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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia
O Método dos Elementos Finitos Generalizado Aplicado à Análise de Vibrações Livres de Vigas de Euler-
Bernoulli
Aluno: Marcos Arndt
Orientador: Prof Dr Roberto Dalledone Machado
Co-Orientador : Prof Dr Adriano Scremin
1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO Avanços tecnológicos => estruturas leves e esbeltas.
Métodos numéricos:
- Método dos Elementos Finitos (MEF)
- Método Composto (MC)
- Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG)
Real comportamento dinâmico das estruturas.
Solução exata somente para geometrias muito simples.
2. Método dos Elementos Finitos Generalizado (MEFG)
Combinação do MEF com o Método da Partição da Unidade (Melenk e Babuska, 1996).
Também conhecido como Método dos Elementos Finitos Estendido (MEFE).
Incorpora ao espaço solução aproximado características locais da equação diferencial previamente conhecidas.
Bases teóricas da partição da unidade:
Rn e {i} uma cobertura aberta de
{i} uma partição unitária tal que:
ii xx 0)( suporte i
sobre 1 i
i
CnRLi iGRLi Cn diâm
Espaço global V utilizado para aproximar u em :
1HVvvVV iii
iii
ii
3.3. MEFG APLICADO A PROBLEMAS DE MEFG APLICADO A PROBLEMAS DE VIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS RETASVIBRAÇÃO LIVRE DE VIGAS RETAS
Equação governante da vibração:
Vibração livre de viga reta com seção uniforme:
),(2
2
2
2
2
2
txpt
uA
x
uEI
x
02
2
4
4
t
uA
x
uEI
3.1. Formulação Variacional
Encontrar (,u), com u H2(0,L) satisfazendo as
condições de contorno e RR, tal que
para todas as funções testes admissíveis ),0(2 LHv
),(),( vuFvuB
dxx
v
x
uIEvuB
L
2
2
02
2
,
vdxAuvuFL
0
,
3.2. Método dos Elementos Finitos GeneralizadoSolução aproximada do MEFG:
2
1 1
2
121
i
n
jijji
iiiiii
eh
l
auu
11
2
12 211
212 23
221 eL
222 eL
uMEF uENRIQUECIDO
Partição da
Unidade
g.l. nodais:
uMEF
iiu
MEFG MC:
g.l. campo:
uENRIQ.
)coshcoscoshcos
jjjj
jjjjj
senhsensenhsen
ija
MEFG MMA:
MEFG Trig.:
j
jj
j
j
e
eesen
e
ej
j
jj
j
jj
11
1
11
11cos
1
1cos1cos jjj
01coshcos rr
4.4. APLICAÇÕESAPLICAÇÕES
4.1. Viga uniforme engastada-livre
Solução exata:
,2,1r
01coshcos LL rr
4
2
EI
Arr
xsenxsenhxxaxu rrrrrr coscosh
LsenLsenh
LL
rr
rrr
coscosh
Resultados para o refinamento p:
1o autovalor
1,0E-17
1,0E-161,0E-15
1,0E-141,0E-13
1,0E-121,0E-11
1,0E-101,0E-09
1,0E-081,0E-07
1,0E-061,0E-05
1,0E-041,0E-03
1,0E-021,0E-01
1,0E+00
2 4 6 8 10 12 14 16
número total de graus de liberdade
erro
(%
) _
MEF h MC c MEFG Trig MEFG MC MEFG MMA MEF p
Resultados para o refinamento p:
6o autovalor
1,0E-08
1,0E-07
1,0E-06
1,0E-05
1,0E-04
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+01
1,0E+02
6 8 10 12 14 16
número total de graus de liberdade
erro
(%
) _
MEF h MC c MEFG Trig MEFG MC MEFG MMA MEF p
Dados comparativos do MEFG para viga engastada-livre :
4.2. Viga uniforme bi-rotulada
Solução exata: L
rr
Resultados para o refinamento p:
6o autovalor
1,0E-10
1,0E-09
1,0E-08
1,0E-07
1,0E-06
1,0E-05
1,0E-04
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+01
1,0E+02
6 8 10 12 14 16
número total de graus de liberdade
erro
(%
) _
MEF h MC c MEFG Trig MEFG MMA MEF p
4.3. Viga uniforme engastada-livre com massa concentrada na extremidade
0
coshcos
coshcos1coscosh
LL
LLALsenhLLLsenm
4.4. Viga engastada-rotulada composta por dois materiais diferentes
5.5. CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS
Resultados indicam potencial do MEFG.
Desenvolvidos elementos de barra e viga.
Desenvolvimento do MEFG adaptativo.
MEFG adaptativo tem apresentado rápida convergência e alta precisão.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
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O Método dos Elementos Finitos Generalizado Aplicado à Análise de Vibrações Livres de Vigas de Euler-
Bernoulli
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