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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:
– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;
• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade
• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo 2
visto
Série de Fourier
• Convolução baseia-se na representação de sinais como combinações lineares de impulsos deslocados.
• Aqui veremos representação dos sinais como combinações lineares usando exponenciais complexas.– Série e transformada de Fourier de tempo contínuo e discreto
• Resposta de um sistema LIT a uma exponencial complexa fornece outra representação conveniente para análise e entendimento de sistemas LIT.
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Série de Fourier
Perspectiva histórica
• Utilização de “somas trigonométricas” para descrever fenômenos periódicos são utilizados desde a época dos babilônios (fundada em 1867 A.C., atual Iraque) para prever eventos astronômicos.
• Na história moderna, o assunto começa em 1748 com Euler exa-minando uma corda vibrante.– As vibrações no tempo em um
ponto x são funções senoidaisharmonicamente relacionadas
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Série de Fourier
x
• Essa análise se tornaria útil uma vez que uma grande classe de funções importantes pudesse ser representada por combinações lineares de exponenciais complexas.
• Meio século mais tarde, Jean Baptiste Joseph Fourier:
– 1807 Séries senoidais poderiam representar qualquer sinal periódico
– Representação de sinais aperiódicos por integrais ponderadas de senoides que não são todas harmonicamente relacionadas.
– Essas ferramentas foram então estendidas para sinais e sistemas de tempo discreto (Gauss; Cooley e Turkey), estes últimos inventando a FFT em 1960.
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Perspectiva histórica
Série de Fourier
Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
• A resposta de um sistema LIT para uma entrada exponencial complexa é a mesma exponencial complexa com apenas uma mudança em amplitude:
• H(s) ou H(z) = fator de amplitude complexa, em geral, uma função da variável complexa s ou z.
• Um sinal que gere uma saída constante vezes a entrada é denominado uma autofunção do sistema, e o fator de amplitude é denominado de autovalor do sistema.
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Série de Fourier
)()( tAxtx Sistema
• Considere um sistema LIT com resposta ao impulso h(t), fazendo x(t)=est, temos:
– Assumindo que a integral convirja:
– Sendo H(s) uma constante complexa cujo valor depende de s e que está relacionado à resposta ao impulso do sistema por:
– Logo, exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT. A constante H(s) para um valor específico de s é então o autovalor associado a auto função est.
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• O mesmo vale para o tempo discreto, para :
• Logo, exponenciais complexas são autofunções dos sistemas LIT de tempo discreto. A constante H(z) para um valor específico de z é então o autovalor associado a autofunção zn.
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• Podemos decompor sinais mais genéricos em termos de autofunções. – Considere que um x(t) corresponda a uma combinação linear de três
exponenciais complexas:
– Da propriedade da autofunção, a resposta de cada termo é:
– E da propriedade de superposição, temos:
...?
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• Podemos decompor sinais mais genéricos em termos de autofunções. – Considere que um x(t) corresponda a uma combinação linear de três
exponenciais complexas:
– Da propriedade da autofunção, a resposta de cada termo é:
– E da propriedade de superposição, temos:
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• Em termos mais gerais;– Se a entrada para um sistema LIT de tempo contínuo for representada
por uma combinação linear de exponenciais complexas, então a saída também o será:
– O mesmo é válido para o sistema discreto:
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
k
ts
kkeatx )(
k
ts
kkkesHaty )()(LIT
k
n
kk zanx ][ k
n
kkk zzHaty )()(LIT
• Resumindo...– Se a entrada de um sistema LIT for representada como uma
combinação linear de exponenciais complexas, então a saídatambém pode ser representada como uma combinação dos mesmos sinais exponenciais complexas.
– O coeficiente da saída é obtido pela multiplicação do coeficiente da entrada ak pelo autovalor do sistema H(sk) ou H(zk).
– Embora s e z possam ser números complexos quaisquer, a análise de Fourier restringe nossa atenção a formas particulares dessas variáveis• Tempo contínuo, s puramente imaginário, s = jw ejwt;
• Tempo discreto, z de magnitude unitária z = ejw ejwn;
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• Exemplo:
– Considere y(t) = x(t-3).
– Se a entrada for x(t) = ej2t
– Ache y(t) e H(s) para esta entrada.
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
• Exemplo:
– Considere y(t) = x(t-3).
– Se a entrada for x(t) = cos(4t)+cos(7t)
– Ache y(t) e H(s) para esta entrada.
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Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas
Série de Fourier
Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.
– Vimos no capítulo 1• Definição: x(t) = x(t+T) para todo t,
• O período fundamental = menor valor de |T|, diferente de zero
• O valor w0 = 2π/T é a frequência fundamental
• Apresentamos dois sinais periódicos básicos:
– x(t) = cos(w0t)
– x(t) = ejw0t
• Esta segunda equação está associado o conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.
– φk(t) = ejkw0t = ejk(2π/T)t, k = 0, ±1, ±2, ...
– Cada k representa uma frequência que é múltipla de w0.
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Série de Fourier
Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Assim, uma combinação linear de exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas na forma:
– Também é periódica com período T;
– Para k = 0, x(t) é uma constante;
– k = +1 e k = -1 possuem frequência fundamental igual a w0 e são denominados componentes fundamentais ou componentes de primeira harmônica;
– k = +2 e k = -2 são componentes de segunda harmônica onde w = 2w0;
– A representação de um sinal na forma acima, é denominada representação por série de Fourier.
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Série de Fourier
Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Considere um sinal periódico com frequência fundamental
2π, que é expresso como:
– com
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Série de Fourier
3
3
2)(k
tjk
keatx
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Solução...
– Usando a relação de Euler:
Série de Fourier
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
• Combinações lineares de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas.– Exemplo: Solução...
– Representação gráfica da solução:
Série de Fourier
• Esta equação é um exemplo de uma forma alternativa para a série de Fourier de sinais periódicos reais.
• Suponha que x(t) seja real, então como x*(t) = x(t), temos:
• O que impõe que ou de maneira equivalente (olhando para as equação inicial e final)
• Note que este é o caso do exemplo anterior:
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
Série de Fourier
Substituindo k por -k
• Para obter as formas alternativas, fazemos:
• Substituindo
• Como as duas parcelas são conjugados complexos:
• Ficando...
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
Série de Fourier
Na forma polar
• Essa equação é comumente encontrada para a série de Fourier de sinais periódicos reais em tempo contínuo:
• Outra forma é obtida na forma retangular:– Com Bk e Ck ambos reais
• Assim, a equação anterior fica:
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
Série de Fourier
• Assim, para funções periódicas reais, a série de Fourier em termos de exponenciais complexas é matematicamente equivalente as duas formas que usam funções trigonométricas:
• Para nossos propósitos, a forma com exponencial complexa é mais conveniente (e mais geral):
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Representação de sinais periódicos de tempo contínuo
Série de Fourier