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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMı¿12TICA PURA E

APLICADAV Simpı¿1

2sio Nacional/Jornada de Iniciaı¿12 ı¿

12o Cientı¿1

2fica

Dimensı¿12o de Hausdorff de Conjuntos Numı¿1

2ricos

Aluno: Davi dos Santos LimaOrientador: Prof. Krerley Irraciel Martins Oliveira

Apoio financeiro: CNPq

Setembro de 2010

Prefı¿12cio

Durante muito tempo os matemı¿12ticos nı¿1

2o se preocupavam com certos conjuntos que

eram entı¿12o denominados irregulares. Isto se devia principalmente porque com a as-

senı¿12ı¿1

2o do cı¿1

2lculo e das tı¿1

2cnicas por ele estabelecidas podia-se representar uma

vasta quantidade de conjuntos por meio de propriedades elementares, tais como, o mesmoser o conjunto soluı¿1

2ı¿1

2o de uma equaı¿1

2ı¿1

2o ou sistema de equaı¿1

2ı¿1

2es, podiam ainda

representar curvas ou superfı¿12cies. Com o advento da Teoria da Medida novas tı¿1

2cnicas

e idı¿12ias foram introduzidas e certos conjuntos que nı¿1

2o eram descritos pela geometria

euclidiana passaram a ser estudado. O ramo matemı¿12tico onde tais conjuntos passaram

a ser descritos ı¿12

o da geometria fractal, embora nı¿12o se tenha um consenso ainda do

que venha a ser um fractal. Com isto estamos dizendo que nı¿12o hı¿1

2uma definiı¿1

2ı¿1

2o

precisa do que ı¿12

um fractal. Da ı¿12lgebra Linear podemos caracterizar conjuntos por

meio de uma dimensı¿12o, esta por sua vez ı¿1

2um nı¿1

2mero inteiro nı¿1

2o negativo. Mas o

que dizer sobre a dimensı¿12o de um conjunto “quebrado”tal como o de Cantor? Veremos

no desenrolar do texto, que indagaı¿12ı¿1

2es simples como essas levam ı¿1

2uma teoria de

ampla aplicaı¿12ı¿1

2o. Uma de tais aplicaı¿1

2ı¿1

2es ı¿1

2em teoria dos nı¿1

2meros e ı¿1

2onde

vamos aplicar a teoria aqui exposta.

2

Sumario

1 Introduı¿12ı¿1

2o 4

2 Teoria da Medida 72.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Medida de Lebesgue em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Integraı¿1

2ı¿1

2o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Continuidade Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Medida e Dimensı¿12o de Hausdorff 20

3.1 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 Dimensı¿1

2o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Teorema de Eggleston 304.1 Preparaı¿1

2ı¿1

2o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Dimensı¿12o do conjunto OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Tı¿12picos Relacionados 34

6 Apı¿12ndice 36

3

Capıtulo 1

Introduı¿12ı¿12o

Dado um nı¿12mero x do intervalo [0, 1], podemos escrevı¿1

2-lo na base 10 como x =

0, i1i2 . . . , isto ı¿12, podemos achar dı¿1

2gitos ik ∈ {0, 1, . . . , 9} de modo que:

x =∞∑k=1

ik10k

.

Aqui, estudaremos algumas propriedades relativas a expansı¿12o decimal dos nı¿1

2meros

do intervalo [0, 1], com ajuda das ferramentas da teoria ergı¿12dica e da teoria das proba-

bilidades. Para comeı¿12ar, podemos fazer as seguintes perguntas?

• Existem infinitos dı¿12gitos 5 na expansı¿1

2o de x?

• Qual a porcentagem de dı¿12gitos 5 que aparecem na expansı¿1

2o de x?

Em geral, as respostas das perguntas acima estı¿12o alı¿1

2m do conhecimento atual da

Matemı¿12tica, mesmo para nı¿1

2meros simples, como π ou

√2. Porı¿1

2m, com o acrı¿1

2scimo

das ferramentas da teoria ergı¿12dica e da teoria das probabilidades na teoria dos nı¿1

2meros,

ı¿12

possı¿12vel responder as perguntas acima para quase todo nı¿1

2mero, num sentido que

explicitaremos no decorrer do trabalho.Por exemplo, com o auxı¿1

2lio da lei forte dos grandes nı¿1

2meros (ou, mais sofisticada-

mente, o teorema ergı¿12dico de Birkhoff) pode-se mostrar que quase todo nı¿1

2mero possui

10% de dı¿12gitos 5 na sua expansı¿1

2o decimal. ı¿1

2natural que o dı¿1

2gito 5 nı¿1

2o desem-

penhe nenhum papel especial, e que a porcentagem de qualquer dı¿12gito na expansı¿1

2o

decimal de quase todo nı¿12mero seja tambı¿1

2m 10%. Chamaremos estes nı¿1

2meros que

tı¿12m porcentagem de dı¿1

2gitos 10% de nı¿1

2meros balanceados. Podemos generalizar o

que foi dito acima para uma base m ≥ 2 qualquer, 10% sendo substituı¿12do por 1/m e

os dı¿12gitos sendo considerados de 0 atı¿1

2m − 1. Aqui estaremos interessados nas pro-

priedades do conjunto dos nı¿12meros que nı¿1

2o sı¿1

2o balanceados ou normais. Este con-

junto pode ser dividido em dois grandes grupos: os que tı¿12m a porcentagem de dı¿1

2gitos

definida para cada dı¿12gito 0, 1, 2, . . . ,m − 1 e os que nı¿1

2o tem a porcentagem definida.

Nos interessa neste trabalho, os nı¿12meros do primeiro grupo.

4

5

Seja nj,k(x) o nı¿12mero de vezes que aparece o dı¿1

2gito j aparece nas k primeiras

posiı¿12ı¿1

2es na expansı¿1

2o decimal na base m de um certo nı¿1

2mero x ∈ [0, 1).

Um nı¿12mero ı¿1

2dito m-normal se na base m a frequı¿1

2ncia de qualquer dı¿1

2gito

ı¿12

1/m. Se para qualquer m ≥ 2, x ∈ [0, 1) ı¿12m-normal o mesmo ı¿1

2chamado de

absolutamente normal.Um resultado clı¿1

2ssico devido a Borel (1909) diz que para qualquer m ≥ 2 para

quase todo ponto ı¿12

Lebesgue limk→∞

nj,k(x)

k=

1

m. Segue-se do mesmo que L1(Fk) = 0.

Segue-se do resultado mencionado acima que Lebesgue-quase todo ponto ı¿12

absolutamentenormal; Borel nı¿1

2o apresentou exemplos de nı¿1

2meros absolutamente, o primeiro exemplo

de nı¿12mero veio com Sierpinski.

Exemplos de nı¿12meros normais podem ser dados com mais facilidade, Borel em seu

trabalho notou isso mas nı¿12o deu detalhes da prova para a normalidade do nı¿1

2meros por

ele construı¿12do e sua contruı¿1

2ı¿1

2o nı¿1

2o ı¿1

2muito simples. Em 1933 Champernowne

deu um exemplo mais simples. A constante de Champernowne (0.123456789101112...)que consiste do encadeamento dos nı¿1

2meros naturais, e a constante de Copeland-Erdı¿1

2s

(0.23571113171923...) que consiste do encadeamento dos primos sı¿12o os dois mais conheci-

dos exemplos de nı¿12meros normais conhecidos [8]. Veremos que pelo teorema de Eggleston

existem nı¿12meros que sı¿1

2o normais.

Alı¿12m do resultado de Borel, Hardy e Littlewood [5] mostraram que para m = 2,

j = 0, 1, e k suficientemente grande tem-se∣∣∣∣nj,k(x)

k− 1

2

∣∣∣∣ <√

log k

k.

Na seı¿12ı¿1

2o “tı¿1

2picos relacionados” veremos como os resultados comentados acima

podem ser extendidos e daremos referı¿12ncia de onde o leitor poderı¿1

2encontrar a con-

tinuaı¿12ı¿1

2o deste interessante tı¿1

2pico de matemı¿1

2tica.

Para deixar um pouco mais claro o que faremos ao longo do texto, dado um vetorde probabilidade v = (p0, p1, ..., pm−1) ∈ Rm

≥0, isto ı¿12, um vetor tal que pi ≥ 0 ∀ i ∈

{0, 1, ...,m− 1} e p0 + p1 + ...+ pm−1 = 1, podemos definir o conjunto

F (v) =

{x ∈ [0, 1); lim

k→∞

#{1 ≤ n ≤ k; in = j}k

= pj,∀ j = 0, 1, ...,m− 1

},

onde x = 0, i1i2.... Como indicamos anteriormente, este conjunto tem medida de Lebesgue(comprimento) zero. Assim, surge a pergunta natural:

• Podemos definir uma noı¿12ı¿1

2o de tamanho que generalize o comprimento e que sirva

para distinguir os conjuntos F (v) acima?

Veremos que a resposta da pergunta ı¿12

afirmativa, quando utilizamos o conceito de di-mensı¿1

2o de Hausdorff, que generaliza a noı¿1

2ı¿1

2o de dimensı¿1

2o de um espaı¿1

2o vetorial,

estudada na disciplina de ı¿12lgebra Linear. Em particular, veremos que faz sentido falar da

dimensı¿12o de conjunto com estrutura fractal e que este nı¿1

2mero pode ser fracionı¿1

2rio.

6 CAPITULO 1. INTRODUI¿12I¿1

2O

Iremos utilizar amplamente as ferramentas da teoria da medida para calcular a dimensı¿12o

de Hausdorff de F (v) e responderemos as seguintes perguntas:

• ı¿12

possı¿12vel calcular a dimensı¿1

2o de Hausdorff de F (v)? Ela depende continua-

mente de v?

A resposta a essas perguntas sı¿12o respondidas no capı¿1

2tulo 4 quando calculamos a

dimensı¿12o de Hausdorff de F (v).

Para embasamento matemı¿12tico adequado iremos no capı¿1

2tulo 1 comentar resultados

da Teoria da Medida que nos serı¿12o ı¿1

2teis. Iremos desde a definiı¿1

2ı¿1

2o de ı¿1

2lgebra e

σ-ı¿12lgebra de subconjuntos de um dado conjunto, atı¿1

2o teorema de Radon-Nikodym,

passando pela definiı¿12ı¿1

2o da medida de Lebesgue em Rn. No capı¿1

2tulo 2 vamos con-

truir a medida exterior de Hausdorff, definiremos a dimensı¿12o de Hausdorff e daremos

algumas propriedades da mesma; alı¿12m disso, veremos que mı¿1

2dulo uma constante a me-

dida(exterior) n-dimensional de Hausdorff coincide com a medida(exterior) n-dimensionalde Lebesgue e por fim como exemplo calcularemos a dimensı¿1

2o de Hausdorff do famoso

conjunto de Cantor(terı¿12o mı¿1

2dio). No capı¿1

2tulo 3 vamos conhecer o que vem a ser

uma distribuiı¿12ı¿1

2o de massa e provaremos uma proposiı¿1

2ı¿1

2o que usaremos para con-

cluir o teorema de Eggleston principal resultado deste trabalho; faremos a prova para umabase m ≥ 2 qualquer e para isso usaremos como dito acima um corolı¿1

2rio da Lei Forte

dos Grandes Nı¿12meros. De grande utilidade serı¿1

2o apı¿1

2ndice onde provaremos o teo-

rema de cobertura de Vitali e um corolı¿12rio do mesmo, alı¿1

2m de enunciar a Lei Forte

dos Grandes Nı¿12meros e ilustrar o exemplo que nos serı¿1

2ı¿1

2til. No decorrer do texto

referı¿12ncias de outras provas de teoremas ali enunciados serı¿1

2o dadas, o leitor curioso

em conhecı¿12-las poderı¿1

2encontrı¿1

2-las sem dificuldades.

Capıtulo 2

Teoria da Medida

O advento da Teoria da Medida trouxe novas idı¿12ias e tı¿1

2cnicas para se atacar vı¿1

2rios

problemas. Vamos aqui fazer um breve esboı¿12o sobre a mesma.

2.1 Generalidades

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.1. SejaX um conjunto nı¿1

2o vazio e F uma coleı¿1

2ı¿1

2o de subconjuntos

de X. A coleı¿12ı¿1

2o ı¿1

2chamada de ı¿1

2lgebra de subconjuntos de X se satisfaz:

1. ∅, X ∈ F.

2. Se A,B ∈ F entı¿12o A ∪B ∈ F.

3. Se A ∈ F entı¿12o Ac ∈ F

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.2. Seja X um conjunto nı¿1

2o vazio e S uma coleı¿1

2ı¿1

2o de subconjuntos

de X com as seguintes propriedades:

1. ∅, X ∈ S.

2. Se A ∈ S entı¿12o Ac ∈ S.

3. Se Ai ∈ S, i = 1, 2, ..., entı¿12o⋃∞i=1Ai ∈ S.

A coleı¿12ı¿1

2o S ı¿1

2entı¿1

2o chamada de σ-ı¿1

2lgebra.

Portanto, uma σ-ı¿12lgebra ı¿1

2uma ı¿1

2lgebra munida da Propriedade 3.

Exemplo 2.1.1. Seja X um conjunto qualquer. Entı¿12o {∅, X} e P(X) sı¿1

2o exemplos de

σ-ı¿12lgebras de subconjuntos de X. A primeira chamada de σ-ı¿1

2lgebra trivial e a segunda

σ-ı¿12lgebra caı¿1

2tica.

7

8 CAPITULO 2. TEORIA DA MEDIDA

Exemplo 2.1.2. Seja X qualquer conjunto nı¿12o enumerı¿1

2vel e S = {A ⊂ X;A ou Ac

ı¿12

enumerı¿12vel}. Entı¿1

2o S ı¿1

2uma σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos de X. Para ver isto

note que ∅, X ∈ S e A ∈ S sse Ac ∈ S. Considerando agora uma quantidade enumerı¿12vel

de conjuntos An ∈ S, n = 1, 2, ... vemos que se cada An ı¿12

enumerı¿12vel, entı¿1

2o A =⋃∞

n=1An ı¿12

enumerı¿12vel, e daı¿1

2A ∈ S. Caso contrı¿1

2rio, i.e., algum desses conjuntos ı¿1

2

nı¿12o enumerı¿1

2vel, existe k ∈ N para o qual Ack ı¿1

2enumerı¿1

2vel, entı¿1

2o (⋃∞n=1An)c =⋂∞

n=1Acn ⊂ Ack e isto diz que A ∈ S.

Veja que se F ı¿12

uma ı¿12lgebra de subconjuntos de um conjunto X entı¿1

2o,

{∅, X} ⊂ F ⊂ P(X).

Segue-se que {∅, X} ı¿12

a menor ı¿12lgebra e P(X) ı¿1

2a maior ı¿1

2lgebra de subconjuntos

de um conjunto X.

Proposiı¿12ı¿1

2o 2.1.1. Considere Λ um conjunto qualquer de ı¿1

2ndices e uma famı¿1

2lia

nı¿12o vazia {Si, i ∈ Λ} de σ-ı¿1

2lgebras de subconjuntos de um certo conjunto X. Entı¿1

2o,

S =⋂i∈Λ

Si

ı¿12

uma σ-ı¿12lgebra.

Exemplo 2.1.3. Agora considere uma coleı¿12ı¿1

2o qualquer C de subconjuntos de X. Seja

S(C) =⋂S∈Γ

S,

onde Γ ı¿12

a classe de todas as σ-ı¿12lgebras S de subconjuntos de X tais que C ⊂ S. Pela

proposiı¿12ı¿1

2o acima S(C) ı¿1

2uma σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos de X. Veja que C ⊂ S(C).

Alı¿12m disso, se S ı¿1

2qualquer σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos de X tal que C ⊂ S, entı¿1

2o

claramente S(C) ⊂ S. Assim S(C) ı¿12

a menor σ-ı¿12lgebra de subconjuntos de X que

contı¿12m C, e ı¿1

2chamada a σ-ı¿1

2lgebra gerada por C.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.3. Seja C = {A ∈ Rn;A aberto}. A σ-ı¿1

2lgebra gerada por C ı¿1

2

chamada de σ-ı¿12lgebra de Borel e seus elementos sı¿1

2o chamados de borelianos.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.4. Seja S uma σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos de um conjunto X. Uma

funı¿12ı¿1

2o µ : S −→ [0,∞] ı¿1

2uma medida se

1. µ(∅) = 0,

2. Se An ∈ S, n = 1, 2, ... com Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j e A =⋃∞n=1An entı¿1

2o,

µ(A) =∞∑n=1

µ(An).

2.1. GENERALIDADES 9

A Propriedade 2 diz que uma medida ı¿12

“σ-aditiva”.

Observaı¿12ı¿1

2o. Veja que se A =

⋃ni=1 Ai com Ai ∩ Aj = ∅, entı¿1

2o µ(A) =

n∑i=1

µ(Ai),

assim diz-se que uma medida tambı¿12m ı¿1

2finitamente aditiva.

Exemplo 2.1.4. Seja X um conjunto e tomemos P(X) como σ-ı¿12lgebra. A funı¿1

2ı¿1

2o

δp : P(X) −→ [0,∞] definida por:

δp(A) =

{1 se p ∈ A0 se p /∈ A .

ı¿12

uma medida, conhecida como delta de Dirac no ponto p.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.5. Seja S uma σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos de um conjunto X e µ :

S −→ [0,∞] uma medida sobre S. Para E ⊂ X, definimos:

µ∗(E) = inf

{∞∑i=1

µ(Ai);Ai ∈ S, E ⊂∞⋃i=1

Ai

},

A medida exterior do conjunto E induzida por µ.

Observe que dado E ⊂ X, existe pelo menos uma cobertura de E por subconjuntosde S, a saber, {X}. E assim µ∗ estı¿1

2bem definida. Alı¿1

2m disso notemos que a medida

exterior induzida por µ nı¿12o ı¿1

2necessariamente uma medida. Por exemplo nı¿1

2o tem

porque a mesma ser σ-aditiva. Alı¿12m disso, µ∗(E) pode ser +∞ para alguns conjuntos

E.

Proposiı¿12ı¿1

2o 2.1.2 (Propriedades da medida exterior). A funı¿1

2ı¿1

2o µ∗ : P(X) −→

[0,∞] tem as seguintes propriedades:

1. µ∗(∅) = 0 e µ∗(A) ≥ 0 ∀ A ⊂ X.

2. µ∗ ı¿12

monı¿12tona, i.e.,

A ⊂ B ⊂ X =⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

3. µ∗ ı¿12σ-subaditiva, i.e., se A =

⋃∞i=1Ai entı¿1

2o

µ∗(A) ≤∞∑i=1

µ(Ai).


Demonstracao. 1 e 2 sı¿12o imediatas. Para provar 3 seja A = ∪∞i=1Ai. Se µ∗(Ai) = ∞

para algum i nı¿12o hı¿1

2o que fazer. Entı¿1

2o suponhamos µ∗(Ai) <∞ para todo i. Assim

dado ε > 0, podemos encontrar para cada i conjuntos {Aij}∞j=1 tais que Ai ⊂ ∪∞j=1Aij comAij ∈ S e

µ∗(Ai) + ε/2i >∞∑j=1

µ(Aij).

Assim A = ∪∞i=1Ai ⊂ ∪∞i=1 ∪∞j=1 Aij e portanto

∞∑i=1

µ∗(Ai) +∞∑i=1

ε/2i >∞∑i=1

∞∑j=1

µ(Aij) ≥ µ∗(A),

ou seja,

µ∗(A) <∞∑i=1

µ∗(Ai) + ε.

A ı¿12ltima expressı¿1

2o obtida vale para todo ε > 0, logo

µ∗(A) ≤∞∑i=1

µ∗(Ai).

Isto conclui a prova da proposiı¿12ı¿1

2o.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.6. Uma funı¿1

2ı¿1

2o ν definida sobre todos os subconjuntos de X ı¿1

2

chamada de medida exterior se satisfaz 1, 2 e 3 da proposiı¿12ı¿1

2o anterior. Quando

estiver claro no texto a trataremos somente como “medida”.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.1.7. Seja X um conjunto nı¿1

2o vazio, S uma σ-ı¿1

2lgebra de subconjuntos

de X e µ uma medida sobre S. O par (X, S) chama-se espaı¿12o mensurı¿1

2vel e a tripla

(X, S, µ) chama-se espaı¿12o de medida. Os elementos de S sı¿1

2o chamados conjuntos

mensurı¿12veis.

Uma tripla (X, S, µ) ı¿12

um espaı¿12o de medida finito quando µ(X) < ∞. Quando

µ(X) = 1 ele ı¿12

chamado de espaı¿12o de probabilidade e a medida µ ı¿1

2dita uma

probabilidade

2.2 Medida de Lebesgue em Rn

Vamos enunciar aqui dois teoremas que nos ajudarı¿12o a definir a medida de Lebesgue em

Rn. A partir de agora X ı¿12

um conjunto nı¿12o vazio. A demosntraı¿1

2ı¿1

2o do primeiro

pode ser encontrada em [3] e a do segundo em [2].

2.3. INTEGRAI¿12I¿1

2O 11

Teorema 2.2.1. Seja C uma coleı¿12ı¿1

2o de subconjuntos de X. Seja η : C −→ [0,∞] uma

funı¿12ı¿1

2o qualquer. Entı¿1

2o existe uma ı¿1

2nica medida exterior µ∗ sobre X, tal que

1. µ∗(A) ≤ η(A) ∀ A ∈ C,

2. Se ν∗ ı¿12

qualquer outra medida exterior sobre X com ν∗(A) ≤ η(A) ∀ A ∈ C,entı¿1

2o ν∗(B) ≤ µ∗(B) ∀ B ⊂ X.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.2.1. Seja µ∗ uma medida exterior sobre X. Um conjunto A ⊂ X ı¿1

2

µ∗-mensurı¿12vel se

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac), ∀ E ⊂ X.

Teorema 2.2.2. A coleı¿12ı¿1

2o S∗ dos conjuntos µ∗-mensurı¿1

2veis ı¿1

2uma σ-ı¿1

2lgebra

de subconjuntos de X e alı¿12m disso, µ∗ restrita a S∗ ı¿1

2σ-aditiva.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.2.2. Um paralelepı¿1

2pedo em Rn ı¿1

2um conjunto da forma C = [a1, b1]×

. . .× [an, bn], ai < bi. Seu volume n-dimensional ı¿12

definido por

voln(C) = (b1 − a1)(b2 − a2) . . . (bn − an).

A medida(exterior) n-dimensional de Lebesgue ı¿12

obtida pelo teorema 2.2.1 a partirda funı¿1

2ı¿1

2o voln : C −→ [0,∞], onde C = {C ⊂ Rn; C paralelepı¿1

2pedo}. Logo, dado

E ⊂ Rn, a medida n-dimensional de Lebesgue ı¿12

Ln(E) = inf

{∞∑i=1

voln(Ci); E ⊂∞⋃i=1

Ci, Ci ∈ C

}.

Segue-se que Ln ı¿12

a ı¿12nica medida em Rn que restrita a C coincide com o volume.

Decorre da definiı¿12ı¿1

2o que Ln ı¿1

2uma medida exterior.

A σ-ı¿12lgebra de conjuntos Ln-mensurı¿1

2veis, serı¿1

2chamada a σ-ı¿1

2lgebra dos con-

juntos Lebesgue-mensurı¿12veis.

Na prı¿12xima seı¿1

2ı¿1

2o daremos continuidade ı¿1

2construı¿1

2ı¿1

2o de medidas exteriores

com a construı¿12ı¿1

2o da medida de Hausdorff.

2.3 Integraı¿12ı¿

12o

No que se segue (X, S, µ) serı¿12

sempre um espaı¿12o de medida.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.1. Seja B(R) a σ-ı¿1

2lgebra de Borel da reta. Uma funı¿1

2ı¿1

2o f : X −→

[−∞,+∞] ı¿12

dita mensurı¿12vel se para todo B ∈ B(R) tem-se f−1(B) ∈ S.

Vejamos agora algumas propriedades das funı¿12ı¿1

2es mensurı¿1

2veis na


Proposiı¿12ı¿1

2o 2.3.1. Sejam f1 e f2 funı¿1

2ı¿1

2es mensurı¿1

2veis e c1, c2 ∈ R contantes.

Entı¿12o sı¿1

2o mensurı¿1

2veis as seguintes funı¿1

2ı¿1

2es

1. (c1f1 + c2f2)(x) = c1f1(x) + c2f2(x).

2. (f1 · f2)(x) = f1(x) · f2(x).

3. max{f1, f2}(x) = max{f1(x), f2(x)}.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.2. Dado um conjunto X, diremos que D = {A1, A2, . . . , An} ı¿1

2uma

partiı¿12ı¿1

2o de X se

⋃ni=1Ai = X e Ai ∩ Aj = ∅ quando i 6= j. Quando X ⊂ Rn a norma

de D serı¿12|D| = max1≤i≤n{|Ai|}, onde |Ai| = sup{|x− y|;x, y ∈ Ai}.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.3. Dado um conjunto X a funı¿1

2ı¿1

2o caracterı¿1

2stica sobre A ⊂ X,

χA : X −→ [0,∞] ı¿12

definida por

χA(x) =

{1 se x ∈ A0 se x /∈ A .

Exemplo 2.3.1. Sejam A,B ⊂ X, entı¿12o tem-se χA + χB = χA∪B + χA∩B.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.4. Seja s : X −→ R definida por

s(x) =n∑i=1

aiχAi(x), x ∈ X,

onde χAi ı¿12

a funı¿12ı¿1

2o caracterı¿1

2stica sobre Ai, n ı¿1

2um inteiro positivo; a1, a2, . . . , an

sı¿12o nı¿1

2meros reais e {Ai}ni=1 formando um partiı¿1

2ı¿1

2o de X. A funı¿1

2ı¿1

2o s ı¿1

2

chamada de funı¿12ı¿1

2o simples.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.5. Para uma funı¿1

2ı¿1

2o simples s com uma representaı¿1

2ı¿1

2o s =

n∑i=1

aiχAi , nı¿12s definimos a integral

∫s(x)dµ(x), a integral de s com respeito a µ, por

∫s(x)dµ(x) =

n∑i=1

aiµ(Ai).

A integral∫s(x)dµ(x) tambı¿1

2m ı¿1

2denotada por

∫sdµ.

A expressı¿12o estı¿1

2bem definida?

De fato, seja {B1, B2, . . . , Bm} uma outra partiı¿12ı¿1

2o de X tal que

s =m∑j=1

bjχBj ,

2.3. INTEGRAI¿12I¿1

2O 13

devemos mostrar quen∑i=1

aiµ(Ai) =m∑j=1

bjµ(Bj).

Para isto, note que podemos escrever

s =n∑i=1

ai

m∑j=1

χAi∩Bj =m∑j=1

bj

n∑i=1

χAi∩Bj .

Assim se Ai ∩ Bj 6= ∅, entı¿12o ai = bj(lembre-se que os Ai’s sı¿1

2o dois a dois disjuntos o

mesmo ocorrendo com os Bj’s). Daı¿12, como µ ı¿1

2uma medida, a mesma ı¿1

2finitamente

aditiva, donde

n∑i=1

aiµ(Ai) =n∑i=1

ai

m∑j=1

µ(Ai ∩Bj) =m∑j=1

bj

n∑i=1

µ(Ai ∩Bj) =m∑j=1

bjµ(Bj).

Assim vemos que a definiı¿12ı¿1

2o nı¿1

2o depende da representaı¿1

2ı¿1

2o dada para a

funı¿12ı¿1

2o simples e portanto a mesma ı¿1

2coerente.

A partir de agora apenas definiremos os elementos bı¿12sicos da teoria sem a pre-

ocupaı¿12ı¿1

2o de demonstrar que os mesmos estı¿1

2o bem definidos, o leitor poderı¿1

2veri-

ficar sem dificuldade a coerı¿12ncia das mesmas. Para uma demonstraı¿1

2ı¿1

2o do teorema

abaixo o leitor consultar [2].

Teorema 2.3.1. Seja f : X −→ [−∞,+∞] uma funı¿12ı¿1

2o mensurı¿1

2vel. Entı¿1

2o existe

uma sequı¿12ncia de funı¿1

2ı¿1

2es simples mensurı¿1

2veis tal que

limk→+∞

sk(x) = f(x),∀ x ∈ X

Se f ≥ 0 entı¿12o tal sequı¿1

2ncia pode ser escolhida de modo que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . ..

Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.6. Seja f : X −→ [0,+∞] uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa.

A integral de f com respeito a µ ı¿12∫fdµ = lim

k→+∞

∫skdµ,

onde {sk}k∈N ı¿12

uma sequı¿12ncia de funı¿1

2ı¿1

2es simples crescendo para f , ou seja, 0 ≤

s1 ≤ s2 ≤ . . ., e limk→+∞ sk(x) = f(x), ∀ x ∈ X.

Novamente, a expressı¿12o acima estı¿1

2bem definida.

Para estender a noı¿12ı¿1

2o de integraı¿1

2ı¿1

2o para qualquer funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel,

veja que dada qualquer f , a mesma pode ser escrita como f = f+ − f−, onde f+ ef− sı¿1

2o as partes positiva e negativa de f , ou seja, f+(x) = max{f(x), 0} e f−(x) =

max{−f(x), 0}. Veja que f+ e f− sı¿12o nı¿1

2o negativas. Tem-se ainda que f ı¿1

2men-

surı¿12vel se, e sı¿1

2se, f+ e f− tambı¿1

2m o sı¿1

2o.


Definiı¿12ı¿1

2o 2.3.7. Seja f : X −→ [−∞,+∞] uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel. Por

definiı¿12ı¿1

2o, temos ∫

fdµ =

∫f+dµ−

∫f−dµ,

desde que alguma das integrais do lado direito seja finita.

Quando f for mensurı¿12vel e tiver integral finita, a mesma serı¿1

2dita integrı¿1

2vel, e

ao conjunto das funı¿12ı¿1

2es integrı¿1

2veis denotar-se-ı¿1

2por L1(X, S, µ).

Alı¿12m disso, dado E ∈ S a integral de f sobre E ı¿1

2por definiı¿1

2ı¿1

2o∫

E

fdµ =

∫fχEdµ,

onde χE ı¿12

a funı¿12ı¿1

2o caracterı¿1

2stica sobre E.

Observemos agora que se D = {E1, E2, ..., Er} ı¿12

uma partiı¿12ı¿1

2o de X, entı¿1

2o

∫fdµ =

r∑i=1

∫Ei

fdµ.

Com efeito, X =⋃ri=1 Ei e Ei ∩ Ej = ∅ para i 6= j, segue-se que,

∫fdµ =

∫X

fdµ =

∫fχXdµ =

∫fχ(

⋃ri=1 Ei)

dµ =

∫f ◦ (

r∑i=1

χEi)dµ =r∑i=1

∫Ei

fdµ.

Exemplo 2.3.2. Sejam {xi}mi=1 ⊂ X e {pi}mi=1 ⊂ (0, 1] comm∑i=1

pi = 1. A funı¿12ı¿1

2o

definida em seguida ı¿12

claramente uma medida de probabilidade: µ : P(X) −→ [0, 1]dada por

µ(A) =∑xi∈A

pi.

Veja que µ =m∑i=1

piδxi , onde δxi ı¿12

a medida de Dirac no ponto xi como exibida no

exemplo 2.1.4. Segue-se daı¿12, juntamente com a observaı¿1

2ı¿1

2o precedente que para uma

funı¿12ı¿1

2o f integrı¿1

2vel tem-se

∫fdµ =

m∑i=1

f(xi)pi.

2.4. CONTINUIDADE ABSOLUTA 15

2.4 Continuidade Absoluta

Um dos mı¿12todos para se construir uma medida a partir de outra dada ı¿1

2o seguinte:

Seja (X, S, µ) um espaı¿12o de medida e seja f uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa

sobre X. Para E ∈ S, defina

ν(E) :=

∫E

fdν.

ı¿12

fı¿12cil checar que ν ı¿1

2uma medida sobre (X, S). Ainda temos que se µ(E) = 0 entı¿1

2o

ν(E) = 0. Assim, se ν ı¿12

obtida de µ via integraı¿12ı¿1

2o, entı¿1

2o todo µ-conjunto nulo,

ı¿12

tambı¿12m ν-conjunto nulo. Isto motiva a

Definiı¿12ı¿1

2o 2.4.1. Sejam µ e ν duas medidas sobre (X, S). Dizemos que ν ı¿1

2absolu-

tamente contı¿12nua com respeito a µ se

µ(E) = 0⇒ ν(E) = 0,

E ∈ S. Escrevemos ν � µ.

Um modo equivalente de descrever continuidade absoluta ı¿12

dado no

Teorema 2.4.1. Sejam µ, ν medidas sobre (X, S). Entı¿12o:

1. Se ν ı¿12

finita e ν � µ, entı¿12o para todo ε > 0, ∃ δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ ν(E) <

ε, com E ∈ S.

2. Se para todo ε > 0, ∃δ > 0 tal que µ(E) < δ ⇒ ν(E) < ε, E ∈ S, entı¿12o ν � µ.

Demonstracao. 1. Suponha o contrı¿12rio. Assim, ∃ ε > 0 e conjuntos En ∈ S tais que

µ(En) < 2−n mas ν(En) ≥ ε, n = 1, 2, ....

Sejam

An =∞⋃k=n

Ek e A =∞⋂n=1

An.

Entı¿12o para todo n,

µ(A) ≤ µ(An) ≤∞∑k=n

µ(Ek) <∞∑k=n

1/2−k = 1/2n−1.

Daı¿12µ(A) = 0 e por definiı¿1

2ı¿1

2o de continuidade absoluta ν(A) = 0. Desde que {An}n≥1

ı¿12

uma sequı¿12ncia decrescente (An+1 ⊂ An) e ν ı¿1

2finita , entı¿1

2o

ν(A) = limn→∞

ν(An) ≥ ε. (∗)


O que contradiz ν � µ. Segue-se que 1. estı¿12

provada.

2. Tome E ∈ S para o qual µ(E) = 0. Assim, µ(E) < δ seja qual for o δ > 0 . Logo,por hipı¿1

2tese temos ν(E) < ε, para todo ε > 0. Daı¿1

2, ν(E) = 0, i.e., ν � µ.

Analisemos a quantidade de informaı¿12ı¿1

2o que hı¿1

2nessa demonstraı¿1

2ı¿1

2o. Observe

que ı¿12

intuitivo, mas nı¿12o imediato a passagem (∗), cabe aqui uma demonstraı¿1

2ı¿1

2o

desse fato que ı¿12

conhecido como:

Proposiı¿12ı¿1

2o 2.4.1 (Continuidade por baixo/ Continuidade por cima). Seja S uma

ı¿12lgebra de subconjuntos de um conjunto X e µ : S −→ [0,∞] uma medida.

1. Para qualquer A ∈ S, com A =⋃∞n=1An, An ∈ S e An ⊂ An+1 ∀n ∈ N, entı¿1

2o

limn→∞

µ(An) = µ(A).

2. Para qualquer A ∈ S com A =⋂∞n=1An, An ∈ S, ∀ n ∈ N, An+1 ⊂ An e µ(An) < +∞

para algum n, entı¿12o

limn→∞

µ(An) = µ(A).

Demonstracao. 1. Para provar tal afirmaı¿12ı¿1

2o faı¿1

2amos B1 = A1 e para cada

n ≥ 2 Bn = An − An−1. Logo, Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j, Bn ∈ S, An =⋃nk=1Bk para

todo n, e A =⋃∞n=1 Bn.

Portanto,

µ(A) =∞∑k=1

µ(Bk) = limn→∞

n∑k=1

µ(Bk) = limn→∞

µ(n⋃k=1

Bk) = limn→∞

µ(An).

Demonstracao. 2. De fato, seja n0 o natural para o qual µ(An0) < +∞. Para todon ≥ n0 defina Bn = An0 − An. Daı¿1

2Bn ∈ S, Bn ⊂ Bn+1 para todo n ≥ n0, e⋃∞

n=n0Bn = An0 − An. Assim usando 1. temos,

µ(An0)− µ(A) = µ(An0 − A)

= limn→∞

µ(Bn)

= limn→∞

µ(An0 − An)

= limn→∞

[µ(An0)− µ(An)]

= µ(An0)− limn→∞

µ(An)

donde, µ(A) = limn→∞ µ(An).


Observaı¿12ı¿1

2o 2.4.1. Mais geralmente, pode-se mostrar que se, para δ > 0, Aδ sı¿1

2o

borelianos que crescem quando δ decresce, i.e., Aδ′ ⊂ Aδ para 0 < δ < δ′, entı¿12o

limδ→0

µ(Aδ) = µ

(⋃δ>0

Aδ

).

No teorema 2.4.1 sendo ν finita o n0 que se precisa na continuidade por baixo podeser qualquer natural. Pode-se indagar portanto se a hipı¿1

2tese de ν ser finita ı¿1

2muito

forte. O objetivo matemı¿12tico ı¿1

2obter generalidades sobre fatos usando o mı¿1

2nimo

de hipı¿12teses, talvez em algumas limitaı¿1

2ı¿1

2es na teoria coloca-se algo a mais. A partir

do exemplo seguinte, podemos concluir que a hipı¿12tese do teorema 2.4.1 ı¿1

2realmente

necessı¿12ria.

Exemplo 2.4.1. Seja X = N e S = P(N). Defina µ(∅) = 0 = ν(∅) e ∀ E ∈ S nı¿12o vazio,

seja

µ(E) =∑n∈E

2n e ν(E) =∑n∈E

2−n.

ı¿12

fı¿12cil ver que µ(E) = 0 ⇐⇒ ν(E) = 0. daı¿1

2ν � µ e µ� ν.

Observe que se em vez de medidas estivermos trabalhando com uma funı¿12ı¿1

2o F e a

querida diferencial dx temos:

Caso F (x) =∫ x

0f(t)dt, entı¿1

2o F ′(x) = f(x) em todos os pontos x que f for

contı¿12nua.

Serı¿12

que hı¿12

algo parecido com medidas? serı¿12

que existem condiı¿12ı¿1

2es para as

quais no exemplo possamos escrever

dν

dµ= f?

A resposta a essas indagaı¿12ı¿1

2es serı¿1

2o respondidas no teorema de Radon-Nikodym, que

nos prepararemos a partir de agora para sua demonstraı¿12ı¿1

2o.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.4.2. Seja µ : S −→ [0,∞] uma funı¿1

2ı¿1

2o de conjunto definida em uma

coleı¿12ı¿1

2o de subconjuntos de um conjunto X. A medida µ ı¿1

2dita sigma finita (σ-finita)

se existem pares de conjuntos disjuntos Xn ∈ S n = 1, 2, ..., tais que µ(Xn) <∞ para todon e X =

⋃∞n=1 Xn.

Os dois prı¿12ximos teoremas sı¿1

2o ı¿1

2teis para fornecer uma prova do teorema de

Radon-Nykodim, para uma demonstraı¿12ı¿1

2o o leitor pode consultar [2].

Teorema 2.4.2 (von Neumann). Sejam µ e ν duas medidas σ-finitas sobre um espaı¿12o

mensurı¿12vel (X, S). Entı¿1

2o existem conjuntos mutualmente disjuntos Xi ∈ S, i = 1, 2, 3

e ocorre:


(i) X =⋃3i=1 Xi.

(ii) ν(X3) = µ(X1) = 0.

(iii) Existe uma funı¿12ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa g sobre X tal que

g(x) > 0 ∀ x ∈ X2, e ∀ E ∈ S com E ⊂ X2 temos

ν(E) =

∫E

gdµ.

Teorema 2.4.3 (Decomposiı¿12ı¿1

2o de Lebesgue). Sejam µ e ν duas medidas σ-finitas

sobre um espaı¿12o mensurı¿1

2vel (X, S). Entı¿1

2o existem medidas σ-finitas νa e νs com as

seguintes propriedades

i) ν = νa + νs

ii) Existe uma funı¿12ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa f tal que

νa(E) =

∫E

fdµ ∀E ∈ S.

iii) Existe um conjunto A ∈ S tal que µ(Ac) = νs(A) = 0.

Alı¿12m disso, tal decomposiı¿1

2ı¿1

2o ı¿1

2ı¿1

2nica

Definiı¿12ı¿1

2o 2.4.3. Suponha que seja dada uma certa propriedade P e tenhamos um

espaı¿12o de medida (X, S, µ). Diz-se que P vale em µ q.t.p. se P vale exceto um conjunto

de medida nula.

Exemplo 2.4.2. Sabemos que toda funı¿12ı¿1

2o f (real) monı¿1

2tona cujo domı¿1

2nio ı¿1

2

Df , admite no mı¿12ximo uma quantidade enumerı¿1

2vel de descontinuidades. Assim, con-

siderando o espaı¿12o de medida como sendo (R,B(R), µ), onde µ ı¿1

2a medida de Lebesgue

em R, temos µ(A) = 0, onde

A = {x ∈ Df ; f ı¿1

2descontı¿

1

2nua em x}.

Teorema 2.4.4 (Radon-Nikodym). Sejam ν e µ medidas σ-finitas sobre um espaı¿12o

mensurı¿12vel (X, S) tal que ν � µ. Entı¿1

2o existe uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o

negativa f tal que

ν(E) =

∫E

fdµ, ∀ E ∈ S.

Alı¿12m disso, se g ı¿1

2qualquer outra funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel para a qual ocorre a ex-

pressı¿12o acima, entı¿1

2o f(x) = g(x) µ q.t.p.


Demonstracao. Desde que ν � µ, no teorema de decomposiı¿12ı¿1

2o Lebesgue νa = ν e

νs = 0 . Alı¿12m disso, existe uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa f tal que

ν(E) =

∫E

fdµ, E ∈ S.

Para provar a unicidade de f , seja g outra funı¿12ı¿1

2o mensurı¿1

2vel nı¿1

2o negativa tal

que

ν(E) =

∫E

gdµ, ∀E ∈ S.

Suponhamos que exista um conjunto E com µ(E) > 0 e f(x) > g(x), ∀ x ∈ E. Desdeque µ, ν sı¿1

2o σ-finitas, nı¿1

2s podemos escolher A ∈ S tal que µ(A) < ∞, ν(A) < ∞ e

µ(E ∩ A) > 0. Entı¿12o

0 <

∫E∩A

(f(x)− g(x))dµ(x) = ν(E ∩ A)− ν(E ∩ A) = 0,

contradiı¿12ı¿1

2o! Assim f(x) ≤ g(x) µ q.t.p. Analogamente f(x) ≥ g(x) µ q.t.p. E isto

encerra a prova do teorema.

Definiı¿12ı¿1

2o 2.4.4. Sejam µ, ν medidas σ-finitas sobre (X, S) tal que ν � µ. A ı¿1

2nica

funı¿12ı¿1

2o mensurı¿1

2vel f (dada pelo teorema 2.4.4) tal que, ∀ E ∈ S

ν(E) =

∫E

fdµ

ı¿12

chamada a derivada de Radon-Nikodym de ν com respeito ı¿12µ e ı¿1

2denotada

pordν

dµ(x).

Capıtulo 3

Medida e Dimensı¿12o de Hausdorff

3.1 Medida de Hausdorff

Seja U ⊂ Rn nı¿12o vazio, o diı¿1

2metro de U ı¿1

2definido como

|U | = sup{|x− y|, x, y ∈ U}.

Se {Ui}i ı¿12

uma coleı¿12ı¿1

2o enumerı¿1

2vel de conjuntos de diı¿1

2metro nı¿1

2o superior a δ

que cobre F ⊂ Rn, i.e.,⋃i Ui ⊃ F com 0 ≤ |Ui| ≤ δ para cada i, nı¿1

2s dizemos que {Ui}

ı¿12

uma δ-cobertura de F .Suponha que F ⊂ Rn e s ≥ 0. Para qualquer δ > 0 definimos

Hsδ(F ) = inf

{∞∑i=1

|Ui|s; 0 ≤ |Ui| ≤ δ

}(3.1)

Veja que quando δ diminui, a classe de possı¿12veis coberturas de F ı¿1

2reduzida em

(3.1). Portanto, o ı¿12nfimo Hs

δ(F ) cresce, e entı¿12o aproxima-se de um limite quando

δ → 0. A partir daı¿12

enunciamos a

Definiı¿12ı¿1

2o 3.1.1. A medida s-dimensional de Hausdorff de F ı¿1

2dada por

Hs(F ) = limδ→0

Hsδ(F ) (3.2)

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.1. Hs

δ e Hs satisfazem

(∗) Hsδ

(∞⋃i=1

Fi

)≤

∞∑i=1

Hsδ(Fi).

(∗∗) Hs

(∞⋃i=1

Fi

)≤

∞∑i=1

Hs(Fi).

20

3.1. MEDIDA DE HAUSDORFF 21

Demonstracao. (∗) Seja {Fi}∞i=1 ⊂ Rn e {Uij}∞j=1 uma δ-cobertura de Fi. Portanto,{Uij}∞i,j=1 ı¿1

2uma δ-cobertura de F =

⋃∞i=1 Fi. Assim

Hsδ(F ) ≤

∞∑i=1

∞∑j=1

|Uij|s.

Tomando o ı¿12nfimo,

Hsδ(F ) ≤

∞∑i=1

Hsδ(Fi)

(∗∗) Analogamente, tome {Fi}∞i=1 ⊂ Rn e F =⋃∞i=1 Fi. Entı¿1

2o por (∗) temos,

Hsδ(F ) ≤

∞∑i=1

Hsδ(Fi) ≤

∞∑i=1

Hs(Fi).

Fazendo δ → 0 chegamos ao resultado desejado.

O limite em (3.2) sempre existe na reta extendida para qualquer que seja F ⊂ Rn eem muitos casos ı¿1

20 ou ∞. Da forma como foi definido Hs

δ(F ) temos que Hs(∅) = 0,e portanto a mesma ı¿1

2uma medida exterior, isso ı¿1

2imediato da proposiı¿1

2ı¿1

2o ante-

rior. Em particular, Se E ⊂ F entı¿12o Hs(E) ≤ Hs(F ), e se {Fi}i ı¿1

2uma coleı¿1

2ı¿1

2o

enumerı¿12vel de borelianos entı¿1

2o Hs(F ) =

∑i≥1

Hs(Fi). Este ı¿12ltimo fato merece uma

atenı¿12ı¿1

2o especial, e ele estı¿1

2destacado na

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.2. Se {Fi}∞i=1 ı¿1

2uma coleı¿1

2ı¿1

2o enumerı¿1

2vel de borelianos dois

a dois disjuntos de Rn e F =⋃∞i=1 Fi entı¿1

2o

Hs(F ) =∞∑i=1

Hs(Fi).

Antes de provar tal proposiı¿12ı¿1

2o, pensemos num possı¿1

2vel modo de o fazer: O

teorema 2.2.2 nos diz que uma medida exterior µ∗ ı¿12σ-aditiva na σ-ı¿1

2lgebra S∗. Entı¿1

2o,

para o caso da medida(exterior)-s dimensional de Hausdorff, ı¿12

suficiente mostrar que todoboreliano ı¿1

2Hs-mensurı¿1

2vel. Para fazer isso vamos provar um teorema conhecido como

critı¿12rio de Carathı¿1

2odory.

Teorema 3.1.1 (Critı¿12rio de Carathı¿1

2odory). Seja µ∗ uma medida exterior sobre Rn.

Se µ∗(E ∪ F ) = µ∗(E) + µ∗(F ) para todos os conjuntos E,F ⊂ Rn com d(E,F ) > 0,entı¿1

2o todo boreliano ı¿1

2µ∗-mensurı¿1

2vel.

22 CAPITULO 3. MEDIDA E DIMENSI¿12O DE HAUSDORFF

Demonstracao. Seja Z ⊂ Rn fechado. Precisamos mostrar que

(i) µ∗(Y ) ≥ µ(Y ∩ Z) + µ(Y ∩ Zc),

pois da σ-subaditividade de µ∗ teremos

µ(Y ) = µ(Y ∩ Z) + µ(Y ∩ Zc),

donde Z ∈ S∗. Caso µ∗(Y ) = ∞ nı¿12o hı¿1

2o que fazer, a desigualdade ı¿1

2imediata.

Portanto admitamos µ∗(Y ) <∞. Defina para todo n ∈ N,

Zn =

{x ∈ Rn; d(x, Z) <

1

n

}.

Veja que Y ∩Zcn =

{x ∈ Y ; d(x, Z) ≥ 1

n

}e como Y ∩Z ⊂ Z temos que d(Y ∩Zc

n, Y ∩Z) ≥1

n> 0. Segue-se da hipı¿1

2tese que

(ii) µ∗(Y ∩ Zcn) + µ∗(Y ∩ Z) = µ((Y ∩ Zn) ∪ (Y ∩ Z)) ≤ µ∗(Y ),

pois (Y ∩ Zn) ∪ (Y ∩ Z) ⊂ Y . Entı¿12o ı¿1

2interessante tentar mostrar que

limn→∞

µ∗(Y ∩ Zcn) = µ∗(Y ∩ Zc).

Para este fim para cada k ∈ N seja

Wk =

{x ∈ Y ;

1

k + 1< d(x, Z) ≤ 1

k

}.

Segue-se de como foram definidos Zn e Wk que Y ∩ Zc = (Y ∩ Zcn) ∪ (∪∞k=nWk), e daı¿1

2

µ∗(Y ∩ Zcn) ≤ µ∗(Y ∩ Z) ≤ µ∗(A ∩ Zc

n) +∞∑k=n

µ∗(Wk).

Agora a idı¿12ia ı¿1

2tirar o somatı¿1

2rio envolvido na expressı¿1

2o acima, e para isso ı¿1

2

suficiente mostrar que a sı¿12rie

∞∑k=1

µ∗(Wk) ı¿12

convergente. O que irı¿12

acontecer ı¿12

que

limn→∞

µ∗(Y ∩ Zcn) ≤ µ∗(Y ∩ Zc) ≤ lim

n→∞µ∗(Y ∩ Zc

n) + limn→∞

∞∑k=n

µ∗(Wk)

e como∞∑k=1

µ∗(Wk) ı¿12

convergente, limn→∞∞∑k=n

µ∗(Wk) = 0, donde obtemos limn→∞ µ∗(Y ∩

Zcn) = µ∗(Y ∩ Zc).


Observe que d(Ri, Rj) > 0 se j ≥ i+2. Da hipı¿12tese sobre µ∗ obtemos por induı¿1

2ı¿1

2o

quem∑k=1

µ∗(W2k) = µ∗

(m⋃k=1

W2k

)≤ µ∗(Y ),

em∑k=1

µ∗(W2k−1) = µ∗

(m⋃k=1

W2k−1

)≤ µ∗(Y ).

Daı¿12, fazendo m→∞, temos

∞∑k=1

µ∗(Wk) ≤ 2µ∗(Y ) <∞.

Portanto,

µ∗(Y ∩ Z) + µ∗(Y ∩ Zc) = µ∗(Y ∩ Z) + limn→∞

µ∗(Y ∩ Zcn) ≤ µ∗(Y ),

devido a (ii). Isto prova que Z ı¿12µ∗-mensurı¿1

2vel.

Agora estamos prontos para demonstrar a Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.2, vamos a ela.

Demonstraı¿12ı¿1

2o da proposiı¿1

2ı¿1

2o 3.1.2. Pelo que foi dito antes do teorema 3.1.1

ı¿12

suficiente mostrar que para quaisquer E,F ⊂ Rn com d(E,F ) > 0, tem-se

Hs(E ∪ F ) = Hs(E) + Hs(F ).

Sejam entı¿12o E,F ⊂ Rn com d(E,F ) > 0. Escolha 0 < δ < d(E,F )/4, e seja {Ui}i uma

δ-cobertura de E ∪ F .Escreva E = {Uj;Uj ∩ E 6= ∅}, e F = {Uj;Uj ∩ F 6= ∅}. Entı¿1

2o

E ⊂⋃Uj∈ E

Uj

eF ⊂

⋃Uj∈ F

Uj,

Ui ∩ Uj = ∅ se Ui ∈ E, Uj ∈ F. Segue-se que

∞∑i=1

|Ui|s ≥∑Ui∈E

|Ui|s +∑Ui∈F

|Ui|s ≥ Hsδ(E) + Hs

δ(F ).

Assim desde que 0 < 4δ < d(E,F ), tomando o ı¿12nfimo sobre todas as coberturas de

E ∪ F , temosHsδ(E ∪ F ) ≥ Hs

δ(E) + Hsδ(F ),


donde fazendo δ → 0 obtemos

Hs(E ∪ F ) ≥ Hs(E) + Hs(F ).

Portanto, pelo critı¿12rio de Carathı¿1

2odory temos que todo boreliano Hs-mensurı¿1

2vel e

pelo Teorema 2.2.2 segue-se a proposiı¿12ı¿1

2o.

A noı¿12ı¿1

2o de medida de Hausdorff generaliza as idı¿1

2ias familiares de comprimento,

ı¿12rea, volume etc. Entı¿1

2o serı¿1

2que existe alguma relaı¿1

2ı¿1

2o entre a medida de Hau-

dorff e a medida(exterior) de Lebesgue? ı¿12

possı¿12vel mostrar que, para subconjuntos de

Rn, a medida n-dimensional de Hausdorff(Hn) ı¿12

mı¿12dulo uma constante a medida de

Lebesgue(Ln), i.e., o “volume” n-dimensional. Vejamos inicialmente que

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.3. Hn ı¿1

2absolutamente contı¿1

2nua com respeito a Ln.

Demonstracao. Aqui vamos considerar cubos paralelos aos vetores da base canı¿12nica do

Rn. Sabendo que |Q| = (√n)nvoln(Q) para qualquer cubo Q ⊂ Rn temos,

Hnδ (F ) ≤ inf

{∞∑i=1

|Qi|n, ;Qi cubo, F ⊂ ∪iQi

}= (√n)nLn(F ).

Fazendo δ → 0 obtemos o resultado.

Um resultado que nos serı¿12

ı¿12til logo mais e que enunciaremos sem demonstraı¿1

2ı¿1

2o

(ver [10]) ı¿12

conhecido por

Teorema 3.1.2 (Desigualdade isodiamı¿12trica). Para todos os conjutos F ⊂ Rn,

Ln(F ) ≤ cn|F |n,

onde cn ı¿12

o volume de uma bola de diı¿12metro 1.

Veja que se F tem medida de lebesgue nula em Rn entı¿12o F tem medida n-dimensional

de Hausdorff nula. Assim sendo, a medida n-dimensional de Hausdorff ı¿12

absolutamentecontı¿1

2nua em relaı¿1

2ı¿1

2o ı¿1

2medida n-dimensional de Lebesgue, pelo teorema de Radon-

Nikodym(veja que Hn e Ln sı¿12o σ-finitas)

dHn

dLn= c para alguma funı¿1

2ı¿1

2o localmente

integrı¿12vel c nı¿1

2o negativa. Outra observaı¿1

2ı¿1

2o contundente ı¿1

2que Hn e voln sı¿1

2o

invariantes por transalaı¿12ı¿1

2o, isto segue diretamente da definiı¿1

2ı¿1

2o, daı¿1

2a nossa

funı¿12ı¿1

2o c tambı¿1

2m precisa ser invariante por translaı¿1

2ı¿1

2o e logo ı¿1

2constante .

Mais precisamente,

Teorema 3.1.3. Seja qual for F ⊂ Rn tem-se cnHn(F ) = Ln(F ), onde cn ı¿1

2o volume

n-dimensional de uma bola de diı¿12metro 1, i.e.,

cn =πn/2

2n(n/2)!


se n ı¿12

par e

cn =π(n−1)/2((n− 1)/2)!

n!

se n ı¿12

ı¿12mpar.

Demonstracao. Fixe δ > 0. Seja {Ui}i uma δ-cobertura. Pela desigualdade isodiamı¿12trica,

Ln(E) ≤∞∑i=1

Ln(Ui) ≤∞∑i=1

cn|Ui|n,

e tomando o ı¿12nfimo sobre as coberturas obtemos Ln(F ) ≤ cnH

nδ (F ), e assim fazendo

δ → 0 temos Ln(F ) ≤ cnHn(F ). Para a desigualdade contrı¿1

2ria veja que para qualquer

ε > 0 podemos selecionar uma δ-cobertura de F {Qi} por meio de cubos tal que

∞∑i=1

Ln(Qi) < Ln(F ) + ε.

Pelo corolı¿12rio do teorema de cobertura de Vitali (vide apı¿1

2ndice), para cada i existe

uma coleı¿12ı¿1

2o enumerı¿1

2vel de bolas disjuntas {Bij}∞j=1 cada uma das quais no interior

de Qi tal que

|Bij| ≤ δ, Ln

(Qi −

∞⋃j=1

Bij

)= Ln

(Qoi −

∞⋃j=1

Bij

)= 0,

onde Qoi ı¿1

2o interior de Qi. Como Hn � Ln temos Hn

(Qi −

⋃∞j=1 Bij

)= 0. Segue-se

que

cnHnδ (F ) ≤

∞∑i=1

cnHnδ (Qi) =

∞∑i=1

cnHnδ

(∞⋃j=1

Bij

)≤

∞∑i=1

∞∑j=1

cnHnδ (Bij)

≤∞∑i=1

∞∑j=1

cn|Bij|n =∞∑i=1

∞∑j=1

Ln(Bij)

=∞∑i=1

Ln

(∞⋃j=1

Bij

)=∑i=1

Ln(Qi) < Ln(F ) + ε.

A desigualdade acima vale para todo ε > 0, portanto cnHn(F ) ≤ Ln(F ) e isto termina a

prova do teorema.

Outra prova deste teorema usando as idı¿12ias de continuidade absoluta e o teorema de

Radon-Nikodym pode ser encontrada em [9].

Veja que se tivermos um intervalo [a, b] e o dilatarmos por um fator λ > 1 ou o con-trairmos por um fator λ < 1 obtemos um novo intervalo [λa, λb] de comprimento λ(b− a).


Para um retı¿12ngulo de ı¿1

2rea ab passamos a outro de ı¿1

2rea λ2ab, i.e., o fator λ aparece

com um expoente idı¿12ntico ao da dimensı¿1

2o em que estamos trabalhando. ı¿1

2natural

indagar se ocorre o mesmo com a medida s-dimensional de Hausdorff. A resposta a estapergunta estı¿1

2na

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.4. Seja S uma similaridade de fator escalar λ, i.e., ∀x, y ∈ Rn |S(x)−

S(y)| = λ|x− y|, λ > 0 . Se F ⊂ Rn, entı¿12o

Hs(S(F )) = λsHs(F ).

Demonstracao. Se {Ui}i ı¿12

uma δ-cobertura de F entı¿12o {S(Ui)}i ı¿1

2uma λδ-cobertura

de S(F ), pois |S(x)− S(y)| = λ|x− y| ≤ λδ sempre que x, y ∈ F ∩ Ui. Daı¿12, como∑

|S(Ui)|s = λs∑|Ui|s

temos tomando o ı¿12nfimo em ambos membros que

Hsλδ(S(F )) ≤ λsHs

δ(F )

e fazendo δ → 0 temos

Hs(S(F )) ≤ λsHs(F ).

Observe que sendo S uma similaridade a mesma ı¿12

bijetiva e do resultado acima trocamosS por S−1, λ por λ−1, e F por S(F ) e obtemos a desigualdade contrı¿1

2ria. Isto termina a

prova da proposiı¿12ı¿1

2o.

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.1.5. Seja F ⊂ Rn e f : F −→ Rm uma funı¿1

2ı¿1

2o α-Hı¿1

2lder, i.e.,

|f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|α

para uma contante c > 0 e α > 0. Entı¿12o para cada s ≥ 0

Hs/α(f(F )) ≤ cs/αHs(F ).

Demonstracao. Se {Ui}i ı¿12

uma δ-cobertura de F , desde que |f(F ∩ Ui)| ≤ c|F ∩ Ui|α ≤c|Ui|α, segue-se que {f(F ∩ Ui)}i ı¿1

2uma cδα-cobertura de f(F ). Portanto,

∞∑i=1

|f(F ∩ Ui)|s/α ≤ cs/α∞∑i=1

|Ui|s,

donde

Hs/αcδα (f(F )) ≤ cs/αHs

δ(F ).

Fazendo δ → 0 obtemos ao resultado da proposiı¿12ı¿1

2o.

3.2. DIMENSI¿12O DE HAUSDORFF 27

Quando α = 1 temos que f ı¿12

Lipschitz e o resultado se reduz a

Hs(f(F )) ≤ csHs(F ) (∗).

Em particular qualquer funı¿12ı¿1

2o diferenciı¿1

2lvel com derivada limitada satisfaz a

expressı¿12o (∗) isto ı¿1

2uma consequı¿1

2ncia do teorema do valor mı¿1

2dio, dele tiramos que

uma funı¿12ı¿1

2o satisfazendo a propriedade mencionada ı¿1

2Lipschitz. Do que jı¿1

2fizemos

temos que Hs ı¿12

invariante por translaı¿12ı¿1

2o e rotaı¿1

2ı¿1

2o.

3.2 Dimensı¿12o de Hausdorff

Voltando a equaı¿12ı¿1

2o (3.1) na seı¿1

2ı¿1

2o precedente vemos que para qualquer conjunto

F ⊂ Rn dado e δ < 1, Hsδ(F ) ı¿1

2nı¿1

2o crescente com s, entı¿1

2o por (3.2) Hs(F ) tambı¿1

2m

ı¿12

nı¿12o crescente. De fato, mais ı¿1

2verdade: Se t > s e {Ui}i ı¿1

2uma δ-cobertura de

F , nı¿12s temos ∑

|Ui|t =∑|Ui|t−s|Ui|s ≤ δt−s

∑|Ui|s (3.3)

donde tomando o ı¿12nfimo Ht

δ(F ) ≤ δt−sHsδ(F ). Fazendo δ → 0 nı¿1

2s vemos que se

Hs(F ) < ∞ entı¿12o Ht(F ) = 0 para todo t > s. Da mesma forma sendo Ht(F ) < ∞

fazendo δ → 0 Hs(F ) = ∞. Assim vemos que existe um valor crı¿12tico de s = sc para o

qual Hs(F ) “salta”de infinito para zero, e que para qualquer s > sc tem-se Hs(F ) = 0 epara s < sc tem-se Hs(F ) =∞.

Tal valor crı¿12tico ı¿1

2chamado dimensı¿1

2o de Hausdorff de F , e escrevemos dimH F ,

e estı¿12

definida para qualquer conjunto F ⊂ Rn. Formalmente temos a

Definiı¿12ı¿1

2o 3.2.1. Seja F ⊂ Rn. A dimensı¿1

2o de Hausdorff de F ı¿1

2dada pela

expressı¿12o abaixo

dimH F = inf{s ≥ 0;Hs(F ) = 0} = sup{s ≥ 0;Hs(F ) =∞} (3.4)

aqui estamos convencionando que sup ∅ = 0.

Podemos escrever portanto, Hs(F ) = ∞ se 0 ≤ s < dimH F e Hs(F ) = 0 se s >dimH F . Se s = dimH F , entı¿1

2o Hs(F ) pode ser zero, infinito ou satisfazer

0 < Hs(F ) <∞.

Agora vamos passar para algumas propriedades da dimensı¿12o de Hausdorff

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.2.1. As seguintes afirmaı¿1

2ı¿1

2es sı¿1

2o verdadeiras:

1. Se E ⊂ F entı¿12o dimH F ≤ dimH F .

2. Se {Fi}i ı¿12

uma sequı¿12ncia enumerı¿1

2vel de conjuntos entı¿1

2o dimH(∪iFi) =

supi{dimH Fi}


Demonstracao. 1. Como Hs(E) ≤ Hs(F ) entı¿12o se Hs(F ) = 0 temos Hs(E) = 0 e daı¿1

2

inf{s ≥ 0;Hs(E) = 0} ≤ inf{s ≥ 0;Hs(F ) = 0} e isto nos dı¿12

dimH E ≤ dimH F .

2. Se s > dimH Fi para todo i entı¿12o Hs(Fi) = 0 para todo i e portanto Hs(∪iFi) = 0

donde inf{s ≥ 0;Hs(∪iFi) = 0} ≤ inf{s ≥ 0;Hs = 0}, i.e., dimH ∪iFi ≤ supi{dimH Fi}, ecomo por i) temos dimH Fi ≤ dimH ∪iFi pois cada Fi ⊂ ∪iFi o resultado segue.

Podemos ver sem dificuldade que para um conjunto enumerı¿12vel F temos dimH F = 0.

Com efeito, se Fi consiste de um ı¿12nico ponto, entı¿1

2o H0(Fi) = 1 donde dimH Fi = 0 e

pelo ı¿12tem 2 da proposiı¿1

2ı¿1

2o anterior temos que se F = ∪iFi, entı¿1

2o dimH F = 0.

Exemplo 3.2.1. Seja F o disco de diı¿12metro unitı¿1

2rio de R3. Das propriedades de

comprimento, ı¿12rea e volume temos H1(F ) = comprimento(F ) = ∞, 0 < Hs(F ) =

(4/π) · ı¿12rea(F ) = 4 < ∞ e H3(F ) = (6/π) · volume(F ) = 0. Assim dimH(F ) = 2, com

Hs(F ) =∞ se s < 2 e Hs(F ) = 0 se s > 2.

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.2.2. Sejam F ⊂ Rn e f : F → Rm uma funı¿1

2ı¿1

2o α-Hı¿1

2lder. Vale

dimH f(F ) ≤ (1/α) dimH F.

Demonstracao. Se s > dimH F entı¿12o pela Proposiı¿1

2ı¿1

2o 3.1.5

Hs/αf(F ) ≤ cs/αHs(F ) = 0,

donde dimH f(F ) ≤ (s/α), e o resultado segue tomando o ı¿12nfimo dentre tais s.

Corolı¿12rio 3.2.1. Se f : F → Rm ı¿1

2Lipschitz entı¿1

2o dimH f(F ) ≤ dimH F.

Proposiı¿12ı¿1

2o 3.2.3. Se F ⊂ Rn ı¿1

2tal que dimH F < 1 entı¿1

2o F ı¿1

2totalmente

desconexo.

Demonstracao. Sejam x 6= y ∈ F . Defina f : Rn → [0,∞) por f(z) = |z − x|. Assim,|f(z)−f(w)| ≤ ||z−x|−|w−x|| ≤ |z−x−w+x| = |z−w| e daı¿1

2dimH f(F ) ≤ dimH F < 1.

Assim f(F ) por ser um subconjunto de R tem medida unidimensional de Hausdorff nula,i.e., H1(F ) = 0. Pelo Teorema 3.1.3, F tem medida de Lebesgue nula e portanto teminterior vazio, ou equivalentemente tem complementar denso. Escolhendo 0 < r /∈ f(F ) er < f(y) temos

F = {z ∈ F ; |z − x| < r} ∪ {z ∈ F ; |z − x| > r}.

Logo, F estı¿12

contido em dois aberto disjuntos com x em um e y em outro, e assim x e yestı¿1

2o em componentes conexas distintas de F .

Exemplo 3.2.2. Se F ı¿12

o conjunto de Cantor usual, qual o valor de dimH F? Soluı¿12ı¿1

2o.

Devido ı¿12

construı¿12ı¿1

2o de F podemos o escrever como uma uniı¿1

2o disjunta, a saber,

3.2. DIMENSI¿12O DE HAUSDORFF 29

F = FE ∪ FD, onde FE = F ∩ [0, 1/3] e FD = F ∩ [2/3, 1]. Segue-se que FE e FD, sı¿12o

similares ao conjunto de Cantor, ambos com uma razı¿12o de 1/3, assim

Hs(F ) = Hs(FE) + Hs(FD) =1

3sHs(F ) +

1

3sHs(F ).

Assim caso 0 < Hs(F ) <∞, teremos 1 = 2 · 3−s, ou seja, s = log 2/ log 3.Portanto vamos tentar mostrar que 0 < Hs(F ) <∞ com s = log 2/ log 3.Seja Ek a coleı¿1

2ı¿1

2o dos intervalos que sı¿1

2o obtidos no k-ı¿1

2simo passo na con-

struı¿12ı¿1

2o do conjunto de Cantor. Assim Ek consiste de 2k intervalos cada um com com-

primento 3−k. Tomando estes intervalos como uma 3−k-cobertura de F temos Hsδ(F ) ≤

2k · 3−ks = 1 se s = log 2/ log 3. Fazendo k → ∞ obtemos Hs(F ) ≤ 1. Agora vamosmostrar que Hs(F ) ≥ 1/2, para isso devemos mostrar que para qualquer cobertura {Ui}de F temos

(∗)∑i

|Ui|s ≥ 1/2 = 3−s.

ı¿12

suficiente mostrar quando {Ui} sı¿12o intervalos e como F ı¿1

2compacto, precisamos

mostrar (∗) quando {Ui} for uma coleı¿12ı¿1

2o finita de subintervalos fechados de [0, 1]. Para

cada Ui seja k um natural tal que

(∗∗) 3−(k+1) ≤ |Ui| < 3−k.

A desigualdade acima nos dı¿12

3−(k+1)s ≤ |Ui|s, donde 3−sk ≤ 3s|Ui|s Entı¿12o, cada Ui

pode intersectar no mı¿12ximo um intervalo do k-ı¿1

2simo passo da construı¿1

2ı¿1

2o de F ,

pois estes estı¿12o separados no mı¿1

2nimo por uma distı¿1

2ncia de 3−k. Se j ≥ k entı¿1

2o,

por construı¿12ı¿1

2o, Ui intersecta no mı¿1

2ximo 2j−k = 2j3−sk ≤ 2j3s|Ui|s intervalos do

j -ı¿12simo passo da construı¿1

2ı¿1

2o de F . Portanto escolhamos j grande o suficiente de

modo que 3−(j+1) ≤ |Ui| para todo i, dessa forma {Ui} intersecta todos os 2j intervalosde comprimento 3−j no j -ı¿1

2simo passo da construı¿1

2ı¿1

2o de F , contando os mesmos

concluı¿12mos que

2j ≤∑i

2j3s|Ui|s,

isto ı¿12, vale (∗). E portanto Hs(F ) ≥ 1/2.

Dı¿12

para se mostrar ainda que com mais trabalho que Hs(F ) = 1.Do que aqui foi feito obtemos de graı¿1

2a que F ı¿1

2nı¿1

2o enumerı¿1

2vel e totalmente

desconexo!

Capıtulo 4

Teorema de Eggleston

Aqui vamos estabelecer o resultado devido a Eggleston(1959) sobre o conjunto F (v) quenos referimos na introduı¿1

2ı¿1

2o deste material.

4.1 Preparaı¿12ı¿

12o

Definiı¿12ı¿1

2o 4.1.1. Um vetor de probabilidade v = (p0, p1, ..., pm−1) ∈ Rm ı¿1

2tal que

pi ≥ 0, ∀ i ∈ {0, 1, ...,m− 1} e p0 + p1 + ...+ pm−1 = 1.

Definiı¿12ı¿1

2o 4.1.2. Seja nj,k(x) o nı¿1

2mero de vezes que aparece o dı¿1

2gito j aparece nas

k primeiras posiı¿12ı¿1

2es na expansı¿1

2decimal na base m de um certo nı¿1

2mero x ∈ [0, 1).

O conjunto OBJETIVO serı¿12

F = F (v) =

{x ∈ [0, 1);

limk→∞ nj,k(x)

k= pj, ∀ j = 0, 1, ...,m− 1

},

onde v = (p0, p1, ..., pm−1) ı¿12

um vetor de probabilidade.

Uma medida µ sobre conjuntos limitados do Rn satisfazendo 0 < µ(Rn) < ∞ ı¿12

chamada de distribuiı¿12ı¿1

2o de massa. O suporte de uma medida µ denotado por spt µ,

ı¿12

o menor conjunto fechado X tal que µ(Rn −X) = 0.

Exemplo 4.1.1 (Distribuiı¿12ı¿1

2o de massa sobre uma segmento de reta). Seja L um

segmento de reta no plano. Defina µ(F ) = L1(F ∩L), i.e., o comprimento da interseı¿12ı¿1

2o

de F com L. Assim µ ı¿12

uma distribuiı¿12ı¿1

2o de massa com suporte L, pois µ(F ∩L) = 0

se F ∩ L = ∅.

Proposiı¿12ı¿1

2o 4.1.1. Sejam µ uma distribuiı¿1

2ı¿1

2o de massa sobre Rn, F ⊂ Rn um

boreliano e 0 < c <∞ uma constante.

1. Se lim supr→0 µ(B(x, r))/rs < c para todo x ∈ F entı¿12o Hs(F ) ≥ µ(F )/c

2. Se lim supr→0 µ(B(x, r))/rs > c para todo x ∈ F entı¿12o Hs(F ) ≤ 10sµ(Rn)/c.

30

4.2. DIMENSI¿12O DO CONJUNTO OBJETIVO 31

Demonstracao. 1. Para cada δ > 0 seja

Fδ = {x ∈ F ;µ(B(x, r)) < crs, para todo 0 < r ≤ δ}.

Seja {Ui} uma δ-cobertura de F e portanto de Fδ. Para cada Ui contendo um pontox de Fδ, a bola B com centro x e raio |Ui| certamente contı¿1

2m Ui. Assim segue-se

da definiı¿12ı¿1

2o de Fδ que

µ(Ui) ≤ µ(B) < c|Ui|s

entı¿12o

µ(Fδ) ≤∑i

µ(Ui) ≤ c∑i

|Ui|s,

onde Ui ∩ Fδ 6= ∅. Como {Ui} ı¿12

uma δ-cobertura arbitrı¿12ria de F , segue-se que

µ(Fδ) ≤ cHsδ(F ) ≤ Hs(F ).

Mas Fδ cresce para F quando δ vai para 0, daı¿12

pela observaı¿12ı¿1

2o logo abaixo da

Proposiı¿12ı¿1

2o 2.4.1 temos

µ(F ) ≤ cHs(F ).

2. Inicialmente suponhamos F limitado. Fixe δ > 0 e seja C a coleı¿12ı¿1

2o das bolas

{B(x, r); x ∈ F, 0 < r ≤ δ e µ(B(x, r))}.

Da hipı¿12tese temos que F ⊂

⋃B∈CB. Aplicando Teorema de Cobertura de Vitali

sobre a coleı¿12ı¿1

2o C, existe uma sequı¿1

2ncia de bolas disjuntas Bi ∈ C tal que⋃

B∈CB ⊂⋃i[Bi], onde [Bi] ı¿1

2a bola concı¿1

2ntrica com Bi mas de raio 5 vezes

maior. Assim {[Bi]} ı¿12

uma 10δ-cobertura de F , donde

Hs10δ(F ) ≤

∑i

|[Bi]|s ≤ 5s∑i

|Bi|s ≤ 10sc−1∑i

µ(Bi) ≤ 10sc−1µ(Rn).

Fazendo δ → 0 obtemos Hs(F ) ≤ 10sc−1µ(Rn) < ∞. Caso F seja ilimitado eHs(F ) > 10sc−1µ(Rn), entı¿1

2o a medida s-dimensional de algum subconjunto limi-

tado de F tambı¿12m excederı¿1

2este valor, mas isto contraria o que fizemos inicial-

mente. Isto termina a prova da proposiı¿12ı¿1

2o.

No segundo ı¿12tem da Proposiı¿1

2ı¿1

2o 4.1.1 o valor 10s pode ser melhorado para 2s.

4.2 Dimensı¿12o do conjunto OBJETIVO

Faı¿12amos a seguinte convenı¿1

2ı¿1

2o

0 · log 0 = 0.

32 CAPITULO 4. TEOREMA DE EGGLESTON

Definiı¿12ı¿1

2o 4.2.1. Seja [0, 1] = E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ ... uma sequı¿1

2ncia decrescente de

conjuntos. Se para todo k ∈ N, Ek ı¿12

uma uniı¿12o finita de intervalos fechados disjuntos,

Ek ı¿12

chamado de k-ı¿12simo nı¿1

2vel bı¿1

2sico de intervalos.

Teorema 4.2.1 (Eggleston). Seja F o conjunto OBJETIVO. Tem-se

dimH F = − 1

logm

m−1∑i=0

pi log pi.

Demonstracao. Imagine que cada nı¿12mero x = 0, i1i2... na base m seja selecionado ao

acaso de modo que o k-ı¿12simo dı¿1

2gito ik toma o valor j com probabilidade pj, indepen-

temente para cada k (∗). Assim tomamos [0, 1) como nosso espaı¿12o amostral e definimos

uma medida de probabilidade P sobre os subconjuntos de [0, 1) tal que se Ii1.i2,...,ik ı¿12

ok-ı¿1

2simo nı¿1

2vel bı¿1

2sico contendo os nı¿1

2meros com expansı¿1

2o na base m comeı¿1

2ando

com 0, i1i2...ik entı¿12o a probabilidade de um dı¿1

2gito pertencer ao mesmo ı¿1

2

P (Ii1.i2,...,ik) = pi1pi2 · · · pik . (?)

Veja que por (∗) dado j, os eventos ‘o k-ı¿12simo dı¿1

2gito de x ı¿1

2um j’, i.e., Ak = {ik =

j, x = 0, i1i2...} sı¿12o independentes para k = 0, 1, 2, .... Assim segue-se imediatamente do

exemplo apı¿12s a Lei forte dos Grandes nı¿1

2meros que com probabilidade 1,

nj,k(x)

k→ pj

quando k → ∞ para todo j. Daı¿12, P (F ) = 1. Escreva Ik(x) = Ii1,...,ik para o k-ı¿1

2simo

nı¿12vel de comprimento m−k para o qual x pertence. Para um y fixado, a probabilidade

que x ∈ Ik(y) dada por (?) de modo que

P (Ik(y)) = pn0,k(y)0 · · · pnm−1,k(y)

m−1 ,

pois o dı¿12gito j aparece nas k primeiras posiı¿1

2ı¿1

2es do nı¿1

2mero y com probabilidade

pnj,k(y)j , e se tomarmos logarı¿1

2tmos na ı¿1

2ltima expressı¿1

2o acima obtemos

logP (Ik(y) =m−1∑i=0

ni,k(y) log pi.

Assim se y ∈ F temos que nj,k(y)→ pj quando k →∞ para cada j, e portanto subtraindo

log |Ik(y)|s e em seguida multiplicando por1

kobtemos

1

klog

P (Ik(y))

|Ik(y)|s=

1

klogP (Ik(y)− 1

klogm−ks →

m−1∑i=0

pi log pi + s logm.

4.2. DIMENSI¿12O DO CONJUNTO OBJETIVO 33

Daı¿12, segue-se que para todo y ∈ F ,

limk→∞

P (Ik(y))

|Ik(y)|s=

{0 se s < θ∞ se s > θ

onde θ = − 1

logm

m−1∑i=0

pi log pi. Pronto! Agora estamos virtualmente na situaı¿12ı¿1

2o da

proposiı¿12ı¿1

2o 4.1.1, onde a distribuiı¿1

2ı¿1

2o em nosso caso ı¿1

2a medida de probabilidade

P . Utilizando-o concluimos que Hs(F ) =∞ para s < θ e Hs(F ) = 0 para s > θ. Ou seja,dimH F = θ.

Capıtulo 5

Tı¿12picos Relacionados

Na seı¿12ı¿1

2o anterior calculamos o “tamanho” do conjunto F , que relembrando ı¿1

2aquele

dos nı¿12meros x ∈ [0, 1) para os quais existe lim

k→∞

nj,k(x)

k. Assim ı¿1

2natural pensar no que

podemos dizer sobre os nı¿12meros x ∈ [0, 1) que nı¿1

2o tı¿1

2m essa propriedade.

Fixe um inteiro m ≥ 2. Para k ∈ {0, 1, ...,m− 1} definimos o conjunto

Fk =

{x ∈ [0, 1); lim inf

k→∞

nj,k(x)

k< lim sup

k→∞

nj,k(x)

k

},

onde nj,k(x) = #{1 ≤ n ≤ k; in = j}, com x = 0, i1i2....Um resultado clı¿1

2ssico devido a Borel diz que para quase todo ponto ı¿1

2Lebesgue

limk→∞

nj,k(x)

k=

1

m. Segue-se do mesmo que L1(Fk) = 0.

Em contrapartida Barreira, Saussol e Shmeling provaram em [6] o

Teorema 5.0.2. Para cada k ∈ {0, 1, ...,m− 1} o conjunto Fk possui um subconjunto Gδ

denso em [0, 1) e

dimH

(m−1⋂k=0

Fk

)= 1

O teorema acima implica que⋃m−1k=0 Fk tem dimensı¿1

2o de Hausdorff igual a 1, e assim do

ponto de vista da teoria da dimensı¿12o o mesmo ı¿1

2“grande” no intervalo [0, 1). Por outro

lado, a uniı¿12o⋃m−1k=0 Fk nı¿1

2o somente tem medida de Lebesgue nula, tem medida zero

com respeito a qualquer medida que ı¿12

invariante sob a aplicaı¿12ı¿1

2o x 7→ mx (mod. 1),

e assim o conjunto⋃m−1k=0 Fk ı¿1

2pequeno do ponto de vista da teoria da medida.

Defina nj(x) = limk→∞

nj,k(x)

k. O conjunto F definido no capı¿1

2tulo anterior poderia ser

mais complicado caso exigı¿12ssemo uma relaı¿1

2ı¿1

2o linear ou atı¿1

2mesmo nı¿1

2o linear

sobre os nj(x) = limk→∞

nj,k(x)

k. Se m = 4, e se definirmos o conjunto

F ′ = {x ∈ [0, 1);n1(x) = 5n0(x)}.

34

35

F ′ ı¿12

o subconjunto de [0, 1) tal que a representaı¿12ı¿1

2o de seus dı¿1

2gitos na base 4

tem uma razı¿12o de uns que ı¿1

25 vezes a razı¿1

2o de zeros. A razı¿1

2o de dois e trı¿1

2s ı¿1

2

arbitrı¿12ria. Em [5] vemos que a dimH F

′ =log(2 + 5/65/6)

log 4. Mais ainda vale, e estı¿1

2no

Teorema 5.0.3. Seja F ′ = {x ∈ [0, 1); nj(x) = βnl(x)}. Para cada j 6= l e β ≥ 0 temos

dimH F′ = max

−m−1∑i=0

pi log pi

logm;m−1∑i=0

pi = 1, pi ≥ 0, pj = βpl

=

=log(m− 2 + (β + 1)/ββ/(β+1))

logm

Para mais detalhes e mais extensı¿12es do problema o leitor poderı¿1

2ver em [5] ou em

[6].

Capıtulo 6

Apı¿12ndice

Nesta seı¿12ı¿1

2o faremos comentı¿1

2rios e demostraremos algumas ferramentas usadas nas

provas de algumas proposiı¿12ı¿1

2es e alguns teoremas. Da mesma forma como foi usado na

proposiı¿12ı¿1

2o 4.0.4 se B ı¿1

2uma bola fechada em Rn, escreveremos [B] para denotar a

bola fechada concı¿12ntrica com B que tem raio 5 vezes o raio de B.

Teorema 6.0.4 (Cobertura de Vitali). Seja F qualquer coleı¿12ı¿1

2o de bolas fechadas e

nı¿12o degeneradas em Rn com

sup{|B|;B ∈ F} <∞.

Entı¿12o existe uma famı¿1

2lia enumerı¿1

2vel G de bolas disjuntas em F tal que⋃

B∈F

B ⊂⋃B∈G

[B].

Demonstracao. Seja D = sup{|B|;B ∈ F}. Faı¿12a ainda Fj = {B ∈ F;D/2j < |B| ≤

D/2j−1}, j ∈ N. Nı¿12s definimos Gj ⊂ Fj como segue:

1. Seja G1 qualquer coleı¿12ı¿1

2o maximal de bolas disjuntas em F1.

2. Assumindo G1,G2, ...,Gk−1 escolhidas, nı¿12s escolhemos Gk qualquer subcoleı¿1

2ı¿1

2o

maximal disjunta de{B ∈ Fk;B ∩B′ = ∅ para todo B′ ⊂

k−1⋃j=1

Gj

}.

Finalmente, defina G = ∪∞j=1Gj. Claramente G ı¿12

uma coleı¿12ı¿1

2o de bolas disjuntas

e G ⊂ F.

Afirmaı¿12ı¿1

2o: Para cada bola B ∈ F , existe uma bola B′ ∈ G tal que B ∩ B′ 6= ∅ e

B ⊂ [B′]. Com efeito, fixado B ∈ F existe j tal que B ∈ Fj. Pela maximalidade de Gj,existe uma bola B′ ∈ ∪jk=1 com B ∩ B′ 6= ∅. Mas |B′| ≥ D/2j e |B| ≤ D/2j−1, donde|B| ≤ 2|B′|. Portanto B ⊂ [B′], como afirmado.

36

37

Corolı¿12rio 6.0.1. Sejam U ⊂ Rn aberto e δ > 0. Existe uma coleı¿1

2ı¿1

2o enumerı¿1

2vel

G de bolas fechadas e disjuntas em U tal que |B| ≤ δ, B ∈ G e

Ln

(U −

⋃B∈G

B

)= 0.

Demonstracao. Fixe 1 − 1/5n < θ < 1. Assuma primeiro que Ln(U) < ∞. Seja F1 ={B; B ⊂ U, |U | < δ}. Pelo Teorema 5.1, existe uma famı¿1

2lia enumerı¿1

2vel G1 ⊂ F1 tal

que

U ⊂⋃B∈G1

[B].

Assim

Ln(U) ≤∑B∈G1

Ln([B]) = 5n∑B∈G1

Ln(B) = 5nLn

( ⋃B∈G1

B

).

Assim

Ln

( ⋃B∈G1

B

)≥ 1

5nLn(U),

donde

Ln

(U −

⋃B∈G1

B

)≥(

1− 1

5n

)Ln(U).

Desde que G1 ı¿12

enumerı¿12vel, existem B1, B2, ..., BM1 em G1 tal que

Ln

(U −

M1⋃i=1

Bi

)≤ θLn(U).

Faı¿12amos agora

U2 = U −M1⋃i=1

Bi,

F2 = {B; B ⊂ U2, |B| < δ},e novamente como acima, podemos encontrar uma quantidade finita de bolas disjuntasBM1+1, BM1+2, ..., BM2 em F2 tais que

Ln

(U −

M2⋃i=1

Bi

)= Ln

(U2 −

M2⋃i=M1+1

Bi

)≤ θLn(U2) ≤ θ2Ln(U).

Continuando este processo obtemos uma coleı¿12ı¿1

2o enumerı¿1

2vel de bolas disjuntas tal

que

Ln

(U −

Mk⋃i=1

Bi

)≤ θkLn(U), k = 1, 2, ....

38 CAPITULO 6. API¿12NDICE

Como θk → 0, o corolı¿12rio estı¿1

2provado no caso de Ln(U) < ∞. Caso Ln(U) = ∞,

nı¿12s aplicamos o argumento acima aos conjuntos

Um = {x ∈ U ;m < |x| < m+ 1} m = 0, 1, 2, ....

Isto conclui a prova do corolı¿12rio.

Seja (X, S, µ) um espaı¿12o de medida, com µ σ-finita. Uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel f

de X em si prı¿12prio ı¿1

2dita preservar medida sse µ(f−1(A)) = µ(A) qualquer que seja

A ∈ S. Um conjunto Y ı¿12

chamado f -invariante sse f−1(Y ) = Y . Como f−1 preservatodas as operaı¿1

2ı¿1

2es sobre conjuntos tais como uniı¿1

2o e complemento, a coleı¿1

2ı¿1

2o de

todos os conjuntos f -invariantes forma uma σ-ı¿12lgebra de subconjuntos de X. Como a

interseı¿12ı¿1

2o de duas σ-ı¿1

2lgebras ı¿1

2ainda uma σ ı¿1

2lgebra, a coleı¿1

2ı¿1

2o Sinv(f) de

todos os mensurı¿12veis f -invariante ı¿1

2uma σ-ı¿1

2lgebra. Uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel f

que preserva medida ı¿12

chamada ergı¿12dica sse para todo conjunto Y ∈ Sinv(f), µ(Y ) = 0

ou µ(X − Y ) = 0.

Exemplo 6.0.1. Para a medida de Lebesgue sobre R a funı¿12ı¿1

2o fy(x) = x+ y preserva

medida, mas nı¿12o ı¿1

2ergı¿1

2dica.

Seja f ∈ L1(X, S, µ). Se T ı¿12

mensurı¿12vel e preserva medida, seja f0 := f e para j =

1, 2, ... faı¿12amos fj = f ◦T j, onde T j = T ◦T ◦ ...◦T , j vezes. Seja Sn = f0 +f1 + ...+fn−1.

Entı¿12o limn→∞ Sn/n existirı¿1

2e se T ı¿1

2ergı¿1

2dica, o limite serı¿1

2uma constante como

enunciaremos na lei forte dos grandes nı¿12meros mais abaixo, que decorre do seguinte

Teorema 6.0.5 (Ergı¿12dico de Birkhoff). Seja T uma funı¿1

2ı¿1

2o mensurı¿1

2vel que preserva

medida em um espaı¿12o de medida (X, S, µ) com µ uma medida σ-finita. Entı¿1

2o para qual-

quer f ∈ L1(X, S, µ) existe uma funı¿12ı¿1

2o ϕ ∈ L1(X, Sinv(T ), µ) tal que limn→∞ Sn(x)/n =

ϕ(x), em µ q.t.p. x, com∫|f |dµ ≥

∫|ϕ|dµ. Se T ı¿1

2ergı¿1

2dica, entı¿1

2o ϕ ı¿1

2igual

(µ q.t.p.) a uma constante. Se µ(X) <∞, entı¿12o Sn/n converge para ϕ em L1(X, S, µ),

i.e.,∫|ϕ− Sn/n| = 0, ou seja,

∫fdµ =

∫ϕdµ.

Para uma demonstraı¿12ı¿1

2o do teorema acima o leitor pode consultar [7].

Fixemos (X, S, P ) um espaı¿12o de probalilidade. Qualquer evento com probabilidade

1 ı¿12

dito ocorrer quase certamente. Assim uma sequı¿12ncia Yn de variı¿1

2veis aleatı¿1

2rias

(reais) ı¿12

dita convergir q.c. (quase certamente) para uma variı¿12ve aleatı¿1

2ria Y sse

P (Yn → Y ) = 1, aqui estamos usando o fato de que o conjunto dos pontos onde umasequı¿1

2ncia de variı¿1

2veis aleatı¿1

2rias converge ı¿1

2mensurı¿1

2vel. A sequı¿1

2ncia X1, X2, ...

ı¿12

dita satisfazer a lei forte dos grandes nı¿12meros sse para alguma constante d, Sn/n→ d

quase certamente, onde Sn = X1 +X2 + ...+Xn.

Teorema 6.0.6 (Lei Forte dos Grandes Nı¿12meros). Seja {Xj}j uma sequı¿1

2ncia de

variı¿12veis aleatı¿1

2rias independentes indı¿1

2nticamente distribuı¿1

2das (i.e. para todo

E ∈ S, P (Xj ∈ E) ı¿12

a mesma para todo j). Se a esperanı¿12a EX1 < ∞ entı¿1

2o

ocorre a Lei dos Grandes Nı¿12meros, i.e.,

Sn/n→ EX1,

39

onde Sn = X1 +X2 + ...+Xn.

Exemplo 6.0.2. Suponha que {Xj}j ı¿12

uma sequı¿12ncia de variı¿1

2veis independentes

tais que P (Xj = 1) = p = 1 − P (Xj = 0) para todo j. Se Xj = 1 nı¿12s diremos ter

um sucesso no j -ı¿12simo lanı¿1

2amento, caso contrı¿1

2rio diremos ter um fracasso. Assim,

Sn representa o nı¿12mero de sucessos e Sn/n ı¿1

2a frequı¿1

2ncia relativa de sucessos nos n

primeiros lanı¿12amentos. Assim, a Lei Forte dos Grandes Nı¿1

2meros afirma que Sn/n→ p,

note que a esperanı¿12a nesse caso coincide com p.

Agradecimentos

Agradeı¿12o a Deus, meus pais, ao professor Krerley, e aos meus amigos, pois estes sempre

estiveram e estı¿12o dispostos a me ajudar.

40

Referencias Bibliograficas

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2ı¿1

2es,

Colı¿12quio Brasileiro de Matemı¿1

2tica - IMPA, Rio de Janeiro, 2002.

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[3] Edgar, G., Measure, Topology, and Fractal Geometry, Springer Verlag, 2008.

[4] Falconer, K. J., Fractal Geometry, Mathematical foundation and Applications, JohnWiley, 2003.

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2ricos, dissertaı¿1

2ı¿1

2o

de mestrado UFAL, 2006.

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2o de resultados sobre nı¿1

2meros normais, dis-

sertaı¿12ı¿1

2o de mestrado UFRGS, 2008.

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[10] Evans, L.C. e Gariepy, R.F., Measure Theory and fine properties of function, CRCPress, 1992.

41

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