Post on 07-Nov-2018
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática
Prof: Lauro Cesar Galvão Cálculo Numérico Entrega: junto com a 2a parcial
DATA DE ENTREGA: dia da 2a PROVA (em sala de aula)
Atividades Práticas Supervisionadas (APS)
(EXERCÍCIOS: 10% da 2a parcial)
Conteúdo: Ajuste de Curvas, Integração Numérica, Solução Numérica de
Equações Diferenciais Ordinárias.
Imprimir esta lista FRENTE/VERSO.
Entregar os exercícios com preenchimento manual.
Escrever de forma clara e objetiva.
De preferencia, utilizar lapis ou lapiseira.
Aluno: .............................................................................. Número: ................ Turma: ..............
Curitiba – PARANÁ
2a APS: Exercícios Cálculo Numérico
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO
2
1 Exercícios da apostila Exercício 1 Interpolar o ponto 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio
interpolador de Lagrange.
0 1 2 3
1 0 1 2
1 3 1 1
Resolução: 3 é o grau máximo de ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Logo:
( )
( )
(1,5) ( )
(1,5)
(1,5)
x
i
ix
iy
n 3P x
3P x
3
0iii xLy )( 3P x .......... 0L x .......... 1L x .......... 2L x .......... 3L x
iL x
3
0ij
j ji
j
xx
xx
)(
)(
0L x))()((
))()((
302010
321
xxxxxx
xxxxxx
1L x))()((
))()((
312101
320
xxxxxx
xxxxxx
2L x))()((
))()((
321202
310
xxxxxx
xxxxxx
3L x))()((
))()((
231303
210
xxxxxx
xxxxxx
3P x
3P x
3P 3P23
3P
3P
y
x
x( )P
1
3
-1 2
2
1
3
32
38
0
2a APS: Exercícios Cálculo Numérico
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO
3 Exercício 2 Interpolar o ponto 1,5 na tabela abaixo, empregando a forma de Newton.
0 1 2 3
1 0 1 2
1 3 1 1
Resolução: 3 é o grau máximo de ( ). Tabela de diferenças divididas:
ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
1
0
1
2
( ) [ ]( ) [ , ]( )( ) [ , , ]
( )( )( ) [ , , , ]
( )
( )
( )
x
i
ix
iy
n 3P x
x
3P x f 0x x 0x f 0x 1x x 0x x 1x f 0x 1x 2x
x 0x x 1x x 2x f 0x 1x 2x 3x
3P x
3P x
3P x
2a APS: Exercícios Cálculo Numérico
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4 Exercício 3 Seja ( ) dada em forma de tabela de valores, como segue:
0,2 0,34 0,4 0,52 0,6 0,72
( ) 0,16 0,22 0,27 0,29 0,32 0,37
a) Obter (0,47) usando um polinômio de grau 2;
b) Dar uma estimativa para o erro.
Resolução: Tabela de diferenças divididas:
ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
0,2
0,34
0,4
0,52
0,6
0,72
Deve-se escolher 3 pontos próximos de 0,47 para a obtenção de ( ).
( ) [ ]( ) [ , ]( )( ) [ , , ]
( )
( )
a) (0,47) (0,47)
b) | (0,47)|
| (0,47)|
f x
x
f x
f
x
2P x
2P x f 0x x 0x f 0x 1x x 0x x 1x f 0x 1x 2x
2P x
2P x
2P .......... .......... f
nE
nE ..........
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5 Exercício 4 Considere a tabela a seguir:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
1 1,1052 1,2214 1,3499 1,4918 1,6487
Obter , tal que 1,3165, usando um processo de interpolação quadrática. Usar a forma de
Newton para obter ( ). Construir a tabela de diferenças divididas.
Resolução:
ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3
1
1,1052
1,2214
1,3499
1,4918
1,6487
𝑃2(𝑦) = 𝑔[𝑦0] + (𝑦 − 𝑦0) ∙ 𝑔[𝑦0, 𝑦1] + (𝑦 − 𝑦0) ∙ (𝑦 − 𝑦1) ∙ 𝑔[𝑦0, 𝑦1, 𝑦2]
( )
(1,3165)
Assim, 1,3165 Na calculadora 1,316359.
Erro cometido:
| ( )| |( )( )( )|
| (1,3165)| , [ , ].
1o Caso: pode ser aproximado por (tabela de diferenças divididas de ordem 3).
| (1,3165)| | ( )| .
2o Caso: ( ) ( ) ( )
Logo:
| (1,3165)|
x
yxe
xxe
2P y
y
2P y
2P
.............................e
2E y y 0y y 1y y 2y!33M
2E 3M )('''max yg y 0y 2y
!33M
..........
2E .......... .......... .......... .......... 2E y .......... .......... ..........
f xxe g y 1f y yln
3M
2E
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6 Exercício 5 (Regressão Linear) Ajustar os dados da tabela abaixo através de uma reta.
1 2 3 4 5
1,3 3,4 5,1 6,8 8,0
2,0 5,2 3,8 6,1 5,8
Resolução: Fazendo e considerando
e , tem-se: .
Assim, a reta que melhor se ajusta aos valores da tabela terá coeficientes e , que
são solução do seguinte sistema na forma matricial:
[ ]T
[ ]T
[ ]T
Assim,
Logo a equação da reta procurada é:
i
ix
)( ixf
)()()( xgxgxg 2211
)(xg1 .......... )(xg2 .......... )(xg .................................................
1 2
fg
fg
gggg
gggg
,
,
,,
,,
2
1
2
1
2212
2111
1g .......... .......... .......... .......... ..........
2g .......... .......... .......... .......... ..........
f .......... .......... .......... .......... ..........
11 gg , ..............................................................................................................................................................................
21 gg , ..............................................................................................................................................................................
12 gg , ..............................................................................................................................................................................
22 gg , ..............................................................................................................................................................................
fg ,1 ..............................................................................................................................................................................
fg ,2 ..............................................................................................................................................................................
)(xg .................................................
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7
Exercício 6 Ajustar os dados da tabela através da parábola :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0,75 0,6 0,5 0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1
2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05
Resolução: Fazendo e considerando , obtém-se ...........
.
Assim, para se obter a parábola que melhor se ajusta aos pontos da tabela, será necessário
encontrar do sistema:
[ ...........
...........
...........
...........
...........
]T
[ ...........
...........
...........
...........
...........
]T
.............................................................................................................................
.....................................................................................................
..............................................................................................................
.....................................................................................................
Assim, ........................
.
Logo a equação da parábola procurada é: .................................................
)(xg2x
i
ix
)( ixf
y
x
2
1-1
1
)()( xgxg 11 )(xg12x )(xg
1
1111 gfgg ,,
1g
f
11 gg ,
fg ,1 11 gg ,
1
)(xg
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8 Exercício 7 Ajustar os dados da tabela abaixo por um polinômio do segundo grau
.
1 2 3 4
2 1 1 2
1 3 1 9
Resolução: Neste caso tem-se que: , e
[ ...........
...........
...........
...........
]T
[ ...........
...........
...........
...........
]T
[ ...........
...........
...........
...........
]T
[ ...........
...........
...........
...........
]T
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
Assim,
Logo a equação da parábola procurada é:
...........................................................
2321 xxxg )(
i
ix
)( ixf
)(xg1 .......... )(xg2 .......... )(xg3 ..........
fg
fg
fg
gggggg
gggggg
gggggg
,
,
,
,,,
,,,
,,,
3
2
1
3
2
1
332313
322212
312111
1g
2g
3g
f
11 gg ,
21 gg ,
12 gg ,
31 gg ,
13 gg ,
22 gg ,
32 gg ,
23 gg ,
33 gg ,
fg ,1
fg ,2
fg ,3
)(xg
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9
Exercício 8 Aproximar a função ( )4 por um polinômio do primeiro grau, uma
reta, no intervalo [0,1].
Resolução: g ( ) ( ) ( )=
.............................., isto é, ( )
....... e ( )
........
.......
.......
.......
.......
.......
Logo:
( )........................................
( )4 em [0,1].
Exercício 9 Aproximar a função ( ) no intervalo [0,1] por uma reta.
Resolução:
( ) ( ) ( )= ..............................
,
isto é, ( ) .......
e ( ) .......
.
.......
.......
.......
.......
f x3x
x 1 1g x 2 2g x 1g x 2g x
A b
2221
1211
aa
aa
2
1
2
1
b
b
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
2
1
gf
gf
,
,
11a 11 gg ,
12a 21 gg , 12 gg , 21a
22a 22 gg ,
1b 1gf ,
2b 2gf ,
A b
g x f x3x
f xxe
g x 1 1g x 2 2g x
1g x 2g x
A b
2221
1211
aa
aa
2
1
2
1
b
b
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
2
1
gf
gf
,
,
11a 11 gg ,
12a 21 gg , 12 gg , 21a
22a 22 gg ,
1b 1gf ,
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10
.......
Usando o método de integração por partes em :
( )........................................
( ) em [0,1].
Exercício 10 Ajustar os dados da tabela que segue por uma função da forma ( )
0 1 2
( ) 1 0,5 0,7
Resolução: Desta forma, “linearizando” a função ( ) , como no primeiro
exemplo anterior, tem-se:
[ ...........
...........
...........
]T
[ ...........
...........
...........
]T
................. [
................. .................
.................
]T
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
...........
.............................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
( )........................................
( ).
2b 2gf ,
2b dvu duvvu
g x f xxe
g x 1x
e 2
x
f x
g x 1x
e 2
2212
2111
gggg
gggg
,,
,,
2
1
a
a
2
1
g
g
,
,
1g
2g
11 gg ,
21 gg ,
12 gg , 21 gg ,
22 gg ,
1g,..............
2g,.............
g x f x
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11
Exercício 11 Calcular , usando a regra dos trapézios e calcule uma
aproximação para o erro máximo cometido.
Resolução:
..................
.
O erro cometido será, no máximo:
Logo, | | ..................
.
Exercício 12 Calcular empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.
Resolução:
𝑥 𝑥0 =.… 𝑥1 =.… 𝑥2 =.… 𝑥3 =.… 𝑥4 =.… 𝑥5 =.… 𝑥6 =.… 𝑥7 =.… 𝑥8 =.…
𝑓(𝑥)
..................
.
Erro cometido será, no máximo:
| | ..................
.
Neste caso em particular, ( ) pode ser integrada de forma exata:
..................
.
9
156x dx
9
156x dx TI
TE
9
156x dx
9
156x dx
TRE
f x
9
156x dx
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12
Exercício 13 Seja . Calcule uma aproximação para usando 10 subintervalos
e a regra dos trapézios repetida. Estimar o erro cometido.
Resolução:
..................
.
Erro cometido será, no máximo:
| | ..................
.
Exercício 14 Seja . Qual o número mínimo de subdivisões, para a regra dos
trapézios repetida aplicada em , de modo que o erro seja inferior a 103?
Resolução:
..................
.
Exercício 15 Seja . Calcule uma aproximação para usando a regra 1/3 de
Simpson com 10. Estime o erro cometido.
Resolução:
.......................................
.
Estimativa do erro:
.......................................
.
Observe que .......................................
e .......................................
.
I 1
0dxex I
1
0dxex
TRE
I 1
0dxex
I
n
I 1
0dxex I
m
1
0dxex
SRE
SRE TRE
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13
Exercício 16 Seja . Para que valor de teríamos erro inferior a 103?
Resolução:
Para um erro inferior a 103 seriam necessários subintervalos.
Obs: na regra dos trapézios com repetição são necessários intervalos.
Exercício 17 Seja . Aproxime com a regra dos trapézios com 8 repetições.
Estime o erro cometido.
Resolução:
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
.
Estimativa do erro:
.
I 1
0dxex
m
m .................... ..........
..........
I 10
6xdxlog I
h ................................................. h ....................
i
ix
)( ixf
10
6xdxlog .................................................
TRE .................................................
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14
Exercício 18 Seja . Aproxime com a regra de Simpson com 8
subintervalos. Estime o erro cometido.
Resolução:
. e .
0 1 2 3 4 5 6 7 8
.
Estimativa do erro:
.
I 10
6xdxlog I
h ................................................. h .................... m .......... n ..........
i
ix
)( ixf
10
6xdxlog .................................................
SRE .................................................
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15
Exercício 19 Achar aproximações para a solução do PVI na malha de
[0,1] com ℎ = 0,1.
Resolução:
0, 2, 0, 1, 10.
Usar Erro! Fonte de referência não encontrada. para 0,1,2,,9.
0:
1:
TABELA:
( ) ( )
0 0 2 2
1 2,004837
2 2,018731
3 2,040818
4 2,07032
5 2,106531
6 2,148812
7 2,196585
8 2,249329
9 2,30657
10 2,367879
20
2
)(
,
y
yxy
0x 0y a b m10
01
,
m
j
j
j
j jx jy y jx jy y jx je
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16
Exercício 20 Achar aproximações para a solução do PVI na malha [0,1]
com =0,1 usando o método da equação (10).
Resolução:
0, 2, 0, 1, 10.
Usar equação (10) para 0,1,,9.
0:
1:
TABELA:
( ) ( )
0 0 2 2
1 2,004837
2 2,018731
3 2,040818
4 2,07032
5 2,106531
6 2,148812
7 2,196585
8 2,249329
9 2,30657
10 2,367879
20
2
)(
,
y
yxy
h
0x 0y a b m10
01
,
m
j
j
j
j jx jy y jx jy y jx je
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17
Exercício 21 Achar aproximações para a solução do PVI na malha [0,1] com
=0,5 usando o método de Euler Aprimorado.
Resolução:
( ) | ( )|
0 0 1
1
2
Exercício 22 Calcular a solução do PVI com =0,1, no interior do intervalo
[0,1], pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem.
Resolução: ( 2 2 ), para 0,1,2,,9.
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
0 0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10)(y
xydx
dy
h
j jx jy1k 2k y jx 22 /xe jy y jx
10)(y
xydx
dy
h
1jy jy6
h1k 2k 3k 4k j
1k
2k
3k
4k
j jx jy1k 2k 3k 4k
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18
Exercício 23 Achar aproximação para a solução do PVI na malha [0,1]
com =0,1 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem (Euler aprimorado).
Resolução: 0, 2, 0, 1, 10.
( ), para 0,1,2,,9.
..................................................................
..................................................................
0 0 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
2
)(
,
y
yxy
h
0x 0y a b m10
01
,
m
1jy jy2
10,1k 2k j
1k
2k
j jx jy1k 2k
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19
2 Exercícios diversos Exercício 24 Supondo que a velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo
com a tabela abaixo, determinar, utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, um valor
aproximado para a velocidade do som na água em uma temperatura de C0100 .
Temperatura ( 0 C) 86,0 93,3 98,9 104,4 110,0
Velocidade ( sm / ) 1552 1548 1544 1538 1532
Resolução: O polinômio de Lagrange procurado será do tipo:
)(xP4 )()()()()( 4433221100 xfLxfLxfLxfLxfL , onde:
iL ( x )
n
ijj ji
j
xx
xx
0 )(
)(
Resposta: )(1004P .................................................
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20
Exercício 25 Dada a tabela que segue e utilizando o polinômio interpolador de Newton,
obtenha um polinômio do quarto grau )(xP4 , escolhendo adequadamente os pontos, para
calcular sin (53o).
0x ( x
graus)
0 15 30 45 60 75 90
xsin 0 0,25882 0,5 0,70711 0,86603 0,96593 1,0
Resolução: A tabela de diferenças divididas é a seguinte:
Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
0 0
15 0,25882
30 0,5
45 0,70711
60 0,86603
75 0,96593
90 1,0
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21 Resposta: )(534P .................................................
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22
Exercício 26 Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi
registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela
abaixo.
Altura ( m ) 192 180 150 115 72
Tempo ( s ) 1 2 3 4 5
Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura h do prédio, a
velocidade inicial 0v de lançamento e o valor da aceleração da gravidade g , sabendo que
essas três grandezas são relacionadas por: 200
2t
gtvhth )( .
Resolução: Fazendo: 10 h , 20 v , 32
g
.
Resposta: 0h ............................. , 0v ............................. e g .............................
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23
Exercício 27 Aproximar a função )sin()( xxf por uma função 2
21 xxxg )( no
intervalo I [0,2]. Empregar a regra de Simpson com 4 subintervalos (2 n =4) para determinar
os produtos internos do vetor dos termos independentes.
Resolução: g ( x ) 1 1g ( x ) 2 2g ( x )= 1 2 2x , isto é, )(xg1 x e 2
2 xxg )( .
Resposta: )(xg .................................................
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24
Exercício 28 Sabendo-se que a dependência funcional entre a carga Q de um
condensador e o tempo t é do tipo tQ 2101 , determinar os parâmetros 1 e 2 a partir
da tabela:
)(st 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Q (Coulomb) 4,78 3,97 3,30 2,75 2,29 1,9
Resolução: tQ
2101
Resposta: Q .................................................
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25
Exercício 29 Calcule dxxx )cos(
20
2 empregando o método dos trapézios e precisão
110
.
Resolução:
Resposta: dxxx )cos(
20
2 .................................................
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Exercício 30 Calcule 3
2dxx)ln( empregando o método de Simpson com quatro repetições
(2 n = 8). Faça uma estimativa do erro cometido na integração numérica.
Resolução:
Resposta: 3
2dxx)ln( ................................................. e SRE .................................................
Exercício 31 Empregando o método de Simpson, calcule o trabalho W realizado por um gás
sendo aquecido segundo a tabela abaixo. Lembre que f
i
V
VPdVW .
)( 3mV 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
)/( 2mKgP 80 72 64 53 44 31 22
Resolução:
Resposta: W .................................................
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Exercício 32 Seja a equação diferencial ordinária yxxydx
d)( com condição inicial
10 )(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo
método de Euler (Passo Simples de ordem 1) com passos h 1, h 0,5 e h 0,25. Sabendo
que a solução exata da equação diferencial é 12 xexy x)( , compare os resultados
obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução exata.
Resolução: ),( llll yxfhyy 1 , l 0, 1, 2, , ( 1m )
Para h 1:
l lx ly llll yxyxf ),( 12 l
xl xexy l)( Erro= ll yxy )(
0 0 1
1
2
3
4
Para h 0,5:
l lx ly llll yxyxf ),( 12 l
xl xexy l)( Erro= ll yxy )(
0 0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
Para h 0,25:
l lx ly llll yxyxf ),( 12 l
xl xexy l)( Erro= ll yxy )(
0 0 1
1
2
3
4
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Exercício 33 Seja a equação diferencial ordinária yxxydx
d)( com condição inicial
10 )(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo
método de Runge-Kutta de ordem 2 com passo h 0,5. Sabendo que a solução exata da
equação diferencial é 12 xexy x)( , compare os resultados obtidos em cada uma das
integrações com os valores obtidos com a solução exata.
Resolução: )( 2112
KKh
yy ll , l 0, 1, 2, , 1m
),( ll yxfK 1 e ),( 12 KhyhxfK ll
l lx ly 1K 2K 12 l
xl xexy l)( Erro= ll yxy )(
0 0 1,0000
1
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3
4
5
6
7
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