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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO

CLÁUDIA CRISTINA SOARES DE CARVALHO

O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA

EDUCAÇÃO BÁSICA

SÃO PAULO

2014

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PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA

EDUCAÇÃO BÁSICA

Tese de Doutorado, orientada pela Dra. Siobhan Victoria Healy, co-orientada pelo Dr. Stephen Hegedus, apresentada à comissão avaliadora da Universidade Anhanguera de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de Doutor em Educação Matemática.

SÃO PAULO

2014

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O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO DE FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA

TESE DE DOUTORADO APRESENTADA À UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE DOUTOR EM EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

BANCA EXAMINADORA

Situação: Aprovada

Biblioteca

Bibliotecário (a): ___________________________________________________________

Assinatura: ___________________________________________ Data: ____/ ____/ _____

São Paulo, 12 de fevereiro de 2014.

5

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

6

AGRADECIMENTOS

É com muita satisfação que concluo mais uma etapa da minha vida

acadêmica. Foram muitos desafios e conquistas, muitas horas de leitura e escrita,

muita abdicação e dedicação. É a realização de um sonho e posso dizer, com toda

precisão, que tudo valeu a pena!

Muitas pessoas foram fundamentais para que eu conseguisse seguir em

frente nesta caminhada. Sinto-me feliz em poder destinar um espaço neste texto para

registrar meus profundos agradecimentos àqueles que, direta ou indiretamente,

contribuíram para meu sucesso. Quero sinceramente agradecer,

Aos meus familiares e amigos, por apoiarem minhas escolhas de vida; por

me incentivarem a não desistir dos meus objetivos; pela compreensão toda vez que

eu perdi confraternizações, aniversários, casamentos, batizados etc.; pelas reuniões

de despedida e de retorno; por celebrarem minhas conquistas ao meu lado.

À minha orientadora querida, Dra. Lulu Healy, por estar sempre presente com

palavras genialmente doces e “puxões de orelha” oportunos; pelos encontros virtuais

e presenciais, pela dedicação na leitura deste texto e por me dar um Norte toda vez

que eu tentei seguir por trilhas não muito promissoras.

Ao meu caro co-orientador, Dr. Stephen Hegedus, por ter paciência e apoiar

todas as minhas tentativas de comunicação fora da minha língua materna; pelas

tardes de orientação às quintas-feiras no Kaput Center; pelos encontros mais do que

científicos na Pour Farm Tavern; pelas contribuições para meu quadro teórico e

análise de dados.

À Dra. Janete Boliete Frant, ao Dr. Ruy César Pietropaolo e ao Dr. Marcelo

Borba, por avaliarem minha pesquisa com todo cuidado e atenção; pelos comentários

e sugestões que engrandeceram este trabalho.

À Dra. Tânia Campos, por me incentivar a cruzar as fronteiras deste Brasil,

sair da minha zona de conforto e crescer; pela defesa da qualidade de nosso programa

de pós-graduação; por ser um exemplo de força.

7

Aos professores e funcionários do Programa de Pós Graduação em

Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, pela dedicação,

empenho, sabedoria e cumplicidade.

Aos estudantes e professores do Programa Observatório da Educação,

participantes deste estudo, por disponibilizarem um tempo valioso de suas rotinas e

contribuírem com dados e informações de suma importância para o desenvolvimento

do meu trabalho.

À Capes, por todo incentivo financeiro durante o curso e pela oportunidade

de realizar o doutorado sanduíche no exterior.

No final desta caminhada, sinto-me na obrigação de tomar emprestadas as

palavras de Sir Isaac Newton (1643-1727): seu eu enxerguei mais longe foi porque

subi no ombro de gigantes.

Muito Obrigada!

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RESUMO

Nesta pesquisa, descrevo o desenvolvimento de um ambiente digital, nomeado de

Consecutivo, cujo intuito é fomentar a formulação de conjecturas e provas conceituais,

no domínio da Teoria dos Números discutida na educação básica. Apresento os

resultados da aplicação deste ambiente com um grupo pequeno de estudantes do 9º

ano do ensino fundamental e com um grupo maior de estudantes do 2º ano do ensino

médio. Os dados coletados foram utilizados para responder a duas questões de

pesquisa: com os recursos disponíveis no ambiente, como são as provas produzidas

pelos estudantes em termos de representações, conceitos matemáticos e estrutura

do argumento? E, como as provas produzidas são mediadas pelas ferramentas do

ambiente e pelas interações sociais?

Utilizo uma concepção de prova mais flexível do que aquela geralmente presente no

universo matemático. Neste contexto, a prova é uma explicação logicamente

conectada a respeito de uma conjectura, a qual convence o aprendiz e seus pares.

Este estudo segue alguns pressupostos do Design-Based Research, uma

metodologia de pesquisa qualitativa que prevê ciclos iterativos de design, aplicação,

análise e redesign. Para a análise de dados, utilizo um processo de codificação das

produções escritas, falas e ações dos participantes.

Os resultados da pesquisa apontam que os participantes conseguiram realizar

explorações e formular conjecturas com bastante facilidade utilizando as ferramentas

do ambiente. Foram capazes de produzir provas conceituais e utilizaram, com mais

frequência, a língua materna para registrar seus argumentos. As justificativas

produzidas tiveram origem em ações empíricas, mas, em muitas ocasiões, superaram

os limites do empirismo devido (1) às propriedades que os participantes perceberam

ao observar as diversas representações da interface do ambiente, (2) ao

aparecimento de conhecimentos familiares e (3) às instigações e questionamentos

provenientes das interações sociais.

Palavras-chave: Argumentação, Prova, Teoria dos Números, Design, Tecnologias

Digitais.

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ABSTRACT

In this research, I describe the development of a digital environment, Consecutivo,

whose objective is to foster the creation of conjectures and conceptual proofs related

to the domain of the number theory in school mathematics. I also present the results

of the interactions of a small group of middle school students and a larger group of

high school students, both from Brazil. I used the gathered data to answer two research

questions: (1) with the resources available in the environment, how are the proofs

produced by the students in terms of representations, mathematical concepts and

argumentation structure? (2) How are the students’ proofs mediated by the

environment tools and the social interactions?

In this study, I used a conception of proof more flexible than that one usually applied

in the mathematical field, with proof treated as a logically connected explanation about

a conjecture, which convinces the learner and their peers. This study drew from the

research principles associated with Design-Based Research, a qualitative research

methodology that encompasses iterative cycles of design, implementation, analysis

and redesign. In the data analysis, I used a process of codification of students’ written

answers, speech and actions.

Overall, students were able to explore and formulate conjectures quite easily using the

tools of the environment. They were able to produce conceptual proofs using,

frequently, their natural language. Their justifications originated from empirical actions,

but on many occasions, these justifications exceeded the limits of empiricism because

of (1) the properties they noticed by observing multiple representations in the

environment interface, (2) the emergence of familiar knowledge and (3) the issues and

questions arising from social interactions.

Keywords: Argumentation, Proof, Number Theory, Design, Digital Technologies

10

RÉSUMÉ

Dans cette recherche, je décris le développement d'un environnement numérique,

appelé consécutif dont le but est de promouvoir la formulation de conjectures et des

preuves conceptuels dans le domaine de la théorie des nombres discutée dans

l'éducation de base. Je présente également les résultats de l'application de cet

environnement avec un petit groupe d'élèves de la 9e année de l'école élémentaire

(plutôt collègue) et un plus grand groupe d'étudiants de la 2ème année du secondaire.

Les données recueillies ont été utilisées pour répondre à deux questions de recherche

: avec les ressources disponibles dans l'environnement, comment sont les preuves

produites par les étudiants en termes de représentations, des concepts

mathématiques et de structure de l'argument ? Et, comment les éléments de preuve

sont-ils médiés par l'environnement et les outils par les interactions sociales ?

J'ai utilisé dans cette étude une conception plus souple de la preuve à celle

généralement utilisée dans l'univers mathématique. Selon moi, la preuve est reliée

logiquement à une conjecture à laquelle convaincre l'apprenant et ses pairs. Cette

étude a suivi un peu la recherche des Design-Based Research, une méthodologie de

recherche qualitative qui fournit des cycles itératifs de conception, de mise en œuvre,

d'analyse et de refonte. Pour l'analyse des données, un processus de codification des

productions écrites, discours et actions des participants a été utilisé.

Dans l'ensemble, les élèves ont pu effectuer des explorations et de formuler des

conjectures assez facilement en utilisant les outils de l'environnement. Ils étaient

capables de produire des preuves conceptuel et utilisé plus souvent, la langue

maternelle pour enregistrer leurs arguments. Les justifications produites provenaient

des actions empiriques, mais à plusieurs reprises, ont dépassé les limites de

l'empirisme dû (1) aux propriétés que les participants ont perçu en observant les

différentes représentations de l'interface de l'environnement, (2) à l'émergence de

connaissances familières (3) aux instigations et les questionnements soulevés par les

interactions sociales.

Mots-clés : Arguments, Preuve, Théorie des Nombres, Technologies numérique.

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LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: INTERFACE DO SIMCALC (MORENO-ARMELLA E HEGEDUS, 2009, P. 515). .................................................... 40

FIGURA 2: INTERFACE DO CABRI-GÉOMÈTRE. ................................................................................................................... 40

FIGURA 3: EXEMPLO COTIDIANO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO SEGUNDO TOULMIN (2003). .................................... 53

FIGURA 4: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA INICIAL DE UM ARGUMENTO NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. ..................... 54

FIGURA 5: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO COM QUALIFICADOR E RÉPLICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA. ................................................................................................................................................. 55

FIGURA 6: REPRESENTAÇÃO FIGURAL DA SOMA DE UM NÚMERO PAR COM UM NÚMERO ÍMPAR. ................................................ 56

FIGURA 7: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO COM REFORÇO NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. ........... 57

FIGURA 8: TIPOS DE PROVA SEGUNDO BALACHEFF (1988). ................................................................................................ 62

FIGURA 9: ESTRUTURA DE UMA DEMONSTRAÇÃO. ESQUEMA ELABORADO POR MIM A PARTIR DE DUVAL E EGRET (1989) .............. 68

FIGURA 10: TAREFA DE ORGANIZAÇÃO DEDUTIVA - ESQUEMA DE REDE. (ALMOULOUD, 2003, P. 137) .................................. 76

FIGURA 11: TAREFA DE ORGANIZAÇÃO DEDUTIVA - TEXTO. (ALMOULOUD, 2003, P. 138) ................................................... 77

FIGURA 12: PROVA BASEADA NA ABORDAGEM PRODUÇÃO DE EVIDÊNCIAS – DESCOBERTA DE PADRÕES – CONFERÊNCIA DE

RESULTADOS. (HEALY E HOYLES, 2000, P. 410).................................................................................................. 79

FIGURA 13: ESQUEMA DA METODOLOGIA BASEADA NO DESIGN. ........................................................................................ 85

FIGURA 14: FASES DESTA PESQUISA. .............................................................................................................................. 86

FIGURA 15: DISPOSIÇÃO DA CÂMERA NO PRIMEIRO TESTE DO CONSECUTIVO ......................................................................... 89

FIGURA 16: DISPOSIÇÃO DAS DUPLAS PARTICIPANTES NO TERCEIRO TESTE DO CONSECUTIVO..................................................... 92

FIGURA 17: INTERFACE DO IMAGINE .............................................................................................................................. 98

FIGURA 18: INTERFACE DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ......................................................................................... 99

FIGURA 19: BARRAS DE ROLAGEM ............................................................................................................................... 100

FIGURA 20: BARRA DE ROLAGEM E RETA NUMÉRICA ...................................................................................................... 101

FIGURA 21: BARRA DE ROLAGEM E RETA NUMÉRICA ...................................................................................................... 101

FIGURA 22: SOMA E PRODUTO ................................................................................................................................... 101

FIGURA 23: PRODUTO DE CONSECUTIVOS COM MUITOS DÍGITOS ....................................................................................... 102

FIGURA 24: BOTÕES DE REPRESENTAÇÃO ..................................................................................................................... 103

FIGURA 25: FATORAÇÃO............................................................................................................................................ 103

FIGURA 26: RESTO ................................................................................................................................................... 104

FIGURA 27: ALGÉBRICO ............................................................................................................................................. 104

FIGURA 28: SOMA TARTARUGA (A) ............................................................................................................................. 105

FIGURA 29: SOMA TARTARUGA (B) ............................................................................................................................. 106

FIGURA 30: PRODUTO RETANGULAR (A) ....................................................................................................................... 106

FIGURA 31: PRODUTO RETANGULAR (B) ....................................................................................................................... 107

FIGURA 32: PAINEL DE INFORMAÇÃO ........................................................................................................................... 108

FIGURA 33: PAINEL DE TAREFAS .................................................................................................................................. 108

FIGURA 34: TAREFAS EXPLORATÓRIAS .......................................................................................................................... 109

12

FIGURA 35: TAREFAS DE PROVA .................................................................................................................................. 110

FIGURA 36: DIFERENTES TIPOS DE PROVA PARA A QUESTÃO "VOCÊ PODE DIZER QUE A SOMA DE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS

SEMPRE VAI DAR ÍMPAR?". ............................................................................................................................... 111

FIGURA 37: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 1. ............................................................................... 113



FIGURA 40: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 5 QUANDO NÃO HÁ DIVISIBILIDADE. ................................... 115

FIGURA 41: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 5 QUANDO HÁ DIVISIBILIDADE. .......................................... 116





FIGURA 46: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 10. ............................................................................. 121

FIGURA 47: SOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA DE PROVA 1. ......................................................................................... 123

FIGURA 48: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA DE PROVA 10. ...................................................................................... 124

FIGURA 49: EXEMPLOS DE PERGUNTAS DO QUESTIONÁRIO DE OPINIÃO. CONSIDERAÇÕES DO PARTICIPANTE G, DA DUPLA G&N. ... 132

FIGURA 50: OPINIÃO DO PARTICIPANTE Y SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA...................................................................... 133

FIGURA 51: OPINIÃO DO PROFESSOR R SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. ........................................................................ 133

FIGURA 52: OPINIÃO DO PARTICIPANTE B SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. .................................................................... 134

FIGURA 53: OPINIÃO DA PARTICIPANTE L, DA DUPLA L&M, SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. ............................................. 134

FIGURA 54: OPINIÃO DO PARTICIPANTE GU SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. .................................................................. 134

FIGURA 55: OPINIÃO DO PROFESSOR R A RESPEITO DA NECESSIDADE DE TRABALHO CONCEITUAL PRÉVIO PARA A REALIZAÇÃO DAS

TAREFAS E INTERPRETAÇÃO DAS REPRESENTAÇÕES. ................................................................................................ 137

FIGURA 56: OPINIÃO DA PARTICIPANTE B, DA DUPLA B&G, SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS PROVAR. ................... 140

FIGURA 57: OPINIÃO DO ESTUDANTE B, PARTICIPANTE DO TERCEIRO TESTE, SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS PROVAR. .......... 140

FIGURA 58: OPINIÃO DA PROFESSORA C SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS ORGANIZAR. ........................................ 141

FIGURA 59: TELA INICIAL DA VERSÃO DO CONSECUTIVO UTILIZADA NO TESTE EM PEQUENA ESCALA. ......................................... 142

FIGURA 60: TELA INICIAL DO CONSECUTIVO APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. ........................................................................... 143

FIGURA 61: PAINEL DE TAREFAS NA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ........................................................................... 144

FIGURA 62: PAINEL DE TAREFAS NA SEGUNDA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ........................................................................... 144

FIGURA 63: INTERFACE DAS TAREFAS ANTES DO REDESIGN. ............................................................................................... 145

FIGURA 64: INTERFACE DAS TAREFAS APÓS O REDESIGN. .................................................................................................. 145

FIGURA 65: VÍDEO DE AJUDA PARA O PAINEL FATORAÇÃO. ............................................................................................... 146

FIGURA 66: PAINEL RESTO APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. .................................................................................................. 146

FIGURA 67: PAINEL SOMA ANIMAL ............................................................................................................................. 147

FIGURA 68: BOTÕES DE TAREFAS APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. .......................................................................................... 149

FIGURA 69: PAINEL DAS TAREFAS CONJECTURAR E TCONJ 1. ............................................................................................ 152

FIGURA 70: PAINEL DAS TAREFAS PROVAR E TPRO 1. ..................................................................................................... 153

13

FIGURA 71: TAREFA ORGANIZAR 1. ............................................................................................................................. 155

FIGURA 72: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 1. ...................................................................................... 155


FIGURA 74: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 2. ...................................................................................... 156


FIGURA 76: RESPOSTAS ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 3. ..................................................................................... 157


FIGURA 78: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 4. ....................................................................................... 158

FIGURA 79: EXEMPLO DE ANÁLISE REALIZADA NAS PRODUÇÕES ESCRITAS DOS ESTUDANTES. ANÁLISE DA TAREFA DE PROVA 2, DO

TERCEIRO TESTE, DA DUPLA G&D. ...................................................................................................................... 163

FIGURA 80: TRANSCRIÇÃO DAS FALAS DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORATÓRIA 1, NO PRIMEIRO TESTE. ................................ 165

FIGURA 81: PROTOCOLO COM AS INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORATÓRIA 1, NO PRIMEIRO TESTE...................... 166

FIGURA 82: VOLUME DE INTERAÇÃO ENTRE OS PARTICIPANTES, PESQUISADORA E TECNOLOGIA. .............................................. 167

FIGURA 83: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 1, NO PRIMEIRO TESTE. ....................................... 168

FIGURA 84: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA B&G NA TAREFA DE PROVA 4, NO PRIMEIRO TESTE. ................................. 170

FIGURA 85: RESPOSTA DA DUPLA R&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 1. ................................................................................. 173

FIGURA 86: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................ 174

FIGURA 87: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................ 174

FIGURA 88: RESPOSTA DA DUPLA L&G PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................. 174

FIGURA 89: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 7...................................................................................... 175

FIGURA 90: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................... 176

FIGURA 91: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA EXPLORAR 10. .............................................................................. 177

FIGURA 92: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA EXPLORAR 10. .............................................................................. 177

FIGURA 93: RESPOSTA DA DUPLA R&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 10. ............................................................................... 177

FIGURA 94: INTERAÇÕES DA DUPLA G&N NA TAREFA EXPLORAR 10. ................................................................................. 178

FIGURA 95: COMPARAÇÃO ENTRE REPRESENTAÇÃO NO PAINEL FATORAÇÃO E A RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 9. ... 179

FIGURA 96: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA EXPLORAR 11............................................................................... 180

FIGURA 97: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 11. ................................................................................. 181

FIGURA 98: INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 3. ................................................................................... 183

FIGURA 99: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 5. ................................................................................... 185

FIGURA 100: INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 5. ................................................................................. 187

FIGURA 101: PROTOCOLO COM AS INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 9, NO TERCEIRO TESTE. ......................... 190

FIGURA 102: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA TAREFA DE PROVA 4. ................................................................................. 195

FIGURA 103: RESPOSTA DA DUPLA A&D PARA A TAREFA DE PROVA 4................................................................................ 196

FIGURA 104: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA DE PROVA 4. ............................................................................... 196

FIGURA 105: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA ORGANIZAR 2. ................................................................................ 198

FIGURA 106: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 2.......................................................................... 202

FIGURA 107: RESPOSTA DA DUPLA A&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 202

14

FIGURA 108: RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ........................................................................ 203

FIGURA 109: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 1.......................................................................... 206

FIGURA 110: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA CONJECTURAR 1. ......................................................................... 206

FIGURA 111: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 4. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 207

FIGURA 112: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 209

FIGURA 113: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 210

FIGURA 114: PAINEL ALGÉBRICO NA TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................................... 210

FIGURA 115: RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 210

FIGURA 116: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA CONJECTURAR 2.......................................................................... 211

FIGURA 117: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 211

FIGURA 118: RESPOSTA DA DUPLA L&P PARA TAREFA CONJECTURAR 3. ............................................................................ 213

FIGURA 119: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ........................................................................ 213

FIGURA 120: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 4........................................................... 217

FIGURA 121: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1........................................................... 219

FIGURA 122: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 3. ............................................................................. 221

FIGURA 123: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............................................................................. 227

FIGURA 124: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA CONJECTURAR 4. ............................................................................. 227

FIGURA 125: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............................................................................. 228

FIGURA 126: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1. ..................................................... 230

FIGURA 127: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA CONJECTURAR 4. ..................................................... 232

FIGURA 128: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1, COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO

ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 233

FIGURA 129: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 2 COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO

ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 234

FIGURA 130: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 2, COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO

ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 235

FIGURA 131: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA A TAREFA PROVAR 10. ............................................................................... 239

FIGURA 132: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 240


FIGURA 134: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 1. ................................................................................. 242

FIGURA 135: ESTRATÉGIA UTILIZADA PELAS DUPLAS G&N E B&G PARA RESOLVER A TAREFA PROVAR 1. .................................. 243


FIGURA 137: RESPOSTA DA DUPLA B&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 245

FIGURA 138: RESPOSTA DA DUPLA B&D PARA A TAREFA PROVAR 3. ................................................................................. 246

FIGURA 139: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ......................................................................... 246

FIGURA 140: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA PROVAR 4. ................................................................................. 247


FIGURA 142: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 3. ..................................................................................... 248

15

FIGURA 143: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 3. ..................................................................................... 248




FIGURA 147: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 7. ..................................................................................... 251



FIGURA 150: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA PROVAR 8. ................................................................................. 253

FIGURA 151: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 254

FIGURA 152: PAINEL PRODUTO RETANGULAR DURANTE A RESOLUÇÃO DA TAREFA PROVAR 9 PELA DUPLA G&N E B&G. ............ 254


FIGURA 154: RESPOSTA DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................................................... 256

FIGURA 155: RESPOSTA DA DUPLA O&V PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 256

FIGURA 156: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10. ................................................................................... 258

FIGURA 157: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA PROVAR 10. ............................................................................... 258

FIGURA 158: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 1, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 264

FIGURA 159: DINAMISMO DA BARRA DE ROLAGEM E EXECUTABILIDADE DA SOMA NA TAREFA PROVAR 1 COM A DUPLA G&N....... 265

FIGURA 160: REPRESENTAÇÃO DA RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS RESPOSTAS DE G&N NA TAREFA PROVAR 1. ......................... 266

FIGURA 161: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 267

FIGURA 162: DINAMISMO DAS BARRAS DE ROLAGEM E A EXECUTABILIDADE DO PRODUTO NA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA L&M. 267

FIGURA 163: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 4, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 269

FIGURA 164: DINAMISMO DAS BARRAS ROLAGEM E PERCEPÇÃO DE INVARIÂNCIAS NA TAREFA PROVAR 4 DA DUPLA L&M. .......... 270

FIGURA 165: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 8, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 271

FIGURA 166: DINAMISMO DAS BARRAS DE ROLAGEM E REFUTAÇÕES NA TAREFA PROVAR 8 DA DUPLA G&N. ............................ 272

FIGURA 167: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 8, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 273

FIGURA 168: ORGANOGRAMA DA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA B&G, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. ............. 274

FIGURA 169: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL PRODUTO RETANGULAR NA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA B&G. .............................. 274

FIGURA 170: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL PRODUTO RETANGULAR SUGERIDA PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................ 275

FIGURA 171: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 6, COM DISCUSSÕES SOBRE O PAPEL DA TECNOLOGIA. ......... 276

FIGURA 172: RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS GARANTIAS E REFORÇOS FORMULADOS PELO PARTICIPANTE N NA TAREFA PROVAR 6. .......... 276

FIGURA 173: RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS GARANTIAS E REFORÇOS FORMULADOS PELO PARTICIPANTE G NA TAREFA PROVAR 6. .......... 277

FIGURA 174: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10, COM DISCUSSÕES SOBRE O PAPEL DA TECNOLOGIA. ....... 278

FIGURA 175: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL TARTARUGA MEDIANDO A FORMULAÇÃO DE GARANTIAS E REFORÇOS DA PARTICIPANTE L NA TAREFA

PROVAR 10. ........................................................................................................................................................... 278

FIGURA 176: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. ... 280

FIGURA 177: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL FATORAÇÃO MEDIANDO A FORMULAÇÃO DE GARANTIAS E REFORÇOS DA DUPLA G&N NA

TAREFA PROVAR 9. ......................................................................................................................................... 280


16

FIGURA 179: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9. ..................................................................................... 284


FIGURA 181: OBSERVAÇÕES E INTERPRETAÇÕES A RESPEITO DAS SEQUÊNCIAS DE ARGUMENTOS. ............................................. 286

FIGURA 182: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 2. ...................................................... 291

FIGURA 183: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................... 292

FIGURA 184: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10. .................................................... 294

FIGURA 185: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................... 295

17

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADAS NA MATEMÁTICA POR DUVAL (2003, P. 14) ................................................... 28

TABELA 2: UNIDADES DE ANÁLISE .................................................................................................................................. 95

TABELA 3: FREQUÊNCIA COM QUE OS ESTUDANTES PARTICIPANTES MENCIONARAM AS REPRESENTAÇÕES DISPONÍVEIS NO

CONSECUTIVO NO QUESITO GOSTO E UTILIDADE. .................................................................................................. 135

TABELA 4: FREQUÊNCIA COM QUE OS PROFESSORES PARTICIPANTES MENCIONARAM AS REPRESENTAÇÕES DISPONÍVEIS NO

CONSECUTIVO NO QUESITO UTILIDADE PARA CONJECTURAR E UTILIDADE PARA PROVAR. .............................................. 136

TABELA 5: FREQUÊNCIA COM QUE OS PROFESSORES PARTICIPANTES AVALIARAM AS POTENCIALIDADES DAS REPRESENTAÇÕES

DISPONÍVEIS NO CONSECUTIVO DE ACORDO COM OS ITENS DE LIKERT. ....................................................................... 137

TABELA 6: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM A CLAREZA DO ENUNCIADO DAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE

LIKERT. ......................................................................................................................................................... 138

TABELA 7: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE

LIKERT. ......................................................................................................................................................... 139

TABELA 8: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM A IMPORTÂNCIA DAS TAREFAS EXPLORAR E ORGANIZAR PARA A

REALIZAÇÃO DE OUTRAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE LIKERT. .............................................................................. 141

TABELA 9: LISTA SIMPLIFICADA DOS OBJETIVOS DAS TAREFAS EXPLORAR. ............................................................................ 172

TABELA 10: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS EXPLORAR E VOLUME DAS INTERAÇÕES

OCORRIDAS. ................................................................................................................................................... 189

TABELA 11: QUANTIDADE DE TAREFAS EXPLORAR EM QUE OS MOTIVOS DAS DISCUSSÕES OCORRERAM LEVANDO-SE EM CONSIDERAÇÃO

AS INTERAÇÕES DE CADA DUPLA VÍDEO-GRAVADA. ................................................................................................. 190

TABELA 12: QUANTIDADE DE TAREFAS EXPLORAR EM QUE OS MOTIVOS DAS INTERVENÇÕES DA PESQUISADORA OCORRERAM

LEVANDO-SE EM CONSIDERAÇÃO AS INTERAÇÕES DE CADA DUPLA VÍDEO-GRAVADA. ..................................................... 191

TABELA 13: OBJETIVOS DAS TAREFAS ORGANIZAR E A RELAÇÃO ACERTOS/PARTICIPANTES. ..................................................... 194

TABELA 14: OPINIÃO DOS PARTICIPANTES A RESPEITO DAS TAREFAS DE ORGANIZAÇÃO. ......................................................... 195

TABELA 15: TEMPO DE RESOLUÇÃO, VOLUME E MOTIVO DAS INTERAÇÕES DA DUPLA L&M DURANTE AS TAREFAS ORGANIZAR. ..... 197

TABELA 16: LISTA SIMPLIFICADA DOS OBJETIVOS DAS TAREFAS CONJECTURAR. ..................................................................... 200

TABELA 17: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADOS PARA RESPONDER ÀS TAREFAS CONJECTURAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS COM QUE

ELAS APARECERAM EM CADA TESTE. .................................................................................................................... 202

TABELA 18: CONJECTURAS E ARGUMENTOS ESCRITOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............. 208

TABELA 19: CONJECTURAS E ARGUMENTOS ESCRITOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NA TAREFA CONJECTURAR 3. ............. 212

TABELA 20: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS CONJECTURAR E VOLUME DAS

INTERAÇÕES OCORRIDAS. .................................................................................................................................. 215

TABELA 21: QUANTIDADE DE TAREFAS CONJECTURAR EM QUE OS MOTIVOS DAS INTERAÇÕES OCORRERAM EM CADA DUPLA VÍDEO-

GRAVADA. ..................................................................................................................................................... 216

TABELA 22: DUPLAS PARTICIPANTES QUE FORMULARAM UMA OU MAIS CONJECTURAS DURANTE A RESOLUÇÃO DAS TAREFAS

CONJECTURAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS EM QUE FORAM FORMULADAS UMA OU MAIS CONJECTURAS. ....................... 220

TABELA 23: FREQUÊNCIA DAS AÇÕES QUE ANTECEDERAM A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS EM CADA TAREFA CONJECTURAR. ..... 221

18

TABELA 24: CONJECTURAS FORMULADAS E RAZÕES PARA SEREM DESCARTADAS OU MANTIDAS. ............................................... 223

TABELA 25: INTERPRETAÇÃO DOS PARTICIPANTES PARA A QUESTÃO "EXPLIQUE POR QUE A REGULARIDADE OCORRE" E OS ARGUMENTOS

APRESENTADOS............................................................................................................................................... 226

TABELA 26: SEQUÊNCIA EM QUE CADA UM DOS ELEMENTOS DE UM ARGUMENTO FOI PROFERIDO PELOS PARTICIPANTES DURANTE A

RESOLUÇÃO DAS TAREFAS CONJECTURAR. ............................................................................................................ 230

TABELA 27: RECURSOS UTILIZADOS PELOS PARTICIPANTES PARA A GERAÇÃO DE DADOS NAS TAREFAS CONJECTURAR E A FREQUÊNCIA DE

TAREFAS EM QUE TAIS RECURSOS FORAM UTILIZADOS POR CADA DUPLA. .................................................................... 231

TABELA 28: FATORES QUE MEDIARAM AS GARANTIAS PROPOSTAS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS CONJECTURAR E A FREQUÊNCIA

DE TAREFAS QUE APRESENTARAM GARANTIAS MEDIADAS POR TAIS FATORES. .............................................................. 232

TABELA 29: OBJETIVOS DAS TAREFAS PROVAR, EM QUE TESTE ELAS FORAM APLICADAS E A RELAÇÃO ACERTO/PARTICIPANTES EM CADA

TAREFA. ........................................................................................................................................................ 238

TABELA 30: FREQUÊNCIA DE REPOSTAS SATISFATÓRIAS, PARCIALMENTE SATISFATÓRIAS, INSATISFATÓRIAS E EM BRANCO POR TESTE.

................................................................................................................................................................... 240

TABELA 31: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADOS PARA RESPONDER ÀS TAREFAS PROVAR E SUAS FREQUÊNCIAS EM CADA TESTE. .... 241

TABELA 32: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS PROVAR E VOLUME DAS INTERAÇÕES

OCORRIDAS. ................................................................................................................................................... 260

TABELA 33: MOTIVOS DAS INTERAÇÕES ENTRE OS PARTICIPANTES E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE OS MESMOS

OCORRERAM. ................................................................................................................................................. 261

TABELA 34: MOTIVOS DAS INTERVENÇÕES DA PESQUISA E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE OS MESMOS OCORRERAM.262

TABELA 35: AÇÕES DOS PARTICIPANTES MEDIADAS PELOS DADOS GERADOS COM O DINAMISMO BARRAS DE ROLAGEM E A

EXECUTABILIDADE DAS RESPOSTAS DO PROGRAMA E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE ESTAS AÇÕES OCORRERAM.

................................................................................................................................................................... 268

TABELA 36: SEQUÊNCIA EM QUE CADA UM DOS ELEMENTOS DE UM ARGUMENTO FOI PROFERIDO PELOS PARTICIPANTES DURANTE A

RESOLUÇÃO DAS TAREFAS PROVAR. .................................................................................................................... 282

TABELA 37: LISTA DE TAREFAS QUE APRESENTAM REFORÇOS ANTES E DEPOIS DO ESTABELECIMENTO DE CONCLUSÕES. ................. 287

TABELA 38: RECURSOS UTILIZADOS PELOS PARTICIPANTES PARA A GERAÇÃO DE DADOS NAS TAREFAS PROVAR E A QUANTIDADE DE

TAREFAS EM QUE TAIS RECURSOS FORAM UTILIZADOS. ............................................................................................ 288

TABELA 39: FATORES QUE MEDIARAM AS GARANTIAS PROPOSTAS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS PROVAR E A QUANTIDADE DE

TAREFAS QUE APRESENTARAM GARANTIAS MEDIADAS POR TAIS FATORES. ................................................................... 289

TABELA 40: CONCEITOS E PROPRIEDADES QUE FIZERAM PARTE DOS REFORÇOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS

PROVAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS EM QUE OS MESMOS FORAM APRESENTADOS. ................................................... 293

TABELA 41: TAREFAS PROVAR CONTENDO ARGUMENTOS COM REFORÇOS E/OU COM APELO A ARGUMENTOS FORMULADOS EM

OUTRAS TAREFAS. ........................................................................................................................................... 296

TABELA 42: LISTA DAS TAREFAS PROVAR CONTENDO QUALIFICADORES E RÉPLICAS NO ARGUMENTO E OS MOTIVOS QUE MEDIARAM A

FORMULAÇÃO DOS MESMOS. ............................................................................................................................ 297

19

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 22

1. MEDIAÇÃO SIMBÓLICA, TECNOLÓGICA E SOCIAL E A APRENDIZAGEM DE

MATEMÁTICA ........................................................................................................... 25

1.1 As representações dos conceitos matemáticos ..................................................... 26

1.2 As tecnologias digitais ........................................................................................... 30

1.3 As interações sociais ............................................................................................. 44

2. ARGUMENTAÇÃO, PROVA E DEMONSTRAÇÃO ........................................... 48

2.1 Argumentação ....................................................................................................... 48

2.2 A estrutura do argumento segundo Toulmin .......................................................... 51

2.3 Prova ou demonstração? ....................................................................................... 58

2.4 Prova ou argumentação? ....................................................................................... 65

2.5 O que estudantes sabem sobre prova? ................................................................. 71

2.6 Interpretações e implicações da literatura .............................................................. 74

2.7 Objetivos e questões de pesquisa ......................................................................... 81

3. O DESIGN DA PESQUISA, OS PARTICIPANTES E A COLETA DE DADOS .. 85

3.1 Teste em escala reduzida ...................................................................................... 87

3.2 Teste com professores .......................................................................................... 90

3.3 Teste em ambiente autêntico ................................................................................. 91

3.4 O conjunto de dados .............................................................................................. 93

4. O DESIGN DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO ................................ 97

4.1 A interface ............................................................................................................. 97

4.2 As tarefas ............................................................................................................ 110

4.2.1 Tarefas Exploratórias ............................................................................................................ 112

4.2.2 Tarefas de Prova ................................................................................................................... 121

5. A OPINIÃO DOS PARTICIPANTES E O REDESIGN DO CONSECUTIVO .... 130

5.1 A opinião dos participantes .................................................................................. 131

5.2 Mudanças na interface ........................................................................................ 142

20

5.3 Mudanças nas representações ............................................................................ 145

5.4 Mudanças nas tarefas ......................................................................................... 149

5.5 Sugestão de redesign para futuras aplicações .................................................... 159

6. A METODOLOGIA DE ANÁLISE DE DADOS ................................................. 162

6.1 A análise das produções escritas dos participantes ............................................. 162

6.2 A análise das interações vídeo-gravadas ............................................................ 165

7. AS TAREFAS EXPLORAR .............................................................................. 171

7.1 As representações utilizadas nas respostas escritas ........................................... 173

7.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do Consecutivo ....... 178

7.3 O desenvolvimento das Tarefas Explorar e o papel do Consecutivo ................... 182

7.4 As interações sociais nas Tarefas Explorar ......................................................... 188

7.5 Considerações sobre as Tarefas Explorar ........................................................... 192

8. AS TAREFAS ORGANIZAR ............................................................................. 194

9. AS TAREFAS CONJECTURAR ....................................................................... 200



9.3 As interações sociais nas Tarefas Conjecturar .................................................... 215

9.4 O desenvolvimento das Tarefas Conjecturar e o papel do Consecutivo .............. 218

9.4.1 A criação, o descarte e a manutenção de conjecturas .......................................................... 219

9.4.2 Os argumentos que mostram a origem da conjectura e os argumentos que estendem a

conjectura para vários casos ...................................................................................................................... 224

9.5 A estrutura dos argumentos que suportaram as conjecturas ............................... 229

9.6 Considerações sobre as Tarefas Conjecturar ...................................................... 236

10. AS TAREFAS PROVAR ................................................................................ 238



10.3 As interações sociais nas Tarefas Provar ............................................................ 259

10.4 O desenvolvimento das Tarefas Provar e o papel do Consecutivo ...................... 262

10.4.1 Dinamismo e executabilidade para gerar dados ................................................................... 263

10.4.2 Co-ação e interações sociais para refutar ............................................................................. 269

21

10.4.3 Representações e navegabilidade para conferir conjecturas, formular garantias e reforços. 275

10.5 A estrutura dos argumentos nas Tarefas Provar .................................................. 281

10.6 Considerações sobre as Tarefas Provar .............................................................. 298

11. CONCLUSÕES ............................................................................................. 301

11.1 Provas conceituais e em língua natural ............................................................... 302

11.2 Provas empíricas, mas não ingênuas .................................................................. 304

11.3 Os papéis do Consecutivo e das interações sociais ............................................ 305

11.4 Limitações e sugestões para pesquisas futuras ................................................... 308

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 311

ANEXOS ................................................................................................................. 320

I) Questionário de opinião aplicado no primeiro teste.............................................. 320

II) Questionário de opinião aplicado no segundo teste ............................................. 322

III) Questionário de opinião aplicado no terceiro teste............................................... 326

IV) Transcrição das falas da dupla B&G na TExp 7 ................................................... 329

V) Quadro com os enunciados das tarefas propostas aos estudantes ..................... 332

22

INTRODUÇÃO

Há algum tempo li o livro O gene da Matemática de Keith Devlin. Nele, o autor

argumenta que a Matemática é muito mais do que o estudo de números e equações;

para ele, a Matemática é a ciência dos padrões e todos nós temos condições de

compreendê-la.

Enquanto lia tal obra, questionava-me sobre o quanto daquela imagem da

Matemática compartilhamos com nossos estudantes da educação básica: eles

entendem a Matemática como a ciência a qual se preocupa com o estudo das

regularidades nos números, gráficos, movimentos, nas formas e equações?

Reconhecem padrões e regularidades e, mais do que isso, sabem descrevê-los em

uma linguagem familiar? São capazes de explicar por que uma regularidade ocorre

(ou não) sempre? Compreendem que qualquer pessoa pode notar padrões, descrevê-

los e explicá-los, ou seja, que eles podem fazer Matemática?

Não tenho respostas claras para essas perguntas, nem posso dizer que as

mesmas motivaram o desenvolvimento desta pesquisa, todavia, de alguma forma, vou

abordá-las neste estudo.

Fiz questão de mencionar o livro de Devlin, pois, quando o li, tive a sensação

de que não estava sozinha com meus pensamentos. Eu sempre pensei que existia

uma espécie de “linha matemática imaginária” a qual passava por todas as coisas do

mundo; sei que é uma visão um tanto romântica, no entanto, de certa forma, ao ler tal

obra, observei que essa linha comum é a das regularidades e dos padrões. Mais do

que isto, notei que esta investigação poderia contribuir para tornar presente esse

ponto de vista no universo escolar.

Nesta pesquisa, relato como desenvolvi um ambiente computacional,

nomeado de Consecutivo, com o intuito de fomentar a percepção de regularidades,

formulação de conjecturas e justificativas formais entre os estudantes da educação

básica. Além disso, com base nas interações de dois grupos de estudantes, apresento

minhas reflexões sobre o processo de criação de conjecturas e provas, destaco o

23

papel das representações dos conceitos matemáticos, da tecnologia e das interações

sociais.

Visando uma abordagem mais objetiva, organizei a fundamentação teórica

deste estudo em duas grandes seções. Cada uma delas foi escrita de modo a destacar

os resultados de pesquisas acerca de meu tema de interesse e os principais conceitos,

ideias e hipóteses norteadores do design do Consecutivo, da coleta e da análise de

dados. Na primeira seção, a qual corresponde ao Capítulo 1, reflito a respeito do

ensino e aprendizagem de matemática, destaco o papel mediador das múltiplas

representações de conceitos, da tecnologia e das interações sociais. Na segunda, a

qual corresponde ao Capítulo 2, apresento uma discussão sobre argumentação e

prova, destaco as diferentes concepções em torno dessas ideias no universo das

pesquisas em Educação Matemática. Mais do que isso, ofereço minhas definições e

expresso minhas reflexões, na tentativa de trazer à tona elementos para a retomada

do ensino de provas na escola, nas mais diversas áreas da matemática. Ao final deste

capítulo, apresento meus objetivos e questões de pesquisa.

O terceiro capítulo apresenta uma descrição panorâmica da metodologia

utilizada no plano de pesquisa e na coleta de dados. Nele, destaco a ideia de Design-

Based Research, uma metodologia a qual valoriza ciclos iterativos de design,

intervenção e análise de dados.

Os capítulos quatro e cinco demonstram o processo de design do

Consecutivo. Neles, mostro todos os elementos da interface do ambiente e justifico

minhas escolhas com fragmentos da revisão de literatura e do quadro teórico,

discutidos nos capítulos 1 e 2. No capítulo cinco, especialmente, é possível ter acesso

a todo o processo de redesign do Consecutivo em virtude da análise das opiniões de

professores e estudantes da educação básica.

Do capítulo seis ao capítulo dez há o enfoque na análise das interações dos

participantes quando os mesmos lidaram com o Consecutivo. Neste ponto do texto,

descrevo as principais ações e reações dos estudantes ao utilizarem o ambiente

computacional para (1) explorar possíveis regularidades na soma e no produto de

números consecutivos, (2) transformar estas regularidades em conjecturas e (3)

explicar porque estas conjecturas fazem sentido e são válidas sempre.

24

Por fim, o capítulo décimo primeiro insere minhas conclusões; nele, destaco

as respostas para as questões da pesquisa e as possíveis relações entre o design do

Consecutivo e as interações dos participantes.

25

1. MEDIAÇÃO SIMBÓLICA, TECNOLÓGICA E SOCIAL E A APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA

O universo acadêmico é repleto de explicações sobre como as pessoas

aprendem, adquirem conhecimento e se desenvolvem. Algumas dessas explicações

se disseminaram mundo a fora e passaram a fazer parte do repertório utilizado por

muitos pesquisadores da Educação Matemática. Eu, por exemplo, aceito as ideias

Vygotskyanas sobre desenvolvimento humano, ensino e aprendizagem. Para mim, o

desenvolvimento mental humano “resulta da interação dialética do homem e seu meio

sociocultural; ao mesmo tempo em que o ser humano transforma o seu meio para

atender suas necessidades básicas, transforma-se a si mesmo” (REGO, 1995, p. 41).

Seguindo os pressupostos Vygotskyanos, acredito que a ação do homem

sobre o mundo é mediada por instrumentos e signos. De acordo com Rego (1995),

com o auxílio de instrumentos, o homem pode provocar mudanças no seu ambiente

externo e ampliar as possibilidades de intervenção na natureza e, com o auxílio dos

signos, pode expandir sua capacidade de atenção, memória e acúmulo de informação.

No contexto da atividade matemática, são exemplos de signos os algarismos

arábicos, as operações fundamentais, as expressões algébricas, os gráficos, as

palavras da nossa língua materna e qualquer outra representação que esteja

mediando à compreensão e à resolução das situações pertinentes a esta área do

conhecimento.

As representações dos conceitos matemáticos formam um sistema simbólico

amalgamado, de tal forma, que símbolos e conceitos caminham juntos, tornando

complexa e, talvez impossível, a distinção entre eles. Neste contexto simbólico, torna-

se imprescindível o uso de instrumentos como o papel, o lápis, a calculadora, o

computador, os materiais para a construção e manipulação de formas geométricas,

entre outros.

Quando estamos considerando o processo de desenvolvimento do aprendiz,

além da mediação dos signos e dos instrumentos, devemos considerar o papel da

mediação social. Segundo Vygotsky (1991), o nível de desenvolvimento de uma

26

criança não pode ser associado somente às coisas que ela consegue realizar de forma

independente. Para se estabelecer o nível de desenvolvimento de um aprendiz,

devemos considerar também as atividades as quais a criança não consegue realizar

sozinha, mas consegue realizar com a ajuda de um companheiro mais capaz. Este

companheiro pode ser um professor, um colega, os pais do aprendiz, qualquer outra

pessoa e, numa visão mais atual, até mesmo o computador. O que hoje uma criança

só consegue fazer com a ajuda do outro, amanhã fará parte do conjunto de coisas que

ela pode realizar de forma autônoma. Com isso, as interações com o outro mais capaz

contribuem para um ciclo contínuo de aprendizagem e desenvolvimento humano.

O papel dos signos, dos instrumentos, e da mediação social no processo de

ensino e aprendizagem é um tema de destaque nas pesquisas em Educação

Matemática. Os resultados destas pesquisas têm servido de parâmetro para o

desenvolvimento e a utilização de diversos materiais didáticos para o ensino de

matemática. Por este motivo, levando-se em consideração minhas intenções de

pesquisa, pareceu-me salutar destacar o papel das representações dos conceitos

matemáticos, das tecnologias digitais e das interações sociais no âmbito da pesquisa.

As próximas subseções são dedicadas a uma discussão mais aprofundada sobre

estes aspectos.

1.1 As representações dos conceitos matemáticos

Grande parte dos conceitos matemáticos não está presente fisicamente no

mundo real e sua existência depende significativamente de representações que foram

desenvolvidas pela humanidade ao longo dos tempos. Conceitos como o de número,

de equação e de função, por exemplo, somente adquirem materialidade porque existe

uma gama de símbolos capazes de representá-los e o significado dos mesmos vem

sendo difundido culturalmente desde sua criação.

Com uma abordagem mais cognitivista, Kaput (1989) afirma que as

representações matemáticas podem ser associadas aos mundos físico e mental,

fazendo com que a Matemática se torne um instrumento de pensamento. Neste

contexto, tal pesquisador afirma que o significado de um conceito A pode ser dado por

uma referência gráfica B e, quando isso ocorre, pode-se dizer que A se refere a B.

27

Esta associação entre A e B incide no mundo das ideias e no mundo físico, mesmo

que na prática seja muito difícil separar representação simbólica e mental.

Kaput (1989) discute a ideia de Sistema de Representação, segundo o qual o

mesmo existe quando o conceito A tem uma sintaxe e há uma regra bem definida de

correspondência, coordenando-a com a estrutura B. Para ilustrar, o autor apresenta

um sistema de representação de ideias algébricas composto por três notações: (1)

E2, correspondente às equações de duas variáveis na sua forma algébrica; (2) G2,

aos possíveis gráficos cartesianos associados a uma equação de duas variáveis; e

(3) T2, às tabelas com duas colunas associadas às variáveis de uma equação. Para

Kaput (1989) esse conjunto de notações está associado a um campo de referência,

no caso o sistema B2 das relações binárias de números reais, e que, por isso, forma

um sistema de representação.

Kaput (1989) chama de translação o ato de mudar de notação dentro de um

mesmo sistema de representação. Ele ainda afirma que diferenças nas notações

afetam a aprendizagem dos conceitos matemáticos. Tabelas, por exemplo,

apresentam amostras discretas e finitas, enquanto gráficos apresentam amostras

contínuas e infinitas. As equações, por sua vez, incorporam relações quantitativas

entre duas variáveis de maneira explícita e compacta, o que é difícil verificar em

tabelas e gráficos.

Segundo Kaput (1989), a compreensão em matemática depende de quatro

fatores: (1) da translação entre sistemas de representações matemáticos; (2) da

translação entre sistemas de representações matemáticos e não-matemáticos; (3) do

ensino de padrões e sintaxes por meio de transformações e operações sobre as

notações de um sistema de representação particular; e (4) da construção de entidades

mentais por meio da reificação das ações, procedimentos e conceitos em objetos

fenomenológicos que podem servir de base para novas ações.

Duval (2003) também enfatiza a importância das representações na

caracterização da Matemática como ciência e no processo de ensino e aprendizagem

da mesma. Para designar os diferentes tipos de representações utilizadas em

matemática, propõe a noção de “registro”. Segundo o pesquisador, há quatro tipos de

registros requeridos na atividade matemática, destacados na Tabela 1.

28

Tabela 1: Tipos de Representações usadas na Matemática por Duval (2003, p. 14)

Representação Discursiva Representação não-discursiva

Registros multifuncionais

Língua natural

Associações verbais (conceituais)

Formas de raciocinar: argumentação e dedução.

Figuras geométricas planas ou em perspectiva que exijam apreensão operatória e/ou construção com instrumentos.

Registros monofuncionais

Sistemas de escrita: numérica, algébrica e simbólica.

Cálculo.

Gráficos cartesianos que exijam mudança de sistema de coordenadas, interpolação e/ou extrapolação.

Segundo Duval (2003), as representações podem ser transformadas em

outras por meio de tratamentos ou de conversões. Os tratamentos são as mudanças

de representação ocorridas dentro de um mesmo sistema. As conversões são as

mudanças de representação envolvendo uso de sistemas diferentes.

Ao resolver uma equação quadrática, por exemplo, um aluno geralmente faz

diversas modificações nas representações que escreve no papel. Apesar dessas

mudanças, o registro permanece algébrico do início ao fim da resolução. Neste caso,

diz-se que tratamentos foram realizados. Entretanto, o aluno realiza uma conversão

ao representar graficamente uma função quadrática, apresentada inicialmente em sua

forma algébrica.

Para Duval (2003), a compreensão em matemática está associada à

coordenação de ao menos dois registros de representação, uma vez que

representações diferentes disponibilizam conteúdos diferentes sobre o mesmo objeto

matemático. Muitas dificuldades dos alunos ao lidarem com conceitos matemáticos

podem estar atreladas às formas de representações dos mesmos. De acordo com o

autor, os fracassos e bloqueios dos alunos nos diferentes níveis de ensino aumentam

consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é requerida. Se estas

mudanças envolvem conversões não-congruentes de representações, os bloqueios

se tornam mais fortes.

Para tratar da importância das representações ainda tem-se o trabalho de

Ainsworth (1999), cuja abordagem está centrada na utilização de atividades as quais

utilizem e articulem múltiplas representações para determinado conceito. Para ela,

este tipo de atividade auxilia na aprendizagem matemática, pois: (1) as múltiplas

representações podem se complementar em termos de informações, uma vez que é

29

possível utilizar representações diferentes para aspectos diferentes de certo conceito,

ou ainda, utilizar representações diferentes que possuam similaridades parciais do

mesmo conceito; (2) num ambiente com múltiplas representações, o aprendiz pode

escolher trabalhar com uma representação que seja de sua preferência. Além disso,

quando é dada ao estudante uma elevada quantidade de tarefas para resolver, as

diferentes representações e/ou a combinação entre as mesmas pode contribuir com

a melhora do desempenho do aprendiz ao resolver tais tarefas; (3) o uso de múltiplas

representações na aprendizagem pode servir para limitar possíveis interpretações e

enganos com o uso de outra; e (4) as múltiplas representações podem proporcionar

ao aprendiz a oportunidade de abstrair, generalizar ou relacionar características das

diferentes representações.

Consequentemente, quando aos estudantes são dadas as oportunidades de usar MRE, eles podem ser capazes de compensar qualquer dificuldade associada com uma estratégia ou representação particular comutando para outra1 (AINSWORTH, 1999, p. 137).

Utilizar ambientes com múltiplas representações para o ensino de

Matemática também apresenta alguns reveses. Ainsworth (1999) argumenta que a

translação é a fonte de maior dificuldade dos alunos, enquanto trabalham neste tipo

de ambiente. Ainsworth et. al. (1997) apontam que os estudantes devem aprender a

respeito de cada uma das representações presentes no ambiente. Além disso, é

necessário que o estudante compreenda a relação entre cada representação e o

conceito a que ela se refere, bem como, compreender a relação das representações

entre si.

Apesar de serem publicações temporalmente distantes, é possível perceber

semelhanças nos trabalhos de Kaput (1989), Ainsworth (1999) e Duval (2003).

Primeiramente, os três pesquisadores destacam a Matemática de outras ciências

devido ao caráter representacional de seus conceitos. Todos eles admitem que as

diversas representações matemáticas formam sistemas os quais podem sofrer

modificações: translações para Kaput (1989) e Ainsworth (1999) e conversões para

Duval (2003). Todos consideram que a compreensão de um conceito matemático está

1 Tradução minha para: Consequently, where learners are given the opportunity to use MERs, they may be able to

compensate for any weaknesses associated with one particular strategy and representation by switching to another.

30

relacionada à possibilidade de utilização e modificação de suas representações. Por

fim, os três pesquisadores admitem que estas modificações representacionais podem

trazer dificuldades no processo de aprendizagem.

Tendo em vista uma sociedade tecnológica a qual automatiza cada vez mais

a realização de tarefas, Kaput (1989), Ainsworth (1999) e Kaput e Schorr (2007)

argumentam que o uso de computadores pode ser um instrumento com potencial de

oferecer um ambiente dinâmico para o trabalho com múltiplas representações. Por

esta razão, a próxima subseção foi destinada a uma discussão do papel mediador das

tecnologias digitais no ensino de matemática, com destaque para as potencialidades

do computador.

1.2 As tecnologias digitais

Desde a década de 80, as principais ferramentas tecnológicas digitais têm

feito parte do dia-a-dia de muitas escolas brasileiras. Hoje em dia, os recursos não se

limitam às calculadoras e computadores. Temos lousas digitais, sensores, internet,

redes sem fio e diversos equipamentos portáteis, tais como celulares e tablets.

Particularmente para o ensino de matemática, segundo Kaput (1989), o

computador tem um papel de destaque, pois pode (1) realizar cálculos e

procedimentos custosos; (2) capturar e generalizar ações repetitivas, (3) oferecer

respostas às ações realizadas sobre representações estruturadas, (4) suportar

ligações dinâmicas entre notações novas e velhas, (5) suportar novas ações sobre

velhas notações, (6) suportar a geração de novas notações dinâmicas, incluindo

notações que revelem a estrutura de processos de maneira explicitamente inovadora,

e (7) suportar simulações dinamicamente manipuláveis de fenômenos com conteúdo

quantitativo.

O computador ainda pode fazer o papel do “outro mais capaz” e contribuir

para que o aprendiz possa realizar ações que antes não poderia realizar sozinho

(HEALY e KYNIGOS, 2010). Além disso, na visão de Borba e Penteado (2003), o

computador é mais uma mídia que modifica a ação do sujeito no mundo e reorganiza

a maneira do mesmo construir conhecimento. Para estes pesquisadores,

31

Ela [a informática] é uma nova extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea (BORBA e PENTEADO, 2003, p. 48).

Kaput e Schorr (2007) afirmam que a ferramenta computacional permitiu a

evolução da maneira com que representamos os conhecimentos matemáticos, do

estático para o dinâmico, de tal modo que, muitas vezes, parecemos estar lidando

com novos conceitos e não apenas com os velhos mascarados por uma

representação diferente.

De forma importante, considerados juntos, as estratégias representacionais não são meramente uma série de funcionalidades de um software suportando algumas atividades curriculares, mas equivalem a uma reconstituição de ideias-chave2 (KAPUT e SCHORR, 2007, p. 35).

De acordo com Kaput (1989), o potencial dos ambientes computacionais

renova e aumenta o lado empírico da matemática e as formas indutivas de

aprendizagem. Isto ocorre porque os meios eletrônicos possuem a capacidade de

suportar a interação entre usuário e imagem, interação esta que medeia a construção

de representações cognitivas diferentes daquelas obtidas, quando se trabalha no meio

estático. Além disso, estes meios possuem a capacidade de assumir uma

característica representacional plástica a qual suporta várias notações e as ligações

entre elas. Estas formas de tecnologia podem fazer velhos procedimentos terem

novos significados em novas notações, novos procedimentos serem possíveis em

velhas notações e novas notações e procedimentos podem ser criados.

Segundo Kaput e Schorr (2007), o uso de computadores como ferramenta

para representar ideias matemáticas será difundido e fará parte do ambiente escolar,

acadêmico e social. Eles afirmam que esta integração do meio computacional ocorrerá

de três formas distintas. Na primeira, veremos as mesmas representações dos

conceitos matemáticos, utilizadas no ambiente do papel e lápis, sendo realizadas no

2 Tradução minha para: Importantly, taken together, the representational strategies are not merely a series of

software functionalities supporting some curriculum activities, but amount to a reconstitution of the key ideas.

32

ambiente computacional. Neste caso, não haverá mudanças na representação dos

conceitos e sim no meio em que essas representações se tornam disponíveis. Na

segunda, veremos os computadores serem utilizados para tornar possível a

reconstrução de conceitos e/ou teorias que foram criadas no meio estático. É o caso

dos softwares Cabri-Géomètre e do Logo, os quais permitem a reconstrução da

geometria Euclidiana e do software SimCalc, o qual permite a recontrução da relação

entre a Matemática do Movimento e o Cálculo Diferencial e Integral. Na terceira,

veremos os computadores fazerem parte da infraestutura que possibilita a criação de

novas teorias e sistemas de conhecimentos. Acredito que estamos caminhando

lentamente para este terceiro caso.

As potencialidades do computador para o ensino fizeram com que diversos

softwares e sequências de ensino fossem elaborados por pesquisadores em

Educação Matemática nas últimas três décadas. É possível observar que estes

recursos vêm sendo desenvolvidos com base em diversos princípios retirados da

literatura da área, conhecidos como princípios de design.

A palavra “princípio” possui diversos significados na língua portuguesa e

inglesa3. Os dicionários Aurélio e Webster apontam que “princípio” pode ser entendido

como “início”, ou ainda, como “uma regra de conduta baseada na moral e nos bons

costumes”. Quando se fala em princípio de design, a palavra “princípio” se refere a

uma lei abrangente ou afirmação generalizada, norteadora do trabalho de um

pesquisador ou cientista. No contexto do desenvolvimento do Consecutivo, os

princípios de design correspondem às hipóteses, retiradas da literatura em Educação

Matemática, as quais guiaram o desenvolvimento da interface e das tarefas do

ambiente.

Nas últimas décadas, os ambientes digitais, que contribuem para o processo

de ensino e aprendizagem de matemática, têm sido desenvolvidos com base nos

seguintes princípios: (1) fidelidade matemática, pedagógica e cognitiva, (2) múltiplas

representações, (3) dinamismo, (4) executabilidade, (5) navegabilidade, (6) suporte

ao estudante, (7) construção, (8) simulação e (9) conectividade. Os seis primeiros

itens desta lista, em alguma medida, fizeram parte do projeto do Consecutivo. A

seguir, eu apresento cada um deles com mais profundidade.

3 Principle em inglês.

33

Fidelidade matemática, pedagógica e cognitiva

As tecnologias digitais, que contribuem para o processo de ensino e

aprendizagem de matemática, devem ser confiáveis. Isto quer dizer que softwares

educacionais e calculadoras, por exemplo, devem representar com acuracidade os

fenômenos os quais se propõem a descrever. O grau com o qual esta acuracidade é

projetada nestes dispositivos digitais é conhecido na literatura por fidelidade

matemática (ZBIEK et. al., 2007).

Segundo Bos (2009), uma ferramenta digital possui baixa fidelidade

matemática quando os conceitos matemáticos representados em sua interface são

demasiadamente simples ou complicados e levam a enganos e a confusões. Por outro

lado, uma alta fidelidade matemática pode ser alcançada quando o ambiente possui

representações matemáticas acuradas, as quais aparecem numa sequência, que faz

sentido ao aprendiz e podem ser facilmente manipuladas pelo mesmo.

Estendendo a ideia de fidelidade, Bos (2009) cita fidelidade pedagógica e

cognitiva. Neste contexto, uma ferramenta digital possui alto grau de fidelidade

pedagógica, quando encoraja a participação ativa dos estudantes, é apropriada para

a atividade matemática que se deseja desenvolver em sala de aula e é fácil de lidar,

exigindo pouco ou nenhum treinamento prévio do estudante.

A fidelidade cognitiva, por sua vez, é alcançada quando essas ferramentas

podem ser usadas para construir, desconstruir, testar e revisar padrões e estruturas

matemáticas. Zbiek et. al. (2007) afirmam que ferramentas com alto grau de fidelidade

cognitiva podem trazer para pesquisador um vislumbre do pensamento do aprendiz.

Múltiplas representações

A aprendizagem matemática está relacionada com a capacidade de

representar conceitos e saber transitar pelas diferentes representações dos mesmos

(DUVAL, 2003; KAPUT, 1989). Como as ferramentas digitais mais atuais têm grande

potencial gráfico e computacional, elas pouco a pouco se mostraram poderosos meios

34

pelos quais os aprendizes podem visualizar, acessar, manipular, transitar, operar e

refletir sobre as representações matemáticas.

O potencial representacional das ferramentas digitais tem sido utilizado por

diversos pesquisadores em educação matemática, seja para desenvolver novos

ambientes ou para utilizar aqueles já existentes na tentativa de modificar

positivamente o processo de ensino e aprendizagem. Vejamos alguns exemplos.

Hoyles et. al. (2002) apresentaram o Mathsticks, um ambiente que incentiva

o aprendiz a relacionar a representação figural e algébrica de sequências formadas

por palitos. Segundo tais, o ambiente foi desenhado para que a ação de formar

padrões com palitos na tela do computador correspondesse àquela que o aprendiz

realizaria na prática, mas que pudesse ser estendida com o uso de uma regra

algébrica na linguagem Logo. Hoyles et. al (2002) afirmaram que,

Nossos resultados nos convenceram do poder do micromundo Mathsticks e seu podencial para a aprendizagem. Nossa conclusão foi que a interação entre as ações dos aprendizes e as diferentes representações de relacionamentos matemáticos subjacentes ao micromundo foram cruciais para a aprendizagem do estudante4 (HOYLES et. al., 2002, p. 8).

Kaput (2003) e Kaput e Schorr (2007) discutem o desenvolvimento e

implementação do SimCalc, um ambiente que tem como proposta engajar o aprendiz

no estudo da matemática da mudança e da variação, promovendo uma interação do

mesmo com representações geométricas, gráficas, algébricas e simulações.

Healy e Kynigos (2010) apresentaram a musiCALcolorida, uma calculadora

que oferece representações numéricas, musicais e coloridas para os resultados das

operações fundamentais. De acordo com os pesquisadores, aprendizes que

interagem com este ambiente podem experimentar a ideia de número usando

diferentes sentidos, o que faz desta calculadora uma ferramenta também compatível

com o trabalho com pessoas cegas.

Grande parte dos pesquisadores, os quais trabalham com ambientes digitais

com apelo às múltiplas representações, salientam que esse tipo de ambiente medeia

4 Tradução minha para: Our findings convinced us of the power of the Mathsticks microworld and its potential for

learning. Our conclusion was that it was the interplay between learners' actions and the different representations of

the mathematical relationships embedded in the microworld that was crucial to our students’ learning.

35

de forma positiva o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Segundo

Dubinsky e Tall (1991), o uso de computadores pode favorecer a aprendizagem de

ideias abstratas, uma vez que elas adquirem materialidade na tela, podem ser

acessadas e manipuladas pelo aprendiz. Para Moreno-Armella e Sriraman (2010) os

computadores aumentam a capacidade expressiva dos estudantes porque eles

podem tirar vantagem de suas capacidades de comunicar ideias que são impossíveis

de serem comunicadas devido falta de uma linguagem matemática bem desenvolvida5

(p. 225).

Por outro lado, de acordo com Ainsworth (1999) e Duval (2003), o trabalho

com diferentes representações de conceitos matemáticos pode trazer complicações,

principalmente pelo fato do aprendiz necessitar lidar com regras e princípios para

transitar entre elas. Os resultados de Borba (1994) e Lavy (2007) ilustram estas

dificuldades.

Borba (1994) descreve uma situação em que um estudante do ensino médio

trabalha com um problema no software Function Probe, o qual permite a visualização

gráfica, algébrica e tabular de funções com duas variáveis. No caso discutido pelo

pesquisador, o estudante em questão encontra discrepâncias entre as ações

realizadas sobre as expressões algébricas e as consequências observadas no gráfico.

Neste caso, o estudante queria transladar uma curva cinco unidades para a direita,

entretanto percebeu que este movimento somente ocorreria se ele acrescentasse o

número -5 à expressão algébrica da curva. Isto causou certa tensão no estudante,

uma vez que, em suas experiências anteriores, os movimentos para a direita estavam

associados com variações numéricas positivas. Borba (1994) relata que esta

discrepância fez com que o estudante procurasse por explicações mais

esclarecedoras para tal fenômeno, explicações estas que foram além das interações

com o software utilizado.

Lavy (2007) aplicou um problema de geometria para dois grupos de

estudantes de graduação em computação, visando comparar suas performances. O

primeiro grupo manipulou o problema usando o ambiente Microworld Project-Builder,

que visa o relacionamento de representações geométricas e representações na

5 Tradução minha para: They enhance the expressive capacity of students as they can profit from the computers'

facilities to communicate ideas that are impossible to communicate due to the lack of a sufficiently developed

mathematical language.

36

linguagem Logo. O segundo grupo manipulou o mesmo problema com o uso de papel

e lápis. Se comparado com o grupo que realizou a atividade usando papel e lápis, o

primeiro grupo teve desempenho inferior. Cinquenta por cento dos estudantes do

primeiro grupo apresentaram soluções coerentes, enquanto 64% do segundo grupo

realizaram o mesmo trabalho. O movimento da tartaruga na tela foi apontado como

elemento que trouxe distração aos estudantes. Eles afirmaram que a versão

computadorizada do problema não facilitou o processo de resolução porque as

informações importantes “boiavam” no meio das outras.

Acredito que o trabalho com múltiplas representações tem potencialidades e

fraquezas em qualquer meio, seja ele o digital ou o papel e lápis. Entretanto, o

crescente número de pesquisas evolvendo ambientes digitais os quais contemplam

múltiplas representações me faz concluir que o uso de computadores traz

contribuições importantes para o processo de ensino e aprendizagem da matemática,

principalmente pelo fato de, nesse meio, ser possível conectar múltiplas

representações de um conceito, de modo que elas se modifiquem dinamicamente de

forma sincronizada. Para mim, é o dinamismo que coloca o meio digital em destaque

e faz do computador uma poderosa ferramenta para um trabalho significativo

envolvendo múltiplas representações.

Dinamismo

As potencialidades das ferramentas digitais vão além da possibilidade de

representar conceitos matemáticos. Os recursos mais atuais são capazes de suportar

um ambiente em que todas as representações estão dinamicamente conectadas. Isto

quer dizer que o aprendiz pode interagir com uma representação mudando seus

parâmetros e perceber que as modificações numa representação provocam

mudanças em todas outras de tal forma que, ao observar as variações, seja possível

perceber relacionamentos e propriedades. Sobre as ferramentas digitais Hoyles e

Noss (2009) afirmam que,

Esta propriedade de ser dinâmica é bastante diferente daquele senso de dinâmico que caracteriza os diagramas animados, por exemplo. O fator chave é a mudança entre dinâmico (enquanto arrasta) e estático (parando quando

37

relacionamentos parecem evidentes) e que isto é crucial no controle dos aprendizes – então eles podem parar, refletir, voltar e testar à luz das respostas provenientes de uma imagem gráfica6 (HOYLES e NOSS, 2009, p.

4).

Uma das características das ferramentas digitais dinâmicas é a presença de

hot spots em sua interface. Hot spots são pontos no meio digital os quais permitem o

movimento de uma representação sem que suas características originais sejam

deformadas (MORENO-ARMELLA e HEGEDUS, 2009). Eles também são chamados

de dragging tools por alguns pesquisadores da educação matemática (SINCLAIR e

ROBUTTI, 2013; MARIOTTI, 2012; HOYLES e NOSS, 2009). No software Cabri-

Géomètre, por exemplo, quando construímos um triângulo na tela do computador,

podemos movimentar quaisquer vértices, obtendo novas formas triangulares. Neste

caso, os vértices seriam os hot spots da representação, pois por meio deles a

modificamos sem que ela perca suas propriedades fundamentais (no Cabri, o triângulo

continua triângulo independentemente do movimento que fazemos).

Os hot spots não estão somente presentes nos ambientes de geometria

dinâmica, como o Cabri-Géomètre. Nos Computer Algebra Systems (CAS), os hot

spots frequentemente tomam a forma de uma barra de rolagem que, quando

movimentada, modifica automaticamente o corpo de uma expressão algébrica e seus

possíveis valores (HEID, THOMAS e ZBIEK, 2013).

O dinamismo das ferramentas digitais também auxilia no processo de criação

de conjecturas e provas. Mariotti (2012) discute os resultados de uma pesquisa de

longo prazo, realizada com estudantes italianos com idades entre 15 e 18 anos. No

contexto deste estudo, os participantes tinham que produzir uma figura específica no

Cabri-Géomètre que fosse resistente ao movimento, escrever os procedimentos

realizados para obtê-la e explicar por que a construção poderia ser considerada

robusta. Os estudantes trabalharam em pares e eram entrevistados pela pesquisadora

à medida que interagiam com ambiente de geometria dinâmica. As análises desse

estudo revelaram que os significados os quais emergiram com as atividades podem

ser relacionados aos significados matemáticos de uma afirmação condicional que

6 Tradução minha para: Notice too that this property of being dynamic is quite different from the sense of dynamic

that characterises, say, animated diagrams. The key factor is the interplay between dynamic (while dragging) and

static (stop when some relationship seems evident) and that this is crucially in the control of learners - so they can

pause, reflect, go back and test in the light of feedback from the graphical image.

38

expressa dependência lógica entre a premissa e a conclusão no contexto da

geometria.

O uso simultâneo de várias potencialidades das ferramentas digitais também

parece ser uma das possibilidades para fomentar um trabalho em sala de aula que

privilegie a exploração de situações matemáticas, a formulação de conjecturas e a

criação de provas para as mesmas. Sinclair e Robutti (2013) salientam que as

dragging tools, quando associadas com as ferramentas de medição nos ambientes de

geometria dinâmica, criam situações em que os aprendizes podem explorar ideias,

formulando conjecturas por meio da percepção de invariâncias e, além disso, oferecer

provas às conjecturas criadas, abstraindo propriedades quando analisam o

movimento contínuo das medidas aferidas.

As ferramentas de medição e de cálculo, as quais muitas vezes existem nos

ambiente digitais, também possuem potencialidades importantes que contribuem para

o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Uma destas características é a

executabilidade, a qual é discutida com mais profundidade a seguir.

Executabilidade

Muitas tecnologias digitais possuem ferramentas de medição, cálculo

numérico e algébrico. Tais ferramentas também sofrem influência do dinamismo e, por

isso, fornecem executabilidade aos resultados. Isto quer dizer que os movimentos

realizados sobre um hot spot alteram sincronizadamente representações gráficas,

algébricas, numéricas e figurais. No Cabri-Géomètre, por exemplo, é possível medir

segmentos, ângulos, áreas e realizar operações fundamentais cujos resultados se

alteram sincronizadamente com os movimentos que realizamos sobre as formas

geométricas que estão na tela. Com SimCalc é possível simular movimentos no plano,

modificando o tempo, o deslocamento e a velociadade dos objetos. Alguns CAS

oferecem a possibilidade de modificar a forma algébrica de uma função (fatorando-a,

por exemplo), resolvem equações da mais diversas e apresentam recursos gráficos e

figurais para representar estas variações.

Alguns pesquisadores apontam os prós e os contras do uso de ferramentas

digitais que possuem processamento numérico e algébrico. De forma geral, eles

39

admitem que o trabalho simbólico, voltado à utilização de técnicas e procedimentos

no ambiente do papel e lápis, pode contribuir para que o aprendiz compreenda como

representar ideias matemáticas e transitar entre elas, no entanto, reconhecem que os

ambientes digitais, quando aliviam a necessidade de cálculos extensos, são capazes

de fazer com que os aprendizes mantenham foco nas relações entre os objetos

matemáticos pela observação de variâncias e invariâncias (KAPUT, 1992; HOYLES e

NOSS, 2009).

Os ambientes dinâmicos, por meio da executabilidade das representações,

também podem auxiliar os estudantes a gerenciar um grande número de dados

realísticos mais facilmente do que no ambiente com papel e lápis. Devido à rapidez

das respostas, quando se altera um aspecto da situação na tela do computador, o

ambiente possibilita ao estudante uma visão ampliada de um fenômeno enquanto ele

ocorre, o que permite a percepção e exploração de relações entre objetos

matemáticos, elaboração de conclusões e a extensão das mesmas para uma família

de casos (SACRISTÁN et. al., 2010).

Ao discutirem as potencialidades da executabilidade, Moreno-Armella e

Hegedus (2009) introduzem a ideia de co-ação. Para eles, o dinamismo e a

executabilidade proporcionam ao aprendiz uma interação diferenciada com o

ambiente em que realiza a atividade matemática. Neste contexto, o ambiente reage

às ações do aprendiz e esta reação muitas vezes serve de inspiração para novas

ações. Os ciclos de ação – reação – ação podem contribuir significativamente para a

aprendizagem e trazer novos significados para ideias matemáticas complexas. Ao

movimentar hot spots, observar e analisar os resultados na tela, o estudante se

prepara para novos movimentos e observações na tentativa de revelar ou descartar

uma regularidade. O estudante guia o ambiente e é guiado por ele.

Navegabilidade

Com o aumento do poder de visualização e processamento dos

computadores, a interface dos ambientes digitais para o ensino de matemática tem

apresentado múltiplas representações de conceitos e oferecido uma diversidade de

ferramentas para que o aprendiz interaja com estas representações. Na interface do

40

SimCalc, por exemplo, podemos ver uma grande área de trabalho composta por

diversas janelas. Em cada janela, o estudante encontra uma representação diferente

para o movimento de um determinado objeto (Figura 1). Ao estudante é permitido

manter uma ou mais janelas abertas simultaneamente, permitindo assim a navegação

entre as representações. A interface inicial do Cabri-Géomètre possui menos

elementos. O que podemos ver é um grande espaço em branco para que o aprendiz

construa e explore formas geométricas. Acima desta área, há uma longa barra de

botões e uma barra de menus. Ao pressionar cada botão, o aprendiz observa e acessa

uma lista com várias ações que podem ser realizadas. Com um simples movimento

do mouse, ele navega pelas opções oferecidas na tela (Figura 2).

Figura 1: Interface do SimCalc (MORENO-

ARMELLA e HEGEDUS, 2009, p. 515).

Figura 2: Interface do Cabri-Géomètre.

A ação de “passear” pelas representações e ferramentas na tela do

computador recebe o nome de “navegação”. Para Hegedus e Moreno-Armella (2010),

a navegabilidade dos ambientes digitais para o ensino de matemática é uma das

características que o torna dinâmico.

Uma boa navegabilidade também depende de fatores estruturais e estéticos.

Burgos (2009) discute esta ideia e apresenta uma série de sugestões para melhorar

a navegação num sistema ou numa página na internet. Dentre elas estão a presença

de (1) menus no topo da janela (ou página), (2) menus para a navegação lateral à

esquerda e à direita, (3) barras de botões, (4) links para outras janelas (ou páginas)

entre outros.

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=HPcuuk8uNoRK5M&tbnid=4279tkQDA5ZYTM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/cursos/trab4/mosaico.html&ei=isxNUpSlIIu69gSemoCYDQ&bvm=bv.53537100,d.aWM&psig=AFQjCNFa3L-6IOin6VyjvnPgTXcKiPTkEw&ust=1380916732370695

41

Um ambiente digital que possui uma boa navegabilidade tem o potencial de

ser facilmente manipulado pelo aprendiz, o que vai ao encontro do princípio da

fidelidade pedagógica. Além disso, quando se trata de um ambiente com múltiplas

representações para conceitos matemáticos, a boa navegabilidade pode incentivar o

estudante a procurar num conjunto de representações as explicações para os

fenômenos e propriedades percebidos com suas explorações.

Suporte ao estudante

A ideia de dar suporte às ações do aprendiz é proveniente da perspectiva

Vygostskyana, mais precisamente da ideia de Zona de Desenvolvimento Proximal

(ZDP). Nesta linha de pensamento, acredita-se que, quando existe o auxílio de uma

pessoa ou de um instrumento, o indíviduo é capaz de realizar ações que ele não

conseguiria realizar por conta própria; todavia, como auxiliar estudantes quando as

ações dos mesmos são realizadas no meio digital?

No âmbito do ensino e aprendizagem de matemática com tecnologias, o

suporte dado ao aprendiz, para que ele consiga progredir em suas ações, é gerado

por diversas fontes. Este suporte pode estar (1) na própria interação do indivíduo com

as representações e ferramentas do ambiente, (2) em links ou mensagens, colocados

na interface estrategicamente para fornecer “dicas” aos estudantes, (3) no texto e na

organização das tarefas e problemas propostos, (4) na interação entre estudantes e

na (5) interação entre o indivíduo e o professor.

Há ainda a possibilidade de um suporte inteligente, como retratam Noss et. al.

(2012). Estes pesquisadores desenvolveram um ambiente digital cujo objetivo é

engajar os estudantes no reconhecimento e algebrização de padrões figurais, o

eXpresser. Neste ambiente, os aprendizes realizam suas ações em computadores

ligados a um servidor. Com uma interface diferente daquela utilizada pelos alunos, o

professor consegue ter acesso a esquemas os quais mostram o desempenho de seus

estudantes nas tarefas realizadas no meio digital. Com a análise destas informações,

o professor pode decidir qual é o melhor momento de intervir e dar suporte a quem

precisa.

42

Nesta mesma linha de pensamento, Hoyles (2012) argumenta que,

atualmente, um dos maiores desafios do desenvolvimento de ambientes digitais é a

criação de suporte inteligente que dê liberdade suficiente para os estudantes

construirem suas próprias ideias, mas que sejam capazes de gerar respostas

adequadas que auxiliem os estudantes a alcançarem seus objetivos.

Outros princípios: Construção, Simulação e Conectividade

Os seis princípios anteriores foram discutidos com mais produndidade porque

foram aqueles que guiaram o desenvolvimento do Consecutivo. Entretanto, outros três

princípios de design frequentemente são discutidos na literatura em educação

matemática. São eles: a construção, a simulação e a conectividade.

O princípio da construção é proveniente da ideia de Micromundo, introduzida

na literatura da área pelo pesquisador Seymour Papert. Para Papert (1986), o

micromundo deve ser um ambiente onde o aprendiz (1) interage com conceitos de

forma simples e acessível e (2) tem a possibilidade de criar jogos, atividades, artes

etc. que tornem relevante o trabalho no micromundo e possibilitem o desenvolvimento

de conceitos necessários dentro da experiência neste mundo.

Segundo Hoyles et. al. (2002), para que uma ferramenta digital seja

considerada um micromundo ela precisa permitir que as pessoas (1) explorem e

aprendam a partir do que elas recebem de resposta do computador no retorno de suas

explorações e (2) tenham a possibilidade de criar novos objetos neste mundo e

modificá-los usando programação.

O SuperLogo é um exemplo de micromundo, pois é um ambiente digital que

dá ao aprendiz a oportunidade de explorar conceitos geométricos com a utilização de

comandos pré-estabelecidos pelo programa e outros criados pelos próprios

estudantes no curso de suas interações. O Cabri-Géomètre também pode ser

considerado um micromundo, uma vez que os aprendizes podem acrescentar novos

botões à interface por meio das ferramentas de macro construção. É a possibilidade

de moldar o ambiente digital a sua vontade que caracteriza o princípio da construção.

43

Alguns ambientes digitais são desenhados para que os aprendizes possam

realizar simulações de fenômenos reais na tela computador. Este é o caso do

SimCalc, que permite a simulação e exploração das ideias de deslocamento,

velocidade e taxa de variação.

As ferramentas digitais também podem ser conectadas entre si de modo a

formarem uma rede e, quando esta faceta é incorporada à dinâmica das atividades

matemáticas, podemos vislumbrar outras formas de ensino e aprendizagem. Com

Noss et. al. (2012), mostrei anteriormente que a conectividade traz a tona novas

formas de suporte aos alunos. A conectividade também pode modificar a dinâmica

das discussões em sala de aula, uma vez que ela contribui para que as produções de

um estudante sejam compartilhadas em tempo real para outros integrantes do grupo.

Hegedus e Moreno-Armella (2009a) enfatizam que esta discussão compartilhada,

promovida pela conectividade, leva os estudantes a estabelecer uma relação pessoal

com o objeto matemático trabalhado.

As ferramentas de conectividade têm o potencial de favorecer o

compartilhamento de ideias e a interação professor-estudante e estudante-estudante,

porém, tais interações não são dependentes do uso de tecnologias digitais. A troca de

ideias entre estudantes e o suporte dado ao aprendiz pelo professor são atividades

que estão presentes no dia a dia escolar há muito tempo e vêm sendo cada vez mais

valorizadas pelos documentos curriculares e pesquisas na área da educação. No caso

dos PCN (BRASIL, 1998), a valorização da troca de experiência entre pares é uma

sugestão discutida dentre os conteúdos atitudinais e dentre as indicações para o

processo de ensino de matemática.

Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação adulto/criança. A confrontação daquilo que cada criança pensa com o que pensam seus colegas, seu professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e a de comprová-los (convencendo, questionando) (BRASIL, 1998, p. 31).

Na próxima subseção, discuto um pouco mais sobre a importância das

interações sociais no ambiente escolar, mais precisamente no contexto do ensino e

aprendizagem de matemática.

44

1.3 As interações sociais

O papel do plano social no nosso aprendizado e desenvolvimento tem sido

discutido no âmbito da pesquisa em educação, principalmente após a publicação dos

trabalhos de Vygotsky. Desde então, o universo acadêmico procura estudar temas

que vão do papel da cultura sobre as práticas matemáticas de certo grupo até a

contribuição das interações aluno-aluno e professor-aluno no processo de ensino e

aprendizagem.

Vygotsky (1991) descreve a importância das interações sociais para a

formação de conceitos e para o desenvolvimento humano quando discute as ideias

de internalização e de zona de desenvolvimento proximal.

Segundo o pesquisador, o ser humano apreende conceitos, ações e

processos porque interage com as pessoas de sua cultura de modo a reconstruir

internamente aquilo que, a princípio, foi vivenciado socialmente. Para ele,

Um processo interpessoal é transformado num processo intrapessoal. Todas as funções no desenvolvimento da criança aparecem duas vezes: primeiro, no nível social e, depois, no nível individual; primeiro, entre as pessoas (interpsicológica), e, depois, no interior da criança (intrapsicológico) (VYGOTSKY, 1991, p. 41).

Além disso, na concepção de Vygotsky (1991), interagir com outras pessoas

de seu grupo pode contribuir para que o aprendiz realize atividades que sozinho ele

não realizaria. Desta forma, a interação social oferece a possibilidade de o aprendiz

trabalhar em sua zona de desenvolvimento proximal, despertando diversos processos

internos que somente estão em operação na presença de seus companheiros.

Muitos pesquisadores salientam o papel das interações sociais no

compartilhamento de ideias e conceitos de forma coletiva na sala de aula. Neste

contexto, os aprendizes são colocados para agir, refletir e argumentar em atividades

matemáticas e o professor atua fomentando e mediando as discussões. Para ilustrar

esta posição, destaco cinco estudos, dois deles estão relacionados ao uso de

tecnologias digitais no ensino de matemática. Os outros três, abordam de forma mais

45

geral o papel das interações sociais para promover situações em que há intensa

criação de conjecturas, argumentos, justificativas e explicações.

Hegedus e Moreno-Armella (2009a) analisaram ambientes em que o

compartilhamento de ideias e conceitos ocorria por meio da manipulação de softwares

dinâmicos associados com novos recursos digitais que permitem a conectividade e

comunicação (rede wireless e projetor). Eles analisaram diversos casos em que

estudantes do ensino médio (high school) utilizavam o software SimCalc e

disponibilizavam suas produções para que toda a turma pudesse opinar e questionar.

Os pesquisadores apontaram que neste tipo de interação,

Os estudantes se identificam com os objetos ou com atributos matemáticos dos objetos e incorporam ideias matemáticas as suas expressões pessoais7 (HEGEDUS e MORENO-ARMELLA, 2009a, p. 22).

Mariotti (2009) analisou o papel do professor no processo de ensino e

aprendizagem com ambientes de geometria dinâmica. Ela descreveu um experimento

realizado com estudantes italianos do ensino médio (10ª série) em que os mesmos

utilizavam o software Cabri-Géomètre para realizar tarefas individuais e coletivas,

envolvendo o conceito de função. Neste contexto, o professor atuava como um

mediador. Como resultado do experimento, Mariotti (2009) notou quatro formas de

intervenção do professor: (1) pedir para os estudantes voltarem numa tarefa, (2) pedir

para que eles foquem em certo aspecto do software e de seu uso, (3) solicitar uma

síntese de ideias, e (4) oferecer uma síntese. Para a pesquisadora, o primeiro e o

segundo tipo de intervenção trazem à tona o potencial semiótico do ambiente e são

usados para promover a internalização. O terceiro e o quarto estão conectados com

a necessidade de alcançar as metas educacionais propostas para o conceito

abordado.

Reid e Zack (2009) propuseram suas reflexões a respeito do ensino e

aprendizagem de prova com base numa ampla revisão de literatura. Os

pesquisadores identificaram alguns aspectos do ensino que parecem ser importantes

para o sucesso na criação de provas por estudantes. Um deles é a possibilidade de

7 Tradução minha para: In essence, students identify themselves with the object, or the mathematical attributes of

the object, thus embodying the mathematical idea as a personal expression.

46

deixar para os aprendizes a responsabilidade de criar critérios para classificar uma

prova como válida. A ideia é que, por meio da interação entre pares, os estudantes

possam negociar o nível de aceitação de justificativas e explicações. Outro aspecto é

a expectativa de comunicação. Neste caso, o processo de prova culminaria na

apresentação de justificativas para a turma toda, o que fomentaria o processo de

organização e reorganização de argumentos.

[...] eles podiam comunicar seus argumentos para seus pares e, de acordo com regras sociais, eles deviam ser cuidadosos na maneira de criar seus raciocínios; eles deveriam ser capazes de explicá-lo de forma clara e deveriam estar dispostos a formular seus raciocínios se suas expressões do mesmo não estivessem satisfatórias8 (REID e ZACK, 2009, p. 146).

Mello e Brito (2010) investigaram as relações entre argumentação,

metacognição e o desempenho na resolução de problemas envolvendo divisão. Os

pesquisadores utilizaram uma abordagem em que dois grupos de estudantes do 5º

ano do ensino fundamental foram submetidos a dois tipos diferentes de intervenção,

pré-teste e pós-teste. Em um dos grupos a argumentação foi utilizada como estratégia

para guiar a resolução de problemas. Os pesquisadores perceberam diferenças

significativas no pós-teste do grupo que passou pela intervenção diferenciada e

concluíram que a argumentação em situações de interação social promove melhoras

no desempenho dos estudantes no que tange à resolução de problemas de divisão.

Ellis (2011) trabalhou com situações envolvendo equações quadráticas junto

a um grupo de estudantes do ensino fundamental com a intenção de compreender

como as ações e interações entre aprendizes e professores podem atuar em conjunto

para fomentar generalizações. Ela percebeu sete tipos de ações que podem promover

generalizações. Dentre as mais notáveis estão (1) o engajamento de aprendizes na

generalização pública de ideias e (2) o encorajamento entre pares para justificar e

oferecer clarificações. Ellis (2011) ressaltou que a generalização é um processo amplo

que pode evoluir por meio de atos colaborativos.

8 Tradução minha para: Because they had to communicate their arguments to their peers and according to

social expectations, they had to be careful in how they formulate their reasoning, they had to be able to explain it clearly, and they had to be willing to formulate their reasoning if their expression of it was not satisfactory.

47

É possível perceber que os estudos supracitados enxergam as interações

sociais como atos em que há a troca de ideias e experiências entre estudantes e

professores. De forma geral, estes estudos preconizam o aluno como centro da

atividade e propõem o professor como um gerenciador de ações que pode, ou não,

contar com as tecnologias digitais. Nestes ambientes de interação social, a

argumentação é vista como uma exposição de explicações e justificativas que partem

dos aprendizes e dos professores. Esta ideia de argumentação tem sido estendida e

formalizada na literatura da nossa área. Esta formalização é parte do tema que discuto

na próxima seção.

48

2. ARGUMENTAÇÃO, PROVA E DEMONSTRAÇÃO

A literatura em Educação Matemática oferece significados bastante

diferenciados para as palavras argumentação, prova e demonstração. De acordo com

Balacheff (2004), essa variedade ultrapassa os limites da semântica e por vezes

interfere na compreensão de resultados de pesquisa, nas possíveis conexões e

compartilhamentos entre eles.

Levando-se em consideração esta diversidade, nesta seção, apresento e

discuto os significados os quais construí para as ideias de argumentação, prova e

demonstração por intermédio da revisão de literatura nesta área. Mais do que isso,

minha intenção é (1) abordar em que medida estas ideias podem se assemelhar e se

diferenciar, (2) discutir as implicações destas variações para o ensino e aprendizagem

de matemática e (3) apresentar os principais conceitos os quais serão utilizados na

interpretação dos dados da pesquisa.

2.1 Argumentação

Em nossa vida cotidiana nos deparamos com diversas situações as quais

temos de sustentar um ponto de vista, explicando porque concordamos ou

discordamos de algo, ou ainda, porque achamos que determinada ideia é verdadeira

ou falsa. Este tipo de situação parece natural a nós, seres humanos, como uma

consequência da vida social na qual estamos inseridos desde que nascemos.

Dependendo do assunto e do contexto, leva-se tempo para formularmos uma

linha de raciocínio para explicar porque concordamos ou discordamos de algo, para

coletarmos evidências de que uma ideia é verdadeira ou falsa, ou ainda, para

convencermos outras pessoas da plausibilidade das nossas afirmações. Na área da

saúde pública, por exemplo, precisou-se de décadas para que a população mundial

concordasse que o cigarro faz mal à saúde e para que os níveis de consumo

diminuíssem significativamente. Na matemática, mais de 300 anos de estudo foram

necessários para que o último teorema de Fermat (1601 – 1665) fosse demonstrado.

49

Na área da educação, ainda estão abertas as discussões sobre a pertinência do uso

de tecnologias no ensino de matemática. Estes são só alguns exemplos de como nós

estamos dispostos a despender demasiado tempo com o que, nesta pesquisa,

chamarei de argumentação.

Assim como em Douek (2006, p. 169), vejo a ideia de argumentação

associada ao processo que produz um discurso9 logicamente conectado, não

necessariamente dedutivo, sobre um determinado assunto.

Neste contexto, é possível dizer de maneira sucinta que a argumentação é

um discurso composto de argumentos. Aqui, um argumento é visto como uma razão

ou um conjunto de razões oferecidas a favor ou contra determinada ideia, afirmação,

sugestão ou opinião. Tais razões podem ser explicitadas de forma oral, gestual,

escrita, contendo informações numéricas, simbólicas, gráficas, figurais, etc.

Em resumo, uma “argumentação” consiste de um ou mais “argumentos” logicamente conectados e a natureza discursiva da argumentação não exclui a referência a argumentos não-discursivos, por exemplo, visual ou gestual10 (DOUEK, 2006, p. 169).

Para garantir maior fluência no texto e coerência com minhas perspectivas de

ensino e aprendizagem, uso a palavra argumentação para me referir a este discurso

logicamente conectado e a expressão processo de argumentação para me referir ao

caminho que leva ao mesmo. Para mim, este processo consiste num emaranhado de

motivações, objetivos, conceitos, passos, procedimentos, julgamentos, afirmações,

refutações e resultados.

Balacheff (1999) afirma que “no processo de argumentação há uma dupla

atividade de persuasão e validação”. Eu concordo em partes com esta afirmação. Se

pensarmos, por exemplo, em um advogado tentando defender os interesses de um

cliente, teremos o processo de argumentação voltado à construção de um discurso

logicamente conectado o qual persuade os espectadores e valida uma tese. Em

contrapartida, se pensarmos numa sala de aula em que há alunos discutindo as

9 A ideia de discurso apresentada é aquela compartilhada pelo senso comum: discurso seria uma discussão escrita

e/ou falada a respeito de um determinado assunto. 10 Tradução minha para: In brief, an “argumentation” consists of one or more logically connected “arguments”, and

the discoursive nature of argumentation does not exclude the reference to non-discoursive (for instance, visual or

gestural) arguments.

50

possíveis soluções de um problema, teremos o processo de argumentação voltado

para a produção de um discurso logicamente conectado o qual não necessariamente

valida uma ideia, mas a explica; e que não necessariamente convence o outro, mas

deixa para ele novas possibilidades de explicação para determinada questão11. Em

resumo, vejo que nem sempre o objetivo do processo de argumentação é convencer

ou validar. É possível que a intenção seja sustentar uma ideia, dar explicações e

compartilhar opiniões. Na mesma linha de pensamento temos Toulmin (2003), que

explica,

Hoje argumentos são produzidos para uma variedade de fins. Nem todo argumento é proferido na defesa formal de uma afirmação explicitada. [...] Poderia, eu acho, ser argumentado que esta seria na verdade a principal função dos argumentos, e que as outras funções que os argumentos têm para nós são secundárias e parasitárias em relação a esse uso justificatório

primário12 (TOULMIN, 2003, p. 12).

Mesmo que o objetivo do processo de argumentação seja convencer o outro,

o convencimento pode não fazer parte dos resultados desse processo. Se levarmos

em consideração o processo de argumentação entre duas pessoas, podemos ter

como resultado (1) a manutenção das ideias iniciais de ambas as partes, (2) a

manutenção das ideias iniciais de uma das partes e, consequentemente, o

convencimento da outra, (3) a mudança das ideias iniciais de ambas as partes, o que

implica a formação de uma nova ideia pela integração/interação dos argumentos em

questão. O convencimento tem uma componente objetiva que é baseada no

fundamento dos argumentos em questão, mas também tem uma componente pessoal

e social relacionada à maneira como as partes aceitam esses argumentos. Por razões

como estas, prefiro dizer que no processo de argumentação há uma intensa exposição

de ideias, pontos de vista e opiniões, cujo objetivo pode ser sustentar, compreender,

explicar, persuadir, convencer e/ou validar. Entretanto, a sustentação, compreensão,

explicação, persuasão, convencimento e validação podem não ser necessariamente

um dos resultados deste processo.

11 Um exemplo do processo de argumentação em sala de aula pode ser conferido em Hunter (2007). 12 Tradução minha para: Now arguments are produced for a variety of purposes. Not every argument is set out in

formal defense on an outright assertion. […] It could, I think, be argued that this was in fact the primary function of

arguments, and that the other functions which arguments have for us, are in sense secondary, and parasitic upon

this primary justificatory use.

51

O processo de argumentação faz parte do nosso contexto familiar e escolar

e, mais amplamente, está presente no mundo acadêmico e científico. Ele se

estabelece nas salas de aula toda vez que uma afirmação precisa ser justificada pelo

aluno ou pelo professor. Nas aulas de matemática, por exemplo, não basta que o

aluno aponte a resposta para uma dada questão. É preciso que ele apresente um

discurso logicamente conectado que mostre como esta resposta foi alcançada. Neste

contexto, o processo de elaboração de justificativas é visto como um processo de

argumentação.

Nas aulas de matemática o processo de argumentação assume uma posição

de extrema valia que vai além da elaboração de justificativas para questões rotineiras.

Neste cenário, este processo pode fazer com que estudantes tragam à tona

conjecturas dos mais diversos campos da matemática e, mais do que isso, a

necessidade de compreendê-las, explicá-las e validá-las.

Os argumentos proferidos por uma pessoa também podem ser analisados e

interpretados de um ponto de vista estrutural, o que nos ajudaria a compreender as

origens das ideias que compõem as explicações e justificativas. A próxima seção

deste texto é destinada a uma discussão mais aprofundada sobre esta análise da

estrutura do argumento.

2.2 A estrutura do argumento segundo Toulmin

A partir de meados da década de 50, Stephen Toulmin publicou uma série de

trabalhos cujo interesse era trazer diferentes perspectivas a respeito das ideias de

razão, lógica formal, ética e moral, defendendo que alguns aspectos do raciocínio e

da argumentação são dependentes do contexto em que a pessoa está inserida e que

outros aspectos são invariantes a esse contexto. Esta nova perspectiva fez com que

sua obra fosse chamada de “anti-lógica” por muitos filósofos contemporâneos.

O trabalho de maior repercussão de Toulmin é o livro “O uso dos argumentos”,

publicado pela primeira vez em 1958. Nele, o filósofo defende que a argumentação

tem um caráter justificatório e aponta que a principal função dos argumentos é o

estabelecimento de conclusões convincentes. Foi nas ideias apresentadas em “O uso

52

dos argumentos” que busquei um modelo para analisar o conteúdo dos argumentos

elaborados pelos participantes desta pesquisa.

Para Toulmin (2003) uma argumentação é um conjunto de razões e

justificativas enunciadas para sustentar determinada afirmação. A argumentação

possui uma estrutura “grossa” composta de diversos parágrafos conectados de modo

a formar um todo coerente e uma estrutura “fina” que somente é percebida quando

quebramos a argumentação em afirmações individuais, os argumentos, que carregam

fragmentos da ideia central que se pretende defender.

De acordo com Toulmin (2003), a estrutura fina do argumento é composta

pelos seguintes elementos: Dados, Garantias, Suportes, Qualificadores, Réplicas e

Conclusão. Para melhor explicar o que são esses elementos, eu apresentarei dois

exemplos. O primeiro deles foi retirado do próprio livro de Toulmin (2003). O segundo

é uma produção minha, realizada na tentativa de aplicar estes elementos ao contexto

desta pesquisa.

Vamos imaginar que eu tenha um colega chamado Harry e que eu esteja

tentando defender a ideia de que Harry é britânico. Para sustentar esta ideia, posso

recorrer a alguns dados, que conheço a respeito de Harry, como, por exemplo, o fato

dele ter nascido nas Bermudas. Entretanto, o fato de Harry ter nascido nas Bermudas

pode ser insuficiente para que um interlocutor qualquer compreenda porque Harry é

britânico. Neste caso, posso apresentar afirmações mais gerais na tentativa de

garantir a conexão entre o fato de Harry ter nascido nas Bermudas e a conclusão de

que ele é britânico. Posso dizer que uma pessoa nascida nas Bermudas sempre é

considerada britânica.

Mesmo apresentando uma garantia que conecta os fatos sobre Harry com a

ideia de que ele é britânico, é possível que o interlocutor ainda peça maiores

explicações sobre a validade das garantias as quais apresentei: por que alguém que

nasce nas Bermudas é considerado britânico? Nesta situação, posso apresentar um

suporte, ou seja, uma ideia que dá autoridade à garantia que eu proferi. Posso dizer

que existe uma lei parlamentar a qual determina a nacionalidade das pessoas que

nascem em colônias britânicas. Sendo Harry um cidadão nascido nas Bermudas e

esta uma colônia britânica, é possível dizer que Harry é britânico.

53

A discussão sobre a nacionalidade de Harry pode continuar se o interlocutor

insistir e dizer que Harry pode ter mudado de nacionalidade por questões políticas e

ideológicas. Neste caso, a conclusão de que Harry é britânico fica enfraquecida pela

possibilidade de outros fatores interferirem em sua nacionalidade. Estes fatores são

chamados de réplicas e eles me levam a colocar o qualificador “provável” na ideia que

eu estou defendendo: é provável que Harry seja britânico.

O esquema a seguir (Figura 3) sintetiza as discussões sobre a nacionalidade

de Harry, destacando os elementos do argumento, assim como proposto por Toulmin

(2003, p. 97).

Figura 3: Exemplo cotidiano da estrutura fina de um argumento segundo Toulmin (2003).

Toulmin (2003) defende que a estrutura fina de todo argumento possui pelo

menos dados, garantias e conclusões. Os reforços, os qualificadores e as réplicas

aparecem apenas quando “a força” das garantias é desafiada. Ele ainda salienta que

esta estrutura é invariante, ou seja, ela é independente do contexto e do campo de

atuação em que os locutores e interlocutores estão inseridos. Toulmin (2003)

acrescenta que, apesar da estrutura do argumento ser invariante, sua validade é

Harry nasceu nas Bermudas.

Harry é britânico.

Dado Conclusão

Uma pessoa que nasce

nas Bermudas é sempre

considerada britânica.

Existe uma lei parlamentar que trata da

nacionalidade das pessoas que nascem

em colônias britânicas.

A menos que ele tenha

mudado de nacionalidade

por questões políticas.

Provável

Garantia

Reforço

Réplica

Qualificador

54

dependente, ou seja, a aceitação das garantias e dos reforços depende do contexto e

do campo de atuação dos locutores e interlocutores.

Para discutir a questão da invariância e da dependência dos elementos de um

argumento, apresento um exemplo no contexto da Educação Matemática.

Vamos imaginar que duas estudantes, Ana e Bianca, estejam trabalhando

juntas para responder à seguinte questão: explique por que a soma de um número

par com um número ímpar dá sempre um número ímpar. Vamos imaginar ainda que

Ana e Bianca, até o presente momento, jamais haviam pensado que “par + ímpar =

ímpar”. Suponha que a dupla comece a resolução fazendo explorações pontuais,

percebendo que a conclusão faz sentido, uma vez que 2+5=7, 10+11=21, 26+3=29,

etc. Neste ponto, é possível esquematizar a estrutura fina do argumento das

estudantes de acordo com o que expressado na Figura 4.

Figura 4: Exemplo da estrutura fina inicial de um argumento no contexto da Educação Matemática.

Até agora, o argumento de Ana e Bianca parece coerente. Mas, ele é válido?

Ele é válido dentro do contexto da aula de matemática? Se você fosse uma das

estudantes, você ficaria satisfeita com este argumento? E se fosse o professor?

Vamos imaginar que Ana e Bianca tenham percebido que os dados coletados

não foram suficientes para sustentar a conclusão em questão, uma vez que os

números naturais são infinitos (Figura 5). Neste momento, a garantia apresentada

perde força e qualificadores e réplicas começam a fazer parte da conclusão: é

provável que a soma de um número par com um número ímpar seja ímpar uma vez

2+5=7

10+11=21

26+3=29

Par + ímpar = ímpar

Dois é par e cinco é ímpar. Ao

somar 2 com 5 obtém-se 7, que é

ímpar. O mesmo ocorre com 10 e

11, 26 e 3, entre outros.

55

que os números são infinitos e pode haver um caso em que esta conclusão não

funcione.

E agora, o argumento de Ana e Bianca pode ser considerado válido no

contexto da aula de matemática? O fato de levar em consideração as limitações da

garantia apresentada torna este argumento aceitável no contexto escolar? E no

contexto de um matemático?

Figura 5: Exemplo da estrutura fina de um argumento com qualificador e réplica no contexto da

Educação Matemática.

Vejo como positivo o fato das estudantes perceberem que o argumento

formulado possui certas limitações, mas, como professora, gostaria que as estudantes

não ficassem satisfeitas com a garantia apresentada e que as mesmas se engajassem

na procura de explicações as quais reforçassem tal garantia. Gostaria que Ana e

Bianca pensassem na estrutura de um número par e de um número ímpar de modo a

formular uma explicação mais robusta.

Ana e Bianca poderiam acrescentar novos dados pensando, por exemplo, que

um número é par quando é possível formar duplas com a quantidade que ele

representa e que um número é ímpar quando se formam todas as duplas possíveis

com a quantidade em questão e ainda tem-se um elemento de sobra. Com estes

dados em jogo, a dupla poderia explicar de forma figural porque ao somarmos diversas

duplas contendo um número par e um número ímpar obtemos sempre um número

ímpar como resposta (Figura 6).

2+5=7

10+11=21

26+3=29


Dois é par e cinco é ímpar. Ao somar 2

com 5 obtém-se 7, que é ímpar. O

mesmo ocorre com 10 e 11, 26 e 3,

entre outros.

A menos que exista um

exemplo em que esta

conclusão não se aplique.

Provável

56

Figura 6: Representação figural da soma de um número par com um número ímpar.

Esta representação figural poderia ser considerada um reforço à garantia

apresentada inicialmente. Neste caso, o reforço poderia até mesmo eliminar as

incertezas em torno da garantia, o que tornaria a réplica desnecessária. Neste

contexto, o qualificador ainda poderia ser alterado de “provável” para “é certo que”,

como pode ser observado na Figura 7.

É possível que um interlocutor mais exigente, mesmo com a apresentação de

reforços para as garantias, ainda não fique satisfeito com o argumento de Ana e

Bianca apresentado na Figura 7. Isto porque, no contexto matemático, as justificativas

para conclusões generalizadoras geralmente contêm uma linguagem mais formal,

apelando para representações algébricas, e não figurais. Além disso, as nossas

estudantes fictícias começaram sua produção apresentando garantias baseadas em

explorações pontuais, o que costuma ser evitado neste contexto. Entretanto,

observando o argumento como um todo, a produção não parece suficientemente

razoável para o ambiente escolar? Como professor, não gostaria que seus estudantes

apresentassem justificativas baseadas em dados, garantias e suportes e que eles

colocassem qualificadores em suas conclusões toda vez que elas possuíssem certas

limitações? Certamente estas são questões sobre as quais devemos refletir se

quisermos trazer a prova de volta ao ambiente escolar de modo significativo.

57

Figura 7: Exemplo da estrutura fina de um argumento com reforço no contexto da Educação

Matemática.

As ideias de Toulmin (2003) parecem pertinentes ao escopo desta pesquisa

por diversas razões. Primeiramente, a estrutura do argumento proposta pelo

pesquisador leva em consideração que argumentos podem fazer sentido e serem

coerentes mesmo que sejam baseados em dados empíricos13. Neste contexto, a

coerência emerge da proposição de garantias que conectam os dados às conclusões.

Além disso, as ideias de Toulmin (2003) evidenciam que a validade de um argumento

é uma questão dependente do contexto em que o mesmo é apresentado, o que nos

permite repensar a ideia de argumentação no contexto escolar. Finalmente, a

estrutura proposta pelo pesquisador pode ser utilizada como uma ferramenta para a

análise dos argumentos dos participantes desta pesquisa, auxiliando a revelar o

conteúdo dos dados, garantias e reforços apresentados pelos mesmos, e a

compreender o papel da tecnologia na construção de cada um destes elementos.

13 Neste caso, empírico é qualidade das ações e informações matemáticas baseadas em casos específicos,

manipulações concretas e pontuais.

2+5=7

10+11=21

26+3=29

é par.

é ímpar.


Dois é par e cinco é ímpar. Ao somar 2

com 5 obtém-se 7, que é ímpar. O

mesmo ocorre com 10 e 11, 26 e 3,

entre outros.

É certo que

Um número é par quando é possível formar duplas com a quantidade (pontos

pretos) e um número é ímpar quando sobra uma unidade após formarmos todas

as duplas possíveis (pontos vermelhos). Ao juntar par com ímpar sempre

sobrará uma unidade sem dupla. Portanto, o resultado será ímpar.

58

Nas próximas seções, aprofundo um pouco mais as ideias de argumentação,

prova e demonstração no contexto da Educação Matemática. Minha intenção é

oferecer uma perspectiva sobre como estes termos são concebidos na literatura,

revelar os resultados de pesquisas mais pertinentes ao escopo deste estudo e

apresentar as concepções que eu construí acerca do tema.

2.3 Prova ou demonstração?

Usamos o verbo provar no nosso dia-a-dia para nos referirmos à ação de

providenciar evidências de que uma afirmação é verdadeira (ou falsa). Neste contexto,

a palavra prova pode ser usada para representar o produto final da ação de provar,

ou ainda, cada uma das evidências coletadas neste processo. Ainda é possível usar

o verbo provar no sentido de testar, experimentar: provar uma roupa ou uma fruta é o

mesmo que experimentá-las, testá-las. Provar e prova não são palavras específicas

do universo matemático, mas possuem um significado muito especial dentro dele.

De um ponto de vista clássico, derivado principalmente dos trabalhos de

Euclides (325 a.C. - 265 a.C.) e Hilbert (1862 – 1943), provar é a ação que valida (ou

não), por meio de um encadeamento dedutivo, o conteúdo de uma conjectura. Neste

caso, a prova seria o produto final desta ação, apresentado formalmente, fazendo uso

de simbologia e terminologia específica desta ciência. Entretanto, em Lakatos (1978)

é possível compreender que, no universo matemático, provar é uma ação complexa,

não-linear, movida por ciclos de refutações, reorganização de argumentos e

reformulação de conjecturas. Hanna (2000) ainda salienta que, para matemáticos, a

prova é mais do que um instrumento de validação. A prova é imprescindível para trazer

compreensão.

Ficou claro para mim que uma prova, válida em termos formais, na verdade se torna convincente e legítima para um matemático somente quanto ela leva a uma real compreensão matemática14 (HANNA, 2000, p. 7).

14 Tradução minha para: It became clear to me that a proof, valid as it might be in terms of formal derivation, actually

becomes both convincing and legitimate to a mathematician only when it leads to real mathematical understanding.

59

Uma vez que a prova é de extrema importância para a matemática como

ciência, sua presença nas salas de aula tornou-se inevitável. Segundo Pires (2006),

em meados dos anos 70-80, imbuídos das ideias do Movimento da Matemática

Moderna no Brasil, professores de matemática e livros didáticos priorizavam

excessivamente explicações rigorosas em Geometria, de uma forma que o aluno tinha

dificuldades de atribuir sentido a elas. Entre as décadas de 80-90 e início dos anos

2000, presenciou-se um abandono das provas no ensino e o começo de uma

valorização a explicações empíricas, negligenciando-se o trabalho com justificativas

mais formais e de cunho algébrico. Esta trajetória de abandono ocorreu de forma

similar em outros países, como afirma Reid e Knipping (2010),

Nos anos imediatamente seguintes à generalizada rejeição à Matemática Moderna nos anos 70, uma variedade de abordagens para prova surgiu. [...] Não é surpresa que a abordagem de não ensinar prova adotada pelo movimento de volta às bases não resultou em mais estudantes compreendendo a ideia de prova15 (p. 216).

O abandono do ensino das provas ficou evidente no cenário educacional de

tal modo que documentos curriculares como os PCN (Brasil, 1998) e NCTM16 (2000)

passaram a abordar explicitamente a importância do processo de prova no ensino de

matemática. Paralelamente a isto, o número de pesquisas em Educação Matemática,

relativas ao ensino e aprendizagem de prova, aumentou consideravelmente no

cenário internacional de tal forma que obter uma visão panorâmica a respeito desta

temática tem ficado cada vez mais complicado. Todo este movimento de revalorização

das provas no ensino e aprendizagem de matemática tem trazido à tona concepções

e abordagens mais flexíveis para o trabalho em sala de aula.

De acordo com Reid e Knipping (2010), pesquisadores em Educação

Matemática possuem visões diversificadas, e por vezes conflitantes, do que é uma

prova. Neste universo, a ideia de prova pode ser vista principalmente como: (1) um

conceito, (2) um texto, (3) um objeto, (4) um processo, (5) um discurso ou (6) um

raciocínio. Reid e Knipping (2010) afirmam que a visão do que é uma prova e de seu

15 Tradução minha para: In the years immediately following the generally rejection of the New Math in the 1970s a

variety of approaches were taken to proof. […] It is not surprising that the approach of not teaching proof adopted

by the back-to-the-basis movement did not result in more students coming to understand proof. 16 National Council of Teacher of Mathematics.

60

papel no ensino depende do paradigma filosófico em que cada pesquisador trabalha.

Eles notaram, por exemplo, que pesquisadores sócio-construtivistas são mais

suscetíveis de usar a palavra prova para se referir a um raciocínio ou discurso e têm

uma visão mais flexível da mesma no que tange ao uso de deduções e de

simbolismos.

Balacheff (1982), por exemplo, considera explicação um discurso que visa

clarificar o caráter de verdade de uma proposição ou de um resultado. Neste contexto,

prova seria uma explicação aceita por certa comunidade e demonstração seria uma

prova particular, aceita pela comunidade matemática, constituída a partir de uma

sequência de enunciados, organizados com certas regras. A demonstração seria um

tipo privilegiado de prova, a qual envolve uma prática que permite comunicação e

evolução dentro da comunidade matemática.

Duval e Egret (1989) e Duval (2006), por outro lado, falam apenas de

demonstração. Nestes estudos, a demonstração está relacionada ao jogo de

substituições de afirmações por meio de raciocínios lógicos válidos e uso de

simbologia específica, tais como implicações e conectores.

Demonstrar consiste, por conseguinte, de um ponto de vista cognitivo, em transformar um enunciado (ou vários) dado inicialmente num enunciado-resultado por meio de uma ou várias substituições. Quando várias substituições são necessárias, algumas às vezes devem ser efetuadas “em paralelo” e em outras vezes sucessivamente17 (DUVAL e EGRET, 1989, p. 30).

Na literatura dos países de língua inglesa é possível encontrar alusões à ideia

de prova, prova formal ou prova matemática, tendo as duas últimas mais ligadas à

definição de demonstração discutida anteriormente. Em Lai et. al. (2012) temos um

exemplo,

Por prova matemática, nós seguiremos o matemático Griffihs (2000) que define prova matemática como “uma linha formal e lógica de raciocínio que

17 Tradução minha para: Démontrer consiste donc, d'un point de vue cognitif, à tranformer un énoncé donné au

départ (ou plusieurs) en un énoncé-résultat par une ou plusieurs substitutions. Lorsque plusieurs substitutions sont

nécessaires, certaines doivent parfois être effectuées "en parrallèle" et d'autres successivement.

61

começa com um conjunto de axiomas e se move de passos lógicos para uma conclusão18” (LAI, et. al., 2012, p. 47)”.

Independente da definição adotada pelo pesquisador e do paradigma em que

o mesmo trabalha, vejo nesta variedade de definições uma tentativa de trazer a prova

de volta à sala de aula, de uma forma mais pertinente ao ensino de matemática, mais

acessível e significativa ao estudante. A distinção entre as ideias de prova e

demonstração ou entre prova e prova formal parece-me razoável dentro da

perspectiva do ensino e aprendizagem de matemática na educação básica, uma vez

que abre a possibilidade de um trabalho mais flexível, voltado à heurística, em que

explorações de conceitos levam a conjecturas que precisam ser explicadas e

validadas com os recursos que os estudantes possuem. Ideias como prova situada

(MORENO-ARMELLA e SRIRAMAN, 2005) e tipos de prova (BALACHEFF, 1988), por

exemplo, emergiram no cenário da Educação Matemática a partir das tentativas de se

compreender como estudantes lidam com as provas em situações de exploração,

conjectura, explicação e validação.

Moreno-Armela e Sriraman (2005) discutem a ideia de prova no contexto das

atividades realizadas em ambientes de geometria dinâmica. Neste contexto, os

pesquisadores notaram que, quando os estudantes não conseguem invalidar uma

conjectura arrastando os objetos na tela do computador, essa conjectura passa a ser

vista por eles com um teorema expresso pelas ferramentas e facilitado pelo ambiente.

O que permite a passagem de conjectura ao teorema é chamado de prova situada

pelos pesquisadores.

Ao analisar as justificativas elaboradas por alunos com idades entre 13 e 14

anos, para uma conjectura envolvendo a quantidade de diagonais de um polígono,

Balacheff (1988) observou a presença de provas pragmáticas e conceituais.

As provas pragmáticas eram aquelas baseadas em ações empíricas

realizadas sobre casos específicos. As observações do pesquisador revelaram três

tipos de provas pragmáticas: (1) o empirismo ingênuo, (2) o experimento crucial e (3)

o exemplo genérico. Foram classificadas como empirismo ingênuo as justificativas

18 Tradução minha para: By mathematical proof, we follow the mathematician Griffiths (2000) who defined

mathematical proof as “a formal and logical line of reasoning that begins with a set of axioms and moves through

logical steps to a conclusion”.

62

baseadas em poucos casos particulares. As tentativas de validar uma propriedade,

usando casos específicos e especiais, como verificar uma conjectura sobre diagonais

num polígono irregular com muitos lados, foram chamadas de experimento crucial.

Os casos em que valores específicos foram trabalhados pelo aluno de modo a revelar

um padrão ou uma relação entre eles foram chamados de exemplo genérico. O

genérico é um tipo de prova especial no contexto escolar, pois pode mostrar que o

aluno compreende o entrelace das propriedades matemáticas e a importância de seu

uso nas justificativas. Ela pode representar o ponto de partida para a redação de

provas conceituais (Ver Figura 8).

Figura 8: Tipos de Prova segundo Balacheff (1988).

As provas conceituais foram aquelas baseadas em propriedades matemáticas

e raciocínio dedutivo. A demonstração é um tipo de prova conceitual; porém, Balacheff

(1988) notou que muitos alunos apresentavam provas conceituais às propriedades

matemáticas usando mais a linguagem natural do que a linguagem algébrica. Este

tipo de prova foi chamado de experimento de pensamento.

Para Balacheff (1988), estes tipos de prova formam uma hierarquia em que

um tipo específico depende de quanta generalidade e conceitualização do

conhecimento estão envolvidos. O pesquisador ainda concluiu que analisar a escrita

de uma prova não é o suficiente para determinar em que nível de generalidade está o

autor da mesma. É preciso, além disso, conhecer o processo de produção desta

prova. Por meio das provas produzidas, Balacheff (1988) também observou uma

quebra entre os dois primeiros tipos e os dois últimos. Nos dois primeiros, as provas

63

foram baseadas na ação direta do aluno sobre as proposições. Nos dois últimos,

houve por uma tomada de consciência da generalidade da prova e uma tentativa de

mostrar isso na escrita da mesma.

Sobre os níveis de prova, Healy (2000a) acrescenta que a distinção entre uma

prova pragmática e uma prova conceitual nem sempre é muito clara, principalmente

quando os argumentos dos estudantes são baseados em exemplos genéricos e casos

especiais. A pesquisadora afirma que, quando os estudantes estão trabalhando em

ambientes digitais como o Cabri Géomètre e o Logo, eles constroem objetos

matemáticos com a finalidade de obter informações a partir das quais eles podem

extrair propriedades. Nestes casos, as ações empíricas se constituem como meios

fundamentais para a construção de provas baseadas em conceitos, o que indicaria a

necessidade de repensar, por exemplo, a distinção entre prova pragmática e prova

conceitual.

A ideia de prova que construí por meio da revisão de literatura contempla em

grande parte as discussões anteriores. Vejo a prova como um tipo especial de

argumentação.

Considerar a prova como um tipo especial de argumentação implica pensar

que a prova possui certas características as quais fazem com que ela seja parte do

conjunto de coisas as quais denominamos argumentação. Além disso, implica dizer

que, dentro deste conjunto, existem coisas que são argumentação e prova ao mesmo

tempo e coisas que são argumentação, mas que não são prova. Neste sentido, para

mim, o que faz a prova ser uma argumentação é o fato de ela ser um discurso

logicamente conectado acerca de uma ideia. O que faz a prova ser um tipo especial

de argumentação é o fato de ela estar relacionada com a explicação e validação de

uma conjectura. Assim como em Reid e Knipping (2010), vejo a conjectura como uma

afirmação generalizadora que requer verificações adicionais (p. 91-92).

Sendo assim, nesta pesquisa, a prova será considerada,

Um discurso logicamente conectado resultante de um processo complexo que

visa compreender, explicar e validar uma conjectura.

64

Vejo a prova também de um ponto de vista mais flexível no que tange ao

convencimento, ao formalismo e ao uso de raciocínio lógico. Por isso, a ideia de tipos

de prova de Balacheff (1988) vai ao encontro da perspectiva que eu tenho aceitado.

Assim sendo, vou constantemente fazer alusão aos termos empirismo ingênuo,

experimento crucial, exemplo genérico, experimento de pensamento e demonstração

para me referir aos diversos tipos de prova que podem ser construídos levando-se em

consideração uma variação do seu potencial de convencimento, formalização e

raciocínio lógico.

Considerando o convencimento como dimensão19, acredito que a prova seja

um discurso que convence, pelo menos, a pessoa que a elabora. No que tange ao

formalismo e ao raciocínio lógico, uma prova pode conter argumentos em língua

natural, numéricos, algébricos, figurais e gráficos e, além disso, pode ser embasada

por raciocínio indutivo, dedutivo, abdutivo, analogias, etc. Neste contexto, a

demonstração, ou prova formal, seria um discurso que convence os membros da

comunidade matemática, dotado de algebrismos e formalismos simbólicos e baseado

principalmente no raciocínio dedutivo. Em contrapartida, o empirismo ingênuo seria

um discurso que visa estender uma conjectura para vários casos por meio de

exemplos específicos, convence um ou mais estudantes e é baseado principalmente

no raciocínio indutivo.

É possível considerar outras dimensões para a prova. Hanna (2012), por

exemplo, discute o comprimento e largura de uma prova. O comprimento de uma

prova seria a quantidade de passos e argumentos utilizados na elaboração da mesma.

Já a largura, corresponderia à quantidade de ideias necessárias para ler,

compreender e redigir uma prova. Se pensarmos nos diversos papéis que a prova

pode desempenhar no processo de ensino e aprendizagem da matemática, outras

dimensões ainda podem ser consideradas. Hanna (2000) argumenta que, neste

processo, uma prova pode levar à: verificação (da verdade de uma afirmação),

explicação (porque é verdade), sistematização (organização das informações num

sistema dedutivo), descoberta (a prova pode levar a novos resultados), comunicação

(transmissão de conhecimento matemático), construção (de teorias empíricas),

19 Uso a palavra dimensão aqui para me referir a uma das extensões de uma ideia ou conceito.

65

exploração (do significado ou das consequências de uma afirmação) e incorporação

(de novos conhecimentos).

Em síntese, nesta pesquisa considero a prova como um tipo especial de

argumentação voltada à explicação, compreensão e validação de conjecturas. Isto

implica considerar a prova como um discurso logicamente conectado, constituído de

argumentos, proveniente de um complexo processo com dimensões cognitivas,

pessoais e sociais.

A relação entre argumentação e prova é bastante discutida nas pesquisas em

Educação Matemática. Por vezes esta relação é controversa, tendo, de um lado,

pesquisadores que aceitam intersecções positivas entre ambas as ideias e, de outro,

pesquisadores que veem implicações negativas ao considerar a argumentação no

processo de prova. Na próxima seção, discuto esta literatura com mais detalhes.

2.4 Prova ou argumentação?

Garuti et. al. (1996) consideram a argumentação um processo que é

fundamental para a formulação de conjecturas. Eles afirmam que,

Durante a produção de conjecturas, o estudante progressivamente elabora sua afirmação por meio de uma intensa atividade argumentativa funcionalmente entrelaçando com a justificativa da plausibilidade de suas escolhas. Durante o estágio seguinte de provar a afirmação, o estudante relaciona este processo de maneira coerente, organizando algumas de suas justificativas (argumentos) produzidas durante a construção da afirmação de acordo com uma cadeia lógica20 (GARUTI et. al., 1996, s/p).

Analisando as ideias de Garuti et. al. (1996), é possível perceber que o

processo de argumentação e o processo de prova funcionam de maneira

independente. O processo de argumentação é fundamental para a formulação de

20 Tradução minha para: During the production of the conjecture, the student progressively works out his/her

statement through an intense activity functionally intermingling with the justification of the plausibility of his/her

choice. During the subsequent statement proving stage, the student links up with this process in a coherent way,

organizing some of the justifications (arguments) produced during the construction of the statement according to a

logical chain.

66

conjecturas e de argumentos para suportá-las. Ele é ponto de partida para o processo

de prova, o qual consistiria em organizar tais argumentos numa cadeia lógica.

A concepção de Garuti et. al. (1996) é, em alguns aspectos, diferente da ideia

de processo de argumentação e prova que estou propondo nesta pesquisa. Primeiro

porque, para aceitar a concepção de tais pesquisadores, é preciso aceitar que “uma

fase de formulação de conjecturas” existe, antecede e auxilia o processo de prova.

Acredito que é possível pensar em situações em que esta fase existe e antecede o

processo de prova.

A própria pesquisa de Garuti et. al. (1996) fornece um exemplo interessante

disso. Entretanto, temos casos históricos na matemática de estudiosos tentando

provar conjecturas as quais não foram criadas por eles, o que exigiu a formulação de

novos argumentos, uma vez que os argumentos já existentes não foram suficientes

para demonstrá-la em dado momento. Ainda é possível pensar numa situação em sala

de aula em que o professor pede que os alunos investiguem a plausibilidade de dada

conjectura, o que culminaria num processo de argumentação posterior à proposição

da mesma.

Além disso, o modo como Garuti et. al. (1996) separam o processo de

argumentação do processo de prova dá a entender que este último consiste em um

jogo de organização de argumentos dependente do primeiro em termos de conteúdo,

mas independente em termos de forma uma vez que a “cadeia lógica” é apenas

formada durante o último processo. Concordo que uma conjectura pode ser formulada

a partir de um processo de argumentação. Entretanto, não vejo que os argumentos

criados neste processo sejam logicamente desconectados, uma vez que a conjectura

é a expressão de tal conexão.

Partindo do pressuposto de que há uma fase de formulação de conjecturas

que antecede e auxilia no processo de prova, Garuti et. al. (1996) discutem a

continuidade cognitiva (ou unidade cognitiva) entre argumentação e prova. A ideia de

continuidade cognitiva está ligada ao fato de que os argumentos que vêm à tona na

fase de conjectura são geralmente usados na fase de prova para suportar as

afirmações em jogo. Neste contexto, Pedemonte (2000) afirma que a continuidade

cognitiva ocorre em relação aos conteúdos matemáticos presentes na fase de

argumentação e de prova, mas nem sempre ocorre em relação aos raciocínios lógicos

empregados para conectar ideias em cada uma delas, principalmente quando na fase

67

de argumentação se usa raciocínio abdutivo e na de prova, raciocínio dedutivo. Boero

(1999) ainda acrescenta nesta discussão a importância de se pensar em tarefas em

que a exploração dinâmica seja natural para os estudantes, o que permitiria que a

continuidade ocorresse suavemente.

No outro lado desta discussão estão Duval e Egret (1989) e Duval (2006),

que não acreditam em continuidade cognitiva entre argumentação e prova. Em ambos

os estudos, a argumentação é vista como um discurso relativo às práticas sociais e

cotidianas. A prova é vista como um discurso matemático, o que fica evidenciado pelo

uso da palavra demonstração nos textos destes pesquisadores. Neste contexto,

haveria uma ruptura cognitiva entre argumentação e prova.

Duval (2006) argumenta que a natureza dos erros cometidos pelos estudantes

na produção de provas leva à conclusão de que eles não compreendem como uma

demonstração funciona. O pesquisador aponta que esta compreensão está ligada à

consciência, por parte dos estudantes, dos significados semânticos, epistêmicos e

lógicos das proposições em jogo e, ainda, à consciência dos diferentes processos de

organização do discurso. Tal consciência pouco é evidenciada em situações que

valorizam a heurística e que se relacionam com a argumentação realizada

socialmente na vida cotidiana.

Duval (2006) acredita que a reorganização dos conteúdos matemáticos

revelados na argumentação não ocorre de forma espontânea. Esta reorganização

requer que os estudantes saibam diferenciar as ideias de hipótese, premissa,

conclusão, axioma, argumento etc., bem como saibam organizar várias propriedades

numa dedução e várias deduções numa demonstração.

Para Duval e Egret (1989), a demonstração é um discurso matemático que

possui uma estrutura superficial, similar à estrutura de uma argumentação em língua

natural, em que os enunciados se acumulam, e uma estrutura profunda, similar à

atividade de cálculo, em que os enunciados são substituídos por outros em função de

regras conhecidas.

A organização dedutiva e argumentação constituem dois tipos de funcionamento opostos do discurso. A passagem da argumentação, que é a

68

forma mais natural de raciocínio, à demonstração exige uma mudança de atitude intelectual completa21 (DUVAL e EGRET, 1989, p. 30).

Para Duval e Egret (1989), o estudante somente se torna consciente da

estrutura profunda da demonstração quando esta é representada de forma não-

discursiva, como elaboração de organogramas e esquemas de rede, articulada a

formas de expressão em língua natural.

Figura 9: Estrutura de uma demonstração. Esquema elaborado por mim a partir de Duval e Egret

(1989)

Analisando os estudos de Garuti et. al. (1996), Boero (1999), Pedemonte

(2000), Duval e Egret (1989) e Duval (2006) é inviável dizer que a ideia de

continuidade cognitiva entre argumentação e prova é oposta a ideia de ruptura

cognitiva, uma vez que os pesquisadores têm concepções diferentes sobre tais

assuntos. Nos três primeiros estudos citados, argumentação e prova foram tratadas

como processos. Além disso, a ideia de unidade cognitiva foi aceita somente quando

se considerou o conteúdo matemático dos argumentos em situações em que a

argumentação promove a formulação de conjecturas.

Em Duval e Egret (1989) e Duval (2006) a prova é vista de maneira muito

particular, como uma demonstração no sentido de Balacheff (1982). Além disso,

21 Tradução minha para: Organisation déductive et argumentation constituent donc deux types de fonctionnement

opposés du discours. Le passage de l’argumentation, qui est est la forme la plus naturelle de raisonnement, à la

démonstration exige donc un changement d’attitude intellectuelle complet.

69

demonstração e argumentação são discursos que diferem pela organização dedutiva

do primeiro e o caráter social e linguístico do segundo.

Sobre a questão da unidade cognitiva entre argumentação e prova, Balacheff

(1999) salienta que as situações de interação social, por um lado, devolvem ao

estudante a responsabilidade da elaboração de conjecturas e, por outro, dificultam a

construção de uma problemática matemática da prova. Com isso, o pesquisador

argumenta,

Como conclusão deste estudo, a partir da perspectiva do ensino e aprendizagem, eu não chego a suportar nem a ideia de continuidade nem de ruptura entre argumentação e prova matemática (ou prova em matemática), mas a proposição do reconhecimento da existência de uma relação que é complexa e é parte do significado de ambas: argumentação constitui um obstáculo epistemológico para a aprendizagem da prova matemática e mais geralmente da prova em matemática22 (BALACHEFF, 1999).

As discussões sobre a relação entre argumentação e prova me levaram a

refletir sobre a questão da continuidade e da ruptura cognitiva dentro das concepções

assumidas nesta pesquisa. Aqui, o processo de prova é visto como um tipo especial

de processo de argumentação porque em ambos os casos há a construção de um

discurso logicamente conectado cuja intenção é suportar, explicar e/ou validar ideias

e opiniões. Neste sentido, é possível falar que os processos de argumentação e prova

compartilham motivações, intenções, ações e objetivos. O que torna o processo de

prova específico é (1) a referência a uma conjectura matemática, (2) a necessidade

de validação dessa conjectura e (2) a estrutura do discurso, que pode variar em termos

de convencimento, formalismos e uso do raciocínio lógico. Dentro desta perspectiva,

não faz sentido falar em continuidade ou ruptura cognitiva entre argumentação e

prova, uma vez que prova é um tipo de argumentação. Faz sentido falar de

continuidades e rupturas dentro do processo de prova, levando-se em conta as

características do grau de convencimento, do formalismo, e do raciocínio lógico

empregado. Assim, poderíamos questionar em que medida há continuidades e

22 Tradução minha para: At the conclusion of this short essay, from the perspective of teaching and learning, I arrive

at supporting neither the thesis od continuity nor that of a rupture between argumentation and mathematical proof

(or proof in mathematics), but at proposing the recognition of the existence of a relationship which is complex and

is part of the meaning of both: argumentation constitutes an epistemological obstacle to the learning of mathematical

proof, and more generally of proof in mathematics.

70

rupturas do empirismo ingênuo para o exemplo genérico, ou ainda, do experimento

de pensamento para demonstração. Para responder tais questionamentos, é

importante que se compreenda como o processo de prova ocorre, por exemplo, em

sala de aula quando se assume uma concepção similar àquela adotada neste estudo.

Nesta direção aponto os estudos de Knipping (2003) e Reid e Knipping (2010).

Knipping (2003) e Reid e Knipping (2010) apresentaram os resultados de um

estudo com estudantes alemães, franceses e canadenses, entre 13 e 15 anos, em

que se procurou identificar diferenças nos processos de argumentação que ocorrem

nas salas de aula durante uma atividade de prova envolvendo o Teorema de

Pitágoras. Os pesquisadores relataram diferentes estruturas no fluxo de ideias durante

as argumentações. Eles notaram, por exemplo, que em alguns grupos argumentos

paralelos eram fornecidos no começo do processo e eram afunilados numa conclusão.

Em outros grupos, determinada conclusão aparecia repetidas vezes em argumentos

paralelos, sendo discutida por várias vezes de diferentes formas. Eles ainda notaram

argumentações em que os participantes coletavam uma gama de dados para suportar

diversas conclusões relacionadas à ideia central que se desejava explicar.

Knipping (2003) ainda salienta que mais pesquisas nesta área são

necessárias uma vez que foi percebido que os discursos produzidos pelos estudantes

não somente diferiram no tipo de argumentos usados, mas também na sua estrutura

global e na passagem de um argumento para outro (p. 9).

Embora Knipping (2003) clame por mais pesquisas as quais tentem

compreender como os argumentos são produzidos e utilizados no processo de prova

pelos estudantes, muito já se foi discutido nesta área. Nas últimas duas décadas

diversos estudos foram conduzidos na tentativa de compreender (1) a visão de

matemáticos, professores e estudantes sobre o que é uma prova, (2) como alunos

dos mais diversos níveis provam conjecturas matemáticas, (3) que dificuldades eles

enfrentam, (4) até que ponto as provas que eles produzem podem ser consideradas

demonstrações, (5) as abordagens de prova sugeridas por professores e livros

didáticos e suas implicações, e muito mais. O objetivo da próxima seção é justamente

este: apresentar e discutir resultados de pesquisa, relevantes para este estudo,

relativos ao processo de ensino e aprendizagem de provas.

71

2.5 O que estudantes sabem sobre prova?

Enquanto fazia a revisão de literatura para estabelecer minha concepção de

argumentação e prova, vários questionamentos vieram a minha cabeça, tais como:

prova é algo passível de ser ensinado da mesma forma que ensinamos frações,

equações e conceitos geométricos? Se sim, existe alguma metodologia para seu

ensino? Em que idade as pessoas devem aprender o que é uma prova? Quando

podemos dizer que alguém sabe o que uma prova é? Se não, se prova é algo que não

pode ser ensinado, como alguém aprende a provar? Existe alguma forma de torná-la

algo ensinável? Durante esta fase de questionamentos, tentei me lembrar como eu

aprendi a provar, em que circunstâncias e com que idade.

Lembrei que durante toda minha fase como estudante da educação básica,

nas aulas de matemática, meus professores exigiam que todos os alunos redigissem

respostas completas para os exercícios propostos. Não bastava colocar somente um

número na resposta. Tinha que explicar como se chegou nela. Neste sentido, vejo que

desde cedo a aula de matemática se configurou como um ambiente para que eu e

meus colegas argumentassem. Entretanto, eu não me recordo de, durante a educação

básica, ter engajado num processo de argumentação sobre uma determinada

conjectura matemática, criada ou não por mim.

Meu primeiro contato com a ideia de conjectura, demonstração e teorema

ocorreu quando eu estava cursando matemática em uma universidade. Eu estava na

aula de fundamentos da álgebra e minha professora demonstrava na lousa diversos

teoremas relativos à teoria dos números. Recordo-me de conseguir acompanhar as

explicações, mas de ter dificuldades de escrever minhas próprias provas. Aprendi a

demonstrar observando o que minha professora produzia, comparando o que meus

amigos escreviam com o que eu escrevia, e comparando como a professora avaliava

o trabalho deles e o meu trabalho. Hoje, eu não sei dizer se minha professora tinha a

intenção de nos ensinar como se demonstra teoremas ou não, ou se isso foi uma

consequência do seu método de ensinar álgebra. O que eu sei é que, naquela época,

descobri o que era uma demonstração porque eu estava inserida num ambiente em

que elas eram usadas para explicar porque certas ideias da álgebra eram o que eram.

72

Já faz 13 anos que eu passei por esta experiência e sempre me questiono se

alguma coisa mudou nas salas de aula. O fato é que a história do ensino de provas

no Brasil e no mundo é repleta de altos e baixos. Há relatos23 de momentos em que

provas rigorosas foram apresentadas para os alunos da educação básica,

principalmente em Geometria, de tal modo que a compreensão das mesmas se

tornava muito difícil devido ao excesso de formalismo utilizado. Há relatos também de

abandono total das provas no ensino de matemática. E, ainda, relatos de um ensino

voltado à exploração de conceitos e justificativas mais acessíveis aos estudantes.

No Brasil, em 1998, foram publicados os Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN), um documento que visa clarificar os objetivos da educação básica no país nas

mais diversas áreas do conhecimento escolar. Os PCN contam com um volume

especial para a matemática e nele temos alusão à importância dos processos de

argumentação e prova no ensino,

Se por um lado a prática da argumentação tem como contexto natural o plano das discussões, na qual se podem defender diferentes pontos de vista, por outro ela também pode ser um caminho que conduz à demonstração. Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode- se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas (BRASIL, 1998, p. 71-72).

Não é possível dizer que a publicação dos PCN impulsionou um trabalho com

provas e demonstrações nas salas de aula. Ainda não há evidências para sustentar

esta afirmação. Entretanto, por conta das exigências do Programa Nacional do Livro

Didático (PNLD), algumas mudanças já podem ser percebidas neste tipo de material.

Pais (2010) notou uma mudança na abordagem dos livros didáticos das séries finais

do ensino fundamental constatando a presença de argumentações em geometria, mas

demasiada valorização a conclusões derivadas do empirismo. Além disso, o

pesquisador percebeu uma relação entre a argumentação e a resolução de problemas

e um aumento da indução como estratégia de validação. Carvalho (2007) constatou

que os livros didáticos do primeiro ano do ensino médio apresentam justificativas

23 Pires (2006) e Reid e Knipping (2010) apresentam discussões mais aprofundadas dos altos e baixos ocorridos

no ensino de provas, respectivamente, no Brasil e no mundo.

73

formais e informais às propriedades abordadas no campo algébrico, mas poucos

propõem atividades para que os alunos, por si próprios, se engajem no processo de

elaboração de provas e demonstrações.

A importância do processo de prova no ensino de matemática também gerou

interesse nos pesquisadores brasileiros da Educação Matemática nestes últimos

anos. Diversos estudos foram conduzidos nesta área na tentativa de (1) conhecer as

concepções de estudantes e professores a respeito do que é uma prova, (2)

compreender os entraves da utilização de uma abordagem voltada ao ensino de

provas por professores, e (3) descrever as provas produzidas pelos alunos da

educação básica e do ensino superior em termos das representações, generalidade e

raciocínios utilizados.

Jahn e Healy (2008) mapearam as concepções sobre prova dos alunos da

educação básica entre 14-16 anos de escolas do Estado de São Paulo. Este

mapeamento revelou principalmente um baixo desempenho dos estudantes na

elaboração de provas para conjecturas geométricas e algébricas. Leandro (2010), que

participou do projeto das pesquisadoras, constatou que, para questões envolvendo os

conceitos de fatorial, múltiplos e divisores, os acertos dos participantes foram

diminuindo à medida que a possibilidade de realizar cálculos ficava inviável. A análise

dimensional realizada apontou dois grupos de alunos: aqueles que utilizam o cálculo

como principal estratégia para justificar suas afirmações e aqueles que utilizam

propriedades. Estes últimos apareceram em menor quantidade. Piccelli e Bittar (2010)

realizaram um experimento com alunos do ensino médio no contexto da geometria

dinâmica e encontraram resultados similares. Grande parte das provas apresentadas

pelos participantes ficou ao nível do empirismo ingênuo. As pesquisadoras apontaram

que o exemplo genérico e o experimento crucial somente vieram à tona com a

intervenção do professor ou quando alunos passaram a ficar mais familiarizados com

a tarefa.

Freitas (2004) e Sales e Pais (2010) analisaram o processo de prova nos anos

iniciais do curso de Licenciatura em Matemática. Freitas (2004) notou que muitos

estudantes apelaram para o empirismo ingênuo como forma de argumentação.

Entretanto, o pesquisador observou a presença considerável de experimentos de

pensamento redigidos em língua natural e algebricamente. Sales e Pais (2010)

obtiveram resultados semelhantes. Ambos os estudos afirmaram que grande parte

74

das provas apresentadas pelos participantes não estava no formato aceito pela

comunidade matemática, mas tinham grande potencial de progredir.

A partir de Reid e Knipping (2010) é possível perceber que os resultados das

pesquisas internacionais no que tange a aprendizagem de prova são muito parecidos

com os resultados brasileiros. De acordo com os pesquisadores, os estudos

internacionais revelam que muitos estudantes (1) aceitam exemplos como forma de

validação, (2) não aceitam provas dedutivas como forma de validação, (3) não aceitam

contraexemplos como refutação, (4) aceitam provas dedutivas falhas como forma de

validação, (5) aceitam argumentos sem coerência lógica, (6) oferecem argumentos

empíricos como prova e (7) não conseguiriam redigir provas consistentes com os

padrões da comunidade matemática.

Os resultados de pesquisas discutidos anteriormente nos fornecem uma ideia

de como anda a aprendizagem dos estudantes no que concerne o processo de prova.

De modo geral, é possível perceber que o desempenho dos mesmos é bastante

limitado no que tange à compreensão e elaboração de provas na matemática. Esses

resultados podem ser interpretados e explicados por diferentes pontos de vista. Um

deles é considerar que grande parte deste desempenho pobre está relacionada à

formação e concepção de professores (PIETROPAOLO, 2005; PIETROPAOLO et. al.,

2009; ALMOULOUD e FUSCO, 2010). Há ainda a possibilidade de assumir que o

processo de prova se constitui dentro das práticas sociais que dependem de um

intenso jogo de negociação de significados e contratos didáticos que ocorrem

raramente em sala de aula (BALACHEFF, 1999). Além disso, é possível acreditar em

dificuldades cognitivas relativas à aprendizagem de prova ou na presença de

obstáculos epistemológicos acerca do tema (DUVAL e EGRET, 1989; BALACHEFF,

1999; DUVAL, 2006). Na próxima seção, discuto com mais detalhes estas

interpretações, os avanços na área e as implicações para pesquisas futuras.

2.6 Interpretações e implicações da literatura

A história do ensino de matemática no Brasil e no mundo nos mostra que o

trabalho com provas e demonstrações pode ocorrer em dois extremos, do excesso de

formalismo ao excesso de empirismo, e que ambos não são capazes de promover

75

resultados significativos no que tange à compreensão dos estudantes a respeito do

que é uma prova e como é possível elaborá-la. Entretanto, o ínfimo desempenho de

nossos estudantes acerca do tema é explicado de diversas maneiras dentro da

literatura em Educação Matemática. Estas explicações vão além de apontar fatores

históricos para justificar nossa situação atual.

Pietropaolo et. al. (2009) analisaram a concepção de professores e

pesquisadores sobre a necessidade de implementação de provas e demonstrações

na educação básica. Os pesquisadores constataram que os professores pouco

utilizam demonstrações em suas aulas por acreditarem que este é um discurso

acessível para poucos alunos. Em contrapartida, quando se fala da prova de uma

maneira mais flexível em termos de formalismos, os mesmos participantes admitem a

possiblidade de um trabalho frutífero em sala de aula. Na mesma linha de pesquisa,

Almouloud e Fusco (2010) analisaram depoimentos de professores da educação

básica do estado de São Paulo e constataram que os mesmos trabalham pouco com

demonstrações ao ensinarem equações quadráticas porque (1) não querem assustar

os alunos uma vez que os mesmos não têm base para entendê-las, (2) não possuem

familiaridade com o ensino de demonstrações e (3) o livro didático não dá suporte a

esse ensino. Ambos os estudos apontam a necessidade de se trabalhar a questão do

ensino das provas e demonstrações nos cursos de formação inicial e continuada de

professores levando-se em conta uma perspectiva mais flexível.

Balacheff (1999) aponta a existência de um contrato didático natural nas salas

de aula da educação básica em que o professor assume a garantia da legitimidade e

validade epistemológica do conceito que está sendo construído de tal forma que o

estudante é privado de um acesso autêntico à problemática da verdade e da prova. O

pesquisador acredita que as dificuldades de ensino e aprendizagem de prova estão

relacionadas a este contrato e que a superação dessas dificuldades reside na

devolução ao estudante da responsabilidade matemática de suas produções, o que

poderia ocorrer por meio de situações de interação social promovidas em sala de aula.

Nesta mesma direção, Küchemann (2008) aponta que as dificuldades relativas à

prova estão relacionadas à falta de oportunidade dos estudantes engajarem num

processo de procura à estrutura inerente à determinada conjectura em sala de aula.

Reid e Zack (2009) apontam sugestões e afirmam que três características podem ser

combinadas a fim de favorecer o processo de prova: (1) colocar os estudantes numa

76

situação de formulação de conjecturas, (2) deixar para eles a responsabilidade de

formular um critério para avaliar as próprias respostas e as dos colegas, (3) colocar a

comunicação dos resultados como uma das metas do processo.

Para Duval (2006) e Duval e Egret (1989) as dificuldades de aprendizagem de

demonstrações estão relacionadas aos processos cognitivos demandados na sua

formulação. Os pesquisadores acreditam que, para provar, os estudantes precisam

estar conscientes dos diferentes significados das proposições usadas na dedução, e

ainda, estar conscientes dos diferentes processos de organização exigidos na

elaboração de uma prova: agrupar argumentos para formar uma cadeia dedutiva e

agrupar cadeias dedutivas para formar uma prova. Para a superação destas

dificuldades, ambos os estudos sugerem o uso de tarefas em sala de aula em que a

representação não-discursiva da prova seja intercalada com representações em

língua natural. Dois exemplos desse tipo de tarefas podem ser encontrados em

Almouloud (2003, p. 137-138).

No primeiro exemplo, a tarefa exige que o aluno complete, escrevendo sobre

as setas teoremas já conhecidos por ele, um esquema de rede que representa a prova

de uma propriedade sobre quadriláteros.

Figura 10: Tarefa de organização dedutiva - Esquema de rede. (ALMOULOUD, 2003, p. 137)

No segundo exemplo, a tarefa exige que o aluno organize um texto que

representa a prova da mesma propriedade sobre quadriláteros que foi organizada na

forma de rede anteriormente.

77

Figura 11: Tarefa de organização dedutiva - Texto. (ALMOULOUD, 2003, p. 138)

É possível notar que a proposição das duas tarefas aos alunos visa à

conversão de registros não-discursivos (rede) em registros discursivos em língua

natural (texto) como sugerem Duval e Egret (1989). Duval (2006) ainda acrescenta

que os estudantes somente serão capazes de tomar consciência da organização do

discurso de uma demonstração quando os mesmos realizarem tais tarefas de forma

independente do trabalho heurístico voltado à exploração de propriedades. Neste

contexto, as tarefas que envolvem argumentação social devem ser realizadas

separadamente das tarefas de organização dedutiva.

Na mesma linha das dificuldades cognitivas, Reid (2012) argumenta que o

processo de produção de demonstrações é marcado por um sentimento de

necessidade (feeling of necessity). O sentimento de necessidade também é apontado

por Duval (2006) como um dos pré-requisitos para demonstrar. Este sentimento está

relacionado à necessidade que temos de explicar situações e fenômenos com

argumentos não baseados na visualização e em acordos sociais. Ele é importante

para o convencimento, uma vez que neste contexto as conclusões somente são

78

alcançadas por meio de raciocínios baseados em afirmações anteriores das quais já

temos certeza da validade.

Tabela 1: Dificuldades dos estudantes no processo de prova: causas, sugestões e autores das

sugestões.

Causas Sugestões Pesquisadores

Professores pouco promovem

atividades que favoreçam o

processo de prova na sala de

aula.

Inserir novas abordagens para o

ensino de provas nos cursos de

formação de professores.

Pietropaolo (2005)

Pietropaolo et. al. (2009)

Almouloud e Fusco (2010)

O contrato didático mais comum

em sala de aula tem o professor

como legitimador do

conhecimento.

Mudança no contrato didático

de modo a deixar que os alunos

sejam responsáveis pela

formulação e validação de

conjecturas em situações de

interação social.

Garuti et. al. (1996)

Balacheff (1999)

Boero (1999)

Küchemann (2008)

Reid e Zack (2009)

Dificuldades cognitivas inerentes

ao processo de prova:

(1) O estudante precisa estar

consciente da organização

dedutiva do discurso.

Propor tarefas em que

representações não-discursivas

sejam intercaladas com

representações em língua

natural.

Duval e Egret (1989)

Duval (2006)

(2) O estudante precisa do

sentimento de necessidade.

Propor atividades em que o

raciocínio dedutivo seja a

melhor maneira de suportar e

explicar uma ideia ou opinião.

Duval (2006)

Reid (2012)

A tabela 1 apresenta de forma resumida as possíveis causas para as

dificuldades dos alunos em compreender e elaborar provas na matemática, as

sugestões apontadas na literatura para a superação destas dificuldades, e os autores

das respectivas sugestões.

Além das explicações para as dificuldades dos estudantes em compreender

e redigir provas, ainda existe a possiblidade de reinterpretações dos resultados de

pesquisa. Para o fato da maioria dos estudantes somente produzir provas empíricas,

por exemplo, o estudo de Healy e Hoyles (2000) mostrou que grande parte dos

participantes que construíram provas empíricas foi capaz de valorizar provas

baseadas em argumentos genéricos e explicativos. Eles reconheceram que os

argumentos construídos por eles não receberiam uma boa avaliação do professor.

Apesar de notarem o poder dos argumentos algébricos, os participantes afirmaram

79

que os exemplos particulares são meios poderosos de obter a convicção da verdade

de uma afirmação, principalmente quando ela não é familiar.

Healy e Hoyles (2000) ainda afirmam que, embora as provas dos estudantes

tenham sido pautadas em argumentos empíricos, muitos alunos apresentaram em

suas soluções a estrutura: produção de evidências – descoberta de padrões –

conferência de resultados (figura 5). As pesquisadoras argumentam que esta

abordagem está presente nas indicações curriculares que as escolas inglesas devem

seguir. Com isso, os resultados deste estudo indicaram que o currículo estava

influenciando a maneira dos estudantes apresentar suas provas.

Figura 12: Prova baseada na abordagem produção de evidências – descoberta de padrões –

conferência de resultados. (HEALY e HOYLES, 2000, p. 410)

Outro resultado que pode ser reinterpretado é o fato dos estudantes

precisarem de exemplos empíricos para confirmar uma conjectura mesmo depois de

ela ter sido provada de forma genérica. Uma das explicações para tal atitude é dizer

que os alunos não compreendem o poder generalizador de uma prova. Entretanto,

Küchemann e Hoyles (2009) perceberam que, em muitos casos, os alunos recorrem

a testes numéricos após uma prova para conferir a validade da estrutura do argumento

o qual eles construíram e para aumentar a confiança nas suas produções. Hanna

(2000) ainda afirma que para muitos estudantes o papel da prova tem o mesmo

significado que para os cientistas experimentais, como os físicos. Para estes, a prova

precisa ser acrescida de exemplos práticos para ter sentido. Neste contexto, o desafio

para os educadores seria levar os estudantes a mesclarem dedução e

experimentação, relacionando matemática e o mundo real.

80

Como foi discutido, muito já se foi estudado a respeito dos processos de

argumentação e prova no Brasil e fora dele. Entretanto, ainda existem muitas questões

para serem respondidas, principalmente questões que visam complementar os

resultados já divulgados na literatura. A seguir, eu apontarei algumas dessas questões

no intuito de fomentar discussões acerca da temática. Eu não pretendo responder a

todas elas nesta pesquisa, mas reconheço que muitas me serviram como inspiração

pra o design deste estudo.

Sabemos, por exemplo, que o baixo desempenho dos alunos no processo de

prova pode estar relacionado à falta de situações em sala de aula que engajem os

estudantes no mesmo. A ínfima presença deste tipo de situação também está atrelada

ao fato dos professores não se sentirem preparados para lidar com o processo de

ensino de provas na escola. Porém, ainda faltam estudos que visem esclarecer o que

exatamente deve ser abordado nos cursos de formação de professores para garantir

que o processo de prova faça parte da rotina escolar.

Outro aspecto que ainda precisa ser mais bem estudado é até que ponto as

situações de interação social ajudam ou não os estudantes a produzirem provas. Em

que medida este tipo de situação favorece ou enfraquece a construção de um

sentimento de necessidade que leva os estudantes a preferirem explicações

baseadas no raciocínio dedutivo ao invés daquelas baseadas em casos específicos?

Além disso, se considerarmos uma perspectiva mais flexível no ensino, valorizando

situações de exploração e formulação de conjecturas, que tipo de prova os alunos

serão capazes de produzir? Em que medida estas provas vão se aproximar ou se

distanciar das demonstrações?

Ainda não está claro o papel que a tecnologia digital pode ter no processo de

ensino e aprendizagem de provas. Alguns estudos consideram que ambientes de

geometria dinâmica, tais como o Cabri Géomètre II e o Geogebra, possuem grande

potencial para encorajar os alunos a explorar e provar porque eles favorecem a rápida

proposição e teste de conjecturas (HANNA, 2000) ou porque eles podem mediar o

significado da conjectura e das afirmações condicionais no contexto da geometria

(MARIOTTI, 2012). Entretanto, ainda não está claro em que medida as visualizações

promovidas por tais recursos podem trazer à tona a necessidade de explicações

pautadas no raciocínio dedutivo, uma vez que é possível ficar convencido pelo

dinamismo da tela do computador.

81

Os ambientes computacionais têm sido o palcos de muitos estudos

relacionados ao processo de ensino e aprendizagem de matemática por darem

dinamismo às já existentes representações de conceitos e por oferecem novos meios

de representá-los. Porém, ainda temos poucos estudos que mostram como estas

novas representações levam à formulação de novos tipos de argumentos e novas

maneiras de provar conjecturas nas salas de aula.

É possível notar que grande parte dos estudos envolvendo o processo de

prova na educação foi realizada no contexto da geometria ou da geometria dinâmica

(BALACHEFF, (1982), DE VILLIERS, (2001), GARUTI et. al. (1996), KNIPPING

(2003), MARIOTTI (2012), MORENO-ARMELLA e SRIRAMAN (2005), PAIS (2010) e

SALES e PAIS, (2010)). Estes contextos geralmente são classificados como frutíferos

devido ao grande potencial para a realização de provas baseadas no raciocínio

dedutivo; porém, restringir a abordagem das provas a contextos geométricos pode dar

aos estudantes a falsa impressão de que esse tipo de discurso não é necessário em

outras áreas da matemática. Vejo que ainda faltam estudos no campo da educação

matemática voltados para a elaboração de sequências de ensino as quais relacionem

o processo de provas com tópicos relacionados à Teoria dos Números, Funções,

Trigonometria, Probabilidade, etc.

Pensando em muitas das limitações das pesquisas envolvendo o ensino e

aprendizagem de provas e o uso de tecnologias no ensino de matemática, construí

minhas questões de pesquisa e vislumbrei uma metodologia para respondê-las. Nas

próximas seções deste texto, apresento estas questões e esclareço como eu decidi

abordá-las.

2.7 Objetivos e questões de pesquisa

Ao sintetizar as reflexões apresentadas nos dois primeiros capítulos desta

tese, foi possível constatar que o ensino de provas na escola é importante por

caracterizar o “fazer matemática” e distinguir esta ciência das outras. A prática de

justificar afirmações com provas pode trazer compreensão aos alunos a respeito dos

conceitos envolvidos em sua atividade e, além disso, pode ser uma oportunidade para

o trabalho com a exploração, a observação sistemática e a formulação de conjecturas.

82

Apesar da importância do ensino das provas, encontrei evidências de seu

abandono em sala de aula, principalmente em contextos fora da Geometria (PIRES,

2006; PAIS, 2010). Este abandono pode estar relacionado a diversos fatores. Um

deles é a dificuldade de compreensão, por parte dos alunos, da linguagem algébrica

e da estrutura formal da prova, pelo fato da mesma necessitar de representações que

vão além da linguagem natural, tão familiar ao aprendiz. Em contrapartida, encontrei

também evidências de que o uso de computadores, atrelado a tarefas específicas,

envolvendo o uso de múltiplas representações de conceitos, pode ser um recurso o

qual contribui para a superação de dificuldades associadas à aprendizagem de

conceitos algébricos (KIERAN e YERUSHALMY, 2004).

Diante destas considerações, planejei a criação e a utilização de um ambiente

computacional, o Consecutivo, o qual proporcionasse aos estudantes da educação

básica a exploração de propriedades relativas à Teoria dos Números, a formulação

de conjecturas e a elaboração de suas respectivas justificativas formais. Um ambiente

que valorize a interação, a troca de ideias entre os estudantes, que seja permeado

por recursos tecnológicos e por tarefas adequadas pode contribuir positivamente para

o processo de formulação de conjecturas e justificativas formais. Além disso, acredito

que um ambiente como este também possa fomentar o retorno das provas como uma

prática significativa em sala de aula.

Sendo assim, eu norteei minhas ações nesta pesquisa a fim de alcançar três

objetivos centrais:

(1) Desenvolver um ambiente computacional o qual proporcione ao aluno

da educação básica uma interação com propriedades relativas à Teoria dos Números.

(2) Desenvolver uma sequência de tarefas, para serem realizadas pelos

alunos neste ambiente computacional, que tenham como finalidade a exploração,

formulação de conjecturas e elaboração de justificativas formais para tais

propriedades.

(3) Aplicar as tarefas elaboradas na sala de aula para verificar em que

medida a interface do ambiente computacional desenvolvido contribui com o processo

de elaboração de justificativas formais.

83

O Capítulo 4 desta tese é destinado à discussão dos objetivos 1 e 2. Nesta

seção, descrevo o desenvolvimento do Consecutivo24 e das tarefas que fazem parte

do ambiente. Além disso, no capítulo subsequente, apresento as modificações

ocorridas na interface do programa e no texto das tarefas em função da observação

das interações dos participantes.

O terceiro objetivo é abordado em diversas seções deste texto. Uma breve

descrição da aplicação do ambiente com estudantes e professores é feita no Capítulo

3. A análise mais aprofundada das interações dos participantes com o Consecutivo é

realizada nos Capítulos 7 a 10. Esta análise teve como meta responder à seguinte

questão de pesquisa:

Com os recursos disponíveis no ambiente digital, qual é a natureza das

provas criadas pelos estudantes?

Determinar a natureza das provas dos estudantes implica mostrar como elas

foram apresentadas em termos de forma e conteúdo e evidenciar qual o processo que

as trouxe à tona. Desta maneira, duas questões de pesquisa auxiliares foram

elaboradas:

Como são as provas dos participantes em termos de conhecimento

matemático, representações e estrutura argumentativa?

Como as provas foram mediadas pela interação entre os estudantes, as

intervenções do pesquisador, a tecnologia e a tarefa?

Para responder a estas questões auxiliares, optei por uma metodologia

qualitativa na qual analisei as respostas escritas dos estudantes em conjunto com as

interações capturadas pela câmera enquanto eles realizavam as tarefas. Os detalhes

24 Vale ressaltar que Consecutivo é o nome do ambiente digital que eu construí e apliquei durante este doutorado.

84

da metodologia empregada na coleta e na análise dos dados da pesquisa serão

abordados nos Capítulos 3 e 6, respectivamente.

85

3. O DESIGN DA PESQUISA, OS PARTICIPANTES E A COLETA DE DADOS

Após revisão bibliográfica, percebi que a metodologia da pesquisa baseada

no design (DBR)25, ou simplesmente o experimento de design, vinha ao encontro dos

objetivos discutidos no Capítulo 2.7, uma vez que ela pode ajudar a criar e estender o

conhecimento sobre como desenvolver, implementar e sustentar ambientes de

aprendizagem inovadores (DBRC26, 2003, p. 05).

Segundo o DBRC (2003), a DBR tem como premissa a criação de ambientes

de aprendizagem, cujos objetivos estão interligados ao desenvolvimento de teorias.

Estas teorias são constituídas e testadas no desenvolvimento da própria pesquisa.

Segundo Cobb et. al (2003), a DBR possui uma natureza altamente intervencionista e

seu principal objetivo é melhorar o design inicial por meio de testes e revisões de

conjecturas.

Figura 13: Esquema da Metodologia Baseada no Design.

Na DBR, a pesquisa se desenvolve por meio de ciclos contínuos de design,

implementação, análise e redesign de ambientes de aprendizagem. Ela precisa

25 Nas pesquisas internacionais, a metodologia de pesquisa baseada no design é conhecida como Design-Based

Research, ou simplesmente DBR. Eu manterei a sigla em inglês para que haja um fácil reconhecimento pela

comunidade científica da metodologia empregada nesta tese. 26 Design-Based Research Collective.

86

explicar como estes ambientes funcionam em situações autênticas e de que modo a

análise dos resultados das implementações podem fazer emergir avanços nas teorias

existentes sobre ensino e aprendizagem, ou ainda, promover o surgimento de novas

hipóteses, conjecturas e teorias. O esquema da Figura 13 exemplifica a dinâmica da

metodologia baseada no design.

Seguindo os pressupostos da DBR, esta pesquisa foi realizada em cinco

fases, como mostra a Figura 14.

Figura 14: Fases desta pesquisa.

A primeira fase contemplou todo o desenvolvimento da interface e das tarefas

do Consecutivo. Toda discussão a respeito desta etapa é apresentada no Capítulo 4.

Com a interface do ambiente concluída, parti para uma etapa de testes com

poucos alunos e professores. Estes testes visaram principalmente o aprimoramento

das ferramentas disponibilizadas, a reparação de problemas de ordem computacional

e a reestruturação das tarefas, caso houvesse necessidade.

Após os devidos ajustes e modificações, o Consecutivo foi testado numa sala

de aula de uma escola pública e os dados coletados em todas as etapas foram

analisados a fim de responder minhas questões de pesquisa. A descrição de toda esta

etapa encontra-se nos Capítulos 7 a 10.

De acordo com Balacheff (1999) e Hunter (2007) ambientes de interação

social que oferecem ao estudante a possibilidade de argumentar podem aumentar a

qualidade de suas justificativas e explicações matemáticas. Além disso, Toulmin

Fase 1: Criação

do Consecutivo

Fase 2: Teste em

escala reduzida,

análise e redesign

Fase 4: Teste em

ambiente

autêntico Fase 5: Análise de todas

as interações e

sugestões para

aplicações futuras.

Fase 3: Testes

com professores,

análise e redesign

87

(2003) e Hollebrands et. al. (2010) afirmam que numa argumentação, quando uma

conjectura é declamada por alguém e desafiada por outrem, há uma intensa fase de

produção de justificativas para suportá-la. Estas discussões me fizeram perceber que

para impulsionar e estimular o debate, a proposição de conjecturas e a formulação de

argumentos entre os estudantes, o mais interessante seria que os mesmos

trabalhassem em duplas ou em grupos enquanto estivessem lidando com o ambiente.

Por este motivo, todos os testes do Consecutivo foram realizados com duplas ou trios

de estudantes, de tal modo que a responsabilidade da formulação de conjecturas e

justificativas ficou para eles.

A seguir, discuto de forma sintetizada as principais características de cada

teste que realizei com o Consecutivo. Minha intenção é mostrar os principais objetivos

de cada um, bem como descrever a metodologia utilizada para a coleta de dados e as

principais interações que ocorreram em cada encontro.

3.1 Teste em escala reduzida

O primeiro teste com o Consecutivo teve como objetivos: (1) verificar em que

medida a interface do programa era acessível e de fácil manipulação pelo estudante,

(2) observar e descrever as possíveis dificuldades e facilidades de compreensão das

representações de conceitos matemáticos e das tarefas oferecidas pelo programa, (3)

detectar problemas na interface, nas representações e no texto da tarefas, e (4) coletar

dados para a análise qualitativa que visava compreender o processo de formulação

de conjecturas e justificativas formais com o Consecutivo.

O teste foi realizado com quatro estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental

de uma escola privada localizada na cidade de Santos/SP. A escola escolhida era a

mesma em que eu trabalhava na época do teste. Esta escolha deveu-se a alguns

fatores que vinham ao encontro das necessidades da pesquisa: (1) por trabalhar na

escola, eu já sabia que a mesma possuía salas de trabalho com computadores

disponíveis, (2) a reação do diretor da escola foi extremamente positiva com relação

à proposta da pesquisa e à requisição da escola como participante, (3) eu já conhecia

os estudantes, o que poderia favorecer a interação e participação ativa dos mesmos

nas atividades.

88

Como eu já conhecia os alunos da escola, selecionei seis deles, baseando-

me em seus desempenhos e desenvoltura nas aulas de matemática. Selecionei três

meninas e três meninos. Três participantes possuíam excelente desempenho em

matemática e os outros três, desempenho mediano. Os seis alunos selecionados

foram convidados por mim para participar do teste. Quatro deles aceitaram o convite.

Esses quatro apresentaram suas disponibilidades de horário extra classe e,

baseando-me nelas, formei duas duplas, uma dupla de meninos e uma dupla de

meninas, as quais eu chamo, respectivamente, de G&N e B&G.

De forma geral, os participantes do primeiro teste eram alunos dedicados na

escola. Eles estudavam uns com os outros, na mesma instituição, desde os primeiros

anos das suas vidas escolares. Eles eram falantes, participativos e, geralmente, não

se sentiam acanhados em apresentar suas ideias na frente das outras pessoas do

grupo. Estas características foram fundamentais durante o primeiro teste do

Consecutivo, considerando os objetivos que delineei para esta etapa.

Os meninos da dupla G&N realizaram as atividades do teste no dia 22 de

março de 2012. Eles precisaram de duas horas para completar todas as tarefas

presentes na interface do programa. Trabalharam em dupla no mesmo computador,

mas redigiram suas respostas em papéis separados.

As meninas da dupla B&G participaram do teste nos dias 23 e 30 de março

de 2012. Cada encontro teve duração de uma hora e meia. Neste caso, dois encontros

foram necessários, pois as participantes precisaram de mais tempo para completar as

atividades solicitadas. As estudantes trabalharam em dupla no mesmo computador e

redigiram sua solução num único papel, pois a participante B estava com uma lesão

nas mãos e não podia escrever.

Ambas as duplas tiveram suas interações vídeo-gravadas durante toda a

atividade. A câmera foi posicionada de forma a capturar as discussões dos

participantes e suas ações na tela do computador (Figura 15).

89

Figura 15: Disposição da câmera no primeiro teste do Consecutivo

Assim que os participantes chegaram à sala onde a atividade se realizaria,

expliquei a proposta da pesquisa resumidamente e enfatizei que gostaria que eles

tentassem resolver as tarefas e observar o funcionamento do programa a fim de

oferecer críticas e sugestões.

Cada dupla recebeu folhas de sulfite com espaços específicos para redigir as

respostas das tarefas as quais apareceriam na tela do computador. Além disso, ao

final da atividade, cada participante respondeu a um questionário de opinião sobre o

Consecutivo (Anexo I).

Durante o primeiro teste, atuei como observadora, pesquisadora e professora.

Minhas intervenções ocorriam quando os participantes apresentavam

questionamentos e dúvidas, ou ainda, ao perceber que os participantes estavam

“bloqueados” numa das tarefas e precisavam de poucas explicações auxiliares.

De forma geral, os participantes se empenharam em responder às tarefas

propostas e se mantiveram comprometidos até o final do teste. Eu não observei

dificuldades dos participantes em acessar e manusear as ferramentas disponíveis na

interface. No começo das interações, ambas as duplas estavam bastante motivadas

e as tarefas iniciais foram realizadas com muita facilidade, como já era esperado. Esta

motivação diminuiu um pouco, quando as tarefas começaram a ficar mais complexas.

No desenrolar da atividade, ambas as duplas fizeram muitos questionamentos

sobre as representações e sobre os objetivos das tarefas, principalmente aquelas em

que se exigia uma justificativa mais formal. Ao final das interações, as duplas

preencheram um questionário de opinião. Neste questionário, todos os participantes

tiveram a oportunidade de apresentar críticas e sugestões sobre cada ferramenta e

cada tarefa realizada. Por muitas vezes, eles afirmaram ter gostado do programa e

90

das ferramentas da interface. Eles também se mostraram contentes por terem

participado de uma pesquisa científica.

3.2 Teste com professores

O segundo teste do Consecutivo teve como objetivos: (1) capturar a opinião

de professores a respeito da pertinência e do grau de dificuldade das ferramentas e

tarefas presentes no Consecutivo, (2) detectar problemas na interface, nas

representações e no texto da tarefas, uma vez que o programa havia sido aprimorado

desde o primeiro teste, e (3) obter sugestões para a melhoria do ambiente.

O teste foi realizado com dez professores da educação básica de escolas

públicas que participavam de um curso de formação continuada organizado por

pesquisadores da Universidade Anhanguera de São Paulo27. As interações ocorreram

nas dependências de uma das unidades da Diretoria de Ensino da cidade de São

Paulo, no dia 14 de junho de 2012.

Iniciei o encontro com os professores apresentando-me e apresentando o

contexto em que o Consecutivo foi desenvolvido. Mostrei o programa a todos e

expliquei que gostaria que o mesmo fosse avaliado pelo grupo e que esperava críticas

e sugestões. Para auxiliar a avaliação, entreguei a cada participante um questionário

de opinião o qual poderia ser preenchido conforme o mesmo fosse manipulando a

interface (Anexo II).

As interações do grupo foram vídeo-gravadas por uma câmera posicionada

de modo a capturar as ações do grupo como um todo. Durante todo o encontro,

participei como observadora. Fiz também intervenções toda vez que um participante

apresentava uma dúvida com relação ao programa ou à pergunta no questionário de

avaliação.

De modo geral, os professores foram solícitos e se empenharam em atender à

proposta do encontro. Ao analisar os vídeos, percebi que os professores se dividiram

implicitamente em dois grupos: (1) aqueles que se dedicaram a responder o que era

27 Os professores faziam parte do Programa Observatório da Educação, financiado pela Capes, organizado por

docentes e pesquisadores da Universidade Anhanguera de São Paulo e sediado na Diretoria de Ensino da cidade

de São Paulo.

91

pedido no questionário de avaliação, analisando as tarefas, a interface e apresentando

sugestões como um avaliador externo, (2) aqueles que tentaram responder as tarefas

do programa, como se fossem alunos, para depois avaliá-lo.

Os professores deste segundo grupo se envolveram em diversas discussões

coletivas a respeito das possíveis soluções das tarefas. Eles chegaram a propor

conjecturas e provas a respeito do conteúdo das mesmas. Uma discussão particular

surgiu a respeito da relação entre a paridade da soma de números consecutivos e a

quantidade de parcelas nesta soma. Duas professoras, por exemplo, conjecturaram

em voz alta que a soma de uma sequência de consecutivos daria par, sempre que a

quantidade de parcelas fosse par e que a soma daria ímpar, sempre que a quantidade

de parcelas fosse ímpar. Imediatamente, outro professor interrompeu a discussão

fornecendo contraexemplos gerados pela interação dele com o Consecutivo (com dois

consecutivos a soma é ímpar). As professoras refletiram sobre os contraexemplos

apresentados e encontraram seus próprios contraexemplos (a soma de seis números

consecutivos é sempre ser ímpar).

É possível dizer que o programa teve uma avaliação positiva dos professores.

Eles identificaram alguns problemas na interface e no texto das tarefas e ofereceram

diversas sugestões para a melhoria do ambiente. Uma professora, por exemplo, notou

que em algumas ocasiões um traço bem comprido era desenhado incorretamente num

dos painéis de representação. Outro professor notou que os vídeos de ajuda não

tinham imagem, somente som. Muitos professores comentaram que seria interessante

fazer uma revisão sobre fatoração e divisibilidade com os alunos antes de utilizar o

programa em sala de aula, alegando que as tarefas e representações exigiam certos

pré-requisitos por parte dos estudantes.

3.3 Teste em ambiente autêntico

O terceiro, e último teste do Consecutivo, teve como objetivos (1) observar e

descrever as possíveis dificuldades e facilidades de compreensão das representações

de conceitos matemáticos e das tarefas oferecidas pelo programa, e (2) coletar dados

para a análise qualitativa que visava compreender o processo de formulação de

conjecturas e justificativas formais com ambiente.

92

O teste ocorreu numa escola pública da cidade de São Paulo, com 29

estudantes do 2º ano do Ensino Médio. A escola escolhida está situada nas

proximidades da Universidade Anhanguera de São Paulo e alguns discentes da

universidade são também docentes desta instituição, o que favoreceu o contato com

a direção e a aceitação para a participação na pesquisa.

As interações ocorreram no horário de uma das aulas de matemática da

turma, na sala de informática da escola, no dia 10 de agosto de 2012. Neste encontro,

os alunos formaram por si mesmos 13 duplas e um trio. A professora de matemática

da turma esteve presente durante toda a interação e atuou como auxiliar,

respondendo a questionamentos e dúvidas dos participantes. Logo no início da

sessão, eu me apresentei e descrevi o contexto da pesquisa, enfatizando aos

estudantes que eles seriam participantes que colaborariam com o desenvolvimento

do Consecutivo. Durante esta conversa inicial, solicitei uma dupla voluntária para que

eu pudesse vídeo-gravar as interações da mesma. Os participantes ficaram bastante

acanhados neste momento, mas uma dupla, com uma menina e um menino, se

apresentou como voluntária. Esta dupla eu chamarei de L&M ao longo do texto. Eu

posicionei duas câmeras na sala. Uma delas capturou imagens da dupla voluntária e

a outra capturou imagens do grupo como um todo (Figura 16).

Figura 16: Disposição das duplas participantes no terceiro teste do Consecutivo.

Cada dupla recebeu folhas específicas para registrar as respostas das tarefas

propostas. Além disso, cada estudante recebeu um questionário de opinião para

oferecer críticas e sugestões para a melhoria do programa (Anexo III). Ao final do

encontro, uma discussão coletiva foi realizada com o grupo a fim de coletar as

impressões dos participantes a respeito da interface e das tarefas.

93

Durante as interações, atuei como observadora, pesquisadora e auxiliar.

Como observadora e pesquisadora, fiz diversas anotações a respeito do

desenvolvimento da atividade. Como auxiliar, respondi a questionamentos e dúvidas

dos participantes.

Como eu não conhecia os participantes, entrevistei brevemente a professora

da turma no mesmo dia do encontro. Ela me informou que os alunos apresentavam

ótimo desempenho na escola, principalmente em matemática. Ela atribuiu este

interesse dos estudantes ao fato de os mesmos fazerem parte do curso técnico de

análise de sistemas na própria escola. Este curso é bastante disputado e tem a

tendência de captar bons alunos todos os anos, durante o processo seletivo.

Durante o encontro, os participantes se mostraram bastante interessados no

programa. Eles se empenharam em realizar as tarefas, redigindo respostas claras e

completas. Muitos deles trocavam ideias a respeito do conteúdo das representações

e se ajudavam entre si na busca por ideias e soluções. Alguns participantes me

chamaram várias vezes para oferecer sugestões, inclusive a respeito de como criar

novas ferramentas para a interface. A sessão teve duração de 100 minutos, o

equivalente a duas aulas de matemática que eles teriam no dia. Este tempo pareceu

insuficiente, uma vez que algumas duplas alegaram não ter completado todas as

tarefas presentes no programa.

3.4 O conjunto de dados

Depois dessa fase de testes e redesign da interface e das tarefas, passei a

ter um conjunto de dados composto por (1) repostas escritas de duas duplas de

estudantes do Ensino Fundamental e 14 duplas de estudantes do Ensino Médio, (2)

interações vídeo-gravadas de duas duplas de estudantes do Ensino Fundamental e

uma dupla de estudantes do Ensino Médio, (3) interações vídeo-gravadas de uma sala

de aula de estudantes do Ensino Médio, (4) interações vídeo-gravadas de professores

de matemática da educação básica, (5) questionário de opinião de estudantes e

professores, e (6) minhas anotações enquanto observadora em cada teste.

Os dados coletados foram organizados em duas etapas. A primeira etapa

ocorreu ao final de cada coleta e visava buscar elementos para o redesign do

94

ambiente. Neste momento, lidei apenas com minhas anotações, com as respostas dos

participantes nos questionários de opinião e com alguns elementos dos vídeos

coletados. Uma descrição mais aprofundada de como estas informações

influenciaram o redesign do ambiente consta do Capítulo 5.

A segunda etapa ocorreu depois do último teste do ambiente e visava a busca

por elementos para responder minhas questões de pesquisa. Esta fase foi bem mais

longa que a anterior e exigiu que eu adotasse diversos procedimentos e critérios de

organização e análise de dados.

Comecei a segunda etapa revendo os vídeos das interações das três duplas

de estudantes. Neste momento, transcrevi todas as falas de cada um dos participantes

destas duplas.Meu próximo passo foi assistir aos vídeos das interações do grupo de

estudantes como um todo no terceiro teste e às interações dos dez professores

participantes. Neste caso, não foi possível transcrever as falas de todos, uma vez que

as câmeras forneciam apenas uma visão geral do ambiente. Entretanto, eu assisti às

gravações tentando observar macro características, tais como a motivação do grupo,

a agitação dos participantes, o número de solicitações de ajuda, o envolvimento do

grupo com as tarefas propostas etc. Eu criei pequenos protocolos para cada vídeo

assistido, os quais continham a descrição dos principais acontecimentos, minhas

impressões e opiniões.

Nesta segunda etapa, eu também organizei e analisei as respostas escritas

das tarefas propostas no ambiente redigidas pelas duplas participantes no primeiro e

terceiro testes, bem como todas as respostas dos questionários de opinião.

Para facilitar o processo de análise na segunda etapa, dividi meu conjunto de

dados em pequenas unidades. Cada unidade correspondia ao par formado por uma

dupla de estudantes e sua respectiva resposta para uma tarefa específica (dupla;

tarefa). Assim, são exemplos de unidades a dupla B&G com a Tarefa Exploratória 1,

ou ainda, a dupla L&M com a Tarefa de Organização 3. Todas as unidades continham

dados provenientes das respostas escritas dos participantes e dos questionários de

opinião e, algumas delas, também contavam com informações provenientes dos

vídeos.

95

Tabela 2: Unidades de Análise

Teste Nível Dupla Tarefas

Realizadas

Respostas

Escritas

Vídeo Opinião Unidades

1º EF B&G 24 X X X 24

1º EF G&N 24 X X X 24

3º EM L&M 18 X X X 18

3º EM A&D 18 X X 18

3º EM B&D 18 X X 18

3º EM G&D 18 X X 18

3º EM G&Ni 18 X X 18

3º EM H&C 18 X X 18

3º EM L&P 18 X X 18

3º EM L&G 18 X X 18

3º EM M&V 18 X X 18

3º EM M&Y 18 X X 18

3º EM M&C 18 X X 18

3º EM M&S&M 18 X X 18

3º EM O&V 18 X X 18

3º EM R&Y 18 X X 18

300 300

Na Tabela 2, pode-se observar de forma resumida as características de cada

unidade. É possível perceber que este processo de organização dos dados levou à

formação de 300 unidades de análise. Ao longo deste texto, denomino estas unidades

de análise de “caso”28. O leitor notará que, por muitas vezes, eu me refiro ao caso da

dupla B&G na Tarefa Provar 2, ao caso da dupla L&M na Tarefa Explorar 4, e assim

por diante.

Cabe ressaltar que, nesta segunda etapa, eu priorizei as respostas dos

estudantes e as interações dos mesmos com o Consecutivo devido à natureza das

minhas questões de pesquisa. Por este motivo, as minhas anotações durante os

testes e os dados dos vídeos e dos questionários dos professores participantes não

foram mencionados na Tabela 2; entretanto, devo reconhecer que estas informações

28 Estou usando a palavra “caso” no senso comum. Aqui, caso é uma situação específica, uma ocorrência. Não há

relação com a ideia de “estudo de caso” discutida na literatura em educação matemática.

96

foram utilizadas com frequência como fonte de triangulação. Uma descrição mais

aprofundada da metodologia que eu utilizei para analisar estas unidades é proposta

no Capítulo 6.

97

4. O DESIGN DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO

Neste capítulo, dissertarei a respeito do desenvolvimento da interface do

Consecutivo e das tarefas presentes no ambiente. Minha intenção é fazer uma

apresentação detalhada do programa, destacando, dessa forma, as principais

ferramentas as quais foram colocadas à disposição dos estudantes, bem como

explicar a presença das mesmas com elementos da revisão de literatura.

Além da discussão sobre o desenvolvimento da interface, apresento a

sequência de tarefas que foram elaboradas com a intenção de fomentar o processo

de prova com o auxílio do Consecutivo. Discuto também porque estas tarefas

pareceram pertinentes ao escopo desta pesquisa.

4.1 A interface

O Consecutivo é um ambiente computacional, desenvolvido por mim a partir

do software Imagine. O Imagine é considerado um Ambiente de Desenvolvimento

Integrado (ADI), ou seja, é um programa de computador, baseado numa linguagem

de programação específica, que permite ao usuário o desenvolvimento de outros

programas de computador. Em síntese, é possível criar outros programas e

aplicativos, usando o Imagine desde que se conheça a Linguagem Logo de

Programação.

Segundo Russi & Charão (2011) os ADI são muito usados como ferramenta

para ensinar uma linguagem de programação aos estudantes de cursos superiores

ligados à computação; entretanto, nesta pesquisa, não utilizei o Imagine para ensinar

a Linguagem Logo para estudantes. O software foi usado apenas para o

desenvolvimento do Consecutivo.

É possível utilizar o Imagine para realizar tarefas simples, como construir

polígonos com a tartaruga, e tarefas complexas, como construir outro software. Por

98

permitir a construção de novas ferramentas pelo usuário, o Imagine pode ser

considerado um micromundo nos moldes de Papert (1986).

A interface do Imagine é simples e organizada. Assim que o programa é

iniciado, o usuário se depara com uma página em branco. Na parte superior da janela

é possível observar uma barra de menus e uma barra de botões (Figura 17).

Figura 17: Interface do Imagine

O Imagine permite ao usuário salvar seus trabalhos na forma de projeto ou de

aplicativo; quando um trabalho é salvo na forma de projeto é possível modificá-lo

posteriormente, acrescentando ou retirando elementos da página. Quando o trabalho

é salvo na forma de aplicativo, ele se transforma num programa de computador o qual

funciona independentemente do Imagine.

O Imagine não é um software livre. Por este motivo, a elaboração da interface

do Consecutivo foi desenvolvida nas dependências da Universidade Anhanguera de

São Paulo a qual possui licenças para a utilização do mesmo. Para que os testes do

Consecutivo fossem realizados por estudantes e professores fora das dependências

da Universidade, o Consecutivo foi salvo na forma de aplicativo, o que fez seu uso

não depender da instalação do Imagine.

99

Figura 18: Interface da primeira versão do Consecutivo.

Na Figura 18, podemos observar a interface da primeira versão do

Consecutivo com o destaque para nove componentes:

(1) Uma reta numérica com um retângulo envolvendo uma sequência de

números consecutivos.

(2) Uma barra de rolagem a qual possibilita a escolha da quantidade de

números consecutivos. É possível escolher entre dois e dez números consecutivos.

(3) Uma barra de rolagem a qual possibilita a escolha do primeiro número a

compor a sequência de números consecutivos. É possível escolher entre 0 e 50.

(4) Um campo apresentando a soma dos números consecutivos escolhidos.

(5) Um campo apresentando o produto dos números consecutivos escolhidos.

(6) Uma barra de botões. Cada um dos botões dá acesso à visualização do

valor da soma e do produto dos números consecutivos escolhidos com outra

representação a qual poderá ser numérica, algébrica ou figural.

(7) Um painel que mostra a representação da soma e/ou do produto dos

números consecutivos na forma escolhida pelo aprendiz.

(8) Um botão que dá acesso a informações a respeito da representação

escolhida.

100

(9) Um painel onde aparecem tarefas a serem realizadas pelos estudantes.

Nesta versão, as tarefas elaboradas foram distribuídas em duas seções: Tarefas

Exploratórias e Tarefas de Prova. É possível aparecer no painel, por exemplo, uma

tarefa que solicite ao estudante a prova de que a soma de três números consecutivos

é divisível por três ou de que o produto de dois números consecutivos é um número

par.

Os primeiros elementos construídos na página do Imagine durante o

desenvolvimento do Consecutivo foram as barras de rolagem 2 e 3 (Figura 19), as

quais permitem ao usuário escolher, respectivamente, a quantidade de números

consecutivos que se deseja selecionar na reta e o primeiro número desta sequência.

Ao lado esquerdo de cada uma destas barras é possível observar uma caixa de texto,

indicando o valor em que elas se encontram, entre o mínimo e o máximo estabelecidos

por mim. Abaixo de cada barra, há uma caixa de texto, indicando a função das

mesmas.

Figura 19: Barras de Rolagem

Quando se coloca uma barra de rolagem na página do Imagine, podemos

decidir o comprimento e a largura da mesma e definir o valor mínimo e máximo que

ela alcançará. Levando-se em consideração as dimensões da página do Imagine, que

inicialmente está configurada em 800 x 500 unidades29, e a quantidade de elementos

que se colocaria nessa página, estabeleci as dimensões de cada barra em 100 x 20

unidades.

Os limites das barras de rolagem 2 e 3 foram estabelecidos, pois levei em

consideração outros componentes da página do Consecutivo: a reta numérica, o valor

da soma e do produto dos números consecutivos.

Grande parte dos elementos gráficos construídos na página do Imagine são

desenhados por “tartarugas” as quais obedecem a comandos na Linguagem Logo.

29 O Imagine possui um sistema de unidades próprio baseado nas distâncias entre os pixels da tela.

101

Para a construção da reta numérica do Consecutivo foram usadas duas “tartarugas”.

Uma delas foi responsável por desenhar a reta numérica na tela. A outra foi

responsável por desenhar o retângulo que envolve a sequência de números

consecutivos (Figura 20 e Figura 21).

Figura 20: Barra de Rolagem e Reta

Numérica

Figura 21: Barra de Rolagem e Reta Numérica

A reta numérica e o retângulo que a envolve foram programados para mudar

de tamanho, conforme os valores estabelecidos nas barras de rolagem 2 e 3. Devido

à página do Imagine possuir largura máxima de 800 unidades, limitei o comprimento

da reta em quatro unidades a mais do que a quantidade de números consecutivos

escolhidos na barra de rolagem 2. Esta limitação física fez com a barra de rolagem 2

contemplasse no máximo dez números consecutivos.

Ao lado direito das barras de rolagem 2 e 3, foram inseridas caixas de texto

apresentando o valor da soma e do produto dos números consecutivos selecionados

na reta numérica. Estas caixas de texto receberam rótulos para que o usuário pudesse

compreender o que significavam aqueles números na página (Figura 22).

Figura 22: Soma e Produto

102

Há uma grande gama de comandos Logo ligados às operações matemáticas.

Há comandos Logo para somar, subtrair, multiplicar, dividir, obter a potência e a raiz

de números reais; porém, quando o resultado destas operações é um número com

mais de nove dígitos, o Imagine apresenta uma solução na forma de notação

científica. Isto foi um problema a ser superado, durante o desenvolvimento do

Consecutivo, pois grande parte dos valores que representa o produto dos números

consecutivos possuía mais de nove dígitos (Figura 23). Assim sendo, pensando no

princípio da fidelidade pedagógica, desenvolvi novos algoritmos para a realização de

operações matemáticas para que os resultados das mesmas nunca aparecessem na

forma de notação científica, o que supostamente dificultaria a compreensão do

aprendiz a respeito das propriedades do produto de números consecutivos. Com os

novos algoritmos, os resultados passaram a ter muitos dígitos, o que me fez

estabelecer um limite entre 0 e 50 para os valores do primeiro número da sequência

de consecutivos, na barra de rolagem 3, como mostra a Figura 23.

Figura 23: Produto de consecutivos com muitos dígitos

Ao seguir os princípios do dinamismo e da executabilidade, construí as barras

de rolagem 2 e 3 de modo que as mesmas agissem como hot spots. Desta forma,

qualquer movimento realizado sobre estas barras altera de forma sincronizada a reta

numérica e todas as representações da soma e do produto dos números consecutivos.

Levando-se em consideração o princípio das múltiplas representações de

conceitos matemáticos, desenvolvi cinco botões os quais dão acesso a cinco painéis,

cada um contendo uma representação diferente para a sequência de consecutivos,

sua soma e produto (Figura 24).

103

Figura 24: Botões de Representação

Por meio do botão Fatoração é possível acessar um painel contendo a forma

fatorada de cada número da sequência de consecutivos selecionada na reta numérica

(Figura 25).

Figura 25: Fatoração

Com o botão Resto, acessa-se um painel contendo cada um dos números

consecutivos na forma D = dQ + R, em que D representa o dividendo, d representa o

divisor, Q o quociente e R o resto da divisão de D por d. Neste painel, há uma barra

de rolagem a qual permite ao estudante modificar o valor do divisor d (Figura 26).

104

Figura 26: Resto

A partir do botão Algébrico, podemos acessar um painel contendo uma

representação algébrica para cada número consecutivo da sequência selecionada na

reta numérica (Figura 27).

Figura 27: Algébrico

Ao acionar o botão Soma Tartaruga, o estudante visualiza um painel com uma

quantidade de tartarugas dispostas de forma retangular. A quantidade de tartarugas

presentes no retângulo é um número menor ou igual à soma dos números

105

consecutivos. Quando a quantidade de tartarugas no retângulo é menor que a soma

dos números consecutivos, é possível ver uma fila de “mini tartarugas” ao lado do

retângulo. A quantidade de “mini tartarugas” é equivalente ao valor necessário para

que a quantidade de tartarugas dentro do retângulo se torne igual à soma dos números

consecutivos.

O estudante pode alterar a quantidade de tartarugas presentes na altura do

retângulo. Por este motivo, a representação retangular pode ser associada à operação

de divisão, uma vez que o estudante pode definir em quantas “filas de tartaruga”

deseja dividir a soma dos números consecutivos. Desta maneira, a largura do

retângulo representaria o quociente e as “mini tartarugas” representariam o resto

dessa divisão (Figura 28).

Figura 28: Soma Tartaruga (a)

Ao levarmos em consideração o princípio da fidelidade matemática e a

limitação espacial da página do Imagine, quando a soma dos números consecutivos

ultrapassa 100, a representação retangular é alterada colocando-se reticências entre

as filas de tartarugas formadas (Figura 29).

106

Figura 29: Soma Tartaruga (b)

Por fim, com o botão Produto Retangular, o estudante visualiza um painel com

um retângulo cuja área é um valor menor ou igual ao produto dos números

consecutivos selecionados. Quando a área do retângulo é menor que o produto dos

números consecutivos, é possível observar uma mensagem ao lado do retângulo

mostrando a diferença entre o produto e área (Figura 30).

Figura 30: Produto Retangular (a)

107

Quando a área é igual ao produto, observa-se outra mensagem atestando a

igualdade entre os valores (Figura 31). Pelo fato do estudante poder alterar a medida

da altura do retângulo, esta representação retangular pode ser associada à operação

de divisão. Neste contexto, a largura do retângulo representaria o quociente e as

mensagens que aparecem próximas ao retângulo indicariam o resto da divisão do

valor do produto dos números consecutivos pela medida da altura.

Figura 31: Produto Retangular (b)

Considerando o princípio do suporte ao aprendiz, disponibilizei, em todos os

painéis de representação, um botão de informação para que o estudante pudesse

sanar eventuais dúvidas durante a realização das tarefas (Figura 32). Minha intenção

foi a de tentar reduzir as possíveis intervenções do professor, uma vez que muitos

questionamentos sobre as representações poderiam ser esclarecidos coma a leitura

de um texto de suporte.

O botão informação não pode ser considerado uma “ajuda inteligente” nos

moldes de Noss et. al. (2012). Em Noss et. al. (2012), as informações de ajuda

apareciam na tela do computador de forma automática, de acordo com as dificuldades

dos estudantes capturadas pelo programa durante as interações. No Consecutivo,

esta ajuda está disponível na tela e somente é acionada se o aluno pressionar o botão

108

informação. O texto apresentado na tela é padrão e não se modifica de acordo com

as necessidades do estudante.

Figura 32: Painel de Informação

O último elemento inserido na página do Consecutivo foi um painel contendo

dois botões que dão acesso às tarefas a serem realizadas pelo estudante. A princípio,

foram elaborados dois tipos de tarefa: as Tarefas Exploratórias e as Tarefas de Prova

(Figura 33).

Figura 33: Painel de Tarefas

O primeiro botão dá acesso a um painel contendo dez tarefas cuja finalidade

é fazer com que os estudantes conheçam as potencialidades de cada elemento

presente na página do Consecutivo, o que é coerente com o princípio da fidelidade

pedagógica e do suporte ao aprendiz. É possível mudar de tarefa movimentando uma

barra de rolagem colocada do lado direito do painel (Figura 34).

109

Figura 34: Tarefas Exploratórias

A inserção das Tarefas Exploratórias no ambiente se deu devido a três razões:

(1) fazer emergir os conceitos de números consecutivos, múltiplos, divisores e

fatoração, (2) familiarizar o estudante com as representações disponíveis na tela, (3)

minimizar o problema da translação das representações apontado por Ainsworth

(1999).

O segundo botão dá acesso a um painel contendo 14 Tarefas de Prova. A

princípio, considerei como Tarefas de Provas aquelas cuja finalidade é fazer com que

os estudantes formulem conjecturas a respeito da soma e do produto de números

consecutivos e as justifiquem usando propriedades matemáticas. A classificação

destas tarefas sofreu alterações ao longo da pesquisa. Estas alterações são

discutidas no Capítulo 5.

Ao acionar o botão das Tarefas de Prova, o estudante se depara com um

painel contendo o enunciado da mesma. Ao lado direito do enunciado existe uma barra

de rolagem a qual permite alterar o número da tarefa (Figura 35).

110

Figura 35: Tarefas de Prova

Considerando-se o princípio da fidelidade pedagógica, a organização das

Tarefas de Prova foi pensada de modo que pudessem contribuir para a construção de

provas conceituais (baseadas em propriedades matemáticas) por parte dos

estudantes. Eu esperava que estas propriedades emergissem da interação dos

estudantes com as diversas representações disponíveis no Consecutivo. A seguir,

apresento uma descrição detalhadas destas tarefas.

4.2 As tarefas

Quando comecei a pensar sobre meu interesse de pesquisa para o doutorado,

como todo iniciante, eu tinha em mente o desejo de contribuir de forma singular com

o campo de conhecimentos constituído na Educação Matemática. A decisão de

desenhar o Consecutivo parecia atender a esta necessidade por diversas razões. A

razão mais significativa vinha das conclusões as quais delineei a partir da revisão de

literatura acerca do tema argumentação e prova no ensino. O desenvolvimento do

Consecutivo está muito relacionado ao fato de eu ter percebido, principalmente, que

faltam pesquisas que (1) sugiram sequências de ensino as quais devolviam ao

aprendiz a responsabilidade de elaborar conjecturas e provas, (2) sugiram sequências

de ensino as quais favoreciam o processo de prova em outras áreas fora da

111

Geometria, (3) promovam uma compreensão mais ampla a respeito do papel das

tecnologias digitais nesse processo e (4) contribuam com a compreensão de como

argumentos e justificativas são desenvolvidos por estudantes em ambientes em que

a prova é vista de uma forma mais flexível.

A ideia de elaborar um ambiente computacional para o trabalho com as

propriedades dos números consecutivos se deveu a dois fatores. O primeiro deles se

refere ao fato de que as provas, envolvendo a soma e o produto de consecutivos,

podem ser elaboradas com conceitos os quais geralmente são bastante familiares ao

aprendiz, tais como as ideia e paridade, fatoração e divisibilidade (KÜCHEMANN,

2008). O segundo fator tem relação com a posição destas ideias no currículo

brasileiro. Segundo os PCN (BRASIL, 1998), os conceitos de números consecutivos,

paridade, fatoração e divisibilidade devem ser abordados no terceiro ciclo do ensino

fundamental, quando os estudantes possuem entre 11 e 12 anos.

As conjecturas, envolvendo números consecutivos, podem ser provadas com

diferentes níveis de generalidade, o que torna o trabalho passível de ser realizado no

ensino fundamental, no ensino médio e no ensino superior. A questão “você pode

dizer que a soma de dois números consecutivos vai dar sempre ímpar?”, por exemplo,

pode ser respondida por meio de empirismo ingênuo, experimento crucial,

experimento de pensamento etc. (Figura 36).

Figura 36: Diferentes tipos de prova para a questão "você pode dizer que a soma de dois números

consecutivos sempre vai dar ímpar?".

Uma vez que o contexto dos números consecutivos pareceu-me frutífero e

que os conceitos de par, ímpar, múltiplo, divisor, divisibilidade, fator e fatoração podem

ser relacionados a fim de embasar as provas das conjecturas nesta área, passei a

112

construir um ambiente computacional com ferramentas e tarefas as quais

representassem tais conceitos de forma direta e indireta (com enunciados e

representações familiares e não-familiares aos estudantes).

Como já o foi mencionado, as tarefas propostas aos aprendizes no primeiro

teste do Consecutivo foram divididas em dois grupos: Tarefas Exploratórias e Tarefas

de Prova. As Tarefas Exploratórias foram inseridas no ambiente na tentativa de

minimizar o problema da translação entre as representações. Além disso, elas tinham

o objetivo de proporcionar ao aprendiz um conhecimento a respeito da potencialidade

das ferramentas presentes ambiente. As Tarefas Exploratórias são tarefas simples,

de resposta rápida, que permitem a ambientação com a interface do programa. As

Tarefas de Prova foram inseridas no ambiente para que o aprendiz pudesse elaborar

conjecturas e justificativas usando como base as respostas do computador no curso

de sua interação. Uma discussão mais aprofundada destas tarefas será realizada nas

próximas duas subseções.

4.2.1 Tarefas Exploratórias

As Tarefas Exploratórias 1, 2, 3 e 4 foram elaboradas para que o aprendiz

percebesse uma conexão entre os valores das barras de rolagem 2 e 3 com a soma

e o produto dos números consecutivos destacados na reta numérica.

TExp 1: Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?

TExp 2: Qual é o produto de cinco números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 30?

TExp 3: Qual é o primeiro número de uma sequência de cinco números consecutivos cuja soma é 110?

TExp 4: Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo produto é

73.440?

Eu esperava que a Tarefa 1 fosse realizada com mais cuidado pelo fato de

ser a primeira solicitada aos estudantes no ambiente. Para desencorajar o cálculo

mental e encorajar o uso dos recursos do Consecutivo, o enunciado pedia a soma dos

valores de uma sequência de oitos números consecutivos, iniciada por 17. De acordo

113

com a proposta da tarefa e com o conjunto de rótulos que foram colocados nas

ferramentas da interface do ambiente, eu esperava que os alunos percebessem que

deveriam posicionar a barra de rolagem 2 no número 8, indicando a tomada de oito

números consecutivos, e a barra de rolagem 3 na posição 17, indicando que a

sequência de números consecutivos deveria ser iniciada por 17. A partir do

posicionamento correto dos valores nas barras de rolagem, eu esperava que os

estudantes observassem o valor da soma e anotassem o mesmo em seu papel (Figura

37).

Figura 37: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 1.

A Tarefa Exploratória 2 era similar à tarefa 1. Entretanto, eu esperava que os

estudantes posicionassem os valores corretos na barra de rolagem e observassem o

resultado do produto dos números consecutivos (Figura 38).

Ao tentar promover o trabalho com a inversão do procedimento realizado nas

Tarefas Exploratórias 1 e 2, nas Tarefas 3 e 4, dei aos estudantes a quantidade de

números consecutivos, os valores da soma e do produto e pedi aos mesmos que

encontrassem o primeiro número da sequência de números consecutivos. Eu

esperava que os alunos posicionassem a barra de rolagem 2 no número indicado no

enunciado e movimentassem a barra de rolagem 3 até que fosse encontrado na caixa

de texto da soma ou do produto o resultado almejado (Figura 39).

114



As Tarefas 5 a 10 foram propostas aos aprendizes para que os mesmos

pudessem compreender o funcionamento de cada botão presente da barra de botões.

Estas tarefas também exigiam conhecimentos sobre fatoração, decomposição em

fatores primos e divisibilidade, o que serviria como uma espécie de “aquecimento”

para os conceitos presentes nas Tarefas de Prova.

A Tarefa 5 foi proposta para contribuir com a compreensão do funcionamento

do botão Soma Tartaruga. Este botão oferece uma representação retangular e

pictórica para a soma dos números consecutivos.

115

TExp 5: Use o botão SOMA TARTARUGA e escreva uma sequência de quatro números consecutivos

cuja soma seja um número divisível por seis.

Eu esperava que os alunos realizassem os seguintes procedimentos para

resolver a Tarefa Exploratória 5: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número

4, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de quatro números

consecutivos; (2) acionassem o botão Soma Tartaruga na barra de botões; (3) lessem

o conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação do painel;

(4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 6, para que as tartarugas

ficassem dispostas na tela em seis filas; (5) manipulassem a barra de rolagem 3 para

alterar os valores da soma; (6) observassem no painel Soma Tartaruga que algumas

vezes não é possível fazer seis filas exatas com a quantidade de tartarugas da soma,

o que poderia ser visualizado observando-se pequenas tartarugas que se formavam

ao lado do retângulo; (7) escrevessem uma sequência de números consecutivos que

estava associada a uma soma divisível por seis, ou seja, uma soma que pode ser

configurada num retângulo com seis filas de tartarugas completas (Figura 40 e Figura

41).

Figura 40: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 5 quando não há divisibilidade.

116

Figura 41: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 5 quando há divisibilidade.

A intenção da Tarefa 6 era promover a compreensão das funcionalidades do

botão Produto Retangular. Este botão oferece uma representação retangular para o

produto dos números consecutivos.

TExp 6: Uso botão PRODUTO RETANGULAR e escreva uma sequência de três números consecutivos

cujo produto seja um número divisível por 4.



3, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de três números

consecutivos; (2) acionassem o botão Produto Retangular na barra de botões; (3)

lessem o conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação

do painel; (4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 4, para que a

altura do retângulo ficasse com quatro unidades; (5) manipulassem a barra de rolagem

3 para alterar os valores do produto; (6) observassem a mensagem que aparece no

painel Produto Retangular para constatar se o produto é ou não divisível por quatro;

(7) escrevessem uma sequência de números consecutivos que estava associada a

117

um produto divisível por quatro, o que poderia ser constatado com um retângulo cuja

área fosse igual ao produto (Figura 42).


A Tarefa 7 teve como objetivo incentivar o estudante a utilizar o botão Resto.

TExp 7: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando os

respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números consecutivos? Para

isso, use o botão RESTO.



7, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de sete números

consecutivos; (2) acionassem o botão Resto na barra de botões; (3) lessem o

conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação do painel;

(4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 7, para que cada um dos

números consecutivos fosse dividido por sete; (5) manipulassem a barra de rolagem

3 para alterar a sequência de números consecutivos que aparece na tela; (6)

observassem o resto de cada divisão, verificando que os restos podem varia de 0 a 6,

mas nem sempre numa ordem crescente; (7) escrevessem uma sequência de

118

números consecutivos que satisfizesse as condições do enunciado, o que poderia ser

realizado movimentando-se a barra de rolagem 3 até que uma sequência com restos

crescentes fosse visualizada no painel.


No enunciado da Tarefa 7 foi usada a palavra “quando” na intenção de fazer

com que o aluno, ao modificar os valores na tela, percebesse que toda vez que a

sequência de números consecutivos inicia com um múltiplo de sete, a sequência de

restos, na divisão de cada número por sete, também é uma sequência de números

consecutivos; entretanto, acredito que esta conclusão somente será obtida se os

alunos se engajarem em um processo de observação sistemática durante a realização

da tarefa. Caso contrário, minha expectativa é que os estudantes apresentem como

resposta apenas um caso particular em que as condições do enunciado da tarefa são

satisfeitas (Figura 43).

As Tarefas 8 e 9 tinham como objetivo fazer com que o participante usasse o

botão Fatoração.

TExp 8: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada do produto de uma sequência de

seis números consecutivos iniciada pelo número quatro.

119

TExp 9: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6. Faça o

mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora responda: Quais

números aparecem na fatoração dos três produtos?


resolver a Tarefa 8: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número 6, uma vez

que no enunciado foi solicitado o agrupamento de seis números consecutivos; (2)

posicionassem a barra de rolagem 3 no número 4, já que o enunciado indicava que

sequência de números consecutivos deveria ser iniciada com quatro; (3) acionassem

o botão Fatoração na barra de botões; (4) lessem o conteúdo do botão de informação

para se ambientar com a representação do painel; (5) observassem a forma fatorada

de cada número consecutivo; (6) redigissem a resposta levando em consideração que

a forma fatorada do produto corresponde ao produto das formas fatoradas de cada

número. Eu acredito que seja possível que os alunos escrevam sua resposta na forma

reduzida, usando potenciação, ou na forma completa, colocando cada fator na

quantidade em que eles aparecem em cada representação (Figura 44).


Para a questão 9, eu esperava que os alunos posicionassem a barra de

rolagem 2 no número 3 e movimentassem a barra de rolagem 3 até encontrar as

sequências solicitadas no enunciado. Depois disso, eu estimava que, para cada

sequência, os estudantes observassem atentamente a fatoração, tentando verificar se

120

havia algum fator também presente nas outras. Por fim, minha expectativa era que os

alunos percebessem que os fatores 2, 3 e 5 sempre se repetem nos casos observados

(Figura 45).


As questões 7 e 9 exigiam dos estudantes mais do que o uso imediato dos

recursos do Consecutivo. Eram tarefas as quais requeriam a observação sistemática

de resultados a fim de se encontrar similaridades entre eles. Estas tarefas foram

inseridas no conjunto de Tarefas Exploratórias como forma de preparação para a

realização das Tarefas de Prova.

Por fim, a Tarefa 10 foi proposta para que o estudante pudesse utilizar o botão

Algébrico.

TExp 10: Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco números

consecutivos.

Para esta tarefa, eu esperava que os alunos realizassem os seguintes

procedimentos: (1) posicionar a barra de rolagem 2 no número 5, uma vez que o

enunciado sugeria o agrupamento de cinco números consecutivos; (2) acionar o botão

Algébrico na barra de botões; (3) acionar o botão de informação; (4) movimentar a

barra de rolagem 3 para alterar o primeiro número da sequência de números

121

consecutivos observando de que maneira as representações algébricas mudam; (5)

redigir uma resposta que represente a soma das representações algébricas. Acredito

que a resposta pode ser dada na forma reduzida, somando-se os termos semelhantes,

ou na forma desenvolvida, considerando cada representação algébrica como parcela

de uma adição (Figura 46).


Como as Tarefas Exploratórias visavam à ambientação do aluno com os

recursos do programa, não foram propostas questões que solicitassem, a princípio, a

coordenação de mais do que um botão de representação. Tarefas mais complexas,

que poderiam exigir do aluno a articulação entre duas ou mais representações, fazem

parte do próximo conjunto: as Tarefas de Prova.

4.2.2 Tarefas de Prova

O objetivo das Tarefas de Prova foi o de fazer com que os aprendizes, ao

manusearem o Consecutivo, se engajassem no processo de formulação de

conjecturas e elaboração de provas conceituais para as mesmas. Acredito que o

dinamismo e a executabilidade é capaz de promover um ambiente frutífero para

observações sistemáticas e percepção de padrões e que as interações com as

122

múltiplas representações podem encorajar o aprendiz a procurar por explicações para

os fenômenos matemáticos observados.

Estão presentes, na primeira versão do Consecutivo, quatorze Tarefas de

Prova. Algumas delas possuem objetivos similares. Por este motivo, é possível formar

quatro grupos de tarefas. O primeiro grupo de tarefas incentiva o aluno a se envolver

num processo de observações sistemáticas, formulação de conjecturas e produção

de justificativas. O segundo grupo exige que o aprendiz verifique a validade de

conjecturas propostas de forma direta ou indireta no enunciado. O terceiro grupo

solicita aos alunos o uso de conjecturas anteriores para validar ou refutar resultados.

Por fim, o último grupo de tarefas de prova envolve os estudantes com enunciados do

tipo “prove que”.

A seguir, eu apresento cada Tarefa de Prova proposta levando em

consideração os grupos mencionados no parágrafo anterior. A numeração das tarefas

é a mesma que foi proposta aos participantes do primeiro teste do ambiente.

As Tarefas 1, 2, 8 e 10 formam o primeiro grupo de tarefas.

TPro 1: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com a

soma desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma

regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 2: Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades

nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 8: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com o

produto desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre

alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 10: Investigue o produto de três números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades

nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

Para as tarefas deste grupo, esperava-se que os alunos usassem os

movimentos das barras de rolagem 2 e 3, a reta numérica e as caixas de texto da

soma e do produto para fazerem observações sistemáticas. A associação destas

observações com os conhecimentos aritméticos e algébricos dos alunos poderia ser

o ponto de partida para a formulação de diversas conjecturas. Para a primeira tarefa

123

de prova, por exemplo, eu esperava que os alunos facilmente percebessem que a

soma de dois números consecutivos é sempre um número ímpar.

Eu almejava que o processo de elaboração de justificativas para as

conjecturas formuladas fosse baseado nas representações disponíveis no ambiente.

Como justificativa para o fato da soma de dois números consecutivos ser sempre

ímpar, o estudante poderia, por exemplo, usar a representação disponível no botão

Algébrico de modo a mostrar que essa soma é da forma 2n+1. Entretanto, o estudo

de Healy e Hoyles (2000) mostrou que alunos preferem justificativas que não sejam

algébricas. Por isso, eu esperava que, para este grupo de tarefas, os argumentos dos

alunos fossem pautados em justificativas derivadas do uso de outras representações.

No caso da conjectura em questão, uma das possibilidades seria usar como

justificativa o fato de sempre sobrar uma tartaruginha no painel Soma Tartaruga

quando se dispõe as tartarugas em duas filas (Figura 47).

Figura 47: Solução esperada para a Tarefa de Prova 1.

Os argumentos, baseados nas observações do painel Soma Tartaruga,

podem servir de base para provas pragmáticas do tipo exemplo genérico, uma vez

que revelam ao aluno a estrutura de um número ímpar de forma pictográfica: duas

filas de tartarugas mais uma tartaruga pequena.

124

Para a Tarefa de Prova 10, o aluno poderia conjecturar, por exemplo, que o

produto de três números consecutivos é sempre divisível por três. Para escrever uma

justificativa para este fato, o aprendiz poderia observar a fatoração da sequência de

números consecutivos e constatar a presença do fator 3 em todas elas; entretanto, os

estudos de Zazkis e Campbell (1996) mostraram que estudantes possuem

dificuldades de relacionar a fatoração em números primos com a noção de

divisibilidade; portanto, eu acredito que os mesmos utilizarão uma forma alternativa

para provar que o produto de três números consecutivos é divisível por três. Uma

possibilidade é utilizar os resultados obtidos com a representação disponibilizada no

painel do Produto Retangular, mostrando que, quando se tem três números

consecutivos, o produto deles corresponde a área de um retângulo de altura 3 que

aparece no painel (Figura 48).

Figura 48: Resposta esperada para a Tarefa de Prova 10.

As Tarefas 3, 6, 7, 11 e 12 formam o segundo grupo de tarefas e tiveram o

propósito de engajar os estudantes na análise de conjecturas a respeito da soma e do

produto de números consecutivos, as quais foram propostas de forma direta ou

indireta nos enunciados.

Para o segundo grupo de tarefas, eu esperava que os alunos não tivessem

dificuldades em verificar a validade das conjecturas presentes nos enunciados e que,

125

para essa verificação, utilizassem o dinamismo da mudança de valores da reta

numérica, da soma e do produto proporcionado pelos movimentos nas barras de

rolagem 2 e 3.

TPro 3: O que podemos afirmar a respeito da soma de 9 números consecutivos?

a. A soma é sempre um número par.

b. A soma é sempre um número ímpar.

c. A soma às vezes é um número par. Ela é par quando...

TPro 6: Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3? Como você

convenceria seu colega se isso fosse verdade?

TPro 7: Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número par. Depois

de algumas observações, ele concluiu que para obtermos um resultado par devemos somar uma

quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 4 números consecutivos (3 + 4 + 5 +

6) e 12 números consecutivos (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) o resultado é um

número par.

Pedrinho ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que se tivermos

uma quantidade ímpar de números consecutivos a soma seria um número ímpar. Veja que a soma de

8 + 9 + 10 dá 27, que é um número ímpar.

Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e discordou delas. Por quê?

TPro 11: O que podemos afirmar a respeito do produto de três números consecutivos?

a. O produto é sempre divisível por 4.

b. O produto nunca é divisível por 4.

c. O produto às vezes é divisível por 4. Ele é divisível quando ...

Tarefa 12: Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:

O resultado de 4x5x6x7 é divisível por 24.



Após essas observações ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível

por 24. Joãozinho está correto? Por quê?

Para o processo de elaboração de justificativas, eu esperava, novamente, que

os alunos fizessem uso de argumentos que não fossem algébricos e/ou que não

126

relacionem a divisibilidade com a fatoração em primos; entretanto, eu almejava que,

com o uso constante do software, os alunos fossem capazes de articular as

representações disponíveis nos painéis, navegando por elas, de tal forma que uma

delas pudesse confirmar a validade da conjectura e a outra pudesse dar subsídios

para a elaboração de uma justificativa mais formal. Um exemplo disso pode ser visto

na Tarefa de Prova 6, em que é pedido ao aprendiz que verifique se a soma de três

números consecutivos é sempre divisível por três. Para a verificação da validade desta

propriedade, o aluno pode usar o painel Soma Tartaruga de modo a visualizar que

sempre é possível dividi-las num retângulo com três filas. Para elaborar uma

justificativa mais robusta, o aluno pode utilizar o painel Algébrico de modo a visualizar

que a soma de três números consecutivos é da forma 3n + 3, que é divisível por três.

As tarefas 5, 9 e 14 formam o terceiro grupo de tarefas e foram propostas na

intenção de verificar se os estudantes usam suas conjecturas já formuladas e

justificadas em questões anteriores para validar ou não um novo resultado ou suportar

uma nova conclusão.

TPro 5: É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja

a. 82?

b. 37?

c. 44?

Justifique suas escolhas.

TPro 9: É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja,

a. 23?

b. 52?

c. 156?

Justifique suas escolhas.

TPro 14: É sempre possível encontrar um número que divida o produto de uma sequência de números

consecutivos? Justifique.

A Tarefa de Prova 5 está relacionada com a conjectura formulada na Tarefa

2 a respeito da regularidade encontrada na soma de quatro números consecutivos.

Eu esperava que, na Tarefa 2, o aluno percebesse que a soma de quatro números

127

consecutivos é sempre um número par. Por causa desta constatação, eu almejava

que o aluno argumentasse, na Tarefa 5, que não é possível encontrar o número 37

como soma, uma vez que ele é ímpar. Além disso, eu esperava que o aluno

percebesse que o número 44 também não pode representar a soma de quatro

números consecutivos, uma vez que essa soma dá um número par, mas não dá todos

os números pares. Isto poderia ser constatado pelos alunos por meio da observação

de que a sequência das somas de quatro números consecutivos inicia com 6 e

aumenta de 4 em 4.

A Tarefa de Prova 9 está relacionada com a conjectura formulada na Tarefa

8 a respeito do produto de dois números consecutivos. Eu esperava que, na Tarefa 8,

o aluno percebesse que o produto de dois números consecutivos é sempre par. Por

causa disso, almejava-se que, na Tarefa 9, o aluno argumentasse que não é possível

obter 23 como produto de dois números consecutivos, uma vez que é ímpar. Além

disso, o aprendiz poderia constatar que 52, apesar de ser par, não é o produto de dois

números consecutivos, pois a sequência de produtos segue um padrão que não

comporta o número 52.

A Tarefa de Prova 14 está relacionada com as conjecturas formuladas nas

tarefas 8, 10 e 12. Como já foi dito, eu esperava que, na Tarefa 8, o aluno percebesse

que o produto de dois números consecutivos é sempre divisível por dois. Já na Tarefa

10, minha expectativa era que o aprendiz constatasse que o produto de três números

consecutivos é sempre divisível por seis. Na tarefa 12, eu esperava a verificação de

que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível por 24. Com a

observação dos resultados das Tarefas 8, 10 e 12, o aprendiz poderia concluir que há

sempre um número que divide o produto de uma sequência de números consecutivos.

Esta conclusão poderia ser corroborada com a Tarefa de Prova 13, a qual solicitava a

prova de que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120. De fato,

eu almejava que, com o auxílio do painel Fatoração, o aluno pudesse ir mais além e

conjecturasse que o produto de n números consecutivos é sempre divisível pelo

fatorial de n.

O estudo de Jahn e Healy (2008) mostrou que estudantes brasileiros do

estado de São Paulo apresentaram resultados sofríveis ao lidarem com tarefas que

exijam a prova de uma conjectura. Além disso, o estudo de Healy e Hoyles (2000)

mostrou que uma considerável parcela de alunos ingleses acredita que uma prova

128

serve para atestar a validade de uma afirmação. Em contrapartida, De Villiers (2001)

propõe que a prova matemática deve ter outras funções além da verificação, tal como,

explicar por que uma afirmação é verdadeira. Baseando-se nos resultados destes

estudos, as tarefas do tipo “prove que”, Tarefas 4 e 13, foram propostas no

Consecutivo para verificar qual era o significado que os alunos atribuiriam a este tipo

de situação. Além disso, elas foram propostas com o intuito de aproximar os

estudantes dos enunciados mais comuns referentes às tarefas que envolvem a

demonstração de uma conjectura.

TPro 4: Prove que a soma de oito números consecutivos é um número par.

TPro 13: Prove que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120.

Levando-se em consideração o abandono do ensino de provas e

demonstrações nas escolas brasileiras, eu esperava que os alunos tivessem dúvidas

a respeito do que deve ser feito numa tarefa que começa com a expressão “prove

que”; entretanto, como provar é um termo usado no cotidiano da nossa sociedade

para representar a atividade de juntar evidências para mostrar que algo é falso ou

verdadeiro, eu também esperava que o aluno, ao ler a tarefa, procurasse justificativas,

empíricas ou não, para atestar a veracidade ou a falsidade das afirmações contidas

nas tarefas. É pouco provável que estas justificativas sejam pautadas em argumentos

algébricos, visto que o estudo de Healy e Hoyles (2000) mostrou que o mais comum

entre estudantes são argumentos empíricos; entretanto, as representações contidas

no Consecutivo dão subsídios, por meio do painel Algébrico, para o aprendiz

constatar, na Tarefa 4, que a soma de oito números consecutivos é da forma 8n+28,

que é divisível por dois, ou ainda, na tarefa 13, justificar que o produto de cinco

números consecutivos é divisível por 120 porque 2x2x2x3x5 aparece na fatoração de

todos eles.

Na próxima seção, discuto como algumas das características da interface e

das tarefas propostas no Consecutivo foram redesenhadas devido às respostas que

eu obtive dos participantes durante os testes do ambiente. Além disso, eu também

apresento algumas sugestões para possíveis versões futuras do Consecutivo, as

129

quais não foram incorporadas ao programa devido a limitações de tempo para a

conclusão deste estudo.

130

5. A OPINIÃO DOS PARTICIPANTES E O REDESIGN DO CONSECUTIVO

Durante o teste em pequena escala e o teste com professores, solicitei aos

participantes que apontassem problemas e sugestões para o programa. De forma

geral, todos eles se preocuparam em realizar as tarefas e, também, ficar atentos a

possíveis erros e desvantagens da interface. Expressaram suas sugestões de forma

oral, falando para as câmeras, e de forma escrita, nos questionários de opinião.

As minhas observações e as sugestões oferecidas pela minha orientadora e

pelos membros da banca avaliadora desta pesquisa no exame de qualificação

também serviram como fonte de informação a respeito dos pontos fortes e fracos do

Consecutivo.

A análise das interações dos participantes e as diversas sugestões que recebi

impulsionaram uma série de mudanças e adequações no Consecutivo. Tais

mudanças culminaram no desenvolvimento da segunda versão do ambiente, a qual

foi utilizada pelos participantes no último teste, aquele realizado em ambiente

autêntico.

A seguir, apresento uma síntese da opinião dos participantes a respeito do

Consecutivo. Descrevo também as modificações realizadas no programa em virtude

dessas sugestões e das minhas observações. Abordo o redesign da interface e das

ferramentas e destaco a nova página inicial do programa. Em seguida, discuto as

modificações realizadas nas representações, evidenciando e justificando aquelas que

foram retiradas. Por fim, considero as mudanças nas tarefas propostas, destacando

as que foram retiradas, substituídas e reorganizadas. Além disso, apresento também

uma seção com as minhas ideias para um futuro redesign. Tais ideias vieram à tona

com a análise dos dados e das sugestões provenientes do teste no ambiente

autêntico. O objetivo é propor modificações para uma aplicação no futuro ou para a

disponibilização do programa na internet.

131

5.1 A opinião dos participantes

Como já foi mencionado no Capítulo 3, nos três testes realizados com o

Consecutivo, os participantes responderam a um questionário de opinião. Minha

intenção era receber críticas e sugestões a respeito das ferramentas, das

representações e das tarefas disponíveis na interface. Mais do que isso, eu queria

“transformar” essas críticas e sugestões em melhorias para o ambiente.

Dois grupos de estudantes da educação básica e um grupo de professores

responderam ao questionário de opinião. De forma geral, nos questionários propostos

aos estudantes, procurei saber se os mesmos acharam as tarefas fáceis ou difíceis

de serem resolvidas, se a interface parecia atrativa ou apresentou problemas, se as

representações foram fáceis de compreender e se elas foram úteis para a resolução

das tarefas. Com professores, minha intenção foi saber se os mesmos consideraram

o programa passível de ser incorporado às suas práticas em sala de aula e se o

conteúdo das tarefas e representações era adequado a um estudante da educação

básica.

Os questionários respondidos pelos participantes não foram os mesmos em

cada teste. Havia questões comuns nos três testes, mas de um teste para outro, em

virtude de mudanças na interface do programa, o questionário também foi

reelaborado.

No teste em pequena escala e no teste com professores, como havia poucos

participantes, consegui obter questionários completamente preenchidos de todos. No

teste em ambiente autêntico, as interações ocorreram no horário regular de aula. Os

estudantes conseguiram completar as tarefas, mas levaram o questionário para

responder em casa. Assim sendo, muitos questionários não retornaram ou retornaram

de forma incompleta.

O questionário foi composto por dois tipos de perguntas: (1) fechadas com

itens de Likert30 e (2) abertas, solicitando uma opinião pessoal. A Figura 49 apresenta

um exemplo de pergunta de cada tipo.

30 Num questionário, os itens Likert são aqueles que medem o nível de concordância ou não concordância a uma

dada afirmação. Eu utilizei quatro itens nas questões propostas visando classificar respostas dos participantes em

positiva ou negativa.

132

Figura 49: Exemplos de perguntas do questionário de opinião. Considerações do participante G, da

dupla G&N.

Não apresento estatísticas rigorosas dos dados coletados com os

questionários de opinião, pois minha intenção com os mesmos não era testar alguma

hipótese e sim obter elementos para o redesign do ambiente. Prefiro apresentar as

considerações as quais se destacaram mais, ou porque foram comuns aos três testes

ou porque revelaram detalhes de aspectos específicos do ambiente. Minha

apresentação leva em consideração as opiniões dos participantes em três dimensões

do Consecutivo: (1) a interface, (2) as representações e (3) as tarefas

A interface

Grande parte dos participantes de todos os testes considerou a interface do

Consecutivo com boa aparência e afirmou que foi fácil lidar com a mesma. Entretanto,

alguns problemas foram detectados e apontados. Para ilustrar, veja a Figura 49 com

a resposta dada pelo participante G, da dupla G&N, nas duas primeiras questões.

133

Em todos os testes houve participantes com dificuldades de manusear as

barras de rolagem para a escolha da quantidade de consecutivos e para a escolha do

primeiro número da sequência. O maior problema apontado foi o fato deles não

conseguirem selecionar um número específico nas barras (Figura 49 e Figura 50).

Dois professores notaram que o painel de tarefas desaparecia da tela toda

vez que algum painel de representação era acionado. Eles apontaram que, por muitas

vezes, era difícil lembrar dos objetivos das tarefas enquanto lidavam com as

representações (Figura 51). Este aspecto foi melhorado e, na versão utilizada no

terceiro teste, o painel de tarefas e o painel de representação passaram a ficar na tela

ao mesmo tempo; entretanto, no caso do painel Tartaruga, os painéis se sobrepunham

e, alguns participantes do terceiro teste apontaram este detalhe no questionário de

opinião (Figura 52).

Figura 50: Opinião do participante Y sobre a interface do programa.

Figura 51: Opinião do professor R sobre a interface do programa.

134

Figura 52: Opinião do participante B sobre a interface do programa.

Um professor e dois participantes do terceiro teste também apontaram que o

ícone de seta usado para fechar os painéis causava certa confusão, pois dava a

impressão que deveria ser utilizado para passar para a próxima tarefa e não para

fechar o painel (Figura 53).

Figura 53: Opinião da participante L, da dupla L&M, sobre a interface do programa.

Figura 54: Opinião do participante Gu sobre a interface do programa.

Alguns estudantes do terceiro teste acharam que a interface do programa

precisava ter um aspecto mais moderno. Estes participantes gostaram de usar o

programa e não tiveram dificuldades com as tarefas, mas apontaram que uma

interface mais moderna poderia ser mais atrativa (Figura 54).

135

De forma geral, considero a avaliação feita pelos participantes positiva com

relação à interface do Consecutivo. Grande parte dos participantes se simpatizou com

as ferramentas do programa. Além disso, muitos deles se engajaram em realizar as

tarefas e apontar problemas e sugestões. Eles fizeram o papel de usuário do ambiente

e, também, de avaliadores. Percebi que grande parte deles se preocupou em apontar

aspectos positivos e negativos, justamente porque sabiam da importância de suas

opiniões para o redesign.

As representações

Nos questionários de opinião respondidos pelos estudantes coloquei duas

questões sobre as representações disponíveis no Consecutivo. Uma delas tinha como

propósito saber qual foi a representação que o participante mais gostou. A outra,

visava saber qual das representações foi mais útil para a resolução das tarefas. Os

participantes podiam escolher mais de uma representação se quisessem. A Tabela 3

sintetiza os resultados obtidos em ambas as questões.

Tabela 3: Frequência com que os estudantes participantes mencionaram as representações

disponíveis no Consecutivo no quesito Gosto e Utilidade.

Quesito Teste Fatoração Resto Algébrico P. Retangular Tartaruga

Gosto 1º: Peq. Escala 3 1 1 4 2

3º: Autêntico 9 2 4 --- 9

Total 12 3 5 4 11

Utilidade

1º: Peq. Escala 3 0 0 3 1

3º: Autêntico 15 6 13 --- 1

Total 18 6 13 3 2

É possível perceber que muitos participantes destacaram as representações

do painel Fatoração e do painel Tartaruga como aquelas que mais gostaram. Isto já

era esperado, uma vez que a fatoração é bastante estudada na escola e que a

representação das Tartarugas era muito diferente daquelas que eles usualmente

interagem nas aulas de matemática. Além disso, o fato de conter ícones de animais

136

pareceu ser um fator que fez os participantes se simpatizarem com esta representação

em particular.

No quesito utilidade, a representação que mais se destacou foi a do painel

Fatoração. Acredito que isto tem relação com o fato dos participantes terem

constatado o potencial desta representação para explicar regularidades na

divisibilidade do produto de números consecutivos.

Nos questionários de opinião respondidos pelos professores, coloquei

também duas questões sobre as representações disponíveis no Consecutivo. Uma

das questões pedia que o professor apontasse a ferramenta que mais ajudaria o aluno

na formulação de conjecturas. A outra solicitava que o professor apontasse a

ferramenta que mais ajudaria o aluno a redigir provas para as conjecturas formuladas.

A Tabela 4 sintetiza os resultados obtidos em ambas as questões.

Tabela 4: Frequência com que os professores participantes mencionaram as representações

disponíveis no Consecutivo no quesito Utilidade para Conjecturar e Utilidade para Provar.

Quesito Reta Numérica Fatoração Resto Algébrico Tartarugas

Úteis para conjecturar 8 1 1 2 2

Úteis para provar 6 3 1 2 2

É possível notar que, na opinião dos professores, a reta numérica é uma

representação com grande utilidade para a formulação de conjecturas e provas. A

fatoração também se destacou quando o professor avaliou a importância da

representação para a formulação de justificativas mais formais.

Solicitei também que o professor respondesse a mais três questões, fechadas

e com itens de Likert, visando saber em que medida as representações disponíveis

engajam o estudante no raciocínio dedutivo, auxiliam na formulação de conjecturas e

provas. A Tabela 5 sintetiza os resultados obtidos nestas questões.

É possível notar que, de forma geral, os professores avaliaram positivamente

o potencial do Consecutivo em fomentar a dedução e auxiliar no processo de

conjectura e prova; entretanto, muitos deles complementaram suas respostas

apontando necessidade de trabalhar com certos conceitos antes da utilização do

137

software em sala de aula. Um exemplo disso pode ser observado na Figura 55, a qual

apresenta a opinião de um professor neste sentido.

Tabela 5: Frequência com que os professores participantes avaliaram as potencialidades das

representações disponíveis no Consecutivo de acordo com os itens de Likert.

Quesito Muito Parcialmente Pouco Nada

Ajudam na dedução 8 2 0 0

Ajudam a conjecturar 6 2 2 0

Ajudam a provar 6 1 3 0

Figura 55: Opinião do professor R a respeito da necessidade de trabalho conceitual prévio para a

realização das tarefas e interpretação das representações.

Muitos professores também apontaram a necessidade de pré-requisitos para

que o aluno resolvesse as tarefas propostas. Discuto estas considerações a seguir.

As tarefas

Diversas questões foram propostas aos estudantes e aos professores visando

à avaliação das tarefas disponíveis no Consecutivo. Esta avaliação contemplou três

dimensões: (1) a clareza do enunciado, (2) o nível de dificuldade e o (3) auxílio para

resolver outras tarefas. A Tabela 6, a Tabela 7 e a Tabela 8 sintetizam as respostas

dadas nestas questões.

138

Tabela 6: Frequência com que os participantes classificaram a clareza do enunciado das tarefas

segundo os itens de Likert.

Tarefa31 Teste Muito Parcialmente Pouco Nada

Explorar 1º: Peq. Escala 3 1 0 0

2º: Professores 8 2 0 0

3º: Autêntico 13 10 0 0

Total 24 13 0 0

Conjecturar32 1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 14 17 2 0

Organizar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 21 8 2 0

Provar 1º: Peq. Escala 1 3 0 0



Total 23 11 1 0

De forma geral, é possível notar que a clareza dos enunciados de todos os

tipos de tarefas propostas foi avaliada positivamente pelos participantes da pesquisa,

uma vez que a maioria deles apontou que esses enunciados eram muito ou

parcialmente claros; entretanto, algumas sugestões pontuais apareceram. A

participante B, da dupla B&G, no primeiro teste, argumentou que o enunciado de

algumas questões estava muito longo. Ela afirmou que, como estudante, enunciados

muito grandes fazem com que ela perca a vontade de realizar a tarefa. Outra sugestão

foi dada por uma professora do segundo teste. Ela afirmou que a palavra

“regularidade”, bastante usada nas Tarefas Conjecturar, poderia não ser

31 De um teste para o outro as tarefas sofreram diversas modificações. Estas modificações serão discutidas nas

próximas seções. Nas tabelas apresentadas, já é possível perceber que outros tipos de tarefas surgiram depois

do primeiro teste: as Tarefas Conjecturar e as Tarefas Organizar. 32 As questões referentes às Tarefas Conjecturar e Organizar não constavam no questionário respondido pelos

participantes do teste em pequena escala.

139

compreendida pelo aluno da educação básica. Ela sugeriu que eu colocasse a palavra

“padrão” no lugar de “regularidade”.

Tabela 7: Frequência com que os participantes classificaram o nível de dificuldade das tarefas

segundo os itens de Likert.

Tarefa Teste Muito Parcialmente Pouco Nada

Explorar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 0 8 7 18

Conjecturar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 0 8 20 4

Organizar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 3 12 7 8

Provar 1º: Peq. Escala 0 2 2 0



Total 1 16 9 8

Com relação ao nível de dificuldade das tarefas, as opiniões dos participantes

se dividem. De forma geral, as Tarefas Explorar e as Tarefas Conjecturar foram

avaliadas como sendo pouco ou nada difíceis, o que representa uma reação positiva

dos participantes; entretanto, as Tarefas Organizar e Provar tiveram 50% de

avaliações positivas (pouco ou nada difíceis) e 50% de avaliações negativas

(parcialmente ou muito difíceis). Alguns argumentos dados pelos participantes

justificam estas posições.

140

Figura 56: Opinião da participante B, da dupla B&G, sobre o nível de dificuldade das Tarefas Provar.

Os estudantes participantes do primeiro teste apontaram que as Tarefas

Provar começaram bem fáceis, mas mudaram rapidamente de complexidade. Muitos

disseram que a partir da sexta questão já não conseguiam resolver as tarefas com

tanta facilidade (Figura 56).

Os estudantes participantes do terceiro teste, por sua vez, apontaram que as

primeiras tarefas realizadas exigiam que eles usassem bastante as ferramentas do

ambiente, mas que as Tarefas Provar exigiam muito mais o uso do raciocínio lógico

(Figura 57).

Figura 57: Opinião do estudante B, participante do terceiro teste, sobre o nível de dificuldade das

Tarefas Provar.

Os professores participantes apontaram que as questões do ambiente tinham

um nível de dificuldade crescente e que, para responder algumas delas, os estudantes

precisariam de alguns pré-requisitos (Figura 58).

Coloquei as Tarefas Explorar no ambiente do Consecutivo com o objetivo de

fazer com que o participante compreendesse o funcionamento do ambiente. Elas eram

questões bem simples e de resposta imediata. Por causa disso, eu propus uma

questão para avaliar em que medida estas tarefas cumpriram meus objetivos. Eu

também coloquei as Tarefas Organizar no ambiente, na tentativa de fomentar a

construção de provas baseadas em argumentos conceituais. Assim sendo, propus

uma questão para que os participantes avaliassem em que medida meus objetivos

foram alcançados. A Tabela 8 apresenta estes resultados.

141

Figura 58: Opinião da professora C sobre o nível de dificuldade das Tarefas Organizar.

De forma geral, é possível notar que os participantes consideraram que as

Tarefas Explorar auxiliam parcialmente ou muito a compreensão da interface e das

ferramentas do programa, o que se configura como uma avaliação positiva; entretanto,

os estudantes participantes do terceiro teste possuíram opinião divididas com relação

à importância das Tarefas Organizar. Doze deles apresentaram opiniões positivas

neste quesito, enquanto nove apresentaram opinião negativa. Acredito que estas

opiniões estejam relacionadas aos resultados anteriores, os quais apontaram que os

mesmos participantes encontraram dificuldades em realizar tais tarefas.

Tabela 8: Frequência com que os participantes classificaram a importância das Tarefas Explorar e

Organizar para a realização de outras tarefas segundo os itens de Likert.

Tarefa Teste Muito Parcialmente Pouco Nada

Tarefas

explorar

ajudam a

compreender

o programa

1º: Peq. Escala 3 1 0 0



Total 19 16 0 0

Tarefas

Organizar

ajudam a

provar

1º: Peq. Escala --- --- --- ---



Total 10 11 8 1

As opiniões dos participantes foram importantes para o redesign do

Consecutivo. As mudanças realizadas no ambiente em virtude destes resultados são

discutidas nas próximas seções.

142

5.2 Mudanças na interface

Na versão do ambiente utilizada no teste em pequena escala, assim que o

participante iniciava o Consecutivo, abria-se para ele uma janela de 800 x 500

unidades contendo: (1) um painel comprido com barras de rolagem e botões de

representações, (2) um painel curto com botões de tarefas, (3) uma reta numérica com

o destaque de uma sequência de três números consecutivos iniciada pelo 11, e (4)

um painel apresentando a fatoração dos números destacados na reta numérica

(Figura 59).

A primeira mudança na interface do ambiente foi a retirada do painel

Fatoração da janela inicial. Na nova interface, este painel poderá ser acessado pelo

aluno somente depois do clique sobre o botão Fatoração. Esta mudança teve como

objetivo diminuir o número de elementos gráficos da tela inicial do ambiente,

fornecendo uma página com menos distrativos.

Figura 59: Tela inicial da versão do Consecutivo utilizada no teste em pequena escala.

Outro fator que contribuiu para a retirada do painel Fatoração da janela inicial

do Consecutivo foi o fato de eu ter notado que esta foi a representação mais utilizada

pelos estudantes, durante o primeiro teste com o ambiente. Acredito que a grande

143

utilização do botão fatoração pelos alunos possa estar ligada ao fato do painel

Fatoração estar sempre disponível na janela inicial do programa e não ao fato dela

ser relevante para a resolução dos problemas propostos. Nesse sentido, para evitar

qualquer tipo de sugestão ao participante a respeito da representação matemática

mais adequada a ser utilizada durante a realização das tarefas, a janela inicial do

ambiente passou a ter como elemento gráfico apenas a reta numérica.

A página do Consecutivo teve seu comprimento aumentado. Na nova versão

do ambiente, a página passou a ter dimensões de 1000 x 500 unidades. Este aumento

permitiu que o painel contendo as tarefas pudesse ser colocado ao lado do painel

contendo os botões de representações, o que proporcionou mais espaço para a

visualização da reta numérica, dos enunciados e das representações disponíveis

(Figura 60).

Com as mudanças na interface, a nova página inicial do Consecutivo passa a

ser composta por (1) um painel contendo as barras de rolagem e os botões de

representações, (2) um painel contendo os botões de tarefas e (3) uma reta numérica

com destaque para os números 0 e 1, que são os dois primeiros números naturais

consecutivos.

Figura 60: Tela inicial do Consecutivo após o primeiro redesign.

O layout do painel de tarefas também foi alterado. Na primeira versão, o

participante navegava pelas tarefas propostas, manuseando uma barra de rolagem

colocada a sua direita (Figura 61). Na nova versão, esta barra de rolagem foi

144

substituída por um conjunto de botões, o que proporciona a identificação da tarefa que

o participante está realizando, bem como do número total de tarefas propostas

naquele painel (Figura 62).

Figura 61: Painel de tarefas na primeira

versão do Consecutivo.

Figura 62: Painel de tarefas na segunda

versão do Consecutivo.

Durante o teste com professores, alguns participantes tentaram responder às

tarefas no próprio programa, num espaço em branco abaixo do enunciado; entretanto,

esta era uma operação não suportada pelo ambiente. Por isso, muitos professores

sugeriram que eu colocasse uma pequena frase na parte inferior de cada painel de

tarefas, indicando ao estudante que as respostas deveriam ser redigidas no papel. A

sugestão foi acatada e, não somente as tarefas, mas outros elementos da interface

passaram a ter frases como estas, na tentativa de auxiliar o aprendiz e evitar a

realização de operações não suportadas pelo programa (Figura 62).

Durante a interação dos participantes do primeiro teste com as Tarefas

Exploratórias, foi possível notar que os mesmos realizavam diversas releituras dos

enunciados das tarefas. A princípio pensei que esta era uma estratégia usada pelos

participantes para responder às tarefas corretamente; entretanto, com o andamento

das interações, foi possível perceber que os alunos reliam o enunciado várias vezes

porque esqueciam o conteúdo da pergunta que eles precisavam responder.

Analisando a situação com cuidado, notei que o texto das tarefas desaparecia da tela

toda vez que um painel de representação era acionado pelo estudante. Uma vez que

o texto não aparecia mais na tela, os participantes esqueciam-se do que a tarefa

tratava. Isto também foi apontado pelos professores que avaliaram o programa. Um

simples redesign na interface foi realizado de modo que os painéis de representação

145

e as tarefas ficassem na tela ao mesmo tempo, podendo ser escondidos por escolha

do participante (Figura 63 e Figura 64).

Figura 63: Interface das tarefas antes do

redesign.

Figura 64: Interface das tarefas após o redesign.

Algumas mudanças foram realizadas na interface em virtude da retirada ou

acréscimo de representações e tarefas. Estas mudanças são discutidas nas próximas

seções.

5.3 Mudanças nas representações

A análise dos dados coletados no primeiro teste mostrou que as

representações disponibilizadas nos painéis foram pouco utilizadas pelos alunos

como fonte conceitual para a elaboração de justificativas. Uma das explicações

possíveis para isso reside no fato de que é necessário que os alunos aprendam o

significado destas representações e as relacionem com conceitos matemáticos

(AINSWORTH et. al., 1997).

Na intenção de mostrar aos alunos como as representações “funcionam”, o

conteúdo do botão de informação, que foi pouco usado, foi alterado. Na nova versão

do ambiente, ao acionar o botão informação, o participante encontra um vídeo que

mostra as ações de um aluno hipotético, utilizando determinada ferramenta para

resolver um problema (Figura 65).

146

Figura 65: Vídeo de ajuda para o painel Fatoração.

As participantes da dupla B&G deram várias sugestões de melhorias para a

interface do ambiente enquanto trabalhavam no mesmo. Uma delas veio à tona

enquanto a dupla manuseava o painel Resto. As meninas afirmaram que não

entenderam a representação do painel porque não relacionaram o que visualizavam

na tela com o que elas faziam tradicionalmente na divisão de dois números naturais.

Elas sugeriram que eu colocasse no painel a expressão Dividendo = Divisor x

Quociente + Resto, para que fosse mais fácil fazer a correspondência entre o valor

visualizado e o que ele representa. Esta sugestão pareceu plausível e foi prontamente

atendida (Figura 66).

Figura 66: Painel Resto após o primeiro redesign.

147

Figura 67: Painel Soma Animal

Notei também que as representações figurais fizeram pouco sentido dentro

das tarefas propostas, uma vez serviram apenas para a conferência da divisibilidade

da soma e do produto por um número qualquer. O painel do Produto Retangular, por

148

exemplo, foi evitado por quase todos os participantes durante o primeiro teste. O

painel Soma Tartaruga foi mais acessado, mas não por conta de suas potencialidades

matemáticas, e sim por causa dos ícones das tartaruguinhas que “encantaram” os

aprendizes. Isto pode ser constatado na fala da estudante G que, no fim da atividade,

verbalizou: “o que eu mais gostei foi das tartarugas”. Por estas razões, as

representações figurais disponíveis no Consecutivo passaram por reformulações.

As interações da dupla B&G com o painel Produto retangular mostraram que

as estudantes tiveram dificuldades de compreender a utilidade desta representação

para a resolução de muitas tarefas e que as mesmas só permaneceram dispostas a

compreendê-la quando eu fazia alguma intervenção; analisando com cuidado as

potencialidades desta representação, percebi que ela favorecia a checagem da

divisibilidade do produto de uma sequência de números consecutivos por outro

número natural; entretanto, a representação não explicava por que tal divisibilidade

acontecia. Mais do que isso, notei que as representações de outro painel, o da

Fatoração, poderiam ser usadas para ambos os propósitos: checar a divisibilidade do

produto e explicar por que ela é possível. Com base nestas observações, optei pela

retirada do Painel Produto Retangular da interface do Consecutivo.

O painel Soma Tartaruga teve sua aparência modificada e passou a ser

chamado de Soma Animal; entretanto, foi mantida a potencialidade de fazer o aluno

verificar se a soma de uma sequência de números consecutivos é divisível por certo

número natural. Decidi manter o painel Tartaruga pois percebi que as figuras das

tartarugas e o movimento das mesmas passaram uma imagem mais “sensível” da

Matemática ao participante e o motivou a “tentar” compreender a representação

disponível na tela e fazer relações entre ela e a tarefa.

Na intenção de promover uma maior interação dos alunos com a

representação do painel Tartaruga, coloquei à disposição do participante a

possibilidade de modificar a forma da tartaruga para uma aranha ou um cachorro, bem

como de movimentar essas formas na tela com o uso do mouse. Além disso, mais

uma representação figural foi disponibilizada ao aluno. No painel Soma Tartaruga era

possível apenas visualizar a soma dos números consecutivos de forma retangular.

Depois das modificações, o estudante tem acesso a uma representação figural na

forma de sequência consecutiva e pode transformá-la numa representação figural

retangular, caso seja de seu interesse. Para transformar a representação figural

149

consecutiva em representação figural retangular basta movimentar uma barra de

rolagem no canto superior direito do painel, escolhendo o número de filas em que se

deseja dispor os animais na tela (Figura 67).

Com a mudança nas representações, algumas tarefas precisaram ser criadas,

retiradas ou repensadas. Este é o tema da próxima seção.

5.4 Mudanças nas tarefas

Na primeira versão do Consecutivo, foram propostas aos alunos dez Tarefas

Exploratórias e 14 Tarefas de Prova, em um total de 24 tarefas (ver seções 4.2.1 e

4.2.2). As Tarefas Exploratórias tinham a finalidade de familiarizar o participante com

o ambiente e as tarefas de prova tinham como premissa engajar o aprendiz num

processo de formulação e validação formal de conjecturas; entretanto, as análises

iniciais e as modificações realizadas nas representações apontaram para a

necessidade de mudança na quantidade e complexidade das tarefas propostas,

principalmente com relação às tarefas de prova.

Figura 68: Botões de tarefas após o primeiro redesign.

Primeiramente, notei que foi solicitada a resolução de um número grande de

tarefas as quais aumentavam de complexidade rapidamente, o que fez, por muitas

vezes, os participantes se sentirem cansados e desanimados. Devido a isto, as

Tarefas Exploratórias e de Prova, propostas inicialmente, foram subdividas em três

grupos: (1) Tarefas Explorar, (2) Tarefas Conjecturar e (3) Tarefas Provar. Para

fomentar o processo de justificativas formais com argumentos baseados em

conceitos, propriedades e dedução, criei um novo grupo de tarefas: as Tarefas

Organizar. A Figura 68 mostra a barra de tarefas disponível na tela após esta

reorganização.

150

As Tarefas Explorar

Das dez Tarefas Exploratórias propostas na primeira versão do Consecutivo,

três foram eliminadas, restando sete. Na nova versão, estas sete questões fizeram

parte do grupo de tarefas do botão Explorar.

Da lista de tarefas utilizada no primeiro teste, discutidas na seção 4.2.1, foram

eliminadas as Tarefas Exploratórias 2, 3 e 8 por serem similares a outras tarefas

solicitadas ao longo da lista. A Tarefa 3, por exemplo, tinha objetivo similar à Tarefa

4: encontrar o primeiro número de uma sequência de consecutivos.

A ordem de muitos enunciados foi trocada e alguns de seus dados foram

alterados. É o caso dos enunciados das tarefas 5 e 6, os quais foram modificados

visando desencorajar o cálculo mental por parte dos alunos.

A Tarefa 5 passou por uma reformulação, pois, as interações dos participantes

no primeiro teste revelaram que os mesmos não usaram o painel das Tartarugas para

obter a resposta do enunciado porque preferiram apelar para o cálculo mental para

conferir a divisibilidade da soma. Na nova versão do programa, tentei colocar um valor

maior para que os participantes encontrassem mais dificuldades de conferir a

divisibilidade mentalmente e apelassem para o uso do painel para responder a tarefa.

Ao invés de checar a divisibilidade por 4, pedi que os participantes checassem a

divisibilidade por 9.

A Tarefa 6 foi retirada do Consecutivo por fazer alusão ao uso das

representações do Painel Produto Retangular, o qual também foi retirado do programa

por razões que foram explicadas na seção 5.3.

A seguir tem-se o quadro com os novos enunciados das Tarefas Explorar

realizadas pelos estudantes do terceiro teste.

TExp 1: Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?

TExp 2: Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo

produto é 73.440?

151

TExp 3: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6.

Faça o mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora

responda: Quais números aparecem na fatoração dos três produtos?

TExp 4: Uso botão FATORAÇÃO e escreva uma sequência de três números consecutivos

cujo produto seja um número divisível por 13.

TExp 5: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando

os respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números

consecutivos? Para isso, use o botão RESTO.

TExp 6: Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco

números consecutivos.

TExp 7: Use o botão SOMA ANIMAL e escreva uma sequência de quatro números

consecutivos cuja soma seja um número divisível por 9.

As Tarefas Conjecturar e Provar

Ao observar cautelosamente o enunciado das Tarefas de Prova e retomar a

análise das interações dos participantes no primeiro teste, verifiquei que era preciso

reduzir o número de tarefas propostas e dividi-las em dois grupos: as Tarefas

Conjecturar e as Tarefas Provar.

A redução de tarefas se deveu a dois fatores. Primeiramente, notei que os

participantes do primeiro teste ficaram cansados e enfadados quando estavam

próximos de responder à décima Tarefa de Prova. Eles reclamaram bastante e

passaram a ler rapidamente os enunciados. A qualidade das respostas não caiu

porque eu estava constantemente instigando as discussões entre eles. Isto me fez

perceber a existência de um “limite pedagógico” para a quantidade de questões

propostas. Este limite pareceu estar por volta de 7 e 10 Tarefas de Prova, para uma

sessão de 100 minutos (2 aulas). Além disso, notei também que algumas tarefas

fizeram os participantes interagir mais entre si e buscar na interface do programa

esclarecimentos para seus questionamentos. Por isso, decidi retirar as Tarefas de

Prova 3, 4, 11, 13 e 14, e decidi reposicionar e reescrever as demais tarefas.

As Tarefas de Prova 2, 7 e 8 foram reclassificadas e passaram a fazer parte

do grupo das Tarefas Conjecturar (Figura 69). Isto porque, ao analisar o texto do

152

enunciado, percebi que a exploração e a formulação de conjecturas e hipóteses eram

bastante incentivadas. Estas questões tinham propósitos semelhantes e

questionavam o aprendiz sobre as regularidades e padrões percebidos em

determinada situação. Minhas expectativas para as ações dos estudantes nestas

questões continuam as mesmas e já foram discutidas na seção 4.2.2.

Figura 69: Painel das Tarefas Conjecturar e TConj 1.

O quadro a seguir apresenta o enunciado das Tarefas Conjecturar, realizadas

pelos participantes do terceiro teste do Consecutivo.

TConj 1: Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algum padrão

nos resultados? Caso encontra um padrão, explique por que ele ocorre.

TConj 2: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos

com o produto desses números. Você percebeu algum padrão nos resultados? Caso encontra

um padrão, explique por que ele ocorre.

TConj 3: Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número

par. Depois de algumas observações, ele concluiu que para obter um resultado par deve-se

soma uma quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 12 números

consecutivos (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13) o resultado é um número par. Pedrinho

ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que com uma

quantidade ímpar de números consecutivos a soma será um número ímpar. Veja que a soma

8+9+10 dá 27, que é um número ímpar. Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e

discordou delas. Porquê?

153

As Tarefas de Prova 5, 6, 9 e 12 também foram reclassificadas e passaram a

fazer parte do grupo das Tarefas Provar. Estas questões estimulam a prova por meio

de contraexemplos e possuem uma relação direta com as Tarefas Conjecturar (Figura

70). Apesar de não ter uma ordem estabelecida para a resolução das questões,

esperava que os participantes resolvessem as Tarefas Conjecturar antes de resolver

as Tarefas Provar. Se isto ocorresse, eles poderiam estabelecer uma relação entre as

tarefas e utilizar os argumentos construídos em uma para suportar suas justificativas

em outra. Desta forma, eles poderiam redigir seus argumentos de forma dedutiva,

fazendo alusão às propriedades que eles já descobriram (compare a Figura 69 e a

Figura 70).

Figura 70: Painel das Tarefas Provar e TPro 1.

O quadro a seguir apresenta o enunciado das Tarefas Conjecturar, realizadas

pelos participantes do terceiro teste do Consecutivo.

TPro 1: É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja: a) 82? b) 37? c)

44? Justifique suas escolhas.

TPro 2: Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3?

Como você convenceria seu colega se isso fosse verdade?

TPro 3: É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja: a) 23? b) 52? c)

156? Justifique suas escolhas.

TPro 4: Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:

154

1. O resultado de 4x5x6x7 é divisível por 24.



Após essas observações, ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é

sempre divisível por 24. Joãozinho está correto? Por quê?

Para incentivar a formulação de argumentos conceituais, algébricos e

dedutivos, transformei as Tarefas de Prova 1 e 10 em três Tarefas Organizar. Além

disso, criei ainda mais uma tarefa deste tipo incluindo argumentos figurais e em língua

natural. A seguir, discuto melhor este grupo.

As Tarefas Organizar

Uma das razões que me fez pensar no desenvolvimento do Consecutivo foi a

necessidade de se fomentar a produção de provas conceituais no âmbito da

matemática escolar. De acordo com a análise dos resultados, os participantes do

primeiro teste foram capazes de produzir este tipo de prova, como será abordado no

Capítulo 10; entretanto, em nenhuma das produções destes participantes, pude

encontrar provas conceituais baseadas em argumentos algébricos e em raciocínios

dedutivos. Estas observações me trouxeram o seguinte questionamento: como o

Consecutivo pode se tornar um ambiente capaz de promover o engajamento do

estudante da educação básica na produção de uma prova conceitual, algébrica e

dedutiva? Uma resposta para esta pergunta foi encontrada no estudo de Duval e Egret

(1989), já discutido na seção 2.6.

Duval e Egret (1989) argumentam que a aprendizagem das provas depende

da realização de atividades específicas que revelem a estrutura dedutiva das mesmas

por meio da relação entre registros não discursivos em forma de rede e registros

discursivos em língua natural. Pensando nestas considerações, desenvolvi um grupo

de quatro tarefas em que os estudantes devem organizar os argumentos de uma

conjectura já provada de duas maneiras: na forma de texto e na forma de esquemas

de rede.

155

Ao contrário das outras tarefas, as Tarefas Organizar deveriam ser

respondidas no computador. Para isso, era esperado que os estudantes arrastassem

os argumentos que apareciam na tela de modo a organizá-los dedutivamente na forma

de texto ou de rede (Figura 71 e Figura 72).

Figura 71: Tarefa Organizar 1.

Figura 72: Resposta esperada para a Tarefa Organizar 1.

As Tarefas Organizar 1 e 2 se referiam à mesma conjectura. Eram dois tipos

de argumentos distintos que justificavam o fato da soma de dois números

consecutivos ser sempre um número ímpar. Na primeira tarefa, há uma mistura de

argumentos algébricos e em língua natural. Os argumentos são escritos numa

linguagem mais simples e fazem alusão às representações figurais que podem

156

aparecer na tela do Consecutivo. O objetivo é fazer com que o aprendiz organize os

argumentos em forma de texto (Figura 71 e Figura 72). Na segunda tarefa, também

há uma mistura de argumentos algébricos e em língua natural, mas com uma escrita

mais formal. O objetivo é fazer com que os participantes organizem os argumentos

em forma de rede (Figura 73 e Figura 74).


Figura 74: Resposta esperada para a Tarefa Organizar 2.

A terceira Tarefa Organizar se referia a uma conjectura a respeito da soma de

cinco números consecutivos. Os argumentos foram apresentados com

representações figurais e em língua natural. A ideia era mostrar ao aprendiz que

argumentos baseados nas representações do painel Tartaruga também poderiam

ajudar na explicação de um padrão ou regularidade. O objetivo era organizar todos os

argumentos na forma de rede (Figura 75 e Figura 76).

157


Figura 76: Respostas esperada para a Tarefa Organizar 3.

A quarta Tarefa Organizar apresentava argumentos para mostrar que o

produto de três números consecutivos é sempre divisível por três. Estes argumentos

possuem representações numéricas e em língua natural. Além disso, eles fazem

alusão às propriedades da fatoração e divisibilidade de números naturais. O objetivo

é escrever um argumento que possua estrutura de texto e de rede ao mesmo tempo

(Figura 77 e Figura 78).

Para fins de coleta de dados, solicitei aos participantes que registrassem

sucintamente suas respostas no papel depois de finalizarem a solução no

computador.

Disponibilizei também na interface o botão Ok para que os participantes

pudessem avaliar se a organização feita por eles estava coerente. Graças a presença

do botão Ok, esperava que as duplas ou apresentassem no papel as respostas já

previstas para cada tarefa, caso recebessem uma resposta positiva do computador,

158

ou não apresentassem resposta alguma, caso não recebessem uma resposta positiva

do computador. Apesar deste direcionamento para uma apresentação final

semelhante, esperava que as respostas do botão Ok fomentassem discussões sobre

a lógica da posição dos argumentos e que estas tarefas, de modo geral,

influenciassem a estrutura e o conteúdo das respostas dos estudantes nas Tarefas de

Prova, as quais seriam realizadas subsequentemente.


Figura 78: Resposta esperada para a Tarefa organizar 4.

As interações dos participantes do terceiro teste ao realizarem as Tarefas

Organizar são discutidas no Capítulo 8; entretanto, a análise destas interações e

opiniões dos estudantes me fizeram pensar em diversas modificações para futuras

aplicações. Estas modificações são discutidas a seguir.

159

5.5 Sugestão de redesign para futuras aplicações

As duplas participantes do terceiro teste também apresentaram muitas

sugestões interessantes as quais possuem o potencial de serem incorporadas na

próxima versão do Consecutivo.

A participante L, por exemplo, notou que o ícone usado para fechar as janelas

do programa tinha o formato de uma seta, diferentemente do ícone mais tradicional

na forma de X. Este parece ser um detalhe superficial, mas por muitas vezes a

participante pressionou o ícone na forma de seta na intenção de mudar de tarefa, mas

teve como resultado o fechamento da tela (Figura 53). A substituição do ícone de seta

pareceu-me uma sugestão valiosa e passível de ser incorporada na interface

futuramente.

Muitos participantes relataram dificuldades em movimentar as barras de

rolagem a fim de escolher um número específico (Figura 50). Por exemplo, alguns

participantes queriam que a sequência de números consecutivos começasse com 17,

mas tinham bastante dificuldade de utilizar as barras de rolagem até conseguir o valor

desejado. Uma solução para este problema foi dada pelos próprios participantes. Eles

sugeriram que eu acrescentasse duas setas ao lado das barras de rolagem, uma à

direita, para aumentar os valores de um em um, e outra à esquerda, para diminuir os

valores. Esta sugestão parece bem sensata e é passível de ser realizada numa

próxima versão.

Alguns problemas na interface e no funcionamento do Consecutivo somente

apareceram quando tentei utilizar o programa em computadores com sistemas

operacionais diferentes. Os vídeos de ajuda, inseridos no ambiente para mostrar ao

aprendiz as potencialidades de uma determinada representação, funcionaram apenas

no sistema Windows XP, mas não funcionaram nos sistemas Windows Vista, Windows

7 e Windows 8. Este foi um problema causado pela falta de atualização e

modernização do Imagine, software o qual usei para construir o Consecutivo. Uma

solução mais imediata para este problema seria a substituição dos vídeos por outro

material de apoio, por exemplo, uma história em quadrinhos. Uma solução, a longo

prazo, seria reprogramar o Consecutivo com outro software, quem sabe até em uma

160

versão mais moderna a qual possa ser usada na internet e em aparelhos portáteis,

como tablets e celulares.

Depois da análise das conjecturas, dos argumentos e do processo que deu

origem aos mesmos, percebi que algumas mudanças nas representações disponíveis

no Consecutivo e nas tarefas propostas seriam importantes para fomentar o

engajamento dos participantes num processo de prova conceitual, ou seja, provas

baseadas em propriedades matemáticas.

Notei, por exemplo, que os painéis de representação contribuíram

minimamente para o processo de formulação de conjecturas e argumentos baseados

em propriedades matemáticas. Acredito que, para incentivar o uso destes painéis,

seria necessária a proposição de tarefas envolvendo valores fora do alcance dos

limites das barras de rolagem restringindo, consequentemente, o apelo ao cálculo

mental e aos argumentos empíricos.

Percebi também que os participantes do terceiro teste não formularam

conjecturas e argumentos baseados em representações figurais. Uma explicação para

isto pode estar no fato de eu ter reduzido o número de Tarefas Exploratórias, o que

fez as duplas terem menos tempo de interagir com as potencialidades deste tipo de

representação. Para fomentar a formulação de conjecturas e argumentos baseados

em representações figurais, pretendo inserir tarefas em que os participantes precisem

necessariamente utilizar o painel Soma Animal. Uma das possibilidades seria

restringir o acesso às outras representações enquanto o participante tenta resolver a

tarefa proposta.

Os vídeos com as interações da dupla L&M e os vídeos com as interações da

turma do terceiro teste como um todo indicaram que algumas características das

Tarefas Organizar precisam ser modificadas. Na Tarefa Organizar 3, por exemplo, o

participante M não recebeu uma resposta positiva do computador, pois não havia

centralizado corretamente os argumentos dentro dos retângulos na rede. Para evitar

este tipo de situação, é possível fazer com que o programa faça a centralização

automática dos argumentos, toda vez que o participante aproximá-los da área

desejada.

Com a análise das interações dos participantes, foi possível perceber que a

troca de posição de alguns argumentos pode fazer com que a prova continue

161

coerente. Por exemplo, na Tarefa Organizar 3 (Figura 76), os dois últimos argumentos

podem ser invertidos sem que a lógica da explicação seja comprometida. Por este

motivo, é possível modificar a interface das Tarefas Organizar de forma que mais de

uma solução apresente uma resposta positiva do computador.

As diferentes interpretações em torno da frase “explique por que a

regularidade ocorre” no enunciado também indicam a necessidade de redesign das

tarefas. Em muitos casos, depois de lerem o enunciado, os participantes se engajaram

em um processo de explicar porque a regularidade veio à tona e não num processo

de explicar porque a regularidade é válida sempre. Uma sugestão seria modificar o

texto da tarefa inserindo a palavra “sempre”. Outra opção seria pedir que os

participantes explicassem como eles convenceriam uma pessoa da validade da

regularidade observada.

Tenho interesse em disponibilizar o Consecutivo para a comunidade escolar.

Uma ideia seria compartilhá-lo na Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED), no

site http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php. Outra ideia é disponibilizá-lo no site do

Projeto Rumo à Educação Matemática Inclusiva da Universidade Anhanguera de São

Paulo, http://www.matematicainclusiva.net.br/index.php. Para isso, entretanto, a

princípio, eu modificaria aspectos discutidos anteriormente nesta seção e, também,

escreveria um material de apoio para professores e estudantes que quisessem utilizar

o programa.

Na próxima seção, discuto a metodologia utilizada para analisar as respostas

escritas e as interações entre os participantes.

http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php

http://www.matematicainclusiva.net.br/index.php

162

6. A METODOLOGIA DE ANÁLISE DE DADOS

Nos dois testes realizados com estudantes, coletei as respostas escritas de

todos os participantes e vídeo-gravei as interações de três duplas, duas no primeiro e

uma no terceiro teste. Esses dados foram analisados com o propósito de responder

minha questão de pesquisa, ou seja, de compreender a natureza das provas

elaboradas pelos estudantes ao interagirem com o Consecutivo.

O processo de análise dos dados passou por várias etapas e levou em

consideração vários aspectos das produções dos estudantes, tais como (1) as

representações e os conceitos matemáticos utilizados nas respostas escritas, (2) as

sequências de ações realizadas no Consecutivo as quais culminaram na redação de

uma conjectura e de uma prova, (3) a forma como as interações sociais mediaram a

formulação de conjecturas e justificativas e (4) a estrutura da argumentação dos

participantes.

Neste capítulo, apresento, em duas seções, a metodologia utilizada para

analisar as produções dos estudantes. Na primeira, discuto o processo de análise das

respostas escritas dos participantes. Na segunda, mostro como analisei as interações

das três duplas vídeo-gravadas.

6.1 A análise das produções escritas dos participantes

O processo de análise das respostas escritas dos participantes foi realizado

em duas etapas. Na primeira, apenas li e digitalizei todas as produções dos

estudantes. Na segunda, codifiquei essas produções escritas, seguindo os

pressupostos de Saldana (2009). De acordo com este pesquisador,

Codificar é uma ação cujo objetivo é encontrar padrões nos dados. Encontrar vários códigos iguais é natural, uma vez que há padrões repetitivos nas

163

questões humanas, e é deliberativo porque encontrar padrões é a meta da codificação33 (SALDANA, 2009, p. 5).

Analisei as produções escritas dos estudantes com três objetivos: (1) verificar

quais foram as representações utilizadas para redigir suas respostas, (2) saber quais

conceitos matemáticos foram empregados, (3) buscar evidências da mediação do

Consecutivo nestas produções.

Neste processo, servi-me de uma forma de codificação chamada de “código

provisório” (SALDANA, 2009). Utilizar o código provisório consiste em associar as

informações contidas em seus dados com uma lista de palavras retiradas da literatura

da sua área. No caso deste estudo, enquanto lia as respostas escritas dos

participantes, associava as representações que via com aquelas mencionadas em

Duval (2003), a saber: figural, gráfica, numérica, algébrica e em língua natural.

Associava também o conteúdo matemático com aqueles que trabalhamos nas salas

de aula da educação básica, tais como divisibilidade, fatoração, soma algébrica,

números primos, entre outros.

Figura 79: Exemplo de análise realizada nas produções escritas dos estudantes. Análise da Tarefa de

Prova 2, do terceiro teste, da dupla G&D.

Segundo Saldana (2009), “toda codificação é um julgamento, uma vez que

traz nossa subjetividade, personalidade, predisposições e caprichos” (p. 7). Desta

forma, ao analisar os dados escritos, procurei evidências da influência do Consecutivo

nas respostas dos estudantes. Ao encontrar alguma, eu a destacava e escrevia minha

interpretação. Esta interpretação se configurou como conjectura de pesquisa, a qual

33 Tradução minha para: Coding is an action whose objective is to find patterns in the data. Find several same

codes is natural since there are repetitive patterns of action in human affairs, and deliberative because find pattern

is the goal of coding.

164

eu poderia ou não confirmar ao assistir as interações das duplas vídeo-gravadas e ao

observar os questionários de opinião.

Para ilustrar o processo de análise das respostas escritas dos participantes,

apresento a Figura 79. Nesta imagem é possível observar a codificação empregada

na análise da resposta da dupla G&D para a Tarefa de Prova 2 proposta no terceiro

teste.

Pela Figura 79, é possível notar que a dupla G&D utilizou argumentos

algébricos e em língua natural para representar suas ideias. O conteúdo matemático

da resposta mostrou que estes participantes estavam familiarizados com a soma e a

fatoração de termos algébricos e com a divisão de expressões algébricas por um

número real. A explicação fornecida pelo par era esperada, uma vez que a interface

de Consecutivo possui representações algébricas. Acredito que os participantes

interagiram com as representações algébricas na tela e criaram suas justificativas

mediados pelos resultados desta representação. Uma evidência desta interação é a

resposta da dupla no questionário de opinião. Duas perguntas deste questionário

foram sobre o uso dos painéis de representação no Consecutivo. A primeira pergunta

exigia que os estudantes identificassem a representação que eles mais gostaram de

lidar. A segunda, solicitava que os mesmos identificassem a representação mais útil

para a resolução das tarefas. A dupla G&D selecionou o item “Algébrica" como

resposta para ambas as perguntas.

A análise das produções escritas me forneceu alguns elementos para

responder minha questão de pesquisa, revelando principalmente como são as provas

dos estudantes em termos de conhecimento matemático, das representações

empregadas e da influência da mediação tecnológica; entretanto, estas produções me

mostraram pouco sobre o processo de formulação de conjecturas e provas.

Observando apenas as respostas escritas ficou muito difícil saber como as interações

sociais contribuíram nesses processos, bem como saber em que momentos o uso do

Consecutivo foi mais significativo. Para revelar estes aspectos, analisei as interações

das três duplas vídeo-gravadas. A metodologia utilizada nesta análise é discutida na

próxima seção.

165

6.2 A análise das interações vídeo-gravadas

A análise das interações das três duplas vídeo-gravadas ocorreu em várias

etapas e teve como propósitos (1) trazer à tona possíveis padrões nas ações dos

estudantes ao resolverem as tarefas propostas no Consecutivo, (2) descrever a

estrutura dos argumentos empregados pelos estudantes para criar conjecturas e

provas e (3) revelar como as interações sociais e como a tecnologia contribuíram para

a formulação de conjecturas e provas.

Figura 80: Transcrição das falas da dupla B&G na Tarefa Exploratória 1, no primeiro teste.

166

Na primeira etapa de análise, assisti a todos os vídeos coletados e transcrevi34

as falas dos participantes. A Figura 80 apresenta um trecho da transcrição das falas

da dupla B&G ao resolver a Tarefa Exploratória 1, proposta no primeiro teste. É

possível notar que cada fala da transcrição é precedida pelo tempo em que ela

ocorreu. Desta forma, é possível saber que as participantes despenderam pouco mais

de um minuto para resolver a primeira tarefa proposta a elas. Pelo conteúdo da

conversa, é possível notar que, a princípio, elas não sabiam como começar a

atividade, mas com poucas observações, ações e discussões, elas chegaram à

resposta esperada para a questão.

Depois da transcrição, criei pequenos relatórios destacando, entre colchetes,

as ações mais relevantes dos participantes ao resolver cada uma das tarefas

propostas. A Figura 81 mostra o relatório criado para as interações da dupla B&G ao

resolver a Tarefa Exploratória 1, proposta no primeiro teste.

Figura 81: Protocolo com as interações da dupla B&G na Tarefa Exploratória 1, no primeiro teste.

Para determinar como as interações sociais mediaram as produções dos

participantes, eu analisei os vídeos de cada dupla, tentando revelar quais foram os

fatores que motivaram as discussões entre os participantes e quais foram os fatores

34 Eu utilizei o software Inqscribe para fazer as transcrições. Com este programa é possível temporalizar as

interações dos participantes criando links entre as falas dos mesmos e o tempo em que elas foram proferidas.

167

que motivaram minhas intervenções. Para isso, toda vez que eu observava uma

conversa entre os mesmos numa determinada tarefa, eu escrevia no meu relatório o

motivo de tal conversa, por exemplo, “dúvida no enunciado da questão”, “ideia para

resolver a tarefas”, “opinião contrária à do outro colega” etc. Fiz também um

procedimento semelhante toda vez que observava alguma intervenção de minha

parte.

Visando descobrir qual tarefa proposta motivou mais discussões entre os

participantes, determinei o tempo que cada dupla utilizou para resolver cada questão

e, também, determinei o volume de interações em cada tarefa.

Figura 82: Volume de Interação entre os participantes, pesquisadora e tecnologia.

Para determinar o tempo que cada dupla utilizou para resolver cada tarefa,

utilizei apenas as marcas temporais que já estavam na transcrição de suas falas. Para

determinar o volume de interações em cada tarefa, enquanto eu assistia aos vídeos,

eu atribuía o valor 1 para as tarefas em que poucas interações ocorreram entre os

participantes, o valor 2 para as tarefas em que as interações ocorreram de forma

moderada e o valor 3 para as tarefas em que as interações ocorreram de forma

intensa. Observando a Figura 82, é possível compreender o critério usado para

decidir se ocorreram poucas, moderadas ou intensas interações entre os

participantes.

Pouca Interação: relações

unilaterais entre estudantes, estudante e

tecnologia e/ou estudante e pesquisadora.

Moderada Interação:

relações unilaterais frequentes e relações bilaterais raras entre

estudantes, estudante e tecnologia e/ou estudante e

pesquisadora.

Intensa Interação:

relações unilaterais e bilaterais frequentes entre estudantes, estudante e

tecnologia e/ou estudante e pesquisadora.

168

Para as tarefas que envolviam a formulação de conjecturas e provas, realizei

ainda mais dois procedimentos. Primeiramente, transformei os protocolos dessas

tarefas em esquemas gráficos contendo as ações realizadas pelas duplas na

sequência em que elas ocorreram. Em cada ação, destaquei os elementos da

interface do Consecutivo que foram usados e as conjecturas e/ou justificativas

formuladas. Denominei estes esquemas de organogramas de ação. Na Figura 83, é

possível observar o organograma de ação da dupla G&N para a Tarefa Provar 1,

proposta no primeiro teste.

Figura 83: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 1, no primeiro teste.

Minha intenção ao criar os organogramas de ação foi a de observar a

existência de padrões no processo de formulação de conjecturas e provas com o

Consecutivo. Nestes organogramas, cada retângulo com borda preta indica uma ação

realizada pelos participantes. Os retângulos com borda laranja indicam as ferramentas

do Consecutivo as quais foram utilizadas para realizar determinada ação. Os

169

retângulos com bordas vermelhas mostram as conjecturas e justificativas

apresentadas pelos participantes, bem como as estratégias mais relevantes utilizadas

por eles em um determinado momento da tarefa. Os retângulos com borda verde

indicam minhas interpretações em determinado momento.

Para saber como as ferramentas disponíveis na interface e as interações

sociais mediaram o processo de formulação de conjecturas e provas, eu ainda

observei as discussões dos estudantes, tentando identificar quais dados, garantias,

reforços, qualificadores e réplicas foram utilizados para suportar a principal conclusão

de cada tarefa. Depois desta identificação, construí um esquema similar ao proposto

por Toulmin (2003) para cada tarefa realizada por cada uma das três duplas vídeo-

gravadas. Nestes esquemas, eu desenhei retângulos com bordas nas cores azul,

vermelha, preta, laranja e verde para representar, respectivamente, os dados, as

garantias, os reforços, os qualificadores/réplicas e as conclusões. Os retângulos com

borda contínua representam informações explícitas nas falas ou nas ações dos

participantes no computador. Os retângulos com bordas pontilhadas representam

inferências feitas por mim com base num conjunto de ações e falas dos participantes.

Ao construir os esquemas com a estrutura dos argumentos, notei que os

mesmos me permitiam saber “quais” informações os participantes utilizaram para

suportar suas conclusões, mas não me permitiam saber “quando” cada uma delas

veio à tona. Para adicionar certa temporalidade aos argumentos, coloquei um número

ao lado de cada informação expressa nos retângulos dos esquemas. Este número

representa o momento em que cada afirmação foi proferida ou acionada pela dupla.

Assim, por exemplo, a afirmação de número 2 veio à tona depois da afirmação de

número 1. Quando uma informação foi considerada implícita, eu a marquei apenas a

letra “i”. Acrescentei também um quadro na parte inferior do esquema destacando a

ordem com que cada elemento veio à tona e minhas interpretações. Na Figura 84, é

possível observar o esquema que eu construí para o argumento central apresentado

pela dupla B&G na Tarefa de Prova 4, no primeiro teste.

170

Figura 84: Estrutura do argumento da dupla B&G na Tarefa de Prova 4, no primeiro teste.

Para não me “perder” no processo de análise de dados, eu decidi que seria

mais produtivo separá-lo de acordo com o tipo de tarefa proposta ao participante

durante os testes com o Consecutivo. Desta forma, analisei primeiramente os dados

das Tarefas Explorar. Depois, analisei os dados das Tarefas Organizar, Conjecturar e

Provar, respectivamente. Por fim, considerei os principais resultados obtidos com a

análise de cada tipo de tarefa e verifiquei possíveis conexões e relacionamentos entre

eles. Uma discussão detalhada sobre cada uma destas etapas é apresentada nos

próximos capítulos.

(1) A soma de 8

consecutivos é par.

(2) Na tela, várias sequências

diferentes com 8 consecutivos

na reta numérica.

(4) A sequência tem 8

consecutivos.

(3) Quando temos uma quantidade par

de consecutivos, dá para somar par com

par e ímpar com ímpar (Falso).

(6i) Par + Par = Par

Ímpar + Ímpar = Par

Par + Ímpar = Ímpar

(5) 8 é um número par, quando a

quantidade de consecutivos é par a

soma é par (Falso).

(7) A menos que as garantias estejam erradas.

(I) Provável

C D G D Q G R

Tarefa: Informações do

enunciado e opinião da dupla

mediaram a conclusão e a

coleta dos primeiros dados.

Tarefa e mediação social: Informações do

enunciado, conclusões de outras tarefas e

discussões entre as participantes mediaram as

garantias e reforços.

Dados

Conclusão

Garantias

Reforços

Qualificador

Réplica

171

7. AS TAREFAS EXPLORAR

O Consecutivo é um ambiente digital dinâmico que contém múltiplas

representações para a sequência de números consecutivos, sua soma e produto.

Nesse ambiente, as Tarefas Explorar foram desenhadas para ter respostas rápidas e

simples e tinham como objetivo permitir aos estudantes a familiarização com a

interface do programa, com as potencialidades das ferramentas e com a utilização das

diferentes representações disponíveis.

As Tarefas Explorar também tinham como objetivo minimizar problemas

relacionados à translação entre as representações. Nesse sentido, a proposição

dessas tarefas levou em consideração o fato de que a quantidade de diferentes

representações disponibilizadas no ambiente, ao invés de promover aprendizado,

poderia fomentar confusões no raciocínio do aluno, uma vez que a tomada de

consciência das relações entre as representações não é imediata para o aprendiz

(Ainsworth et. al., 1997).

Neste capítulo, apresento minhas interpretações a respeito das interações e

das produções dos participantes nas Tarefas Explorar. Para que o leitor não se perca

nas explicações, apresento a Tabela 9. Nesta tabela, é possível verificar que, para

fins de análise, as Tarefas Explorar foram reorganizadas com uma numeração

diferente daquela proposta aos participantes nos testes. Por causa disso, inseri na

tabela uma coluna com os objetivos essenciais de cada tarefa e duas colunas para

verificar em que teste cada uma foi proposta. Cabe ressaltar que a descrição

detalhada dos objetivos das Tarefas Explorar já foi realizada nas seções 4.2.1 e 5.4.

Também é possível obter um resumo com os enunciados de todas as tarefas no Anexo

V.

Acrescentei também na Tabela 9 uma coluna com a relação “duplas que

acertaram/duplas que realizaram a tarefa”. Observando essa coluna, é possível

perceber que a maioria das duplas apresentou as respostas esperadas para quase

todas as Tarefas Explorar realizadas. Poucos erros foram encontrados. Esses erros

são discutidos e interpretados nas próximas seções.

172

Tabela 9: Lista simplificada dos objetivos das Tarefas Explorar.

TExp Objetivos Nº da tarefa

no 1º teste

Nº da tarefa

no 3º teste

Acertos/Quant.

de duplas

1 Movimentar as barras de rolagem e obter a

soma de uma sequência de consecutivos.

TExp 1 TExp 1 15/16

2 Movimentar as barras de rolagem e obter o

produto de uma sequência de consecutivos.

TExp 2 --- 2/2


primeiro número da sequência, dada a soma.

TExp 3 --- 2/2


primeiro número da sequência, dado o

produto.

TExp 4 TExp 2 16/16

5 Utilizar o Painel das Tartarugas e obter uma

sequência de números consecutivos

obedecendo a um critério de divisibilidade

para a soma.

TExp 5 TExp 7 16/16

6 Utilizar o Painel do Produto Retangular e

obter uma sequência de números

consecutivos obedecendo a um critério de

divisibilidade para o produto.

TExp 6 --- 2/2

7 Utilizar o Painel Resto e encontrar uma

regularidade para os restos de cada um dos

números de uma sequência de consecutivos.

TExp 7 TExp 5 16/16

8 Utilizar o Painel Fatoração e obter a forma

fatorada do produto de números

consecutivos.

TExp 8 --- 2/2

9 Usar o Painel Fatoração e obter os fatores

comuns dos produtos de três consecutivos.

TExp 9 TExp 3 14/16

10 Utilizar o Painel Algébrico e obter uma

expressão algébrica para soma de uma

sequência de números consecutivos.

TExp 10 TExp 6 12/16

11 Utilizar o Painel Fatoração e obter uma

sequência de consecutivos obedecendo a

certo critério de divisibilidade.

--- TExp 4 14/14

Nas próximas seções, discuto as representações empregadas pelos

participantes na redação de suas respostas, das estratégias e conceitos utilizados por

eles na solução das tarefas, dos papéis da tecnologia e da mediação social. Por fim,

apresentarei algumas conclusões, contrastando minhas pretensões ao propor as

Tarefas Explorar com os resultados observados.

173

7.1 As representações utilizadas nas respostas escritas

Nove das 11 Tarefas Explorar (excetuando-se as tarefas sete e dez) exigiam

que os participantes apresentassem como resposta uma sequência de números

consecutivos ou um número natural que poderia representar a soma, o produto ou

primeiro elemento da sequência. Para escrever tais respostas no papel, os alunos

preferiram representações numéricas, curtas e objetivas, o que já era esperado. Para

a Tarefa Explorar 1, por exemplo, a maioria das duplas observadas apenas escreveu

no papel o número 164. Somente uma dupla apresentou uma resposta escrita

contendo cálculos (Figura 85), o que indica que, neste caso, os participantes

prefeririam usar uma estratégia mais familiar para realizar a tarefa ou quiseram checar

se as respostas oferecidas pelo software eram confiáveis.

Figura 85: Resposta da dupla R&Y para a Tarefa Explorar 1.

A sétima Tarefa Explorar, que tratava dos restos das divisões dos números de

uma sequência de sete consecutivos, exigia que os estudantes tentassem extrair uma

regra geral de suas observações. Isto foi realizado por 15 das 16 duplas observadas.

Nestes 15 casos, os participantes preferiram redigir no papel representações em

língua natural. Muitos deles escreveram: “quando o primeiro número da sequência for

um múltiplo de 7” (Figura 86).

Na Tarefa 7, apenas uma dupla apresentou uma resposta numérica que

descrevia uma sequência particular de números consecutivos em que a regra

funcionava (Figura 87) e uma das 15 duplas mencionadas completou sua resposta

com uma expressão algébrica (Figura 88).

174

Figura 86: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Explorar 7.

Figura 87: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Explorar 7.

Figura 88: Resposta da dupla L&G para a Tarefa Explorar 7.

A análise dos vídeos revelou que a palavra “quando”, presente no enunciado,

parece ter levado os participantes a uma tentativa de resolução genérica. Os vídeos

também mostraram que a formulação dessa resposta genérica teve origem em ações

diferentes em cada dupla.

Para a dupla B&G, a regra geral originou-se em testes realizados com

diversas sequências de números consecutivos, mediados pelas representações do

painel Resto e pelas interações entre as participantes e a pesquisadora. A Figura 89

ilustra esta situação. Ela é uma adaptação35 das transcrições das falas da dupla B&G

ao resolver a Tarefa 7.

35 Para que o leitor possa compreender a medida em que estas adaptações se assemelham ao que ocorreu na

interação, eu apresento no Anexo IV com a transcrição completa das falas da dupla B&G ao resolver a Tarefa

Explorar 7.

175

Figura 89: Interação da dupla B&G na Tarefa Explorar 7.

Para a dupla L&M, a regra geral teve origem em estratégias e conceitos sobre

divisibilidade familiares a estudante L. Tais estratégias levaram a participante a ter um

insight sobre a solução da questão; no entanto, esse insight não foi suficiente para

convencer o outro integrante da dupla. Somente depois de manipular as barras de

rolagem e verificar os outputs na tela, M se convenceu de que a colega estava correta

(Figura 90).

Se você escolher 7 números

consecutivos e dividir cada

um deles por 7...

Onde divide

por 7? Veja no botão

Informação.

Quando os

quocientes são

iguais a dois.

Os restos são quase

consecutivos. Muda

mais um pouco.

Na pergunta está

pedindo “quando”

os restos são

consecutivos.

Sempre? Há

outros casos? Quando todos os

quocientes são

iguais.

176

Figura 90: Interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 7.

A décima Tarefa Explorar exigia que o participante escrevesse uma expressão

algébrica para representar a soma de cinco números consecutivos. Das 16 duplas,

dez redigiram uma resposta algébrica simplificada: 5n + 10. Duas duplas

apresentaram uma resposta algébrica expandida (Figura 91) e quatro duplas

apresentaram uma resposta algébrica que representava apenas a sequência de

números consecutivos e não sua soma (Figura 92). O fato de a maioria dos

participantes ter redigido uma resposta algébrica curta e as observações realizadas

nos vídeos sugerissem que a simplificação de expressões algébricas é uma estratégia

familiar ao estudante, provavelmente por conta do currículo escolar.

Início

Participantes leem o

enunciado da tarefa.

Eu acho que o primeiro

número tem que ser

múltiplo de 7.

?

L tem um insight.

M aciona o

painel Resto e

coloca 7

números

consecutivos

na barra de

rolagem a

M modifica o

primeiro

número da

sequência para

um múltiplo de

7.

L pede que o

divisor também

seja alterado

para 7.

M faz um teste

com outro

múltiplo de 7 e

se convence.

177

Figura 91: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Explorar 10.

Ainda na Tarefa 10, os vídeos mostraram que as respostas redigidas pelas

duas duplas B&G e G&N, no primeiro teste, foram mediadas pelas representações do

painel Algébrico e pela discussão entre os participantes e a pesquisadora (Figura 94);

porém na dupla L&M, no terceiro teste, pouca interação ocorreu entre os estudantes

o que acarretou na escrita de uma resposta parcialmente correta (Figura 92).

Figura 92: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Explorar 10.

Figura 93: Resposta da dupla R&Y para a Tarefa Explorar 10.

De modo geral, independente da representação utilizada, a maioria das

respostas dos participantes, nas Tarefas Explorar, foi curta e objetiva, contendo não

mais de uma sentença. Nenhuma das fichas de respostas devolvidas pelas duplas

apresentou indícios de soluções parciais ou paralelas, como, por exemplo, rasuras de

cálculos realizados no canto da página. Somente uma dupla, na primeira tarefa,

apresentou uma resposta em que cálculos foram feitos explicitamente (Ver Figura 85).

Ao analisar outras respostas desta dupla, percebi que foi uma estratégia utilizada

apenas na primeira tarefa. De todas as respostas dadas pelas duplas em geral,

apenas três foram classificadas como incorretas (Figura 93, por exemplo) e quatro

classificadas como parcialmente correta (Figura 92, por exemplo).

178

Figura 94: Interações da dupla G&N na Tarefa Explorar 10.

A pouca quantidade de erros cometidos, as representações curtas e objetivas,

a rapidez com que as Tarefas Explorar foram respondidas me levaram a concluir que

os participantes lidaram facilmente com as ferramentas básicas disponibilizadas na

tela do Consecutivo. Além disso, eles foram capazes de manusear as barras de

rolagem para controlar os outputs da soma e do produto na tela do computador e esse

controle contribuiu para que os mesmos resolvessem as tarefas propostas.

7.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do

Consecutivo

O enunciado das Tarefas Explorar explicitamente mencionava termos como:

números consecutivos, soma, produto, fatoração, divisibilidade e soma algébrica. Por

isso, era necessário que os participantes tivessem ao menos uma ideia superficial a

respeito dos mesmos. Não era necessária extrema destreza com cálculos mentais,

nem a memorização de propriedades relativas à teoria dos números, uma vez que o

Participantes

colocam 5 na

quantidade de

números

consecutivos e

modificam o valor do

primeiro número.

Participantes

continuam

modificando o valor

do primeiro número e

observam que as

expressões

algébricas não se

alteram.

Acho que devemos

juntar as expressões.

Participantes escrevem

resposta curta: 5n + 10 e

expandida: n+(n+1)+(n+2)+

(n+3)+(n+4)

179

Consecutivo foi programado para executar as operações e apresentar representações

que dariam suporte ao participante para a conferência da fatoração e da divisibilidade.

Durante a resolução das Tarefas Explorar, nenhum dos participantes pediu

explicações a respeito do conceito de números consecutivos, soma e produto. Os

vídeos também mostraram que esses conceitos não foram motivos de discussão entre

os participantes das três duplas filmadas. Isto mostra que tais conceitos são familiares

aos participantes, provavelmente pelo fato de estarem presentes no currículo escolar

abordado no Ensino Fundamental.

O conceito de fatoração também pareceu familiar aos participantes. As tarefas

8, 9 e 11 faziam menção direta à ideia de fatoração. Além de compreender as

representações do painel, que mostrava a forma fatorada de cada um dos números

de uma sequência de consecutivos, os participantes foram capazes de utilizá-las para

escrever a forma fatorada do produto dos números consecutivos e representar esse

resultado de forma reduzida, agrupando uma sequência de fatores iguais numa

potência (Figura 95). Estas observações sugerem que os estudantes usam estratégias

e conceitos familiares para a interpretação das representações dos painéis e para a

resolução das tarefas.

Figura 95: Comparação entre representação no painel Fatoração e a resposta da dupla M&Y para a

Tarefa Explorar 9.

O conceito de divisibilidade esteve explicitamente presente nas tarefas 5, 6, 7

e 11. Os participantes não tiveram dificuldades em lidar com o mesmo e, por muitas

vezes, mostraram ter conhecimentos específicos dentro deste domínio. A participante

L, por exemplo, utilizou uma propriedade da divisibilidade por 9 na resolução da Tarefa

180

5: se a soma dos algarismos for divisível por 9, o número será divisível por 9. A

participante B, na resolução da Tarefa 9, afirmou que todo número par é divisível por

2 e que, como dois é um número primo, nenhum outro número par poderia ser. A

destreza em dividir mentalmente também foi observada nos participantes. O estudante

G, por exemplo, na resolução da Tarefa 5, afirmou que 60 era divisível por 4 sem fazer

nenhum teste no computador ou no papel.

A Tarefa 11 exigia implicitamente que os alunos relacionassem os conceitos

de fatoração e divisibilidade. O enunciado desta tarefa dizia: Escreva uma sequência

de números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 13. Das 14 duplas

que responderam esta tarefa, 12 apresentaram como resposta uma sequência

contendo o número 13 (Figura 96).

Figura 96: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Explorar 11.

O fato de a maioria das respostas apresentar uma sequência de consecutivos

contendo o número 13 indica que os participantes conseguiram relacionar a ideia de

multiplicação com a ideia de divisibilidade: Se 𝑛 = 13 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏, a e b inteiros, então n é

divisível por 13. A análise dos vídeos mostrou que esta relação veio à tona de forma

espontânea, como uma consequência da interação entre os participantes. Para ilustrar

essa situação, apresento a Figura 97 que contém um esquema com a transcrição

adaptada das interações entre os participantes da dupla L&M.

Ainda na Tarefa 11, duas duplas apresentaram como resposta uma sequência

que não continha o número 13, mas continha um múltiplo dele como, por exemplo, a

sequência 25, 26 e 27. Isto sugere que, para estes estudantes, a presença do número

13 na fatoração dos elementos da sequência levaria a uma resposta que atendesse

às condições do enunciado. Essa solução pode ser uma evidência de que a relação

entre fatoração e divisibilidade é familiar para tais participantes: Se 13 é um fator de

n, então n é divisível por 13.

181


A Tarefa 10 solicitava explicitamente que os estudantes escrevessem uma

expressão algébrica para a soma dos elementos de uma sequência de cinco números

consecutivos. No painel algébrico, era possível visualizar uma representação

algébrica para cada elemento da sequência; todavia, a soma algébrica desses

elementos deveria ser representada pelos participantes. Esperava que as discussões

realizadas entre os mesmos, atreladas ao uso de estratégias familiares para este tipo

de situação, contribuíssem para o sucesso na tarefa (um esquema pode ser visto na

Figura 94). As respostas escritas mostraram que 12 das 16 duplas (ver Tabela 9) a

responderam corretamente. Isso é uma evidência de que grande parte dos

participantes estava familiarizada com a ideia de soma algébrica.

Use o botão fatoração e escreva

uma sequência...

Tem que ser divisível por treze. Ele tem que estar na sequência. Tem que estar aparecendo aqui (L aponta

para a reta). Coloca qualquer coisa que tenha

13.

Ah! Entendi. É só colocar 11, 12 e o 13 vai aparecer.

M coloca 3 números consecutivos na reta e

modifica o primeiro número da sequência usando as

barras de rolagem.

182

Na próxima seção, focalizo as interações das três duplas vídeo-gravadas com

o propósito de descrever o processo o qual levou à resolução das Tarefas Explorar.

Nessa descrição, destacarei o papel mediador das ferramentas e representações do

Consecutivo.

7.3 O desenvolvimento das Tarefas Explorar e o papel do

Consecutivo

As tarefas 1 a 4 tinham objetivos muito similares. No que diz respeito ao uso

do software, a intenção era fazer com que os participantes movimentassem as barras

de rolagem que controlam a quantidade de números consecutivos e o primeiro número

da sequência percebendo, ao mesmo tempo, como esse movimento controla os

valores da soma, do produto e as representações presentes nos painéis. O tempo de

interação com o programa e a natureza das respostas escritas (numéricas e curtas)

indicaram que estas tarefas foram de fácil compreensão e realização, como previsto.

Os alunos manipularam as barras de rolagem com destreza e associaram os dados

do enunciado com os rótulos da interface. O uso dos recursos do programa ficou

restrito ao manuseio das barras de rolagem, dos movimentos da soma, do produto e

da reta, mas isto também era esperado para estas quatro tarefas iniciais.

A análise dos vídeos mostrou que os participantes desenvolvem estratégias

para resolver as tarefas usando como base os outputs da soma e do produto na tela

do programa. Durante a realização da Tarefa 3, por exemplo, a participante G, da

dupla B&G, apresentou sugestões para a colega de como a tarefa deveria ser

resolvida. Para isso, G levou em consideração as ações realizadas na tarefa anterior

e que ainda tinham os resultados preservados na tela do computador. A seguir,

apresento um esquema adaptado da transcrição da interação entre as participantes

(Figura 98). Foi possível notar que a tarefa foi realizada com extrema rapidez, em

aproximadamente 20 segundos, e que o insight de G foi essencial na resolução.

183

Figura 98: Interações da dupla B&G na Tarefa Explorar 3.

As Tarefas Explorar 5 a 11 foram propostas tendo em vista que os alunos

explorassem as características e potencialidades das diversas representações

disponíveis nos painéis de representação, bem como trouxessem à tona conceitos de

múltiplos, divisores, divisibilidade, restos, fatoração e soma algébrica.

O fato de o enunciado das tarefas 5 a 11 possuir indicações explícitas para o

uso dos painéis de representação fez com que todas as duplas acionassem os

mesmos; contudo, nem sempre este acionamento indicou o uso efetivo da

representação contida nos painéis para a resolução das tarefas.

Nas tarefas 5, 6 e 11, por exemplo, por muitas vezes, as duplas controlaram

os outputs da soma e do produto por meio da movimentação das barras de rolagem

de modo que fosse possível escolher valores cuja divisibilidade pudesse ser conferida

por meio de cálculo mental. Isto ficou evidente nas falas do aluno G durante a

resolução da Tarefa 6:

[00:05:53.29] G: Produto retangular... escreva três números...

[00:06:06.09] G: Produto dividido por quatro.

[00:06:07.22] G: Vai nos primeiros números pra eu ver. Às vezes é mais fácil.

Informação preservada a

tela devido à resolução da

tarefa 2

Qual é o primeiro número de uma sequência de 5

consecutivos cuja soma é 110?

Ah, é só procurar a soma

110. É menos que 30. A

gente sabe disso porque

o 30 dá 160 (aponta para

a tela). Ou seja, pra dar

110 na soma tem que ter

menos de 30.

184

As palavras de G podem também ser vistas como uma evidência de que os

participantes desenvolvem estratégias de resolução pautadas no controle dos

hotspots disponíveis no programa de modo a favorecer o uso de conceitos com os

quais eles já estão familiarizados. Neste caso, o participante controlou as barras de

rolagem de modo que a sequência de números consecutivos começasse com os

primeiros números naturais, o que geraria produtos cuja divisibilidade por quatro seria

fácil de verificar por meio de cálculo mental. Esta estratégia inibiu o uso dos painéis

de representação como fonte para a resolução de algumas tarefas.

Os vídeos mostraram que a estratégia de cálculo mental, discutida

anteriormente, nem sempre levou os participantes à resposta da tarefa. Nestes casos,

as limitações dessa estratégia fizeram com que os estudantes acessassem os painéis

de representação e compreendessem seu conteúdo. Isto ficou evidenciado pelos

acessos ao botão Informação e pela necessidade de minhas intervenções para

explicar detalhes das representações. A seguir, apresento um trecho da transcrição

da interação entre as participantes B&G, representando um momento em que o botão

Informação foi acionado na tentativa de compreender a representação do painel

Produto Retangular durante a realização da Tarefa 6.

[00:08:04.12] G: Use o produto retangular e escreva uma sequência de três números

consecutivos cujo produto seja um número divisível por 4 (participantes lendo o

enunciado da tarefa 6).

[00:08:10.15] G: Ah, essa é fácil.

[00:08:11.22] B: Pera aí.

[00:08:16.15] G: É quatro números ou três?

[00:08:18.18] B: Quatro. Três.

[00:08:22.19] B: Três.

[00:08:29.10] G: Clica no Izinho36 senão a gente não vai saber.

A estratégia de cálculo mental também não inibiu o acesso ao painel de

representações quando os participantes tiveram curiosidade para compreender o

conteúdo do mesmo. Isto pode ser evidenciado principalmente na Tarefa 5, que

envolvia o uso do Painel das Tartarugas. A dupla L&M, por exemplo, respondeu a

36 As participantes B&G chamavam de Izinho o botão Informação.

185

tarefa com um insight da participante L, mas, mesmo assim, acionou o painel das

Tartarugas para tentar compreender a dinâmica das representações (Figura 99).


Nas tarefas 7 a 10, os painéis de representações foram mais utilizados como

fonte para a resolução das tarefas. Tais tarefas exigiam que os participantes

pensassem nos restos de algumas divisões, na forma fatorada do produto de uma

sequência de números consecutivos e na forma algébrica da soma de uma sequência

de números consecutivos. Os participantes encontraram mais dificuldades de utilizar

estratégias baseadas em cálculo mental para esses conceitos, o que parece justificar

o intenso uso dos painéis de representações.

Para as tarefas 7 a 10, a utilização do Consecutivo pelos participantes foi além

da manipulação das barras de rolagem para controlar os valores da soma e do

produto. Nessas tarefas, o controle das barras de rolagem começou a ficar associado

com as mudanças ocorridas nas representações dos painéis. A observação dessas

Escreva uma sequência de 4 consecutivos cuja soma seja

divisível por 9 (lendo).

Para o número ser

divisível por 9 a soma

dos algarismos deve

ser múltiplo de 9.

18 dá certo, 1 + 8 = 9. Agora,

aciona o botão da Soma.

Organiza em 9. Entendeu? São duas filas de 9

sem sobra.

Estudantes organizam as barras

186

mudanças serviu como fonte de inspiração para os participantes formularem suas

respostas (Ver Figura 94) e desempenhou um papel no convencimento da validade

de seus próprios insights ou dos insights do colega (Ver Figura 90).

Durante a análise dos vídeos, algumas situações chamaram minha atenção

por envolverem confusões realizadas pelos participantes, o que poderia indicar a

necessidade de redesign, ou ainda, uma limitação do ambiente pelo fato do mesmo

conter múltiplas representações.

A Tarefa 2, por exemplo, pedia que os participantes olhassem para o produto

dos números consecutivos, entretanto a dupla B&G apresentou como resposta a

soma. Este pareceu um descuido isolado, mas pode ter sido causado pelo excesso

de informações na tela ou pela característica do enunciado da tarefa, que era muito

parecido com o enunciado da questão anterior que exigia a soma dos números

consecutivos. Algo parecido ocorreu na Tarefa 5, em que os participantes de uma das

duplas estavam olhando para pontos diferentes da tela enquanto discutiam a mesma

ideia.

Outra confusão ocorreu durante a resolução da Tarefa 4. Esta tarefa tinha

uma lógica inversa à tarefa anterior e a dupla L&M tentou realizar uma ação inversa

também, o que não era suportado pelo programa. A dupla tentou digitar valores para

o produto, esperando que o computador modificasse o valor do primeiro número e a

quantidade de números consecutivos nas barras de rolagem. Como suas ações não

deram resultado, os participantes acionaram cada um dos painéis de representação

para tentar resolver a tarefa; no entanto, o acionamento dos botões de representação

pela dupla não levou ao uso efetivo destas ferramentas para a resolução da tarefa.

O enunciado também foi motivo de confusão em algumas tarefas por causa

da complexidade do texto, da natureza das representações nos painéis, ou ainda, por

erros de digitação no conteúdo do mesmo. Estas confusões se fizeram notar por meio

das tentativas de acionamento do botão Informação pelos participantes e da

necessidade de minhas intervenções para dar explicações paralelas sobre o objetivo

da tarefa.

O botão Informação foi inserido na interface de cada painel na tentativa de

auxiliar o estudante quando o mesmo tivesse dificuldade de compreender o significado

das representações. Na versão do Consecutivo utilizada no primeiro teste, o conteúdo

187

das informações foi apresentado de forma escrita aos alunos. Na versão do terceiro

teste, o conteúdo foi apresentado na forma escrita e na forma de vídeo.

Figura 100: Interações da dupla B&G na Tarefa Explorar 5.

Ambas as duplas participantes do primeiro teste utilizaram o botão Informação

por diferentes razões, por sugestão minha, por sugestão de um colega, ou por livre e

espontânea vontade. A dupla B&G, por exemplo, acionou o botão Informação pela

primeira vez enquanto resolvia a Tarefa 5, por sugestão minha, para compreender a

representação do painel das Tartarugas. Depois disso, as participantes passaram a

acionar o botão espontaneamente, toda vez que não compreendiam como a

representação do painel poderia ajudar na resolução da tarefa proposta. Na dupla

G&N, o primeiro acionamento ocorreu durante a resolução da Tarefa 6,

espontaneamente, para compreender a representação do painel, e muitas vezes

depois, da mesma forma. A dupla L&M, diferentemente, não acionou o botão

Informação nenhuma vez durante a resolução das Tarefas Explorar; porém, a análise

dos vídeos que gravavam a dinâmica da classe como um todo mostrou que diversas

duplas participantes do terceiro teste acessaram o botão Informação quando

Vocês entenderam as tartaruguinhas, aquelas

pequenas que sobraram?

Sim. As pequenininhas são

os números ½ ou 7,5.

A quantidade de

tartarugas dentro

do retângulo é

próxima ao valor

da soma.

Então, as tartaruguinhas

completam a soma.

E se a soma for

divisível por 6

teremos um

retângulo completo.

188

apresentaram dificuldades em compreender as representações dos painéis ou o

conteúdo do enunciado.

As instruções presentes no botão Informação nem sempre foram suficientes

para esclarecer as dúvidas dos estudantes. Isto ficou evidenciado com a necessidade

de minhas intervenções em alguns casos. Para ilustrar esta situação, apresento a

Figura 100 que contém um esquema com a transcrição adaptada das interações entre

os participantes da dupla B&G na Tarefa 5. O trecho em questão ilustra também a

capacidade dos participantes em compreender as representações dos painéis quando

interagem uns com os outros ou com a pesquisadora.

As interações entre os participantes e entre a pesquisadora e os participantes

contribuíram também para o processo de resolução das Tarefas Explorar. Na próxima

seção discuto o papel da mediação social nesse processo.

7.4 As interações sociais nas Tarefas Explorar

Em todos os testes realizados com o Consecutivo, os participantes

trabalharam em duplas na frente de um computador. Esta não foi uma escolha

ingênua. O Consecutivo foi desenhado na intenção de promover a elaboração de

conjecturas, bem como a formulação de provas para as mesmas. Ambientes

mediados por interações sociais podem potencializar o alcance destes objetivos37.

Assim que os participantes começaram a resolver as Tarefas Explorar, notei

que cada um deles assumia papeis diferentes no decorrer das interações. Por

exemplo, assim que cada tarefa iniciava, um dos participantes assumia o controle do

mouse e o outro, quase que imediatamente, passava a dar instruções de como as

barras de rolagem deveriam ser posicionadas para atender às exigências do

enunciado da tarefa. O controle do mouse trocava de mãos nos momentos em que o

participante observador queria conferir algo que o colega realizou ou quando o mesmo

queria realizar outras ações que não foram compreendidas pelo colega enquanto as

instruções foram passadas. Este ciclo “Manipulação – Observação – Troca de papeis

37 Veja Garuti et. al. (1996), Balacheff, (1999) e Lakatos, (1976) para mais detalhes.

189

– Teste” gerou uma série de discussões entre os participantes e contribuiu

significativamente para que as Tarefas Explorar fossem resolvidas.

Com a Tabela 10 é possível verificar quanto tempo (em segundos) foi

despendido por cada dupla para resolver cada uma das Tarefas Explorar. As cores

Vermelha, Amarela e Verde representam o volume de interações em cada tarefa,

respectivamente, Pouca, Moderada e Intensa.

Tabela 10: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Explorar e

Volume das Interações ocorridas.

Dupla TEx 1 TEx 2 TEx 3 TEx 4 TEx 5 TEx 6 TEx 7 TEx 8 TEx 9 TEx 10 TEx 11

G&N 7 29 56 17 78 31 81 91 38 56 ---

B&G 74 33 21 34 199 280 303 154 100 85 ---

L&M 75 --- --- 136 221 --- 149 --- 386 40 99

É possível perceber que o volume de interações cresceu38 conforme as tarefas

foram realizadas, com três exceções apenas. Uma das explicações para este

crescimento no volume das interações está no fato de que, a partir do item 5, as tarefas

passaram a exigir que os participantes acionassem os botões de representação; isso

gerou discussões sobre o significados das mesmas, bem como a necessidade de

intervenção da minha parte. É curioso notar que a Tarefa 5 teve intensa interação para

as três duplas analisadas. Vale lembrar que esta tarefa envolvia o uso do painel das

Tartarugas, cuja representação se mostrou atrativa pelo seu aspecto figural. A dupla

L&M despendeu 386 segundos para responder a Tarefa 9. Este foi o maior tempo

aferido para a solução de uma Tarefa Explorar; no entanto, este caso está associado

a um volume intenso de interação, o que explica em parte o tempo excessivo. Por

outro lado, a dupla G&N despendeu apenas 7 segundos para responder à primeira

tarefa. Em tal caso, houve pouca interação entre os participantes.

A análise dos vídeos apontou três fatores como os principais

desencadeadores das discussões entre os participantes: (1) a negociação entre os

38 A título de curiosidade, a relação entre o tempo dispendido pelas duplas na resolução das Tarefas Explorar e o

volume de interações ocorridas é estatisticamente significante. Quanto maior o volume de interação, maior o

tempo gasto pelos participantes (r = .65, p < .001). Aproximadamente 43% da variância nos tempos são explicadas

pela variância do volume das interações, o que representa um moderado effect size.

190

integrantes da dupla sobre como posicionar corretamente as barras de rolagem e

acionar o painel solicitado no enunciado da tarefa, (2) dúvidas a respeito do conteúdo

do enunciado e das representações dos painéis e (3) tentativas de explicar uma ideia

para a resolução da tarefa. A medida com que estes fatores ocorreram nas interações

de cada dupla vídeo-gravada está na Tabela 11.

Tabela 11: Quantidade de Tarefas Explorar em que os motivos das discussões ocorreram levando-se

em consideração as interações de cada dupla vídeo-gravada.

Quantidade de Tarefas Explorar

Código Motivo da discussão B&G G&N L&M Total

1 Negociação posição das barras/painel 8 6 5 19

2 Dúvida no enunciado e representação 3 3 3 9

3 Tentativa de explicar uma ideia 7 4 4 15

A Tabela 11 mostra que grande parte das discussões entre os participantes

estava relacionada à necessidade dos mesmos lidarem como a interface do

Consecutivo, discutindo como as barras de rolagem e as ferramentas disponíveis

deveriam ser utilizadas, ou ainda, discutindo o significado das representações dos

painéis e dos enunciados. A tentativa de explicar uma ideia também teve destaque

como fator desencadeador de discussões.

O trecho apresentado na Figura 101 foi extraído de um dos relatórios de

observação redigidos por mim para descrever as interações ocorridas durante a

resolução da Tarefa 9 pela dupla L&M. Com a leitura deste trecho, é possível perceber

que os três fatores presentes na Tabela 11 podem ocorrer durante a resolução da

mesma tarefa.

Figura 101: Protocolo com as interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 9, no terceiro teste.

191

As minhas intervenções contribuíram para aumentar o volume das interações

ocorridas em cada tarefa. A análise dos vídeos apontou quatro fatores os quais

favoreceram a ocorrência de intervenções de minha parte: (1) Dificuldades dos

participantes em compreender o objetivo da tarefa ou o texto do enunciado, (2)

necessidade de explicar conceitos matemáticos, (3) necessidade de explicar a

utilidade das representações dos painéis e (4) necessidade de instigar os participantes

para que eles pudessem relacionar o conteúdo das representações aos objetivos da

tarefa. Analisei as interações de cada dupla em cada tarefa, com isso, foi possível

estabelecer em que medida estes fatores ocorreram. A Tabela 12 apresenta os

resultados destas observações.

Tabela 12: Quantidade de Tarefas Explorar em que os motivos das intervenções da pesquisadora

ocorreram levando-se em consideração as interações de cada dupla vídeo-gravada.

Quantidade de Tarefas Explorar

Código Fator B&G G&N L&M Total

0 Sem intervenção 3 10 5 18

1 Dificuldades com a tarefa 3 - 1 4

2 Explicação de conceitos 1 - - 1

3 Explicação da representação 4 - - 4

4 Instigação 1 - 1 2

Em 18 dos 27 casos analisados, não houve necessidade de intervenção de

minha parte, o que reforça a ideia de que a interface do Consecutivo foi de fácil

assimilação por parte dos participantes. Grande parte das intervenções ocorreu com

a dupla B&G para que fosse explicado o significado das representações dos painéis,

o que justifica a interação intensa, ocorrida a partir da resolução da quinta tarefa (ver

Tabela 10). Não houve nenhuma intervenção minha para a dupla G&N, por exemplo.

Isto pode explicar porque esta dupla teve apenas um momento de interação intensa

durante a resolução de uma única tarefa (ver Tabela 10). A dupla L&M contou com

minhas intervenções em apenas dois momentos, nas tarefas 9 e 11, isso sugere que

outros motivos influenciaram a intensa interação entre os participantes nas tarefas 4,

5 e 7 (ver Tabela 10 e Tabela 11).

Ao observar os resultados da análise do papel da mediação social no processo

de resolução das Tarefas Explorar, posso ter uma ideia das possíveis interações que

192

ocorreriam em sala de aula, caso o Consecutivo fosse utilizado. É possível ver que os

estudantes conversam bastante entre si para tentar compreender as ferramentas da

interface e resolver as tarefas propostas. Eles têm uma postura “desbravadora”, pois

exploram cada botão e cada painel de várias maneiras. Quando dificuldades surgem,

eles tomam atitudes variadas, tais como (1) chamar o professor, (2) pressionar o botão

informação, (3) navegar pelas ferramentas e pelos painéis de representação e (4)

apelar para estratégias de resolução mais familiares. De forma geral, eles são bem

sucedidos ao resolver as primeiras tarefas propostas.

Para finalizar minhas discussões sobre as Tarefas Explorar, na próxima seção,

apresento alguns parágrafos descrevendo aquilo que eu percebi ser comum nas

interações observadas neste tipo de tarefa.

7.5 Considerações sobre as Tarefas Explorar

Como relatado anteriormente, dois fatores justificaram a presença das Tarefas

Explorar na interface do Consecutivo: (1) tornar as ferramentas do programa familiar

aos estudantes e (2) reduzir os problemas enfrentados pelos estudantes com a

translação entre as representações. Estes objetivos foram alcançados parcialmente.

A análise das respostas escritas e das interações vídeo-gravadas mostraram

que os participantes manusearam com destreza as barras de rolagem de modo a

controlar os outputs da soma e do produto. Neste sentido é possível dizer que os

estudantes se familiarizaram com a interface do Consecutivo e aprenderam a lidar

com as ferramentas do ambiente.

Por outro lado, os participantes utilizaram pouco os painéis de representação

como fonte de resolução para as tarefas. Para resolver as tarefas propostas, os

estudantes deram preferência a estratégias e a conceitos com os quais já estavam

habituados a lidar rotineiramente. Os painéis de representação do Consecutivo foram

somente usados como fonte para a resolução das tarefas quando a complexidade das

mesmas limitou as possibilidades de uso destas estratégias rotineiras.

Algumas dificuldades dos participantes em lidar com o Consecutivo foram

identificadas. Em grande parte dos casos, essas dificuldades estavam atreladas à

193

compreensão do enunciado da tarefa, à compreensão de uma específica

representação, ou ainda, ao fato do ambiente possuir múltiplas representações para

os números consecutivos, sua soma e seu produto. A complexidade da representação

e da conexão entre várias representações também pode ser apontada como uma

razão para os estudantes preferirem o uso de conceitos e estratégias familiares como

fonte para a resolução da tarefa.

A análise das interações vídeo-gravadas mostrou que as representações do

Consecutivo têm o potencial de servir como fonte na resolução das tarefas propostas;

entretanto, este potencial está atrelado à natureza da tarefa e às interações sociais

entre os participantes e entre as duplas e a pesquisadora.

Estas considerações trazem implicações para um futuro redesign do ambiente,

principalmente, no que se refere à criação de tarefas específicas para promover o

desenvolvimento de estratégias relacionadas às representações. Tais tarefas

precisam limitar o uso do cálculo mental pelos estudantes e, mais do que isso, ter sua

resolução extremamente relacionada às representações disponibilizada e às relações

entre elas.

Neste contexto, vislumbra-se a necessidade de criação de tarefas as quais

relacionem a fatoração do produto de números consecutivos com a divisibilidade

desse produto por um número natural, o qual limite as ações do aluno dentro das

ferramentas presentes na interface. Além disso, tarefas que relacionem a soma dos

números consecutivos com a divisibilidade dessa soma por um número natural, o qual

propicie o uso efetivo do painel das Tartarugas, uma vez que essa representação

despertou o interesse dos participantes.

No próximo capítulo, apresento os principais resultados da análise realizada

sobre as Tarefas Organizar.

194

8. AS TAREFAS ORGANIZAR

As Tarefas Organizar tinham o propósito de fornecer aos estudantes exemplos

de argumentos mais formais, baseados nas representações presentes na interface do

Consecutivo, bem como engajá-los num processo de organização dedutiva de ideias.

Foram propostas quatro tarefas deste tipo aos participantes do terceiro teste. Uma

lista simplificada dos objetivos de cada uma delas e a frequência de acertos pode ser

conferida na Tabela 13. Vale ressaltar que os objetivos deste tipo de tarefa já foram

discutidos de forma detalhada na seção 5.4.

Tabela 13: Objetivos das Tarefas Organizar e a relação acertos/participantes.

TOrg Objetivo Acertos/ participantes

1 Organizar num texto os argumentos a respeito da soma de dois números consecutivos.

12/14

2 Organizar numa rede os argumentos a respeito da soma de dois números consecutivos.

11/14

3 Organizar numa rede os argumentos a respeito da soma de cinco números consecutivos.

11/14

4 Organizar numa rede os argumentos a respeito do produto de três números consecutivos.

10/14

Das 14 duplas participantes do terceiro teste, dez apresentaram respostas

escritas para as quatro Tarefas Organizar propostas, uma dupla apresentou resposta

para três tarefas, uma dupla apresentou resposta para apenas uma tarefa e duas

duplas não responderam nenhuma delas. Ao analisar os vídeos os quais mostram a

interação da turma como um todo, foi possível perceber que três duplas não

completaram as Tarefas de Organizar pois chegaram atrasadas à aula e lhes faltou

tempo para concluir a atividade.

Como esperado, todas as respostas escritas dos participantes

corresponderam àquelas previstas por mim, o que ratifica a ideia de que o output do

botão Ok influenciou suas produções.

A Tabela 14 apresenta de forma resumida as opiniões dos estudantes a

respeito das Tarefas Organizar. É possível notar que grande parte dos participantes

195

apontou que o enunciado das tarefas foi de fácil compreensão e não houve

dificuldades maiores em lidar com elas.

Tabela 14: Opinião dos participantes a respeito das Tarefas de Organização39.

Enunciado Claro? Tarefa Difícil? Tarefa ajudou a provar?

Muito 11 2 4

Parcialmente 8 4 8

Pouco 2 8 7

Nada - 7 1

Apesar de oito participantes terem apontado que as Tarefas Organizar

ajudaram minimamente nas Tarefas Provar, ao analisar as provas produzidas pelos

mesmos, notei possíveis conexões. As duplas G&D, A&D e B&D, por exemplo,

apresentaram uma prova com argumentos baseados na ideia de fatoração na Tarefa

Provar 4 (Figura 102, Figura 103 e Figura 104). Estes argumentos são extremamente

parecidos com aqueles presentes na Tarefa Organizar 4 (Figura 72). Além destas

duplas, outras duas também apresentaram respostas similares.

Figura 102: Resposta da dupla G&D para Tarefa de prova 4.

39 Vinte e três dos 29 participantes do terceiro teste responderam ao questionário de opinião. Entretanto, alguns

questionários respondidos apresentaram questões em branco.

196

Figura 103: Resposta da dupla A&D para a Tarefa de Prova 4.

Figura 104: Resposta da dupla B&G para a Tarefa de Prova 4.

As interações da dupla L&M me forneceu informações para compreender o

processo de solução das Tarefas Organizar, verificando como as ferramentas do

Consecutivo e as interações sociais contribuíram para as soluções apresentadas.

Com a análise dos vídeos foi possível perceber que os participantes

resolveram as Tarefas Organizar com bastante cuidado, tentando posicionar os

argumentos de forma coerente na tela do computador.

A Tabela 15 apresenta de forma resumida o tempo despendido pela dupla

L&M na realização de cada tarefa, o volume de interações e os motivos os quais

levaram os participantes a discutir ideias entre si. Não houve dificuldades por parte

desta dupla em manusear as ferramentas do programa para resolver estas tarefas.

De forma geral, eles levaram pouco tempo para resolvê-las e grande parte das

interações ocorreu por conta do conteúdo dos argumentos e não por conta de

197

problemas relacionados ao uso da interface. Além disso, não houve necessidade de

intervenção da pesquisadora em momento algum.

Tabela 15: Tempo de resolução, volume e motivo das interações da dupla L&M durante as Tarefas Organizar.

TOrg Tempo (s) Volume de interações Motivo das interações

1 190 Moderado Discussão sobre testes realizados com as barras de rolagem e painel Soma Animal.

2 380 Intenso Instruções para o posicionamento dos argumentos e discussão sobre a maneira correta de conectá-los.

3 124 Pouco Explicação sobre o posicionamento dos argumentos.

4 67 Pouco Discussão de argumentos adicionais.

A primeira Tarefa Organizar pedia que o participante organizasse na forma de

texto os argumentos oferecidos para validar a ideia de que a soma de dois números

consecutivos é sempre um número ímpar. Estes argumentos faziam referência à

forma algébrica do número ímpar e à representação do painel Soma Animal (Figura

72). A dupla L&M rapidamente organizou os argumentos de forma coerente. Depois

da leitura do texto já organizado, a participante L começou a fazer testes

movimentando as barras de rolagem e observando simultaneamente as

representações do painel Soma Animal. É possível interpretar que estes testes foram

realizados com a intenção de compreender o conteúdo dos argumentos oferecidos,

uma vez que eles eram baseados nas representações do painel Soma Animal, o qual

não é tão familiar ao estudante.

Durante a resolução da Tarefa Organizar 2, a dupla deveria organizar na

forma de rede os argumentos oferecidos para a ideia de que a soma de dois números

consecutivos é sempre ímpar. Cabe ressaltar que a conjectura era a mesma da tarefa

anterior, mas os argumentos tinham uma estrutura diferente. Nesta tarefa, os

argumentos se referiam somente à forma algébrica do número ímpar e a linguagem

do texto era mais formal. Os participantes organizaram rapidamente os argumentos

na forma de rede. Apesar de o controle do mouse estar com o participante M, a

organização dos argumentos ocorreu por meio de um processo de negociação entre

eles. Depois da organização, o botão OK foi pressionado e a dupla não recebeu uma

198

resposta positiva do computador. Imediatamente depois da resposta do computador,

o participante M trocou a posição de dois argumentos. Pressionou novamente o botão

Ok e obteve uma resposta positiva. A participante L não compreendeu porque o colega

trocou os dois argumentos e ambos começaram uma discussão a respeito da

coerência da resposta do computador. Nesta discussão, M justifica a troca dizendo ter

se baseado em certos termos que apareceram no texto do argumento, como a palavra

“logo”. Isto indica que a troca dos argumentos foi intencional e teve como ponto de

partida a resposta do botão Ok. A Figura 105 ilustra esta interação.

Figura 105: Interação da dupla L&M na Tarefa Organizar 2.

A terceira e a quarta Tarefas Organizar foram respondidas com muita rapidez

pelos participantes. A Tarefa 3, por exemplo, continha o maior número de argumentos

a serem organizados na forma de rede e, mesmo assim, os participantes lidaram muito

bem com a interface. Além disso, na Tarefa 4, imediatamente depois da leitura do

enunciado, o participante M ofereceu novos argumentos para complementar àqueles

disponíveis na tela. O trecho da transcrição das interações da dupla, mostrado a

seguir, ilustra esta ação.

[00:11:08.08] L: (Lê o enunciado da quarta tarefa de organização)

M troca a posição de

dois argumentos.

Por que você mudou a posição?

Porque eu

vi escrito

“logo”

Mas isso não está

certo porque deveria

terminar dizendo que

a+b é ímpar.

199

[00:11:19.26] M: Ah, porque quando o número é divisível por seis, tem que ser por

dois e por três. Por serem três números, um deles vai ser par e outro vai ser múltiplo

de três.

Em síntese, as discussões anteriores me fizeram perceber que, durante a

resolução das Tarefas Organizar, a dupla (1) fez testes com as barras de rolagem e

com as representações do painel Soma Animal para compreender e verificar a

plausibilidade dos argumentos presentes na tela, (2) discutiu a coerência dos

argumentos dentro da organização em rede e (3) apresentou argumentos

suplementares àqueles já disponíveis na tarefa.

Depois da análise de todas as respostas escritas e das interações vídeo

gravadas da dupla L&M, é possível dizer que os participantes lidaram com as Tarefas

Organizar com certa facilidade. Eles compreenderam a proposta das atividades,

utilizaram as ferramentas do software para compreender os argumentos

apresentados, recorreram a recursos textuais, enquanto resolviam as tarefas e

forneceram novos argumentos e explicações para algumas conjecturas propostas.

A presença do botão Ok direcionou as ações dos participantes para a

apresentação de respostas já esperadas; todavia, ele também promoveu discussões

a respeito da coerência da posição dos argumentos no texto.

Foi possível perceber certa influência das Tarefas Organizar nas provas

elaboradas pelos participantes em questões posteriores. Isto ficou evidente

principalmente nas tarefas que envolviam a ideia de divisibilidade e fatoração.

Nos próximos capítulos, apresento uma discussão a respeito das interações

dos participantes nas Tarefas Conjecturar e Provar.

200

9. AS TAREFAS CONJECTURAR

Apesar de as tarefas propostas aos estudantes participantes do primeiro e do

terceiro teste do Consecutivo terem enunciados similares, por vezes idênticos, de um

teste para outro, devido ao redesign do ambiente, algumas delas apareciam para o

participante em painéis diferentes com o título de Tarefas de Prova, Tarefas Provar

ou Tarefas Conjecturar. Esta mudança visou principalmente tornar a interação do

estudante menos cansativa e mais produtiva, como foi discutido nas seções 4.2.2 e

5.4.

Para fins de análise, todavia, reavaliei os objetivos de cada tarefa proposta,

tentando evidenciar quando uma tarefa fomentava a produção de conjecturas e

quando ela fomentava a produção de justificativas. Depois desta reavaliação, foram

consideradas como Tarefas Conjecturar aquelas as quais exigiam que o estudante

identificasse uma regularidade e explicasse por que a mesma ocorria. Foram

classificadas como Tarefas Provar as questões em que uma conjectura foi oferecida

ao estudante, de forma explícita ou implícita, para que ele concordasse, discordasse,

ou apresentasse uma justificativa sobre sua validade.

Tabela 16: Lista simplificada dos objetivos das Tarefas Conjecturar.

TConj Objetivos Nº da tarefa

no 1º teste

Nº da tarefa

no 3º teste

Acertos/quant.

de duplas

1 Conjecturar a respeito da soma de dois

números consecutivos e explicar por que a

conjectura ocorre.

TPro 1 TOrg 1 e 2 2/2

2 Conjecturar a respeito da soma de quatro


conjectura ocorre.

TPro 2 TConj 1 16/16

3 Conjecturar a respeito do produto de dois


conjectura ocorre.

TPro 8 TConj 2 16/16

4 Conjecturar a respeito do produto de três


conjectura ocorre.

TPro 10 TOrg 4 2/2

A Tabela 16 apresenta os objetivos das quatro tarefas que considerei como

Tarefas Conjecturar depois da minha reavaliação. Além disso, com a tabela é possível

201

visualizar como estas tarefas apareceram para o estudante no primeiro e no terceiro

teste do Consecutivo e verificar a relação “duplas que acertaram/duplas participantes”.

Analisei as Tarefas Conjecturar em duas etapas. Na primeira, observei

somente as repostas escritas de todas as duplas participantes com o objetivo de

verificar (1) as representações empregadas nas respostas escritas, (2) em que medida

as duplas propuseram conjecturas válidas, (3) quais argumentos foram usados para

sustentá-las e (4) de que maneira os discursos escritos teriam vindo à tona devido às

interações dos participantes com o Consecutivo.

Na segunda etapa, analisei as ações das três duplas vídeo-gravadas com o

objetivo de compreender o processo de formulação de conjecturas e argumentos, bem

como identificar padrões de ações relativas à resolução deste tipo de tarefa. Com a

observação dos vídeos foi possível (1) compreender o papel do Consecutivo e das

interações sociais na formulação de conjecturas e dos argumentos e (2) identificar a

origem e a estrutura destes argumentos.

A seguir, apresento uma síntese das minhas observações, análises e

interpretações nestas duas etapas.


Todas as duplas participantes nos dois testes formularam pelo menos uma

conjectura válida para cada uma das Tarefas Conjecturar propostas. Não houve

tarefas sem respostas, nem tarefas com conjecturas inválidas. As representações

utilizadas para expressar as conjecturas foram as mais variadas. Para a Tarefa

Conjecturar 2, por exemplo, a dupla G&N apresentou sua conjectura usando uma

representação numérica (Figura 106), a dupla A&D preferiu uma resposta mista

contendo elementos algébricos e em língua natural (Figura 107).

A Tabela 17 apresenta a relação entre os tipos de representação utilizados

nas respostas escritas dos participantes e a quantidade de tarefas com que essas

respostas apareceram em cada um dos testes do Consecutivo.

202

Tabela 17: Tipos de representações usados para responder às Tarefas Conjecturar e a quantidade de tarefas com que elas apareceram em cada teste.

Tipo de representação Quantidade no Teste 1

Quantidade no Teste 3

Total

Estritamente Numérica 1 - 1

Estritamente em Língua Natural 5 8 13

Mista: Numérica e algébrica. - 2 2

Mista: Numérica e em Língua Natural 2 4 6

Mista: Algébrica e em Língua Natural - 12 12

Mista: Algébrica, numérica e em língua natural. - 2 2

Total 8 28 36

Figura 106: Resposta da dupla

G&N para a Tarefa Conjecturar 2.

Figura 107: Resposta da dupla A&D para a Tarefa

Conjecturar 2.

Observando a Tabela 17 é possível notar que as duplas participantes do

primeiro teste preferiram redigir seus discursos usando representações em língua

natural e não utilizaram em nenhum momento expressões algébricas para representar

no papel suas conjecturas e as explicações do porque elas ocorrem; no entanto, a

falta de expressões algébricas nos discursos escritos não foi um indicativo de que os

estudantes não conseguiam expressar ideias genéricas. Ao contrário, percebi que

eles foram capazes de formular regras gerais, mas por não estarem muito

familiarizados com a escrita dessas regras gerais de forma algébrica, preferiram

expressar suas ideias usando a língua materna (Figura 109).

Os vídeos revelaram que, no primeiro teste, na dupla G&N, o participante N

tentou algebrizar o padrão que ele tinha percebido para o produto de dois números

consecutivos, mas o participante não foi além na sua tentativa, pois seu colega G

mostrou não compreender o que ele estava falando. O trecho a seguir é parte da

203

transcrição das interações entre N e G ao resolverem a Tarefa Conjecturar 3. Nele é

possível ver o discurso de N no momento em que tentou algebrizar os padrões

observados. Este trecho também é uma evidência de que a generalização de padrões

observados pode não ser expressa de forma algébrica devido a fatores relacionados

à interação social.

[00:09:47.10] G: Esse “mais dois” vai acumulando com “mais dois”, “mais dois”,...

[00:09:50.10] N: “Mais dois”, “mais dois”. É que nem aquele n que multiplica... n elevado a a-

1. Só que sem o a-1.

[00:10:01.00] G: Não entendi. Você já complicou vai.

A Tabela 17 ainda mostra que, em contrapartida, os participantes do terceiro

teste recorreram muitas vezes para representações algébricas em seus discursos

escritos. Muitos deles também associaram representações algébricas com

representações numéricas e com representações em língua natural (Figura 108).

Ainda é possível perceber que, em oito dos 28 casos analisados no terceiro teste, os

participantes preferiram representar no papel suas conjecturas e argumentos usando

apenas a língua materna. Isto também pode ser considerado um indicativo de que

muitos deles ainda não estavam familiarizados com o uso de representações

algébricas para expressar ideias gerais, o que fez com que eles preferissem usar

representações em língua natural para isso.

Figura 108: Resposta da dupla M&Y para a Tarefa Conjecturar 3.

204

O aparecimento de representações algébricas nas respostas escritas pelos

participantes do terceiro teste e a falta dessas representações nas respostas escritas

no primeiro teste pode ser explicado pela diferença de idade e de nível escolar entre

os participantes. Os participantes do terceiro teste eram estudantes do 2° ano do

Ensino Médio, enquanto os participantes do primeiro teste eram estudantes do 9° do

Ensino Fundamental. Esta diferença pode explicar porque os participantes do primeiro

teste não estavam tão familiarizados com o uso de expressões algébricas para

representar ideias genéricas enquanto grande parte dos participantes do terceiro teste

estava.

Apesar da presença de representações figurais na interface do Consecutivo

no painel Soma Tartaruga (primeiro teste) e no painel Soma Animal (terceiro teste),

nenhuma das duplas participantes tentou elaborar conjecturas e argumentos usando

representações figurais no papel. Alguns fatores que podem explicar esta situação

foram apresentados na seção 7.3, onde discuti as interações ocorridas durante a

resolução das Tarefas Explorar. Durante a fase de exploração do ambiente, percebi

que os participantes raramente acessaram e/ou usaram as representações figurais

como fonte para a resolução das tarefas propostas, mesmo quando havia indicações

explícitas para seu uso. Os vídeos também revelaram que as duplas fizeram mais uso

dos dados gerados pelas barras de rolagem e pela reta numérica para resolver as

Tarefas Explorar do que dos dados gerados pelas representações dos painéis

disponíveis. Interpreto que estes fatores podem ter contribuído para a existência de

uma preferência para o uso de conjecturas e argumentos pautados na observação de

padrões numéricos ao invés de padrões figurais.

Na próxima seção, apresento uma discussão a respeito do conteúdo

matemático presente nas conjecturas e argumentos formulados pelos participantes.

Além disso, aponto as possíveis relações entre estas produções e o uso do

Consecutivo.

205


Consecutivo

Nesta seção, para fins de apresentação, eu faço uma síntese das produções

dos participantes por Tarefa Conjecturar proposta, destacando os conceitos

matemáticos utilizados, as conjecturas formuladas e os argumentos criados para

justificá-las. Disserto também a respeito das possíveis conexões entre as produções

dos participantes e as interações com o Consecutivo, principalmente nos casos em

que não tive acesso às ações dos estudantes.

Como o leitor notará, durante minhas discussões, enfatizo os argumentos das

justificativas dos participantes nas situações em que os mesmos mostraram

explicitamente suas intenções de validar as conjecturas formuladas para vários casos.

Nos casos das justificativas das duplas vídeo-gravadas, estas intenções foram

extraídas do discurso dos estudantes ao interagirem entre si e com o Consecutivo. No

caso das duplas que não foram vídeo-gravadas, estas intenções foram extraídas de

elementos das respostas escritas, como o uso das palavras “sempre”, “nunca”,

“sempre que”, “toda vez” etc.

Começo minhas discussões pelas Tarefas Conjecturar 1 e 4, pois elas foram

propostas40 somente aos participantes do primeiro teste. Neste caso, além de ter

acesso às respostas escritas, observei também as ações dos estudantes.

Na Tarefa Conjecturar 1, G&N afirmaram que a soma de dois números

consecutivos equivale ao dobro do segundo número da sequência menos um (Figura

109). Embora a conjectura dos participantes tenha sido acrescida de um caso

particular, pela análise dos vídeos, foi possível perceber que o exemplo dado não foi

redigido na tentativa de mostrar que a conjectura era válida sempre. O participante

queria apenas explicar como esta conjectura surgiu, como ele a percebeu.

40 No primeiro teste, estas duas tarefas foram propostas como Tarefas de Prova. No terceiro teste, foram propostas

como Tarefas Organizar. Entretanto, neste último, o objetivo não era fazer com que os participantes formulassem

conjecturas, mas que organizassem argumentos previamente oferecidos pelo programa.

206

Figura 109: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Conjecturar 1.

Ainda na Tarefa 1, a dupla B&G conjecturou que a soma de dois números

consecutivos é sempre um número ímpar. Observando a Figura 110, é possível

perceber que as participantes apresentaram um argumento baseado na ideia de

paridade numa tentativa de mostrar que a conjectura é válida sempre.

Figura 110: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Conjecturar 1.

Apesar de este argumento parecer inválido, pela observação dos vídeos foi

possível perceber que as participantes consideraram a conjectura sempre verdadeira

porque perceberam que numa sequência de dois números consecutivos sempre há

um número par e um número ímpar e porque já estavam familiarizadas com a ideia

de que a soma de um número par com um número ímpar sempre dará resultado ímpar.

A discrepância entre as discussões realizadas pela dupla e a resposta no papel parece

ser resultado das dificuldades de transladar as ideias matemáticas da fala para a

escrita.

Na Tarefa Conjecturar 4, G&N afirmaram que o produto de três números

consecutivos era sempre par e divisível por três. A dupla justificou a afirmação dizendo

207

que, na fatoração deste produto, os números dois e três sempre aparecem (Figura

111). Analisando os vídeos, foi possível perceber que os participantes constataram

por meio de cálculo mental a divisibilidade por dois e por três, mas se empenharam

em buscar justificativas mais robustas para esta regularidade. Esta busca fez com que

os participantes acessassem os painéis de representação disponíveis no Consecutivo

e discutissem suas ideias mais frequentemente entre si e com a pesquisadora. O uso

da palavra “sempre” e a ideia de fatoração no discurso escrito dos participantes

indicam que as interações com o Consecutivo fomentaram a formulação de

argumentos cuja intenção foi generalizar o alcance da conjectura.

Figura 111: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Conjecturar 4. Grifo adicionado pela pesquisadora.

Ainda na Tarefa Conjecturar 4, a dupla B&G afirmou que o produto de três

números consecutivos era sempre um número par, mas não apresentou argumentos

para explicar porque a conjectura ocorreria. Pelos vídeos, foi possível perceber que

as participantes se engajaram numa tentativa de explicar porque a conjectura era

válida sempre, mas que as interações sociais e as interações com o Consecutivo não

foram suficientes para conseguirem elaborar argumentos que elas considerassem

válidos.

A Tarefa Conjecturar 2, que tratava da observação de regularidades na soma

de quatro números consecutivos, e a Tarefa Conjecturar 3, que tratava das

regularidades no produto de dois números consecutivos, foram propostas em ambos

os testes e foram respondidas por 16 duplas.

Cinco conjecturas diferentes vieram à tona durante a resolução da Tarefa

Conjecturar 2 e os argumentos para sustentá-las foram os mais diversos como mostra

a Tabela 18.

208

Tabela 18: Conjecturas e argumentos escritos formulados pelos participantes na Tarefa Conjecturar 2.

Conjecturas Argumentos

1)

A soma de quatro números consecutivos

aumenta de 4 em 4.

A) A soma é da forma 4n+6 de forma que sempre

que aumentamos 1 a n, aumentamos 4 a soma

[2 duplas].

B) A soma é da forma 4n+6, com n sendo o

número inicial [1 dupla].

C) Para cada número da sequência somamos 1.

Como temos quatro números, somamos 4 ao

final [3 duplas].

D) Vários casos particulares mostrando que as

somas aumentam de 4 em 4 [1 dupla].

E) Sem argumento [1 dupla].

2) Caso se altere o 1° número, a soma final é

acrescida da quantidade de números

consecutivos.

F) Na sequência de 4 números consecutivos se

aumenta 4 na soma cada vez que aumenta o

primeiro número [1 dupla].

3) A soma de quatro números consecutivos é

da forma 4n+6, sendo n o primeiro número

da sequência.

G) n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6 [2 duplas]

H) Para cada número da sequência somamos 1.

Como temos quatro números, somamos 4 ao

final [1 dupla]

I) A soma é igual a soma anterior, partindo de 0,

somada de 1. A fórmula geral é o número de

consecutivos, vezes o primeiro número da

sequência somado do fatorial de (n-1) [1

dupla].

J) Sem argumento [1 dupla]

4) A próxima soma é igual à soma atual

somada ao próximo número depois da

sequência, subtraído do primeiro número da

sequência atual.

K) Sem argumentos [1 dupla].

5) A soma de quatro números consecutivos é

um número par.

L) Com quatro consecutivos é possível somar par

com par e ímpar com ímpar [1 dupla].

Algumas das produções dos participantes foram além das minhas

expectativas. Eu já esperava que as conjecturas 1, 3 e 5 (Tabela 18), por exemplo,

aparecessem como uma consequência da interação dos participantes com as barras

de rolagem, com a observação da soma dos números consecutivos e com a

observação do painel algébrico. Em contrapartida, as conjecturas 2 e 4 (Tabela 18)

foram uma surpresa. A conjectura 2, por exemplo, parece ter se originado do interesse

dos participantes em estender a regularidade observada na soma de quatro números

consecutivos para sequências contendo mais elementos. A conjectura 4 pode ter

209

vindo à tona com a manipulação das barras de rolagem, seguida da observação

simultânea dos valores expressos na reta numérica e na soma e com a tentativa de

encontrar uma relação numérica entre os elementos dessa sequência e a soma dos

mesmos.

Parte dos argumentos utilizados pelos participantes para responder à questão

“explique por que essa conjectura ocorre” também foi além dos esperados e discutidos

na seção 4.2.2. O argumento I (Tabela 18) da dupla M&C foi o que mais me chamou

atenção. Apesar de os participantes terem usado, inapropriadamente, o termo “fatorial

de n-1” para se referir à soma 0+1+2+3+...+n, o argumento mostra que eles tentaram

dar um significado aos parâmetros da expressão 4n+6, afirmando que 4 é relativo à

quantidade de números consecutivos que a sequência possui, n é relativo ao primeiro

número da sequência e o 6 é relativo à soma dos números consecutivos quando o

primeiro número é zero (Figura 112). É possível que a conjectura de que a soma de

quatro números consecutivos é da forma 4n+6 tenha surgido das interações dos

participantes com o painel algébrico, o que já era esperado; no entanto, o argumento

para sustentar esta afirmação parece ter surgido das tentativas dos participantes em

explicar porque esta conjectura é válida sempre, como indicam os termos grifados na

Figura 112. Esta tentativa pode ter sido mediada pela observação simultânea das

barras de rolagem, dos elementos na reta numérica e dos valores da soma.

Figura 112: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Conjecturar 2. Grifo adicionado pela pesquisadora.

A dupla G&D apresentou uma resposta baseada em argumentos bastante

generalizadores para a pergunta “explique por que essa regularidade ocorre” (Figura

113). É possível interpretar que os participantes já compreendem o poder

generalizador dos argumentos algébricos e os utilizaram para mostrar que sua

conjectura seria válida sempre. É possível notar que a conjectura dos estudantes

também é baseada numa expressão algébrica. Tal expressão algébrica poderia ter

210

vindo à tona com a interação dos participantes com o painel Algébrico presente no

Consecutivo (Figura 114).

Figura 113: Resposta da dupla G&D para a Tarefa

Conjecturar 2.

Figura 114: Painel Algébrico na

Tarefa Conjecturar 2.

Apesar da diversidade de respostas com representações algébricas, somente

percebi evidências de uma tentativa de generalização nos argumentos fornecidos por

quatro duplas na Tarefa 2: os argumentos das duplas vídeo-gravadas L&M (Figura

116) e B&G (Figura 117) e os argumentos da dupla M&C e M&Y (Figura 112 e Figura

115), que apesar de não terem sido vídeo-gravadas, deixaram explícito na resposta

escrita que a intenção do argumento mostraria que a conjectura era sempre válida.

Figura 115: Resposta da dupla M&Y para a Tarefa Conjecturar 3. Grifo adicionado pela pesquisadora.

Ao observar as interações das duplas vídeo-gravadas, percebi que as

conjecturas na Tarefa 2 tiveram origem na observação dos resultados da soma

disponibilizados na tela do computador. Com estas observações, os participantes

perceberam que as somas de quatro números consecutivos formavam a sequência 6,

211

10, 14, 18,... Quando observaram esta sequência, as duplas G&N e L&M concluíram

que a soma aumentava de 4 em 4. Diferentemente, a dupla B&G concluiu que a soma

era sempre um número par.

Figura 116: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Conjecturar 2.

Pelos vídeos, percebi que os participantes G&N não tentaram escrever no

papel argumentos os quais mostrassem que a conjectura seria sempre válida. Os

argumentos apresentados por esta dupla visaram explicar como os participantes

chegaram à conjectura que eles formularam (Figura 106). Em contrapartida, as duplas

B&G e L&M revelaram interesse em mostrar que a conjectura formulada era sempre

verdadeira. B&G basearam seus argumentos na ideia de paridade (Figura 117). Já

L&M basearam seus argumentos na percepção de que a estrutura da soma varia

quando se altera o primeiro número da sequência (Figura 116).

Figura 117: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Conjecturar 2.

Treze conjecturas diferentes foram redigidas pelos participantes como

resposta à Tarefa Conjecturar 3. A dupla L&P, que não foi vídeo-gravada, apresentou

duas conjecturas nesta tarefa. Os argumentos escritos para suportar estas

conjecturas foram os mais variados como mostra a Tabela 19.

212

Tabela 19: Conjecturas e argumentos escritos formulados pelos participantes na Tarefa Conjecturar 3.

Conjectura Argumento

1) O produto de dois números consecutivos é sempre

par.

A) Par vezes ímpar dá par. [1 dupla]

B) Sem argumento [1 dupla]

2) O produto atual será o produto anterior mais a

quantidade de consecutivos vezes o primeiro

número da sequência

C) Sem argumento [5 duplas]

3) A diferença do produto de (n-1)n para n(n+1) é igual

a 2n.

4) O produto segue a ordem de n+2, ou seja, o produto

recebe 2, 4, 6,... quando o primeiro número é

variado.

5) Sempre é somado 2 a diferença de produtos.

6) O produto será o produto anterior mais duas vezes

o primeiro elemento da sequência.

7) n.m = R + (R+2) D) Vários casos particulares mostrando

que as diferenças seguem a

sequência 2, 4, 6, 8,... [1 dupla]

8) O produto aumenta 2, 4, 6,8,..., 2n E) (n+1)n-n(n-1)=n²+n-n²+n=2n com n

sendo o segundo número da

sequência. A dupla apresenta casos

para exemplificar a ideia. [1 dupla]

F) Vários casos particulares mostrando

que as diferenças seguem a

sequência 2, 4, 6, 8,... [1 dupla]

G) Sem argumento [1 dupla]

9) n.m = (m-1)(n-1)+2n H) m²-m+2(m+1)

m²-m+2m+2

m.n=m²+m

A dupla apresenta casos para

exemplificar a ideia. [1 dupla]

10) O produto é dado pela expressão n(n+1)+2(n+1) I) n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2) [1 dupla]

11) O produto é da forma n²+n com n sendo o primeiro

número da sequência.

J) n(n+1)=n²+n [2 duplas]

12) O produto da próxima sequência é a soma atual + 1

+ o produto atual.

K) (2n+1)+1+(n²+n)=(n+1)(n+2)

[1 dupla]

13) Os produtos vão aumentando de valor (em relação

ao produto da sequência anterior) na proporção da

soma de seus valores subtraído de 1.

L) Sem argumento [1 dupla]

213

Eu esperava que os participantes percebessem, não necessariamente de

forma simultânea, que o produto de dois números consecutivos (1) é sempre par, (2)

é da forma n²+n ou (3) aumenta de acordo com a sequência 2, 4, 6,.., 2n. Foi possível

notar que as conjecturas 1 a 11 foram formuladas na tentativa de expressar pelo

menos uma destas percepções; contudo, as conjecturas 12 e 13 parecem ter partido

de ideias que ficaram fora das minhas previsões. Estas conjecturas estabeleceram

uma relação entre a soma e o produto da sequência de dois números consecutivos.

Para a dupla L&P, a conjectura 12 pareceu surgir das operações algébricas que os

participantes executaram sobre as representações no papel (Figura 118). A dupla

M&C, que propôs a conjectura 13, não ofereceu argumentos para sustentá-la, o que

sugere que a conjectura tenha se originado pelas observações simultâneas dos

valores da soma e do produto disponíveis na tela e que essas observações foram

suficientes para convencer os participantes (Figura 119).

Figura 118: Resposta da dupla L&P para Tarefa Conjecturar 3.

Figura 119: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Conjecturar 3.

Na Tarefa Conjecturar 3, embora muitos argumentos oferecidos como resposta

à pergunta “explique por que essa regularidade ocorre” tenham sido representados de

forma algébrica (Figura 108 e Figura 118, por exemplo), não pude avaliar de forma

acurada se os discursos escritos dos participantes tiveram como objetivo mostrar que

214

a conjectura formulada era sempre válida, uma vez que em nenhum deles notei a

presença das palavras “sempre”, “sempre que”, “nunca”, “nenhum”, “todos”.

Na Tarefa Conjecturar 1, G&N afirmaram que a soma de dois números

consecutivos equivale ao dobro do segundo número da sequência menos um (Figura

109). Embora a conjectura dos participantes tenha sido acrescida de um caso

particular, pela análise dos vídeos, foi possível perceber que o exemplo dado não foi

redigido na tentativa de mostrar que a conjectura era válida sempre. O participante

queria apenas explicar como esta conjectura surgiu, como ele a percebeu.

Em contrapartida, a dupla B&G percebeu rapidamente que o produto entre

dois números consecutivos era sempre um número par. As participantes se

empenharam em explicar porque a conjectura era sempre válida. Durante as

discussões várias ideias foram construídas e refutadas, até que as participantes

chegaram a um acordo e afirmaram que o produto entre um número par e um número

ímpar seria sempre par; no entanto, quando questionadas, as participantes não

souberam explicar porque esta propriedade era válida. A participante B tentou explicar

que o dobro de um número ímpar era sempre par porque ela sabia que a soma de

dois ímpares seria sempre par também. Mas B não levou estas discussões adiante.

Ao avaliar os resultados da análise das Tarefas Conjecturar, podemos ter uma

ideia das possíveis interações que ocorreriam em sala de aula caso o Consecutivo

fosse utilizado. É possível esperar que o aprendiz consiga completar os objetivos das

Tarefas Conjecturar, ou seja, que ele perceba padrões, formule conjecturas e

justificativas. Além disso, podemos esperar que as produções escritas destes

estudantes tenham o potencial de contemplar conceitos como os de paridade,

fatoração, divisibilidade, soma e produto de termos algébricos. Quanto ao tipo de

argumento, podemos esperar justificativas baseadas em casos específicos e também

justificativas mais generalizadoras.

A seguir, descrevo como ocorreram as interações entre os participantes entre

si e as minhas intervenções no processo de resolução das Tarefas Conjecturar.

215

9.3 As interações sociais nas Tarefas Conjecturar

De forma análoga ao que foi feito na análise das Tarefas Explorar na seção

7.4, determinei o tempo despendido por cada dupla na realização de cada Tarefa

Conjecturar e o volume das interações ocorridas. Os resultados destas observações

estão representados na Tabela 20. Nela é possível verificar o tempo, em segundos,

que cada dupla despendeu em cada tarefa e o volume de interações que está

representado pelas cores vermelha, amarela e verde, correspondendo,

respectivamente, a pouca, moderada ou intensa interação entre os participantes.

Tabela 20: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Conjecturar e Volume das interações ocorridas.

Dupla TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4

G&N 152 158 296 1221

B&G 350 110 721 305

L&M - 185 373 -

Observando a Tabela 20 é possível perceber que as interações entre as

duplas, durante a resolução das Tarefas Conjecturar, ocorreram de forma moderada

para intensa. Este conjunto de tarefas parece ter levado os participantes a discutirem

mais frequentemente entre si e com a pesquisadora e, principalmente, recorrerem ao

uso das ferramentas disponíveis no programa para formularem e justificarem suas

conjecturas.

O menor tempo registrado para a resolução de uma Tarefa Conjecturar foi

associado à dupla B&G na Tarefa 2. Ao observar os vídeos, foi possível perceber que

as participantes formularam rapidamente uma conjectura e uma justificativa pelo fato

do conteúdo da tarefa ser extremamente similar ao da tarefa anterior.

O maior tempo registrado foi associado à dupla G&N na Tarefa 4. Aqui, os

vídeos mostraram que os participantes formularam rapidamente a conjectura, mas se

engajaram numa tentativa de justificá-la, buscando argumentos mais robustos. Eles

acessaram diversos painéis de representação, discutiram muitas vezes entre si e com

a pesquisadora até conseguirem elaborar uma justificativa que os satisfizesse.

216

Pela Tabela 20 ainda é possível observar que as duas primeiras tarefas

tiveram maior frequência de interações moderadas, enquanto as duas últimas tiveram

maior frequência de interações intensas. A média dos tempos de resolução também

é maior para as duas últimas tarefas (M = 583,2 s) do que para as duas primeiras (M

= 191 s). Estas diferenças podem ser explicadas considerando o conteúdo das tarefas.

As duas primeiras tinham como objetivo envolver os alunos na formulação de

conjecturas e justificativas relacionadas à soma de uma sequência de números

consecutivos. As duas últimas se referiam ao produto destes números. Além disso, é

possível notar que o crescimento das somas envolvia a percepção de quantidades

constantes (o crescimento das somas de dois números consecutivos varia de dois em

dois, por exemplo) enquanto o crescimento do produto envolvia a percepção de

quantidades variáveis (o crescimento do produto de dois números consecutivos varia

de acordo com a sequência 2, 4, 6,..., 2n, por exemplo). Estes fatores podem explicar

porque os participantes tiveram maior facilidade em perceber e explicar regularidades

relacionadas à soma do que ao produto de números consecutivos e,

consequentemente, precisaram interagir mais entre si e com o programa no último

caso.

As interações entre os participantes ocorreram por diversas razões: (1) para

discutir a melhor maneira de posicionar e modificar as ferramentas do programa de

modo a contemplar as exigências da tarefa, (2) quando um dos participantes

apresentou dúvidas sobre o conteúdo da tarefa e das representações e (3) quando os

participantes precisaram dar ou receber explicações a respeito das conjecturas e

argumentos formulados. A Tabela 21 apresenta a frequência de tarefas com que cada

uma destas razões veio à tona.

Tabela 21: Quantidade de Tarefas Conjecturar em que os motivos das interações ocorreram em cada dupla vídeo-gravada.

Quantidade de tarefas por dupla

Código Motivo da discussão B&G G&N L&M Total

1 Negociação posição das barras/painel 2 2 - 4

2 Dúvida no enunciado e nas representações dos painéis 3 2 2 7

3 Tentativa compreender ou explicar conjecturas e argumentos

4 2 2 10

217

Observando a Tabela 21 é possível perceber que a tentativa de compreender

ou explicar conjecturas e argumentos foi um dos motivos que mais promoveu

discussão entre os participantes, principalmente na dupla B&G. Pelos vídeos, foi

possível observar que, em quase todas as tarefas analisadas, o participante que

formulou a conjectura ou o argumento para sustentá-la teve que dar explicações ao

colega sobre a maneira como estava pensando. Nesta tabela, também é possível

notar que as discussões envolvendo o posicionamento das barras de rolagem e o

acionamento dos painéis tiveram pouca frequência. Se compararmos com a fase de

exploração (Tabela 11), vemos que as discussões em torno deste tema diminuíram, o

que pode indicar que os participantes internalizaram algumas características do

ambiente.

Figura 120: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 4.

B:

Teste B:

Conjectura

G:

Refuta B:

Refuta

Controla barras

e o produto

O produto

é sempre

par

Tem 81 no

resultado G olhava a

soma e não

o produto.

B:

Prova B&G:

Acordo

Tem mais

pares na

sequência.

B:

Prova

Par é

superior

ao ímpar

B:

Prova

2x3 é 6

e 6 é o

DOBRO

de 6

G:

Refuta

Não se a

sequência

começar

com 3

regularidad

B:

Testes

Por

sugestão

de P.

Painel Fatoração

B:

Regularidade

2 e 3

sempre na

fatoração

B:

Testes

Painel Algébrico

e Tartaruga

B&G:

Desistem

218

As minhas intervenções também contribuíram para que o volume de

interações aumentasse durante a resolução das tarefas. Estas intervenções

ocorreram com mais frequência com a dupla B&G, principalmente para instigar as

participantes a usar os painéis de representação para buscar explicações mais

robustas para as conjecturas que elas formularam. Os vídeos apontaram que as

participantes acessaram e tentaram compreender as representações dos painéis toda

vez que eu sugeria que isso fosse feito, mas que nem sempre esse acesso foi

suficiente para que as participantes conseguissem completar as exigências da tarefa.

Durante a resolução da Tarefa Conjecturar 4, por exemplo, as participantes acionaram

os painéis Fatoração, Algébrico e Tartaruga, na tentativa de justificar porque o produto

de três números consecutivos era sempre par (Figura 120). Muitas ideias surgiram

com o acesso aos painéis, mas depois de alguns minutos de manipulação a dupla

desistiu da tarefa, pois os outputs das representações não foram suficientes para que

elas pudessem elaborar argumentos que as satisfizessem.

Outros aspectos das interações sociais são apresentados nas próximas

subseções, nas quais discuto como os participantes criaram, descartaram e

mantiveram suas conjecturas e como eles formularam os argumentos para sustentá-

las. A seguir, descrevo as ações dos participantes ao resolverem as Tarefas

Conjecturar e enfatizo o papel da tecnologia e das interações sociais neste processo.

9.4 O desenvolvimento das Tarefas Conjecturar e o papel do

Consecutivo

Com o propósito de compreender o processo de formulação de conjecturas e

justificativas nas Tarefas Conjecturar, eu analisei as interações das três duplas vídeo-

gravadas. Para isso, eu observei os organogramas de ação que eu criei para cada

tarefa realizada pelas duplas participantes tentando revelar padrões de ações e

destacar o papel da tecnologia e das interações sociais. Desta análise, emergiram

duas categorias, as quais eu intitulei de: (1) criação, descarte e manutenção de

conjecturas e (2) argumentos que explicam e argumentos que estendem a conjectura

para vários casos. A seguir, eu apresento e discuto com mais profundidade os

principais aspectos destas duas categorias.

219

9.4.1 A criação, o descarte e a manutenção de conjecturas

Como já o foi mencionado, todas as duplas participantes dos testes do

Consecutivo conseguiram elaborar uma conjectura válida em cada uma das Tarefas

Conjecturar propostas. Com exceção da dupla L&P41, todas as outras apresentaram

de forma escrita apenas uma conjectura.

Figura 121: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1.

41 Esta dupla elaborou duas conjecturas.

Releituras,

muitos testes e

dificuldades de

perceber

regularidades.

A soma é

um múltiplo

de cinco.

57 não é

múltiplo

de cinco.

B:

Conjectura

Os primeiros

números da

sequência da

soma são

primos.

O nove não

é primo.

A soma

sempre é

ímpar.

Par mais

ímpar é

sempre

ímpar.

Para B, explicar porque a conjectura

ocorre é o mesmo que explicar porque

a ideia expressa pela conjectura ocorre

sempre e é plausível.

Olhando a soma.

Olhando a

soma.

P pede que

B leia a

sequência

da soma em

voz alta.

Reta

numérica.

G:

Testes

Painéis

B:

Testes

Barras,

reta e

soma

G: Conjectura

B&G:

Refuta G:

Testes

Painel

Tartaruga

B:

Refuta P:

Intervenção B:

Conjectura

Testes

B:

Prova G:

Dúvida B:

Explica

B&G:

Acordo

220

Ao observar as produções escritas dos participantes, questionei-me se a

conjectura a qual eles decidiram colocar no papel tinha sido a única que surgiu durante

o processo de resolução da tarefa. Se não fosse a única, eu ainda me questionei sobre

os possíveis motivos que teriam feito os participantes escolherem uma conjectura em

detrimento de outra. Mais do que isso, eu queria compreender quais fatores

relacionados à tecnologia e às interações sociais foram relevantes para os

participantes criarem e manterem as conjecturas durante o processo de resolução das

tarefas. A seguir, apresento as reflexões desta análise.

Com a análise dos organogramas de ação para das Tarefas Conjecturar, foi

possível dividir o processo de formulação de conjecturas em dois casos: (1) aquele

em que uma conjectura é formulada por um dos participantes e mantida até que se

escreva a resposta final no papel (Figura 120, por exemplo) e (2) aquele em que várias

conjecturas são elaboradas pelos participantes, com algumas descartadas durante

uma fase de negociação, até que uma delas seja mantida na resposta final escrita

(Figura 121).

A Tabela 22 mostra a quantidade de tarefas em que os casos 1 e 2 ocorreram

levando-se em consideração cada uma das duplas. É possível perceber que, em seis

das dez resoluções analisadas, os participantes se engajaram num processo em que

várias conjecturas foram formuladas antes de um consenso ser alcançado e, em

quatro das dez, eles se engajaram num processo em que uma conjectura foi formulada

e mantida até o fim da tarefa.

Tabela 22: Duplas participantes que formularam uma ou mais conjecturas durante a resolução das

Tarefas Conjecturar e a quantidade de tarefas em que foram formuladas uma ou mais conjecturas.

TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4 Total

Uma conjectura B&G - - X X 4

G&N - X - -

L&M - X - -

Várias Conjecturas B&G X X - - 6

G&N X - X X

L&M - - X -

Total 2 3 3 2 10

221

Com análise dos vídeos e dos esquemas, percebi que quatro tipos de ação

antecederam a formulação de uma conjectura pelo participante: (1) testes realizados

como o manuseio das barras de rolagem associados à observação dos valores da

soma, do produto e da reta numérica, (2) testes realizados com os painéis de

representação, (3) influência das respostas de outra tarefa já realizada e (4)

intervenção da pesquisadora.

Tabela 23: Frequência das ações que antecederam a formulação de conjecturas em cada Tarefa

Conjecturar.

TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4 Total

Testes com as barras de rolagem

4 3 6 3 16

Teste nos painéis 1 - - 1 2

Tarefa já realizada - 1 - 1 2

Intervenção da pesquisadora 1 - - - 1

Total 6 4 6 5 21

Figura 122: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 3.

Teste usando o Consecutivo

Zero, dois, seis ...

Eu acho que tem

a ver com

potência.

O primeiro aumentou dois, depois quatro e

depois seis.

222

Na Tabela 23 é possível perceber que o teste com as barras de rolagem e

observação da reta numérica, dos resultados da soma e do produto foi a ação que

mais contribuiu para a formulação de conjecturas. Uma das explicações para esta

situação pode ser encontrada na análise das Tarefas Explorar, no capítulo 7. Foi

notado que durante a fase de exploração, os participantes desenvolveram a estratégia

de manusear as barras de rolagem de modo a deixar pequenos os valores da soma e

do produto. Esta estratégia contribuiu para que eles conseguissem resolver as Tarefas

Explorar propostas por meio de cálculo mental. A mesma estratégia também foi

bastante utilizada por alguns participantes para a formulação de conjecturas. Para

ilustrar esta situação, apresento a Figura 122, um esquema adaptado da transcrição

da interação entre os participante da dupla L&M durante a realização da Tarefa

Conjecturar 3.

Analisando a Tabela 23, também é possível perceber que a observação de

regularidades nos painéis de representação disponíveis na interface do Consecutivo

foi uma ação que contribuiu com a formulação de conjecturas em apenas dois casos.

No caso da dupla G&N, na Tarefa 1, o participante G observou o painel fatoração e

conjecturou que a regularidade era o fato de o número 1 ser fator comum a todos os

elementos da sequência de consecutivos. No caso da dupla G&N, na Tarefa 4, o

participante N, da mesma dupla, observou o painel Produto Retangular e conjecturou

que a área do retângulo de altura 1 seria sempre igual ao produto dos números

consecutivos. Foi observado que estas conjecturas não foram levadas adiante, pois

os participantes da dupla G&N acreditavam que somente conjecturas envolvendo

relações entre a soma (ou produto) e os elementos da sequência seriam válidas como,

por exemplo, o fato de a soma de dois números consecutivos ser equivalente ao dobro

do segundo número menos um.

Observei que, durante a resolução das Tarefas Conjecturar, alguns fatores

contribuíram para que uma conjectura fosse descartada ou mantida pelos

participantes: (1) existência (ou não) de contraexemplos depois de uma fase de testes

com as ferramentas do ambiente, (2) apresentação (ou não) de argumentos que

expliquem a origem da conjectura ou que mostrem que ela é válida sempre (3)

confiança (ou falta de) na conjectura formulada pelo fato dela parecer (ou não) uma

boa regularidade e (4) preferência pela conjectura formulada pelo colega.

223

Na Tabela 24 é possível conferir a relação de conjecturas formuladas pelas

duplas vídeo-gravadas em cada uma das Tarefas Conjecturar, associada aos fatores

que fizeram com que elas fossem descartadas ou mantidas ao longo da resolução.

Tabela 24: Conjecturas formuladas e razões para serem descartadas ou mantidas.

Tarefa Dupla Conjectura Situação

TConj 1 G&N A soma de dois números consecutivos e

ímpar.

Descartada por não parecer uma

regularidade.

O número 1 é fator comum a todos os

elementos da sequência de consecutivos.


regularidade.

A soma de dois números consecutivos é

igual ao dobro do segundo número menos

1.

Mantida após explicações da origem da

conjectura com valores obtidos no

programa.

B&G A soma de dois números consecutivos é

um múltiplo de 5.

Descartada por contraexemplo.


um número primo.



um número ímpar

Mantida por falta de contraexemplos e

pela apresentação de argumentos que

explicam porque a ideia é válida sempre.

TConj 2 G&N A soma de quatro números consecutivos

aumenta de 4 em 4.



programa.

B&G A soma de quatro números consecutivos

é ímpar.


A soma de quatro números consecutivos

é ímpar.




L&M A soma de quatro números consecutivos

aumenta de 4 em 4.




TConj 3 G&N O produto de dois números consecutivos

aumenta 2, 4, 6,..



programa.

O aumento do produto é sempre dois a

mais que o aumento anterior

Descartada pela preferência da conjectura

anterior.

B&G O produto de dois números consecutivos

é par.




L&M O produto de dois números consecutivos

aumenta 2, 4, 6,..

Mantida por falta de contraexemplos.

O aumento do produto é sempre dois a

mais que o aumento anterior


anterior.

TConj 4 G&N O produto de três números consecutivos é

par.


regularidade.

A área do retângulo de altura um é igual

ao produto de três números consecutivos.


regularidade.

O produto de qualquer quantidade de

consecutivos é sempre par.


posterior.

O produto de três números consecutivos é

divisível por 2 e por 3.




B&G O produto de três números consecutivos é

par.

Mantida por falta de contraexemplos.

224

Ao observar as informações desta tabela, notei que os contraexemplos

desempenharam um papel expressivo. A presença de um contraexemplo foi motivo

para o descarte de uma conjectura em três casos analisados. Além disso, a ausência

de contraexemplos foi responsável pela manutenção da conjectura formulada em sete

casos. Nestes sete casos, a ausência de contraexemplos foi acrescida de explicações

mais robustas, o que indica que os participantes confiaram nas respostas do

programa, mas não ficaram satisfeitos somente com elas.

As explicações que os participantes utilizaram para justificar a conjectura

formulada foram as mais diversas como vimos na seção 9.2. Quando analisei os

vídeos, percebi que nem sempre estas explicações foram dadas com a intenção de

validar as conjecturar para uma infinidade de casos. Muitas vezes, os participantes

estavam apenas interessados em mostrar como suas ideias vieram à tona. Esta

diferença na forma de explicar as conjecturas criadas é discutida com mais

profundidade na próxima seção.

9.4.2 Os argumentos que mostram a origem da conjectura e os argumentos que

estendem a conjectura para vários casos

Todas as Tarefas Conjecturar possuíam um enunciado em que duas ações

eram solicitadas ao participante: (1) escrever a respeito de uma regularidade ou

padrão observado e (2) explicar por que essa regularidade ou padrão ocorrem. A

Tabela 24 mostra que diversas conjecturas foram formuladas no processo de busca

por uma resposta à primeira parte do enunciado e que algumas delas foram mantidas

depois de uma fase de interação entre os participantes e o Consecutivo. No processo

de busca por uma resposta à segunda parte do enunciado das tarefas, as duplas

vídeo-gravadas apresentaram argumentos escritos e/ou falados para justificar a

maioria das conjecturas mantidas.

Analisando este processo, foi possível perceber que três fatores contribuíram

para que os participantes formulassem argumentos para as conjecturas mantidas.

Percebi que as justificativas apresentadas pelos participantes dependeram (1) da

compreensão do significado da frase “explique por que a regularidade ocorre”, (2) do

225

conteúdo da conjectura e, (3) do uso das ferramentas do Consecutivo. A seguir,

discuto a respeito de cada um destes fatores. Para auxiliar na discussão, apresento a

Tabela 25.

Observando a Tabela 25 é possível perceber que, durante a resolução das

tarefas, os participantes compreenderam de três maneiras diferentes a frase “explique

por que a regularidade ocorre”. Para a dupla B&G, explicar porque a regularidade

ocorre foi o mesmo que explicar porque ela seria válida sempre. Para as duplas G&N

e L&M, foi o mesmo que explicar porque a regularidade fez sentido ou explicar como

a regularidade veio à tona.

Quando a dupla tentou explicar a origem da conjectura formulada, ela recorreu

a argumentos empíricos provenientes de testes realizados com a manipulação das

barras de rolagem seguida da observação dos valores da soma e do produto. Quando

a dupla tentou explicar porque a conjectura sempre ocorreria ou porque ela faria

sentido, ela recorreu à busca de propriedades, utilizando conceitos já familiares ou

utilizando os painéis de representação disponíveis no Consecutivo.

A análise desta tabela me levou a concluir que, quando a tarefa envolve a

formulação de conjecturas e tem um enunciado o qual permite diferentes

interpretações, há a possibilidade dos discursos emergentes serem tentativas de

mostrar a origem das conjecturas formuladas e não tentativas de mostrar a validade

generalizada da conjectura. Uma das implicações desta conclusão é o fato de que não

é viável classificar os argumentos dos participantes como prova empírica ou

conceitual, segundo Balacheff (1988), sem que se tenha acesso ao processo que

gerou esses argumentos.

Foi possível também notar que o conteúdo da conjectura influenciou o tipo de

argumento oferecido pela dupla. As conjecturas envolvendo a ideia de par, ímpar e

divisibilidade levaram os participantes a procurar argumentos baseados em

propriedades (Figura 111 e Figura 117, por exemplo). É possível que os participantes

já estivessem familiarizados com as ideias de paridade e divisibilidade devido às suas

experiências escolares. Desta forma, pode ter parecido natural a eles a formulação de

conjecturas e justificativas, envolvendo as propriedades relativas a tais conceitos.

226

Tabela 25: Interpretação dos participantes para a questão "explique por que a regularidade ocorre" e

os argumentos apresentados.

Tarefa Dupla Como compreenderam o enunciado

Argumentos apresentados

TConj 1 G&N Deve-se mostrar a origem da conjectura.

Apresentou casos específicos provenientes de testes realizados com os movimentos das barras de rolagem e observação da soma.

B&G Deve-se mostrar porque a conjectura é válida sempre.

Apresentou propriedade: a soma de um par com um ímpar é sempre ímpar.




Apresentou propriedade: é possível somar par com par e ímpar com ímpar.

L&M Deve-se mostrar porque a conjectura faz sentido.

Apresentou estrutura: quando o primeiro número aumenta uma unidade, todos os outros também aumentam. Então a soma aumentará quatro unidades.




Apresentou propriedade: par multiplicado por ímpar é sempre par.

L&M Não tentou responder à segunda parte do enunciado da tarefa.

Apresentou a conjectura tentando algebrizar a ideia.

TConj 4 G&N Deve-se mostrar porque a conjectura faz sentido.

Apresentou propriedade: 2 e 3 sempre aparecem na fatoração.


Não apresentou argumentos escritos, mas durante a resolução da tarefa, apresentou diversas ideias tentando justificar o fato de a conjectura ser verdadeira: número par é superior ao ímpar, ou ainda, os números dois e três estão na fatoração.

Diferentemente, as conjecturas envolvendo operações aritméticas levaram as

duplas a escrever argumentos baseados em casos específicos ou argumentos

baseados na estrutura algébrica inerente à situação (Figura 116 e Figura 106, por

exemplo). Acredito que as conjecturas envolvendo operações aritméticas ofereceram

maior dificuldade para a formulação de justificativas, uma vez que elas tratavam de

regularidades nas variações dos valores da soma e do produto de números

consecutivos. É possível que, para explicar tais variações, os participantes precisaram

trabalhar com representações algébricas da sequência de consecutivos. Quando eles

estavam familiarizados com tais representações, eles conseguiram formular

argumentos baseados na estrutura. Quando não, ou eles recorreram às

representações na tela do computador na tentativa de obter insights ou recorreram

227

aos argumentos com vários casos específicos que, juntos, revelaram a regularidade

percebida.

Figura 123: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 2.

Figura 124: Interação da dupla G&N na Tarefa Conjecturar 4.

As ferramentas do Consecutivo também se mostraram importantes para a

formulação de argumentos, nos casos em que os participantes relacionaram conceitos

familiares com as representações disponíveis na tela. A dupla B&G, por exemplo,

baseou seus argumentos nas mudanças percebidas na reta numérica para mostrar

Na tela do

computador

A soma de 4 consecutivos sempre é par porque dá pra fazer par com par e

ímpar com ímpar.

Na tela do computador

O produto de três

números consecutivos

é divisível por 2 e por

3.

Porque 2 e 3

sempre

aparecem na

fatoração.

24 é par e

divisível por 3.

60 também é.

Por quê? Os

painéis podem

ajudar?

228

que a soma de quatro números consecutivos é sempre um número par (Figura 123).

A dupla G&N articulou a ideia de divisibilidade com as representações do painel

Fatoração para mostrar porque o produto de três números consecutivos seria divisível

por dois e por três (Figura 124). Já a dupla L&M observou as mudanças ocorridas na

reta numérica para mostrar porque a soma de quatro números consecutivos aumenta

de 4 em 4 (Figura 125).

Figura 125: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 2.

Com base nas discussões anteriores, é possível dizer que os participantes se

engajaram em um processo de validação das conjecturas para vários casos quando

(1) eles interpretaram a frase “explique por que a regularidade ocorre” como “mostre

por que a regularidade faz sentido ou é sempre válida”, (2) quando a conjectura

formulada tinha relação com a ideia de paridade ou divisibilidade e/ou (3) quando as

ferramentas do Consecutivo permitiram que eles percebessem a estrutura matemática

por trás da ideia expressa na conjectura.

Na tela do computador

A soma de quatro consecutivos

aumenta de 4 em 4.

Faz sentido. Nem

tanto.

Se você aumenta 1 no primeiro número, os outros também

aumentam e a soma aumenta 4.

229

A seguir, apresento uma discussão sobre a estrutura dos argumentos

produzidos pelas duplas vídeo-gravadas. Esta estrutura é similar àquela proposta por

Toulmin (2003).

9.5 A estrutura dos argumentos que suportaram as conjecturas

Ao assistir aos vídeos com as interações dos participantes, tive acesso às

ações e discussões as quais originaram as conjecturas criadas e os argumentos que

suportaram as mesmas. Com base nestas ações e discussões, desenvolvi esquemas

para representar a estrutura dos argumentos das três duplas. Estes esquemas são

similares àqueles propostos por Toulmin (2003).

Para Toulmin (2003), um argumento é um discurso justificatório, formado

basicamente por dados, garantias e conclusão. Quando os dados e as garantias são

desafiados ou questionados, os argumentos também podem apresentar reforços,

qualificadores e réplicas. Os detalhes desta estrutura foram discutidos na seção 2.2.

Na análise das Tarefas Conjecturar, considerei como conclusão do argumento

a principal conjectura formulada pelas duplas vídeo-gravadas. Assim sendo, passei a

observar as interações dos participantes de modo a identificar os dados, garantias,

reforços, qualificadores e réplicas relacionados à conclusão evidenciada. A Figura 126

apresenta um exemplo do esquema criado por mim depois de observar e analisar as

interações da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1. Lembrando que, neste esquema,

os retângulos nas cores azul, vermelha, preta e verde representam, respectivamente,

dados, garantias, reforços e conclusões.

Ao lado de cada elemento do argumento, coloquei um número para indicar a

ordem em que os mesmos vieram à tona durante as interações. Desta forma, formei

uma sequência de elementos para cada tarefa realizada pelas duplas. Ao observar

essas sequências, revelei padrões na estrutura dos argumentos formulados.

230

Figura 126: Estrutura do argumento da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1.

Observando as sequências apontadas na Tabela 26, notei que, em todas as

tarefas, os argumentos começaram com a coleta de dados. Estes dados foram

provenientes de fontes distintas: (1) os outputs da soma, do produto, da reta numérica

e (2) do painel fatoração na tela do computador, (3) cálculos mentais realizados pelos

participantes e (4) conhecimentos com os quais os mesmos já estavam familiarizados.

Tabela 26: Sequência em que cada um dos elementos de um argumento foi proferido pelos

participantes durante a resolução das Tarefas Conjecturar.

Dupla TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4

G&N DDGDGCD DGC DGGC DGGDGCQiRe

B&G DGCR DGCRRi DGCGQiRe DGCGD

L&M --- DGRC DGGC ---

D=Dado, G=Garantia, R=Reforço, Q=Qualificador, Re=Réplica, C=Conclusão, I=Informação implícita.

A Tabela 27 mostra a frequência de tarefas em que estas fontes foram usadas

para compor os dados dos argumentos formulados.

Ao observar a Tabela 27, percebi que, em todas as tarefas, as conjecturas

formuladas foram mediadas pelas ações dos participantes sobre as barras de rolagem

do Consecutivo com observação simultânea da soma, do produto e da reta numérica.

Para mim, esta preferência tem relação com o fato desta estratégia ter sido bastante

utilizada pelos participantes, durante a resolução das Tarefas Explorar.

(1) Na tela, várias sequências com

dois consecutivos na reta numérica

e a observação de que a soma

segue a sequência 1, 3, 5, 7, 9, ....

(3) A soma de dois

consecutivos é ímpar.

(2) 1, 3, 5, 7, 9... é a sequência

de números ímpares.

(4) Com dois números consecutivos

sempre haverá uma par e um ímpar e a

soma de par e ímpar sempre dá ímpar.

Dados

Garantias

Reforços

Conclusão

231

Notei também que os dados coletados pelos participantes foram pouco

mediados pelos painéis de representação disponíveis na interface. O único painel

utilizado, para gerar dados, foi o da Fatoração. Isto pode estar relacionado à maneira

como o estudante compreende a ideia de regularidade e padrão. Mostrei na seção

anterior que muitas conjecturas dos participantes foram descartadas pelo fato de eles

acharem que as mesmas não expressavam regularidades. É possível que, para estes

participantes, notar regularidades seja a ação de encontrar padrões numéricos ao

realizar as operações fundamentais. Talvez por isso, o painel Algébrico e o painel

Tartaruga não tenha sido utilizado aqui.

Tabela 27: Recursos utilizados pelos participantes para a geração de dados nas Tarefas Conjecturar

e a frequência de tarefas em que tais recursos foram utilizados por cada dupla.

Recurso Frequência

1 Movimentação das barras de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica

10

2 Painel Fatoração 2

3 Cálculos Mentais 1

4 Conhecimentos familiares 1

Total 14

Ao analisar as sequências da Tabela 26, percebi também que apenas três

argumentos dos participantes possuíam a estrutura básica sugerida por Toulmin

(2003) com dados, garantias e conclusões. Sete destas sequências eram mais

complexas e possuíam reforços, qualificadores, réplicas ou mais do que um ciclo de

coleta de dados e estabelecimento de garantias. O argumento da dupla G&N na

Tarefa Conjecturar 4 ilustra esta observação (Figura 127).

232

Figura 127: Estrutura do argumento da dupla G&N na Tarefa Conjecturar 4.

O conteúdo das garantias oferecidas pelos participantes foi outro aspecto

analisado por mim. Nas Tarefas Conjecturar, estas garantias foram baseadas em (1)

generalizações precedidas por cálculos mentais, (2) conceitos e propriedades da

paridade, (3) da fatoração e divisibilidade e (3) por opiniões pessoais dos participantes

a respeito das conjecturas. A Tabela 28 apresenta a frequência de tarefas em que

cada um destes aspectos esteve presente nas garantias oferecidas pelos estudantes.

Tabela 28: Fatores que mediaram as garantias propostas pelos participantes nas Tarefas Conjecturar

e a frequência de tarefas que apresentaram garantias mediadas por tais fatores.

Fator Frequência

1 Generalizações precedidas de cálculos 5

2 Conceitos e propriedades da paridade 6

3 Conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade 2

4 Opinião dos participantes 2

(1) Várias sequências com três

consecutivos e a constatação de que

os respectivos produtos segue a

sequência 0, 6, 24, 60...

(4) Representações do painel

Fatoração: 2 e 3 sempre aparecem na

fatoração.

(6) o produto de três

consecutivos é divisível

por 2 e por 3.

(2) Os números 0, 6, 24, 60, ...

são pares.

(3) Se o número é par ele é

divisível por 2.

(5) Se o 2 e o 3 aparecem na

fatoração, o produto é divisível

por 2 e por 3.

Provável

(7) A menos que a ideia de

fatoração não faça sentido.

Dados

Dados

Réplica

Garantias

Garantias

Garantias

Qualificador

233

Ao analisar a Tabela 28 é possível notar que, em grande parte das tarefas, as

garantias foram baseadas em generalizações provenientes de cálculos mentais ou do

conceito de paridade. Para mim, isto é uma evidência de que, para justificar suas

ideias, os participantes, a princípio, recorrem a conceitos e estratégias que lhes são

familiares e, quando os mesmos não são suficientes, procuram outras explicações.

Foi o que ocorreu com a dupla B&G nas tarefas 1 e 2 e com a dupla L&M na tarefa 2,

as quais apresentaram reforços para seus argumentos.

A participante B, da dupla B&G, durante a resolução da Tarefa Conjecturar 1,

modificou diversas vezes o primeiro número da sequência de dois números

consecutivos e observou na tela os valores das somas obtidas. Depois de alguns

movimentos, observações e discussões com a colega e com a pesquisadora, B

concluiu que a soma de dois números consecutivos é sempre um número ímpar.

Imediatamente depois da conclusão, B observa a reta numérica na tela e afirma que

a soma dá sempre ímpar porque, quando há dois consecutivos, sempre são somados

um número par e um número ímpar (par mais ímpar dá ímpar, nas palavras de B). A

Figura 128 ilustra este caso.

Figura 128: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1, com comentários a respeito da estrutura

do argumento.

1, 3, 5, 7, 9, ... É uma

sequência de números

ímpares.

Porque par mais

ímpar é ímpar.

Dados na

tela do

Consecutivo Garantia

Reforço

234

Durante a Tarefa Conjecturar 2, a dupla B&G utiliza uma estratégia

semelhante àquela empregada na Tarefa 1. A participante B modifica o valor do

primeiro número das sequências com quatro consecutivos e observa os valores

obtidos na soma. Com estas observações, B concluiu que a soma de quatro

consecutivos era sempre um número par. Imediatamente, ela explica que a soma é

par porque “dá para fazer par com par e ímpar com ímpar”. A Figura 129 ilustra este

caso.

Figura 129: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 2 com comentários a respeito da estrutura

do argumento.

A dupla L&M, na Tarefa Conjecturar 2, utilizou uma estratégia semelhante

àquela empregada pela dupla B&G (Figura 130). Os dois participantes manipularam

as barras de rolagem na tela para alterar o valor do primeiro número da sequência de

quatro consecutivos. Ao observar as variações nos valores das somas destes

números, M percebe uma diferença de quatro unidades no resultado a cada mudança.

Imediatamente, explica para a colega que esta diferença faz sentido, uma vez que se

o primeiro número da sequência for alterado em uma unidade, todos os outros também

serão. Desta fora, obtém-se uma soma quatro unidades maior que a anterior.

6, 14, 18, ... É uma

sequência de números

pares.

Porque dá pra fazer

par com par e ímpar

com ímpar.

Garantia

Reforço

Dados na

tela do

Consecutivo

235

Figura 130: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 2, com comentários a respeito da estrutura

do argumento.

Os três casos supracitados foram os únicos (dentre dez analisados) que

apresentaram argumentos com reforços. A dupla G&N foi a única que não apresentou

argumentos deste tipo. Ao analisar aos vídeos e os dados da Tabela 25, percebi que

estes participantes interpretaram a frase “explique por que a conjectura ocorre” como

“explique a origem da conjectura”. Para mim, esta interpretação os levou a não

procurar explicações mais robustas na tentativa de mostrar porque a conjectura é

sempre válida.

Notei também que os reforços somente vieram à tona nas questões as quais

envolviam a percepção de regularidades na soma dos números consecutivos. Eu

interpreto que a explicação de conjecturas neste domínio seja mais simples para o

estudante, pois as justificativas podem ser baseadas nas ideias de paridade ou com

a própria definição do que são números consecutivos.

De forma geral, nas Tarefas Conjecturar, as ferramentas do Consecutivo

desempenharam um papel importante na geração de dados para que os participantes

pudessem formular suas conjecturas. Todas as duplas conseguiram perceber e

6, 14, 18, ... A diferença

entre duas somas é

quatro. Começa no seis.

Se aumentar uma unidade no

1º números, aumenta um em

todos e a soma aumenta 4.

Garantia

Reforço

Dados na

tela do

Consecutivo

236

expressar pelo menos uma regularidade, a qual foi mediada pelas ações dos

participantes sobre as barras de rolagem, a observação da soma e do produto na tela.

A maioria dos argumentos oferecidos pelos participantes foi além da estrutura

Dados – Garantias – Conclusão. Nas discussões entre si, os estudantes também

proferiram qualificadores e réplicas quando não estavam muito certos sobre suas

justificativas e também procuraram reforços quando as explicações que eles já

possuíam não eram muito profundas. Isto ressalta o papel importante das interações

sociais neste processo, uma vez que as tentativas de convencer o colega e a

pesquisadora sobre certa ideia desencadearam o aparecimento de qualificadores e

reforços nos argumentos. As ferramentas do Consecutivo também mediaram a

formulação reforços, principalmente a representação da reta numérica na tela, com a

sequência de consecutivos destacada, que fez o estudante trazer à tona propriedades

da paridade e da sequência de números consecutivos.

A seguir, eu apresento minhas considerações finais para este grupo de

tarefas.

9.6 Considerações sobre as Tarefas Conjecturar

As Tarefas Conjecturar foram propostas na intenção de engajar os estudantes

num processo de formulação de conjecturas e de argumentos para sustentá-las. A

análise dos dados mostrou que estes objetivos foram alcançados em grande medida,

uma vez que todas as duplas apresentaram pelo menos uma conjectura válida em

cada tarefa e argumentos para sustentá-la.

Quando foi possível ter acesso ao processo de formulação de argumentos e

conjecturas, notei que grande parte das produções dos participantes estava

relacionada ao manuseio das barras de rolagem em conjunto com a observação dos

valores da soma, do produto e dos elementos da reta numérica disponíveis na tela do

computador. O uso destes recursos possibilitou a formulação de conjecturas

baseadas em dados empíricos.

Apesar de grande parte das conjecturas ter sido formulada com base em

dados empíricos, em muitas ocasiões os participantes tentaram buscar justificativas

237

baseadas em propriedades para justificá-la. Esta busca ocorreu principalmente

quando os participantes interpretaram a frase “explique por que a regularidade ocorre”

como “explique por que a regularidade faz sentido ou ocorre sempre”.

Para estimular a produção de conjecturas e argumentos baseados em

propriedades matemáticas, num redesign futuro, seria interessante a inserção de

tarefas cujo conteúdo necessite a manipulação de valores que vão além dos limites

da Interface do Consecutivo, bem como tarefas que exijam que o estudante tente

explicar porque as regularidades percebidas ocorrem sempre.

No próximo capítulo, apresento minhas considerações sobre as produções

escritas e as interações dos estudantes nas Tarefas Provar.

238

10. AS TAREFAS PROVAR

Para fins de análise, da mesma forma que fiz com as Tarefas Conjecturar,

reorganizei também as Tarefas Provar, levando principalmente em consideração o

fato do enunciado destas tarefas já conterem conjecturas formuladas de forma

implícita ou explícita e exigir do participante a busca por justificativas baseadas em

propriedades matemáticas as quais validassem (ou não) e explicassem tais

conjecturas. Na Tabela 29, é possível conferir uma lista simplificada dos objetivos de

cada tarefa, como elas apareceram em cada teste e quantos participantes

apresentaram respostas satisfatórias no papel.

Tabela 29: Objetivos das Tarefas Provar, em que teste elas foram aplicadas e a relação

acerto/participantes em cada tarefa.

TPro Objetivos N. da tarefa no 1º teste

N. da tarefa no 3º teste

Acertos/quant. de participantes

1 Determinar a validade de cada uma das três conjecturas a respeito da soma de nove números consecutivos. (Tarefa-escolha)

TPro 3 - 2/2

2 Determinar a validade de cada uma das três conjecturas a respeito do produto de três números consecutivos. (Tarefa-escolha)

TPro 11 - 1/2

3 Explicar se é ou não possível obter certo número k como a soma de quatro números consecutivos. (Tarefa-possível)

TPro 5 TPro 1 11/16

4 Explicar se é ou não possível obter certo número k como o produto de dois números consecutivos. (Tarefa-possível)

TPro 9 TPro 3 11/16

5 Explicar se é ou não possível obter certo número k que divida uma sequência de n números consecutivos. (Tarefa-possível)

TPro 14 - 1/2

6 Provar que a soma de oito números consecutivos é par. (tarefa-prove)

TPro 4 - 2/2

7 Provar que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120. (Tarefa-prove)

TPro 13 - 1/2

8 Concordar ou discordar a respeito da ideia de que a soma de uma quantidade par de números consecutivos é par e que a soma de uma quantidade ímpar de números consecutivos é ímpar. (Tarefa-contexto)

TPro 7 TConj 3 9/16

9 Concordar ou discordar a respeito da ideia de que o produto de quatro números consecutivos é divisível por 24. (Tarefa-contexto)

TPro 12 TPro 4 6/16

10 Explicar de modo convincente por que a soma de três números consecutivos é divisível por três. (Tarefa-convença)

TPro 6 TPro 2 9/16

239

Analisei também as Tarefas Provar em duas etapas. Na primeira, observei

somente as repostas escritas de todas as duplas participantes com o propósito de

verificar (1) em que medida as duplas apresentaram argumentos válidos para validar

e explicar cada uma das conjecturas propostas, (2) quais argumentos foram

elaborados, (3) de que maneira os discursos escritos teriam vindo à tona devido às

interações dos participantes entre si e das duplas com o Consecutivo.

Na segunda etapa, analisei as ações das três duplas vídeo-gravadas. Esta

etapa teve como objetivo verificar de que maneira os argumentos usados para validar

e explicar as conjecturas vieram à tona.

Com a observação dos vídeos, foi possível (1) compreender de que maneira

as interações entre os participantes e a pesquisadora mediaram a resolução das

tarefas, (2) verificar a estrutura dos argumentos produzidos como resposta a cada

tarefa proposta, bem como compreender o processo de formulação dos mesmos e (3)

identificar os papéis da tecnologia no processo de prova.

A seguir, apresento uma síntese das minhas observações, análises e

interpretações.


Em 53 das 90 respostas escritas analisadas na primeira etapa, as duplas

participantes responderam às Tarefas Provar com argumentos válidos. Um exemplo

de reposta satisfatória pode ser conferido na Figura 131 na qual a dupla G&D

apresenta um argumento para mostrar de forma convincente que a soma de três

números consecutivos é divisível por três.

Figura 131: Resposta da dupla G&D para a Tarefa Provar 10.

240

A Tabela 30 apresenta de forma resumida a frequência com que os

participantes ofereceram respostas satisfatórias (ou não) às Tarefas Provar em cada

um dos testes realizados com o Consecutivo.

Tabela 30: Frequência de repostas satisfatórias, parcialmente satisfatórias, insatisfatórias e em

branco por teste.

Resposta 1° teste 3° teste Total

Satisfatória 13 40 53

Parcial 4 3 7

Insatisfatória 2 6 8

Sem Resposta 1 21 22

Total 20 70 90

Em 22 das 90 respostas analisadas, as duplas participantes não responderam

às Tarefas Provar propostas. Ao analisar os vídeos, percebi que grande parte das

duplas que não apresentou resposta não teve tempo hábil para completar as tarefas.

Em três casos, as duplas apresentaram respostas parcialmente corretas e, em oito

casos, elas apresentaram argumentos inválidos. Um exemplo de argumento inválido

pode ser conferido na Figura 132, o qual a dupla B&G tentou explicar porque o produto

de quatro números consecutivos é divisível por 24.

Figura 132: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Provar 9.

Considerando os casos em que os participantes redigiram uma resposta

escrita para a tarefa proposta, correta ou não, foi possível notar uma preferência por

representações estritamente em língua natural ou em língua natural com elementos

algébricos e/ou numéricos. A Tabela 31 apresenta a frequência com que cada tipo de

representação foi utilizado pelos participantes nas respostas escritas em cada teste

realizado com o Consecutivo. É possível notar que os participantes do primeiro teste

241

não utilizaram representações algébricas para expressar os argumentos formulados,

entretanto, em muitos casos do terceiro teste, essa representação foi bastante

utilizada quando associada às representações em língua natural. Embora a interface

do ambiente apresente representações figurais para a sequência de números

consecutivos, em nenhum dos testes os participantes apelaram para esta

representação para expressar seus argumentos.

Tabela 31: Tipos de representações usados para responder às Tarefas Provar e suas frequências em

cada teste.

Representação Frequência no teste 1

Frequência no teste 3

Total

Estritamente em Língua Natural 12 14 26

Mista: Numérica e Língua Natural 7 9 16

Mista: Algébrica e Língua Natural - 23 23

Mista: Algébrica, Numérica e Língua Natural - 3 3

Total 19 49 68

Notei também que os participantes não ofereceram respostas estritamente

numéricas ou estritamente algébricas às tarefas propostas. Minha interpretação é que

“oferecer explicações” é uma prática familiar aos estudantes e é realizada em diversos

contextos, dentro e fora da escola, fazendo grande apelo ao uso da língua materna.

As Tarefas Provar exigiam que os participantes oferecessem explicações para a

validade ou não de uma conjectura e eles cumpriram essas tarefas usando a língua

materna, pelo fato dela ser uma ferramenta familiar para este tipo de situação. Além

disso, na interface das Tarefas Organizar, os participantes do terceiro teste puderam

observar, discutir e organizar argumentos previamente oferecidos pelo programa.

Neste tipo de tarefa, todos os argumentos eram compostos por diversas

representações matemáticas. Acredito que isto também pode ter influenciado as

respostas dos participantes no terceiro teste.

242


Consecutivo

Todas as Tarefas Provar possuíam um objetivo em comum: engajar os

participantes na formulação de argumentos para conjecturas já propostas, entretanto,

certos termos, expressões e conceitos empregados nos enunciados fazem com que

estas tarefas se diferenciem de modo a formar cinco grupos: (1) tarefa-escolha, (2)

tarefa-possível, (3) tarefa-prove, (4) tarefa-contexto e (5) tarefa-convença.

As Tarefas Provar 1 e 2 foram classificadas como tarefa-escolha, pois exigiam

que o participante escolhesse, validasse e explicasse uma conjectura dentro de uma

lista com três possibilidades. Minha expectativa era que os estudantes descartassem

duas conjecturas utilizando contraexemplos emergentes dos testes com as

ferramentas do programa e procurassem explicar com argumentos mais robustos

porque a conjectura remanescente seria verdadeira.

As tarefas-escolha foram somente oferecidas às duplas participantes do

primeiro teste do Consecutivo. Para a Tarefa Provar 1, ambas as duplas ofereceram

respostas extremamente similares no papel (Figura 133 e Figura 134).


Figura 134: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 1.

243

Ao observar as respostas escritas, percebi que os participantes escolheram

a alternativa correta e determinaram assertivamente os limites em que a conjectura

proposta é válida: quando o primeiro número da sequência é par. Ao analisar as

interações vídeo-gravadas das duplas, notei que os participantes chegaram a esta

conclusão de forma similar, mas se convenceram da validade da mesma de forma

diferente. Em ambos os casos, as duplas rejeitaram a ideia de que a soma seria

sempre par ou sempre ímpar fazendo testes com as barras de rolagem e observando

simultaneamente que os valores da soma variavam entre números pares e ímpares

quando se alterava o primeiro número da sequência (Figura 135).

Figura 135: Estratégia utilizada pelas duplas G&N e B&G para resolver a Tarefa Provar 1.

Também em ambos os casos, os participantes determinaram o limite de

validade da conjectura movimentando o primeiro número da sequência e observando

simultaneamente as mudanças na reta numérica da tela; entretanto, para a dupla

G&N, os outputs do Consecutivo foram suficientes para compreender a situação e

formular uma resposta. Para a dupla B&G, uma discussão mais aprofundada, baseada

em propriedades da paridade, foi necessária. Embora B&G não tenha representado

no papel esta discussão, o trecho de transcrição a seguir mostra como ela ocorreu.

244

[00:13:59.27] B: Tá. Zero deu par. Um dá...

[00:14:06.07] P: Um dá ímpar.

[00:14:08.18] B: É que eu tô prestando atenção...

[00:14:10.15] B: Um dá ímpar.

[00:14:12.29] B: Três dá ímpar. Cinco dá ímpar. Seis dá... É. É isso aí, né?

[00:14:18.06] P: Não entendi. O que é isso aí?

[00:14:20.06] B: Que sai quando o primeiro número é par.

[00:14:28.11] P: Então você acha que quando o primeiro número dá par, a soma dá par. É

isso?

[00:14:31.17] B: É porque são nove números. E aí sempre vai sobrar um. E aí não vai dar pra

fazer par com par e ímpar com ímpar.

Na Tarefa de Prova 2, ambas as duplas determinaram corretamente a

conjectura válida, mas apenas a dupla G&N apresentou um argumento satisfatório

para determinar os limites em que a conjectura proposta era válida (Figura 136).


Ao analisar os vídeos, percebi que a estrutura textual do enunciado oferecia

certas dicas aos participantes, de tal modo que a decisão pela conjectura válida ficou

associada ao jogo de palavras e não ao significado matemático das conjecturas. A

dupla B&G, por exemplo, decidiu que a conjectura correta estava na alternativa “c”

porque essa era a única alternativa que parecia ser mais difícil, já que o texto solicitava

que o participante oferecesse mais explicações. O trecho de transcrição a seguir

ilustra esta situação.

[00:13:22.23] G: A soma às vezes é um número par. Ela é par quando... (lendo o enunciado

da questão)

[00:13:24.15] B: É esse aqui. É o C.

[00:13:26.21] G: É. Porque a gente vai ter que justificar.

245

[00:13:28.19] B: Ah, sempre é o que tem que justificar.

[00:13:30.19] P: (Risos)

[00:13:32.08] B: Você devia colocar “justificar” em todas porque aí não dá pra saber qual que

é (a resposta).

Independentes disso, ambas as duplas realizaram testes com as ferramentas

do programa na tentativa de delimitar a validade da conjectura escolhida,

principalmente testes com os painéis de representações. Durante a busca por uma

justificativa plausível, ambas as duplas propuseram outras conjecturas estendendo o

conteúdo do enunciado. O participante G, por exemplo, afirmou que o produto de uma

sequência de consecutivos é divisível por n toda vez que n aparece na fatoração de

um dos elementos da sequência. A participante B também estendeu a conjectura da

tarefa, afirmando que o produto é divisível por quatro sempre que há mais de três

números consecutivos na sequência. A conexão entre as ideias de fatoração e

divisibilidade parece ter mediado a formulação de um argumento válido para a dupla

G&N. O mesmo não ocorreu com a dupla B&G, o que explica em parte porque a dupla

não ofereceu uma argumento consistente para a questão.

As Tarefas Provar 3, 4 e 5 foram classificadas como tarefas-possível, pois

solicitavam que o participante verificasse a possiblidade de certo número k satisfazer

certa propriedade p. Estas propriedades já haviam sido discutidas durante a resolução

das Tarefas Conjecturar. Por isso, minha expectativa era que as duplas percebessem

esta relação e as usassem como fonte para sustentar seus argumentos.

Figura 137: Resposta da dupla B&D para a Tarefa Conjecturar 2.

Onze das doze duplas as quais responderam à Tarefa 3 ofereceram

argumentos que continham explicitamente relação com a conjectura formulada na

Tarefa Conjecturar 2. A Figura 137 e a Figura 138 apresentam as repostas da dupla

B&D para a Tarefa Conjecturar 2 e para a Tarefa Provar 3, respectivamente. Ao

comparar as imagens, é possível perceber que os participantes utilizaram uma

246

conclusão obtida previamente com a interação no Consecutivo para criar argumentos

para validar e descartar novas conjecturas.

Figura 138: Resposta da dupla B&D para a Tarefa Provar 3.

Seis das doze duplas as quais responderam à Tarefa Provar 4 ofereceram

argumentos que continham explicitamente relação com a Tarefa Conjecturar 3 ou com

a Tarefa de Organização 4. Esta conexão não ficou evidente nas respostas escritas

das outras seis duplas. A Figura 139 e a Figura 140 ilustram como a dupla H&C

relacionou a conjectura formulada na Tarefa Conjecturar 3 e os argumentos

apresentados na Tarefa Provar 4.

Figura 139: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Conjecturar 3.

A Tarefa Provar 5 foi realizada somente pelas duplas participantes do primeiro

teste do Consecutivo. Ela foi retirada dos demais testes, pois enfatizava a relação

entre fatoração e divisibilidade que já fora trabalhada. A dupla B&G não respondeu à

questão por falta de tempo. A dupla G&N apresentou uma resposta contendo

argumentos discutidos pelos participantes durante a resolução da Tarefa Provar 2

(Figura 141).

247

Figura 140: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Provar 4.


Apesar das duplas terem utilizado conjecturas já validadas por elas para

formularem novos argumentos nas tarefas-possível, ao analisar as interações vídeo-

gravadas, percebi que os participantes utilizaram abordagens diferentes para resolver

estas tarefas. As duplas G&N e B&G na Tarefa Provar 3, por exemplo, iniciaram a

atividade fazendo testes movimentando as barras de rolagem com a observação das

somas. Estes testes foram suficientes para que os participantes decidissem se era ou

não possível ter o número k satisfazendo a propriedade p. Para justificar suas

escolhas, ambas as duplas evocaram as conjecturas discutidas anteriormente na

Tarefa Conjecturar 2. A dupla L&M seguiu um caminho diferente. Logo após a leitura

do enunciado, os participantes relembraram as conjecturas trabalhadas na Tarefa

Conjecturar 2 e as utilizaram para decidir se era ou não possível ter o número k

satisfazendo a propriedade p. Os testes com as barras de rolagem foram realizados

posteriormente, como uma forma extra de convencimento. A Figura 142 e a Figura

143 ilustram este processo nas duplas G&N e L&M.

248

Figura 142: Interação da dupla G&N na Tarefa Provar 3.

Figura 143: Interação da dupla L&M na Tarefa Provar 3.

Notei que as tarefas-possível de certa forma engajaram os participantes num

processo de formulação de argumentos baseados em conjecturas já validadas por

eles, mas esta conexão ocorreu de diversas formas. Em algumas ocasiões, as

conjecturas já validadas serviram como base para inferências (Figura 143), em outras

Se continuar de 4 em

4 é possível encontrar

82. É 19+20+21+22.

37 e 44 não são

possíveis. Por quê?

37 é ímpar e 44 não aparece

na sequência quando se

aumenta de 4 em 4.

37 não é possível porque há

dois ímpares na sequência.

82 é, porque se

dividir 82 por 4 dá

resto 6.

Resto 2, porque o resto

tem que ser menor que o

divisor.

249

ocasiões, os testes com as barras de rolagem promoveram as conclusões e as

conjecturas já validadas forneceram explicações mais robustas para suportar tais

conclusões (Figura 142).

As Tarefas Provar 6 e 7 foram classificadas como tarefas-prove, pois

continham no enunciado explicitamente a expressão “prove que”. Uma vez que consta

na literatura o abandono da prova no ambiente escolar, minha intenção era a de

compreender o significado que os estudantes atribuem à expressão “prove que” e

verificar que tipos de argumentos eles constroem quando lidam com tarefas deste tipo.

As tarefas-prove foram realizadas somente pelas duplas do primeiro teste.

Para a Tarefa Provar 6, ambas as duplas apresentaram argumentos válidos e

similares para a conjectura de que a soma de oito números consecutivos é sempre

um número par (Figura 144 e Figura 145).



Para a Tarefa Provar 7, somente a dupla G&N apresentou um argumento

válido. Observando as interações vídeo-gravadas, foi possível notar que G&N

percebeu uma regularidade entre os valores do produto e seus divisores. Eles

testaram esta regularidade para diversos casos manipulando as barras rolagem para

alterar a quantidade de consecutivos e o primeiro número. Com os testes, eles

perceberam que a conjectura a ser provada na Tarefa 7 era um caso especial da

250

regularidade o qual eles haviam encontrado. Na Figura 146, é possível observar o

argumento escrito da dupla e perceber que, mesmo sem conhecer o conceito de

fatorial, as interações da dupla os levaram muito próximo da ideia de que o produto

de n consecutivos é sempre divisível por n!


De forma geral, as tarefas que envolviam a divisibilidade do produto foram

mais desafiadoras para a dupla B&G. As interações entre as participantes e a

tecnologia não foram suficientes para fazer com que o conceito de divisibilidade fosse

associado ao conceito de fatoração, o que ajudou a outra dupla a responder tarefas

do mesmo tipo. Uma vez que esta relação não foi estabelecida, a dupla passou a criar

diversas conjecturas, relacionando a ideia de paridade com divisibilidade para

formular argumentos em cada tarefa, o que não levou a respostas satisfatórias

matematicamente. A Figura 147 ilustra o processo de resolução da Tarefa 7 para a

dupla B&G. É possível notar que as participantes fizeram diversos testes com os

painéis de representação, tentando buscar ideias para seus argumentos, e que, neste

processo de testes, diversas conjecturas e explicações foram formuladas sem

sucesso.

251

Figura 147: Interação da dupla B&G na Tarefa Provar 7.

Foi interessante notar que, durante a resolução das tarefas-prove, os

participantes não tentaram conferir se a conjectura expressa no enunciado era

verdadeira utilizando o Consecutivo. Ambas as duplas admitiram que a ideia expressa

no enunciado era verdadeira e os testes no ambiente foram realizados para tentar

formular argumentos para explicar essa validade. Isto me leva a acreditar que a

expressão “prove que” foi interpretada como “explique por que”. Esta associação não

ficou evidente somente na maneira como os participantes se comportaram para

resolver as questões, mas também em suas falas durante as interações. O trecho de

transcrição a seguir mostra como estas interpretações foram explicitadas no discurso

da participante B da dupla B&G.

[00:17:05.26] B: Provar não é a mesma coisa que explicar, não é?

[00:17:08.29] P: É ou não é? O que você acha?

[00:17:12.05] G: Eu acho...

[00:17:12.26] B: Porque se for pra explicar, é só a gente falar que... É a mesma coisa com

nove. Só que com nove vai sobrar um. E esse não vai sobrar. Então, a soma vai sempre dá

par porque [...] dois com um dá três, e seis, e aí dá sempre par.

O produto de 5 consecutivos é divisível por 120 porque 120 é

divisível por 5.

Eu acho que é

porque 120 é

divisível por 2. E onde você

encaixa o 5?

Eu acho que é porque o

produto de uma quantidade

ímpar de consecutivos é

sempre par.

Tentando verificar se o produto é divisível por 120.

Tentando verificar a

fatoração do 120.

252

As Tarefas Provar 8 e 9 foram classificadas como tarefas-contexto, pois

tinham como objetivo fazer com que os participantes buscassem explicações para

concordar ou discordar de conjecturas apresentadas em certos contextos. Ambas as

tarefas estavam presentes no primeiro e no terceiro teste.


Dez das 13 repostas apresentadas para a Tarefa 8 continham argumentos

válidos matematicamente. Grande parte destes argumentos expressou uma relação

geral entre a quantidade de consecutivos e a paridade da soma. As interações vídeo-

gravadas apontaram que esta relação surgiu com a realização de testes sistemáticos

com as barras de rolagem do programa para movimentar a quantidade de

consecutivos de forma ampla e para movimentar o primeiro número de cada

sequência, bem como com a interação entre os participantes em buscar

contraexemplos para refutar conjecturas estabelecidas ao longo das discussões. O

esquema de interação da dupla B&G na Figura 148 ilustra este processo.

A soma é par quando

a quantidade de

consecutivos é par. Com 2 consecutivos

é sempre par e com

3 é ímpar.

Não é verdade. Com

dois consecutivos é

sempre ímpar.

E com três

consecutivos às vezes

dar par e às vezes dá

ímpar.

253

Adicionalmente, podemos comparar o esquema da Figura 148 com os

argumentos escritos da dupla B&G na Figura 149, os quais também foram

considerados uma resposta satisfatória para a Tarefa 8.


Figura 150: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Provar 8.

Ao analisar os argumentos inválidos apresentados na Tarefas Provar 8,

percebi que eles também estabeleceram uma relação entre a quantidade de

consecutivos e a paridade da soma, mas pareceram ter origem em testes limitados

com as ferramentas do Consecutivo. Desconfio que os participantes variaram a

quantidade de consecutivos para poucos valores pequenos, o que não permitiu que

254

eles percebessem as exceções das conjecturas que eles trouxeram à tona. Os

argumentos da dupla H&C (Figura 150) são um exemplo disso.

Seis das dez respostas apresentadas para a Tarefa Provar 9 continham

argumentos válidos matematicamente. De forma geral, estes argumentos foram

baseados na relação entre fatoração e divisibilidade do produto. Os argumentos da

dupla L&M podem ser considerados um exemplo de resposta satisfatória (Figura 151).

Figura 151: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Provar 9.

Ao observar os vídeos, percebi que as três duplas utilizaram diversos

recursos do programa para decidir se concordavam ou não com a conjectura

formulada no enunciado. As duplas G&N e B&G utilizaram o Painel Produto

Retangular para constatar que o produto de quatro números consecutivos era divisível

por 24. Para isso, ambas as duplas acionaram o painel, colocaram a altura do

retângulo em 24, modificaram o valor do primeiro número da sequência de

consecutivos e observaram que a área do retângulo era igual ao produto dos

consecutivos com os diferentes movimentos (Figura 152).

Figura 152: Painel Produto Retangular durante a resolução da Tarefa Provar 9 pela dupla G&N e

B&G.

255

A dupla L&M, diferentemente, manipulou as barras de rolagem com valores

pequenos, observou os resultados do produto e realizou cálculos mentais. Durante a

resolução desta tarefa, observei que a dupla G&N compreendeu como “navegar” pelas

representações afim de formular seus argumentos. Primeiramente, os participantes

acionaram o painel Produto Retangular para checar se havia a possibilidade da

conjectura proposta no enunciado ser verdadeira. Quando eles perceberam que sim,

iniciaram uma discussão tentando explicar porque. Na busca por explicações,

perceberam que a ideia de fatoração poderia ajudar e começaram a fazer testes no

Painel Fatoração na tentativa de formular um argumento consistente. O esquema da

Figura 153 ilustra esta interação.


Adicionalmente, a Figura 154 apresenta a resposta escrita da mesma dupla

para a Tarefa 9.

O produto de 4

consecutivos é

divisível por 24.

Porque na fatoração

aparece 3 vezes o

número 2 e uma vez o

número 3 e

2.2.2.3=24.

Tem a ver com

fatoração.

256

Figura 154: Resposta da dupla G&N na Tarefa Provar 9.

Ao analisar os argumentos inválidos formulados para a Tarefa 9, notei que os

participantes concordaram com a conjectura proposta no enunciado, a qual afirmava

que o produto de quatro números consecutivos era divisível por 24, o que pode indicar

que eles utilizaram as ferramentas do programa para checar a plausibilidade da

conjectura; entretanto, minha interpretação é que as interações entre os participantes

não impulsionaram a relação entre a ideia de fatoração e divisibilidade, o que fez com

as duplas apelassem para outras explicações, como mostra a Figura 155 na qual a

dupla O&V usou a ideia de proporção para explicar a conjectura.

Figura 155: Resposta da dupla O&V para a Tarefa Provar 9.

A Tarefa Provar 10 foi classificada como tarefa-convença, uma vez que no

enunciado exigia-se explicitamente que o participante formulasse uma explicação a

qual convencesse um colega a respeito da validade da conjectura em questão. Minha

expectativa era que as duplas fizessem testes com as barras de rolagem para verificar

a plausibilidade da conjectura, mas que apelassem para os painéis de representação

e outras interações para formular argumentos convincentes.

257

A Tarefa Provar 10 foi proposta nos dois testes do Consecutivo. Os

participantes do primeiro teste concluíram rapidamente que a soma de três números

consecutivos era divisível por três, fazendo poucos testes com as barras de rolagem

com a observação simultânea da soma. Após esta constatação, ambas as duplas

iniciaram uma fase de discussão e testes com os painéis de representação para

buscar uma explicação convincente para a conjectura. Ambas as duplas acessaram o

Painel Tartaruga e perceberam que as tartarugas poderiam ser alinhadas em três filas

completas. A dupla G&N ainda acessou o painel resto e percebeu que a soma dos

restos era sempre três. Apesar de vários testes e discussões, as duplas não

formularam um argumento para explicar a conjectura constatada e decidiram pular a

questão deixando apenas uma resposta parcial.

Algo diferente ocorreu durante a resolução da Tarefa Provar 10, no terceiro

teste do consecutivo. Nove das dez duplas que responderam à questão apresentaram

um argumento válido. Estes argumentos foram baseados principalmente na ideia de

que a soma de três números consecutivos é da forma 3n + 3 e que esta expressão é

divisível por três (Figura 131). É possível interpretar que este tipo de resposta dos

participantes foi mediada pelas representações do Painel Algébrico e pelo fato dos

participantes estarem mais familiarizados a usar argumentos algébricos para

expressar ideias gerais, o que pareceu ser diferente para as duplas do primeiro teste.

Esta interpretação parece ter sentido, uma vez que, nos questionários de opinião

respondidos pelos participantes, sete destas nove duplas apontaram que o Painel

Algébrico foi o que mais ajudou a responder as tarefas.

Apesar de ter evidências que apontam para o fato do Painel Algébrico ser um

influente mediador na formulação dos argumentos para a Tarefa 10, no terceiro teste,

as interações vídeo-gravadas da dupla L&M revelaram outras possibilidades. A

participante L iniciou a resolução da tarefa fazendo diversos testes no Painel

Tartaruga. Com estas manipulações, a participante percebeu que as filas de três

números consecutivos sempre eram formadas por três vezes a mesma quantidade de

elementos mais três elementos remanescentes. L explicou suas ideias para o colega

M e formulou uma resposta algébrica no papel. O esquema da Figura 156 ilustra a

interação da dupla. Adicionalmente, é possível comparar as informações do esquema

com a resposta escrita da dupla na Figura 157.

258


Figura 157: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Provar 10.

É possível concluir que as respostas contendo representações algébricas

podem ter origem nas interações dos participantes com o painel algébrico, o que é

mais natural de aceitar, mas que outros tipos de interações também podem

impulsionar este tipo de resposta.

Dividi as Tarefas Provar em cinco categorias, pois tinha a intenção de verificar

se as características do enunciado dessas tarefas levariam os participantes a realizar

ações diferenciadas na interface, ou ainda, se levariam os mesmos a redigir respostas

semelhantes. Ao observar os vídeos e as repostas escritas, três regularidades me

chamaram a atenção.

Primeiramente, notei que as tarefas-possível engajaram os participantes na

redação de justificativas baseadas em resultados obtidos previamente nas Tarefas

É possível formar 3 filas

completas de tartarugas

porque dá pra ajustar os três

elementos que sobram.

A soma de três consecutivos é

divisível por 3 porque a soma

dos algarismos é divisível por 3.

A soma é divisível por 3

porque é 3 vezes o

mesmo número mais 3.

259

Conjecturar. Apesar de não haver nenhum termo no enunciado da questão ou dica

que sugerisse explicitamente que tal conexão fosse realizada, acredito que este

relacionamento ocorreu porque os participantes perceberam semelhanças entre o

conteúdo matemático das tarefas enquanto as resolviam. A percepção de

semelhanças entre o conteúdo das tarefas não inibiu o uso do Consecutivo. Verifiquei

que, durante a resolução das tarefas-possível, todos os estudantes vídeo-gravados

começaram suas interações fazendo testes com as barras de rolagem. Estes testes

foram importantes para que os mesmos validassem ou invalidassem cada alternativa

presente no enunciado. Neste contexto, as conexões entre tarefas se sobressaíram

porque mediaram a formulação de explicações as quais suportaram a validade das

conjecturas.

Outra regularidade que notei foi com relação às tarefas-prove. Percebi que,

em todas as tarefas deste tipo, os participantes utilizaram o Consecutivo para a busca

de explicações e não para a busca de exemplos que validassem o que estava

proposto no enunciado. A expressão “prove que” parece ter feito os estudantes

acreditarem na validade da conjectura em questão e se empenharem na busca de

justificativas mais robustas.

Por fim, notei que a tarefa-convença impulsionou os estudantes a procurar

uma justificativa mais formal para a conjectura proposta no enunciado. Nos

participantes do terceiro teste, estas justificativas foram representadas no papel com

elementos algébricos. Acredito que estes participantes já estavam familiarizados com

a ideia de que a álgebra pode ser utilizada para generalizar propriedades e que esta

generalidade poderia ajudá-los a criar argumentos convincentes.

Na próxima seção, discuto o papel da mediação social no processo de

resolução das Tarefas Provar.

10.3 As interações sociais nas Tarefas Provar

As interações das três duplas vídeo-gravadas me proporcionou uma

compreensão a respeito de como as interações sociais foram relevantes para os

participantes criarem argumentos durante o processo de resolução das Tarefas

Provar.

260

Para compreender este processo, observei fatores como (1) o tempo que as

duplas levaram para resolver as tarefas, (2) o volume das interações em cada caso

de análise e (3) os motivos que levaram os estudantes a discutirem ideias entre si e

com a pesquisadora. A seguir, apresento as reflexões desta análise.

De forma análoga ao que foi feito nas seções anteriores, determinei o tempo

despendido por cada dupla na realização de cada Tarefa Provar e o volume de

interações ocorridas. A Tabela 32 expressa estes resultados. Nela, é possível verificar

o tempo, em segundos, que cada dupla dispendeu em cada tarefa relacionado ao

volume de interações, o qual está representado pelas cores vermelha, amarela e

verde, correspondendo, respectivamente, a pouca, moderada ou intensa interação

entre os participantes.

Observando a Tabela 32, é possível notar que as interações dos participantes

nas Tarefas Provar variaram entre moderadas e intensas. Houve apenas um caso em

com pouca interação com a dupla L&M, na Tarefa 9. As duplas G&N e B&G,

participantes do primeiro teste, tiveram maior frequência de interações intensas,

enquanto a dupla L&M, participante do terceiro teste, teve maior frequência de

interações moderadas. Ao observar os vídeos, notei que, neste conjunto de tarefas,

os participantes assumiram uma postura mais questionadora, discutindo ideias entre

si e com a pesquisadora, formulando diversas conjecturas, explicações e refutações

durante a resolução das questões.

Tabela 32: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Provar e Volume

das interações ocorridas.

Dupla TPro 1 TPro 2 TPro 3 TPro 4 TPro 5 TPro 6 TPro 7 TPro 8 TPro 9 TPro 10

G&N 62 748 389 169 184 220 366 609 227 533

B&G 250 593 501 143 - 150 251 357 123 400

L&M - - 146 341 - - - 570 100 349

O menor tempo registrado para resolução de uma Tarefa Provar foi associado

à dupla G&N na Tarefa 1. Ao observar os vídeos, foi possível notar que a dupla não

apresentou dificuldades na tarefa, determinou e explicou rapidamente a alternativa

correta da questão fazendo poucos testes com as barras de rolagem do programa. O

maior tempo registrado também foi associado à dupla G&N na Tarefa 2. As interações

261

vídeo-gravadas mostraram que os participantes despenderam bastante tempo

navegando entre os painéis Fatoração, Resto e Produto Retangular para compreender

a relação entre os conceitos de fatoração e divisibilidade. Estas interações foram

importantes, pois contribuíram para a formulação de argumentos consistentes para a

tarefa em questão e para outras tarefas posteriores.

Ao observar a Tabela 32, é possível notar que as interações das três duplas

participantes durante a resolução da Tarefa Provar 4 foram classificadas como

moderadas. Os vídeos mostraram que, nos três casos, em questão as duplas

responderam rapidamente a tarefa, pois reconheceram que propriedades descobertas

em tarefas anteriores poderiam ajudar na formulação de um argumento consistente.

A Tabela 33 apresenta os motivos que mais impulsionaram as interações

entre os participantes durante a resolução das Tarefas Provar e a frequência com que

eles apareceram nos casos analisados. É possível notar que as discussões a respeito

de como posicionar e manipular as ferramentas do programa foram pouco frequentes,

ao passo que as interações, as quais os participantes propuseram ideias, tentaram

compreender os argumentos do colega e refutar conjecturas com contraexemplos,

ocorreram em todos os casos analisados. Isto explica em parte porque as interações

neste tipo de tarefa variaram entre moderadas e intensas.

Tabela 33: Motivos das interações entre os participantes e a quantidade de Tarefas Provar em que os

mesmos ocorreram.

Código Motivo da discussão

Quantidade de Tarefas

1 Negociação posição das barras/painel 6

2 Questionamentos, dúvidas no enunciado ou nas representações dos painéis 15

3 Propor, compreender ou explicar ideias, conjecturas e argumentos 24

As minhas intervenções também contribuíram para que o volume de

interações aumentasse durante a resolução das tarefas. Estas intervenções

ocorreram com mais frequência com as duplas G&N e B&G para instigar, questionar

as conjecturas dos participantes oferecendo contraexemplos, esclarecer dúvidas

sobre os enunciados das tarefas e para fornecer algumas dicas quando os

participantes se encontravam “bloqueados”. A Tabela 34 apresenta uma lista dos

262

motivos que me fizeram intervir e a quantidade de tarefas, por dupla, que contaram

com minhas intervenções.

Tabela 34: Motivos das intervenções da pesquisa e a quantidade de Tarefas Provar em que os

mesmos ocorreram.

Quantidade de tarefas

Código Fator B&G G&N L&M Total

0 Sem intervenção 1 2 4 7

1 Dificuldades com a tarefa e instruções 5 6 - 11

2 Explicação de conceitos 1 1 - 2

3 Explicação da representação 0 1 - 1

4 Instigação e questionamento 6 8 1 15

Analisando a Tabela 34 é possível perceber que minhas intervenções

ocorreram com mais frequência quando os participantes tiveram dificuldades de

interpretar o enunciado das tarefas e quando houve necessidade de instigá-los com

questionamentos sobre as possíveis regularidades percebidas e explicações

oferecidas por eles. Notei também que as intervenções para explicar o significado das

representações presentes na tela diminuíram se comparado com as interações

ocorridas nas Tarefas Explorar e Conjecturar. Isto pode indicar que os participantes

ganharam familiaridade e destreza ao lidar com a interface do Consecutivo conforme

foram resolvendo as tarefas anteriores.

Nas próximas seções, discuto a respeito das análises das interações das três

duplas vídeo-gravadas. Enfatizo as principais ações realizadas durante o processo de

resolução das Tarefas Provar, a estrutura dos principais argumentos construídos

pelos participantes e o papel da tecnologia neste processo.

10.4 O desenvolvimento das Tarefas Provar e o papel do

Consecutivo

Como já mencionei anteriormente, para a análise do processo de formulação

de argumentos e justificativas nas Tarefas Provar, observei as interações das três

263

duplas vídeo-gravadas, as quais foram transcritas e transformadas em organogramas

de ação. Por meio da análise destes organogramas, minha intenção era revelar

padrões nas ações dos estudantes e compreender o processo de prova quando os

mesmos lidam com o Consecutivo.

Ao analisar os organogramas de ação, eu trouxe à tona os princípios de design

que nortearam o desenvolvimento do Consecutivo e as ideias sobre a estrutura de um

argumento sugerida por Toulmin (2003). Para isso, observei os organogramas de

ação tentando revelar como tais princípios mediaram a formulação de dados,

garantias, reforços, qualificadores e conclusões. Desta análise, emergiram três

categorias, as quais eu intitulei de: (1) dinamismo e executabilidade para gerar dados,

(2) co-ação e interações sociais para refutar, (3) representações e navegabilidade

para conferir conjecturas, formular garantias e reforços. A seguir, discuto cada uma

delas com mais profundidade.

10.4.1 Dinamismo e executabilidade para gerar dados

De acordo com as discussões do capítulo 7, desde as primeiras interações

com a interface do Consecutivo, os participantes mostraram que compreenderam

como manipular as barras de rolagem disponíveis na tela a fim de controlar o alcance

da reta numérica, os resultados da soma, do produto e as respostas dos painéis de

representação. Constatei que este tipo de manipulação também esteve presente em

todos os casos relacionados às Tarefas Provar.

Ao observar a estrutura dos argumentos em cada caso, notei que, em todos

eles, o conjunto de dados foi formado por pelo menos uma informação emergente das

interações dos participantes com as barras de rolagem, resultados da soma, do

produto e das representações (Ver Tabela 38).

Observei que os dados gerados com o dinamismo das barras e a

executabilidade dos resultados mediaram a (1) busca de explicações e sentido às

conjecturas envolvidas nas questões, (2) percepção de padrões e formulação de

novas conjecturas, (3) validação ou não hipóteses e (4) refutação e obtenção de

contraexemplos. A seguir, apresento e discuto dois casos destacando cada uma

destas características.

264

A Figura 158 mostra o organograma de ação da dupla G&N ao resolver a

Tarefa Provar 1. Neste caso, os participantes deveriam observar a soma de nove

números consecutivos e determinar se essa soma seria sempre par, sempre ímpar

ou, no caso de nenhuma das alternativas anteriores serem verdadeiras, determinar

quando a soma seria par. Ao observar a Figura 158, é possível perceber que a dupla

iniciou a tarefa com a leitura do enunciado e com o ajuste das barras de rolagem de

acordo com as informações que foram lidas, ou seja, os participantes leram a tarefa e

imediatamente movimentaram a primeira barra de rolagem para o número nove e

começaram a movimentar aleatoriamente a segunda barra de rolagem a fim de alterar

os valores da soma.

Figura 158: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 1, com destaque para os

princípios de design.

G&N:

Leitura

G: Ajusta e testa

G&N:

Escolhem

alternativa

N:

Testa

Barras, soma e

reta numérica

G:

Conjectura

A soma é par

quando o primeiro

número é par

G:

Reafirma

e testa

N:

Conjectura

N:

Discorda

e testa

Observam

resultados pares

e ímpares

Soma e reta

numérica

G:

Refuta

Quando o

primeiro é

par, o último

também é

N:

Concorda

A soma é par

quando o

primeiro e o

último são pares

Barras, soma e

reta numérica

Co-ação: o dinamismo das barras, a

executabilidade da soma mediou a

escolha da alternativa correta e

moldou as ações subsequentes

Co-ação e mediação social: os resultados na tela

mediaram as discussões entre os participantes,

promovendo refutações às invariâncias observadas

Representação e mediação social: a reta numérica

é usada para suportar conjectura e obter acordo

265

Com estes primeiros movimentos, os participantes perceberam que a soma

de nove consecutivos às vezes era um número par e às vezes era um número ímpar,

o que fez com que eles eliminassem as duas primeiras alternativas propostas no

enunciado da Tarefa Provar 1 e começassem a planejar uma maneira de perceber em

que condições a soma de nove consecutivos daria um número par (Figura 159).

Figura 159: Dinamismo da barra de rolagem e executabilidade da soma na Tarefa Provar 1 com a

dupla G&N.

Notei que, até este ponto, o dinamismo das barras de rolagem e a

executabilidade dos resultados da soma permitiram a co-ação e mediaram a

compreensão da dupla a respeito da proposta da tarefa, levando os participantes a

eliminar as duas primeiras alternativas com contraexemplos gerados pelo computador

e começar a planejar suas ações para complementar a resposta da alternativa correta.

Como consequência desta co-ação, a dupla passou a observar

simultaneamente os resultados da soma e a representação dos números na reta

numérica (Figura 160). Desta observação, o participante G concluiu que a soma de

nove consecutivos seria par se o primeiro número da sequência fosse par. O colega

N refutou a ideia dizendo que o primeiro e o último número da sequência deveriam ser

pares. G, não satisfeito, fez mais testes observando as somas e a reta numérica e

contestou o colega dizendo que se o primeiro número da sequência fosse par, o último

também seria. N observou os resultados na tela e concordou com o colega.

G&N fixam a quantidade

de consecutivos em 9 e

modificam o valor do

primeiro número para

observar as variações na

soma. Eles constatam

que às vezes a soma dá

resultado par e às vezes

dá resultado ímpar. Esta

constatação moldou suas

ações subsequentes.

266

Com estas interações, eu pude notar que o dinamismo das barras de rolagem,

a executabilidade dos resultados da soma e a representação dos números na reta

numérica formaram um conjunto que mediou as discussões dos participantes,

engajando-os numa situação de refutação e defesa de uma ponto de vista.

Figura 160: Representação da reta numérica mediando as respostas de G&N na Tarefa Provar 1.

A Figura 161 mostra o organograma de ação da dupla L&M ao resolver a

Tarefa Provar 9. Neste caso, o enunciado da tarefa possuía um texto contextualizado

nas ações de um personagem chamado “Joãozinho”. A dupla deveria concordar ou

discordar da ideia do personagem, explicando porque o produto de quatro números

consecutivos é sempre divisível por 24. Baseando-se nas informações do enunciado,

a participante L colocou a primeira barra de rolagem na direção do número quatro e

passou a movimentar a segunda barra de rolagem observando as mudanças nos

resultados do produto.

Com a movimentação das barras, L nota que os produtos são valores de

grande magnitude e ela passa a questionar como é possível saber que tais valores

são divisíveis por 24 sem realizar o cálculo no papel. Neste momento, o colega M

intervém e, sem muita certeza, afirma que os produtos são divisíveis por 24 e que a

explicação tem a ver com a ideia de fatoração. Com esta constatação, M percebe que

24 é igual a 2x2x2x3 e afirma que estes fatores também estão no produto porque

numa sequência de cinco consecutivos tem-se pelo menos um número múltiplo de

dois, um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4 (Figura 162).

G&N observam a

reta numérica para

determinar quando

a soma de nove

consecutivos é par.

267

Figura 161: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 9, com destaque para os


Figura 162: Dinamismo das barras de rolagem e a executabilidade do produto na Tarefa Provar 9 da

dupla L&M.

Nestas interações, percebi que o dinamismo das barras de rolagem e a

executabilidade dos resultados do produto mediou a compreensão da tarefa para a

participante L. Esta compreensão foi verbalizada explicitamente para o colega de

dupla, fazendo com que o mesmo relacionasse o propósito da tarefa em questão com

o de outra tarefa realizada anteriormente (TOrg 4). Esta conexão permitiu que a dupla

formulasse garantias e reforços para suportar a conjectura do personagem Joãozinho.

L&M:

Leitura

L:

Testa

L:

Questiona

M:

Prova

Barras e

produto

L: Concorda e

responde

João está

correto e tem

a ver com

fatoração

M:

Conjectura

Observa os resultados

dos produtos e afirma

que deve-se provar

que todos são

divisíveis por 24

TOrg 4

Dinamismo e executabilidade: o dinamismo das barras

e a executabilidade do produto mediou a compreensão

da tarefa

Organização das Tarefa: argumentos formulados em

tarefas anteriores mediaram a criação de reforços para

as novas tarefas

O produto contém os

fatores 2.2.2.3 porque

tem um múltiplo de 2,

de 3 e de 4.

Com o dinamismo da barra de

rolagem e a executabilidade

dos resultados do produto, L

percebeu que os valores

aumentavam rapidamente e

questionou como seria possível

determinar a divisibilidade por

24. O colega M justifica

associando a ideia de

divisibilidade com a ideia de

fatoração, já trabalhada na

TOrg 4.

TOrg 4

268

Como já abordado no início desta seção, os dados gerados pelo dinamismo

das barras de rolagem, pela executabilidade dos resultados da soma, do produto e

das representações mediaram diversas ações dos participantes no andamento das

tarefas. Muitas vezes, num mesmo caso, o dinamismo e a executabilidade

desempenharam vários papéis, como destacado no caso da Tarefa Provar 1 com a

dupla G&N (Figura 158). A Tabela 35 mostra a frequência de casos com que cada

uma destas ações apareceu durante a resolução das Tarefas Provar nas interações

das duplas vídeo-gravadas.

Tabela 35: Ações dos participantes mediadas pelos dados gerados com o dinamismo barras de

rolagem e a executabilidade das respostas do programa e a quantidade de Tarefas Provar em que

estas ações ocorreram.

Ações Quantidade de Tarefas

1 Procurar explicações e dar sentido às tarefas propostas 20

2 Perceber padrões e formular conjecturas 14

3 Validar ou não hipóteses 15

4 Refutar e/ou obter contraexemplos 11

Ao analisar a Tabela 35, podemos notar houve certo equilíbrio entre as

frequências apresentadas para cada ação. Além disso, é possível notar que os dados

gerados com o dinamismo das barras de rolagem e a executabilidade dos resultados

mediou pelo menos uma das ações dos participantes em quase todas as Tarefas

Provar propostas.

A ação que foi mais influenciada por estes recursos foi a de procurar por

explicações e sentidos para as tarefas. A análise dos vídeos apontou que isto ocorreu

principalmente porque os participantes fizeram muitos testes com diversas

ferramentas da interface toda vez que se encontravam numa situação em que os

conceitos e estratégias que lhes eram familiares não foram suficientes para explicar

porque as conjecturas propostas nas tarefas eram verdadeiras ou não.

Em 11 dos 24 casos analisados houve a presença de refutações e

contraexemplos gerados devido ao dinamismo das barras e a executabilidade das

representações. Acredito que isto tenha relação com a natureza das tarefas

propostas. Tarefas em que os participantes deveriam discordar ou concordar com

269

alguma ideia foram mais susceptíveis de terem contraexemplos e refutações, como,

por exemplo, as Tarefas Provar 8 e 9.

10.4.2 Co-ação e interações sociais para refutar

Em grande parte dos casos envolvendo as Tarefas Provar (15/24), os

participantes formularam diversas conjecturas na tentativa de explicar as situações as

quais eles estavam engajados. Muitas destas conjecturas não eram válidas

matematicamente porque foram trazidas à tona com a observação de poucos dados;

entretanto, como os participantes continuavam suas explorações no Consecutivo após

a formulação das mesmas, as respostas geradas pelo programa com a movimentação

das barras de rolagem possibilitava a percepção de contraexemplos para muitas

delas. Quando estes contraexemplos não partiam da observação das respostas do

computador, eles surgiam nas discussões entre os participantes. A seguir, apresento

e discuto três casos a fim de revelar como a tecnologia e as interações sociais

mediaram o processo de refutação no Consecutivo.

Figura 163: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 4, com destaque para os


L&M:

Leitura

L:

Conjectura

M:

Refuta

L:

Testa

TOrg 4

M: Conjectura

4x5 é 20 e

20 não é

divisível

por 6

L&M:

Discutem

Os produtos devem

ser divisíveis por 6

(O que é verdade

para 3 consecutivos,

mas não para 2)

Barras e

produto

Organização das tarefas e

mediação social: a conjectura

de L foi baseada em tarefa

realizada anteriormente e foi

refutada com contraexemplo

gerado pelo colega

Co-ação: o dinamismo e a

executabilidade do produto

contribuíram para que L

descartasse sua ideia após

observar os resultados na tela e M

percebesse uma invariância

Abandona a

conjectura formulada

e pede que o colega

tente responder a

questão

Par x

ímpar

é par

L&M: Testa

M: Responde

Sem

sucesso Com base

na ideia de

paridade e

forma

algébrica.

TOrg 2 Painéis

Organização das tarefas:

Quando as representações não

ajudaram, os participantes

buscaram garantias e reforços

nas conjecturas e argumentos

formulados anteriormente.

270

O primeiro caso é aquele em que a dupla L&M está resolvendo a Tarefa

Provar 4 (Figura 163). A tarefa em questão exigia que os participantes explicassem

se seria possível encontrar 23, 52 e 156 como produto de dois números consecutivos.

Para isso, imediatamente após a leitura da tarefa, a participante L afirmou que os

números em questão deveriam ser divisíveis por 6. Acredito que ela fez uma

associação equivocada com a Tarefa Organizar 4 a qual afirmava que o produto de

três consecutivos era sempre divisível por 6. Ao ouvir a opinião de L, o colega M

apresentou um rápido contraexemplo: 4x5 é 20 e 20 não é divisível por 6. Este

contraexemplo gerou uma discussão entre os participantes e fez com que L

começasse a manipular as barras de rolagem e observar os resultados do produto

(Figura 164).

Figura 164: Dinamismo das barras rolagem e percepção de invariâncias na Tarefa Provar 4 da dupla

L&M.

Com esta observação, M notou que o produto de dois consecutivos era um

número par e fez uma conexão com uma regra já conhecida por ele: par vezes ímpar

é sempre par. Esta conexão fez com que os participantes percebessem que 23 não

poderia ser o produto de dois números consecutivos. Com os movimentos das barras

de rolagem, eles perceberam que 156 era o produto de 12 e 13. E ao destacar a forma

algébrica do produto de dois consecutivos (n²+n), a dupla mostrou porque 52 não

poderia aparecer como produto.

É válido observar que as discussões entre os participantes e particularmente

o contraexemplo fornecido por M, antes mesmo de qualquer manipulação com as

ferramentas do software, desencadearam uma série de ações que mediou a

formulação de garantias e reforços para o argumento construído pela dupla.

Ao movimentar as barras de rolagem a dupla percebe que o

produto de dois consecutivos é par.

271

O segundo caso é aquele em que a dupla G&N resolve a Tarefa de Prova 8

(Figura 165). Nesta tarefa, a dupla precisava explicar porque as conjecturas

formuladas por dois personagens, Joãozinho e Pedrinho, não eram válidas. A primeira

conjectura afirmava que a soma de uma quantidade par de números consecutivos

seria sempre par. A segunda, afirmava que a soma de uma quantidade ímpar de

consecutivos seria sempre ímpar.

Figura 165: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 8, com destaque para os


Neste caso, após a leitura do enunciado, a dupla G&N começou a fazer suas

primeiras explorações no ambiente movimentando ambas as barras de rolagem a fim

de observar diversas sequências com diferentes quantidades de consecutivos. Destas

explorações iniciais, os participantes formularam algumas conjecturas e as testaram

com mais manipulações das barras e observações dos resultados da soma. Mesmo

com os testes, ainda apareceram conjecturas que eram válidas apenas para alguns

G&N:

Leitura

G: Ajusta e testa

G&N:

Discussão

G:

Conjectura

Barras, soma e

reta numérica

N:

Testa

Quando a quant.

É ímpar a soma

pode ser par ou

ímpar

N:

Conjectura

G:

Refuta

G:

Conjectura

Sobre as

propriedades

da paridade

N:

Conjectura

Com três

consecutivos

pode dar par

G&N:

Responde

Com dois

consecutivos a soma

dá sempre par

Barras, soma e

reta numérica

Co-ação e mediação social: o dinamismo das barras de rolagem, a executabilidade da soma e as

discussões entre os participantes mediaram a percepção de invariâncias.

Co-ação e mediação social: os resultados das somas na tela foram

usados como contraexemplos das invariâncias observadas e foram

usados como garantias no argumento

A soma

depende da

quantidade de

consecutivos

Quando a

quant. É par

a soma é par

(provável)

Com

contraexemplos

272

valores, como no caso em que o participante N que afirmou que a soma de uma

quantidade par de números consecutivos seria par. É bem provável que N tenha

chegado a esta conclusão ao observar a soma de quatro números consecutivos, a

qual sempre tem como resultado um número par. Esta conjectura limitada, formulada

por N, foi refutada pelo colega G o qual mostrou, com resultados na tela do

computador, que quando se tem dois consecutivos a soma é sempre ímpar.

A dupla G&N não teve dificuldades de contestar a conjectura a qual afirmava

que a soma de uma quantidade ímpar de consecutivos é ímpar. Em suas primeiras

explorações e observações, os participantes notaram que, com três consecutivos, a

soma poderia ser par ou ímpar (Figura 166).

O terceiro, e último caso nesta seção, é aquele em que a dupla B&G resolve

também a Tarefa Provar 8. Ao observar a Figura 167, é possível perceber que as

ações da dupla B&G para resolver a tarefa foram muito similares às ações da dupla

G&N (Figura 165). A dupla B&G começou a tarefa fazendo explorações iniciais com

as barras de rolagem de modo a obter diversas sequências com diferentes quantidade

de números consecutivos. Destas observações, a dupla também formulou conjecturas

válidas em contextos restritos, as quais também foram refutadas por contraexemplos

retirados das respostas do programa e apresentados nas discussões entre os

participantes.

Figura 166: Dinamismo das barras de rolagem e refutações na Tarefa Provar 8 da dupla G&N.

Com poucos movimentos

com as barras de rolagem,

a dupla G&N percebe que

a soma de uma quantidade

ímpar de consecutivos

pode dar par ou ímpar.

273

Figura 167: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Provar 8, com destaque para os


É possível dizer que, para as duplas G&N e B&G na Tarefa Provar 8, o

dinamismo das barras de rolagem, a executabilidade da soma e as discussões entre

participantes mediaram a formulação de conjecturas e contraexemplos que foram

usados como garantias e suportes no argumento.

Notei que, muitas vezes, as respostas do computador não são suficientes

para que os participantes percebam que uma conjectura proposta não é válida;

entretanto, as interações sociais podem complementar as discussões “cobrindo” o

papel da tecnologia.

Ao analisar os casos em que os participantes apresentaram respostas

incorretas às tarefas propostas, percebi que os mesmos formularam conjecturas

restritas devido aos testes limitados com as barras de rolagem. Estas conjecturas não

foram refutadas devido à falta de testes mais aprofundados com as ferramentas do

Consecutivo e a pouca interação entre os participantes. Este foi o caso, por exemplo,

no caso em que a dupla B&G resolvia a Tarefa Provar 9 (Figura 168). Nesta tarefa, a

dupla deveria explicar porque o produto de quatro números consecutivos é divisível

por 24.

B&G:

Leitura

B:

Testa

G:

Conjectura

P:

Sugere

Barras, Soma

e P. tartaruga

B: Testa

A soma é par

quando a

quantidade de

consecutivos é par

G:

Conjectura

Barras e

Soma

Co-ação: o dinamismo das barras e a

executabilidade da soma mediaram a

percepção de invariâncias.

Co-ação e mediação social: o dinamismo das barras e a executabilidade

da soma associados às discussões entre as participantes e a

pesquisadora mediaram a percepção de contraexemplos que foram

usados como reforços

Com dois

consecutivos

é par e com

três é ímpar

Investigar

B: Refuta

B: Prova

Com dois

consec. a

soma é

ímpar

Discorda

porque com 2

consec. A soma

dá ímpar e com

3 às vezes dá

par.

274

Figura 168: Organograma da Tarefa Provar 9 da dupla B&G, com destaque para os princípios de

design.

Na Figura 168, é possível observar que, após a leitura da tarefa, a dupla B&G

faz algumas explorações iniciais no Painel Produto Retangular e constata que o

produto de quatro consecutivos é divisível por 24 ao movimentar as barras de rolagem

e avaliar as respostas dadas pelo painel: a área do retângulo é igual ao produto dos

números consecutivos (Figura 169).

Figura 169: Representação do painel Produto Retangular na Tarefa Provar 9 da dupla B&G.

Após constatarem que a conjectura em questão fazia sentido, as participantes

passaram a procurar explicações que pudessem sustentar a ideia. A participante B

sugere que o produto de quatro números consecutivos é divisível por 24 porque 24 é

divisível por 4, que é a quantidade de consecutivos. A colega de dupla não faz testes

B:

Leitura

G: Testa

B:

Instrui

G&N:

Conjec

tura

Barras, painel

P. Retangular

B: Prova

A altura do

retângulo

deve ser 24

G:

Testa

Barras e painel

P. Retangular

Co-ação e representação: o dinamismo das barras e a executabilidade

da representação do painel Produto Retangular mediou a percepção de

invariâncias e a aceitação da conjectura em questão.

Co-ação e mediação social: Testes

limitados e pouca interação entre as

participantes mediaram a formulação

de uma garantia inválida.

A conjectura

é verdadeira

G: Responde

Porque 24 é

divisível por 4,

que é a

quantidade de

consecutivos

275

com as ferramentas do programa e nem apresenta um contraexemplo para refutar

esta afirmação. Ambas encerram as discussões e redigem a resposta com as

garantias apresentadas.

Figura 170: Representação do painel Produto Retangular sugerida para a Tarefa Provar 9.

Para refutar a afirmação de B, a participante G poderia ter feito testes com o

painel Produto Retangular usando outra quantidade de números consecutivos. Se

utilizasse cinco consecutivos, por exemplo, ela veria que o produto também é divisível

por 24, embora 24 não seja divisível por 5 (Figura 170).

Vale lembrar que, de acordo com a Tabela 32, este caso da dupla B&G teve

um volume moderado de interações e durou apenas 123 segundos. Por esta razão,

eu o considero como mais um indício de que a mediação social desempenha um papel

importante quando as interações com as ferramentas do programa ocorrem de

maneira limitada. A mediação social pode ser considerada uma “cobertura” ao papel

desempenhado pela tecnologia.

10.4.3 Representações e navegabilidade para conferir conjecturas, formular

garantias e reforços.

Ao observar as interações das duplas vídeo-gravadas, percebi que os

participantes não utilizaram muitas vezes as representações disponíveis na interface

como fonte para a criação de garantias e reforços para o argumento (Veja Tabela 39

e Tabela 40), no entanto, quando eles fizeram uso dos mesmos, conseguiram formular

explicações mais robustas. Para ilustrar esta situação, apresento e discuto dois casos:

276

aquele em que a dupla G&N resolve a Tarefa Provar 6 e aquele em que a dupla L&M

resolve a Tarefa Provar 10.

A Tarefa Provar 6 exigia que os participantes provassem que a soma de oito

números consecutivos era um número par. A Figura 171 nos mostra que, após a leitura

do enunciado da tarefa, o participante N observou a representação da reta numérica

na tela e executou alguns cálculos mentais enquanto isso.

Figura 171: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 6, com discussões sobre o papel

da tecnologia.

Figura 172: Reta numérica mediando as garantias e reforços formulados pelo participante N na Tarefa

Provar 6.

G&N:

Leitura

N: Cálculo

mental

N:

Prova

G:

Prova

Reta Numérica

N: Refuta

Somando-se dois

consecutivos tem-

se ímpar.

Somando-se 4

ímpares, tem-se par

G&N:

Discutem

Reta Numérica

Representação e mediação social: A representação da reta numérica mediou a formulação

de garantias e reforços. As discussões entre os participantes trouxe à tona as ideias sobre

paridade que ambos haviam observado com o auxílio da reta.

Com 4 pares e 4

ímpares dá para

fazer par com par e

ímpar com ímpar,

gerando um par

G&N: Respondem

Re-explica

sua ideia

Reta Numérica

Ímpar Ímpar Ímpar Ímpar

Par Par

Par

277

Logo após estas ações, N apresentou sua prova dizendo que a soma era

sempre par porque com oito consecutivos é possível formar quatro duplas contendo

um número par e um ímpar, o que geraria quatro números ímpares, que somados

dariam um número par (Figura 172).

O participante G ouve a ideia do colega e contesta dizendo que a soma é

sempre par porque numa sequência de oito consecutivos há quatro pares e quatro

ímpares, de modo que ao somarmos os pares tem-se um par e ao somarmos os

ímpares tem-se um par também (Figura 173).

Figura 173: Reta numérica mediando as garantias e reforços formulados pelo participante G na

Tarefa Provar 6.

N ouve o colega, mas volta a explicar a situação com as garantias e reforços

que ele mesmo formulou. Ambos os participantes chegaram ao consenso de que

ambas as ideias estão corretas, mas, no papel, cada um escreve sua resposta do jeito

que pensaram por si.

É interessante observar que, neste caso, a reta numérica disponível na tela

foi uma representação que mediou a criação de garantias e reforços para o

argumento. Acredito que, ao verem os números na reta, os participantes notaram que

as propriedades da paridade com as quais já estão familiarizados poderiam fornecer

justificativas para a conjectura a ser provada.

Par

Par

Par

278

Figura 174: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 10, com discussões sobre o papel

da tecnologia.

A Figura 174 representa o caso em que a dupla L&M resolve a Tarefa Provar

10. Nesta tarefa, os participantes precisavam explicar convincentemente a um colega

porque a soma três números consecutivos é sempre divisível por 3. Ao observar a

figura, notei que, após a leitura do enunciado, a participante L começa a fazer

explorações movimentando as barras de rolagem e observando as representações do

painel Tartaruga ao mesmo tempo. Com estas explorações, L percebeu que quando

se tem três números consecutivos é sempre possível formar três filas com a mesma

quantidade de tartarugas e ainda há três tartarugas de sobra.

Figura 175: Representação do painel Tartaruga mediando a formulação de garantias e reforços da

participante L na Tarefa Provar 10.

O colega M leu o enunciado após L efetuar as explorações no programa.

Quando o participante compreendeu o que deveria ser feito na tarefa, observou

poucos resultados da soma na tela do computador e, utilizando uma propriedade com

L:

Leitura

L: Teste

M:

Leitura

M: Testa e

Prova

Barras e painel

Tartaruga

L: Refuta

A soma é três

vezes o mesmo

número mais 3.

Isso é divisível

por 3.

L:

Testa

Painel

Tartaruga

Co-ação e representação: O dinamismo das barras e a executabilidade da representação do painel

Tartaruga mediaram a formulação de garantias e reforços para a conjectura em questão.

A soma é

divisível por 3

porque a soma

dos algarismos

é divisível por 3

L: Prova

Tem 3 filas com

a mesma

quantidade de

tartarugas e mais

3 sobrando

Painel

Tartaruga Barras e

Soma

279

a qual já estava familiarizado, concluiu que a soma de três consecutivos era sempre

divisível porque a soma dos algarismos era um número divisível por três. L ouviu a

explicação do colega e complementou-a com as observações que havia notado no

painel Tartaruga. M não compreendeu as ideias da colega, o que fez a mesma explicar

com mais detalhes que ela havia percebido que com três consecutivos era sempre

possível formar três filas com o mesmo número e que sempre sobrariam três

unidades. Ela ainda explicou que isso era equivalente a dizer que a soma era da forma

3n+3. Esta última explicação convenceu ambos.

É interessante notar que, neste caso, as representações do painel Tartaruga

mediaram a criação de garantias e reforços para justificar a conjectura em questão.

As explicações mediadas por esta representação pareceram ser bastante

convincentes, uma vez que deram sentido às explicações algébricas com as quais os

participantes já estavam familiarizados.

Além de utilizar as representações para formular garantias e reforços, em

alguns momentos, os participantes conseguiram navegar por entre elas de tal modo

que uma representação foi usada inicialmente para validar a conjectura em questão e

a outra representação foi usada posteriormente para explicar porque tal conjectura

seria sempre válida. Para ilustrar este caso, discuto o caso em que a dupla G&N

resolveu a Tarefa Provar 9.

A Tarefa Provar 9 exigia que os participantes explicassem por que o produto

de quatro números consecutivos era sempre divisível por 24. Com a Figura 176

podemos observar que, após a leitura do enunciado, o participante N fez suas

primeiras explorações movimentando as barras de rolagem e observado os valores

do produto ao mesmo tempo. Ao notar que o produto poderia ser zero, N afirmou que

a conjectura não poderia ser verdadeira uma vez que, para ele, zero não seria divisível

por 24. Com a refutação da pesquisadora, N percebeu que confundiu as propriedades

e que, de fato, era o 24 que não seria divisível por zero. Após estas discussões, G&N

decidiram explorar o painel Produto Retangular e, com poucos movimentos realizados

com as barras de rolagem, concluíram que o produto era divisível por 24, pois a área

do retângulo de altura 24 era sempre equivalente ao produto dos números

consecutivos para qualquer sequência com quatro consecutivos que testavam. A

dupla não parou com as explorações após esta constatação. Continuou procurar por

explicações mais robustas ao observar as representações do painel Fatoração.

280

Ambos já estavam familiarizados com a relação entre fatoração e divisibilidade de tal

forma que, ao observarem as respostas no painel Fatoração, perceberam

rapidamente que o fator dois se repetia por três vezes e o fator 3 aparecia uma vez

em todas as sequências com quatro consecutivos testadas por eles.

Figura 176: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar, com destaque para os princípios

de design.

Figura 177: Representação do painel Fatoração mediando a formulação de garantias e reforços da

dupla G&N na Tarefa Provar 9.

G:

Lê

G&N:

Afirma

N:

Teste

G:

Afirma

Barras e

Produto

G&N: Teste

O produto

pode dar

zero e

zero não é

divisível

por 24

P:

Refuta

Reta

Numérica

Co-ação e mediação social: Testes com as barra de rolagem e

observação dos resultados do produto fomentou a formulação de

um contraexemplo para a conjectura em questão. O

contraexemplo foi refutado com a intervenção da pesquisadora.

Joãozinho

está certo

G&N: Afirma

Joãozinho

está certo

e tem a ver

com

fatoração

Painel P.

Retangular

P:

Sugere

Joãozinho

está

errado

G&N: Teste

G&N: Prova

Porque

aprecem 3

números 2 e

um número 3

na fatoração

Painel

Fatoração

Representação e Navegabilidade: Testes com as

representações do painel P. Retangular levaram os participantes

a pensar que a conjectura era verdadeira, o que foi ratificado com

as explorações das representações do painel Fatoração.

281

Neste caso, notei que as representações dos painéis Produto Retangular e

Fatoração, quando articuladas, mediaram a formulação de garantias e reforços para

justificar a conjectura proposta. A representação do painel Produto Retangular

mostrou aos participantes que a conjectura fazia sentido e a representação do painel

Fatoração explicou porque ela era válida sempre.

A seguir, discuto a estrutura dos principais argumentos apresentados pelos

estudantes para sustentar suas justificativas nas Tarefas Provar.

10.5 A estrutura dos argumentos nas Tarefas Provar

Quando me deparei pela primeira vez com a ideia de estrutura fina do

argumento defendida por Toulmin (2003), tive a impressão de que ele estava

sugerindo que todo argumento, independente de área, começaria com a geração de

dados, seguida pela formulação de garantias, reforços, qualificadores e réplicas, até

que se obtivesse o estabelecimento de uma conclusão. Ao me aprofundar um pouco

mais em suas ideias, percebi que Toulmin (2003) defende apenas o fato de que a

estrutura do argumento é constante, mas que os momentos em cada um dos

elementos dessa estrutura são colocados em jogo podem não ter uma ordem

específica. Toulmin (2003) ainda afirma que não está interessado na maneira que os

argumentos veem à tona, mas em como as conclusões são justificadas e suportadas

dentro de certa área do conhecimento.

Como já foi mencionado no Capítulo 6, para adicionar certa temporalidade

aos principais argumentos criados pelos participantes nas Tarefas Conjecturar e

Provar, numerei cada uma das informações expressas em cada elemento dos

argumentos elaborados. Desta forma, verifiquei em quais momentos cada um destes

elementos foi trazido à tona pelos participantes. Esta numeração gerou 24 sequências

formadas pelas iniciais das palavras Dados, Garantias, Reforços, Qualificadores,

Réplicas e Conclusão. Cada sequência representa de forma sucinta o processo de

construção do principal argumento elaborado pelas duplas em cada Tarefa Provar,

como mostra a Tabela 36.

282

Tabela 36: Sequência em que cada um dos elementos de um argumento foi proferido pelos

participantes durante a resolução das Tarefas Provar.

Dupla TPro 1 TPro 2 TPro 3 TPro 4

G&N DGGCC DDDGDGQReIRDGC DGMDCDGICDGMC DDDGDGMC

B&G DDDDGGCRRI DGDGIDGC DDDDGDGDGQIReC DDDGICGM

L&M - - DDGMGIDGMDDC DDDGDCGRI

Dupla TPro 5 TPro 6 TPro 7

G&N DDDDGIGCGMC CDGGR CDGIDDGD

B&G - CDGDGRIQIRe DGCDGIGM

L&M - - -

Dupla TPro 8 TPro 9 TPro 10

G&N DDGRCDGRC DDGCDDGM DGCDDDGIQIRe

B&G DDGCDGC DDGCDDGI DGCDGQIRe

L&M CDGRIGRI DDDGIRIC DDGIGRC

D=Dado, G=Garantia, R=Reforço, Q=Qualificador, Re=Réplica, C=Conclusão, I=Informação implícita, M=Referência

explícita a uma tarefa realizada anteriormente. Em azul, argumentos com dados no começo. Em verde, argumento com

dados espalhados. Em rosa, argumento com conclusão no começo.

Ao analisar a Tabela 36, fiquei bastante surpresa com diversos aspectos das

sequências obtidas ao longo das Tarefas Provar. Primeiramente, é possível notar uma

variedade de sequências. Além disso, pode-se observar a existência de sequências

simples, com poucos elementos e poucas repetições, e também de sequências mais

complexas contendo todos os elementos propostos por Toulmin (2003), com

repetições ao longo das interações. Observei estas sequências tentando buscar

padrões e casos especiais os quais pudessem iluminar o processo de prova com o

Consecutivo. A seguir apresento os resultados desta análise.

A primeira característica que notei foi que em 20 dos 24 casos analisados os

participantes começaram a formulação dos argumentos coletando dados. Embora

esta não seja uma característica imposta pela estrutura sugerida por Toulmin (2003),

neste contexto, este parece ter sido o caso para a grande maioria dos argumentos

formulados. Minha interpretação é que o ambiente digital favorece este tipo de

comportamento. O Consecutivo tem uma interface atrativa para o estudante com

diversos botões para pressionar e diversas barras de rolagem para movimentar.

Acredito que esta atratividade foi umas razões para que os participantes começassem

283

o processo de prova coletando dados. Outra explicação pode ser encontrada na

estrutura das tarefas propostas aos participantes. Antes das Tarefas Provar, as duplas

realizaram as Tarefas Explorar e as Tarefas Conjecturar que solicitavam

explicitamente que o estudante fizesse manipulações com as ferramentas da interface

a fim de procurar padrões e regularidades. Este tipo de comportamento pode ter sido

internalizado pelos participantes e aplicado também às Tarefas Provar.

Notei que, nos casos em que a coleta de dados não foi a primeira ação, os

participantes começavam a argumentação admitindo a conclusão como verdade.

Após esta constatação, eles passavam a procurar dados, garantias e reforços para

suportar a conclusão. Estes casos ocorreram principalmente (3/4) nas Tarefas Provar

com a expressão “prove que” no enunciado. Minha interpretação é que, ao lerem o

enunciado das tarefas do tipo “prove que”, os participantes aceitaram a conjectura em

questão como verdadeira. Isto fez com que os mesmos não se envolvessem na

manipulação das barras de rolagem e observação simultânea da soma e do produto

para conferi-la, mas fez com que engajassem na formulação de garantias e reforços

que pudessem explicar a conjectura.

Percebi também que, excluindo-se os casos em que as interações

começaram com o estabelecimento de conclusões, algumas vezes, os dados para

suportar os argumentos foram coletados apenas no início da tarefa (6/20) e outras

vezes eles apareciam espalhados no argumento (14/20).

Notei três similaridades ao observar os casos em que os participantes

coletaram dados somente no começo da resolução da tarefa. Primeiramente, percebi

que grande parte dos argumentos possuía um conjunto com vários tipos de dados

(5/6), em todos os casos, os argumentos não possuíam qualificadores e réplicas (6/6),

e em alguns casos as garantias e reforços apresentados foram baseados nos

significados das representações do programa (3/6) ou em argumentos formulados em

tarefas anteriores pela dupla (3/6). Isto me leva a acreditar que um conjunto de dados

variados no início do argumento, associado à confiança que se teve nas garantias

e/ou reforços baseados nas representações do programa e/ou nos resultados de

tarefas anteriores, contribuiu para o estabelecimento da veracidade da conclusão, o

que fez com que qualificadores e réplicas não aparecessem no discurso dos

participantes.

284



Como ilustração destes casos, apresento a Figura 178, a qual mostra de

forma resumida como a dupla B&G resolveu a Tarefa Provar 1, e a Figura 179 na qual

a dupla L&M resolve a Tarefa 9. A Figura 179 ainda pode ser comparada com a Figura

185, a qual apresenta a estrutura do argumento da dupla L&M para a Tarefa 9. Ao

A soma nem sempre

é par e nem sempre

dobra. Alternativa A,

B ou C? É a C. É sempre

aquela que tem

que explicar!

A soma de 9 consecutivos é par quando o

primeiro número é par. Porque dá pra

juntar par com par e ímpar com ímpar e

vai sobrar um número. Se esse número

for par, a soma será par.

São 4 consecutivos e tem que

explicar por que o produto é

sempre divisível por 24. Mas

como a gente sabe que é?

Não sei porque, mas é

verdade. Olha na tela.

É que nem a outra

questão. Olha, 24

é 2x2x2x3. E em 4 consecutivos tem sempre

um múltiplo de dois, um de três e

um de quatro. Então, o produto

vai ser divisível por 24.

285

observar as ilustrações, notamos que os participantes coletaram dados somente no

início da interação, para verificar a plausibilidade da conjectura em questão, e que nos

momentos seguintes, eles se preocuparam em formular explicações que dessem

sentido à conjectura.


Percebi duas similaridades ao observar os casos em que a coleta de dados

foi realizada em diferentes momentos da tarefa. No primeiro caso (9/14), notei que em

alguns participantes coletavam dados e estabeleciam garantias insuficientes para

concluir algo sobre a tarefa, o que os levava a uma nova coleta de dados e à

formulação de novas garantias. Em algumas ocasiões, este processo foi acrescido de

reforços, o que ajudou a explicar as garantias (2/9). Houve casos em que este

O produto nem sempre é

divisível por 4 porque 6

não é. Tem a ver com

fatoração.

Quando a gente teve 4

consecutivos e o 3 apareceu

na fatoração, o produto foi

divisível por 3.

Então, o produto de 3 consecutivos

é divisível por 4 quando aparecem

pelo menos dois números 2 na

fatoração. Porque 2x2=4.

286

processo foi acrescido de qualificadores e réplicas, o que indicou que, mesmo com

vários dados e garantias, os participantes ainda apresentaram ressalvas com relação

à validade da conclusão estabelecida (2/9). Apresento a Figura 180 para ilustrar esta

situação. Ao observar a figura, notamos que os participantes coletam dados em vários

pontos da interação até encontrar uma garantia a qual considerem plausível para o

contexto.

No segundo caso (4/14), percebi que os participantes coletavam dados em

momentos diferenciados porque a tarefa a qual estava sendo resolvida exigia que o

participante estabelecesse mais do que uma conclusão. Desta forma, a dupla

começava a coletar dados, formulava garantias e estabelecia uma conclusão. Em

seguida, coletava mais dados, formulava mais garantias e estabelecia outra

conclusão. A Figura 148 é um exemplo deste caso e ilustra as interações da dupla

B&G ao resolver a Tarefa 8.

Figura 181: Observações e interpretações a respeito das sequências de argumentos.

Principais características das sequências-argumento (24)

Argumentos iniciados por conclusão (4)

Em tarefas do tipo "prove que" (3)

Em outra tarefa (1)

Argumentos iniciados com vários tipos de dados (6)

Sem qualificadores e réplicas (6)

Com conjunto de dados variados (5)

Com garantias mediadas pelas representações do

Consecutivo (3)

Com garantias mediadas por resultados obtidos com

tarefas anteriores (3)

Argumentos com dados espalhados ao longo da

interação (14)

Os primeiros dados geraram garantias

insuficientes, necessitado de nova coleta de dados

(9)

A tarefa tinha vários objetivos, o que levou a várias coletas de dados

(4)

Outro (1)

287

O esquema da Figura 181 sintetiza as observações e interpretações

discutidas nos parágrafos anteriores.

Analisando as sequências de argumentos, observei também que, em alguns

casos, os reforços foram apresentados antes da aceitação da conclusão pelos

participantes (4/9) e, em outros casos, eles foram apresentados depois das

conclusões (5/9). Minha interpretação é que o aparecimento de reforços depois da

conclusão indica que os participantes se emprenharam em induzir as conclusões e

somente depois de seu estabelecimento buscaram explicá-las com reforços. Em

contrapartida, apresentar os reforços antes da conclusão pode ser um indício de que

os participantes estiveram pensando dedutivamente, uma característica marcante nas

provas formais apresentadas no contexto matemático. A tabela a seguir apresenta as

tarefas nas quais os participantes utilizaram os reforços antes e depois de

apresentarem suas conclusões.

Tabela 37: Lista de tarefas que apresentam reforços antes e depois do estabelecimento de

conclusões.

Reforço apresentado antes da conclusão

Reforço apresentado depois da conclusão

Tarefa Dupla Conteúdo Tarefa Dupla Conteúdo

TPro 2 G&N Produto TPro 1 B&G Produto

TPro 8 G&N Soma TPro 4 L&M Produto

TPro 9 L&M Produto TPro 6 G&N Soma

TPro 10 L&M Soma TPro 6 B&G Soma

TPro 8 L&M Soma

Observando a tabela é possível notar que a dupla B&G somente apresentou

reforços depois de ter chegado à conclusão da tarefa em questão. Isto pode indicar

que a dupla baseou suas conclusões nos dados fornecidos pelo programa, mas

somente foi convencida a respeito da plausibilidade das conjecturas propostas após

encontrar uma explicação mais robusta. A Figura 178 ilustra este caso. As duplas L&M

e G&N seguiram este caminho apenas uma vez. Além disso, a dupla L&M teve uma

frequência maior de reforços apresentados antes das conclusões, o que pode indicar

uma familiaridade com o raciocínio dedutivo, como a Figura 179 ilustra.

288

Analisando o conteúdo dos dados formulados pelos participantes em cada

caso, foi possível perceber a presença de (1) fatos coletados com a movimentação

das barras de rolagem em conjunto com a observação simultânea da

soma/produto/reta numérica; elementos das representações dos painéis (2) fatoração,

(3) produto retangular, (4) resto e (5) tartaruga; (6) cálculos mentais; (7) dados do

enunciado e (8) outros conhecimentos com os quais os participantes já estavam

familiarizados (paridade, divisibilidade, fatoração, outras conjecturas auxiliares, etc.).

Em todos os casos, os participantes começaram suas atividades lendo os enunciados

das tarefas propostas. Então, é possível admitir que os dados do enunciado das

questões fizeram parte do conjunto de dados de todos os argumentos formulados;

entretanto, considerei apenas e inseri nos esquemas que criei as informações do

enunciado com uma conexão direta e explícita com as garantias que sustentaram as

conclusões. A Tabela 38 apresenta a frequência de casos em que cada um destes

recursos foi utilizado para a geração de dados nos argumentos.

Tabela 38: Recursos utilizados pelos participantes para a geração de dados nas Tarefas Provar e a

quantidade de tarefas em que tais recursos foram utilizados.

Recurso Quantidade de tarefas

1 Movimentação das barras de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica

21

2 Painel Fatoração 6

3 Painel Produto Retangular (somente no primeiro teste) 3

4 Painel Resto 1

5 Painel Tartaruga 2

6 Cálculos Mentais 7

7 Dados do enunciado 10

8 Outros conhecimentos 11

É possível observar que em 21 dos 24 casos os dados dos argumentos foram

compostos por fatos que os participantes coletaram com a movimentação das barras

de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica. Este recurso

não foi utilizado pela dupla B&G nas Tarefas 7 e 9 e pela dupla G&N na Tarefa 9.

Durante a resolução de tais tarefas, estas duplas basearam seus argumentos em

dados retirados das representações dos painéis Fatoração e Produto Retangular;

contudo, é possível afirmar que as ferramentas do Consecutivo foram utilizadas de

289

alguma forma em todas as tarefas com o propósito de gerar dados para suportar os

argumentos. Os cálculos mentais, as informações do enunciado e os outros

conhecimentos familiares aos participantes complementaram estas interações.

De acordo com Toulmin (2003), garantias são regras e princípios que

conectam os dados à conclusão de um argumento. Ao analisar as interações das

duplas vídeo-gravadas, percebi que a formulação de garantias foi mediada por (1)

generalizações precedidas por cálculos mentais, (2) conceitos e propriedades da

paridade, (3) conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade, (4) conceitos e

propriedades dos números consecutivos, (5) propriedades e significados das

representações contidas no programa, (6) forma algébrica da soma ou do produto de

consecutivos, e (7) opiniões dos participantes. A Tabela 39 apresenta a frequência de

casos os quais tiveram tais fatores como mediadores das garantias propostas pelos

participantes.

Observando a Tabela 39, verifiquei que grande parte dos casos analisados

tiveram garantias mediadas pelos conceitos de números consecutivos, números pares

e ímpares, fatoração e divisibilidade, o que já era esperado devido ao conteúdo dos

enunciados.

Tabela 39: Fatores que mediaram as garantias propostas pelos participantes nas Tarefas Provar e a

quantidade de tarefas que apresentaram garantias mediadas por tais fatores.

Fator Quantidade de Tarefas

1 Generalizações precedidas de cálculos 7

2 Conceitos e propriedades da paridade 14

3 Conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade 11

4 Conceitos e propriedades dos números consecutivos 10

5 Significado das representações na tela 7

6 Forma algébrica da soma e do produto 1

7 Opinião dos participantes 6

O significado das representações disponibilizadas foi um mediador em apenas

sete casos, entretanto, pude notar que, nestes casos, as representações atuaram

como um “membro invisível” capaz de ajudar os participantes a obterem conclusões.

Este foi o caso, por exemplo, na Tarefa 7 com a dupla B&G (Figura 147) e na Tarefa

290

9 com a dupla G&N (Figura 153 e Figura 183), quando as representações do Painel

Produto Retangular mediaram as conclusões dos participantes sobre a divisibilidade

do produto de números consecutivos.

Em seis casos, as opiniões dos estudantes também mediaram a formulação

de garantias. A dupla B&G na Tarefa 1, por exemplo, concluiu que a soma de nove

números consecutivos era às vezes par porque esta era uma das alternativas da

questão que pedia uma justificativa. Para esta conclusão, estas participantes usaram

como garantia a opinião de que as alternativas das questões propostas aos

estudantes de forma geral são sempre aquelas que parecem mais difíceis de

responder. Algo similar ocorreu com a dupla G&N na Tarefa 2. Observei também que

as opiniões dos participantes da dupla L&M não foram mediadores para a formulação

de garantias para as Tarefas Provar. Os participantes apresentaram uma postura

muito crítica com relação às explicações dadas para as conjecturas. Eles sempre

procuraram explicações que fizessem sentido matematicamente.

De acordo com Toulmin (2003), as garantias são afirmações que estão

geralmente implícitas no discurso. Para ele, as garantias somente são reveladas

quando os dados apresentados são desafiados numa argumentação, entretanto, ao

observar os argumentos dos participantes, foi possível notar que, em muitas vezes, a

proposição de garantias foi feita explicitamente. Nas Tarefas Provar, considerei como

garantia 59 afirmações que os participantes expressaram. Destas, apenas 11 estavam

implícitas nas ações das duplas e foram inferidas por mim. As outras 48 foram

proferidas explicitamente pelos participantes enquanto os mesmos discutiam e

interagiam com o programa. Isto me leva a acreditar que, de alguma forma, os

participantes perceberam que somente os dados coletados com o Consecutivo não

eram suficientes para estabelecer e explicar as conjecturas do enunciado. Acredito

que, de certa forma, eles perceberam que revelar a conexão entre dados e conclusão

seria uma ação necessária para convencer o colega e a si mesmo.

Em síntese, as garantias apresentadas pelos participantes foram afirmações

que refletiam invariâncias percebidas por eles ao realizarem testes com as barras de

rolagem e com os painéis de representação; entretanto, em alguns casos, os

participantes baseavam seus argumentos em garantias as quais eram válidas apenas

em alguns casos e podiam facilmente ser contestadas dentro dos domínios da própria

tarefa que eles estavam realizando. Este foi o caso para a dupla B&G, na Tarefa 6, a

291

qual afirmou que a soma de uma quantidade par de consecutivos é par, o que e válido

apenas para uma quantidade de consecutivos múltipla de quatro (Ver Figura 84).

Observei que uma das garantias utilizadas pela dupla G&N, na Tarefa 9, foi

usada como Reforço na Tarefa 2 pela mesma dupla (Veja Figura 182 e Figura 183).

No primeiro caso, a explicação foi usada para conectar os dados coletados com a

conclusão obtida. No segundo, foi usada como suporte de uma das garantias. Uma

vez que na prática a Tarefa 2 foi realizada após a Tarefa 9, é possível notar que tal

fato representa um caso em que um reforço foi internalizado pelos participantes de

modo a se tornar familiar o bastante para ser uma garantia que conecta dados a

conclusões.

Figura 182: Estrutura fina do argumento da dupla G&N na Tarefa Provar 2.

De forma geral, os participantes manipularam as ferramentas do Consecutivo

sem questionar se as respostas do programa estavam corretas ou não. Esta confiança

ficou implícita nas ações dos participantes, uma vez que nenhum deles duvidou dos

resultados que apareciam na tela, não tentaram fazer cálculos paralelos no papel para

conferir as respostas e formularam afirmações generalizadoras com base nos

resultados que eles observaram no computador. Por este motivo, acredito que a

confiança nas respostas do programa foi um mediador das garantias formuladas em

292

todos os casos analisados. Minha interpretação é que esta confiança foi estabelecida

em parte por conta de alguns casos em que os participantes fizeram alguns cálculos

mentais simples e puderam perceber que suas respostas estavam parecidas com

aquelas oferecidas pelo programa. Além disso, a confiança na tecnologia, a qual

muitos apresentam no dia-a-dia, também pode ter contribuído para o estabelecimento

de tal comportamento.

Figura 183: Estrutura fina do argumento da dupla G&N na Tarefa Provar 9.

O fato dos participantes confiarem nos resultados do programa para gerar

dados e formular garantias permitiu que os mesmos ficassem mais focados nas

variações desses resultados, mas também pode ter inibido a procura por uma

justificativa baseada em propriedades matemáticas. Isto, em parte, justifica o fato de

apenas nove casos terem apresentado argumentos com reforços.

O conteúdo dos reforços apresentados pelos participantes foi bastante familiar

ao conteúdo das garantias, o que já era esperado, uma vez que, segundo Toulmin

(2003), os mesmos são afirmações que visam explicar, dar força e sentido às

garantias. Observei que os reforços apresentados estavam baseados (1) nas

(1) Representações dos painéis Produto

Retangular e Fatoração.

(2) Observação da mensagem “a área é igual

ao produto” no Painel Produto Retangular.

(5) Observação de que os números 2 e 3

sempre aparecem na fatoração.

(6) Observação de que 23x3=24

(4) O produto de

quatro

consecutivos é

divisível por 24.

(3) Quando a área do

retângulo de altura h é

igual ao produto, o

produto é divisível por h.

(7) Quando n aparece na

fatoração de p, n divide p.

A forma fatorada de várias sequências cujo produto é divisível por 3 no painel fatoração.

Toda sequência cujo

produto é divisível por 3

tem três na fatoração.

A menos que não funcione para outras sequências.

Acho

TPro 2

293

propriedades da paridade, (2) nas propriedades de fatoração e divisibilidade, (3) nas

propriedades dos números consecutivos, (4) na estrutura algébrica da soma e do

produto de consecutivos, e (5) no significado das representações apresentadas na

tela do computador. A Tabela 40 apresenta a frequência de tarefas em que tais ideias

foram usadas como reforço.

Tabela 40: Conceitos e propriedades que fizeram parte dos reforços formulados pelos participantes nas Tarefas Provar e a quantidade de tarefas em que os mesmos foram apresentados.

Reforço Quantidade de tarefas

1 Propriedades da paridade 5

2 Propriedades da fatoração e divisibilidade 1

3 Propriedades da paridade associada aos consecutivos 3

4 Estrutura algébrica da soma e/ou do produto 2

5 Significado das representações na tela 5

Com a Tabela 40, observa-se que, em grande parte dos casos, os reforços

foram compostos pelas propriedades da paridade, fatoração, divisibilidade e números

consecutivos, o que já era esperado tendo em vista as garantias que mediaram os

argumentos. Em cinco casos, os reforços apresentados foram mediados pelas

representações disponíveis no programa, como podemos ver no argumento da dupla

L&M, na Tarefa 10, no qual as representações do Painel Tartaruga foram usadas

como reforço para sustentar a ideia de que a soma de três números consecutivos é

divisível por três (Figura 156 e Figura 184).

Toulmin (2003) afirma que os reforços geralmente são afirmações implícitas,

as quais somente são reveladas quando as garantias do argumento são desafiadas.

Analisando as interações dos estudantes, notei que, em seis dos 12 reforços

apresentados nas Tarefas Provar, os conceitos e propriedades ficaram explícitos nas

falas e nas ações dos participantes (compare a Figura 84 com a Figura 184). Quando

contrastei estes casos com os organogramas de ação, notei que, assim como Toulmin

(2003) preconizou, os reforços ficaram explícitos ou porque os participantes

argumentaram entre si ou porque eu solicitei maiores explicações sobre as garantias

oferecidas. Observei ainda os casos em que os reforços ficaram implícitos e notei que,

ao contrário, as garantias apresentadas não foram desafiadas nas discussões entre

os participantes. Desta forma, eu pude concluir que as interações sociais possuem

294

grande importância no estabelecimento explícito de reforços. Quando há discussão e

alguma ideia é desafiada, os estudantes tendem a procurar explicações mais robustas

e as introduzem de forma explícita no argumento.

Uma das razões para representar as produções dos participantes na forma

proposta por Toulmin (2003) foi o fato de eu querer observar em que medida os

participantes utilizariam reforços baseados em propriedades matemáticas para

suportar seus argumentos. Para mim, o estímulo à produção de argumentos com

reforços pode representar um passo importante para a retomada da atividade de prova

mais formais em sala de aula.

Figura 184: Estrutura fina do argumento da dupla L&M na Tarefa Provar 10.

Com a análise dos dados, observei que foram apresentados reforços aos

argumentos em nove42 dos 24 casos analisados. A maior parte destes casos (7/9)

envolvia tarefas as quais tratavam da soma dos números consecutivos. Minha

interpretação é que as conjecturas envolvendo a soma de uma quantidade de

números consecutivos podiam ser facilmente explicadas usando as propriedades da

soma de números pares e ímpares. Estas propriedades já foram internalizadas pelos

42 Em três casos, os participantes ofereceram dois reforços no mesmo argumento.

(1) Na tela, várias sequências com três

consecutivos e a observação de que a soma

segue a sequência 3, 6, 9, 12, ...

(2) Representações do Painel Tartaruga: três

filas com a mesma quantidade de tartarugas

e mais três tartarugas sobrando.

(6) A soma de três

consecutivos é

divisível por 3.

(3I) Na sequência 3, 6, 9, 12...

todos os números são divisíveis

por 3 (cálculos mentais)

(4) A soma dos algarismos é

divisível por três (cálculos

mentais)

(5) As tartarugas formam três filas de n

elementos e mais três. Isso equivale a 3n+3.

3n+3 é divisível por 3 e é n+(n+1)+(n+2).

295

participantes devido a uma série de vivências que os mesmos tiveram no ambiente

escolar em outras ocasiões. Os participantes perceberam que poderiam explicar as

conjecturas envolvendo a soma com ideias familiares e aplicaram esta estratégia nas

tarefas que eles julgaram ser similares. Esta interpretação é consistente com os

resultados apresentados na Tabela 40, os quais mostram que o conteúdo dos reforços

em grande parte dos casos foi composto por propriedades da paridade.

Figura 185: Estrutura fina do argumento da dupla L&M na Tarefa Provar 9.

Notei também que em oito dos 24 casos analisados, os participantes tentaram

explicar as conjecturas propostas utilizando explicitamente argumentos formulados

em tarefas anteriores (Veja exemplo na Figura 183). Este comportamento parece ter

substituído a necessidade da formulação de reforços. Apenas no caso em que a dupla

L&M resolvia a Tarefa 9 é que foi possível perceber uma intersecção. Neste caso, a

dupla implicitamente utilizou como reforço argumentos discutidos na Tarefa Organizar

4 (Figura 185).

A maior parte dos casos em que estas conexões ocorreram (6/8) envolvia

tarefas relacionadas ao produto dos números consecutivos. Uma das interpretações

para isto é o fato de que as conjecturas envolvendo o produto de consecutivos não

poderiam ser explicadas facilmente com as mesmas propriedades da paridade

utilizadas para a soma, o que fez com que os participantes buscassem alternativas

(1) Informações do enunciado: os números 4

e 24.

(2) Várias sequências com quatro

consecutivos e seus respectivos produtos na

tela.

(3) Observação de que 23x3=24

(4) O produto de

quatro consecutivos é

divisível por 24.

(I) Quando n aparece na

fatoração de p, n divide p.

De acordo com a TOrg 4, o produto de três consecutivos é

divisível por 6 porque na fatoração aparecem o 2 o 3, uma vez

que na sequência tem sempre um múltiplo de 2 e outro múltiplo

de 3. Com 4 consecutivos tem sempre um múltiplo de 2, um de 3

e um de 4. E 2x3x4 =24

296

para suportá-las, como, por exemplo, apelar para argumentos discutidos em outras

tarefas. A Tabela 41 apresenta a lista de tarefas em que os participantes utilizaram

argumentos com reforços e/ou apelaram para argumentos discutidos em outras

tarefas para suportar as conjecturas.

Tabela 41: Tarefas Provar contendo argumentos com reforços e/ou com apelo a argumentos formulados em outras tarefas.

Argumentos com reforços Argumentos com conexões

Tarefa Dupla Conteúdo Tarefa Dupla Conteúdo

TPro 1 B&G Soma TPro 3 G&N Soma

Soma TPro 2 G&N Produto

Produto

TPro 3 L&M

TPro 4 L&M TPro 4 G&N Produto

Produto

Produto

Produto

Produto

Produto

TPro 6 G&N Soma

Soma

Soma

Soma

TPro 4 B&G

TPro 6 B&G TPro 5 G&N

TPro 8 L&M TPro 7 B&G

TPro 8 G&N TPro 9 G&N

TPro 9 L&M Produto TPro 9 L&M

TPro 10 L&M Soma

Ressaltei na seção 10.2 que inseri na interface do Consecutivo um grupo de

tarefas, as tarefas-possível, cuja intenção era fazer com que os participantes

estabelecessem conexões entre as conjecturas formuladas por eles em tarefas

anteriores e os argumentos a serem elaborados na tarefa em questão. Ao observar a

Tabela 41, é possível perceber que estas conexões ocorreram também em outras

tarefas com diferentes objetivos, como, por exemplo, na Tarefa 9.

Em apenas cinco casos foi possível identificar explicitamente qualificadores

e/ou réplicas nos argumentos formulados pelos participantes. Estes elementos

ficaram evidentes com o uso de uma série de expressões e questionamentos no

discurso falado das duplas, tais como “eu acho que”, “você aceitaria esta resposta?”,

“está é uma resposta plausível?”, “eu acho que não é possível convencer alguém com

isso".

A pouca presença de qualificadores e réplicas nos argumentos dos

participantes pode indicar que os mesmos confiaram nos resultados expressos pelo

Consecutivo e que as garantias e reforços criados por eles foram suficientes para que

297

a conclusão fosse estabelecida como verdade na maioria dos casos analisados. A

Tabela 42 apresenta a lista de tarefas e duplas em que os qualificadores e réplicas

apareceram.

Tabela 42: Lista das Tarefas Provar contendo qualificadores e réplicas no argumento e os motivos que mediaram a formulação dos mesmos.

Tarefa Dupla Conteúdo Motivo dos qualificadores e réplicas no argumento

TPro 2 G&N Produto G&N não tiveram certeza de que o produto era sempre divisível por 3, uma vez que o programa apresenta resultados limitados.

TPro 3 B&G Soma G percebeu que uma das garantias apresentadas poderia ser refutada e B não sabia com certeza se a regularidade que ela observou era importante para explicar as refutações propostas por G.

TPro 6 B&G Soma B ficou em dúvida se a explicação dada por ela era boa para situações do tipo “prove que”.

TPro 10 G&N Soma G&N consideraram as garantias apresentadas não eram suficientes para convencer outra pessoa sobre a validade da conjectura em questão.

TPro 10 B&G Soma B não se sentiu convencida sobre as garantias baseadas nas representações do painel Tartaruga apresentadas por G.

Observando a Tabela 42, é possível perceber que os qualificadores e as

réplicas apareceram apenas nos argumentos das duplas participantes do primeiro

teste e, na maioria das vezes (4/5), foram associados a tarefas envolvendo a soma de

números consecutivos. Para dar sentido a estas informações, reanalisei as interações

vídeo-gravadas apenas nos casos em que os qualificadores e réplicas apareceram.

Por isso, é possível observar na Tabela 42 uma coluna com os motivos que trouxeram

os qualificadores e réplicas à tona.

Com a análise dos vídeos, constatei que os qualificadores e réplicas fizeram

parte do discurso dos participantes quando os mesmos (1) ficaram receosos em usar

a palavra “sempre” para qualificar algumas conclusões, (2) perceberam a

possibilidade de refutação às garantias apresentadas, e (3) consideraram que as

garantias apresentadas não seriam suficientes para convencer outro interlocutor.

Para mim, os motivos que fizeram os participantes colocarem qualificadores

e réplicas nos argumentos são importantes para despertar a necessidade de uma

prova baseada em propriedades matemáticas, o que ocorreu nos três primeiros casos

298

apresentados na Tabela 42. Estes mesmos fatores também podem contribuir para que

os participantes fiquem desmotivados e desistam de procurar por explicações mais

convincentes por acharem que estas estão fora de seu alcance, o que ocorreu nos

dois últimos casos apresentados na Tabela 42.

Na próxima seção, apresento uma síntese das ideias discutidas neste

capítulo.

10.6 Considerações sobre as Tarefas Provar

O objetivo das Tarefas Provar era o de engajar o estudante na formulação de

justificativas que pudessem validar (ou não) conjecturas já propostas. Posso dizer que

esta meta foi alcançada em grande medida.

Ao analisar os casos em que os participantes ofereceram justificativas escritas

para as conjecturas propostas, notei que 78% das respostas poderiam ser

classificadas como provas. Isto quer dizer que a maioria das justificativas escritas dos

estudantes foram explicações logicamente conectadas as quais expressavam porque

determinada conjectura seria ou não válida. Neste contexto, a língua materna foi

utilizada para representar as ideias dos participantes em todas as produções. Nos

casos em que os estudantes já estavam mais familiarizados com as representações

algébricas, as provas escritas foram representadas com um misto de língua materna

e álgebra. Estas provas também foram baseadas em diversos conceitos matemáticos,

tais como o de fatoração, divisibilidade, números consecutivos, paridade e soma

algébrica.

Ao analisar as interações vídeo-gravadas de três duplas de participantes, notei

que o Consecutivo e a mediação social desempenharam um papel importante nas

provas formuladas.

No que tange à importância do Consecutivo, percebi que todas as justificativas

apresentadas tiveram origem em ações realizadas no ambiente. A principal ação

mediadora do processo de formulação de provas foi a coleta de dados gerados com

o movimento das barras de rolagem em conjunto com observações simultâneas da

soma, do produto e da reta numérica. Além disso, em alguns casos, os participantes

299

também buscaram explicações nas representações dos painéis disponíveis na

interface, principalmente no painel da fatoração e no da tartaruga.

Decidi analisar a estrutura dos argumentos apresentados pelos participantes

vídeo-gravados, pois queria compreender em que medida as provas formuladas por

eles seriam pautadas em propriedades matemáticas, ou seja, seriam provas

conceituais (BALACHEFF, 1988). Para isso, minha expectativa era que os

participantes formulassem argumentos contendo reforços (TOULMIN, 2003), o que

ocorreu em 38% das provas produzidas por eles. Estes reforços apareceram

principalmente nas conjecturas envolvendo a soma de uma sequência de números

consecutivos e tinham relação com as propriedades da paridade ou com a própria

estrutura da sequência. Em contrapartida, notei que, em 67% dos casos em que os

reforços não apareceram, os participantes formularam suas provas baseando-se em

garantias que foram discutidas em tarefas anteriores (Veja Figura 183). Isto ocorreu

principalmente nas tarefas-possível e também naquelas envolvendo o produto de uma

sequência de números consecutivos. Buscar garantias em tarefas anteriores parece

ter sido uma estratégia que substituiu a necessidade de reforços.

No que tange a importância da mediação social, ao observar as interações dos

participantes, notei que, durante o processo de prova, diversas conjecturas e

explicações emergiram. Muitas delas eram incoerentes ou tinham validade limitada.

Nas interações com o Consecutivo, grande parte destas incoerências foram facilmente

identificadas pelos participantes pela observação de contraexemplos na tela do

computador. Devido a testes limitados com as ferramentas da interface, em muitas

ocasiões, estes contraexemplos não surgiam na tela, mas apareciam nas discussões

entre os participantes. Por esta razão, considerei que as interações entre os

participantes, por muitas vezes, serviram como uma “cobertura” para as limitações

das ações mediadas pela tecnologia.

As interações sociais também mediaram o aparecimento explícito de reforços

nos argumentos, uma vez que notei a ocorrência de uma procura por justificativas

mais robustas quando um dos participantes ou a pesquisadora questionaram a

validade das garantias apresentadas.

No próximo Capítulo, retomo de forma sucinta as minhas questões de pesquisa

e apresento minhas respostas. Além disso, contrasto minhas discussões com

300

elementos da revisão de literatura e ofereço algumas sugestões para pesquisas

futuras em virtude das limitações deste estudo.

301

11. CONCLUSÕES

Quando comecei este estudo, eu tinha como objetivo a criação de um

ambiente computacional o qual engajasse estudantes da educação básica na

percepção de regularidades, na formulação de conjecturas no campo aritmético-

algébrico e na criação de suas respectivas justificativas.

Queria também aplicar o ambiente em sala de aula e verificar em que medida

ele contribuiu para o processo criação de provas mais formais. Para organizar minhas

ações neste segundo objetivo, eu me empenhei em responder as seguintes questões

de pesquisa: (1) com os recursos disponíveis no programa, como são as provas

produzidas pelos estudantes em termos de representações, conceitos matemáticos e

estrutura do argumento? E, (2) como as provas produzidas são mediadas pelas

ferramentas do ambiente e pelas interações sociais?

Para responder minhas questões de pesquisa, eu me norteei por uma

concepção de prova mais flexível do que aquela geralmente utilizada no universo

matemático. Para mim, a prova é uma explicação logicamente conectada a respeito

de uma conjectura. Neste contexto, a lógica não precisa vir necessariamente do

raciocínio dedutivo, mas precisa fazer com que as explicações dos estudantes sejam

coerentes matematicamente e convincentes para os mesmos e para seus pares.

No processo de análise das produções dos participantes, utilizei diversos

dados coletados e recursos que construí com o apoio da literatura sobre pesquisa

qualitativa, tais como as respostas escritas de cada tarefa realizada por eles, os

questionários de opinião de professores e estudantes, as transcrições das interações

de três duplas, os relatórios e organogramas de ação e os esquemas com a estrutura

dos argumentos produzidos nas Tarefas Conjecturar e Provar. Todos eles me

ajudaram a perceber padrões nas ações dos participantes enquanto os mesmos

lidavam com o Consecutivo, bem como contribuíram para que pudesse compreender

como este programa e as interações entre os estudantes mediaram o processo de

prova.

302

Cheguei a diversas conclusões interessantes após análise destes dados.

Para compartilhá-las com o leitor, eu as organizei em três categorias de modo a

atender aos meus objetivos e responder as minhas questões: (1) Provas conceituais

e em língua natural, (2) Provas empíricas, mas não ingênuas e (3) Os papéis do

Consecutivo e das interações sociais.

Preparei também uma seção para fechamento, discutindo as limitações deste

estudo e apresentando sugestões para pesquisas futuras.

11.1 Provas conceituais e em língua natural

Os participantes deste estudo interagiram com quatro tipos de tarefas:

Explorar, Organizar, Conjecturar e Provar. As Tarefas Conjecturar e as Tarefas Provar

foram aquelas cujo objetivo era engajar os estudantes no processo de prova. No caso

das Tarefas Conjecturar, os participantes deveriam formular justificativas para

conjecturas propostas por eles mesmos. Nas Tarefas Provar, deveriam criar provas

para conjecturas oferecidas nos enunciados que apareciam na tela do computador.

Tanto nas Tarefas Conjecturar quanto nas Tarefas Provar, grande parte dos

participantes foi capaz de construir justificativas coerentes e logicamente conectadas.

Para isso, preferiram redigir seus argumentos em língua natural ou com um misto de

língua natural e elementos algébricos e numéricos. Para mim, a preferência pelo uso

da língua materna e a ausência de respostas com indícios de manipulações algébricas

mecânicas indica que os estudantes se engajaram no processo de prova para

expressar de forma compreensível seus pensamentos e descobertas. Este resultado

se assemelha ao de Healy e Hoyles (2000). Neste estudo, as pesquisadoras

afirmaram que seus participantes preferiram redigir suas provas com argumentos em

língua materna porque eles ofereciam explicação e compreensão sobre as

propriedades matemáticas em questão. Além disso, os estudantes afirmaram que

argumentos algébricos eram mais difíceis de seguir e poderiam causar confusão se a

pessoa não estivesse muito certa a respeito da validade de uma conjectura.

Foi interessante notar que, apesar da interface do Consecutivo conter figuras

e elementos gráficos, as conjecturas e argumentos escritos construídos pelos

participantes não foram baseados em representações figurais. Tenho evidências de

303

que, durante as interações entre as duplas, os participantes lidaram com as

representações figurais e abstraíram propriedades importantes das mesmas,

entretanto, no momento de colocar seus pensamentos no papel, eles preferiram

utilizar a língua materna ou representações numéricas e algébricas. Isto me leva a

acreditar que as representações figurais foram importantes para dar insights sobre a

lógica por trás do conteúdo das tarefas. Uma vez que os participantes internalizaram

esta lógica, preferiram redigir suas respostas com representações mais familiares.

Com isto, notei que, para estes estudantes, as representações figurais não possuem

o mesmo status que as representações em língua natural, numérica e algébrica. Isto

provavelmente ocorre devido à dinâmica do currículo escolar, uma vez que nas aulas

de matemática não é comum utilizar figuras e esquemas para validar ideias. Healy e

Hoyles (2000), apesar de terem encontrado em seus dados justificativas baseadas em

representações figurais, também afirmaram que as provas de seus participantes foram

mediadas pelas escolhas curriculares de seu país. Este também parece ser o caso

aqui para meus participantes.

A maioria das provas produzidas pelos participantes desta pesquisa fazia

apelo aos conceitos de paridade, múltiplo, divisor, divisibilidade, fatoração e de

número consecutivo. Foram poucos os argumentos baseados somente em casos

particulares, cuja intenção era mostrar a generalidade de uma conjectura. Este

resultado se afasta um pouco daquele apresentado por Leandro (2010), o qual afirmou

que grande parte de seus participantes apresentou dificuldade em lidar com as ideias

de múltiplo e divisor e construiu apenas provas baseadas em cálculos. Este resultado

também se afasta daquele apresentado por Heinze e Reiss (2009), os quais afirmaram

que seus participantes possuíam conhecimentos para resolver problemas, mas não

foram capazes de aplicar tais conhecimentos para formular provas matemáticas. De

forma geral, meus participantes foram capazes de trazer à tona conhecimentos

familiares e utilizá-los para criar justificativas ao interagirem com o Consecutivo, com

as tarefas, com a pesquisadora e com outros colegas. O princípio da executabilidade

e a ideia de co-ação proposta por Moreno-Armella e Hegedus (2009) podem explicar

este resultado. O Consecutivo foi desenvolvido para que os cálculos e procedimentos

custosos fossem realizados pelo computador, permitindo que os participantes

guiassem as respostas do ambiente e fossem guiados por elas, formando ciclos de

304

ação – observação – ação que, quando relacionados a conceitos familiares, mediaram

a proposição de justificativas e explicações baseadas em propriedades.

Poucas provas construídas pelos participantes deste estudo podem ser

consideradas uma demonstração, mas muitas delas têm o potencial de progredir até

este estágio, pois, por diversas vezes, notei apelos a resultados anteriores e a

conhecimentos familiares e o uso de raciocínio dedutivo e de uma linguagem mais

formal. Este resultado é coerente com aqueles apresentados por Oliveira e Bittar

(2010) e Sales e Pais (2010) os quais, mesmo em contexto geométrico, notaram que

as provas de seus participantes continham uma argumentação justificatória racional e

passível de se tornar uma demonstração.

11.2 Provas empíricas, mas não ingênuas

Ao observar a estrutura de cada um dos argumentos criados pelos

participantes deste estudo e compará-la com o respectivo organograma de ação, notei

que, na grande maioria dos casos, as justificativas surgiram com a geração de dados

provenientes de ações com as barras de rolagem presentes na interface do

Consecutivo. Isto me leva a acreditar que todas estas justificativas possuíram uma

natureza empírica e experimental; entretanto, por muitas vezes, os participantes não

se limitaram aos resultados imediatos gerados pelo computador. Houve uma fase

posterior às explorações e à proposição de conjecturas. Nesta fase, os participantes

se engajaram em procurar justificativas mais robustas para seus resultados com

discursos bastante lógicos e convincentes dentro do domínio da matemática escolar.

Isto se assemelha aos resultados Sinclair e Robutti (2013) que afirmaram que as

interações com ambientes dinâmicos (neste caso de geometria) também fomentam

uma fase de provas.

Em muitos momentos, houve um movimento de ideias de casos particulares

para conclusões mais gerais baseadas nas propriedades percebidas com a mediação

tecnológica e social ou baseadas nos conceitos provenientes dos conhecimentos com

os quais os estudantes já estavam familiarizados. Isto me retorna aos estudo de Healy

(2000a) a qual afirma que a distinção entre empírico e conceitual fica “embaçada”

quando estamos lidando com a tecnologia digital, uma vez que, neste ambiente,

305

estudantes constroem objetos matemáticos para obter dados com os quais podem

abstrair futuras regularidades.

Em poucos casos analisados, os participantes deste estudo justificaram uma

regularidade apontando uma série de exemplos particulares. Se olhássemos apenas

para as respostas escritas destes participantes, teríamos a impressão de que as

mesmas seriam provas do tipo empirismo ingênuo; entretanto, com o acesso às ações

destes participantes enquanto os mesmos formulavam tais provas, foi possível

perceber que, ao mostrar uma série de casos específicos, eles estavam tentando

mostrar ao leitor como a conjectura surgiu, ou seja, como tomaram consciência

daquela regularidade. Para mim, este contexto é muito diferente daquele em que um

estudante apresenta uma série de exemplos para mostrar porque uma conjectura é

válida sempre. Neste ponto, notei que o processo de prova depende da tomada de

consciência, por parte do estudante, de que suas explicações precisam validar e

generalizar uma conjectura. Se a tarefa não proporciona este entendimento ou se o

aluno não o compreende, os discursos apresentados ainda podem ser argumentos

com lógica e estrutura e não podem ser considerados provas do tipo empirismo

ingênuo. Isto é consistente com a ideia de Balacheff (1988) de que é preciso ter

acesso ao processo prova para compreender qual é o nível de generalidade que o

estudante possui para determinada situação. Este resultado também me fez retomar

as ideias de Reid (2012) a respeito do sentimento de necessidade, uma vez que eu

tenho evidências de que tarefas que pedem para os estudantes explicarem por que

determinada regularidade ocorre podem não despertar o sentimento de necessidade

de uma prova.

11.3 Os papéis do Consecutivo e das interações sociais

Posso afirmar que os participantes desta pesquisa foram bem-sucedidos na

formulação de conjecturas. Todos eles conseguiram perceber regularidades e

expressá-las oralmente e no papel. Para mim, o dinamismo e a executabilidade das

representações presentes no Consecutivo foram os principais responsáveis por este

resultado. Com pouco tempo de interação, os estudantes aprenderam a manusear as

barras de rolagem e tirar conclusões por meio da observação simultânea dos

306

resultados da soma, do produto, da reta numérica e dos painéis. Estas considerações

se relacionam àquelas apresentadas em Mariotti (2012), a qual afirmou que as

dragging tools podem contribuir para que o estudante crie uma relação de

dependência entre movimentos e invariantes, de tal forma que essa dependência

pode ser referida na forma condicional, como numa conjectura (Se isto, então aquilo).

Estes resultados também são coerentes com aqueles discutidos em Sinclair e Robutti

(2013) e em Heid, Thomas e Zbiek (2013), os quais notaram que as dragging tools e

as barras de rolagem, quando presentes num ambiente digital, podem contribuir para

que os estudantes percebam invariâncias. As ideias de Hoyles (2012) também vão ao

encontro destas conclusões, uma vez que esta pesquisadora afirma que a

possibilidade de transitar entre o dinâmico e o estático em ambientes digitais pode

fazer com que o aprendiz elabore conjecturas.

As conjecturas formuladas pelos participantes deste estudo refletiam

invariâncias na soma, no produto de números consecutivos ou nos valores do primeiro

número da sequência. Foram poucas as conjecturas envolvendo as invariâncias das

representações presentes no painel Fatoração, Algébrico, Resto e Tartaruga. Isto

pode ser explicado levando-se em conta o conteúdo e os objetivos das Tarefas

Explorar. Estas tarefas foram colocadas no ambiente com a finalidade de fazer com

que os participantes se familiarizassem com a interface e percebessem as

potencialidades das representações disponíveis na tela, o que supostamente reduziria

os problemas com a translação das representações (KAPUT, 1989; AINSWORTH,

1999); entretanto, notei que, durante a realização das Tarefas Explorar, os

participantes manipularam as barras de rolagem a fim de obterem valores pequenos

para a soma e para o produto de consecutivos, o que inibiu a necessidade do uso de

painéis, uma vez que eles puderam realizar cálculos mentais. Isto me leva a acreditar

que o pouco uso dos painéis de representação nas Tarefas Explorar e o apelo a

estratégias baseadas na observação da soma e do produto, associadas ao cálculo

mental, contribuíram para que os participantes não utilizassem estes recursos para

formular suas conjecturas.

Apesar das invariâncias das representações dos painéis não terem sido o

motivo da maioria das conjecturas, em muitos momentos elas serviram de explicação

para as regularidades percebidas na soma e no produto dos números consecutivos,

principalmente quando os estudantes utilizaram os painéis Fatoração, Algébrico e

307

Tartaruga. Por isso, saliento que as diferentes representações, de certa forma,

cumpriram seu papel: o de dar suporte para a descoberta de propriedades para

sustentar argumentos. Isto é consistente com as ideias de Ainsworth (1999), a qual

afirma que as múltiplas representações podem proporcionar ao aprendiz a

oportunidade de abstrair, generalizar e relacionar características invariantes.

Os tipos de tarefas e a ordem em que elas foram propostas também

contribuíram para que os participantes pudessem formular argumentos mais robustos.

Das Tarefas Explorar, os participantes internalizaram a ação de manusear as barras

de rolagem e observar as variações nos valores da soma, do produto, da reta e dos

painéis. Eles aprenderam a controlar os outputs destas representações de modo a

deixá-los numa forma compreensível e coerente com os conhecimentos que já

estavam familiarizados. Como já foi abordado no parágrafo anterior, estas ações

foram aquelas que mais contribuíram para a formulação de conjecturas.

Das Tarefas Organizar, eles puderam obter diversos exemplos de

argumentos para conjecturas envolvendo a sequência de números consecutivos.

Tenho evidências de que argumentos similares aos das Tarefas Organizar são

utilizados como justificativa nas Tarefas Provar, o que mostra o grande poder

mediador destas tarefas. Este resultado vai ao encontro das ideias de Duval e Egret

(1989) os quais afirmaram que as tarefas que relacionam representações em rede

com representações em língua natural podem contribuir para que o aprendiz

compreenda e estrutura de uma prova mais formal.

Em diversos casos, os argumentos apresentados nas Tarefas Provar

continham reforços explícitos baseados em propriedades matemáticas. Isto ocorreu

principalmente quando um dos colegas ou a pesquisadora questionavam as garantias

oferecidas para sustentar uma conclusão. Este resultado é coerente com as próprias

ideias de Toulmin (2003) as quais afirmam que os reforços são explicitados quando

uma garantia é desafiada. Este resultado também mostra a importância das interações

sociais para o processo de prova, uma vez que as interferências do professor e dos

colegas podem instigar, motivar e promover o aparecimento de generalizações e

explicações, o que é destacado por Mariotti (2009), Reid e Zach (2009), Ellis (2011) e

Mariotti (2012).

Quando estes reforços não apareceram, notei que os participantes utilizavam

o conteúdo das Tarefas Conjecturar como garantia. Isto indica que as justificativas das

308

Tarefas Provar também foram mediadas pelos resultados das Tarefas Conjecturar e

que os aprendizes sentiram necessidade de fortalecer suas novas justificativas com

resultados anteriores, o que é um indício de uma tentativa de redigir provas

dedutivamente.

Por muitas vezes, os participantes deste estudo formularam conjecturas as

quais valiam apenas em certo domínios e apenas se conscientizaram destas

limitações quando outros colegas ou a pesquisadora apresentaram contraexemplos e

novas conjecturas. Isto me fez perceber que as interações sociais também foram

importantes para cobrir as limitações das interações com a tecnologia, principalmente

no que tange à formulação de contraexemplos para conjecturas propostas. Isto me

fez retomar as ideias de Moreno-Armella e Hegedus (2009) de que a co-ação também

pode ocorrer ao nível social, ou seja, as interações entre aprendizes e professores

podem guiar as ações dos mesmos e podem ser guiadas por essas ações.

11.4 Limitações e sugestões para pesquisas futuras

Os resultados obtidos com o design e a aplicação do Consecutivo foram

positivos. Eu tinha a intenção de fomentar a exploração e a formulação de conjecturas

e provas em domínios fora da Geometria e isto, em certa medida, foi alcançado.

Minhas considerações a respeito de como se dá o processo de prova com o

uso do Consecutivo estão limitadas ao que ocorreu com as três duplas de estudantes

participantes. Não estou tirando o crédito das minhas conclusões porque elas foram

baseadas na análise de poucos casos, mas reconheço que a aplicação deste

ambiente em cenários diferentes pode incorporar novas perspectivas ao que eu

propus neste estudo.

Durante a análise das interações dos participantes, percebi que algumas

modificações na interface do Consecutivo poderiam trazer resultados mais

significativos para o processo de prova. As Tarefas explorar, por exemplo, poderiam

restringir o uso das ferramentas do programa e fazer com que os aprendizes se

empenhassem em buscar regularidades nos painéis de representação. Isto poderia

contribuir para uma compreensão mais aprofundada de cada representação e das

relações entre elas, o que possivelmente influenciaria as justificativas dos

309

participantes nas Tarefas Conjecturar e Provar. Isto é apenas uma conjectura que

precisa ser testada, quem sabe, num próximo estudo.

Outra consideração pode ser feita com relação à importância e ao poder

mediador das Tarefas Organizar. Neste estudo, apenas os estudantes participantes

do terceiro teste realizaram estas tarefas. Como tive acesso às interações de uma

dupla, minhas conclusões sobre as potencialidades destas tarefas ficaram restritas.

Além disso, ainda existe a possibilidade de propor um formato mais aberto para as

Tarefas Organizar, de modo que os argumentos a serem organizados possam ser

criados e conectados pelos próprios estudantes. Isto mudaria a dinâmica de interação

e, quem sabe, o poder mediador destas tarefas. Isto também é mais uma conjectura

a ser testada num estudo futuro.

Nesta pesquisa, não me preocupei em avaliar se as tarefas propostas aos

participantes trariam resultados similares em ambientes em que não há a presença

da tecnologia (papel e lápis somente). Não foi minha intenção comparar resultados e

mostrar que estes são mais satisfatórios (ou não) quando os alunos interagem com o

Consecutivo. Já parti do pressuposto de que a tecnologia faz a diferença, entretanto,

reconheço que este tipo de estudo pode ser realizado.

Não me interessei também em mostrar se há ou não continuidade cognitiva

entre argumentação e prova. Parti do princípio de que a prova é um tipo de

argumentação e que, de certa forma, é mediada por todas as interações do aprendiz

com os momentos de exploração e de formulação de conjecturas. Assim mesmo,

acredito que seja possível determinar em que medida as afirmações e discussões

construídas nos momentos de exploração e formulação de conjecturas estão

presentes nas justificativas e explicações dos participantes e, ainda, determinar como

estas interações são importantes para a criação de provas mais formais.

Como notei que há variações nas abordagens dos estudantes ao formularem

justificativas devido às diferentes interpretações dos enunciados das tarefas, um

futuro estudo poderia tentar compreender como o uso de certos termos e expressões

nos enunciados podem contribuir para despertar no aprendiz a necessidade de

construção de uma prova mais formal.

Em vias de terminar este estudo, eu me deparei com alguns livros didáticos

para o Ensino Fundamental e Médio, publicados recentemente, que continham seções

310

específicas para tratar da importância das demonstrações na Matemática. Vejo estas

inserções como uma mudança positiva nos materiais didáticos que chegam às

escolas, mas reconheço que pesquisas mais aprofundadas são necessárias para

compreender o alcance destas mudanças nos conteúdos que são abordados

efetivamente em sala de aula. Como os professores abordam o conteúdo destas

seções com seus alunos? Como os alunos compreendem estas informações nos

livros didáticos? Estas e outras questões similares poderiam ser pesquisadas.

Enquanto fazia minha revisão de literatura, notei poucos estudos nacionais e

internacionais que se preocupassem com o processo de prova na escola em contextos

fora da Geometria. Esta situação ficou ainda mais rara quando tentei buscar pesquisas

que tratassem do processo de prova com a presença de ferramentas digitais em

contextos fora da Geometria. Por esta razão, vejo como positiva qualquer tentativa de

estudo nesta direção.

Um estudo de doutorado traz muitos desafios e envolve um esforço

demasiado do pesquisador, mas há compensações. A primeira é a sensação de ter

conquistado algo valioso, de ter evoluído intelectualmente. Além disso, é bastante

gratificante perceber que nossos resultados podem ter contribuído para que os

conhecimentos de nossa área profissional e acadêmica sejam ampliados,

enriquecidos e renovados. Espero que este estudo seja relevante para muitos

pesquisadores e que abra espaço para outras contribuições.

311

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320

ANEXOS

I) Questionário de opinião aplicado no primeiro teste

FAÇA SUA AVALIAÇÃO SOBRE O CONSECUTIVO

1. Dê sua opinião a respeito da aparência do programa. Quais aspectos você mais

gostou e quais aspectos precisam ser melhorados?

2. Em que medida as Tarefas Exploratórias foram úteis para a compreensão do

funcionamento do software?

a. Muito úteis.

b. Parcialmente úteis.

c. Pouco úteis.

d. Não foram úteis.

3. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Exploratórias

foram,

a. Muito claras.

b. Parcialmente claras.

c. Pouco claras

d. Não foram claras.

4. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas de Prova foram,

a. Muito claras.


c. Pouco claras


5. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas de Prova foram,

321

a. Muito difíceis.

b. Parcialmente difíceis.

c. Pouco difíceis.

d. Fáceis.

6. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais simples? Por quê?

7. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais desafiadora? Por quê?

8. Qual dos botões de representação você mais gostou de utilizar durante a

realização das tarefas?

a. Fatoração.

b. Resto.

c. Algébrico.

d. Soma Tartarugas.

e. Produto Retangular.

9. Numa escala de 01 a 05, qual dos botões foi mais utilizado por você durante a


( ) Fatoração.

( ) Resto.

( ) Algébrico.

( ) Soma Tartarugas.

( ) Produto Retangular.

10. Sugestões gerais.

322

II) Questionário de opinião aplicado no segundo teste

Professor de Matemática: ( )Sim ( )Não Professor de escola: () pública ()

privada

Professor de: ( )EFI ( )EFII ( )EM ( )Superior Tempo de Magistério: ______

FAÇA SUA AVALIAÇÃO SOBRE O CONSECUTIVO

1. Com relação à clareza das informações do enunciado, as tarefas do botão

explorar são,

a. Muito claras. b. Parcialmente claras. c. Pouco claras d. Não foram claras.

2. Em que medida as tarefas do botão explorar são úteis para a compreensão do


a. Muito úteis. b. Parcialmente úteis. c. Pouco úteis d. Não foram úteis.

3. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão explorar são,

a. Muito difíceis. b. Parcialmente difíceis. c. Pouco difíceis d. Fáceis.

4. Quais as dificuldades que seus alunos apresentariam ao resolver as tarefas

presentes no botão explorar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do

programa ajudariam na ultrapassagem dessas dificuldades?


conjecturar são,


323

6. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão conjecturar são,


7. Em que medida as ferramentas disponíveis no software ajudam o aluno a elaborar

conjecturas?

a. Ajudam muito. b. Ajudam Parcialmente. c. Ajudam pouco. d. Não ajudam.


presentes no botão conjecturar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do


9. Qual das ferramentas abaixo você considera que serão mais úteis aos alunos na

realização das tarefas do botão conjecturar? Por quê?

a. Reta numérica e barras de rolagem.

b. Fatoração.

c. Resto.

d. Algébrico.

e. Soma Animal.


organizar são,

a. Muito úteis. b. Parcialmente úteis. c. Pouco úteis d. Não foram úteis.

11. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão organizar são,


12. Em que medida as tarefas do botão organizar ajudam o aluno a compreender

o encadeamento dedutivo de uma prova matemática?

324



presentes no botão organizar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do



provar são,


15. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão provar são,



presentes no botão provar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do


17. Em que medida as ferramentas disponíveis no software ajudam o aluno a

descobrir uma propriedade matemática que será usada como base nas tarefas do

botão provar?


18. Em que medida as tarefas do botão organizar influenciam o alunos a escrever

sua própria prova nas tarefas do botão provar?

a. Influenciam muito. b. Influenciam Parcialmente. c. Influenciam pouco. d. Não Influenciam.

19. Qual das ferramentas abaixo você considera que serão mais úteis aos alunos

na realização das tarefas do botão provar? Por quê?

325

a. Reta numérica e barras de rolagem.

b. Fatoração.

c. Resto.

d. Algébrico.

e. Soma Animal.

20. As informações presentes no botão são suficientes para que o aluno

consiga compreender o significado das representações contidas no painel em que ele

está situado? Caso sua resposta seja não, apresente justificativas.



326

III) Questionário de opinião aplicado no terceiro teste



2. Em que medida as Tarefas Explorar foram úteis para a compreensão do


a. Muito úteis.


c. Pouco úteis.


3. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Explorar foram,

a. Muito claras.


c. Pouco claras


4. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Explorar foram,

a. Muito difíceis.


c. Pouco difíceis

d. Fáceis.

5. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Conjecturar

foram,

a. Muito claras.


c. Pouco claras


6. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Conjecturar foram,

a. Muito difíceis.

327


c. Pouco difíceis

d. Fáceis.

7. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Organizar

foram,

a. Muito claras.


c. Pouco claras


8. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Organizar foram,

a. Muito difíceis.


c. Pouco difíceis

d. Fáceis.

9. Em que medida as Tarefas Organizar foram úteis para auxiliar na realização das

Tarefas Provar?

a. Muito úteis.


c. Pouco úteis.


10. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Provar foram,

a. Muito claras.


c. Pouco claras


11. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Provar foram,

a. Muito difíceis.


c. Pouco difíceis.

328

d. Fáceis.

12. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais simples? Por quê?

13. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais desafiadora? Por quê?

14. Qual dos botões de representação você mais gostou de utilizar durante a


a. Fatoração.

b. Resto.

c. Algébrico.

d. Soma Tartarugas.

15. Quais botões foram mais utilizados por você durante a realização das tarefas?

( ) Fatoração.

( ) Resto.

( ) Algébrico.

( ) Soma Tartarugas.

329

IV) Transcrição das falas da dupla B&G na TExp 7

[00:12:03.08] B: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando

os respectivos restos... (lendo o enunciado)

[00:12:19.21] B: Ah.

[00:12:22.08] G: AND B: (Murmúrios)

[00:12:24.03] G: São quatro né? Quatro números consecutivos.

[00:12:27.24] G: Sete números consecutivos!

[00:12:28.23] B: Sete.

[00:12:34.14] G: Isso.


[00:12:41.13] G: Dividir cada um deles por sete.

[00:12:47.01] G: Onde divide por sete.

[00:12:49.21] P: Aperta o Izinho pra você ver.

[00:12:53.23] G: Neste painel cada um dos números consecutivos que você escolheu... (lendo as

informações).

[00:13:15.16] P: Então, o que está acontecendo com o 10 quando você colocou sete?

[00:13:20.17] B: Ele... Mostra a... vezes mais quanto que tem que dar. Pra dar 10.

[00:13:29.28] G: Você podia colocar P, Q e R (e aponta para o painel)

[00:13:34.09] P: Ah, você diz colocar uma linha para mostrar o que é.

[00:13:36.01] G: AND B: É.

[00:13:36.27] P: Ah, legal. Isso é legal.

[00:13:39.01] B: Fala aí para a câmera.

[00:13:39.04] P: Fala para a câmera.

[00:13:40.17] G: Pode colocar o D (dividendo), o Q (quociente) e o R de resto. Isso.

[00:13:52.27] P: Vocês lembra que na conta de dividir... empresta o lápis que eu vou por aqui na frente...

Na conta de dividir, o dividendo é aqui, o divisor é aqui, o quociente é aqui e o resto é aqui (escrevendo

no papel). Então você quer dividir esse número por esse, não é? Então, aqui a gente está dividindo 10

por sete. Tá dando um e resto três.

[00:14:19.12] G: Então, Tá tudo certo, né?

[00:14:21.15] P: Não sei. Volta na tarefa.

[00:14:24.18] G: Quando os respectivos restos... (lendo o enunciado)

[00:14:31.25] G: Não.

[00:14:32.03] B: Três, quatro e cinco... Quase!

[00:14:34.15] B: Ah! A gente tem que achar. Muda aqui. A gente tem que achar o que dá. Ah! Dá quase.

[00:14:42.22] G: Achei! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...

[00:14:44.23] P: E o zero.

[00:14:45.17] G: É. E o zero.

330

[00:14:47.22] G: É o número...

[00:14:52.00] P: Lê a pergunta.

[00:14:54.00] B: Sim!

[00:14:58.12] G: Sim, é...

[00:14:59.15] B: Mas não é todo número.

[00:15:00.17] P: Quando? A pergunta é quando? Quando vai acontecer isso?

[00:15:06.13] G: Quando o resto é dois.

[00:15:08.24] B: Não. Quando... É...

[00:15:11.20] G: O quociente é dois.

[00:15:12.13] B: É.

[00:15:14.28] P: Mexe lá no outro.

[00:15:18.03] B: Mexe lá. Põe quatro. Sei lá.

[00:15:19.12] P: Vai mexendo. Vai vendo se tem outros que deram igual.

[00:15:22.27] B: É...Tudo par.

[00:15:25.05] G: É?

[00:15:30.15] B: É. Tudo par.

[00:15:30.25] P: Olha, você passou por um que deu agora.


[00:15:50.11] G: AND B: Todo número par. (juntas)

[00:15:52.00] P: No 42 deu. Vamos tentar e ver se a gente acha algum ímpar, pra ver se...?

[00:15:55.19] B: Mas acho que... dá todos os números. É, dá todos os números.

[00:16:02.08] P: Olha, essa aí é ímpar e deu.

[00:16:04.02] G: Quando o quociente é igual.

[00:16:06.14] P: Como assim?

[00:16:07.01] G: AND B: Quando todos os quocientes são iguais (juntas).

[00:16:09.11] P: Mas todos são iguais.

[00:16:10.08] G: AND B: Não.

[00:16:11.04] G: Não o divisor, o quociente.

[00:16:13.13] B: Esse aqui, olha (apontando para a tela).

[00:16:13.17] P: Sim, mas todos não são iguais. Dá uma olhada aí em outros. Outros que não deram

certo.

[00:16:20.14] B: Quais que não deram certo?

[00:16:22.08] P: Olha, esse aí por exemplo. Não deu certo. O zero está aqui embaixo.

[00:16:25.07] B: Mas então. G: Mas aqui tem o sete.

[00:16:27.15] P: Vamos tentar outro que não deu certo.

[00:16:30.29] G: Tem o cinco e o seis.

[00:16:33.03] B: É, mas então, é isso que a gente está falando. Esse aqui tem que ser igual.

[00:16:35.28] G: Que todos esses tem que ser igual pra dar certo.

[00:16:38.04] P: Entendi. Então você acha que todos os quocientes tem que ser iguais?

[00:16:41.11] G: É.

331

[00:16:44.01] P: Então tá bom. Então coloca isso.

[00:16:47.19] B: Essa é a tarefa sete?

[00:17:06.24] G: AND B: (Murmúrios e risos)

332

V) Quadro com os enunciados das tarefas propostas aos

estudantes

Tarefas Explorar

Enunciado Teste 1 Teste 3

TExp 1 Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?

TExp 1 TExp 1

TExp 2 Qual é o produto de cinco números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 30?

TExp 2 ---

TExp 3 Qual é o primeiro número de uma sequência de cinco números consecutivos cuja soma é 110?

TExp 3 ---

TExp 4 Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo produto é 73.440?

TExp 4 TExp 2

TExp 5 Use o botão SOMA TARTARUGA e escreva uma sequência de quatro números consecutivos cuja soma seja um número divisível por seis.

TExp 5 TExp 7

TExp 6 Uso botão PRODUTO RETANGULAR e escreva uma sequência de três números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 4.

TExp 6 ---

TExp 7 Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando os respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números consecutivos? Para isso, use o botão RESTO.

TExp 7 TExp 5

TExp 8 Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada do produto de uma sequência de seis números consecutivos iniciada pelo número quatro.

TExp 8 ---

TExp 9 Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6. Faça o mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora responda: Quais números aparecem na fatoração dos três produtos?

TExp 9 TExp 3

TExp 10 Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco números consecutivos.

TExp 10 TExp 6

TExp 11 Use o botão FATORAÇÃO e escreva uma sequência de três números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 13.

--- TExp 4

333

Tarefas Conjecturar


TConj 1 Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com a soma desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 1 TOrg 1 e 2

TConj 2 Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 2 TConj 1

TConj 3 Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com o produto desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 8 TConj 2

TConj 4 Investigue o produto de três números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.

TPro 10 TOrg 4

334

Tarefas Organizar

As tarefas organizar foram propostas apenas no terceiro teste.

TOrg 1

Conteúdo similar ao da TPro 1 do teste 1.

TOrg 2

Conteúdo similar ao da TPro 1 do teste 1

TOrg 3

TOrg 4

Conteúdo similar ao da TPro 10 do teste 1

335

Tarefas Provar


TPro 1 O que podemos afirmar a respeito da soma de 9 números consecutivos? a. A soma é sempre um número par. b. A soma é sempre um número ímpar. c. A soma às vezes é um número par. Ela é par quando...

TPro 3 -

TPro 2 O que podemos afirmar a respeito do produto de três números consecutivos? a. O produto é sempre divisível por 4. b. O produto nunca é divisível por 4. c. O produto às vezes é divisível por 4. Ele é divisível quando ...

TPro 11 -

TPro 3 É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja

82? 37? 44? Justifique suas escolhas.

TPro 5 TPro 1

TPro 4 É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja, 23? 52? 156? Justifique suas escolhas.

TPro 9 TPro 3

TPro 5 É sempre possível encontrar um número que divida o produto de uma sequência de números consecutivos? Justifique.

TPro 14 -

TPro 6 Prove que a soma de oito números consecutivos é um número par.

TPro 4 -

TPro 7 Prove que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120.

TPro 13 -

TPro 8 Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número par. Depois de algumas observações, ele concluiu que para obtermos um resultado par devemos somar uma quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 4 números consecutivos (3 + 4 + 5 + 6) e 12 números consecutivos (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) o resultado é um número par. Pedrinho ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que se tivermos uma quantidade ímpar de números consecutivos a soma seria um número ímpar. Veja que a soma de 8 + 9 + 10 dá 27, que é um número ímpar. Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e discordou delas. Por quê?

TPro 7 TConj 3

TPro 9 Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:




Após essas observações ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível por 24. Joãozinho está correto? Por quê?

TPro 12 TPro 4

TPro 10 Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3? Como você convenceria seu colega se isso fosse verdade?

TPro 6 TPro 2

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