Post on 18-Apr-2015
Um pouco deGeometria Tropical
Semana da Matemática 2013UFJF
Frederico Sercio FeitosaDM/UFJF
Geometria Tropical
Que figuras são essas?
RETA TROPICAL
Geometria Tropical• Por quê tropical ?• Seria devido a
existência de formas exóticas ?
• A álgebra tropical era conhecida como álgebra max-plus.
• Nome “tropical” dado por pesquisadores de informática da Universidade Paris 7
Imre Simon (Budapeste - Hungria, 1943 – São Paulo, 2009)
• O mundo clássico pode ser degenerado até o mundo tropical.
• Um enunciado tropical tem muita chance de possuir um enunciado clássico similar.
• Os objetos tropicais são lineares por partes, logo mais simples de estudar que os seus análogos clássicos.
Objetivo:Estudar objetos simples, enunciar teoremas sobre objetos complicados.
Álgebra Tropical
Duas operações (tropicais) no conjunto dos números reais :
},max{: yxyx yxyx :
11 1
321 3
21 3
235 10
Muitas propriedades em comum com as operações clássicas dos números reais.São comutativas, associativas e vale a distributividade.Duas diferenças:• Qual é o elemento neutro da adição tropical?
xex e
Para isto estendemos o conjunto dos números reais.
Temos:
é o conjunto dos números tropicais.
xxx },max{)(
)()( xx
• Um número real tem simétrico em relação a adição tropical ?
Consequência: não está definida a subtração tropical.
Observação: a adição tropical é idempotente, ou seja,
yx
xxx
• 0 é o elemento neutro da multiplicação tropical.
• Abreviamos por
Cuidado!!!
xxx 2 22 xx
xx 1 11 xx
xx 0 1)1( xx
yx xy
“Polinômios” Tropicais
xx x1
231 xx
},1max{ x
}32,,1max{ xx
32 )2(31 xxx }23,32,,1max{ xxxd
d xaxaxaaxP ...)( 2210
},...,2,,max{ 210 dxaxaxaa d
Raízes
• Um polinômio tropical é uma função afim por partes.
• Uma raiz de P(x) é qualquer número x0 para o qual o gráfico de P(x) tenha uma “quina” 2)1(0)( xxxP
• Raízes de• Raízes de • Raízes de
Definição:As raízes tropicais do polinômio tropical P(x) são os números tropicais x0 para os quais existem i e j distintos tais que P(x0) = ai + ix0 = aj + jx0
xxP 0)(20)( xxP
)1(32)( 23 xxxxP
Curvas tropicaisPolinômio tropical em duas variáveis:
Curva tropical definida por P(x,y) é o lugar das “quinas” dessa função.
...),( 202
22011011000 yaxaxyayaxaayxP
,...},,,max{ 11011000 yxayaxaa
Exemplo:Devemos resolver o sistema de inequações:
A reta tropical é constituída das três semi-retas
1),( yxyxP
1
1
1
00
00
00
yx
xy
yx
1:),1( 00 yy
1:)1,( 00 xx
1:),( 000 xyx
Exemplo: 223223),( xyxyyxyxP
Exemplo: 22 )1(0),( xyxyxP
Interseções tropicais
Bibliografia:• Brugallé, Erwan. Um pouco de Geometria
Tropical. Tradução: Éden Amorim (UFMG) e Nicolas Puignau (UFRJ). Revista Matemática Universitária nº 46 (2009) 27-40.
• Gathmann, A.• Mikhalkin, G.