lgebra Linear 2- 2008/2

Gabarito do Segundo Exame

Primeira questo (2 pontos): uma rotao de em torno do eixo ortogonal ao plano , seguida de reflexo em relao ao mesmo plano. Encontre .

Resoluo: Uma base para o plano . Aplicando o processo de Gram-Schmidt a esta base, encontramos a base ortonormal

Um vetor unitrio e normal ao plano . A base ortonormal e a matriz de nesta base (a menos da escolha do sentido de rotao note que h duas respostas possveis para esta questo)

A matriz de na base cannica ser , onde base cannica. Como as bases e so ambas ortonormais, a matriz mudana de base de uma para a outra ortogonal, sendo sua inversa, portanto, igual a sua transposta. Assim,

Efetuando a multiplicao matricial, obtemos

Segunda questo (2 pontos): Seja o subespao de gerado pelos vetores e . Encontre uma base para , o complementar ortogonal de . Encontre as projees ortogonais e sobre e , respectivamente.

Resoluo: corresponde aos vetores que esto no espao soluo do sistema

que tem trs variveis livres. Uma base para

Aplicando o processo de Gram-Schmidt base de dada, obtemos a base ortonormal

Como , obtemos

Como , obtemos

Terceira questo (2 pontos): Seja dado por

.

Mostre que positivo e encontre sua raiz quadrada (positiva).

Resoluo: A matriz de na base cannica simtrica. Como a base cannica ortonormal no produto interno usual, auto-adjunto. Para verificar que positivo, basta calcular seus autovalores. O polinmio caracterstico de

Os autovalores de so e . Como os autovalores de so todos positivos, positivo. Outra forma de verificar que positivo: se ,

Se base ortonormal de autovetores de , a matriz de sua raiz quadrada nesta base ser dada pela matriz diagonal cujas entradas so as razes quadradas dos autovalores de correspondentes. A matriz de na base cannica ser , onde base cannica. Como e so ambas ortonormais, a transposta de .

Autovetores: para o autovalor , obtemos o autovetor . Para o autovalor , obtemos o autovetor . Conclumos que

Assim, .

Quarta questo (3 pontos): Definimos um novo produto interno em , que denotamos por , de forma que a base

seja ortonormal com relao a .

(a) Encontre a matriz de na base cannica.

(b) Determine a expresso para o quadrado da norma de neste produto interno.

(c) Calcule o cosseno do ngulo entre e neste produto interno.

Resoluo: (a) Denotemos por a matriz dada, e por a base cannica de , e por a matriz de na base cannica. Matricialmente, o produto interno ser dado por

ser, portanto, . A partir de

, obtemos

Portanto, a matriz procurada ser

(b)

(c) No produto interno dado, , e

O cosseno procurado , portanto,

Quinta questo (3 pontos): Considere o operador dado por

)

Com relao ao produto interno definido na questo anterior,

(a) Mostre que auto-adjunto.

(b) Encontre uma base ortonormal de autovetores de , e determine a matriz de nesta base.

Resoluo: (a) Chamemos a base ortonormal dada na questo anterior, e a base cannica. A matriz de na base , que igual a

Como a matriz de simtrica na base ortonormal , um operador auto-adjunto.

(b) O polinmio caracterstico de

Os autovalores de so , e . Para estes autovalores, obtemos respectivamente os autovetores , e . Como auto-adjunto, auto-espaos associados a autovalores distintos so ortogonais. Portanto, os autovetores encontrados so ortogonais no produto interno considerado. Para obter base ortonormal de autovetores, calculamos a norma de cada um dos autovetores encontrados usando o resultado do item (b) da questo anterior. Obtemos

Assim, uma base ortonormal de autovetores de ser

e a matriz de nesta base