxtona e verde so, portanto, adjetivos heterolgicos. Consideremos agora o adjetivo heterolgico. Se heterolgico for heterolgico, ento ele autolgico. Se heterolgico

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no for heterolgico, ou seja, autolgico, ele heterolgico. Por conseguinte, o adjetivo heterolgico , simultaneamente, heterolgico e no heterolgico. 4) Paradoxo de Berry Proposto em 1906. Existe um nmero finito de smbolos (letras, sinais de pontuao, etc.) na lngua portuguesa. Ento, existe um nmero finito de expresses em nossa lngua que contem menos de 200 smbolos, mesmo contando as repeties. H, portanto, um nmero finito de inteiros positivos que podem ser denotados por expresses da lngua portuguesa que contem menos de 200 smbolos. Agora consideremos k como sendo o menor inteiro positivo que no se consegue denotar numa expresso em portugus com menos de 200 smbolos. Ora, a expresso em itlico acima tem menos de 200 smbolos, e a prpria expresso do inteiro positivo k. 5) Paradoxo do barbeiro. Numa pequena cidade do interior vive um barbeiro, muito conhecido dos moradores da cidade, que barbeia todas (e somente aquelas) pessoas moradoras da cidade que no se barbeiam sozinhas. Ora, o barbeiro um morador da cidade. Coloca-se a questo: quem faz a barba do barbeiro ? bvio que: ou ele se barbeia, ou ele no se barbeia. Portanto, como o leitor se apercebe, um tal barbeiro se barbeia se e somente se ele no se barbeia. Adotando-se a Lgica Clssica, tal barbeiro no existe. 6) Paradoxo do exame Numa segunda-feira, certa professora informa seus alunos de que eles tero um exame nos prximos quatro dias, mas que no devero saber o dia exato, a no ser no momento de prestar o exame. Os alunos, ento, raciocinaram assim: o exame no pode ocorrer na sexta-feira (o quarto dia), pois, em caso contrrio, eles saberiam de antemo, na quinta-feira, depois das aulas, que ele seria na sexta-feira, quebrando-se, assim, o acordo de ser surpresa. De modo anlogo, no pode ser na quinta-feira. Nem na quarta-feira, nem na tera-feira. Logo, no pode haver exame nas condies formuladas pela mestre. Porm, esta, digamos na quarta-feira, pode aplicar o exame, satisfazendo as condies impostas. 7) Paradoxo dos insociveis Os habitantes de uma comunidade formam entre si vrios tipos de associaes ou clubes. Um habitante pode pertencer a mais de um clube. Cada clube tem o nome de um habitante. No existem dois clubes diferentes com o nome do mesmo habitante. E toco habitante tem um clube com seu nome. No necessrio que uma pessoa seja membro do clube que leva seu nome. Se a pessoa membro do clube que leva seu nome, ela chamada de uma pessoa socivel. Se a pessoa no membro do clube que tem seu nome, ela ento chamada de uma pessoa insocivel. possvel formar um clube contendo todos os insociveis da comunidade?

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Paradoxo semitico. Seja A o conjunto dos nmeros naturais de 1 a 12, inclusive, A = {1, 2, ..., 11, 12}. Imaginemos um sistema de notao N para eles. Usaremos os numerais 1, 2, ... , 8 e 9 e sinais 0, 1, 2, ... , 9, 10, 11 e 12, para denot-los, como usualmente, e mais o signo j. O signo j denotar o menor elemento de A que no sistema de notao N no pode ser denotado por um nico smbolo. N aparenta ser, sem sombra de dvida, um sistema de notao cordial. Porm, vejamos o que ocorre com o nmero 10. Suponhamos que 10 seja denotvel por um nico smbolo de N; ento esse smbolo obviamente s pode ser j, e 10 no denotvel por um nico smbolo de N, de conformidade com a definio de j. Admitamos, ento, que 10 no seja denotvel por um nico smbolo de N; da advm que 10 o menor nmero de A que no pode ser denotado por um nico smbolo e que, em conseqncia, deve ser denotado por j. A concluso a de que 10 denotvel por um nico smbolo de N se, e somente se, no o for. Adotando-se a Lgica Clssica, o sistema notacional N no existe. Paradoxo da Fsica Quntica. O paradoxo a seguir acha-se ligado dualidade onda-corpsculo do eltron. No chamado experimento dos dois orifcios, enviam-se eltrons sobre um anteparo, passando por um obstculo, onde h dois orifcios convenientemente colocados, e o feixe de eltrons produz no anteparo configuraes de interferncia, comprovando o carter ondulatrio. Porm, se colocarmos um detetor de partculas logo aps qualquer um dos orifcios, tudo se passa como se o feixe fosse composto de partculas, que atravessam o obstculo, normalmente, atravs dos orifcios. Logo, o eltron onda e corpsculo ao mesmo tempo. O fsico acata a soluo de Copenhague: mantmse que nada se pode conhecer do interfenmeno. Paradoxos lgicos. Os paradoxos desta categoria, diferentemente dos semnticos, envolvem certas noes lgicas, principalmente relacionadas coma teoria intuitiva das colees. 1)Paradoxo de Russell1 Vejamos inicialmente o chamado Paradoxo de Russell. A exposio um tanto quanto detalhada possui o fito de relembrar alguns conceitos fundamentais da teoria intuitiva de conjuntos.2 Dentro da posio platnica subjacente teoria dos conjuntos, um dos princpios bsicos que regem essa teoria, de contedo bastante evidente, o seguinte: Princpio da separao (ou da compreenso): Toda propriedade P determina um certo conjunto, a saber, o conjunto formado pelos objetos que possuem a propriedade P e apenas por eles. Exemplo. Consideremos a propriedade de ser homem. Ela determina o1 Descoberto independentemente por E. Zermelo. 2 Uma exposio da teoria elementar de conjuntos pode ser vista em [Abe & Papavero 92] .

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conjunto {x | x um homem} = conjunto dos homens. Exemplo. Se P ser satlite natural da Terra. Ento: {x | x um satlite natural da Terra } = {Lua} Exemplo. Seja P pessoas que sonham e no-sonham simultaneamente. Ento: {x | x uma pessoa que sonha e no sonha simultaneamente} = Como dissemos h pouco, bastante intuitivo que, dada uma propriedade qualquer, ela determina o conjunto dos elementos que satisfazem a referida propriedade. O princpio em questo, porm, na realidade, incompatvel com a lgica elementar clssica. Isto foi constatado em 1902 pelo renomado lgico ingls Bertrand Russell, e o paradoxo por ele descoberto leva o nome de antinomia (ou paradoxo) de Russell. Vamos agora exp-lo: Inicialmente, observemos que existem conjuntos X tais que X no membro de si mesmo, isto : XX Exemplo. O conjunto de todos os homens, por no ser um homem, no membro de si mesmo. Exemplo. Dado o conjunto A = {0, 1, 2}, evidente que A A. Observemos, tambm, que existem conjuntos X tais que so membros de si mesmos, isto , X X. Exemplo. O conjunto de todos os conjuntos, por ser um conjunto, obviamente membro de si mesmo. Exemplo. Um caso interessante o seguinte: seja o conjunto A = {B | o nmero de elementos de B maior ou igual a 3}. Existem muitos conjuntos com pelo menos 3 elementos: B1 = {0, 1, 2, 3} B2 = conjunto das bananas de So Paulo B3 = {a, b, c, d, e} B4 = conjunto dos planetas de nosso sistema solar, etc. Logo, A possui mais do que 3 elementos e, consequentemente, A A. Exemplo. Seja a um objeto. Formemos o conjunto dos objetos distintos de a, {x| x a}. Obviamente tal conjunto distinto de a e, por conseguinte, pertence a ele mesmo. Consideremos, agora, o seguinte conjunto: R = {X | X X}.

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Por um princpio da Lgica Clssica (Princpio do Terceiro Excludo), ou R R , ou R R. Se R R, conclumos que R R. Se R R, conclumos que R R. Logo, R R se e somente se R R. Tal a famosa antinomia de Russell. Historicamente, o desgosto que causou a descoberta da antinomia de Russell entre os especialistas em Lgica Matemtica foi bem expresso por G. Frege em 1903, num apndice ao segundo volume de seu Grundgesetze: Nada pior praticamente pode acontecer a um autor cientfico do que ver uma das fundaes de seu edifcio ser abalada depois de ter terminado a obra. Fui colocado nessa posio por uma carta contendo o paradoxo de Mr. Bertrand Russell exatamente quando a impresso deste segundo volume estava quase pronta ... Solatium miseris, socios habuisse malorum. Eu tambm tenho este consolo, se que consolo; pois todos aqueles que em suas demonstraes empregaram extenses de conceitos, classes, conjuntos, inclusive sistemas de Dedekind, esto nesta mesma posio. No s uma questo de meu mtodo particular de colocar as fundaes, mas trata-se de saber se alguma fundamentao lgica para a Matemtica possvel ... (Frege, 1964). 2) Paradoxo de Cantor Por exigir um resultado da Teoria dos Conjuntos, que o Teorema de Cantor, o paradoxo ser apresentado de modo resumido, em suas idias principais. Mas, antes disso, cumpre colocar a idia bsica do Teorema de Cantor, a de que o nmero de elementos de um conjunto qualquer sempre menor que o nmero de elementos do conjunto formado por todos os seus subconjuntos. Em linguagem simblica: #A < #2A. Vamos ao paradoxo, ento: seja C o conjunto de todos os conjuntos. Portanto, cada subconjunto de C tambm um membro de C. Assim, o conjunto potncia de C subconjunto de C. Em linguagem da teoria dos conjuntos, 2C C. Mas, 2C C implica em #2C #C, o que absurdo, de acordo com o Teorema de Cantor, segundo o qual, #C < #2C . 3) Paradoxo de Burali-Forti Proposto em 1897, esse paradoxo exige uma familiarizao do leitor com a Teoria dos Nmeros Ordinais. Em linhas gerais, ele anlogo ao paradoxo de Cantor, visto acima. No faria sentido apresent-lo neste texto, a no ser resumidamente, por tratar de um contedo por demais especfico da matemtica. Em linhas gerais, o paradoxo seria o seguinte: dado qualquer nmero ordinal, existe um outro nmero ordinal maior que ele. Mas o nmero ordinal determinado pelo conjunto de todos os nmeros ordinais o maior nmero ordinal existente.

2.3 Linguagens artificiaisOs poucos exemplos de paradoxos semnticos colocam em relevo o

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fato de qualquer linguagem natural, como por exemplo, a lngua portuguesa, no pode ser adequada ao tratamento rigoroso da lgica. Mais ainda, admitindo-se certas leis bsicas da lgica clssica, toda linguagem universal, como tem a capacidade de referir-se a si prpria, sem quaisquer restries, leva inevitavelmente a contradies. Isto foi observado no incio deste sculo pelo renomado lgico polons Alfred Tarski. Necessitamos, ento, construir uma linguagem que possibilite o tratamento da lgica. Uma tal linguagem ser usualmente chamada de linguagem artificial (de artefato) ou linguagem formal (de forma). A considerao de linguagens artificiais nos obriga a pensar certas questes. Ao termos uma linguagem artificial em tela, automaticamente, temos uma linguagem que diz respeito a ela. A essa linguagem damos a denominao de meta-linguagem. Observamos, ento, que para construirmos a linguagem artificial em questo (que denominaremos de linguagem objeto), obviamente sero empregados os recursos oferecidos pela meta-linguagem. Esta observao fundamental, porquanto veremos posteriormente que, no caso da considerao da linguagem proposicional, por exemplo, faremos uso, alm da linguagem portuguesa, de pores da prpria Matemtica e de noes ditadas pelo senso comum. primeira vista, parece que nos enredamos num crculo vicioso, porm, medida em que o leitor se familiarize com os conceitos desenvolvidos notar que no h tal inconveniente.

L

Linguagem ObjetoL in

Linguagem Proposicional

Meta-linguagem (Teoria dos conjuntos Cantoniana)

Figura 1 Logo, ao considerarmos uma linguagem-objeto, necessitamos de uma espcie de pano de fundo. Mais pormenorizadamente, tal pano de fundo qualquer modelo (ou, o que d no mesmo, a prpria teoria) de teoria dos conjuntos (Cantoriana). Mais ainda, freqentemente utilizamos uma aritmtica usual e, portanto, uma meta-matemtica na meta-linguagem. O leitor zeloso, notar ento que o estudo feito em tais linguagens artificiais ser feito olhando-se de fora, ou seja, todos os resultados que puderem ser observados, sero observados de um lugar que no o mesmo onde eles efetivamente ocorrem. Por conseguinte, tratar-se-o de meta-teoremas. Uma importante observao, feita a partir disso, a de que quase sempre estamos trabalhando e realizando meta-matemtica. Da, o que chamaramos, licenciosamente, de uma equao fundamental: Matemtica = Meta-Matemtica !! Esta situao ilustrada magnificamente por Nietzsche: ... a frontei-

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ra da Cincia possui uma infinidade de pontos. Todo homem nobre e talentoso, antes de atingir a metade de sua carreira, defronta-se com algum ponto da fronteira que desafia sua compreenso, independentemente de saber como a regio pode ser inteiramente mapeada. Quando o pesquisador, levado periferia, compreende como a Lgica, neste lugar, curva-se sobre si mesma e morde a prpria cauda, fica perplexo com uma nova espcie de percepo: uma percepo trgica que requer, para se tornar tolervel, o remdio da arte. Por exemplo, havia voc percebido que os Teoremas que aprendeu sobre Geometria ou Clculo Diferencial e Integral so, na realidade, metateoremas? Exerccio 1. Discutir pelo menos dois paradoxos semnticos da linguagem natural, no vistos no texto, mostrando, ento, a inadequao do uso das linguagens naturais para o desenvolvimento de teorias lgicas. Exerccio 2. Pesquise sobre teoremas da Geometria Euclidiana e determine se estes so realmente teoremas ou meta-teoremas da Geometria Euclidiana.

2.4 A linguagem universal da lgicaA linguagem da teoria dos conjuntos constitui na linguagem universal da lgica. Exerccio 1. D exemplos de linguagens artificiais. Qual a linguagem universal da Lgica?

2.5 - Conectivos lgicos e tabelas-verdadeNo estudo da linguagem proposicional, apesar de ser formal, invocaremos muitas vezes proposies da lngua portuguesa, com o fito de amenizar a exposio. Esperamos que o leitor se aperceba de um rigor saudvel que estar subjacente s discusses que se seguem, apesar de conscientemente cometer tal heresia. As sentenas que esto em tela so as ditas sentenas declarativas. Tais sentenas so sentenas, como o prprio nome diz, que declaram (afirmam) algo. Portanto, o que afirmam passvel de ser considerada ou como verdadeira, ou como falsa. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1. Exemplos de sentenas declarativas. 1. A neve branca. (verdadeira) 2. 2 + 2 = 5 (falsa) 3. H cinco milhes de gros de areia na lua. (ningum contou os gros; mas sabemos ou que verdade, ou que falsa (provavelmente falsa)). Daqui em diante, toda sentena (declarativa) que trabalharmos ou verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Da a lgica clssica ser chamada de lgica bivalente. Existem vrias notaes para designarmos os valores-verdade ou valores-lgicos das sentenas.

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Adotaremos neste texto a notao booleana: 1 designa o valor-verdade verdadeiro 0 designa o valor-verdade falso 1) Negao Dada a proposio A podemos considerar a proposio ( A) denominada a negao de A. Como a proposio A ou verdadeira ou falsa, a tabela-verdade da negao toma ento a seguinte forma: Tabela-verdade da negao. A 1 0 ( A) 0 1

A proposio A verdadeira se e somente se sua negao (A) falsa. Exemplo 2. 1. Seja A (2 + 2 = 4) (no caso, verdadeira). Ento ( A) ( (2 + 2 = 4)) constitui uma sentena falsa. Na aritmtica comum, costuma-se escrever a ltima expresso como 2 + 2 4. 2.Seja B (2 {1, 3, 5}) (no caso, falsa). Logo, (B) ( (2 {1, 3, 5}) constitui uma sentena verdadeira. Na linguagem da Teoria dos Conjuntos (ver [Abe & Papavero, 92]), a ltima expresso usualmente escrita como 2 {1, 3, 5}. Mesmo na linguagem comum, a tabela-verdade se aplica: Exemplo 3. Seja A A neve branca (verdadeira). Sua negao (A) A neve no branca (falsa). Tambm, A A cidade de So Paulo pequena (falsa). Sua negao (A) A cidade de So Paulo no pequena (verdadeira). Algumas negaes delicadas. Exemplo 4. Vejamos algumas negaes de sentenas: 1. A Todo homem mortal Qual a negao de A ? O mais simples escrever (A) Nem todo homem mortal ou No que todo homem mortal. Porm, h outras sentenas equivalentes que queremos chamar a ateno: dizer Nem todo homem mortal o mesmo que dizer Existem homens que no so mortais ou H homens imortais. 2. A Existem pessoas inseguras Qual a negao de A ? O mais simples escrever (A) No existem pessoas inseguras. Porm, esta equivalente a escrever Todas as pessoas no so inseguras (pense bem !) ou Todas as pessoas so seguras. 3. A Todos os animais mamferos so animais vertebrados. (A) Nem todos os animais mamferos so animais vertebrados ou

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No que todos os animais mamferos so animais vertebrados. Ou ainda, Existem animais mamferos que no so animais vertebrados ou H animais mamferos que so animais invertebrados. 4. A Existem pessoas que se preocupam em tica. (A) No existem pessoas que se preocupam em tica ou No existem pessoas que se preocupam em tica. Ou ainda, Todas as pessoas no se preocupam com a tica 5. A Todo nmero par divisvel por dois (A) Nem todo nmero par divisvel por dois ou No que todo nmero par divisvel por dois. Ou ainda, Existem nmeros pares que no so divisveis por dois ou H nmeros pares que indivisveis por dois. Exerccio 1. Faa o que se pede. 1. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segunda frase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine essa negao.a) Estou feliz. b) Todos os elefantes so cor-de-rosa. c) Alguns cavalos so brancos. d) Todos os cavalos so pretos. e) O sol est brilhando. f) Estou certo. g) Nenhum homem um elefante. h) Todos os tomates so vermelhos. i) Algumas vezes estou certo. j) H sempre algum na portaria. No estou feliz. Um elefante no cor-de-rosa. Alguns cavalos so pretos. Alguns cavalos so brancos. O sol no est brilhando. Estou errado. Algum homem um elefante. Todos os tomates so amarelos. Todas as vezes estou certo. Nem sempre h algum na portaria.

2. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) Hoje sbado. c) Esta sala est muito fria. e) No verdade que no se sabe que fez isso. g) Todas as ruas da cidade esto esburacadas. i) No vou viajar. b) Lgica fcil. d) falso que a vida bela. f) Existem polticos trabalhadores. h) Toda ao provoca uma reao. j) Irei a outro lugar.

3. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segunda frase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine a respectiva negao.a) Todos os estudantes so responsveis. Alguns estudantes so irresponsveis. b) A neve branca. A neve no branca. c) Ele rico. Ele pobre. d) Eu creio na honestidade. Ningum honesto. e) Nenhum homem uma ilha. Algum homem uma ilha. f) Todos os livros so interessantes Um livro no interessante. g) H sempre algum feliz. Nem sempre h algum feliz. h) Alguns estudantes so responsveis. Alguns est. so irresponsveis. i) Todos os exerccios so instrutivos. Todos os exerccios so fceis.

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j) Algumas vezes me engano.

Todas as vezes me engano.

4. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) H alunos na sala. c) Algumas pessoas gostam de chocolate. e) Ningum foi ao aniversrio. g) falso que esta moeda verdadeira. i) H uma pedra no meio do caminho. k) H sempre algum no saguo. m) No o caso de no ser reprovado. b) Esta aula muito importante. d) Todos votaram nele. f) Existem pessoas estudiosas. h) Todas as pessoas so felizes. j) Se fosse fcil, j estaria feito. l) Sempre h algum no saguo. n) o caso de ser aprovado.

5. Em cada item so dadas duas sentenas. Responda se a segunda frase ou no a negao da primeira. Caso no seja, determine essa negao.a) Estudo e trabalho. b) O sol brilha e o ar est quente. c) Estou certo e voc est errado. No estudo nem trabalho. O sol no brilha ou o ar no est quente. Estou errado ou voc est certo.

6. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao.a) Hoje feriado ou domingo. b) A sala e o quarto esto escuros. c) A rua est esburacada e mal iluminada. d) Se for feriado ou domingo, vou viajar. e) Se for feriado e o tempo estiver ensolarado, vou viajar.

2) Conjuno Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio (A B), a conjuno de A e B. A veracidade ou falsidade da proposio (A B) depende da veracidade ou falsidade da proposio A e da proposio B. Logo, a tabela-verdade de (A B) possui quatro possibilidades de valores-verdade para A e B. 1. A verdadeira e B tambm verdadeira. 2. A verdadeira e B falsa. 3. A falsa e B verdadeira. 4. A falsa e B tambm falsa. Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente se ambas as proposies A e B so verdadeiras. A proposio (A B) falsa se e somente se uma das proposies A ou B for falsa. As consideraes acima podem ser esquematizadas como se segue: Tabela-verdade da conjuno:

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A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

(A B) 1 0 0 0

Exemplo 5. Consideremos as seguintes proposies: 1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] Esta proposio verdadeira 2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 3) [(2 + 4 4) (1 2)] 4) [(2 + 4 4) (1 2)]falsa falsa falsa verdadeira verdadeira falsa verdadeira verdadeira

Esta proposio falsa Esta proposio falsa Esta proposio falsa

Observao. Convm frisar algumas diferenas entre os conectivos (lgico) e e (da lngua portuguesa). Na linguagem proposicional, se A e B so frmulas, ento (A B) e (B A) so logicamente equivalentes. Com efeito, vejamos os exemplos seguintes: a) (2 + 2 = 4 1 2) e b) (1 2 2 + 2 = 4) possuem o mesmo significado. Na linguagem natural, porm, nem sempre isto ocorre. Vejamos os seguintes exemplos: a) Sejam A Joo inteligente e B Joo l as obras de Plato. (A B) representa a sentena Joo inteligente e Joo l as obras de Plato. (B A) a sentena Joo l as obras de Plato e Joo inteligente. O senso comum nos indica que (A B) e (B A) se eqivalem. b) Sejam agora A Maria casou e B Maria teve um filho. (A B) representaria a sentena Maria casou e Maria teve um filho. (B A) a sentena Maria teve um filho e Maria casou. Neste caso, note-se, no h uma equivalncia entre as sentenas (A B) e (B A). Na linguagem natural insinua-se quase sempre uma certa seqncia temporal (e s vezes uma implicao de causalidade). A observao se aplica tambm aos demais conectivos. Exerccio 2. Faa o que se pede. 1. Em cada item so dadas duas sentenas. Escreva a conjuno delas. a) A Joo estuda. B No estudo. b) A O sol brilha. B O ar no est quente. c) A Estou certo. B Estou errado. 2. Em cada sentena abaixo, determine a respectiva negao. a) Hoje feriado e domingo. b) A sala e o quarto esto escuros. c) A rua est esburacada e mal iluminada. d) Clarissa vai praia e tomar sol. e) Ela bonita e inteligente.

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3. Admitindo-se o senso comum, diga se so verdadeiras ou falsas. a) O sol brilha e a nuvem verde. b) 2 + 2 = 4 e = {} c) Curitiba a capital do Paran e Paris a capital da Frana. 4. Obtenha a negao das seguintes proposies: a) Bianca no estuda e mal educada. b) Est chovendo e fazendo frio. c) Chiquinho esperto e atento. 3) Disjuno Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio (A B), a conjuno de A e B. Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente se uma das proposies (ou ambas) A ou B so verdadeiras. A proposio (A B) falsa se e somente se quando ambas proposies A e B for falsa. As consideraes acima podem ser esquematizadas como se segue: Tabela-verdade da disjuno: A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 (A B) 1 1 1 0

Exemplo 6. Consideremos as seguintes proposies: 1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 3) [(2 + 4 4) (1 2)] 4) [(2 + 4 4) (1 2)]falsa falsa falsa verdadeira verdadeira falsa verdadeira verdadeira

Esta proposio verdadeira Esta proposio verdadeira Esta proposio vardadeira Esta proposio falsa

Na linguagem natural, muitas vezes o conectivo ou possui idia de excluso: Bianca vai ao supermercado ou vai escola. Neste caso, claro que Bianca vai fazer uma coisa ou outra, mas no ambas simultaneamente. O conectivo que leva em conta a observao anterior chama-se disjuno exclusiva.

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Exerccio 3. Faa a tabela-verdade da disjuno exclusiva. Em Lgica, como se observou, uma disjuno verdadeira quando uma das proposies constituintes verdadeira ou, tambm, quando ambas so verdadeiras simultaneamente. Exerccio 4. Faa o que se pede. 1. Sejam as proposies A O livro interessante e B O livro caro. Fornecer uma sentena na linguagem natural que descreva cada uma das simbolizaes abaixo: a) (A) b) (A B) c) (A B) d) (B (A)) e) ((A) (B)) 2. Sejam as sentenas: A A neve branca e B O sol um astro. Determinar o valor-verdade das sentenas abaixo: a) [A (B)] b) [(A B)] c) [(A) B] d) [(A) (B)] e) [A (B)] 3. Em que casos as sentenas abaixo so falsas? (Em cada item estude todas as possibilidades) a) Ela mineira e ele paraense. b) Ela mineira ou ele paraense. c) falso que ela mineira e ele paraense. d) falso que ela mineira e falso que ele paraense. 4. Sejam as expresses A O cu azul, B Deus existe e C O Sol gira em torno da Terra. Fornecer uma sentena na linguagem natural que descreva cada uma das afirmaes abaixo: a) (A) b) (A B) c) ((A B) C) d) (B (C)) e) [(A) (B)] f) [((A) C)] g) [(A (B))] h) (C (B)) 5. Escreva as sentenas em linguagem simblica abaixo utilizando os conectivos , e . a) No verdade que Galileu esteja certo. b) A gua no pode ser simultaneamente lquida e slida. c) O seguro da casa inclui incndio ou roubo. d) Compro ou no compro. e) No estudarei hoje, mas estudarei amanh e quarta-feira. 6. Determinar a tabela verdade das sentenas abaixo, sendo A = {}, B = , C {} = {{}}: a) [A (C)] b) [(B C)] c) [(B) (C)] d) [(A (B))] f) [[(A) (B)]] g) [A ((A C))]

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7. Em que casos as sentenas abaixo no so falsas? (Estude todas as possibilidades) a) A Terra gira e Maria gosta de Jos. b) Passarei em lgica ou 2 + 2 = 4. c) falso que ela gosta dele e falso que ele gosta dela. d) falso que ela gosta dele e ele gosta dela. 8. Entendemos por disjuno exclusiva ao tipo de disjuno em que as sentenas no podem ocorrer simultaneamente, como no exemplo Ela est alegre ou no est alegre. Definir, nos casos abaixo se o ou corresponde disjuno inclusiva ou exclusiva. a) Eu menti ontem ou mentirei amanh. b) Meu time o campeo deste ano ou no o campeo deste ano. c) Ela se formou em 1993 ou em 1998. d) Com sol ou com chuva, voc trabalhava. e) O terno de Bentinho ou de Escobar. 4) Implicao Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio (A B), a implicao de B por A. A proposio A chama-se antecedente da implicao (A B) e B chama-se o conseqente da implicao (A B). Postulamos que a proposio (A B) falsa se e somente se o antecedente A verdadeiro e o conseqente B falso. Nos demais casos, a proposio (A B) verdadeira. As consideraes acima podem ser esquematizadas como se segue: Tabela-verdade da implicao: A 1 1 0 0 B (A B) 1 1 0 0 1 1 0 1

Exemplo 7. Consideremos as seguintes proposies: 1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 3) [(2 + 4 4) (1 2)] 4) [(2 + 4 4) (1 2)]falsa falsa falsa verdadeira verdadeira falsa verdadeira verdadeira

Esta proposio verdadeira Esta proposio falsa Esta proposio verdadeira Esta proposio verdadeira

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Observao. Teamos algumas consideraes sobre a tabela-verdade referente implicao. 1) A tabela positivamente obscura no uso ordinrio. Vejamos alguns exemplos. Leis causais. Quando a implicao lgica interpretada como causar na linguagem natural. 1. Sejam as sentenas A Este pote dgua for colocado no fogo no instante t0 e B A gua congelar. A sentena A s falsa no caso de o pote no ser colocado no fogo no instante indicado. Coloquemos o pote no fogo num instante t distinto de t0. Logo, A falsa. Consideremos a sentena (A B) Se este pote dgua for colocado no fogo no instante t0 ento a gua congelar. De acordo com a tabela-verdade da implicao, (A B) verdadeira, independentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situao absurda ! 2. Sejam as sentenas A Se sua sogra chegar em sua casa exatamente no instante t0 e B Voc ficar mais inteligente. A sentena A s falsa no caso de sua sogra no chegar em sua casa exatamente no instante indicado (o que muito provvel). Suponhamos que ela venha antes do instante t0. Logo, A falsa. Consideremos a sentena (A B) Se sua sogra chegar em sua casa exatamente no instante t0 ento voc ficar mais inteligente. De acordo com a tabela-verdade da implicao, (A B) verdadeira, independentemente do valor-verdade de B, o que configura uma situao absurda (convenhamos) ! Situaes em que o antecedente no um fato. Consideremos a sentena: Exemplo 8. A sentena Se Joo Guimares Rosa no tivesse escrito nenhuma obra literria, ento no teria havido inflao em nenhuma poca em nosso pas admitidamente falsa, mesmo que o antecedente seja falso. O mesmo se sucede com a sentena Se Cabral no tivesse descoberto o Brasil, ento homem no teria chegado lua. 2) Uma justificativa favorvel que podemos oferecer para a tabela-verdade da implicao a seguinte: admitamos ser razovel a tabela-verdade da conjuno. Para quaisquer sentenas A e B, , ento, razovel considerar a

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sentena ((A B) B) como verdadeira, quaisquer que sejam os valoresverdade de A e B. Assim, se A e B so ambas verdadeiras, (A B) verdadeira, e, por conseguinte, isto justifica a 1 a linha da tabela. Se A falsa e B verdadeira, ento (A B) falsa. Este caso corresponde 3a linha da tabela. Se A e B so ambas falsas, ento (A B) falsa, o que correspondente ltima linha da tabela. 3) Esta observao citada em [Iski & Abe 01]: Temos certeza que o leitor est perplexo que o valor-verdade de 0 0 e 0 1 1. Uma explicao adequada dada no exemplo a seguir. Estamos acostumados a dizer a seguinte sentena: se x divisvel por 10, ento x divisvel por 2. Se escrevermos em smbolos obtemos x(x/10 x/2). (Aqui, a expresso x/a significa que x divisvel por a.) A expresso anterior amplamente aceita como verdadeira.. Como x arbitrrio, se fizermos x = 20, temos 20/10 = 2 e 20/2 = 10 e, por conseguinte, como o antecedente e o conseqente so ambos verdadeiros, a expresso como um todo verdadeira (isto , o valor verdade de 1 1 associado 1). Se fizermos x = 8, o antecedente falso enquanto que o conseqente verdadeiro, ou seja temos o caso 0 1; no entanto a expresso como um todo verdadeira. Finalmente, se fizermos x = 5, tanto o antecedente quanto o conseqente so falsos, porm a expresso como um todo verdadeira. Esta explicao conhecida como interpretao do famoso lgico polons S. Lesniewski. Convm ressaltar que nas consideraes acima h uma questo muito importante subjacente, ou seja, contm um problema de metodologia matemtica. Questes da lgica proposicional levamos para uma estrutura generalizada denominada lgica de predicados, e ali podemos eleger respostas adequadas. Por exemplo, ainda sobre esse procedimento, sabemos que no podemos efetuar subtraes quaisquer de nmeros naturais. Porm, se estendermos para os nmeros inteiros , obtemos uma boa interpretao para a subtrao. Outro exemplo, o mesmo se d quando uma equao quadrtica no solvel no conjunto dos reais, apelamos para o mundo dos nmeros complexos onde obtemos uma soluo. De modo geral, a observao importante que ao considerarmos uma estrutura bsica, vrios problemas tm uma resposta adequada em estruturas mais gerais. Exerccio 5. Nas seguintes sentenas dizer qual o antecedente e qual o conseqente: 1. (2 + 2 = 7 2 + 1 = 0) 2. Det(M) = 0 implica que M no invertvel. 3. Se f : uma funo derivvel, ento f : uma funo contnua.

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1. 2. 3. 4.

Exerccio 6. Dizer se so verdadeiras ou falsas (adote o bom senso nos juzos): Se a neve branca, ento Paris a capital da Frana. Se Penha um bairro de So Paulo, ento o cu no contm estrelas. Se os planetas giram em torno da terra, ento inexistem extra-terrqueos. Se o sol um planeta inerte, ento a terra uma estrela.

5) Bi-implicao Dadas as proposies A e B podemos considerar a nova proposio (A B), a bi-implicao de A e B. Postulamos que a proposio (A B) verdadeira se e somente se as proposies A e B possuem o mesmo valor-verdade. A proposio (A B) falsa se e somente se as proposies A e B tiverem valores-verdade trocados. As consideraes acima podem ser esquematizadas como se segue: Tabela-verdade da bi-implicao: A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 (A B) 1 0 0 1

Exemplo 9. Consideremos as seguintes proposies: 1) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 2) [(2 + 4 = 4) (1 2)] 3) [(2 + 4 4) (1 2)] 4) [(2 + 4 4) (1 2)]falsa falsa falsa verdadeira verdadeira falsa verdadeira verdadeira

Esta proposio verdadeira Esta proposio falsa Esta proposio falsa Esta proposio verdadeira

Exerccio 7. Faa o que se pede. 1. Indiquemos por A Est calor e por B vero. Escrever em forma simblica as seguintes afirmaes: a) vero somente se est calor. b) Uma condio necessria para estar calor que seja vero. c) Uma condio suficiente para estar calor que seja vero. d) Sempre que vero, faz calor. e) Nunca vero, quando est calor.

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2. Dentro do contexto da lgica proposicional, identifique as sentenas abaixo quanto a sua veracidade ou falsidade justificando devidamente cada resposta dada. a) (5 + 4 = 9 2 4), b) (3 + 2 = 6 2 + 2 = 4), c) (5 + 3 = 7 4 + 4 = 7), d) (4 + 3 = 7 2 + 3 = 4), e) (2 + 3 = 5 2 + 2 = 4), f) (3 + 3 = 5 32 33), g) (2 + 4 = 7 2 + 2 = 5), h) (3 + 2 = 5 2 + 2 = 5), i) (6 + 2 = 8 6 8), j) (3 + 3 = 5 2 + 2 = 3), k) (2 + 2 = 3 2 + 2 = 4), l) (3 + 4 = 6 3 + 3 = 7), m) (3 2 4 3), n) (32 33 4 + 5 = 8), o) (2 3 (2 + 2 = 4 7 + 2 = 9)), l) ((3 4 4 3) 3 + 3 = 7). A seguir apresentamos algumas leituras que a negao, conjuno, disjuno, implicao e bi-implicao podem ter na linguagem natural.

(A)

No A; No se d que A; No fato que A; No verdade que A; No que A; No se tem A. A e B; A, mas B; A, embora B; A, assim como B; A e, alm disso, B; Tanto A como B; A e tambm B; No s A, mas tambm B; A, apesar de B. A ou B ou ambos. se A, ento B; se A, isto significa que B; tendo-se A, ento B; quando A, ento B; sempre que A, B; B, sempre que se tenha A; B, contanto que A; A condio suficiente para B; B condio necessria para A; Uma condio suficiente para B A; Uma condio necessria para A B; B, se A;

(A B)

(A B) (A B)

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B, quando A; B, no caso de A; A, s se B; A, somente quando B; A, s no caso de B; A implica B, A acarreta B, B implicada por A. (A B) A se e s se B; A se e somente se B; A quando e somente quando B; A eqivale a B; Uma condio necessria e suficiente para A B; A condio necessria e suficiente para B

3. Escreva as sentenas a seguir em linguagem simblica, usando sentenas bsicas (ou atmicas), isto , as sentenas que no podem ser construdas a partir de outras sentenas. a) Se Antnio est feliz, a esposa do Antnio no est feliz, e se o Antnio no est feliz, a esposa do Antnio no est feliz. b) Ou Antnio vir festa e Pedro no, ou Antnio no vir festa e Pedro se divertir. c) Uma condio necessria e suficiente para o rei ser feliz ele ter vinho, mulheres e msica. d) Teresa vai ao cinema s se o filme for uma comdia. 4. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A Clarissa sorri B Clarissa desperta C Clarissa vai praia D Clarissa fica indecisa E Clarissa sente o sol a) (B A) b) (A C) c) ((D C) (A (B (E)))) 5. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A o estudante comete erros, B h motivao para o estudo, C o estudante aprende a matria. a) Se o estudante no comete erros, ento ele aprende a matria. b) Se no h motivao para o estudo, ento o estudante no aprende a matria. c) Se h motivao para o estudo, o estudante no comete erros. d) O estudante aprende a matria se, e somente se, h motivao para o estudo.

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6. Simbolize as sentenas abaixo: a) Ou Capitu ou no a criao mais notvel de Machado de Assis. b) No verdade que Machado de Assis escreveu ou no escreveu poesias. c) Se fcil ler o que Jos da Silva escreveu, no fcil ler o que escreveu Guimares Rosa. 7. Escreva as sentenas a seguir em linguagem simblica, usando formas simples, isto , as sentenas que no podem ser construdas a partir de outras sentenas. a) Uma condio suficiente para x ser mpar x ser primo b) Uma condio necessria para uma seqncia s convergir que s seja limitada. c) O suborno ser pago se, e somente se, a mercadoria for entregue. d) Judite vencer o torneio de xadrez, a menos que Tnia vena hoje. e) Se x positivo, ento x2 positivo. 8. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A ganho um livro B ganho uma revista C posso ler D estou motivado E sou aprovado no exame. a) (C (A B)) b) (D (C)) c) (D ((C) (A B))) d) ((D) (E (A B))) e) ((D) (C (A B)) f) (((C) A) (E (D))) 9. Traduza as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A h nuvens, B chover, C ventar. D far bom tempo amanh. a) (A B) b) (A (D)) c) ((D) (B C)) d) ((A) D) e) (A (B C)) f) ((A B) C) g) (A (B C)) h) ((A B) C) i) ((A B) ((C) D)) j) (A ((B C) D)) 10. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A o estudante comete erros;

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B h motivao para o estudo, C o estudante aprende a matria. a) Se no h motivao para o estudo, ento o estudante comete erros ou no aprende a matria. b) Se o estudante comete erros, ento, se no h motivao para o estudo, o estudante no aprende a matria. c) O estudante comete erros; alm disso, h motivao para o estudo e o estudante aprende a matria. d) No h motivao para o estudo se e somente se o estudante comete erros e no aprende a matria. e) Se h motivao para o estudo e o estudante no comete erros, ento o estudante aprende a matria se h motivao. 11. Simbolize as sentenas abaixo, dado o seguinte esquema: A Paulo diminui os erros cometidos, B h motivao para o estudo, C Paulo aprendeu a matria, D O professor bom. a) Se o professor bom, Paulo aprende a matria. b) Se o professor no bom, no h motivao para estudar. c) O professor bom, h motivao para estudar e, alm disso, Paulo aprende a matria. d) Paulo no aprendeu a matria; ele no diminuiu os erros cometidos. e) Se Paulo no diminuiu os erros cometidos, o professor no era bom ou no havia motivao para estudar. f) Paulo aprende a matria ou diminui os erros cometidos. g) Paulo diminui os erros cometidos se, e somente se, h motivao para estudar. h) Se o professor bom, ento, caso haja motivao para estudar, Paulo aprender a matria. i) Paulo diminuir o nmero de erros cometidos se, e somente se, no ocorrer o seguinte: no deixa de haver motivao para o estudo e Paulo no deixa de aprender a matria. 12. Simbolize as sentenas abaixo: a) fcil compreender as obras de Jos da Silva, mas no os de Guimares Rosa. b) Se Diana foi ao baile, no fato que no tenha ido ao baile. c) No fato que Paulo que v festa e fique satisfeito. d) Se o computador auxilia o cientista se, e somente se, altera a sua programao, ento, se altera a programao, til. e) No se d o seguinte: no viajamos e no levamos as barracas. f) Irei praia salvo se chover. g) Vou estudar exceto se tiver vontade. 13. Dadas as sentenas atmicas abaixo, escrever por meio de smbolos: A Ela bonita B Ela inteligente C Ela rica

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D Ela jovem E Ela gosta de mim F Quero casar com ela a) Ela pobre b) Ela rica ou jovem c) Ela inteligente e anci d) No que ela burra e) Se ela rica, ento quero casar com ela f) Ela inteligente, bonita, rica, jovem e ela gosta de mim g) Quero casar com ela, mas ela no gosta de mim h) Uma condio necessria para casar com ela que ela seja bonita i) Uma condio suficiente para casar com ela que ela seja rica j) Ela feia, burra, pobre, anci, mas quero casar com ela k) Quero casar com ela s se ela gosta de mim l) Se ela jovem ento ela bonita m) Uma condio necessria e suficiente para casar com ela que ela goste de mim n) Quero casar com ela, exceto se ela burra 2.6 - Frmulas atmicas e frmulas Como observamos no incio deste captulo, atravs dos conectivos lgicos , , , e , podemos construir sentenas mais complexas a partir de outras sentenas mais simples. Este procedimento clarificado pela seguinte regra de formao de sentenas: Partimos de certas sentenas denominadas frmulas atmicas1 : p, q, r, ... Elas desempenham, intuitivamente, o papel de sentenas bsicas ou atmicas da linguagem proposicional. As sentenas (que daqui em diante recebero o nome de frmulas) em geral so obtidas pela seguinte definio indutiva generalizada: 1. Todas as frmulas atmicas so frmulas. 2. Se A e B so frmulas, ento (A), (A B), (A B), (A B) e (A B) so tambm frmulas. 3. Uma dada expresso constitui uma frmula se e somente se foi obtida pela aplicao de uma das regras (1 ou 2) acima. Observe-se que os smbolos A e B introduzidos na definio anterior (item 2) se tratam de variveis que denotam sentenas quaisquer da linguagem proposicional. O leitor deve estar atento para o fato de que tais smbolos no so propriamente smbolos da linguagem em apreo, mas sim smbolos que esto fora da linguagem proposicional. Tais variveis denominam-se, costumeiramente, meta-variveis.

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A clusula 3 da definio acima tambm conhecida como clusula maximal e, juntamente com as demais, permite-nos reconhecer quando uma dada expresso se trata de uma frmula ou no. Daqui em diante, usamos tambm a seguinte terminologia: diz-se que uma frmula (A) do tipo no. (A B) do tipo e (A B) do tipo ou (A B) do tipo implica (A B) do tipo bi-implica. 2.7 - rvore de composio de uma frmula. rvore de decomposio. Vimos a definio de frmula no pargrafo anterior. Podemos esquematizla no que chamamos rvore de formao de frmulas: A, B, C, D indicam frmulas atmicas.A (A B) ((A (B C))

B (B C)

C (C D) ((C D) (B C))

D (D D)

...

(A)

((A))

((D D))

Na rvore acima notamos alguns pontos importantes. Inicialmente, observemos a 1a linha: partimos de sentenas atmicas A, B, C, D, ... que constitui a regra 1 da definio de frmula. Observemos a 2a linha: aplicamos a regra 2 e obtemos novas frmulas: (A), (A B), (B C), (C D), (D D), dentre outras. Observe que as frmulas obtidas seguem estritamente a regra 2, ou seja, por exemplo, em (A B), absolutamente necessrio abrir um parntesis esquerda, escrever a atmica A, escrever o conectivo e depois escrever a atmica B e finalmente fechar o parntesis esquerda. Observemos a 3a linha: aplicamos a regra 2 novamente e obtemos novas frmulas: ((A)), ((A (B C)), ((C D) (B C)), ((D D)), entre outros. Novamente atente para a regra 2 que foi aplicada cuidadosamente s frmulas anteriormente obtidas. Finalmente, queremos observar ao leitor que muito importante ento aplicar corretamente a regra de formao de frmulas. A verificao cuidadosa da formao de frmulas, permite tambm imediatamente analisar como uma frmula foi obtida. Esta tarefa de fundamental importncia para as discusses deste livro. A seguir, prepare1

No sentido de sentena indecomponvel.

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mos alguns conceitos para o enquadramento desta noo. Vamos exibir um processo grfico para determinar todas as subfrmulas (i.e., intuitivamente, todas as frmulas que compe a frmula em questo) de uma dada frmula. Tal processo faz uso de uma estrutura, muito utilizada nas diversas reas das cincias da computao, chamada rvore, mais precisamente faremos uso somente de rvores binrias. A seguir, apresentamos graficamente as componentes de uma rvore binria qualquer, observamos que tal descrio, no tem nenhum carter formal, apenas para nos familiarizarmos com os elementos dessa estrutura.

Acima est a representao grfica de uma rvore binria genrica, chamamos de aresta o segmento de reta que liga os ns, (ou vrtices ). Os ns ou vrtices so de trs espcies, o n a partir da qual toda a rvore gerada chamado de raiz, o n terminal chamado de folha e os ns intermedirios chamados de n interior. Freqentemente utilizaremos as seguintes denominaes para determinados ns de uma rvore binria n pai, n filho, n irmo. Tal denominao pode ser vista no diagrama abaixo, referente a rvore anteriormente citada.

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Observaes: 1. Chamamos a estrutura acima de rvore binria, pois cada n pode ter zero, um ou no mximo dois filhos. 2. Podemos tambm classificar os ns como sucessores e ancestrais, por exemplo:

Utilizaremos essa estrutura de rvore binria do seguinte modo: 1. Dada uma frmula qualquer S esta ser a raiz da rvore de subfrmulas de S, 2. Se S uma frmula do tipo no, ento ela composta por uma frmula A, de tal modo que S = (A), logo teremos (A)

A 3. Se S uma frmula do tipo e, ento ela composta por duas frmulas A e B de tal modo que S = (A B), logo teremos (A B). A B 4. Se S uma frmula do tipo ou, ento ela composta por duas frmulas A e B de tal modo que S = (A B), da teremos (A B) A B 5. Se S uma frmula do tipo implica, ento ela composta por duas frmulas A e B de tal modo que S dado por (A B), e teremos (A B) A B 6. Se S uma frmula do tipo bi-implica, ento ela composta por duas frmulas A e B de tal modo que S dado por (A B), e teremos

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(A B) B Cada n representa uma frmula, em particular, cada n gera uma sub-rvore, isto , cada n pode ser considerada uma raiz de uma rvore menor que tem como ns os sucessores do respectivo n raiz. A construo de uma rvore de subfrmulas a partir de uma frmula dada, termina quando todas as folhas contiverem somente letras proposicionais. muito importante o leitor ter em mente que uma frmula definida passo a passo e nica a sua construo. Assim, por exemplo, podemos dizer qual conectivo foi aplicado inicialmente, o segundo, etc., at chegarmos ao ltimo. Desse modo, possvel decompor uma frmula exibindo todas as suas frmulas que o compe. Como este tema relevante, convm familiarizarmos mais de perto. Analisemos a frmula: 1) [A (B C)] Podemos verificar sem dificuldade que ela foi obtida das frmulas A e (B C) pela aplicao do conectivo . Portanto, este foi o ltimo conectivo que foi aplicado frmula [A (B C)]. Esquematizamos isso assim: [A (B C)] A (B C) A

A frmula (B C) por sua vez foi obtida das frmulas atmicas B e C. (B C) B C

A rvore final fica assim: [A (B C)] A (B C) B C

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Notamos alguns passos importantes: 1. O primeiro conectivo aplicado ento . 2. O ltimo conectivo aplicado . Vejamos mais um exemplo: 2) {[[(B) ((A))] [((B C))]]} Como saber a seqncia em que foram aplicados os conectivos ? Se prestarmos ateno quando definimos a definio de frmula, vimos uma propriedade que um parntesis esquerda possui sempre o parntesis direita correspondente. Vejamos. Voc pode identificar isso de vrios modos, porm, h alguns pares de parntesis bvios. Por exemplo, o par de parntesis mais externos da frmula:

Vemos que a frmula {[[(B) ((A))] [((B C))]]} foi obtida de [[(B) ((A))] [((B C))]] pela aplicao do conectivo . Logo, deduzimos que a primeira ocorrncia foi o ltimo conectivo aplicado frmula. Por conseguinte, o tipo desta frmula negao. [[(B) ((A))] [((B C))]] por sua vez foi obtida de (1) [(B) ((A))] e (2) [((B C))] pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior.

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Analisemos separadamente: (1) [(B) ((A))] foi obtida de (B) e ((A)) pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. (B) foi obtida de B pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. ((A)) foi obtida de (A) pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. (A) foi obtida de A pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. (2) [((B C))] foi obtida de ((B C)) pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. ((B C)) foi obtida de (B C) pela aplicao do conectivo . Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. (B C) por sua vez foi obtida das frmulas atmicas B e C. Logo, foi o ltimo conectivo aplicado na frmula anterior. A rvore de decomposio toma a forma: {[[(B) ((A))] [((B C))]]} [[(B) ((A))] [((B C))]]

[(B) ((A))] (B) B ((A)) (A) A

[((B C))] ((B C)) (B C) B C

Vendo o esquema de decomposio de uma frmula, podemos ento identificar qual foi o ltimo conectivo que foi aplicado quela frmula. Da podemos determinar o tipo de uma frmula. Faamos mais exemplos. 3) {[(A B) A] A} Vemos 3 conectivos . O ltimo a terceira ocorrncia de . O tipo desta frmula ento implicao. Logo, a rvore de decomposio fica

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{[(A B) A] A} [(A B) A] (A B) A B A A

4) {A [C (A C)]} Vemos 3 ocorrncias de conectivos: , , . O ltimo a primeira ocorrncia de . O tipo desta frmula ento conjuno. Logo, a rvore de decomposio fica: {A [C (A C)]} A C [C (A C)] (A C) A C

5) {[( E C) (A D)] [(E C) (A D)]} Vemos 7 ocorrncias de conectivos: , , , , , , . O ltimo a quarta ocorrncia . O tipo desta frmula ento conjuno. Logo, a rvore de decomposio fica: {[( E C) (A D)] [(E C) (A D)]} [( E C) (A D)] ( E C) E C (A D) A D [(E C) (A D)] (E C) E C (A D) A D

Exerccio 1. Em cada uma das frmulas abaixo dizer qual o ltimo conectivo aplicado e o tipo da frmula. Em seguida faa a rvore de decomposio. 1. {(A (C)) [[[C (A C)]] [[( E C) (A D)]]]} 2. (((( E C) (A D)) ((( E C) ((F D))) (E D))))

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3.

{[[[[(A B) B] A]]]} Exemplo 1. (Frmulas e suas respectivas rvores de subfrmulas)

1. Dada a frmula A a nica subfrmula a prpria frmula A, ou seja, a rvore de subfrmulas constitui-se de um nico n que a prpria raiz. 2. Dada a frmula B a nica subfrmula dada pela prpria frmula B, isto , a rvore de subfrmulas constitui-se de um nico n que a prpria raiz. 3. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C) B C

Nesse caso a rvore constitui-se de trs ns, o n raiz contm a frmula (B C), a seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que determina o tipo da frmula e que liga as letras proposicionais B e C, repare que as letras proposicionais so as folhas da rvore. Os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e por fim, note que cada n representa uma subfrmula da frmula dada. 4. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C) B C

A rvore compe-se de trs ns, na raiz temos a frmula (B C), a seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz a ligao das letras proposicionais B e C. As letras proposicionais so as folhas da rvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representa uma subfrmula da frmula dada. 5. Dada a frmula (B C) teremos a seguinte rvore de subfrmulas: (B C) B C

Novamente, a rvore compe-se de trs ns, no n raiz temos (B C), a seguir vemos que a rvore divide-se em duas, a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz a ligao das letras proposicionais B e C. As letras proposicionais so as folhas da rvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representa uma subfrmula da frmula dada. 6. Dada a frmula (B) temos a seguinte rvore de sufrmulas:

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(B) B Aqui a rvore compe-se de dois ns, na raiz est a frmula (B), a seguir vemos que a rvore decompe-se em uma parte, novamente a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que determina o tipo da frmula, aplicada na frmula atmica B. A frmula atmica a folha da rvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, e cada n representa uma subfrmula da frmula dada. 7. Considere a frmula ((A) B) a sua rvore de formao : ((A) B) (A) A Na raiz da rvore est a frmula ((A) B) e a rvore decomposta em duas partes. A quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz a ligao das frmulas (A) e B. A frmula atmica r uma das folhas da rvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados. Uma das folhas da rvore acima contm (A), que no uma frmula atmica, da a necessidade de continuarmos o processo de decomposio. Novamente os parnteses mais externos do n filho de (A) so eliminados. 8. Considere a frmula (A (B)) teremos a seguinte rvore de decomposio: (A (B)) A (B) B 9. Considere a frmula ((A B) A) teremos a seguinte rvore de decomposio: ((A B) A) (A B) A B

A B Na raiz da rvore est a frmula (A B) A), a rvore decomposta em duas partes e a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz a ligao das frmulas (A B) e A. A frmula atmica A uma das folhas da rvore, os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados. Uma das folhas da rvore acima contm (A B), que no uma frmula atmica, da a necessidade de continuarmos o processo de decomposio.

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Novamente os parnteses mais externos dos ns filhos de (A B) so eliminados. Note que apesar da rvore apresentar cinco ns a frmula ((A B) A) tem somente quatro subfrmulas distintas, entre si, basta ver que dois ns contm a uma mesma frmula. 10. Considere a frmula ((A B) C) teremos a seguinte rvore de decomposio: ((A B) C) (A B) A B C

Temos na raiz a frmula ((A B) C), a seguir vemos que a rvore decomposta em duas partes, e a quebra ocorre exatamente sobre o conectivo que faz a ligao das subfrmulas (A B) e C. Os parnteses mais externos de cada n abaixo da raiz so eliminados, como as folhas da rvore acima so (A B) e C, que no so letras proposicionais temos a necessidade de continuarmos o processo de decomposio. Fazendo a decomposio da rvore at que todas as folhas sejam letras proposicionais obteremos a rvore acima. 11. Considere a frmula (C (B A)) teremos a seguinte rvore de decomposio: (C (B A)) C (B A) B A

12. Seja dada a seguinte frmula (A (B A)), vejamos a sua rvore de subfrmulas. (A (B A))

A

(B A) B A

13. Dada a a frmula ((A C) (B A)) teremos a seguinte rvore de decomposio: ((A C) (B A))

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(A C) A

(B A) C B A

14. Considere a frmula ((A C) (B D)) teremos: ((A C) (B D)) (A C) A C (B D) B D

15. Considere a frmula (((A B)) (C)) teremos a seguinte rvore de decomposio: (((A B)) (C)) ((A B)) (A B) A B (C) C

16. Considere a frmula (((A B)) ((C))). Temos: (((A B)) ((C))) ((A B)) (A B) A B ((C)) (C) C

17. Dada a frmula ((A B) ((A (B)) (A))) temos: ((A B) ((A (B)) (A))) (A B) A B ((A (B)) (A)) (A (B)) A (B) (A) A

B Exerccio 2. 1) Determine todas as subfrmulas de cada uma das frmulas dadas a seguir, usando o conceito de rvore de decomposio. 1. ((A C) ((B C) ((A B) C))).

50

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

(( A (A B)) A) ((A (A B)) A) ((A (A B)) (A B)) (((A B) (A C)) (A (B C))) ((( A B)) ((A) (B))) (((A B)) ((A) (B))) [[A (B C)] [(A B) (A C)]] [[A (B C)] [B (A C)]] [(A B) (A B)] [((A) B) (B A)]

2) Idem. 1. [((A B)) ((A B))] 2. [(A B) ((B) (A))] 3. [(A (B C))] 4. [(A B) (A C)] 5. [[(B) (A)] [(((B) A)) B]] 6. [[(B) (C)] (A)] 2.8 - Tabela-verdade de uma frmula Temos agora condies de construir a tabela-verdade de qualquer frmula dada. Seja A uma frmula qualquer, considere o esquema a seguir.P a sso s 1 2 3 4 Instrues Construa a rvore de decomposio da frmula. Veja quais e quantas so as frmulas atmicas. Escreva em ordem alfabtica as atmicas e trace colunas para cada uma delas Trace 2n linhas, sendo n o nmero de atmicas Agora olhe para a rvore de decomposio. Se houver apenas um ramo, olhe-as de baixo para cima, e escreva cada uma das sub-frmulas da esquerda para a di rei ta (senti do usual de escri ta), cada uma em uma coluna separada Se a rvore apresentar dois ramos, consideramos primeiro o ramo da e s q ue rd a , e e s c re va c a d a uma d a s s ub -f rmula s c o me a nd o p e la s a t mi ca s, d e b a i xo p a ra ci ma , tra nsp o rta nd o -a s na p ri me i ra li nha e escrevendo-as da esquerda para a direita (sentido usual de escrita), cada uma em uma coluna separada. Passe coluna da direita e faa o mesmo, at esgotar todas as sub-frmulas de A, at chegar ltima frmula que A.

5

6

Como preencher a tabela-verdade:

51

P a sso s 1 2

Instrues Olhemos inicialmente todas as colunas das atmicas. . Na primeira coluna, preenchemos a primeira metade com 1 e a outra metade com 0. N a s e g und a c o l una , p a r a c a d a m e t a d e d e 1 d a p r i m e i r a c o l una , preenchemos a primeira metade com 1 e a outra metade com 0. Na outra metade 0, ai nda da pri mei ra coluna, preenchemos a pri mei ra metade com 1 e a outra metade com 0. Nas demais colunas, repete-se o processo anterior, para cada bloco de 1 e de 0, at chegar ltima coluna que deve apresentar-se assim: 1, 0, 1, 0, etc.

3

4

Preenchimento das demais colunas.P a sso s 1 2 3 Instrues A tabela j est pronta para que a primeira coluna aps as atmicas seja preenchvel olhando-se a tabela verdade da frmula da coluna. Re p e te -s e o p ro c e s s o a c i ma , p o i s a ta b e la j d a s e q nc i a d e preenchimento. Como na ltima coluna deve figurar a frmula A, a tabela-verdade de A est feita

Vejamos vrios exemplos para que o leitor se familiarize com este conceito. 1. ((B C)) (B C) B CB 1 1 0 0 C 1 0 1 0 (B C) 1 0 0 0 ((B C)) 0 1 1 1

2.

((B) C) (B) CB 1 1 0 0 C 1 0 1 0 (B ) 0 0 1 1 ((B C)) 0 0 1 0

52

3. D

(D (E)) (E) E

D 1 1 0 04. (A (B A))

E 1 0 1 0

() 0 1 0 1

D () 0 1 1 1

A

(B A)

B

A

A 1 1 0 05. (A ((B A)))

B 1 0 1 0

( ) 1 0 0 0

A ( ) 1 0 1 1

A

((B A)) (B A) B A

53

A B ( ) ((B A)) (A ((B A))) 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1(A (B A)) 6. A (B A)

BA 1 1 0 0 B 1 0 1 0 (B A) 1 1 0 1

A(A (B A) 1 1 1 1

7.

((A B) A)

(A B)

A

AA 1 1 0 0

BB 1 0 1 0 (B A) 1 0 1 1 (B A)A ) 1 1 0 0

54

8.

((A B) A)

(A B)

A

AA 1 1 0 0

BB 1 0 1 0 (A B) 1 0 0 1 ((A B) A) 1 1 1 0

9. A

{A [(B) C]} [(B) C] (B) BA 1 1 1 1 0 0 0 0 B 1 1 0 0 1 1 0 0 C 1 0 1 0 1 0 1 0 (B) 0 0 1 1 0 0 1 1 [(B) C] 0 0 1 0 0 0 1 0 {A [(B) C]} 0 0 1 0 1 1 1 1

C

55

10.

{(A B) [B (B A)]} (A B) A B [B (B A)] B (B A) B A

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

(A B) (B A) [B (B A)]} {(A B) [B (B A)]} 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1

11.

{[A (A)]} [A (A)] A (A)

A 1 0

(A) 0 1

[A (A)] 0 0

{[A (A)]} A) 1 1

12.

{[(A B)] [(A) (B)]}

[(A B)] (A B) A B

[(A) (B)] (A) A (B) B

56

A B (A B) [(A B)] (A) (B) 11 1 0 0 0 10 0 1 0 1 01 0 1 1 0 00 0 1 1 1

[(A) (B)]} 0 1 1 1

{[(A B)] [(A) B)]} 1 1 1 1

13.

{[A (B C)] [(A B) (A C)]}

[A (B C)]

[(A B) (A C)]

A BA 1 1 1 1 0 0 0 0 B 1 1 0 0 1 1 0 0

(B C) CC (B C) 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

(A B) A B

(A C) A C[(A B) (A C)] 1 1 1 1 1 1 1 0 S 1 1 1 1 1 1 1 0

[ ( )] 1 0 0 0 1 1 1 1

(A B) (A C) 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0

14. [(A B) (B A)]

(A B)

(B A)

A

B

B

A

57

A B ( ) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

(B A) 1 0 0 0

[(A B) (B A)]) 1 1 1 1

15. S {(A A) [(B A) [(A B) B]]}

(A A) A A

[(B A) [(A B) B]] (B A)[(A B) B] B A A (A B)B BS 1 1 1 1

A B (A A) (B A) ( 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0

) [(A 1 1 1 0

B) B]) [(B A) [(A B) B]] 1 0 1 1 1 0 1 1

16. (A ((B A)))

A

((B A))

(B A)

B

A

58

A 1 1 0 0

B 1 0 1 0

(B A) ((B A)) (A ((B A))) 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1

17)

(((A B)) A)

((A B))

A

(A B)

AA 1 1 0 0 B 1 0 1 0

B

(A B)) ((A B)) (((A B)) A) 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

18.

(((A B)) A)

((A B))

A

(A B)

A