© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 16 Limites.

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Capítulo 16Limites


Objetivos de aprendizagem Velocidade média e velocidade instantânea. Distância com velocidade variável. Limites no infinito. Propriedades dos limites. Limites de funções contínuas. Limites unilaterais e bilaterais. Limites envolvendo o infinito.


Velocidade média e velocidade instantânea Velocidade média é o valor da variação da posição de um objeto (ou dizemos “variação do espaço percorrido”) dividido pelo valor da variação do tempo. Uma bola rola uma distância de 16 pés em 4 segundos. Qual é a velocidade instantânea da bola no instante de tempo 3 segundos depois de ter começado a rolar? Note como é fácil achar a velocidade média:


Velocidade média e velocidade instantânea Agora, note como a nossa álgebra se torna inadequada quando tentamos aplicar a mesma fórmula para a velocidade instantânea: Ela envolve divisão por zero e é, portanto, indefinida. Assim Galileu fez o melhor que pôde para tornar t o menor possível experimentalmente, medindo os valores pequenos de s, e então encontrando os quocientes. Isto é apenas a velocidade instantânea aproximada.


Limites no infinitoLimite no infinito (informal) Quando escrevemos , queremos dizer que f(x) aproxima-se de L à medida que x se torna arbitrariamente grande.Definição (informal) de limite em a Quando escrevemos , queremos dizer que f(x) aproxima-se de L à medida que x aproxima-se arbitrariamente (mas não se iguala) a a.


Propriedades de limitesLimite no infinito (informal) Se tanto como , existem, então:1. Regra da soma2. Regra da diferença3. Regra do produto4. Regra do múltiplo constante


Propriedades de limitesLimite no infinito (informal)5. Regra do quociente6. Regra da potência7. Regra da raiz


Limites de funções contínuas Considerando que uma função é contínua em a, se, isso significa que o limite (em a) de uma função pode ser encontrado estabelecendo-se uma “ligação em a”, desde que a função seja contínua em a. A condição de continuidade é essencial quando se aplica essa estratégia.Limites unilaterais e bilaterais O limite de f à medida que x se aproxima de c a partir da esquerda é o limite do lado esquerdo de f em c.


Limites unilaterais e bilaterais Ao passo que o limite de f quando x se aproxima de c a partir da direita é o limite do lado direito de f em c. A notação que usamos é esta: Lado esquerdo: Lado direito: Algumas vezes, os valores de uma função f podem se aproximar de valores diferentes quando x se aproxima de c de lados opostos.


Limites unilaterais e bilaterais O limite pode ser chamado limite bilateral, ou apenas o limite de f em c para distingui-lo dos limites unilaterais à esquerda e à direita de f em c.TEOREMA Limites unilateral e bilateral A função f(x) tem um limite à medida que x se aproxima de c, se, e somente se, os limites à esquerda e à direita em c existem e são iguais. Isto é,


Limites envolvendo o infinito Quando escrevemos , queremos dizer que f(x) se aproxima de L à medida que x se torna arbitrariamente grande. Dizemos que f tem um limite L à medida que x se aproxima de ∞. Quando escrevemos , queremos dizer que f(x) se aproxima de L à medida que -x se torna arbitrariamente grande. Dizemos que f tem um limite L à medida que x se aproxima de -∞.

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