UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE / SEDIS

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

Alexsandro Cavalcanti Dantas

O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL

Currais Novos, 2016

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE / SEDIS

CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

ALEXSANDRO CAVALCANTI DANTAS

O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL

Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte / SEDIS como parte dos requisitos para obtenção do Título de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

Currais Novos, 2016

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A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz)

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Alexsandro Cavalcanti Dantas

O ESTUDO DE RESTOS, CONGRUÊNCIA E DIVISIBILIDADE: UMA ABORDAGEM TEÓRICA APLICADA AO ENSINO MÉDIO NO BRASIL

Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte / SEDIS como parte dos requisitos para obtenção do Título de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

Banca Examinadora

_____________________________________________________

1º Membro Titular: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

_____________________________________________________

2º Membro Titular: Professora Julia Victoria Toledo Benavides

_____________________________________________________

3º Membro Titular: Professor Odilon Júlio dos Santos

Currais Novos (RN), ___ de ___________ de 2016

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Dedico este trabalho primeiramente a Deus,

aos meus pais Francisco José Dantas e

Sonia de Sousa Cavalcanti Dantas

Que me apoiaram, independente das circunstancias.

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AGRADECIMENTOS

A Deus, Sempre e por tudo me conceder sabedoria e força de vontade a mim e está

sempre comigo nos momentos mais importantes e mais difíceis da minha vida. A meus

pais Francisco e Sonia pelo incentivo, paciência e apoio que me foram dados durante o

período do curso e de elaboração deste trabalho. Aos meus professores da

Especialização pelos conhecimentos passados durante o curso, em especial a meu

orientador professor Benedito Freire por toda orientação e contribuição que foi de

grande importância para que este trabalho pudesse ser realizado

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RESUMO

Esta monografia aborda a aritmética modular, trabalhando em cima dos conceitos de restos, congruência e divisibilidade, como uma ferramenta valiosa de ensino para todas as séries do ensino de matemática básica no Brasil. Apresenta um breve embasamento teórico, pautado nos conceitos e propriedades aritméticas dos restos, a teoria básica das congruências e conceitos aplicados a divisibilidade, demonstrando principalmente os seus principais critérios, sempre com o cuidado de não exceder quanto ao que é realmente necessário absorver nesta etapa de aprendizado. Justifica propor o ensino deste tópico aos estudantes de nível médio o que não é feito tradicionalmente nesta faixa de ensino, através de problemas desenvolvidos no cotidiano e das provas que são desenvolvidas através dos critérios de divisibilidade.

Palavras chave: aritmética modular, restos, congruência, divisibilidade, critérios de divisibilidade.

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ABSTRACT

This paper addresses the modular arithmetic, working on the concepts of debris, congruence and divisibility, as a valuable teaching tool for all basic math education series in Brazil. Presents a brief theoretical framework, based on the concepts and arithmetic properties of the remains, the basic theory of congruences and concepts applied to divisibility, mainly demonstrating its main criteria, always careful not to exceed as to what is really necessary to absorb this stage of learning. Appropriate to propose the teaching of this topic to high school students which is not traditionally done in this educational track through problems developed in daily life and the tests that are developed through the divisibility criteria.

Keywords: modular arithmetic, remains, congruence, divisibility, divisibility criteria.

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO10

2. INTRODUZINDO O ESTUDO DA ARITMÉTICA DOS RESTOS.........................11

2.1 Algoritmo da divisão Euclidiana11

2.1.1 Partes da Divisão..............................................................................................11

2.1.2 Quando usar a Divisão......................................................................................11

2.2 Propriedade Aritmética dos Restos.........................................................................14

3. CONGRUENCIA........................................................................................................16

4.DIVISIBILIDADE.......................................................................................................18

4.1. Múltiplos e Divisores.............................................................................................18

4.2. Números primos....................................................................................................18

4.2.1. A explicação do Crivo de Erastótenes.............................................................19

4.3. Critérios de Divisibilidade......................................................................................20

4.4. Um método prático para o cálculo do MDC e do MMC.......................................29

4.4.1. Cálculo de MDC e de MMC............................................................................29

4.4.2. O outro método...............................................................................................30

4.4.3. Descrição do método......................................................................................30

4.4.4. Justificativa do método...................................................................................30

4.4.5. Uma disposição do método para o cálculo do MDC e do MMC.....................31

5. A APLICAÇÃO DA ARITMÉTICA MODULAR NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.................................................................................................................326. CONCLUSÃO............................................................................................................38

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7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................39

1. INTRODUÇÃO

A palavra aritmética, proveniente do grego arithmetiké, significa “ciência dos números”. É conhecida como um dos ramos mais antigos e elementares da matemática, tendo surgido com a necessidade do homem de contar e evoluído com sua necessidade de calcular. O prefixo 'ar' significa reunir, ou seja, a aritmética é a ciência que reúne - soma, subtrai, multiplica, divide - os números. Trata-se, portanto, da parte da matemática que estuda as operações numéricas.

Dentre essas operações, esta monografia tem como foco as divisões nos naturais e seus respectivos restos, caracterizando assim a chamada Aritmética Modular, cujas bases teóricas tiveram início com trabalhos do matemático suiço Euler, por volta de 1750. Posteriormente, grandes matemáticos como Lagrange e Legendre também produziram trabalhos sobre o assunto. Porém a “Teoria das Congruências” se tornou mais explícita através do livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801 pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), abordando o assunto com a simbologia e definições utilizadas até hoje.

O estudo da aritmética faz parte do currículo obrigatório do ensino de matemática básica brasileira, o mesmo não acontecendo especificamente com a aritmética modular, conteúdo que acaba sendo visto apenas por estudantes que seguem alguns ramos das ciências exatas no ensino superior.

Utilizando como motivação o ensino da matemática como ferramenta de formação de um cidadão crítico, capaz de compreender pensamentos conceituais, o presente trabalho tem como objetivo propor a inserção de uma introdução à “Teoria dos Restos, Congruências e Divisibilidade” nas séries do Ensino Médio, discutindo suas aplicações aos conhecidos (mas raramente demonstrados nesse nível) critérios de divisibilidade.

A metodologia utilizada para justificar tal escolha será apresentar uma breve fundamentação teórica no capítulo 2 e argumentar utilizando dois enfoques específicos: no capítulo 3, introduzindo os conceitos de congruência e sua real aplicação e no capítulo 4 é abordado através das demonstrações dos critérios de divisibilidade mais utilizados, o que não é tradicionalmente feito no Ensino Fundamental e nem no médio, pela falta de um arcabouço teórico que torne tais demonstrações viáveis; No capítulo 5, apresentaremos e resolveremos problemas recentes de concursos, ao utilizarmos a Aritmética Modular, tornam-se mais simples.

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Pretendemos que esta monografia possa servir de ponto de apoio ao professor, com um caráter de “formação continuada”, e que também se mostre aplicável em sala de aula, que estimule o raciocínio lógico como ponto chave do aprendizado da matemática, em detrimento de assimilar métodos ou fórmulas preestabelecidas.

Temos também como meta obter conclusões sobre a validade e adequação do ensino da Aritmética Modular nesta fase de aprendizado, se realmente é condizente e útil com a maturidade e necessidades dos alunos nesse ponto do ciclo escolar.

2. INTRODUZINDO O ESTUDO DA ARITMÉTICA DOS RESTOS

2.1. ALGORÍTMO DA DIVISÃO EUCLIDIANA

Como sabemos, a divisão é a operação inversa a da multiplicação. Para ilustrar, podemos destacar a seguinte situação problema.

Exemplo 1:

Maria corta o pão em fatias para o Jantar. Ela calcula: “Somos cinco, eu, meu marido e meus três filhos; seis fatias para cada um é o suficiente.

Logo serão necessárias 6 × 5 = 30 fatias de pães.

Na mesa, cada um faz o pensamento inverso ao da mãe: “Uma, duas, três, ..., são trinta fatias; somos cinco, trinta fatias divididas para cinco pessoas, quer dizer que cada um poderá comer seis fatias.

30 fatias ÷ 5 pessoas = 6 fatias de Pães para cada Pessoa.

Assim, na situação acima trabalhamos com o conceito de dividir, cuja notação é (÷), (lê-se dividido por) e o resultado da mesma é chamado de quociente.

2.1.1. Partes da divisão

De uma maneira geral, se a, b são números inteiros e a ≠ 0, a divisão de b por a implica na existência de dois números inteiros q e r, tais que

b = q.a + r, com 0 ≤ r < a

Chamamos o número b de dividendo, a é o divisor, q é o quociente e o número r é o resto da divisão. Este fato é conhecido como Algoritmo da Divisão ou Algoritmo de Euclides.

Dizemos que a divisão é exata quando r é igual a zero. Neste caso, temos que

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b = q.a,

e costumamos notar que a |b (isto é, a divide b). Isto significa dizer que o número inteiro não nulo a divide o número inteiro b se existe um número inteiro q para o qual b = qa. Nesta situação, dizemos que b é um múltiplo de a.

2.1.2. Quando usar a divisão?Veja em que situações você pode usar essa operação. Você precisa saber isso para resolver os probleminhas de matemática:

Exemplo 2: Quatro agricultores formaram uma pequena cooperativa, conseguindo arrecadar R$ 2.540,00 na colheita de milho. Quanto cada um vai receber?

Solução:

Esse é um problema típico de divisão: ao dividir 2.540 reais para 4 pessoas, pensa-se sempre em quantias iguais para cada um dos agricultores. A divisão é uma inversão: ela desmancha a operação de multiplicação. Queremos saber qual parte cada um deve receber para que ao juntar as 4 partes (multiplicarmos por 4), obtenha-se o total arrecadado pela venda da colheita (2540).

Essa pergunta é resolvida pela divisão 2540 ÷ 4 = 635.

Uma questão: Por que, dados dois inteiros quaisquer, um deles não nulos, o Algoritmo da Divisão sempre funciona

A explicação segue a seguir.

Sejam dados os números naturais a e b, com a > 0 e b qualquer. Queremos comparar o número natural b com os múltiplos do número a.

Para isto, consideramos todos os intervalos da forma [na, (n+1)a), para n um número natural qualquer. É fácil ver que podemos escrever N, o conjunto dos números naturais, como uma união infinita de intervalos:

N = [0, a) [a, 2a) [2a, 3a) ... [na, (n+1)a) ..........,

onde os intervalos acima são dois a dois disjuntos, isto é, sem elementos comuns. Esse conjunto de intervalos disjuntos cuja união nos dá o conjunto N é o que chamamos de uma partição de N.

Portanto, o número b estará em um e apenas um dos intervalos acima. Digamos que b pertença ao intervalo

[qa, (q+1)a)

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Logo, existem dois números naturais q e r, unicamente determinados, tais que:

b = a.q + r, com 0 ≤ r < a

Note que dados dois números naturais a e b, nem sempre b é múltiplo de a, este será o caso se, e somente se, r = 0.

Como determinar os números q e r na divisão euclidiana?

Caso b < a. Como b = 0 × a + b, temos que q = 0 e r = b.

Caso b = a. Neste caso, tomamos q = 1 e r = 0.

Caso b > a, Podemos considerar a sequência:

b – a, b – 2a, ... , b – na,

Até encontrar um número natural q tal que b – (q+1)a < 0, com b – q.a > 0, Assim, obtemos b = q.a + r, onde r = b – q.a e, portanto, 0 ≤ r < a.

Por exemplo, para dividir o número 54 por 13, determinamos os resultados da subtração de 54 pelos múltiplos de 13.

54 – 13 = 41,

54 – 2 × 13 = 28,

54 – 3 × 13 = 15,

54 – 4 × 13 = 2,

54 – 5 × 13 = - 11 < 0.

Assim, a divisão euclidiana de 54 por 13 se expressa como:

54 = 4 × 13 + 2.

Dados inteiros a e b, com a > 0, existe um único par de inteiros q e r tal que

b = q.a + r, com 0 ≤ r < a

Se a > 0, os possíveis restos de um número qualquer por a são os números 0, 1, ..., a - 1.

Por exemplo, os possíveis restos da divisão de um número inteiro por 2 são r = 0 e r = 1.

Se um dado número inteiro m, quando dividido por 2, deixa resto r = 0, isto é, m = 2q, dizemos que ele é um número par.

Por outro lado, quando da divisão de um número inteiro m por 2, o resto for 1, isto é, m = 2q + 1, dizemos que ele é um número ímpar.

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Assim, um número inteiro é par se é da forma 2q e é ímpar se é da forma 2q+1, para algum inteiro q.

Os possíveis restos na divisão por 3 são: r = 0, r = 1 ou r = 2.

Problema 1: Mostre que, de três inteiros consecutivos, um e apenas um deles é múltiplo de 3.

Solução:

Suponha que os três inteiros consecutivos sejam a, a + 1 e a + 2. Temos as seguintes três possibilidades possíveis: a deixa resto 0, 1 ou 2 quando dividido por 3.

1) Suponha que a deixa resto 0 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q. Logo, a + 1 = 3q + 1 e a + 2 = 3q + 2. Assim, um e apenas um dos três números é múltiplo de 3, a saber, a.

2) Suponha que a deixa resto 1 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q + 1. Logo, a + 1 = 3q + 2 e a + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1). Assim, um e apenas um dos três números é múltiplo de 3, a saber, a + 2.

3) Suponha que a deixe resto 2 quando dividido por 3, ou seja, a = 3q + 2. Logo, a + 1 = 3q + 3 = 3(q + 1) e a + 2 = 3q + 4 = 3(q + 1) + 1. Assim, um e apenas um dos três números é múltiplo de 3, a saber, a + 1.

Assim, dividir por a > 0 é agrupar em conjuntos com a elementos. Por exemplo, para saber quantas dúzias de ovos temos no quintal de uma granja, temos que dividir o número de ovos por 12, a divisão podendo ser exata ou não. Se tivermos 36 ovos, teremos 3 dúzias exatas, mas se tivermos 38 ovos, teremos ainda 3 dúzias de ovos e sobrariam 2 ovos.

2.2 PROPRIEDADES ARITMÉTICAS DOS RESTOS

Vamos fazer a seguir uma abordagem prática em cima de exercícios sobre as propriedades aritméticas dos restos.

Exemplo 3: Encontre o resto da divisão de 1991 + 1992 por 7.

Solução:

Não iremos desenvolver essa soma, nosso intuito é a aplicação de uma propriedade inerente aos restos.

Vamos dividir separadamente 1991 por 7 e 1992 por 7.

1991 ÷ 7 = 284 e deixa resto r = 3. Ou seja, 1991 = 284 7 + 3.

Ou seja, 1991 deixa resto 3 quando dividido por 7.

1992 ÷ 7 = 284 e deixa resto r = 4. Ou seja, 1992 = 284 7 + 4.

Ou seja, 1992 deixa resto 4 quando dividido por 7.

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Assim, temos que

1991 + 1992 = 284 7 + 3 + 284 7 + 4 = 2 284 7 + 3 + 4 = 2 284 7 + 7 =

= ( 2 284 + 1 ) 7 + 0.

Portanto, o resto da divisão de 1991 + 1992 por 7 é igual a zero.

Exemplo 4: Encontre o resto da divisão de 1991 1992 por 7.

Solução 1:

Vamos fazer uma aplicação utilizando o algoritmo da divisão Euclidiana.

Baseado no exemplo 3, já sabemos que

1991 = 284 7 + 3 e 1992 = 284 7 + 4.

Então:

1991 1992 = (284 7 + 3)( 284 7 + 4) =

= 72 2842 + 7 284 4 + 7 284 3 + 3 4 =

= 72 2842 + 7 284 4 + 7 284 3 + 12=

= 72 2842 + 7 284 4 + 7 284 3 + 7 + 5 =

= 7K + 5, onde K = 7 2842 + 284 4 + 284 3 + 1

Portanto, o resto da divisão de 1991 1992 por 7 é igual a 5.

Exemplo 5: Encontre o resto da divisão de 1991³ por 7.

Solução:

Usando a mesma analogia baseada nos exemplos anteriores, vamos solucionar este problema da seguinte maneira. Como 1991³ = 1991 1991 1991, segue que o resto da divisão de 1991³ por 7 é o resto da divisão do cubo do resto da divisão de 1991 por 7. De fato, sabemos que 1991 deixa resto 3 quando dividido por 7. Logo, podemos concluir que

3 3 3 = 27, como 27 é um valor maior que 7 façamos novamente a divisão,

27:7 = 3 7 + 6 e o resto será r = 6.

Exemplo 6: Encontre o resto da divisão de 1989 1990 1991 + 1992³ por 7.

Solução:

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Como 1989 = 284 7 + 1; 1990 = 284 7 + 2 e 1992 = 284 7 + 4, temos que o resto procurado é dado pela resto da divisão de 1 2 3 + 4³ = 6 + 64 = 70 = 10 7 + 0. Portanto o resto é igual a zero.

Exemplo 7: Encontre o resto da divisão de 9100 por 8.

Solução:

O número 9 quando dividido por 8 vai deixar resto igual a 1, pois 9 = 1 8 + 1.

Sabemos que 9100= 9 9 9 9 ... 9 (100 fatores iguais a 9)

Isso implica dizer que teremos o resto da divisão de 9100 por 8 igual ao produto de 100 fatores iguais a 1: 1 1 1 1 ... 1.

3. CONGRUÊNCIA

Vamos agora realizar uma introdução sobre a grande ideia de Carl Friedrich Gauss para estudar aritmética usando os restos da divisão, que ficou conhecida como aritmética modular.

Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "voltam pra trás" quando atingem um certo valor, o módulo.

O matemático suíço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número natural n.

A aritmética modular foi desenvolvida posteriormente por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801. É um livro-texto sobre teoria dos números, escrito em latim,  em 1798, quando Gauss tinha 21 anos de idade, e publicado a primeira vez em 1801. Neste livro, Gauss reuniu resultados da teoria dos números obtidos pelos matemáticos Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange e Adrien-Marie Legendre, adicionando aos mesmos diversos resultados de sua autoria.

O relógio usa aritmética módulo 12.

Um uso familiar da aritmética modular é no relógio de ponteiros, no qual o dia é divido em dois períodos de 12 horas cada. Se a hora atual é 7 horas, então daqui a 8 horas serão

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3 horas. A adição usual sugere que o tempo futuro deveria ser 7 + 8 = 15. Mas, na aritmética modular 15 é igual a 3, pois 15 = 1 12 + 3. Assim, em vez de falar 15 horas, dizemos 3 horas, já que o relógio não marca 15 horas.

Da mesma forma, se o relógio marca 12 h (meio dia) e passam-se 21 horas, então a hora será 9 h do dia seguinte, pois 12 + 21 = 33 = 2 12 + 9.

No caso do relógio, esta aritmética é chamada aritmética módulo 12. Como 12 deixa resto 0 na divisão por 12, pois 12 = 1 12 + 0, segue que as 12 horas da noite (que corresponde às 24 horas) pode ser chamada de 0 h.

A seguir, apresentamos a definição formal de números congruentes.

Definição: Seja dado um número inteiro m maior do que 1. Diremos que dois números inteiros a e b são congruentes módulo m se a e b possuem o mesmo resto quando divididos por m.

Utilizamos o mesmo símbolo usado por Gauss para dizer que um número inteiro a é côngruo ao inteiro b módulo m: a ≡ b mod m.

Quando a e b não são congruentes módulo m, escreve-se:

a ≢ b mod m

e dizemos que os dois números são incongruentes módulo m.

Exemplo 8: 15 ≡ 8 mod 7, pois os restos das divisões de 15 e 8 por 7 são os mesmos (iguais a 1).

27 ≡ 32 mod 5, pois os restos das divisões de 27 e 32 por 5 são os mesmos (iguais a 2).

31 ≢ 29 mod 3, pois o resto da divisão de 31 por 3 é 1, enquanto o resto da divisão de 29 por 3 é 2.

Para mostrar que a ≡ b mod m não é necessário efetuar a divisão de a e de b por m, como mostrado a seguir:

Proposição: Tem-se que a ≡ b mod m se e somente se m divide b - a.

Demonstração: De fato, pelo algoritmo da divisão, podemos escrever

a = m.q1+r1 e b = m.q2+r2,

Onde 0 ≤ r1 < m e 0 ≤ r2 < m. Sem perda de generalidade, podemos supor que r1 ≤ r2 (se o contrário ocorrer, basta trocar os papeis de r1 e r2). Assim, podemos escrever,

b – a = m.(q1 – q2) + r1 – r2.

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Logo, m divide b – a se, e somente se, m divide r2 – r1. Por ser 0 ≤ r2 – r1 ≤ r2< m, segue que m divide b – a se e somente se r2 – r1=0, ou seja, se e somente se r2 = r1.

Pela definição, as congruências módulo m tem tudo a ver com os restos da divisão por m. Assim, todo número inteiro a é congruente módulo m a um e somente um dos números 0, 1, 2, ..., m-1.

De fato, os possíveis restos da divisão de a por m são precisamente os números 0, 1, 2, ..., m – 1, cujos restos da divisão por m são eles próprios, logo dois a dois são incongruentes módulo m.

4. DIVISIBILIDADE

4.1. MÚLTIPLOS E DIVISORES

Os números 0, 1, 2, 3, etc. serão chamados aqui de números naturais. O conjunto dos números naturais será denotado por N e escreveremos n pertence N para indicar que o número n é um número natural.

Assim,

Um número n é múltiplo de outro, se existir um terceiro n natural que multiplicado pelo segundo dê o primeiro.

Exemplo 9: 12 é múltiplo de 3, pois existe o número natural 4 tal que:

12 = 4 × 3

Já 12 não é múltiplo de 5, pois não existe um número natural que multiplicado por 5 de 12.

Um número é divisível por outro, se a divisão do primeiro pelo segundo for exata (deixa resto zero).

Exemplo 10: 12 é divisível por 3.

12 ÷ 3 = 4 logo, r = 0

12 não é divisível por 5.

12 = 2 5 + 2, logo, r = 2.

4.2. NÚMEROS PRIMOS

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Um número inteiro é dito ser primo se é positivo, maior do que 1, e só é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Caso contrário, um número inteiro é dito composto. Isto é, um número inteiro m é composto se pode ser escrito como um produto de dois números:

m = ab, com 1 < a < m e 1 < b < m, a, b inteiros.

Suponha:

a ≥ b → m = ab ≥ a.a = a²

Extraindo a raiz quadrada de cada membro, temos:

√m ≥ a

Euclides demonstrou que existem infinitos números primos.

Existe um algoritmo simples que permite encontrar os primos. Trata-se do Crivo de Erastótenes, que descreveremos a seguir.

Escrevemos alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos o todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc. Digamos que a sua lista inicial seja de 2 até 100. Ao final desse procedimento você terá todos os números primos de 2 até 100. Esse é o Crivo de Erastótenes, um algoritmo simples e prático para encontrar números primos até um certo valor limite.

Segundo a tradição, foi criado pelo matemático grego Erastótenes (a.c. 285-194 a.C.), o terceiro bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria.

4.2.1. A EXPLICAÇÃO DO CRIVO DE ERASTÓTENES

Para exemplificá-lo, vamos determinar a lista de números entre 1 e 33.

Inicialmente, determina-se o maior número a ser checado. Ele corresponde à raiz quadrada do valor limite, arredondado para baixo. No caso, a raiz de 33, arredondada para baixo, é 5.

Crie uma lista de todos os números inteiros de 2 até o valor limite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 e 33.

Encontre o primeiro número da lista. Ele é um número primo, 2. Remova da lista todos os múltiplos do número primo encontrado. No nosso

exemplo, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 e 33 O próximo número da lista é primo. Repita o procedimento. No caso, o próximo

número da lista é 3. Removendo seus múltiplos, a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 e 31. O próximo número, 5, também é primo; a lista fica: 2, 3, 5, 7, 11,

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13, 17, 19, 23, 29 e 31. 5 é o último número a ser verificado, conforme determinado inicialmente. Assim, a lista encontrada contém somente números primos.

O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...}

Note que o 2 é o único número par que é primo.

Os números riscados dentre os acima são compostos, por que são exatamente aqueles números que podem ser escritos como produto de dois outros números naturais menores.

Observação: Números primos entre si.Quando o 1 é o divisor comum positivo de dois ou mais números naturais, não todos nulos, dizemos que estes números são primos entre si, ou relativamente primos.

Exemplo 11: 2 e 3 são primos entre si;7, 8 e 9 são primos entre si.

4.3. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um critério de divisibilidade é uma regra que permite avaliarmos se um dado número natural é ou não divisível por outro número natural, sem que seja necessário efetuarmos a operação de divisão.

Neste tópico será abordado os principais critérios de divisibilidade e será explicado o porquê de um número inteiro escrito na base 10 ser divisível por outro com a aplicação das regras.

A) Critério de divisibilidade por potencias de 2.O primeiro critério a ser estudado é muito simples.

Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades for divisível por 2. Assim, para identificar se um número é divisível por 2, basta observarmos se o seu algarismo das unidades é igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Um número divisível por 2 também é chamado de par; dessa forma, podemos afirmar que os números pares são aqueles com algarismos das unidades iguais a 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja quando divididos por 2 deixa resto igual a 0. Um número que não é divisível por 2 (isto é, que não é par) é dito ímpar, ou seja, quando dividido por 2 deixa resto igual a 1.

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Exemplo 12: Os números 2014, 1622, 1500, 416 e 888 são divisíveis por 2, pois tem algarismos das unidades também divisíveis por 2; logo, tais números são pares. Os números 1777, 2015, 456789, 41253 e 111 não são divisíveis por 2, logo, são impares.

Demonstração: Quando escrevemos um número inteiro a = anan−1 ···a1a0 na base 10, estamos expressando que

a = an · 10n + ··· + a2 · 102 + a1 · 101 + a0 · 100,

onde cada ai é um algarismo entre 0 e 9, ou seja, a representação posicional considerada está num sistema de numeração de base 10. Por exemplo,

1358 = 1 · 103 + 3 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100.

Para as demonstrações dos critérios de divisibilidade que faremos nesta seção, estaremos sempre considerando que o número em questão está representado na base 10.

Escrevemos

a = an. 10n + ... + a2. 10² + a1. 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9.

Assim, a = 10(an. 10n-1 + ... + a2 .10 + a1) + a0

ou seja, a é da forma 10k + a0. Deste modo, se 2 | a então como 2 | 10k vamos ter

Reciprocamente se 2 | a0 então a0 = 2q para algum q ∈ Z e assim,

a = 10(an .10n-1 + ... + a2 .10 + a1) + 2q

=2[5(an .10n-1 + ... + a2 .10 + a1) + q], com m ∈ Z.

e portanto 2 | a.

Vamos ao próximo critério: Um número N é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, ou seja, quando o número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de N é divisível por 4, resultando em resto igual a 0, caso o número N não seja divisível por 4 os possíveis restos que a divisão poderá obter é 1, 2 ou 3.

Demonstração: Seja b = an. 10n + an-1. 10n-1 + an-2. 10n-2 +...+ a2. 102 + a1. 10 + a0

Para n ≥ 2 temos 4│10n. Escrevemos b da seguinte forma:

Seja b = 10². (an. 10n-2 + an-1. 10n-3 + an-2.10n-4 + ... + a2. 100) + a1. 10 + a0

Como 4│10². (an. 10n-2 + an-1. 10n-3 + an-2.10n-4 + ... + a2. 100) e 4│(a1.10 + a0),

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Teremos que 4│b.

Exemplo 13: Os números 1316, 2208, 145728 e 74648 são divisíveis por 4, pois seus dois últimos algarismos, respectivamente, 16, 08, 28 e 48, formam números divisíveis por 4. Os números 4443, 1817, 2015 e 63663 não são divisíveis por 4, pois seus dois últimos algarismos, respectivamente, 43, 17, 15 e 63, formam números que não são divisíveis por 4.

Um número N é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8, ou seja, quando o número formado pelos algarismos das centenas, dezenas e unidades de N é divisível por 8. Podendo obter os possíveis restos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Demonstração: Seja b = an. 10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 + ... + a2. 10² + a1. 10 + a0

Para n ≥ 3 temos que 8│10n. Escrevamos b da seguinte forma:

Seja b = 10³. (an. 10n-3 + an-1. 10n-4 + an-2. 10n-5 + ... + a3. 100) + a2. 10² + a1. 10 + a0

Como 8│10³. (an. 10n-3 + an-1. 10n-4 + an-2. 10n-5 + ... + a3. 100), e 8│a2a1a0, temos que 8│b.

Exemplo 14: Os números 14136, 13184, 2088 e 111112 são divisíveis por 8, pois os números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 136 = 8×17, 184 = 8×23, 88 = 8×11 e 112 = 8×14, são múltiplos de 8. Os números 1881, 321123, 777778 e 91919292, pois os números formados por seus três últimos algarismos, respectivamente 881, 123, 778 e 292, não são divisíveis por 8.

Comparando esses três critérios de divisibilidade, vemos que surge um padrão, ou seja, uma propriedade similar que se repete nos três casos:

Um número natural N é divisível por 2¹ se o número formado pelo último algarismo de N for divisível por 2¹.

Um número natural N é divisível por 2² se o número formado pelos 2 últimos algarismos de N for divisível por 2².

Um número natural N é divisível por 2³ se o número formado pelos 3 últimos algarismos de N for divisível por 2³.

Observando esse padrão, podemos supor que ele se repete para as potencias de 2 com expoente maior. Dessa forma é formulado o seguinte:

Generalização: Um número natural N é divisível por 2p se o número formado pelos últimos p algarismos de N for divisível por 2p.

Exemplo 15: Considere o número natural N = 234828432. Vamos verificar se N é divisível por 16.Os últimos 4 algarismos de N formam o número 8432 = 16 × 527, divisível por 16. Assim, confiando na validade do critério, afirmamos que N é divisível por 16.

Claro que podemos verificar esse fato diretamente, dividindo N por 16 e obtendo N = 16.14676777. A vantagem do critério é que reduzimos o cálculo a uma divisão, onde o dividendo tem, no máximo, 4 algarismos. Para números muito grandes isso pode fazer a uma diferença significativa no esforço a ser despendido nesse cálculo.

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Observação:

Vale ressaltar que os critérios exibidos acima não só apontam quando um número é divisível por uma potência de 2, como também determinam o resto da divisão por essa potência de 2.

Por exemplo, o número 222222 não é divisível por 4 pois 22 não é divisível por 4. Além disso, como 22 deixa resto 2 quando dividido por 4, 222222 também deixa resto 2 quando dividido por 4. Da mesma forma, 222222 deixa resto 6 quando dividido por 8, pois esse é o resto que 222 deixa quando dividido por 8.

B) Critério de divisibilidade por 3 e por 9

Vamos ao critério de divisibilidade por 3:Um número N é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3.Para garantir o critério de divisibilidade por 3, primeiramente provamos um lema.

Lema: Para todo natural n ≥ 1, 10n é da forma 3q + 1.

Demonstração: Vamos provar este resultado por indução. Claramente vale para n = 1 pois 10 = 3 · 3 + 1. Suponhamos que vale para n = k > 1. Agora vamos mostrar que vale para n = k + 1. Temos:

Escrevemos:

a = an · 10n + ··· + a2 . 102 + a1 · 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9

e usamos o lema anterior, reescrevendo:

a = an . (3qn+1) + ...+ a2. (3q2+1) + a1 . (3q1+1) + a0

= 3 . (an.qn +...+ a2.q2 + a1.q1) + (an + ...+ a2 + a1 + a0),

c s

Isto é, a = 3c + s e, 3 | a se, se somente se, 3 | s.

Note que o critério de divisibilidade por 3 não leva em consideração apenas os algarismos finais do número N, e sim todos os algarismos do número.

Exemplo 16: O número 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 é divisível por 3. O número 423712 não é divisível por 3, pois 4+2+3+7+1+2 = 19 não é divisível por 3.

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Observação: Vale ressaltar que, o critério de divisibilidade por 3 também determina o resto da divisão de um número por 3.Assim, no exemplo 16 o número 423712 não é divisível por 3 e o resto da divisão desse número por 3 coincide com o resto da divisão de 19 por 3, que é 1. Note que 1+9 = 10, que também deixa resto 1 quando dividido por 3. Em geral, podemos afirmar que um número deixa o mesmo resto que a soma de seus algarismos quando dividido por 3.

Análogo ao critério de divisibilidade por 3 é o critério de divisibilidade por 9:Um número N é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for um número divisível por 9.De um modo mais geral, podemos afirmar que um número deixa o mesmo resto que a soma de seus algarismos quando dividido por 9.

Demonstração: Seja b = an. 10n + an-1. 10n-1 + an-2. 10n-2 + ... + a2.10² + a1. 10 + a0

Na divisão de 10n (n ≥ 1) por 9 temos 10n = 9.qn + 1, onde qn é um número formado por n algarismos 1. Desta forma:

b = an.(9.qn + 1) + an-1.(9.qn-1 + 1) + an-2.(9.qn-2 + 1) + ... + a2. (9.q2 + 1) + a1. (9.q1 + 1) + a0.

Aplicando a propriedade distributiva:

b = (an.9.qn) + an + (an-1.9.qn-1) + an-1) + (an-2.9.qn-2) + an-2) + ... + (a2.9.q2) + a2 + (a1.9.q1) + a1) + a0

Colocando 9 em evidencia, temos:

b = 9.((an.qn) + (an-1.qn-1) + (an-2.qn-2)) +...+ (a2.q2) + (a1.q1)) + an + an-1 + an-2 +...+ a2 + a1 + a0.

É obvio que 9│9.((an.qn) + (an-1.qn-1) + (an-2.qn-2)) +...+ (a2.q2) + (a1.q1)).Como hipótese9│(an + an-1 + an-2 +...+ a2 + a1 + a0)Teremos que 9│b.

Exemplo 17: O número 18135 é divisível por 9, pois 1+8+1+3+5 = 18 é divisível por 9.

Exemplo 18: Vamos testar a divisibilidade por 9 de um número grande:N= 4557216050676

A soma dos algarismos desse número é:4+5+5+7+2+1+6+0+5+0+6+7+6 = 54, e 54 é um múltiplo de 9, logo N é múltiplo de 9. Veja que poderíamos ter repetido o primeiro passo para o resultado da soma, obtendo 5 + 4 = 9.Observação: Quando estudamos os critérios de divisibilidade por 2, 4 e 8, vimos que é possível generalizar os critérios, obtendo-se um critério para as potencias de 2. Isso não funciona no caso das potências de 3. Um aspecto importante é que as potencias de 10 deixam resto 1 quando divididas por 3 ou por 9. Isso é fundamental para o

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funcionamento do critério e não ocorre no caso da divisão de uma potência de 10 por 27.

C) Critério de divisibilidade por 5

O critério de divisibilidade por 5 é muito simples:Um número é divisível por 5 se seu algarismo das unidades é 0 ou 5.

Demonstração: Seja b = an. 10n + an-1.10n-1 + an-2. 10n-2 + ... + a2.10² + a1.10 + a0

É evidente que 5 divide todas as parcelas da soma que compõem b com exceção de a0.

Como a0 = 0 ou a0 = 5, temos que 5│a0 e consequentemente 5│b.

Exemplo 19: O número 2015 é divisível por 5 pois termina em 5. O número 314570 é divisível por 5 pois termina em 0.

D) Critério de divisibilidade por 7 e por 11.

Para a divisibilidade por 7 temos dois critérios. O primeiro requer algumas explicações preliminares.

A posição de cada algarismo de um número, contada a partir da direita, é chamada ordem do algarismo. Assim, em um número, o algarismo das unidades é de primeira ordem, o das dezenas é de segunda ordem, o das centenas é de terceira ordem, assim por diante. Por exemplo, no número N = 23437 as ordens são as seguintes:

7: 1° ordem3: 2° ordem4: 3° ordem3: 4° ordem2: 5° ordem.

O algarismo 3 ocupa no número N duas ordens diferentes: 2° e 4°.Cada grupo de 3 ordens de um número, contadas a partir da direita, forma uma classe. A primeira classe é formada pelas três primeiras ordens: unidades, dezenas e centenas. A segunda classe é formada pelas três ordens seguintes: unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar. A terceira classe é formada pelas ordens, da sétima a nona: unidades de milhão, dezenas de milhão e centenas de milhão, e assim sucessivamente.Dessa forma, cada classe possui três ordens. Vejamos, por exemplo, o número N= 214356728913.

913: 1° Classe728: 2° Classe356: 3° Classe

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214: 4° Classe

No número N acima o algarismo 7 é de sexta ordem e segunda classe.

Vamos chamar de número da classe o número formado pelos três algarismos de uma mesma classe. Para o número N acima, os números da 1°, 2°, 3° e 4° classes são, respectivamente, 913, 728, 356, 214.Finalmente, vamos denotar por Sci a soma dos números das classes impares e por Scp a soma dos números das classes pares de um dado número. Por exemplo, para o número N= 214356728913, Sci = 913 + 356 = 1269 e Scp = 728 + 214 = 942.Com essa preparação, podemos escrever o nosso primeiro critério de divisibilidade por 7:

Um número N é divisível por 7 quando a diferença não negativa entre a soma dos números das classes ímpares (Sci) e a soma dos números das classes pares (Scp) é um número divisível por 7.

Demonstração: Um número N = a0a1...an é divisível por 7 se a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 + ... for divisível por 7.

Seja b = an.10n + an-1.10n-1 + an-2.10n-2 + ... + a2.10² + a1.10 + a0

Na divisão de 10n por 7, obtemos respectivamente os restos 3, 2, 6, 4, 5 e 1. Então temos:

b = a0 + a1(7q1 + 3) + a2(7q2 + 2) + a3(7q3 + 6) + a4(7q4 + 4) + a5(7q5 + 5) + a6(7q6 + 1) + ... + an(7qn + X).

Onde X є 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Observando que 4 = 7 – 3, 5 = 7 – 2 e 6 = 7 – 1, temos:

b = a0 + a1(7q1 + 3) + a2(7q2 + 2) + a3(7q3 + 7 - 1) + a4(7q4 + 7 - 3) + a5(7q5 + 7 - 2) + a6(7q6 + 1) + ... + an(7qn + X).

b = a0 + 7a1q1 + 3a1 + 7a2q2 + 2a2 + 7a3(q3 + 1) – a3 + 7a4(q4 + 1) – 3a4 + 7a5(q5 + 1) – 2a5 + 7a6q6 + a6 + ... + 7anqn + Xan.

b = (a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 + a6 +...+ Xan) + 7(a1q1 + a2q2 + a3(q3+1) + a4(q4+1) + + a5(q5+1) + a6q6 + ... + anqn).

Como, por hipótese, 7│(a0 + 3a1 + 2a2 – a3 – 3a4 – 2a5 +...+ Xan), logo 7│b.

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Observação: De modo mais geral, podemos dizer que N deixa o mesmo resto que Sci – Scp quando dividido por 7.

Exemplo 22: Para o número N = 214356728913, temos Sci = 1269 e Scp = 942. Logo, Sci – Scp = 1269 – 942 = 327. Como o número 327 = 7.46 + 5 deixa resto 5 quando dividido por 7, o número N também deixa resto 5 quando dividido por 7.

Para esclarecer o que significa a expressão “diferença não negativa”, vamos examinar o seguinte:Exemplo 23: Para o número N = 514045, Sci = 45 e Scp = 514. Neste caso, para que a diferença Sci – Scp não seja negativa, devemos somar um múltiplo de 7 suficientemente grande de modo a que o resultado

7q + Sci – Scp (I)

Seja positivo. Como a pergunta que queremos responder diz respeito a divisibilidade por 7, somar um múltiplo de 7 a diferença de Sci – Scp não altera a resposta. Qualquer múltiplo de 7 que torne a expressão (I) positiva serve, mas é aconselhável escolher a menor parcela 7q possível. No nosso exemplo, q = 70 fornece 7q = 490 e 7q + Sci – Scp = 490 + 45 – 514 = 21, que é um múltiplo de 7. Portanto, N = 514045 é divisível por 7.

Há um segundo critério para divisibilidade por 7.

Dado um número natural N, considere N = 10b + a, onde a é o algarismo das unidades de N. N = 10b + a é divisível por 7 ↔ 2N = 20b + 2a é divisível por 7, pois MDC(2,7) = 1.

Mas,

2N = 20b + 2a = 21b – b + 2a = 21b – (b – 2a).

Portanto, 2N é divisível por 7 ↔ b – 2a é divisível por 7, então N é divisível por 7.

Exemplo 23: Para decidir se o número N = 86415 é divisível por 7, devemos aplicar o critério acima várias vezes:

86415 8641 – 2 × 5 = 86318631 863 – 2 × 1 = 861861 86 – 2 × 1 = 8484 8 – 2 × 4 = 0

Usando o critério, temos:0 é múltiplo de 7 84 é múltiplo de 7.84 é múltiplo de 7 861 é múltiplo de 7.

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861 é múltiplo de 7 8631 é múltiplo de 7.8631 é múltiplo de 7 86415 é múltiplo de 7.

Observação: Note que N = 10b+a pode ser divisível por 7 sem que b – a seja divisível por 7. Por exemplo, se N = 21 = 7 × 3, então b = 2, a = 1 e b – a = 1 não é divisível por 7. Isso indica que o critério acima não pode ser usado para encontrar o resto da divisão de um número por 7.

Finalmente, vamos estabelecer um critério de divisibilidade por 11.

Um número natural N é divisível por 11 quando a diferença não negativa entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (Soi) e a soma dos algarismos de ordem par (Sop) for um número divisível por 11.

Observação: De modo mais geral, podemos dizer que N deixa o mesmo resto que Soi – Sop quando dividido por 11.Exemplo 24: Considere o número N = 3767632. Temos:2: 1° ordem;

3: 2° ordem;

6: 3° ordem;

7: 4° ordem;

6: 5° ordem;

7: 6° ordem;

3: 7° ordem.

Assim, Soi = 2 + 6 + 6 + 3 = 17 e Sop = 3 + 7 + 7 = 17. Como Soi – Sop = 17 – 17 = 0 é divisível por 11, o número N é divisível por 11.

Antes de enunciar o critério de divisibilidade por 11, vamos provar um lema parecido com o Lema.

Lema: Para todo natural n ≥ 1, 10n é da forma 11q + (−1)n.

Demonstração: Usaremos indução para provar este resultado. Claramente vale para n = 1 pois 10 = 11−1. Vamos supor que vale para n = k > 1 e vamos mostrar que vale para n = k + 1. Temos:

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Demonstração: Temos:

a = an · 10n + ··· + a2 · 102 + a1 · 10 + a0, onde 0 ≤ ai ≤ 9

e usando o lema anterior, escrevemos:a = an · (11qn + (−1)n) + ··· + a2 · (11q2 + (−1)2) + a1 · (11q1 + (−1)) + a0

= 11(an · qn + ··· + a2 · q2 + a1 · q1) + (a0 − a1 + a2 − ··· + (−1)nan), k t

Isto é, a = 11k + t e, 11 | a se, se somente se, 11 | t.

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4.4. UM MÉTODO PRÁTICO PARA O CÁLCULO DO MDC E DO MMC

Antes de apresentarmos um método prático para o cálculo do mdc e do mmc de dois números, vamos recordar algumas definições: dados os números naturais a e b, seu mdc (= máximo divisor comum) é, como o próprio nome indica, o maior dos números que dividem tanto a quando b. Enquanto seu mmc (= mínimo múltiplo comum) é o menor dentre todos os números positivos que sejam, simultaneamente, múltiplos de a e de b. O número 1 é divisor de qualquer número e, se os números a e b não admitem outro divisor comum, tem-se que mdc (a, b) = 1 e diz-se, então, que a e b são primos entre si.

O mdc e o mmc aparecem em vários resultados teóricos e na resolução de problemas, mas, nos nossos cursos, sua mais comum aplicação é no cálculo com frações ordinárias. Embora nesse contexto sua utilização seja dispensável, ao preço de trabalharmos, às vezes, com números maiores, é na hora de simplificar frações que os textos didáticos usam o mdc e é na hora de comparar, somar ou subtrair frações, que aparece o  mmc.

4.4.1. Cálculo de MDC e de MMC

Se os números a e b estão decompostos em fatores primos, é fácil encontrar a decomposição em fatores primos de seu mdc e seu mmc. Como exemplo, consideremos os números  2 100  e  198.   Ora, como

2100 = 22 . 3 . 52 . 7     e     198 = 2 . 32 . 11,

qualquer divisor comum a 2100 e 198 só pode ter 2 e 3 como fatores primos e somente com expoentes 0 ou 1. O maior de todos será, então, 2 x 3,  isto é

mdc (2 100, 198) = 2 × 3 = 6.

Daí, a regra já conhecida: o mdc é o produto dos fatores primos que aparecem tanto na decomposição de a quanto na de b, cada um deles elevado ao menor dos dois expoentes com que aí aparece.

Analogamente, qualquer múltiplo comum a 2 100 e 198 deve ter, como fatores primos:  2 (com expoente   2),  3 (com expoente ente   2), 5 (com expoente ente   2), 7 (com expoente   1) e  11 (com expoente  deles deve ser  22 × 32 × 52 × 7 × 11,   isto é,

mmc (2 100, 198) = 22 × 32 × 52 × 7 × 11 = 69 300.

Daí, a regra: o mmc é o produto de todos os fatores primos que aparecem na decomposição de a ou na de b, cada um deles elevado ao maior expoente com que aparece.

O método mais conhecido para o cálculo do mmc de dois ou mais números naturais utiliza a decomposição simultânea em números primos.

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O método é, geralmente, implementado mediante a disposição exemplificada ao lado. E daí, novamente, tem-se

mmc (2 100, 198) = 22 × 32 × 52 × 7 × 11 = 69 300.

4.4.2. O outro método

Uma variação deste método simplifica os cálculos e fornece, ao mesmo tempo, o mmc e o mdc dos números. Exemplificamos calculando o mmc e o mdc dos mesmos números 2 100 e 198:

2100, 198 21050, 99 3

350, 33

Tem-se mdc (2100, 198) = 2 × 3 = 6mmc (2100, 198) = 6 × 350 × 33 = 69300.

4.4.3. Descrição do Método

Nesta disposição, um número primo comparece na coluna da direita apenas quando divide ambos os números à sua esquerda, na mesma linha. As divisões terminam quando isto não mais for possível, o que significa que encontramos dois números primos entre si nas duas colunas da esquerda.

O mdc é o produto dos primos que estão na coluna da direita e o mmc, o produto deste mdc pelo dos números primos entre si que restaram na última linha à esquerda.

4.4.4. Justificativa do método

Colocando na coluna da direita só os primos que dividem ambos os números da esquerda, estamos, certamente, relacionando fatores primos do mdc. Levando o processo até chegarmos a 2 números primos entre si (que não admitem mais nenhum divisor comum a não ser o 1), teremos esgotado os fatores primos do mdc. Assim, o produto 2 × 3 = 6 dos primos da coluna da direita é o mdc dos números dados inicialmente.

Por outro lado, devido à maneira como se chegou aos números primos entre si, 350 e 33, tem-se que 2 100 = 6 × 350 e 198 = 6 × 33. Então, qualquer múltiplo de 2 100 deve conter os fatores 6 e 350 e qualquer múltiplo de 198 deve conter os fatores 6 e 33; logo, o menor de todos os múltiplos comuns é aquele que se obtém do produto dos fatores 6, 350 e 33. (O leitor observa que é, nesse ponto, que entra o fato de 350 e 33 serem primos entre si, pois se houvesse, ainda, um número diferente de 1, dividindo 6, 350 e 33, então o produto dos três não seria o menor dos múltiplos comuns.)

Observações:

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1.  Os argumentos acima, para justificar o método, no caso particular estudado do cálculo do mdc e do mmc de 2 100 e   198, se transportam ao caso geral de dois números quaisquer a e b, sem mudanças significativas, mas sob uma notação muito carregada, a partir da decomposição em fatores primos de a e de b.

Por isso, deixamos de apresentá-la aqui.

2.   Este método se aplica, também, ao cálculo do mdc e do mmc de mais do que dois números. Deixamos ao leitor a tarefa de fazer as devidas (e poucas) adaptações nos argumentos apresentados.

3.  A justificativa exposta acima põe à mostra uma relação importante entre o mdc, o mmc e o produto de dois números. Com efeito, revendo o processo apresentado, o leitor deduzirá que

a × b = mmc (a, b) × mdc (a, b),

ou, na forma como é mais utilizada,

4.4.5. Uma disposição do método atribuído ao cálculo do MDC e do MMC

Uma outra disposição de utilização desse mesmo processo é a seguinte: forma-se uma fração com os dois números dos quais se pretende calcular o mdc e o mmc. Vai-se simplificando a fração (por divisão pelos fatores primos comuns, de preferência na ordem, para que não se deixe escapar algum) até chegarmos a uma fração irredutível (isto é, com numerador e denominador primos entre si), tendo o cuidado de, a cada passo, anotar (por exemplo, abaixo do sinal de =) o número pelo qual foram divididos os termos da fração. No final do processo, o mdc é o produto dos números anotados abaixo do sinal de = , e o mmc é o produto deste mdc pelo numerador e pelo denominador da fração irredutível. Ou seja,

donde mdc (2 100, 198) = 2 × 3 = 6    e    mmc (2 100, 198) = 6 × 33 × 350 = 69 300.

É claro que o processo acima se torna redundante se estamos procurando o mdc entre numerador e denominador de uma fração para efeito de simplificá-la. Isto só reforça, entretanto, a ideia de que não é nesse contexto que o mdc apresenta sua força como ferramenta matemática.

5. A APLICAÇÃO DA ARITMÉTICA MODULAR NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

O estudo da aritmética modular visa abordar problemas ligados aos conceitos de divisibilidade com frequência. Alguns desses problemas são facilmente resolvidos através de uma maneira tradicional ao qual é ensinado, porém outras se tornam

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bastantes trabalhosas. Assim ao estudarmos a Teoria das congruências mostra-se útil como ferramenta facilitadora na aprendizagem da divisibilidade, pois apresentam soluções mais comparativamente sucintas, ou seja, menos cansativas e trabalhosas.

Vamos desenvolver a seguir uma sequência de resolução de problemas baseado na temática que foi trabalhada:

Problema 1: (Colégio Militar de Fortaleza – 2011) Dois números inteiros positivos são tais que a divisão do primeiro deles por 7 deixa resto 6, enquanto a divisão do segundo, também por 7, deixa resto 5. Somando os dois números e dividindo o resultado por 7, o resto será:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Vamos desenvolver essa situação problema por meio de duas soluções, uma tradicional e outra utilizando os conceitos de aritmética modular.Solução Tradicional:Considera-se que os números inteiros e positivos mencionados na questão são respectivamente a e b. Logo, com a aplicação do algoritmo da divisão teremos:

a = 7q + 6 (I)b = 7q’+ 5 (II)Somando-se I e II vamos obter:a + b = 7q + 6 + 7q’ + 5 = 7(q + q’) + 11 = 7(q + q’) + 7 + 4 = 7(q + q’ + 1) + 4, ou seja, deixa resto 4.

Solução via aritmética modular: a ≡ 6 mod 7b ≡ 5 mod 7Somando-se, temos:a + b ≡ (6 + 5) mod 7 → a + b ≡ 11 mod 711 dividido por 7 deixa resto 4.

Problema 2: (Colégio Naval – 2007) Qual será o dia da semana na data 17 de setembro de 2009?

a) Segunda feirab) Terça feirac) Quarta feirad) Quinta feirae) Sexta feira

Solução:

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A prova do colégio naval neste ano ocorreu em um domingo, dia 29 de julho de 2007; logo esta data funcionava como referência para os candidatos.Contando os dias que faltam para terminar o ano de 2007, obtemos: 2 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 = 155 dias; o ano de 2008 que foi bissexto, teve então 366 dias, e no ano de 2009, foram, 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 17 = 260 dias. Então, no total são 155 + 366 + 260 = 781 dias.Ao dividir 781 por 7 encontramos quociente 111 e resto 4, significando que passaram 111 semanas completas e mais quatro dias. Passando exatamente 111 semanas, voltaríamos a um domingo e, com os quatro dias a mais, encontramos quinta feira.

Problema 3: (Epcar – 2011) Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos seguintes grupos para exploração ambiental: Um composto de batedoras e outro grupo de 360 engenheiras. Sendo você a abelha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em:

a) 8 grupos de 81 abelhasb) 9 grupos de 72 abelhasc) 24 grupos de 27 abelhasd) 2 grupos de 324 abelhas.

Solução:

Ao analisar o problema, identificamos que ele se trata de uma questão de mdc, pois devemos dividir as abelhas em grupos com o máximo valor possível sem haver sobras e desse modo, cada grupo deve conter o mesmo número de abelhas. Portanto, temos que o mdc é:

288, 360 2144, 180 272, 90 236, 45 312, 15 34, 5 72 → abelhasGrupos

Assim, o número total de grupos e o número de abelhas por grupo são respectivamente 9 e 72.

Problema 4: (Consulplan – Correios 2008) Na fauna da Mata Atlântica, encontramos cerca de 250 espécies de mamíferos, 1.050 de aves, 197 de répteis, 340 anfíbios e 350 peixes. Apesar dessa riqueza de espécies, a situação é bastante grave, pois das 202 espécies de animais ameaçadas de extinção no Brasil, 171 se encontram na Mata Atlântica. Quantos números citados anteriormente são múltiplos de 3?

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A) 5        B) 3           C) 1           D) 2            E) 4

Fonte: Prova Correios para Carteiro I – realizada por Consulplan - 2008

Recordando:Ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por.Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é múltiplo de 3, ou seja é divisível por 3.

Solução:250 = 2 + 5 + 0 = 7 – não é divisível por 31050 = 1 + 0 + 5 + 0 = 6 – é divisível por 3197 = 1 + 9 + 7 = 17 – não é divisível por 3340 = 3 + 4 + 0 = 7 – não é divisível por 3350 = 3 + 5 + 0 = 8 – não é divisível por 3202 = 2 + 0 + 2 = 4 não é divisível por 3171 + 1 + 7 + 1 = 9 – é divisível por 3

Resposta: letra D

Problema 5: (Expcex – 1980) Dois números tem como MMC 240, e como MDC 20. Calcule a soma desses números, sabendo que um deles é 60.

a) 60b) 80c) 100d) 120e) 140

Solução:

O problema é facilmente resolvido desde que seja lembrado que o produto entre dois números naturais é igual ao produto entre o MMC e o MDC deles, ou seja:

a × b = MMC (a, b) × MDC (a, b)

Assim, se um dos números, MMC e MDC são respectivamente 60, 240 e 20, logo para determinarmos o outro número, o qual denominamos de X, basta aplicar a regra acima, ou seja:

60.X = mmc (60, X). mdc (60, X)60.X = 240. 2060.X = 4800X = 4800/60X = 80

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Portanto, a soma dos números em questão é:60 + 80 = 140.

Problema 6: (Univasf – 2009.2) Quantos são os divisores naturais do número 1.003.003.001 = (10³ + 1) ³?

a) 64b) 60c) 56d) 52e) 48

Solução:

Inicialmente, iremos desenvolver os parênteses, seja:

10³ + 1 = 1001

Em seguida, escrevemos o resultado na forma fatorada, ou seja

1001 = 7.11.13.

Com isso:(10³ + 1) ³ = 7³. 11³. 13³

Daí, o número de divisores naturais será:

(3 + 1). (3 + 1). (3 + 1) = 4. 4. 4 = 64 divisores naturais.

Problema 7 (Torneio das Cidades – 1984) Na Ilha dos Camaleões moram 13 Camaleões cinzas, 15 Camaleões marrons e 17 Camaleões vermelhos. Se dois camaleões de cores distintas se encontram, simultaneamente ambos mudam de cor para a terceira cor (isto é, se um camaleão marrom e um cinza se encontram, ambos se tornam vermelhos).É possível que em determinado instante todos os camaleões estejam todos com uma mesma cor?

Solução

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A solução do problema aparece rapidamente quando consideramos a divisão por 3. Assim, é fácil ver que, no início da observação, os restos da divisão por 3 das quantidades de camaleões de cada cor são:

13 = 4 3 + 1 Resto 1;15 = 5 3 + 0 Resto 0;17 = 5 3 + 2 Resto 2;

Logo, no início os restos da divisão por 3 da quantidade de camaleões são 0, 1 e 2.Observe que, o encontro de dois quaisquer desses camaleões produzem uma alteração na quantidade de camaleões por cor. De fato, se no primeiro encontro foi:(i) 1 cinza e 1 marrom, a quantidade de camaleões por cor mudou para: 12 cinzas, 14 marrons e 19 vermelhos;(ii) 1 marrom e 1 vermelho, a quantidade de camaleões por cor mudou para: 15 cinzas, 14 marrons e 16 vermelhos; etc.Agora, é fácil ver que o resto da divisão por 3 das três quantidades de camaleões por cor não mudam, são sempre 0, 1 e 2 (não necessariamente nesta ordem). Isto implica que no mínimo duas cores ficam presentes ao longo de todos os encontros, o que torna impossível que exista um momento no qual todos os camaleões tenham a mesma cor.Portanto, a resposta é não.É interessante notar que só aconteceria de todos tomassem a mesma cor se as quantidades iniciais de duas das cores fossem iguais.

Problema 8 (XXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA – 2001) Joana escreve a sequência de números naturais 1, 6, 11, ..., onde cada número, com exceção do primeiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para quando encontra o primeiro número de três algarismos. Esse número é:

Solução:

Os números da sequência, quando divididos por 5, deixam resto igual a 1. O menor número de três algarismos nessas condições é o 101.

Problema 9 (Prova do magistério do Rio de Janeiro 2007) Se a, b e c são algarismos diferentes de zero, o quociente da divisão do número abcabc de seis algarismos por 11×13×7 é:

Solução via Teoria dos restos:

Um número, de seis algarismos, da forma abcabc pode ser escrito como uma expressão na forma: abc x 1000 + abc. O que precisamos saber é o quociente de sua divisão pelo produto 11 × 13 × 7 = 1001. Assim, podemos escrever:

abc × 1000 + abc1001

Colocando abc em evidencia, teremos:

abc × (1000 + 1)1001

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= abc × 10011001= abc

No entanto, descobrimos que o quociente de abcabc por 11 × 13 × 7 é abc.

6. CONCLUSÃO

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As proposições básicas da Aritmética Modular apresentadas se mostraram de fácil entendimento, mesmo se tratando de um púbico jovem, pois envolvem apenas as operações fundamentais. Uma vez compreendidas as proposições, uma gama de regras de divisibilidade, antes apresentadas de forma obscura e sem justificativas pertinentes, passam a ser bastante claras. Além disso, criam suporte para investigação de outras regras, não necessariamente apresentadas pelo professor.

Além disso, atingimos o objetivo de esquematizar um material passível e interessante de ser utilizado em formação inicial e continuada de docentes, e que também pode ser usado em sala, com atividades adequadas ao público alvo.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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DANTE, Luiz Roberto. Restos, Congruência e Divisibilidade. Artigo – (RPM) Revista do Professor de Matemática. Disponível em: http://www.rpm.org.br/cdrpm/10/9.htm.

NITERÓI, Mário Gustavo Pinto Guedes. Outros critérios de divisibilidade. Artigo – (RPM) Revista do professor de matemática. Disponível em: http://www.rpm.org.br/cdrpm/12/6.htm.

PATERLINI, Roberto Ribeiro. Um método para o cálculo do MDC e do MMC. Artigo – (RPM) Revista do Professor de Matemática. Disponível em: http://www.rpm.org.br/cdrpm/13/6.htm.

TÁBOAS, Carmem M. G., RIBEIRO, Hermano de Souza. Sobre critério de divisibilidade. Artigo – (RPM) Revista do professor de matemática. Disponível em: http://www.rpm.org.br/cdrpm/6/5.htm.

E. de ALENCAR FILHO. Teoria Elementar dos Números. São Paulo, Nobel, 1989.

http://matematica.obmep.org.br/

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