Post on 14-Jun-2015
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Vamos aprender
Probabilidade
elementos
definição
Cálculos
É bom que você já saiba
• Conjuntos Numéricos
• Análise Combinatória
• Reconhecer os naipes de um baralho e a quantidade de cartas de cada naipe
Probabilidade
Probabilidade é a chance de um eventoocorrer, em um espaço amostral.
Probabilidade
Chance de um evento ocorrer
definição
ElementosEspaço Amostral
Espaço Amostral é o conjunto de todos osresultados possíveis de um experimento. Éindicado pela letra grega Ω.
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultadosEspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
definição
ElementosEvento
Evento é qualquer subconjunto de umespaço amostral. É indicado pela letra E.
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
E
definição
definição
ElementosExemplos:A) Lançamento de um dado.
Espaço Amostral: Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Alguns dos possíveis eventos:. Um número maior que 5 E = 6. Um número par E = 2, 4, 6. Um número par e primo E = 2
ElementosExemplos:B) Lançamento de duas moedas.
Espaço Amostral: Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(cc)
Alguns dos possíveis eventos:. Obter duas faces iguais E = (k,k);(c,c). Obter apenas uma coroa E = (k,c);
(c,k)
Tente fazersozinho
1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.
a) Defina o espaço amostral doexperimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
Tente fazersozinho
1) Uma urna contém 2 bolas verdes e 4 amarelas.
a) Defina o espaço amostral doexperimento: retirar uma bola ao acaso.
b) Defina os eventos E1: retirar bola verde e E2: retirar bola amarela.
Solução
a) Ω = V1, V2, A1, A2, A3, A4
b) E1 = V1, V2
E2 = A1, A2, A3, A4
RelembrandoIntersecção de conjuntos
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20
B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20
A ∩ B = 20 1 elemento
Relembrando União de conjuntos
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20
São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20
B: ocorrer um múltiplo de 5= 5, 20
A ∪ B = 2, 5, 16, 20 4 elementosAtenção!
Tipos de eventosA) Evento certo Eventos certos são aqueles que
apresentamos mesmos elementos do espaço amostral. n(E) = n(Ω)Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter um númeronatural menor que 7, no lançamento de umdado.
E = Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Evento
certo
Tipos de eventosB) Evento impossível
Eventos impossíveis ocorrem quando nãohá elementos no conjunto E.
n(E) = 0Exemplo:
Seja o seguinte evento: obter 3 caras nolançamento de duas moedas.
E =
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
n(E)=n(Ω)
tipos
E
definição
definição
Evento
certoEvento
impossível
n(E)=0
Tipos de eventosC) Evento complementar Evento complementar (Ec) é aquele queocorre quando o evento E não ocorre.
n(Ec)=n(Ω)-n(E)Exemplo:
Seja Ω = 2, 3, 5, 16, 17, 20São apresentados dois eventos:
A: ocorrer um número par = 2, 16, 20Ac: ocorrer um número ímpar= 3, 5, 17
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certoEvento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade é a chance de um eventoocorrer, em um espaço amostral. Ou seja,
éo número de elementos de um evento,dividido pelo número de elementos doespaço amostral.
)(
)(
n
EnP
Exemplos:A) Qual a probabilidade de ocorrer umnúmero natural maior que 4, no
lançamentode um dado?
E = 5, 6 n(E) = 2 Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(Ω) = 6 3
1
6
2
)(
)(
n
EnP
Cálculo das Probabilidades
Exemplos:B) Qual a probabilidade de ocorrer pelomenos uma cara, no lançamento de
duasmoedas?
E = (k,k);(k,c);(c,k) n(E) = 3 Ω = (k,k);(k,c);(c,k);(c,c) n(Ω) = 4 4
3
)(
)(
n
EnP
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certoEvento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
Tente fazersozinho
2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o
resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?
Tente fazersozinho
2) No lançamento de um dado perfeito,qual é a probabilidade de que o
resultadoseja:a) Um número primo?b) O número 3?c) Um número menor que 1?d) Um número menor que 7?
Solução
a) Um número primo?
b) O número 3?
c) Um número menor que 1?
d) Um número menor que 7? %10016
6P
06
0P
6
1P
2
1
6
3P
Tente fazersozinho
3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes
doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?
Tente fazersozinho
3) Uma caixa contém 10 letras: as cincovogais e as cinco primeiras consoantes
doalfabeto. Uma letra é sorteada ao acaso.Qual é a probabilidade de que a letrasorteada seja:a) Uma consoante?b) Uma letra da palavra bode?
SoluçãoΩ = a, e, i, o , u, b, c, d, f, g n(Ω) =
10
a) Uma consoante?
b) Uma letra da palavra bode?
2
1
10
5P
5
2
10
4P
Tente fazersozinho
4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?
Tente fazersozinho
4) Um dos anagramas da palavra AMOR éescolhido ao acaso. Qual é a probabilidadede que seja a palavra ROMA?
Solução
Ω = 4! = 4.3.2.1=24
Logo,24
1P
Total de anagramas da palavra amor
Probabilidadeda União de Eventos
Para calcular a probabilidade da união deeventos dividimos o número de elementosdo conjunto união pelo número de
elementosdo espaço amostral.
)n(
n(AUB)
)(AUBP
Probabilidadeda União de Eventos
Exemplo:De um baralho de 52 cartas, uma é
extraída ao acaso. Qual é a probabilidadede sair um valete ou uma carta de ouros?
A: sair um valete n(A) = 4B: sair carta de ouros n(B) = 13A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
Probabilidadeda União de Eventos
A: sair um valete n(A) = 4B: sair carta de ouros n(B) = 13A∩B: sair valete de ouros n(A∩B) = 1
Logo, n(A∪B) = 4+13-1=16
13
4
52
16(
)n(n(AUB)
AUB)P
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
Probabilidade
Da uniãoVariações
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certoEvento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
)n(n(AUB)
AUB
)(P
Tente fazersozinho
5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita
76 44
Internet paga 14 21
Tente fazersozinho
5) Os dados da tabela seguinte referem-sea uma pesquisa realizada com 155 moradoresde um bairro revela os hábitos quanto ao usode TV e Internet pagas.
Um dos entrevistados é selecionado aoacaso. Qual a probabilidade de que ele use TVou Internet pagas?
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita
76 44
Internet paga 14 21
Solução
A: TV paga n(A)=44+21=65B: Internet paga n(B)=14+21=35
n(A∩B)=21 n(A∪B)= 65+35-21=79
Só TV aberta TV paga
Internet gratuita
76 44
Internet paga 14 21
155
79(
)n(n(AUB)
AUB)P
ProbabilidadeCondicional
Temos um caso de probabilidadecondicional quando um evento A ocorre,sabendo que o evento B já ocorreu.
O cálculo da probabilidade condicional
é dado pela fórmula:
P(B)B)P(A
A/B)
(P
ProbabilidadeCondicional
Exemplo:Ao retirar uma carta de um baralho de
52 cartas, qual é a probabilidade de sairum ás vermelho sabendo que ela é de
copas?A: sair ás vermelho n(A)=2B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
ProbabilidadeCondicional
Exemplo:A: sair ás vermelho n(A)=2B: sair carta de copas n(B)=13
A∩B: ás de copas n(A∩B)=1
13
1
5213521
( P(B)
B)P(AA/B)
P
Probabilidade
Ω
Conjunto de todos os
resultados
representação
Subconjunto de Ω
evento
EspaçoAmostr
alelementos
Chance de um evento ocorrer
definição
representação
Probabilidade
condicional
Probabilidade
Da uniãoVariações
Fórmula geralCálculo
n(E)=n(Ω)
EventoComple-mentar
tipos
E
definição
definição
Evento
certoEvento
impossível
n(Ec)=n(Ω)-n(E)
n(E)=0
)(
)(
n
EnP
P(B)B)P(A
A/B)
(P
)n(n(AUB)
AUB
)(P
Tente fazersozinho
6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira
criançaque nasceu é homem?
Tente fazersozinho
6) Uma família planejou ter 3 crianças.Qual é a probabilidade de que a famíliatenha 3 homens, já que a primeira
criançaque nasceu é homem?
Solução Ω = HHH, HHM, HMH, MHH, MMH,
MHM, HMM, MMM n(Ω)=8A: ter 3 homens n(A)=1B: primeira é homem n(B)=4A∩B=HHH n(A∩B)=1
4
1
8481
( P(B)
B)P(AA/B)
P
Questões de Vestibular
Tente fazersozinho
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia?
3
2)
5
1)
45
8)
4
1)
3
1) edcba
Tente fazersozinho
7) (PUC) Há em um hospital 9 enfermeiras(Karla é uma delas) e 5 médicos (Lucas éum deles). Diariamente, devem permanecerde plantão 4 enfermeiras e 2 médicos. Quala probabilidade de Karla e Lucas estaremde plantão no mesmo dia?
3
2)
5
1)
45
8)
4
1)
3
1) edcba
Solução
45
8
1260
224
)(
)()(
224)!14(!1
!4
)!38(!3
!8.)(
1260)!25(!2
!5
)!49(!4
!9.)(
1,43,8
2,54,9
n
EnEp
CCEn
CCn
letra c
Tente fazersozinho
8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2)
4
1)
9
2)
3
1)
6
1) edcba
Tente fazersozinho
8) (FEI-SP) Numa caixa tem-se 9 fichasnumeradas de 1 a 9. Três fichas sãoescolhidas ao acaso e sem reposição. Aprobabilidade de não sair a ficha 7 é:
3
2)
4
1)
9
2)
3
1)
6
1) edcba
SoluçãoProbabilidad
ede não sair 7na primeira:
9
8P
8
7P
Probabilidade
de não sair 7na segunda:
Probabilidade
de não sair 7na terceira:
7
6P
3
2
7
6
8
7
9
8P letra e
Tente fazersozinho
9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada
bancoSeja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2)
35
8)
14
3)
35
6)
70
1) edcba
Tente fazersozinho
9) (PUC) Em um ônibus há apenas 4 bancos vazios,cada qual com 2 lugares. Quatro rapazes e quatromoças entram nesse ônibus e devem ocupar osbancos vagos. Se os lugares foram escolhidosaleatoriamente, a probabilidade de que cada
bancoseja ocupado por um rapaz e uma moça é:
7
2)
35
8)
14
3)
35
6)
70
1) edcba
Solução
n(Ω)=8! n(E)=4!.4!.24
letra d
2345678
1 11223344 x2
x2x2x2
35
8
!8
!4!424
P
Tente fazersozinho
10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
Tente fazersozinho
10) (UFSC) Em uma caixa há 28 bombons, todoscom forma, massa e aspecto exterior exatamenteiguais. Desses bombons, 7 tem recheio de coco, 4de nozes e 17 são recheados com amêndoas. Seretirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente,a probabilidade de se retirar um bombom de cadasabor é, aproximadamente:
%5,14)%13)%5,12)%11)%5,7) edcba
Solução
letra e145,03276
476
)(
)()(
4761747.)(
3276)(
1,171,41,7
3,28
n
EnEp
CCCEn
Cn
Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi,
Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 – Páginas: 391 a 412
• Matemática Contexto e Aplicações: Dante, Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição – 2008 - Páginas: 338 a 367
• Figuras: google imagens