DINÂMICA E MOVIMENTO

OBJETIVOS Entender as equações da cinemática a partir das

Leis de Newton; Associar força ao movimento; Aplicar as equações do movimento uniforme (M.U.)

e do movimento uniformemente variado (M.U.V.); Entender o que é lançamento vertical, horizontal e

queda livre.

Para o melhor aprendizado do conteúdo precisamos saber:

Resolver equações de primeiro grau; Resolver equações de segundo grau; Traçar gráficos de equações de primeiro e

segundo graus; Entender o que é uma função; Definição de velocidade; Definição de aceleração;

LEIS DE NEWTON

A 1a Lei de Newton, nos diz que um corpo permanece em inércia, na ausência de Forças (Força resultante nula),(FR=0).

Inércia é uma propriedade da massa, corpos em inércia ficam em repouso ou com velocidade constante (v = Cte) em linha reta.

Dinâmica

InérciaRepouso(V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

Movimento uniforme

O movimento uniforme (M.U.) é realizado com velocidade constante e diferente de 0, (v=Cte 0).

Corpos em inércia realizam movimento retilíneo uniforme (M.R.U.).

EXERCÍCIO(Unesp 98) Uma bola desloca-se em trajetória retilínea, com velocidade constante, sobre um plano horizontal transparente. Com o sol a pino, a sombra da bola é projetada verticalmente sobre um plano inclinado, como mostra a figura a seguir.

Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinado em

a) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo igual ao da velocidade da bola.

b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo menor que o da velocidade da bola.

c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo maior que o da velocidade da bola.

d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo crescente.

e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo decrescente.

EXERCÍCIO(Unesp 98) Uma bola desloca-se em trajetória retilínea, com velocidade constante, sobre um plano horizontal transparente. Com o sol a pino, a sombra da bola é projetada verticalmente sobre um plano inclinado, como mostra a figura a seguir.

Nessas condições, a sombra desloca-se sobre o plano inclinado em

a) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo igual ao da velocidade da bola.

b) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo menor que o da velocidade da bola.

c) movimento retilíneo uniforme, com velocidade de módulo maior que o da velocidade da bola.

d) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo crescente.

e) movimento retilíneo uniformemente variado, com velocidade de módulo decrescente.

Movimento uniforme

Equação do movimento uniforme:

tvxtx o .)( Onde:

x(t) é a posição final (m)

xo é a posição inicial (m)

v é a velocidade (constante) (m/s)

t é o tempo (s)

Movimento uniforme

x(m)

t(s)

xo

t

x

O gráfico da função do M.U. é o de uma função do primeiro grau.

x(m)

t(s)

xo

x

t

No gráfico acima podemos identificar quantos movimentos uniformes ? Quais são suas equações ? Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.

EXERCÍCIOSx(m)

t(s)

1

2

2

4

3

No gráfico acima podemos identificar quantos movimentos uniformes ? Quais são suas equações ? Calcule qual a posição nos instantes t = 1 s e t = 4s.

EXERCÍCIOSx(m)

t(s)

1

2

2

4

3

A

B

No movimento uniforme os gráficos são retas (funções de primeiro grau). Como existem duas retas então existem dois movimentos uniformes.

tvxtx o .)(

Para cada reta existe uma velocidade constante, vamos calcular.

t

xv

Para cada reta existe uma velocidade constante, vamos calcular.

t

xv

smvA /5,02

12

smvB /2

1

24

x(m)

t(s)

1

2

2

4

3

A

B

ttxA .5,01)(

Substituindo os valores de xo e vA para a reta A:

Substituindo os valores de xo e vB para a reta B:

ttxB .22)(

Vamos usar as equações do movimento uniforme para determinar as posições nos

instantes t = 1s e t = 4s.x(m)

t(s)

1

2

2

4

3

A

B

ttxA .5,01)(

mxA 5,01.5,01)1(

ttxB .22)(

mxB 104.22)4(

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo uniforme

LEIS DE NEWTON Segunda Lei de Newton ou princípio fundamental da dinâmica:

A resultante de um sistema de forças é diretamente proporcional ao produto da massa pela aceleração.

amFR.

LEIS DE NEWTON Pela segunda lei de Newton, a aceleração é o resultado de uma força resultante aplicada a um corpo com massa. Onde há aceleração não há inércia.

m

Fa R

FR é a força resultante em Newtons (N);

m é a massa em kg;

a é a aceleração resultante em m/s2.

Sair da inércia

m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo uniforme

2aLei de Newton

EXERCÍCIO(UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4kg e 2kg, respectivamente, estão presos entre si por um fio inextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar o conjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a 3N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Calcule o módulo da aceleração resultante.

EXERCÍCIO(UFRJ) Dois blocos de massa igual a 4kg e 2kg, respectivamente, estão presos entre si por um fio inextensível e de massa desprezível. Deseja-se puxar o conjunto por meio de uma força F cujo módulo é igual a 3N sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Calcule o módulo da aceleração resultante.

EXERCÍCIO

Da segunda lei de Newton:

amFR .

a).24(3

São 2 corpos unidos por um fio, portanto a massa total será a soma das duas massas.

2/5,06

3sma

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO

O movimento uniforme variado (M.U.V.) é realizado com aceleração constante diferente de zero (a=cte0).

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO

Equações do movimento uniforme variado:

2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Posição em função do tempo;

Velocidade em função do tempo;

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO

Se “vo” e “a” tem sinais opostos é movimento retardado;

(Vo > 0) e (a < 0) ou (Vo < 0) e (a > 0);

Se “vo” e “a” tem mesmos sinais é movimento acelerado;(Vo > 0) e (a >0) ou (Vo < 0) e (a < 0);

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO

A equação da posição em função do tempo é uma função de segundo grau.

A equação da velocidade em função do tempo é uma função de primeiro grau.

EXERCÍCIOS

A posição S, em metros, de um móvel varia em função do tempo t (em segundos) de acordo com a função dada por: S (t) = 2 + 4t – t2

O valor da posição inicial, velocidade inicial, aceleração e o tipo de M.U.V. são respectivamente:

a) 2, 4, -1 (acelerado)

b) 2, 4, -1 (retardado)

c) 2, 4, -2 (retardado)

d) 2, 4, -2 (acelerado)

e) 4, 2, -2 (acelerado)

EXERCÍCIOS

A posição S, em metros, de um móvel varia em função do tempo t (em segundos) de acordo com a função dada por: S (t) = 2 + 4t – t2

O valor da posição inicial, velocidade inicial, aceleração e o tipo de M.U.V. são respectivamente:

a) 2, 4, -1 (acelerado)

b) 2, 4, -1 (retardado)

c) 2, 4, -2 (retardado)

d) 2, 4, -2 (acelerado)

e) 4, 2, -2 (acelerado)

EXERCÍCIOS

2

..)(

2tatvxtx oo

Comparando a equação geral do movimento uniforme variado com a equação dada termo a termo temos:

S (t) = 2 + 4t –1 t2

So= 2 m

vo= 4 m/s

a/2 = -1 a = - 2 m/s

a e vo tem sinais opostos, é movimento retardado.

EXERCÍCIOS

(Unesp 95) O gráfico adiante mostra como varia a velocidade de um móvel, em função do tempo, durante parte de seu movimento.

EXERCÍCIOS

O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma

a) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolando por um plano horizontal.

b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.

c) fruta que cai de uma árvore.

d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação e pára.

e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.

EXERCÍCIOS

(Unesp 95) O gráfico adiante mostra como varia a velocidade de um móvel, em função do tempo, durante parte de seu movimento.

EXERCÍCIOS

O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma

a) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolando por um plano horizontal.

b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.

c) fruta que cai de uma árvore.

d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação e pára.

e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.

(Ufrs 96) O gráfico representa a posição x de um corpo, em movimento retilíneo, em função do tempo t. A curva representada é uma parábola (função do segundo grau em t), com vértice em t = 4s.

EXERCÍCIOS

A partir da análise do gráfico, pode-se afirmar que

a) de t = 0s até t = 8s o móvel se movimenta com vetor aceleração constante.

b) de t = 0s até t = 4s os vetores velocidade e aceleração têm o mesmo sentido.

c) em t = 4s o vetor aceleração muda de sentido.

d) de t = 4s até t = 8s o módulo do vetor velocidade diminui.

e) em t = 4s o módulo do vetor aceleração é nulo.

EXERCÍCIOS

(UFRS 96) O gráfico representa a posição x de um corpo, em movimento retilíneo, em função do tempo t. A curva representada é uma parábola (função do segundo grau em t), com vértice em t = 4s.

EXERCÍCIOS

A partir da análise do gráfico, pode-se afirmar que

a) de t = 0s até t = 8s o móvel se movimenta com vetor aceleração constante.

b) de t = 0s até t = 4s os vetores velocidade e aceleração têm o mesmo sentido.

c) em t = 4s o vetor aceleração muda de sentido.

d) de t = 4s até t = 8s o módulo do vetor velocidade diminui.

e) em t = 4s o módulo do vetor aceleração é nulo.

EXERCÍCIOS

aceleração CteM.U. variado2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Sair da inércia m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo uniforme

2aLei de Newton

2aLei de Newton

M.U. variadoacelerado

retardado

Força Peso

MOVIMENTO UNIFORME VARIADO

Equação de Torricelli

É uma equação útil quando não sabemos o valor da grandeza tempo, é uma equação da velocidade em função do deslocamento. É obtida direto das equações do M.U.V.

xavxv o .2)( 22 Onde x é o deslocamento

EXERCÍCIOS

(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108 km/h num trecho plano de uma rodovia quando um carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância, entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo sua velocidade constante. A mínima aceleração, em m/s2, que a ambulância deve imprimir para não se chocar com o carro é, em módulo, pouco maior que:

a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0.

EXERCÍCIOS

(UNIFESP 2003) Uma ambulância desloca-se a 108 km/h num trecho plano de uma rodovia quando um carro, a 72 km/h, no mesmo sentido da ambulância, entra na sua frente a 100 m de distância, mantendo sua velocidade constante. A mínima aceleração, em m/s2, que a ambulância deve imprimir para não se chocar com o carro é, em módulo, pouco maior que:

a) 0,5. b) 1,0. c) 2,5. d) 4,5. e) 6,0.

EXERCÍCIOS

A ambulância tem que imprimir uma aceleração negativa ao movimento (velocidade inicial), ou uma desaceleração, o movimento é retardado.

vo = 30 m/s v = 20 m/s

x = 100 m

a = ? a = ?

EXERCÍCIOS

Convertendo as velocidades em m/s e aplicando direto a equação de Torricelli:

v = 108 km/h : 3,6 = 30 m/s

vo=72 km/h : 3,6 = 20 m/s

100.22030 22 a

sma /6,1

xavxv o .2)( 22

xavxv o .2)( 22

aceleração CteM.U. variado2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Sair da inércia m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo uniforme

2aLei de Newton

2aLei de Newton

M.U. variadoacelerado

retardado

Força Peso

QUEDA LIVRE

A queda livre é um movimento uniforme variado acelerado, ou seja, a força peso, acelera os corpos na direção radial da terra e em sentido ao seu centro.

H

P = m.g

P = m.g

2

xo= 0

x

QUEDA LIVRE

H

P = m.g

P = m.g

2

..)(

2tgtvtH o

HgvHv o .2)( 22

tgvtv o .)(

xo= 0

x

EXERCÍCIOSUm objeto é abandonado do alto de um morro, e depois de 4 s atinge o solo. Responda:

a) Qual foi a velocidade imediatamente antes do objeto tocar o solo?

b) A que altura que o objeto foi abandonado?

c) Quais as equações horárias da posição e da velocidade do objeto?

EXERCÍCIOSUm objeto é abandonado do alto de um morro, e depois de 4 s atinge o solo. Adote g = 10m/s2. Responda:

a) Qual foi a velocidade imediatamente antes do objeto tocar o solo?

b) A que altura que o objeto foi abandonado?

c) Quais as equações horárias da posição e da velocidade do objeto?

EXERCÍCIOS

4.100)4( v

Objeto abandonado vo = 0 m/s. Tempo de queda, t = 4 s

a)

b)

2

4.104.0)4(

2

H mH 80

c) ttv .10)( 2.5)( ttH

smv /40

EXERCÍCIOS

(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical, deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo. A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qual era a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando a lanterna foi solta? Adote g=10m/s2.

EXERCÍCIOS

(UFPE 96) Um pára-quedista, descendo na vertical, deixou cair sua lanterna quando estava a 90 m do solo. A lanterna levou 3 segundos para atingir o solo. Qual era a velocidade do pára-quedista, em m/s, quando a lanterna foi solta? Adote g=10m/s2.

H=90m

P = m.10

P = m.10

xo= 0

x

vo=?

EXERCÍCIOS

Vamos aplicar a equação horária em função da altura.

2

..)(

2tgtvtH o

2

16.104.90 ov

smvo /5,2

m

Pg

xavxv o .2)( 22

aceleração CteM.U. variado2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Sair da inércia m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo Uniforme

2aLei de Newton

2aLei de Newton

M.U. variadoacelerado

retardado

Força Peso

Queda livre M.U. variadoForça Peso acelerado

LANÇAMENTO HORIZONTAL

O lançamento horizontal é a composição da queda livre com o movimento uniforme na direção horizontal.

P=m.g

vX

P=m.g

vX

vX

vY

vX

LANÇAMENTO HORIZONTAL

2

..)(

2tgtvtH o

HgvHv o .2)( 22

tgvtv o .)(

tvxtx o .)(

QUEDA LIVRE

DIREÇÃO VERTICAL

MOVIMENTO UNIFORME

DIREÇÃO HORIZONTAL

EXERCÍCIOS

(CESGRANRIO 97) Na superfície horizontal do patamar superior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rola de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.

Considerando-se desprezível a resistência do ar e g = 10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:

a) 0,6

b) 0,8

c) 1,0

d) 1,2

e) 1,5

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

(CESGRANRIO 97) Na superfície horizontal do patamar superior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rola de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.

Considerando-se desprezível a resistência do ar e g = 10 m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:

a) 0,6

b) 0,8

c) 1,0

d) 1,2

e) 1,5

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

Vamos aplicar a equação horária da posição para a queda livre, e descobrir o tempo de queda da esfera.

2

..)(

2tgtvtH o

2

.10.02,0

2tt

st 2,0

Vamos aplicar a equação horária da posição para o movimento uniforme, e descobrir a velocidade da esfera.

EXERCÍCIOS

tvxtx o .)(

2,0.03,0 v

smv /5,1

Lançamento HorizontalQueda livre

Movimento uniforme

Queda livre M.U. variadoForça Peso

m

Pg

acelerado

xavxv o .2)( 22

aceleração CteM.U. variado2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Sair da inércia m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo Uniforme

2aLei de Newton

2aLei de Newton

Força Peso

M.U. variadoacelerado

retardado

Força Peso

1aLei de Newton InérciaLançamento Horizontal

LANÇAMENTO VERTICAL

H

P = m.g

P = m.gxo= 0

x

O lançamento vertical é um movimento uniforme variado retardado, ou seja, a velocidade inicial se dá no sentido contrário ao da força peso, por isso tem sinais opostos.

vo

LANÇAMENTO VERTICAL

H

P = m.g

P = m.gxo= 0

x

Na altura máxima a velocidade é nula, e o tempo de subida é igual ao tempo de descida.

vo

V=0

LANÇAMENTO VERTICAL

2

..)(

2tgtvtx o

xgvxv o .2)( 22

tgvtv o .)(

Equações para o lançamento vertical

(Mackenzie 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m, sobe verticalmente com velocidade constante. Num dado instante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5 segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade do helicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)

a) 5,5 m/s

b) 5 m/s

c) 4,5 m/s

d) 4 m/s

e) 3,5 m/s

EXERCÍCIOS

(MACKENZIE 96) Um helicóptero, cuja altura da cabine é 1,5m, sobe verticalmente com velocidade constante. Num dado instante, solta-se, do alto da cabine, um parafuso que leva 0,5 segundos para atingir o piso do helicóptero. A velocidade do helicóptero em relação à Terra é igual a: (Dado g = 10 m/s2)

a) 5,5 m/s

b) 5 m/s

c) 4,5 m/s

d) 4 m/s

e) 3,5 m/s

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

2

..)(

2tgtvtx o

2

5,0.105,0.5,1

2

ov

5,0

75,2ov smvo /5,5

Vamos aplicar direto a equação horária da posição do lançamento vertical, pois, o helicóptero sobe com velocidade constante, ou seja, a força resultante no helicóptero é nula. Porém a força peso atua no parafuso quando ele é solto.

Lançamento Vertical M.U.variado retardado

Lançamento HorizontalQueda livre

Movimento uniforme

Queda livre M.U. variadoForça Peso

m

Pg

acelerado

xavxv o .2)( 22

aceleração CteM.U. variado2

..)(

2tatvxtx oo

tavtv o .)(

Sair da inércia m

Fa Raceleração

tvxtx o .)(

Dinâmica

InérciaRepouso (V=0)

Velocidade Cte

FR=0

FR=0

1aLei de Newton

1aLei de Newton

Inércia Movimento Retilíneo Uniforme

2aLei de Newton

2aLei de Newton

Força Peso

M.U. variadoacelerado

retardado

Força Peso

1aLei de Newton InérciaLançamento Horizontal

Força Peso