Post on 06-Oct-2021
UFF – Graduacao em MatematicaLista 3 de Geometria Analıtica II – Prof. Andrea Guimaraes
1. Determine o lugar geometrico:
(a) do ponto que se desloca de modo que a soma de sua distancia a (2, 3, 4) e (2,�3, 4) permaneceigual a 8.
(b) dos pontos cuja diferenca entre sua distancia a (�4, 3, 1) e (4, 3, 1) seja igual a 6.
(c) dos pontos cuja distancia a (2,�1, 3) vale o dobro de sua distancia ao eixo OX.
(d) dos pontos, cujo quadrado da distancia ao eixo OX e sempre o triplo de sua distancia aoplano ⇡
yz
.
(e) dos pontos cuja distancia ao plano ⇡yz
E sempre igual ao dobro da distancia ao ponto(1,�2, 2).
(f) dos pontos cuja distancia ao eixo OX E igual ao triplo de sua distancia a (2, 3,�3).
(g) dos pontos cuja diferenca entre a distancia a (0, 0, 3) e (0, 0,�3) E igual a 4.
(h) dos pontos cujo quadrado de sua distancia ao eixo dos OZ e sempre igual ao dobro de suadistancia ao plano ⇡
xy
.
2. Achar a equacao do paraboloide de vertice, na origem com eixo OZ, e que passa pelos pontos(3, 0, 1) e (3, 2, 2).
3. Determinar a equacao do hiperboloide de duas folhas de centro na origem e eixos sobre os eixoscoordenados, que passa pelos pontos (3, 1, 2), (2,
p11, 3) e (6, 2,
p15).
4. Determine a reta contida em o cone elıptico S : (x + 1)2 + 2(y � 1)2 = z2 que passa pelo pontoP = (1, 1,
p3).
5. Determine, identificando, uma quadrica na forma canonica que contem o ponto P = (1, 1,�1) epossui a secao plana
� =
⇢4y2 + 2z2 = 3x = 2
6. Determine a equacao do hiperboloide de uma folha H de centro na origem e tal que:
• as secoes planas paralelas ao plano XZ sao cırculos e
• os pontos P = (�3, 1, 3) e Q = (p6, 13 ,
p4) pertencam a H
7. Faca um esboco da regiao dada pelo sistema de inequacoes:
R :
8<
:
x
2
16 +y
2
16 � z
2
4 1x2 + y2 160 z 6
8. Determine a equacao do hiperboloide de duas folhas tal que todas as secoes planas x = k, comk 2 R, sao hiperboles equilateras com reta focal paralela ao eixo OY e que possui o cırculo
� :
⇢x2 + z2 = 1y =
p2
como secao plana.
9. Considere as superfıcies de revolucao S1 e S2, obtidas pela rotacao das respectivas retas
l1 :
⇢x = 1y = 0
e l2 :
⇢z = 1x = 0
Faca um esboco detalhado no primeiro octante das superfıcies S1 e S2, ressaltando a curva C deintersecao das mesmas e os pontos de intersecao de C com os eixos e planos coordenados.
10. Considere o ponto P = (1, 2, 1) e a curva
C :
⇢y = x2
z = 0
(a) Encontre uma parametrizacao para a superfıcie regrada cilındrica de diretriz C, cujas gera-trizes sao paralelas ao vetor
�!OP , onde O e a origem. Faca um esboco da mesma!
(b) Encontre uma parametrizacao para a superfıcie regrada conica de diretriz C, cujas geratrizespassam pelo ponto P . Faca um esboco da mesma!
11. Encontre as equacoes parametricas do elipsoide de revolucao S, de eixo OX, cuja geratriz e aelipse 8
<
:
x2
4+
y2
16= 1
z = 0
12. A intersecao de um elipsoide de revolucao E , cujo eixo de rotacao e o eixo OX, com o hiperboloidede uma folha H : x
2
9 + y2 � z2 = 1, esta contida na uniao dos planos z = 5 e z = �5. Determinea equacao de E .
13. Considere o cone de equacao C : x
2
9 + y
2
4 = z2.
(a) Parametrize e identifique a curva obtida pela intersecao do cone C com o plano {z = k}.(b) Determine as equacoes parametricas do plano⇧
P
que passa pelo ponto P = (3k cos(t0), 2k sen(t0), k)
e e paralelo aos vetores �!u =�!OP e �!v = (�3k sen(t0), 2k cos(t0), 0).
(c) Calcule as equacoes de ⇧P
para P = (6, 0, 2).
(d) Calcule a intersecao ⇧(6,0,2) \ C. Faca o esboco desta intersecao e de C no mesmo grafico.
14. Faca o esboco da seguinte regiao no R3:
R :
8>><
>>:
x2 + y2 < 4x2 + y2 � 2x+ |y| 20 z 2
15. Considere a regiao dada pelo sistema de inequacoes:
R :
8<
:
x2 + y2 1x2 + y2 z2
0 z 2
Faca um esboco de cada superfıcie que delimita a regiao R.
GABARITO DE ALGUMAS QUESTOES
1. (a) (x�2)2
7 + y
2
16 + (z�4)2
7 = 1, que representa um elipsoide com centro em (2, 0, 4) e semi-eixosp7u.c., 4u.c.,
p7u.c.
(b) x
2
9 � (y�3)2
7 � (z�1)2
7 = 1, que representa um hiperboloide de duas folhas com centro em(0, 3, 1) e eixo transverso paralelo ao eixo dos x. Como as secoes paralelas ao plano yz saocircunferencias, a superfıcie e um hiperboloide de revolucao de duas folhas.
(c)(y� 1
3 )2
409
+ (z+1)2409
� (x�2)2403
= 1 que representa um hiperboloide de revolucao de uma folha, em
torno do eixo dos x, com centro em (2, 13 ,�1).
(d) y2 + z2 = 3x.
(e) 3x2 + 4y2 + 4z2 � 8x+ 16y � 16z + 36 = 0.
(f) 9x2 + 8y2 + 8z2 � 36x� 54y + 54z + 198 = 0.
(g) 5z2 � 4x2 � 4y2 = 20. Hiperboloide de duas folhas. Centro na origem.
(h) x2 + y2 � 2z = 0. Paraboloide de revolucao em torno do eixo do OZ.
2. 4x2 + 9y2 = 36z.
3. 3z2 � x2 � 2y2 = 1. Hiperboloide de duas folhas, eixos transverso ao longo do eixo dos z.
4. r : (�1 + 2t, 1,p3t).
5. SejaQ : Ax2 +By2 + Cz2 = R (⇤)
uma quadrica na forma canonica tal que P 2 Q e � ⇢ Q. Substituindo x = 2 em (⇤), obtemos
� =
⇢By2 + Cz2 = R� 4Ax = 2
Assim, podemos escolher B = 4, C = 2 e R� 4A = 3.
Substituindo P em Q, temos A + B + C = R e, como B = 4 e C = 2, temos A + 6 = R. Logo,resolvendo o sistema
� =
⇢R� 4A = 3A+ 6 = R
temos A = 1 e R = 7. Entao temos que a quadrica
Q : x2 + 4y2 + 2z2 = 7
satisfaz as condicoes exigidas e e um elipsoide.
6. A equacao geral de um hiperboloide de uma folha centrado na origem e
Ax2 +By2 + Cz2 = D
onde D > 0, A,B,C sao nao nulos e apenas um deles e negativo.
Os planos paralelos ao plano XZ sao os da forma y = k. Substituindo na equacao temos⇢
Ax2 + Cz2 = D � Bk2
y = k
A fim de que esta equacao represente um cırculo no plano y = k devemos ter do lado esquerdo daigualdade A = C, o que nos leva a concluir que ambos tem que ser positivos (ja que apenas umdos tres e negativo); e portanto, B e negativo, deixando o termo D�Bk2 > 0 (raio do cırculo aoquadrado).
Resumindo, temosAx2 +Bz2 + Az2 = D
onde D > 0, A > 0 e B < 0. Dividindo tudo por D e reorganizando teremos:
x2
↵� y2
�+
z2
↵= 1
com ↵ = D
A
e � = �D
B
.
Vamos agora substituir os pontos P = (�3, 1, 3) e Q = (p6, 13 ,
p4). Chegamos ao seguinte sistema
de equacoes:
8<
:
18↵
� 1�
= 1
10↵
� 19� = 1
Que nos leva a solucao ↵ = 9 e � = 1.
Portanto a equacao de H e
H :x2
9� y2 +
z2
9= 1.
7.
8. Temos o hiperboloide de duas folhas de eixo OY :
H :y2
b2� x2
a2� z2
c2= 1.
Como as secoes planas ⇢y
2
b
2 � z
2
c
2 = k
2
a
2 + 1x = k
sao hiperboles equilateras, entao devemos ter b2 = c2.
Assim,
� :
⇢x
2
a
2 +z
2
b
2 = 2b
2 � 1y =
p2
=) � :
⇢b
2x
2
a
2 + z2 = 2� b2
y =p2
.
Logob2
a2= 1 e 2� b2 = 1
=)|{z}b
2=c
2
a2 = b2 = c2 e b = 1
=)a = b = c = 1.
Ou seja:H : y2 � x2 � z2 = 1.
9. O esboco dos cilindros no primeiro octante:
Logo o esboco da curva de intersecao dos cilindros e (em vermelho na figura):
10. (a) Para este caso basta escolhermos �(t) =�!OP = (1, 2, 1)
' : R⇥ R ! R3
'(t, s) = ↵(t) + s · (1, 2, 1)'(t, s) = (t, t2, 0) + (s, 2s, s)
'(t, s) = (t+ s, t2 + 2s, s)
(b) Para este caso basta escolhermos �(t) = P � ↵(t) = (1� t, 2� t2, 1)
' : R⇥ R ! R3
'(t, s) = ↵(t) + s · (1� t, 2� t2, 1)
'(t, s) = (t, t2, 0) + (s(1� t), s(2� t2), s)
'(t, s) = (t+ s(1� t), t2 + s(2� t2), s)
11. A curva dada por ⇢f(x, y) = x
2
4 + y
2
16 � 1 = 0z = 0
esta contida no plano XY . Como a rotacao e realizada em torno do OX, subtituımos y em f(x, y)pela expressao ±p
y2 + z2. Logo a equacao cartesiana de S e:
S : f(x,±p
y2 + z2) = 0,
ou seja,
S :x2
4+
(±py2 + z2)
16� 1 = 0
=)S :
x2
4+
(y2 + z2)
16� 1 = 0
=)S :
x2
4+
y2
16+
z2
16= 1.
Consequentemente, as equacoes parametricas sao:
S :
8<
:
x(s, t) = 2 cos s cos ty(s, t) = 4 cos s sen tz(s, t) = 4 sen s
, t, s 2 R
12. A equacao geral de E e da forma:
E :x2
a2+
y2
b2+
z2
b2= 1
As intersecoes sao
E \ {z = ±5} :
⇢x
2
a
2 +y
2
b
2 = 1� 25b
2
z = ±5e H \ {z = ±5} :
⇢x
2
9 + y2 = 26z = ±5
Multiplicando a primeira por b2 e subtraindo a segunda temos✓b2
a2� 1
9
◆x2 = b2 � 51
Como esta igualdade tem que valer para todo x 2 [�3, 3] 1, devemos ter
b2
a2� 1
9= 0 e b2 � 51 = 0
b2 = 51 e a2 = 9b2 = 459
Logo, a equacao do elipsoide procurado e:
x2
459+
y2
51+
z2
51= 1
13. (a) ↵(t) = (3k cos(t), 2k sen(t), k)
(b)
⇧P
: P + t�!u + s�!v= (3k cos(t0), 2k sen(t0), k) + t(3k cos(t0), 2k sen(t0), k)
+s(�3k sen(t0), 2k cos(t0), 0)
= (3k cos(t0) + t.(3k cos(t0)) + s(�3k sen(t0)),
2k sen(t0) + t(2k sen(t0)) + s(2k cos(t0)), k + tk)
Portanto, as equacoes parametricas sao
⇧P
:
8<
:
x = 3k(t cos(t0)� s sen(t0) + cos(t0))y = 2k(t sen(t0) + s cos(t0) + sen(t0))z = k(t+ 1)
(c) P = (6, 0, 2) =) t0 = 0, k = 2. Logo,
⇧(6,0,2) :
8<
:
x = 6t+ 6y = 4sz = 2t+ 2
(d) Precisamos encontrar valores de t e de s tal que (6t+ 6, 4s, 2t+ 2) satisfacaa a euacao de C:(6t+ 6)2
9+
(4s)2
4= (2t+ 2)2
36(t+ 1)2
9+
16s2
4= 4(t+ 1)2
4s2 = 0
s = 0
Assim, a intersecao procurada consiste de todos os pontos da forma (6t+ 6, 0, 2t+ 2).
⇧(6,0,2) \ C = {(6t+ 6, 0, 2t+ 2); t 2 R} = P + t�!OP.
E este conjunto e exatamente a reta que passa por P e tem a direcao do vetor�!OP .
O plano ⇧P
e o plano tangente ao cone C no ponto P (e portanto ao longo de toda a retaque contem P e esta contida em C).
14. Observe que a primeira figura, feita no R2, e a parte de R quando z = 0. Esse desenho foi feitopara uma melhor compreensao da regiao inteira!
1esse x veio dos pontos (x, y,±5) que pertencem as elipses H \ {z = ±5} cujos eixos na direcao OX medem ambos 6,
logo �3 x 3