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Vida Útil de Ferramentas
Gilberto A. Paula
Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil
giapaula@ime.usp.br
1o Semestre 2020
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 1 / 34
Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 2 / 34
Vida útil de Ferramentas
Descrição dos DadosA vida útil (em horas) de uma amostra aleatória de 20 ferramentassubmetidas a um tipo de torno será relacionada com as seguintesvariáveis explicativas:
vtorno, velocidade do torno (em rpm)
tipo, tipo da ferramenta (0: tipo A, 1: tipo B)
(Montgomery, Peck e Vining, 2012, Cap. 8).
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 3 / 34
Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 4 / 34
Medidas Resumo
Descrição
Tipo A Tipo BMedida Vida Útil V. Torno Vida Útil V. Tornon 10 10 10 10Média 17,11 747,0 31,93 754,0D.Padrão 4,12 162,9 6,01 154,0CV 24% 22% 19% 20%
Mínimo 12,68 530,0 25,40 500,01o Quartil 13,71 627,5 26,33 655,0Mediana 15,98 725,0 31,83 765,03o Quartil 19,17 877,5 35,45 862,5Máximo 24,39 980,0 43,67 1000,0
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 5 / 34
Boxplot Vida Útil das Ferramentas
A B
15
20
25
30
35
40
Vid
a Ú
til d
a F
err
am
en
ta
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 6 / 34
Boxplot Velocidade do Torno
A B
50
06
00
70
08
00
90
01
00
0
Ve
locid
ad
e d
o T
orn
o
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 7 / 34
Dispersão Vida Útil das Ferramentas versus Velocidade do Torno
500 600 700 800 900 1000
15
20
25
30
35
40
Velocidade do Torno
Vid
a Ú
til d
a F
err
am
en
ta
Tipo B
Tipo A
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 8 / 34
Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 9 / 34
Modelo Linear Normal
DescriçãoNota-se indícios de redução do tempo de vida útil da ferramenta como aumento da velocidade do torno para ambos os tipos de ferramenta.Há evidências que o tipo B tenha uma vida útil maior do que o tipo Aindependente da velocidade do torno (ausência de interação). Essastendências sugerem o seguinte modelo de regressão linear:
yi = β1 + β2 × tipoi + β3 × vtornoi + ǫi ,
em que yi denota o tempo de vida útil da i-ésima ferramenta com
ǫiiid∼ N(0, σ2), para i = 1, . . . , 20.
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Estimativas
DescriçãoAs estimativas dos parâmetros são dadas abaixo:
Efeito Estimativa Erro Padrão valor-t valor-PConstante 36,986 3,510 10,54 0,00Vtorno -0,027 0,004 -5,91 0,00TipoB 15,004 1,360 11,03 0,00
s 3,04R2 0,90R2-ajustado 0,89
Todos os parâmetros são marginalmente significativos ao nível de 1%.
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Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 12 / 34
Análise de Resíduos
−2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
01
23
Percentil da N(0,1)
Re
síd
uo
Stu
de
ntiz
ad
o
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 13 / 34
Análise de Resíduos
10 15 20 25 30 35
−3
−2
−1
01
23
Valor Ajustado
Re
síd
uo
Stu
de
ntiz
ad
o
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Distância de Cook
5 10 15 20
0.0
0.1
0.2
0.3
Ìndice
Dis
tân
cia
de
Co
ok
20
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 15 / 34
Estimativas
DescriçãoEstimativas dos parâmetros retirando a observação #20.
Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante 34,225 3,488 9,81 0,00Vtorno -0,023 0,004 -5,09 0,00TipoB 14,320 1,290 11,10 0,00
s 2,79R2 0,89R2-ajustado 0,88
Todos os parâmetros são marginalmente significativos ao nível de 1%.
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Observação Influente
ComentáriosAs análises de resíduos monstram-se adequadas.
Somente a observação #20 aparece como influente.
A eliminação dessa observação causa variação desproporcionalna estimativa da inclinação das retas ajustadas (14%). Porém,não há mudança inferencial.
A observação #20 refere-se à ferramente com maior tempo devida útil e menor velocidade do torno, sendo essa ferramenta dotipo B.
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Dispersão Vida Útil versus Velocidade do Torno
500 600 700 800 900 1000
15
20
25
30
35
40
Velocidade do Torno
Vid
a Ú
til d
a F
err
am
en
ta
Tipo B
Tipo A
20
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Interpretação das Estimativas
Interpretação das Estimativas
À medida que a velocidade do torno aumenta em 100 rpmespera-se decréscimo de 2,7 horas na vida útil das ferramentas.
As ferramentas do tipo B duram em média 15 horas a mais do queas ferramentas do tipo A, independente da velocidade do torno.
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Banda de Confiança para a Média
500 600 700 800 900 1000
01
02
03
04
05
0
Velocidade do Torno
Vid
a Ú
til d
a F
err
am
en
ta
Tipo A
Tipo B
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Banda de Confiança para Nova Observação
500 600 700 800 900 1000
01
02
03
04
05
0
Velocidade do Torno
Vid
a Ú
til d
a F
err
am
en
ta
Tipo A
Tipo B
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Resíduos GAMLSS
10 15 20 25 30 35
−2
−1
01
Against Fitted Values
Fitted Values
Qu
an
tile
Re
sid
ua
ls
5 10 15 20
−2
−1
01
Against index
index
Qu
an
tile
Re
sid
ua
ls
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
0.3
00
.35
Density Estimate
Quantile. Residuals
De
nsity
−2 −1 0 1 2
−2
−1
01
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sa
mp
le Q
ua
ntile
s
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Worm Plot GAMLSS
−4 −2 0 2 4
−2
−1
01
2
Unit normal quantile
Devia
tio
n
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Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 24 / 34
Modelo Linear Normal
DescriçãoConforme sugerido pela análise descritiva será incluído no modelolinear termo quadrátrico na velocidade do torno:
yi = β1 + β2 × tipoi + β3 × nvtornoi + β4 × nvtorno2i + ǫi ,
em que yi denota o tempo de vida útil da i-ésima ferramenta, nvtorno
= vtorno/100 e ǫiiid∼ N(0, σ2), para i = 1, . . . , 20.
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Estimativas
DescriçãoAs estimativas dos parâmetros são dadas abaixo.
Efeito Estimativa Erro Padrão valor-t valor-PConstante 67,121 16,708 4,02 0,001nVtorno -11,035 4,572 -2,41 0,028nVtorno2 0,557 0,303 1,84 0,084TipoB 15,146 1,276 11,87 0,000
s 2,85R2 0,92R2-ajustado 0,90
Efeito quadrático de Vtorno significativo ao nível de 10%.
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Análise de Resíduos
−2 −1 0 1 2
−3
−2
−1
01
2
Percentil da N(0,1)
Re
síd
uo
Stu
de
ntiz
ad
o
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 27 / 34
Análise de Resíduos
15 20 25 30 35 40
−3
−2
−1
01
23
Valor Ajustado
Re
síd
uo
Stu
de
ntiz
ad
o
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 28 / 34
Distância de Cook
5 10 15 20
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
0.3
0
Indice
Dis
tan
cia
de
Co
ok
20
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Estimativas
DescriçãoEstimativas dos parâmetros retirando a observação #20.
Efeito Estimativa Erro padrão valor-t valor-PConstante 52,960 18,838 2,67 0,017nVtorno -7,386 5,330 -1,39 0,186nVtorno2 0,332 0,346 0,96 0,353TipoB 14,596 1,325 11,01 0,000
s 2,79R2 0,90R2-ajustado 0,88
Efeito quadrático de Vtorno não é mais significativo.
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Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 31 / 34
Conclusões
Considerações FinaisEste é um exemplo em que uma das variáveis explicativas ébinária e há ausência de interação entre o tipo de ferramenta e avelocidade do torno.
A observação #20 aparece como influente no primerio modelo,com alta influência na estimativa do coeficiente da velocidade dotorno, porém quando eliminada não muda a inferência.
Quando um termo quadrático na velocidade do torno éadicionado no modelo a observação #20 também aperece comoinfluente, porém induzindo a inclusão do termo quadrático.
Assim, o modelo mais adequado inclui apenas o termo linear paraa velocidade do torno.
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 32 / 34
Sumário
1 Vida útil de Ferramentas
2 Análise de Dados Preliminar
3 Ajuste Modelo Linear Normal
4 Diagnóstico Modelo Ajustado
5 Inclusão de Termo Quadrático
6 Conclusões
7 Referências
G. A. Paula (IME-USP) Vida útil de Ferramentas 1o Semestre 2020 33 / 34