Post on 30-Nov-2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica
DEM/POLI/UFRJ
IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO
GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS
BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS
Felipe Abreu Mazzei
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro.
Orientador: Átila Pantaleão Silva Freire
Rio de Janeiro
Março 2015
IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO
GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS
BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS
Felipe Abreu Mazzei
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECÂNICO.
Examinado por:
________________________________________________
Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.
________________________________________________
Profa. Juliana Braga Rodrigues Loureiro, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Daniel Onofre de Almeida Cruz, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO DE 2015
iii
Mazzei, Felipe Abreu.
Identificação de padrões de escoamento e cálculo do gradiente
de pressão e fração de líquido para escoamentos bifásicos em tubulações
anulares concêntricas verticais/ Felipe Abreu Mazzei. – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2015.
X, 47p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Prof. Átila Pantaleão Silva Freire
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de
Engenharia Mecânica, 2015.
Referências Bibliográficas: p.41.
1. Escoamentos multifásicos. 2. Tubulações anulares. 3. Padrões
de escoamento. I. Freire, Átila Pantaleão Silva. II. Universidade Federal
do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica.
III. Identificação de padrões de escoamento e cálculo do gradiente de
pressão e fração de líquido para escoamentos bifásicos em tubulações
anulares concêntricas verticais.
iv
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço aos meus pais, Cristina e Sergio, pelo apoio dado,
não somente ao longo deste trabalho, mas também durante toda a minha vida. Foram
eles que tornaram possível minha caminhada rumo à obtenção do grau de engenheiro.
Eles são e sempre serão a referência que procurarei nos momentos de dificuldade e o
exemplo em que me espelharei.
À minha família, por estar ao meu lado em todos os momentos, sendo minha
fonte de força e motivação.
Ao meu orientador de iniciação científica e do projeto final, Átila Pantaleão
Silva Freire, por me iniciar na ciência da mecânica dos fluidos e por me guiar na
execução deste trabalho.
À minha namorada, Andreza, por todo o incentivo dado durante a realização do
projeto final.
Aos meus amigos da graduação, por todo o companheirismo ao longo da
faculdade, laços que tenho certeza que nunca serão perdidos.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES DE ESCOAMENTO E CÁLCULO DO
GRADIENTE DE PRESSÃO E FRAÇÃO DE LÍQUIDO PARA ESCOAMENTOS
BIFÁSICOS EM TUBULAÇÕES ANULARES CONCÊNTRICAS VERTICAIS
Felipe Abreu Mazzei
Março/2015
Orientador: Prof. Átila Pantaleão Silva Freire
Curso: Engenharia Mecânica.
Este trabalho utiliza modelos mecanicistas encontrados na literatura para predição de
padrões de escoamento em escoamentos bifásicos em tubulações anulares concêntricas
verticais, possibilitando o posterior cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido
para os escoamentos dos tipos: bolhas dispersas, bolhas e pistonado.
Foi desenvolvido um simulador a partir da implementação dos modelos, fornecendo ao
usuário o mapa de padrões de escoamento, o ponto correspondente aos dados de
entrada, o gradiente de pressão e a fração de líquido.
Foram realizadas simulações de partes distintas dos modelos para melhor compreensão
do comportamento do modelo matemático e melhor interpretação física dos resultados.
vi
Sumário
1 Introdução ............................................................................................................. 1
1.1 Motivação ...................................................................................................................... 1
1.2 Objetivo ......................................................................................................................... 2
1.3 Revisão bibliográfica..................................................................................................... 2
1.4 Organização do trabalho ................................................................................................ 3
2 Escoamento Bifásico ............................................................................................. 4
2.1 Definição ....................................................................................................................... 4
2.2 Métodos de análise ........................................................................................................ 4
2.3 Padrões de escoamento .................................................................................................. 5
2.3.1 Tipos de padrões ................................................................................................... 5
2.3.2 Mapas de padrões de escoamento ......................................................................... 8
2.3.3 Mecanismos físicos de transição ........................................................................... 9
2.4 Relações do escoamento bifásico ................................................................................ 13
2.4.1 Fração de líquido (liquid holdup) ....................................................................... 13
2.4.2 Velocidade real ................................................................................................... 13
2.4.3 Velocidade superficial ......................................................................................... 14
2.4.4 Velocidade da mistura ......................................................................................... 14
3 Modelagem .......................................................................................................... 15
3.1 Escolha do modelo ...................................................................................................... 15
3.2 Parâmetros geométricos .............................................................................................. 17
3.3 Valores de referência ................................................................................................... 18
3.4 O fator de atrito de Fanning ........................................................................................ 18
3.4.1 Escoamento laminar ............................................................................................ 18
3.4.2 Escoamento turbulento ........................................................................................ 20
3.5 Velocidade da bolha de Taylor .................................................................................... 24
3.6 Transições de padrões ................................................................................................. 25
3.6.1 Existência do escoamento em bolhas .................................................................. 25
3.6.2 Transição de bolhas para pistonado ................................................................... 26
3.6.3 Transição para bolhas dispersas ........................................................................ 27
3.6.4 Transição para escoamento anular: ................................................................... 28
3.7 Fração de líquido ......................................................................................................... 29
vii
3.7.1 Escoamento em bolhas ........................................................................................ 29
3.7.2 Escoamento em bolhas dispersas ........................................................................ 31
3.7.3 Escoamento pistonado ......................................................................................... 31
3.8 Gradiente de pressão ................................................................................................... 32
3.8.1 Escoamento em bolhas e pistonado ..................................................................... 32
3.8.2 Escoamento em bolhas dispersas ........................................................................ 34
4 O Simulador ........................................................................................................ 35
4.1 Dados de entrada e de saída ........................................................................................ 35
4.2 Algoritmos ................................................................................................................... 38
5 Considerações Finais .......................................................................................... 40
5.1 Conclusão .................................................................................................................... 40
5.2 Trabalhos futuros......................................................................................................... 40
Referências Bibliográficas .................................................................................... 41
Apêndice ................................................................................................................. 42
viii
Lista de Figuras
Figura 1 - Padrões de escoamento em tubulações anulares ........................................................... 6
Figura 2 - Vista superior de padrões de escoamento ..................................................................... 6
Figura 3 - Estrutura do escoamento em bolhas, de acordo com Nakoryakov et al(1990) ............. 7
Figura 4 - Exemplo de mapa de escoamento, de acordo com Hasan e Kabir (1992) .................... 9
Figura 5 - Representação do escoamento pistonado em tubulação simples ................................ 12
Figura 6 - Principais referências dos modelos utilizados............................................................16
Figura 7 - Geometria anular ........................................................................................................ 17
Figura 8 - Fator geométrico de atrito .......................................................................................... 19
Figura 9 - Fator de atrito de Fanning em escoamento laminar .................................................... 20
Figura 10 - Fator de atrito de Fanning em escoamento turbulento .............................................. 22
Figura 11 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista A .............................. 23
Figura 12 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista B .............................. 23
Figura 13 - Velocidade superficial de líquido na transição para bolhas dispersas ...................... 28
Figura 14 - Fração de líquido para escoamento em bolhas ......................................................... 30
Figura 15 - Informações adicionais do mapa gerado pelo simulador .......................................... 36
Figura 16 - Mapa gerado pelo simulador .................................................................................... 37
Figura 17 - Algoritmo simplificado do simulador ....................................................................... 38
Figura 18 - Algoritmo para identificação do padrão de escoamento........................................... 39
ix
Nomenclatura
A: área da seção transversal da tubulação
AF: área da seção transversal ocupada pela fase
DC: diâmetro interno do tubo externo
𝐷𝐸𝑃: diâmetro equiperiférico
𝐷𝐻: diâmetro hidráulico
DT: diâmetro externo do tubo interno
f: fator de atrito de Fanning
𝑓𝐴𝐶: fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubos anulares concêntricos
fNC: fator de atrito de Fanning para configurações não circulares
ft: fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubos simples
𝐹𝐴𝐶: parâmetro geométrico de atrito em tubos anulares concêntricos
FC: parâmetro geométrico de atrito para configurações circulares
FNC: parâmetro geométrico de atrito para configurações não circulares
Fp: parâmetro geométrico de atrito em tubos simples
FT: parâmetro geométrico de atrito para tubos simples em regime laminar
g: aceleração da gravidade
HG: fração de gás/ fração de vazio
HL: fração de líquido
K: razão de diâmetros
L: comprimento característico
n: expoente para correção da velocidade de ascensão de uma bolha
𝑁𝐸Ö: número de Eötvos
QF: vazão volumétrica da fase
x
QG: vazão volumétrica da fase gasosa
QL: vazão volumétrica da fase líquida
Re: número de Reynolds
V0: valor corrigido para a velocidade de ascensão de uma bolha
V0,∞: velocidade de ascensão de uma bolha se movendo em um meio infinito
VBT: velocidade da bolha de Taylor
𝑉𝐸: velocidade de escorregamento entre as fases
VF: velocidade real da fase
VG: velocidade in-situ do gás
VL: velocidade in-situ do líquido
VM: velocidade de mistura
VSG: velocidade superficial do gás
VSL: velocidade superficial do líquido
Vol: volume total do segmento de tubulação
VolL: volume ocupado pelo líquido no segmento de tubulação
𝜆𝐿: fração de líquido sem escorregamento (non-slip liquid holdup)
𝜇𝐺: viscosidade do gás
𝜇𝐿: viscosidade do líquido
𝜇𝑀: viscosidade de mistura
ρG: massa específica do gás
ρL: massa específica do líquido
𝜌𝑆: densidade de escorregamento
σ: tensão superficial
Φ: função genérica
Ω: função utilizada no cálculo do fator de atrito de Fanning
1
Capítulo 1
Introdução
O objeto de estudo desse trabalho é o escoamento bifásico em tubulações anulares.
Escoamento bifásico, como será visto mais detalhadamente no Capítulo 2, é o nome
dado ao escoamento que possui duas fases distintas. Um tubo anular é caracterizado
pela existência de dois tubos circulares, com o escoamento ocorrendo no espaço
delimitado pela parede interna do tubo externo (casing) e pela parede externa do tubo
interno (tubing).
É importante observar a dupla utilização do termo anular neste trabalho. Anular é o
nome dado à região entre as paredes de dois tubos, como citado anteriormente, sendo
também utilizado para nomear um dos padrões do escoamento multifásico. As duas
utilizações do termo são independentes; um escoamento anular não ocorre
necessariamente somente em regiões anulares, e uma região anular pode apresentar
escoamentos com padrões diferentes do anular.
1.1 Motivação
Escoamentos multifásicos em geometrias anulares são encontrados em diversas
obras da engenharia, e interesse diferenciado pode ser atribuído à indústria de petróleo,
devido à grande quantidade de aplicações do tema e ao importante papel desta indústria
para o país. Além da produção de óleo e gás, outras aplicações industriais podem ser
citadas, como trocadores de calor e reatores nucleares.
A ocorrência de escoamentos em anulares na indústria de petróleo pode ser
resultado de condições técnicas ou econômicas. Métodos de elevação artificial, poços de
alta produtividade de gás e poços com múltiplas completações são os principais
exemplos práticos da necessidade da utilização do espaço anular.
Pode-se considerar o tema fundamental para o correto entendimento e
otimização do processo de perfuração de poços. A lama e os outros fluidos de
perfuração escoam no espaço entre a coluna e a parede do poço, e o controle eficiente
desse escoamento pode auxiliar a prevenção de fenômenos indesejáveis, como a
ocorrência de kicks, caracterizados pela perda de controle do fluxo de hidrocarbonetos
do poço, normalmente devido a uma falha do controle de pressão. Nessa situação, é
2
importante ressaltar a complexa composição dos fluidos envolvidos, e uma análise
detalhada deve ser realizada para determinar as fases e substâncias significativas para a
modelagem do fenômeno.
1.2 Objetivo
O objetivo deste trabalho é realizar um simulador para a identificação de padrões de
escoamento bifásico em tubos verticais com geometria anular, realizando também o
cálculo da perda de carga e da fração de líquido para os padrões: pistonado, bolhas e
bolhas dispersas.
Dada a existência de um padrão de escoamento, é possível modelar o escoamento para
calcular parâmetros importantes para o projeto do sistema. No entanto, uma tarefa
central é predizer qual padrão de escoamento irá existir sob um conjunto de condições
operacionais, assim como qual é o par de vazões (líquido e gás) necessário para que
ocorra a transição entre os padrões.
Pode-se então enumerar os dois objetivos principais deste trabalho:
1. Determinação do mapa de padrões de escoamento e identificação do padrão
correspondente às variáveis de entrada.
2. Cálculo dos parâmetros de interesse (perda de carga e fração de líquido).
1.3 Revisão bibliográfica
Taitel, Barnea e Duckler (1980) realizaram modelos para prever padrões de
escoamentos permanentes bifásicos em tubos verticais. Foram desenvolvidos modelos
para prever as transições de padrões de escoamentos gás-líquido em regime permanente,
baseados nos mecanismos físicos que governam cada transição. Esses modelos
incorporam o efeito das propriedades dos fluidos e das dimensões da tubulação, sendo
assim livres das limitações de mapas empíricos de transição de escoamentos ou de
correlações. Sadatomi et al (1982) investigaram escoamentos gás-líquido e o fenômeno
de ascensão de bolhas em geometrias não circulares, recomendando o uso do diâmetro
equiperiférico como dimensão característica em tubos anulares concêntricos. Extensa
pesquisa, teórica e experimental, em escoamentos bifásicos verticais em espaços
anulares foi realizada por Caetano (1984). Seu trabalho incluiu a determinação
experimental de mapas de padrões de escoamento, da velocidade de ascensão da bolha
de Taylor, da fração líquida média volumétrica e da perda de carga. Foram propostos
modelos físicos e matemáticos para cada tipo de escoamento, possibilitando a previsão
3
do padrão em geometrias anulares, assim como o cálculo da perda de carga e da fração
líquida. A primeira tentativa de identificação dos padrões de escoamento em anulares de
maneira menos subjetiva (sem depender de inspeções visuais) foi realizada por
Kelessidis e Duckler (1989), que utilizaram métodos experimentais e analisaram a
função densidade de probabilidade de sinais elétricos emitidos ao longo da tubulação.
As estruturas dos padrões foram estudadas por Nakoryakov et al (1990), com a
proposta de novos modelos matemáticos, no entanto para tubulações de pequeno
diâmetro. Caetano, Brill e Shoham (1992) publicaram dois artigos revisando o trabalho
de Caetano (1984) e propondo modificações do modelo. A fração de vazio em tubos
anulares verticais e inclinados foi estudada por Hasan e Kabir (1992). Lage e Time
(2000) utilizaram o modelo proposto por Caetano (1984) como ponto de partida para a
construção de um novo modelo mecanicista para escoamentos em anulares.
1.4 Organização do trabalho
Após o capítulo introdutório, o trabalho é composto por três partes principais.
No capítulo 2, Escoamento Bifásico, os principais conceitos teóricos são
apresentados, sendo fundamentais para a compreensão dos capítulos seguintes.
No capítulo 3, Modelagem, os modelos físicos e matemáticos retirados da
literatura e utilizados para o desenvolvimento do simulador são descritos,
acompanhados de resultados de simulações numéricas realizadas.
No capítulo 4, O Simulador, são apresentados os algoritmos fundamentais para a
compreensão do código, além de informações referentes aos dados de entrada e de saída
do programa.
As considerações finais são realizadas no capítulo 5, seguidas das referências
bibliográficas e do apêndice, que contém o código do simulador.
4
Capítulo 2
Escoamento Bifásico Neste capítulo são apresentados conceitos teóricos referentes ao escoamento bifásico.
2.1 Definição
Fase é um dos estados da matéria, podendo ser gás, líquido ou sólido. Escoamento
multifásico é o escoamento simultâneo de diversas fases, sendo escoamento bifásico o
caso mais simples.
O termo “componente” pode ser utilizado quando as fases não consistem da mesma
substância química. Por exemplo, escoamentos vapor-água são bifásicos, enquanto um
escoamento ar-água possui dois componentes. Alguns escoamentos com dois
componentes (normalmente líquido-líquido) possuem uma única fase, mas
frequentemente são denominados escoamentos bifásicos na literatura, sendo as fases
identificadas como o “componente contínuo” ou como o “componente descontínuo”.
Neste trabalho serão considerados sistemas gás-líquido, logo o termo bifásico possui
seu significado original, isto é, a presença de dois estados da matéria.
2.2 Métodos de análise
Escoamentos bifásicos obedecem todas as leis que regem a mecânica dos fluidos. As
equações serão somente mais complexas ou numerosas do que os casos monofásicos.
De acordo com Wallis (1964), as técnicas de análise para escoamentos unidimensionais
podem ser agrupadas em classes em ordem ascendente de sofisticação, dependendo da
quantidade de informação necessária para descrever o escoamento, como mostrado a
seguir:
Correlações: Correlação de dados experimentais de acordo com as variáveis de
interesse é uma maneira conveniente de se obter equações de projeto com um mínimo
de esforço analítico. As correlações mais simples são expressões matemáticas
facilmente resolvidas por computadores modernos, porém técnicas mais avançadas
utilizam análise dimensional para agrupar diversas variáveis em uma base lógica.
Correlações possuindo maior grau de generalidade auxiliam na busca por soluções
pertencentes aos limites estatísticos desejados, no entanto seu uso indiscriminado pode
5
ocasionar erros, pois pouca compreensão do fenômeno é necessária para correlacionar
dados.
Modelos analíticos simples: Modelos resultantes de análises simplificadas, que não
consideram todos os detalhes do escoamento, podem ser úteis para organizar resultados
experimentais e predizer parâmetros de projeto. Por exemplo, ao considerar o modelo
como homogêneo, os componentes são tratados como um pseudofluido com
propriedades médias, sem preocupações com a descrição detalhada do padrão do
escoamento.
Análise integral: A análise integral unidimensional começa com a definição de certas
funções que descrevem, por exemplo, a distribuição de velocidades ou concentrações
em um duto. Essas funções satisfazem condições de contorno apropriadas e as equações
da mecânica dos fluidos em forma integral.
Análise diferencial: Nessa análise os campos de velocidade e concentração são
deduzidos a partir das equações diferenciais pertinentes. Normalmente, após a hipótese
de fluxo unidimensional, as equações são escritas em médias temporais.
Neste trabalho serão utilizados modelos analíticos provenientes da base teórica da
mecânica dos fluidos, sendo suportados por correlações testadas em uma ampla gama de
dados experimentais.
2.3 Padrões de escoamento
2.3.1 Tipos de padrões
Quando uma mistura gás-líquido flui em sentido ascendente em um tubo vertical, as
duas fases podem estar distribuídas em certos padrões, cada um caracterizando a
distribuição radial e/ou axial do líquido e do gás. O escoamento normalmente é
consideravelmente caótico, sendo essas distribuições difíceis de serem descritas, no
entanto é possível classificar os principais tipos de escoamento de acordo com a figura a
seguir:
6
Figura 1 - Padrões de escoamento em tubulações anulares
Figura 2 - Vista superior de padrões de escoamento
(i) Bolhas: A fase gasosa é, distribuída uniformemente na forma de pequenas
bolhas discretas em uma fase líquida contínua, formando um escoamento
aproximadamente homogêneo na seção transversal do espaço anular. As
bolhas podem ocorrer em formato esférico ou alongado, sendo as esféricas
na ordem de 3 a 5 mm, bem menores quando comparadas às alongadas.
Nakoryakov et al (1990) registraram a estrutura de um escoamento em
bolhas em um espaço anular estreito:
7
Figura 3 - Estrutura do escoamento em bolhas, de acordo com Nakoryakov et al(1990)
(ii) Bolhas dispersas: Nesse padrão o gás está distribuído uniformemente em
bolhas discretas, em uma fase líquida contínua, no entanto bolhas de formato
esférico são as únicas observadas. As bolhas se movem aproximadamente de
forma retilínea no sentido ascendente.
(iii) Pistonado: A maior parte do gás está na forma de largas bolhas com forma
alongada, possuindo o diâmetro aproximadamente igual ao diâmetro da
tubulação. Elas se movem uniformemente para cima e são frequentemente
designadas como bolhas de Taylor. As bolhas de Taylor são separadas por
pistões de líquido contínuo contendo pequenas bolhas de gás. Entre as
bolhas de Taylor e a parede da tubulação, o líquido flui em sentido
descendente na forma de um fino filme.
(iv) Transitório/Agitante: Caracterizado por um movimento oscilatório, sendo
mais caótico e desordenado do que o escoamento pistonado. Na ocorrência
de altas vazões de gás, os pistões líquidos se encurtam e são sugados pela
fase gasosa, quebrando-se e unindo-se ao próximo pistão. As bolhas de
Taylor se estreitam e sua forma é distorcida. A continuidade do líquido nos
pistões entre sucessivas bolhas de Taylor é repetidamente destruída pela alta
8
concentração local de gás no pistão. No caso pistonado, o líquido entre duas
bolhas de Taylor se move a uma velocidade constante. No transitório o
pistão líquido é muito curto para suportar uma ponte líquida estável entre
duas bolhas de Taylor consecutivas. O filme em queda em torno das bolhas
penetra profundamente no pistão líquido criando uma mistura aerada
altamente agitada, e o pistão líquido parece se desintegrar e cair para dar
início a outro movimento caótico. O líquido se acumula novamente em um
nível mais baixo no próximo pistão onde a continuidade líquida é restaurada,
e o pistão retorna a seu movimento ascendente. Logo, existe um movimento
oscilatório, que é a característica principal deste escoamento. É possível
identificar esse escoamento com base na agitação que aparece na região
gasosa e se assemelha a uma espuma, ou ainda com base na instabilidade do
filme líquido adjacente à bolha de Taylor. Este regime possui características
que se alternam entre escoamento pistonado e anular.
(v) Anular: É caracterizado pela continuidade da fase gasosa ao longo do núcleo
da tubulação, sendo normalmente simétrico. A fase líquida se move para
cima parcialmente como um filme líquido ondulante e parcialmente na forma
de gotas presentes no núcleo gasoso. A espessura do filme externo sempre é
maior do que a do interno.
2.3.2 Mapas de padrões de escoamento
Os mapas são representações gráficas utilizadas para determinar o padrão de
escoamento correspondente às variáveis de entrada. Existe certa discordância entre a
melhor forma de apresentação dos mapas de padrões de escoamento. Uma lista dos
mapas já publicados para escoamentos bifásicos em tubos verticais foi apresentada por
Shoham (1982), sendo uma parte da mesma apresentada na tabela abaixo:
Autor Ano Diâmetro da tubulação (cm) Sistema Coordenadas do Mapa
Kosterin 1949 2.54 ar-água VSG/VM,VM
Kozlov 1954 2.54 ar-água VSG/VM,V²M/gD
Griffith e Wallis 1961 1.2 a 5.75 vapor-água VSG/VM,V²M/gD
Duns e Ros 1963 8 água-óleo VSG(ρL/gσ)1/4
,VSL(ρL/gσ)1/4
Sterling 1965 2.54 ar-água VSL,VSG
Wallis 1969 2.54 ar-água VSL,VSG
Hewitt e Roberts 1969 3.18 ar-água ρGV²SG,ρLV²SL
Tabela 1 - Mapas de escoamento já publicados, de acordo com Shoham (1982)
9
Neste trabalho serão adotadas como coordenadas dos mapas as velocidades superficiais
do líquido e do gás, por serem variáveis facilmente controladas e medidas, o que é
refletido na grande utilização das mesmas por especialistas da área.
A seguir está um exemplo de mapa publicado por Hasan e Kabir (1992):
Figura 4 - Exemplo de mapa de escoamento, de acordo com Hasan e Kabir (1992)
2.3.3 Mecanismos físicos de transição
Para interpretar corretamente e predizer as condições de transição, é essencial
compreender o mecanismo por qual cada transição de escoamento ocorre. Cada padrão
e transição particulares observados dependem das vazões das fases, das propriedades do
fluido e das dimensões da tubulação. A natureza dessa dependência é diferente para
cada transição, porque cada uma é governada por um mecanismo diferente (Taitel,
Barnea e Duckler, 1980). Modelos físicos que descrevem transições serão apresentados
e usados posteriormente para desenvolver equações de transição, que podem ser
utilizadas para construir mapas.
(i) Transição de bolhas ou bolhas dispersas para pistonado: A transição do
regime de bolhas, observado a menores vazões de gás, para pistonado requer
um processo de aglomeração ou coalescência. Somente assim bolhas
discretas podem ser combinadas em maiores espaços de vapor, possuindo
10
um diâmetro próximo ao tubo e comprimentos maiores, como observado no
escoamento pistonado. Com o aumento da vazão de gás, a densidade de
bolhas aumenta. Esse espaçamento menor entre as bolhas resulta num
aumento da taxa de aglomeração. Se a quebra de bolhas é suficientemente
intensa para prevenir nova aglomeração das bolhas, o padrão em bolhas é
mantido. Logo, para predizer as condições dessa transição, é necessário
determinar qual desses fenômenos (quebra ou coalescência) irá dominar o
processo.
Quando gás é introduzido a baixas vazões em uma coluna vertical de líquido
(fluindo a velocidades baixas), a fase gasosa é distribuída em bolhas
discretas. Se as bolhas são suficientemente pequenas, elas se comportam
como esferas rígidas ascendendo verticalmente em movimento retilíneo
(bolhas dispersas). No entanto, após um tamanho crítico (aproximadamente
0,15cm para ar-água a pressão baixa), as bolhas começam a se deformar, e o
movimento ascendente segue uma trajetória em ziguezague altamente
aleatória. As bolhas colidem e coalescem aleatoriamente, formando certo
número de bolhas maiores com o formato alongado similar às bolhas de
Taylor do escoamento pistonado, mas com diâmetros inferiores ao da
tubulação. Logo, mesmo na ocorrência de vazões baixas de líquido e gás, o
escoamento em bolhas é caracterizado por um grupo de bolhas menores se
movendo aleatoriamente, com a ocasional criação de bolhas maiores
alongadas. Essas bolhas de Taylor não são largas o suficiente para ocupar a
seção transversal do tubo nem para causar o escoamento pistonado descrito
anteriormente. Elas se comportam como vazios esféricos em livre ascensão,
como originalmente descritos por Taylor. Com o aumento da vazão de gás,
em vazões líquidas baixas, a densidade de bolhas aumenta e um ponto é
alcançado onde as bolhas estão agrupadas tão proximamente que várias
colisões ocorrem e a taxa de aglomeração em bolhas maiores aumenta
intensamente. Isso resulta na transição para escoamento pistonado.
(ii) Transição de pistonado para transitório: O padrão pistonado se desenvolve
do padrão bolhas quando a vazão de gás aumenta até um valor crítico que
força as bolhas a coalescerem. Nesse ponto, se o processo de aglomeração
continua, as bolhas de Taylor ocupam a maior parte da seção transversal e
são axialmente separadas por um pistão líquido onde bolhas menores estão
11
dispersas. O líquido confinado entre a bolha e a parede da tubulação flui
como um filme em queda. Aumentando ainda mais a vazão de gás, a
transição para escoamento transitório ocorre. É consideravelmente difícil
identificar precisamente a transição entre escoamento pistonado e transitório,
pois a definição deste não é trivial. O mecanismo de transição pistonado-
transitório se baseia no fato que o último é um fenômeno da região de
entrada da tubulação associado com a existência de escoamento pistonado ao
longo dela. Ou seja, sempre que for observado o caso pistonado, as
condições próximas à entrada se assemelham ao transitório. Além disso, o
comprimento de entrada, ou a distância onde escoamento transitório pode ser
observado antes que um escoamento pistonado estável apareça, depende das
vazões de gás e líquido e das dimensões da tubulação.
O processo de desenvolvimento de um pistão estável próximo à seção de
entrada pode ser descrito da seguinte maneira: na entrada o gás e o líquido
introduzidos formam pistões líquidos curtos e bolhas de Taylor. Sabe-se que
um pistão líquido curto é altamente instável, entrando em queda e se unindo
ao próximo pistão líquido em ascensão, o que aproximadamente dobra o seu
comprimento. Nesse processo, as duas bolhas de Taylor das extremidades do
pistão, que se colapsa, se aglomeram. Esse processo se repete, aumentando o
comprimento do pistão líquido e da bolha de Taylor que se movem
ascendentemente, até que o pistão é longo o suficiente para ser estável e
formar uma ponte entre duas bolhas de Taylor consecutivas. Entre a entrada
e a posição onde o regime estável é atingido, o pistão líquido entra
alternadamente em queda e ascensão, que é a condição para escoamento
transitório. Com o aumento da vazão de gás, é evidente que o comprimento
dessa região de entrada aumenta a ponto de poder ocupar todo o
comprimento de qualquer seção de testes.
A figura a seguir ilustra, para uma tubulação simples, a bolha de Taylor, o
pistão líquido e o filme em queda:
12
Figura 5 - Representação do escoamento pistonado em tubulação simples
Transição de Transitório para Anular: Para altas vazões de gás, o escoamento se torna
anular. O filme líquido flui em sentido ascendente e adjacente à parede, e o gás flui no
centro carregando gotículas líquidas. O escoamento ascendente do filme líquido
resistindo à gravidade resulta de forças exercidas pelo núcleo gasoso que se move
rapidamente. Esse filme possui uma interface ondulante e as ondas tendem a se
fragmentar e entrar no núcleo gasoso na forma de gotículas que são arrastadas. Então, o
líquido que se move ascendentemente, devido a ambos os cisalhamentos das interfaces,
forma um tipo de força de arrasto nas ondas e nas gotículas. Logo, o escoamento anular
existirá somente se a velocidade de gás do núcleo é suficientemente alta para sustentar
as gotículas arrastadas. Quando a vazão de gás é insuficiente, as gotículas entram em
queda, se acumulam formando uma ponte, e há a ocorrência de escoamento pistonado
ou transitório.
13
2.4 Relações do escoamento bifásico
2.4.1 Fração de líquido (liquid holdup)
É definida como a razão do volume ocupado por líquido num segmento de tubo
e o volume total deste segmento:
𝐻𝐿=𝑉𝑜𝑙𝐿
𝑉𝑜𝑙 (2.1)
Onde:
HL=fração de líquido
VolL=volume ocupado pelo líquido no segmento de tubulação
Vol=volume total do segmento de tubulação
A fração de líquido é uma razão que varia de zero (fluxo puramente gasoso) a
um (fluxo puramente líquido). Para realizar a medição da fração de líquido, isola-se um
segmento do fluxo entre válvulas de fechamento rápido e mede-se a quantidade de
líquido capturado.
Pode-se, analogamente, definir a fração de gás (ou fração de vazio) como:
𝐻𝐺 = 1 − 𝐻𝐿 (2.2)
2.4.2 Velocidade real
A velocidade real de cada fase é definida como a razão entre a vazão
volumétrica da fase e a área que ocupa. Para um escoamento qualquer não é conhecido
o valor da área que cada uma das fases ocupa, logo este parâmetro pode não ser de
muita utilidade para a construção de modelos teóricos.
𝑉𝐹=𝑄𝐹
𝐴𝐹
(2.3)
Onde:
VF = velocidade real da fase
QF = vazão volumétrica da fase
AF = área da seção transversal ocupada pela fase
14
2.4.3 Velocidade superficial
A velocidade superficial de cada fase é definida como a razão entre a vazão
volumétrica da fase e a área da seção transversal da tubulação, portanto, uma grandeza
sempre conhecida. As velocidades superficiais individualmente não possuem
significado físico direto, pois não são sequer a velocidade média de cada fase (que deve
ser calculada a partir das áreas que cada fase ocupa). Entretanto, para o modelador, elas
são grandezas que podem ser definidas a partir dos dados de entrada. Deste modo são as
grandezas utilizadas nos modelos deste trabalho.
𝑉𝑆𝐿=𝑄𝐿
𝐴
(2.4)
Onde:
VSL=velocidade superficial da fase líquida
QL = vazão volumétrica da fase líquida
A= área da seção transversal da tubulação
𝑉𝑆𝐺=𝑄𝐺
𝐴 (2.5)
Onde:
VSG=velocidade superficial da fase gasosa
QG =vazão volumétrica da fase gasosa
As velocidades superficiais e reais estão relacionadas da seguinte maneira:
𝑉𝐿=𝑉𝑆𝐿
𝐻𝐿
(2.6)
𝑉𝐺=𝑉𝑆𝐺
𝐻𝐺 (2.7)
2.4.4 Velocidade da mistura
É a soma das velocidades superficiais de cada fase, sendo uma grandeza que se
conserva em cada seção do tubo.
𝑉𝑀=𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺 (2.8)
15
Capítulo 3
Modelagem
Neste capítulo são apresentados os modelos utilizados no desenvolvimento do
simulador.
3.1 Escolha do modelo
O modelo mais robusto encontrado na literatura, e que será utilizado neste trabalho, é o
proposto por Caetano (1984), levando em consideração modificações sugeridas por
Lage e Time (2000) e por Caetano, Brill e Shoham (1992). Caetano utilizou como ponto
de partida o modelo proposto por Taitel et al (1980). O modelo foi baseado em
experimentos com sistemas ar-água e ar-querosene, utilizando-se uma razão de
diâmetros de 0.553. Na página a seguir estão esquematizados cronologicamente os
trabalhos citados.
16
1980
Taitel, Barnea e Duckler
Modelling Flow Pattern Transitions for Steady Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Tubes
1984
Caetano
Two-Phase Flow in Vertical Annulus
1992
Caetano, Brill e Shoham
Upward Vertical Two-Phase Flow Through
an Annulus — Part II : Modeling Bubble ,
Slug , and Annular Flow
1992
Caetano, Brill e Shoham
Upward Vertical Two-Phase Flow Through
an Annulus — Part I : Single-Phase Friction
Factor , Taylor Bubble Rise Velocity , and
Flow Pattern Prediction
2000
Lage e Time
Mechanistic Model for Upward Two-Phase Flow in
Annuli
Figura 6 - Principais referências dos modelos utilizados
17
3.2 Parâmetros geométricos
Antes do detalhamento dos modelos, é necessário definir alguns parâmetros
geométricos que caracterizam a geometria anular. Como citado na introdução, um tubo
anular é caracterizado pela existência de dois tubos circulares, com o escoamento
ocorrendo no espaço delimitado pela parede interna do tubo externo (casing) e pela
parede externa do tubo interno (tubing).
Figura 7 - Geometria anular
Onde:
DT=Diâmetro externo do tubo interno
DC=Diâmetro interno do tubo externo
Definem-se os seguintes parâmetros geométricos:
Razão de diâmetros:
K=𝐷𝑇
𝐷𝐶
(3.1)
Diâmetro Hidráulico:
𝐷𝐻=𝐷𝐶-𝐷𝑇
(3.2)
Diâmetro equiperiférico:
𝐷𝐸𝑃=𝐷𝐶+𝐷𝑇
(3.3)
18
3.3 Valores de referência
Nesse capítulo serão demonstrados resultados obtidos com o simulador, variando-
se variáveis particulares e mantendo o valor de outras fixo. Foram escolhidos
alguns valores de referência para as propriedades utilizadas, permitindo uma
análise comparativa entre os diversos resultados. Desse modo, os valores de
referência utilizados são aproximações para os respectivos valores das
propriedades de ar e água:
(i) 𝜌𝐿= 1000 kg/m³
(ii) 𝜌𝐺= 1.2 kg/m³
(iii) 𝜇𝐿= 0.001 Pa.s
(iv) 𝜇𝐺= 0.00001 Pa.s
(v) σ=0.007 N/m
3.4 O fator de atrito de Fanning
3.4.1 Escoamento laminar
O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar em tubulações circulares é dado
por:
𝑓𝑡=𝐹𝑝
𝑅𝑒=
16
𝑅𝑒
(3.4)
Onde Fp é um parâmetro geométrico de atrito para tubulações simples. Para um tubo
anular concêntrico (Bird e Stewart, 1976):
𝑓𝐴𝐶=𝐹𝐴𝐶
𝑅𝑒=
16
𝑅𝑒
(1−𝐾)2
[1−𝐾4
1−𝐾2−1−𝐾²
𝑙𝑛 (1𝐾
)]
(3.5)
Logo:
𝐹𝐴𝐶=𝐹𝐴𝐶(K)=16(1−𝐾)2
[1−𝐾4
1−𝐾2−1−𝐾²
𝑙𝑛 (1𝐾
)]
(3.6)
19
Onde fAC é o fator de atrito de Fanning e FAC é o parâmetro geométrico de atrito para
tubos anulares concêntricos. Abaixo está o gráfico representando a variação de FAC em
função da razão de diâmetros, K.
Figura 8 - Fator geométrico de atrito
Percebe-se que quando a razão de diâmetros tende a 1, FAC tende a 24, que é o valor
para escoamento entre placas paralelas infinitas. (Caetano, Brill e Shoham, 1992a).
Fixando-se o valor de K em 0.5 e variando o número de Reynolds entre 150 e 2000, foi
obtido o seguinte resultado, em escala logarítmica:
20
Figura 9 - Fator de atrito de Fanning em escoamento laminar
3.4.2 Escoamento turbulento
Gunn e Darling (1963) utilizaram uma abordagem semi-empírica para estimar o fator de
atrito em escoamento turbulento para configurações não circulares. Foram utilizados
dados experimentais de escoamentos turbulentos em conjunto com características do
regime laminar para a mesma configuração. Uma conclusão importante alcançada por
Gunn e Darling é que a similaridade existente entre fatores de atrito para configurações
circulares e não circulares na região laminar é também acompanhada por uma
similaridade na região turbulenta. Utilizado análise dimensional, eles mostraram que
para escoamento turbulento em seções não circulares, a seguinte dependência funcional
para o fator de atrito existe:
𝑓𝑁𝐶=𝜙 (𝑅𝑒,𝐹𝐶
𝐹𝑁𝐶)
(3.7)
Onde:
fNC=fator de atrito para configurações não circulares
FC= parâmetro geométrico para configurações circulares
21
FNC=parâmetro geométrico para configurações não circulares
Para valores do número de Reynolds baixos, o fator de atrito é inversamente
proporcional à razão FC
FNC, enquanto para valores altos do número de Reynolds o fator de
atrito se torna independente dessa razão.
Foi utilizada a abordagem de Gunn e Darling para se desenvolver a seguinte equação
para o fator de atrito em anulares concêntricos (Caetano et al., 1992a):
1
{𝑓𝐴𝐶𝛺}0.5=4.0log(𝑅𝑒𝛺0.5)-0.4
(3.8)
𝛺=(
𝐹𝑇
𝐹𝐴𝐶)
0.45𝑒𝑥𝑝[−(𝑅𝑒−3000)/106]
(3.9)
Onde:
fAC= fator de atrito de Fanning para anular concêntrico em regime turbulento
FAC= parâmetro geométrico para anular concêntrico em regime laminar
FT= 16=parâmetro geométrico para tubulação simples em regime laminar
O método numérico utilizado para resolver a equação acima foi o método de Newton.
Para K=0.5 e variando o número de Reynolds entre 6000 e 106, foi obtido o seguinte
resultado, em escala logarítmica:
22
Figura 10 - Fator de atrito de Fanning em escoamento turbulento
Para definir um subconjunto do domínio matemático do modelo do fator de atrito de
Fanning para o regime turbulento, foram utilizados valores de K variando entre 0.01 e
100, e do número de Reynolds variando entre 2300 e 105. Para essa faixa de valores
foram encontradas soluções numéricas para o modelo. Os gráficos obtidos são
mostrados a seguir.
23
Figura 11 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista A
Figura 12 - Fator de atrito de Fanning para escoamento turbulento: vista B
24
3.5 Velocidade da bolha de Taylor
Como citado anteriormente, bolha de Taylor é o nome dado às bolhas alongadas
formadas pela fase gasosa, presentes principalmente no escoamento pistonado. Para
modelar corretamente este escoamento, é necessário o cálculo da velocidade de
ascensão dessas bolhas em colunas de líquido estagnado.
A velocidade terminal atingida por uma bolha em ascensão em uma coluna de líquido
estagnado é resultado das interações entre a força de flutuação e de forças que
dependem de seu tamanho e movimento. Desprezando a viscosidade da bolha, essas
forças são a inércia do líquido, o arrasto viscoso líquido e a tensão superficial gás-
líquido.
Para um tubo anular concêntrico, a velocidade da bolha de Taylor pode ser expressa,
utilizando o diâmetro equiperiférico (3.3) como dimensão característica, da seguinte
maneira (Sadatomi et al., 1982):
𝑉𝐵𝑇=0.345√𝑔𝐷𝐸𝑃
(3.10)
A equação acima é válida para sistemas dominados por efeitos inerciais. A condição
para que isso ocorra é (Caetano, 1984):
𝑁𝐸Ö >70
(3.11)
𝑁𝐸Ö é o número de Eötvos, definido como:
𝑁𝐸Ö=𝑔𝐿2(𝜌𝐿−𝜌𝐺)
𝜎
(3.12)
Onde L é o comprimento característico e 𝜎 é a tensão superficial.
25
3.6 Transições de padrões
3.6.1 Existência do escoamento em bolhas
A existência do escoamento em bolhas é determinada pelas diferentes
velocidades características das bolhas menores e das bolhas de Taylor. A velocidade de
pequenas bolhas discretas depende somente das propriedades físicas das fases, não
dependendo do diâmetro do tubo. No entanto, a velocidade de ascensão da bolha de
Taylor depende do diâmetro da tubulação.
Taitel et al. (1980) sugeriram que quando a velocidade de ascensão das bolhas
discretas é maior do que a velocidade da bolha de Taylor, elas se aproximam pela parte
de trás da última e ocorre a coalescência das mesmas. Neste caso o escoamento em
bolhas não pode existir. Quando a velocidade da bolha de Taylor é maior, não há
aglomeração, pois as bolhas menores escorregam pela parte frontal da bolha de Taylor,
que desaparecerá permitindo a existência do escoamento em bolhas.
A velocidade de ascensão de uma bolha se movendo em um meio infinito, de
acordo com Harmathy (1960), é dada por:
𝑉0,∞=1.53 [
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐿2 ]
0.25
(3.13)
A velocidade da bolha de Taylor para condições inerciais dominantes no anular
é dada por:
𝑉𝐵𝑇=0.345√𝑔𝐷𝑒𝑝
(3.10)
O escoamento em bolhas pode existir se VBT>V0,∞. Logo, combinando as
equações acima, a condição de existência para esse padrão será:
𝐷𝐸𝑃 ≥19.7√
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝜎
𝑔𝜌𝐿2
(3.14)
26
3.6.2 Transição de bolhas para pistonado
Na ocorrência de velocidades superficiais de líquido baixas, a turbulência é pequena e a
transição de bolhas para pistonado é governada pelo mecanismo de aglomeração. Com o
aumento da vazão de gás, a densidade de bolhas aumenta até atingir um valor crítico.
Taitel et al (1980) sugeriram que para bolhas uniformemente distribuídas, a transição
ocorre quando a fração de gás atinge o valor de 0.25. Caetano (1984) realizou medidas
experimentais e mostrou que para espaços anulares esse valor deve ser reduzido para
0.20.
A velocidade in-situ do gás é a soma da velocidade in-situ do líquido e da velocidade de
ascensão das bolhas. Logo:
𝑉𝐺=𝑉𝐿+𝑉0
(3.15)
Wallis (1964) utilizou uma correção para V0,∞ quando há um conjunto de bolhas:
𝑉0=𝑉0,∞(1 − 𝐻𝐺)𝑛
(3.16)
Onde V0,∞ é calculado através da equação 3.13 e n é determinado a partir de dados
experimentais. Nesse trabalho, será utilizado o valor de 0.5 para n, conforme
determinado por Caetano.
Sabe-se que:
𝑉𝐺=𝑉𝑆𝐺
𝐻𝐺
(2.7)
𝑉𝐿=𝑉𝑆𝐿
𝐻𝐿
(2.6)
𝐻𝐿=1-𝐻𝐺
(2.2)
27
Logo, é possível reescrever a equação 3.15 da seguinte maneira:
𝑉𝑆𝐺
𝐻𝐺=
𝑉𝑆𝐿
1−𝐻𝐺+𝑉0
(3.17)
Como HG=0.2 para que ocorra a transição:
𝑉𝑆𝐺=
𝑉𝑆𝐿
4.0+0.274[
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐿2 ]
0.25
(3.18)
A equação acima define a curva de transição T1 na figura 15.
3.6.3 Transição para bolhas dispersas
Forças de turbulência controlam a transição para escoamento em bolhas dispersas,
sendo mais intensas do que as forças de tensão superficial e rompendo bolhas maiores.
Caetano (1984) utilizou o diâmetro hidráulico nas equações obtidas por Shoham (1982)
e Taitel et al. (1980), obtendo boa concordância com os resultados experimentais, sendo
a equação desenvolvida apresentada abaixo:
2[
0.4𝜎
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔]
0.5
(𝜌𝐿
𝜎)
0.6
(2𝑓
𝐷𝐻)
0.4
𝑉𝑚1.2=0.725+4.15(
𝑉𝑆𝐺
𝑉𝑚)
0.5
(3.19)
Vm é a velocidade da mistura e f é o fator de atrito de Fanning, como calculado na seção
3.4. A equação acima define a curva de transição T2 na figura 15.
Esse critério se aplica para frações de gás menores que 0.52, que é o maior valor
permitido para a ocorrência de bolhas uniformemente distribuídas e dispostas
espacialmente em uma rede cúbica. Para frações de gás maiores, independente da
energia de turbulência disponível, esse escoamento não pode existir, pois as bolhas
estão tão proximamente distribuídas que ocorre coalescência e o surgimento do
escoamento pistonado. Como visto anteriormente:
𝑉𝐺=𝑉𝐿+𝑉0
(3.15)
28
Considerando V0 desprezível a altas vazões de gás e utilizando Hg=0.52 como condição
limite, obtém-se a equação de transição para altas vazões de gás:
𝑉𝑆𝐿=0.92𝑉𝑆𝐺
(3.20)
A equação acima define a curva de transição T3 na figura 15.
Variando-se K e 𝐷𝐻 entre 0.001 e 1, na equação 3.19, e utilizando 𝑉𝑆𝐺 = 0.1, observa-se
o seguinte comportamento de 𝑉𝑆𝐿, para os valore de referência:
Figura 13 - Velocidade superficial de líquido na transição para bolhas dispersas
3.6.4 Transição para escoamento anular:
Esse critério é baseado na velocidade de gás necessária para sustentar as gotículas de
líquido carregadas. A velocidade mínima de gás para balancear as forças da gravidade e
de arrasto que agem nas gotículas maiores é (Lage e Time, 2000):
𝑉𝑆𝐺=3.1[
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐺2 ]
0.25
(3.21)
A equação acima define a curva de transição T4 na figura 15.
29
3.7 Fração de líquido
3.7.1 Escoamento em bolhas
A modelagem da fração de líquido para o escoamento em bolhas se baseia no fato de
que a velocidade de ascensão da bolha no meio é independente das velocidades
superficiais de líquido e gás, e é equivalente a velocidade de escorregamento entre as
fases.
Como foi visto anteriormente, as velocidades in-situ de líquido e gás são dadas por:
𝑉𝐺=𝑉𝑆𝐺
1−𝐻𝐿
(2.7)
𝑉𝐿=𝑉𝑆𝐿
𝐻𝐿
(2.6)
A velocidade de escorregamento entre as fases é definida como:
𝑉𝐸=𝑉𝐺-𝑉𝐿
(3.22)
Substituindo as equações 2.6 e 2.7 na equação 3.22:
𝑉𝐸=𝑉𝑆𝐺
1−𝐻𝐿-
𝑉𝑆𝐿
𝐻𝐿
(3.23)
Substituindo a equação 3.13 na 3.16, a velocidade de ascensão de uma bolha solitária
em um meio líquido é dada por:
𝑉0=1.53 [
(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐿2 ]
0.25
𝐻𝐿𝑛
(3.24)
Como a velocidade acima é equivalente à velocidade de escorregamento, a fração de
líquido é obtida a partir da seguinte igualdade:
𝑉𝐸=𝑉0
(3.25)
Substituindo as equações 3.23 e 3.24 na equação 3.25, obtém-se:
30
𝐻𝐿𝑛+2-𝐻𝐿
𝑛+1+(𝑉𝑆𝐺+𝑉𝑆𝐿)𝐻𝐿
1.53[(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐿2 ]
0.25 - 𝑉𝑆𝐿
1.53[(𝜌𝐿−𝜌𝐺)𝑔𝜎
𝜌𝐿2 ]
0.25=0
(3.26)
Onde o valor de n utilizado é 0.5.
Devido à natureza implícita da equação, foi utilizado um método numérico para
obtenção da fração de líquido. O método utilizado foi o método de Newton.
Abaixo está o resultado do cálculo da fração de líquido para escoamento de bolhas,
utilizando os valores de referência e variando as velocidades superficiais de líquido
(entre 0.1 e 10 m/s) e gás (entre 0.1 e 100 m/s):
Figura 14 - Fração de líquido para escoamento em bolhas
É importante ressaltar que o gráfico acima possui significado físico limitado, visto que
somente um conjunto reduzido de valores do domínio se caracterizará como escoamento
em bolhas. O objetivo principal é demonstrar o comportamento do modelo matemático.
31
3.7.2 Escoamento em bolhas dispersas
Nesse padrão as bolhas de gás não exibem escorregamento significativo em relação à
fase líquida, devido à alta velocidade do líquido. Logo:
𝑉𝐺=𝑉𝐿
(3.27)
𝑉𝑆𝐺
1−𝐻𝐿=
𝑉𝑆𝐿
𝐻𝐿
(3.28)
𝐻𝐿=𝑉𝑆𝐿
𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺
(3.29)
3.7.3 Escoamento pistonado
Para o padrão pistonado, a modelagem da fração de líquido se baseia na velocidade de
ascensão da bolha de Taylor. Assume-se que a velocidade in-situ da bolha de Taylor é
igual à velocidade in-situ do gás.
A velocidade in-situ da bolha de Taylor é o somatório da velocidade de uma bolha de
Taylor solitária em uma coluna de líquido estagnado e da máxima velocidade in-situ da
fase líquida.
Assume-se um perfil turbulento para a fase líquida e que sua velocidade in-situ média é
igual à velocidade de mistura, logo:
𝑉𝐺=𝑉𝐵𝑇 + 1.2𝑉𝑀
(3.30)
Substituindo as equações 3.10 e 2.8 na equação acima:
𝑉𝐺=0.35√𝑔(𝐷𝐶 + 𝐷𝑇) + 1.2(𝑉𝑆𝐿 + 𝑉𝑆𝐺)
(3.31)
Como 𝑉𝐺=𝑉𝑆𝐺
1−𝐻𝐿, é possível obter a seguinte equação para o cálculo da fração de líquido:
𝐻𝐿=
0.35√𝑔(𝐷𝐶+𝐷𝑇)+1.2𝑉𝑆𝐿+0.2𝑉𝑆𝐺
0.35√𝑔(𝐷𝐶+𝐷𝑇)+1.2(𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)
(3.32)
32
3.8 Gradiente de pressão
O gradiente de pressão total para escoamentos permanentes é composto por três
componentes:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝑇=(
𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐺+(
𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐹+(
𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐴
(3.33)
Onde:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐺= perdas gravitacionais, ou gradiente de pressão hidrostática
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐹=perdas por atrito
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐴=perdas devido à aceleração convectiva, ou variação da energia cinética
3.8.1 Escoamento em bolhas e pistonado
Esses dois padrões são analisados de forma análoga, baseado na natureza de
escorregamento desses tipos de escoamento. O componente gravitacional é avaliado a
partir da densidade de escorregamento (slip density), definida como:
𝜌𝑆=𝜌𝐿𝐻𝐿+𝜌𝐺(1 − 𝐻𝐿)
(3.34)
O termo em questão é calculado utilizando-se a definição acima:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐺=𝜌𝑆g
(3.35)
O escoamento em bolhas é dominado por uma fase líquida aproximadamente
incompressível. Logo, as variações na densidade da mistura não são significativas, o
que torna as velocidades das fases aproximadamente constantes, tornando possível
desprezar as perdas por variação da energia cinética.
A densidade de escorregamento também é utilizada no cálculo das perdas por atrito:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐹=4
𝑓
𝐷𝐻𝜌𝑆
𝑉𝑀2
2
(3.36)
33
A equação acima pode ser escrita da seguinte maneira, quando utilizadas as definições
do diâmetro hidráulico e da velocidade de mistura:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐹=4
𝑓
(𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑆
(𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2
2
(3.37)
O fator de atrito de Fanning, f, é calculado conforme demonstrado na seção 3.4. O
número de Reynolds para o escoamento em bolhas é definido como:
𝑅𝑒=𝜌𝑆𝑉𝑀𝐷𝐻
𝜇𝑀
(3.38)
Onde 𝜇𝑀, a viscosidade de mistura, é definida como:
𝜇𝑀=𝜇𝐿𝜆𝐿+𝜇𝐺(1 − 𝜆𝐿)
(3.39)
𝜆𝐿 é a fração de líquido sem escorregamento (non-slip liquid holdup), termo utilizado
para ponderar as propriedades das fases no cálculo da viscosidade de mistura, que é
definido como:
𝜆𝐿=𝑉𝑆𝐿
𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺
(3.40)
Combinando as equações acima, o gradiente de pressão total para escoamento em
bolhas é dado por:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝑇=𝜌𝑆g+4
𝑓
(𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑆
(𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2
2
(3.41)
Logo, o gradiente de pressão para esse padrão de escoamento é função de:
(i) Parâmetros geométricos: 𝐷𝐶 e 𝐷𝑇
(ii) Propriedades físicas do fluido: 𝜌𝐿, 𝜌𝐺 , 𝜇𝐿, 𝜇𝐺 e 𝜎
(iii) Parâmetros do escoamento: 𝑉𝑆𝐿, 𝑉𝑆𝐺, 𝜆𝐿e 𝐻𝐿
34
3.8.2 Escoamento em bolhas dispersas
O conceito básico para modelar esse padrão de escoamento é sua natureza
homogênea e sem escorregamento. Para o cálculo das propriedades médias
do fluido, é utilizada a densidade de mistura, definida como:
𝜌𝑀=𝜌𝐿𝜆𝐿+𝜌𝐺(1 − 𝜆𝐿)
(3.42)
O componente de perdas por aceleração é desprezado, pois o escoamento da
mistura é considerado em regime permanente. Utilizando as propriedades
médias do fluido, é possível calcular os outros componentes do gradiente de
pressão da seguinte maneira:
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐺=𝜌𝑀g
(3.43)
(𝑑𝑝
𝑑𝑧)
𝐹=
4𝑓
(𝐷𝐶−𝐷𝑇)𝜌𝑀
(𝑉𝑆𝐿+𝑉𝑆𝐺)2
2
(3.44)
O fator de atrito de Fanning é calculado utilizando-se o método descrito na
seção 3.4. O número de Reynolds utilizado é definido como:
𝑅𝑒=𝜌𝑀𝑉𝑀𝐷𝐻
𝜇𝑀
(3.45)
35
Capítulo 4
O Simulador
Utilizando os modelos físicos e matemáticos descritos anteriormente, foi desenvolvido
um simulador, objetivo principal deste trabalho, como citado anteriormente. O código
foi escrito em Python, com o auxílio de algumas rotinas importadas das bibliotecas
NumPy e SciPy, principalmente para resolução numérica de equações.
4.1 Dados de entrada e de saída
O simulador gera quatro resultados principais (outputs):
(i) Mapa de padrões de escoamento.
O Mapa de padrões de escoamento é apresentado na forma de um gráfico em
escala logarítmica, onde as velocidades superficiais de gás e líquido são as
coordenadas dos eixos.
(ii) Padrão de escoamento.
É informado o padrão de escoamento correspondente às variáveis de entrada.
O ponto correspondente às velocidades superficiais inseridas pelo usuário é
mostrado no mapa, com a legenda “Input value”.
(iii) Fração de líquido.
(iv) Gradiente de pressão.
Também são gerados, como outputs secundários (as curvas abaixo estão indicadas na
figura 15):
(v) (X,Y): Ponto de interseção entre as curvas de transição T1 e T2.
(vi) (X2,Y2): Ponto de interseção entre as curvas de transição T2 e T3.
(vii) (X3,Y3): Ponto de interseção entre as curvas de transição T3 e T4.
Os mapas gerados pelo simulador delimitam os quatro padrões de escoamento
estudados: bolhas, bolhas dispersas, pistonado e anular. Todos os mapas gerados
possuirão certa similaridade visual, sendo os padrões correspondentes a cada região
indicados na figura a seguir:
36
Figura 15 - Informações adicionais do mapa gerado pelo simulador
Os dados de entrada exigidos pelo simulador são:
(i) Velocidade superficial do líquido
(ii) Velocidade superficial do gás
(iii) Densidade do líquido
(iv) Densidade do gás
(v) Tensão superficial
(vi) Diâmetro interno da tubulação externa
(vii) Diâmetro externo da tubulação interna
(viii) Viscosidade do líquido
(ix) Viscosidade do gás
A figura 15 não é o mapa retornado ao usuário, contendo informações adicionais
para melhor compreensão das diversas regiões. O mapa gerado pelo simulador é
mostrado a seguir, com a marcação “Input value” no ponto correspondente aos
dados de entrada:
38
4.2 Algoritmos
O algoritmo simplificado do código está demostrado abaixo:
Figura 17 - Algoritmo simplificado do simulador
39
Nomeando as funções correspondente às curvas de transição como T1(Vsg),
T2(Vsg), T3(Vsg) e T4(Vsl)=constante, o algoritmo para identificar o padrão de
escoamento correspondente aos dados de entrada é:
Figura 18 - Algoritmo para identificação do padrão de escoamento
40
Capítulo 5
Considerações Finais
5.1 Conclusão
Foi desenvolvido um simulador baseado nos modelos apresentados no Capítulo 3, não
apresentando problemas de convergência nas faixas de valores próximas às utilizadas
por Caetano (1984) em seu trabalho. O simulador é válido para escoamentos bifásicos,
no entanto a modelagem foi baseada principalmente nos experimentos de Caetano
(1984), que utilizou sistemas ar-água e ar-querosene para coleta dos dados. Logo,
qualquer alteração da composição do sistema é uma extrapolação do modelo, e deve ser
evitada, a menos que os fluidos apresentem propriedades físicas aproximadamente
iguais. Analogamente, a utilização de razões de diâmetro diferentes de 0.553 deve ser
considerada uma extrapolação do modelo.
5.2 Trabalhos futuros
Entre as possíveis melhorias a serem implementadas, pode-se citar:
(i) Consideração da excentricidade da tubulação anular.
(ii) Consideração da inclinação da tubulação.
(iii) Definição do domínio físico e matemático dos modelos.
(iv) Cálculo do gradiente de pressão e fração de líquido para o padrão anular.
(v) Utilização de um modelo para o cálculo do gradiente de pressão em
escoamento pistonado mais robusto, que considere o efeito das bolhas de
Taylor.
41
Referências Bibliográficas
Bird, & Stewart. (1976). Transport Phenomena.
Caetano, E. F. (1984). Two-Phase Flow in Vertical Annulus.
Caetano, E. F., Brill, J. P., & Shoham, O. (1992a). Upward Vertical Two-Phase Flow
Through an Annulus — Part I : Single-Phase Friction Factor , Taylor Bubble Rise
Velocity , and Flow Pattern Prediction. ASME Trans., 114(March 1992).
Caetano, E. F., Brill, J. P., & Shoham, O. (1992b). Upward Vertical Two-Phase Flow
Through an Annulus — Part II : Modeling Bubble , Slug , and Annular Flow.
ASME Trans., Vol.114(March 1992).
Gunn, & Darling. (1963). Fluid Flow and Energy Losses in Non-Circular Conduits.
Harmathy. (1960). Velocity of Large Drops and Bubbles in Media of Infinite or
Restricted Extent.
Hasan, A.R., Kabir, C. S. (1992). Two-Phase Flow in Vertical and Inclined Annuli. Int.
J. Multiphase Flow, Vol. 18, N, pp.279–293.
Kelessidis, V. C., & Duckler, A. E. (1989). Modeling Flow Pattern Transitions for
Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Concentric and Eccentric Annuli. Int. J.
Multiphase Flow, Vol. 15, N, pp. 173–191.
Lage, A. C. V. M., & Time, R. W. (2000). Mechanistic Model for Upward Two-Phase
Flow in Annuli. SPE 63127.
Nakoryakov, V.E., Kuznetsov, V.V., Vitovsky, O. V. (1990). Experimental
Investigation of Upward Gas-Liquid Flow in a Vertical Narrow Annulus. Int. J.
Multiphase Flow, Vol. 18, N, pp. 313–326.
Sadatomi, M., Sato, Y., & Saruwatari, S. (1982). Two-Phase Flow in Vertical
Noncircular Channels. Int. J. Multiphase Flow, Vol. 8, No, pp. 641–655.
Shoham, O. (1982). Flow Pattern Transition and Characterization in Gas-Liquid Two
Phase Flow in Inclined Pipes.
Taitel, Y., Barnea, D., & Duckler, A. E. (1980). Modelling Flow Pattern Transitions for
Steady Upward Gas-Liquid Flow in Vertical Tubes. AIChE Journal, Vol. 26, N.
Wallis, G. B. (1964). One-dimensional Two-phase Flow.
42
Apêndice
Código do simulador (sem identações).
def masterannuli(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
from scipy.optimize import newton
##########################################
g=9.81
##########################################
(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)=(float(vsL),float(vsG),float(rhoL),float(
rhoG),float(sigma),float(dC),float(dT),float(viscL),float(viscG))
#TRANSITIONS
##########################################
#BUBBLE TO SLUG
def BUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma):
n=0.5
alfa=0.2
v0inf=1.53*((((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoL**2))**0.25)
v0=v0inf*(1-alfa)**n
vsL=4.*vsG-0.8*v0
return vsL
##########################################
#BUBBLE/SLUG TO DISPERSED BUBBLE
from math import exp
#Fanning factor
import numpy
def solverFanning(reynolds,Fca):
def f(w):
return 1./w-4*numpy.log10(reynolds*w)+0.4
estimativa=newton(f,0.005)
Fp=16.
grupo1=(Fp/Fca)**(0.45*exp(-(reynolds-3000)/(10**6)))
fca=estimativa**2/grupo1
return fca
def Fanningfactor(K,reynolds):
from math import log
constanteA=(1-K**4)/(1-K**2)
constanteB=(1-K**2)/log(1/K)
constanteC=(1-K)**2
Fca=16.*constanteC/(constanteA-constanteB)
if reynolds<2300:
fca=Fca/reynolds
else:
fca=solverFanning(reynolds,Fca)
return fca
#transition
def DISPBUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
void=0
43
dH=dC-dT
K=dT/dC
grupo1=((0.4*sigma)/((rhoL-rhoG)*g))**0.5
grupo2=(rhoL/sigma)**(0.6)
grupo3=(2/dH)**0.4
aux=2*grupo1*grupo2*grupo3
vsLe=5 #estimativa inicial
ratio=2 #valor arbitratio inical
while ratio<0.999 or ratio>1.001:
if void==0:
vM=vsLe+vsG
hg=vsG/vM
else: #void>0
hg=void
vsG=hg*vsLe/(1-hg)
vM=vsLe+vsG
rhoM=rhoL*(1-hg)+rhoG*hg
viscM=viscL*(1-hg)+viscG*hg
reynolds=(rhoM*vM*dH)/viscM
f=Fanningfactor(K,reynolds)
grupo4=f**0.4
eq1=0.725+4.15*(hg**0.5)
eq2=aux*grupo4
vMc=(eq1/eq2)**0.9091
ratio=vMc/vM
if void>0:
vsGc=hg+vMc
vsLc=vMc-vsGc
vsLe=(vsLe+vsLc)/2.
else:
vsLc=vMc-vsG
vsLe=(vsLc+vsLe)/2.
vsL=vsLe
if void>0:
vsG=vMc*hg
return vsL
##########################################
#SLUG TO DISPERSED BUBBLE
def DISPBUBBLE2transition(vsG):
vsL=0.92*vsG
return vsL
##########################################
#ANNULAR
def ANNULARtransition(rhoL,rhoG,sigma):
g=9.81
vsG=3.1*(((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoG**2))**0.25
return vsG
##########################################
#INTERSECTIONS
def intersections(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
44
def findIntersection(f1,f2,x0):
if f1==BUBBLEtransition and f2==DISPBUBBLEtransition:
func=lambda x:BUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma) -
DISPBUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)
elif f1==DISPBUBBLEtransition and f2==DISPBUBBLE2transition:
func=lambda x : DISPBUBBLEtransition(x,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)-
DISPBUBBLE2transition(x)
return newton(func,x0)
##########################################
Xintersect = findIntersection(BUBBLEtransition,DISPBUBBLEtransition,0.1)
Yintersect=BUBBLEtransition(Xintersect,rhoL,rhoG,sigma)
############################################
X2intersect=findIntersection(DISPBUBBLEtransition,DISPBUBBLE2transition,0.5)
Y2intersect=DISPBUBBLE2transition(X2intersect)
###########################################
X3intersect=3.1*(((rhoL-rhoG)*g*sigma)/(rhoG**2))**0.25
Y3intersect=0.92*X3intersect
##########################################
x_A=numpy.linspace(0.01,Xintersect,500)
x_B=numpy.linspace(0.0001,X2intersect,500)
x_C=numpy.linspace(X2intersect,X3intersect,500)
y_D=numpy.linspace(0.0001,Y3intersect,500)
#print "x_A=",x_A
#print "y=",[BUBBLEtransition(k,rhoL,rhoG,sigma) for k in x_A]
return
Xintersect,Yintersect,X2intersect,Y2intersect,X3intersect,Y3intersect,x_A,x_B,x_C,y_
D
##########################################
#GRAPH
def generategraph(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
import pylab as plt
Xintersect,Yintersect,X2intersect,Y2intersect,X3intersect,Y3intersect,x_A,x_B,x_C,y_
D=intersections(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)
fig=plt.figure(figsize=(15,15))
plt.loglog(x_A,[BUBBLEtransition(i,rhoL,rhoG,sigma) for i in
x_A],x_B,[DISPBUBBLEtransition(i,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG) for i in
x_B],x_C,[DISPBUBBLE2transition(i) for i in x_C],[X3intersect for i in
y_D],y_D,Xintersect,Yintersect,"ko",X2intersect,Y2intersect,"ko",X3intersect,Y3inters
ect,"ko",vsG,vsL,"ro")
plt.xlim(min(x_A),100)
plt.ylim(0.001,100)
plt.title("Flow Patterns - Upward Two-Phase Flow in Annuli",fontsize=22)
plt.ylabel('Superficial Liquid Velocity (m/s)',fontsize=18)
plt.xlabel("Superficial Gas Velocity (m/s)",fontsize=18)
plt.annotate("Input value",xy=(vsG,vsL),xytext=(vsG,vsL),fontsize=14,color="red")
#plt.close(fig)
return fig
##########################################
def predictionpattern(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
45
Xintersect,Yintersect,X2intersect,Y2intersect,X3intersect,Y3intersect,x_A,x_B,x_C,y_
D=intersections(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)
if vsG>=X3intersect:
pattern="Annular"
elif X2intersect<=vsG<X3intersect:
if vsL>=DISPBUBBLE2transition(vsG):
pattern="Dispersed Bubble"
else:
pattern="Slug"
elif Xintersect<=vsG<X2intersect:
if vsL>=DISPBUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
pattern="Dispersed Bubble"
else:
pattern="Slug"
else:
if vsL>=DISPBUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
pattern="Dispersed Bubble"
elif
BUBBLEtransition(vsG,rhoL,rhoG,sigma)<=vsL<DISPBUBBLEtransition(vsG,rhoL,r
hoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG):
pattern="Bubble"
else:
pattern="Slug"
return pattern
##########################################
#LIQUID HOLDUP
def BUBBLEliquidholdup(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma):
n=0.5
vM=vsL+vsG
aux=1.53*(g*(rhoL-rhoG)*sigma/(rhoL**2))**0.25
def function(x):
return x**(n+2.)-x**(n+1.)+vM*x/aux-vsL/aux
def function2(x):
return (2+n)*(x**(n+1))-(n+1)*(x**n)+vM/aux
if function2(0.5)==0:
x0=0.6
else:
x0=0.5
hL=newton(function,x0,fprime=function2)
return hL
##########################################
def DISPBUBBLEliquidholdup(vsL,vsG):
hL=vsL/(vsL+vsG)
return hL
##########################################
def SLUGliquidholdup(dC,dT,vsL,vsG):
num=0.35*(g*(dC+dT))**0.5+1.2*vsL+0.2*vsG
den=0.35*(g*(dC+dT))**0.5+1.2*(vsL+vsG)
hL=num/den
return hL
46
##########################################
#PRESSURE GRADIENT
def BUBBLEpressuregradient(hL,vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG):
#cálculo fator de atrito
lambdaL=vsL/(vsL+vsG) #non-slip liquid holdup
viscM=viscL*lambdaL+viscG*(1-lambdaL)
vM=vsL+vsG
dAN=dC-dT
rhoS=rhoL*hL+rhoG*(1-hL)
reynolds=(rhoS*vM*dAN)/viscM
K=dT/dC
f=Fanningfactor(K,reynolds)
#cálculo do gradiente de pressão
dpdzG=g*rhoS
dpdzA=0
dpdzF=(4*f/dAN)*rhoS*(vM**2)/2
dpdzT=dpdzG+dpdzF+dpdzA
return dpdzT
##########################################
def DISPBUBBLEpressuregradient(vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG):
#cálculo fator de atrito
lambdaL=vsL/(vsL+vsG) #non-slip liquid holdup
viscM=viscL*lambdaL+viscG*(1-lambdaL)
vM=vsL+vsG
dAN=dC-dT
K=dT/dC
rhoM=rhoL*lambdaL+rhoG*(1-lambdaL)
reynolds=(rhoM*vM*dAN)/viscM
f=Fanningfactor(K,reynolds)
#cálculo do gradiente de pressão
dpdzG=g*rhoM
dpdzA=0
dpdzF=(4*f/dAN)*rhoM*(vM**2)/2
dpdzT=dpdzG+dpdzF+dpdzA
return dpdzT
##########################################
def SLUGpressuregradient(hL,vsL,vsG,dC,dT,rhoL,rhoG,viscL,viscG):
#cálculo fator de atrito
lambdaL=vsL/(vsL+vsG) #non-slip liquid holdup
viscM=viscL*lambdaL+viscG*(1-lambdaL)
vM=vsL+vsG
dAN=dC-dT
rhoS=rhoL*hL+rhoG*(1-hL)
reynolds=(rhoS*vM*dAN)/viscM
K=dT/dC
f=Fanningfactor(K,reynolds)
#cálculo do gradiente de pressão
dpdzG=g*rhoS
dpdzA=0
dpdzF=(4*f/dAN)*rhoS*(vM**2)/2
47
dpdzT=dpdzG+dpdzF+dpdzA
return dpdzT
##########################################
def results_generator(pattern,vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG):
if pattern=="Bubble":
hL=BUBBLEliquidholdup(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma)
dpdzT=BUBBLEpressuregradient(hL,vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG)
elif pattern=="Dispersed Bubble":
hL=DISPBUBBLEliquidholdup(vsL,vsG)
dpdzT=DISPBUBBLEpressuregradient(vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG)
elif pattern=="Slug":
hL=SLUGliquidholdup(dC,dT,vsL,vsG)
dpdzT=SLUGpressuregradient(hL,vsL,vsG,dC,dT,rhoL,rhoG,viscL,viscG)
else: #elif pattern=="Annular":
hL="em desenvolvimento"
dpdzT="em desenvolvimento"
return hL,dpdzT
##########################################
graph=generategraph(rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)
pattern=predictionpattern(vsL,vsG,rhoL,rhoG,sigma,dC,dT,viscL,viscG)
hL=results_generator(pattern,vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG)[0]
dpdzT=results_generator(pattern,vsL,vsG,rhoL,rhoG,dC,dT,viscL,viscG)[1]
print "Pattern=",pattern
print "Liquid Holdup=",hL
print "Pressure Gradient=",dpdzT
return graph,pattern,hL,dpdzT