Post on 17-Apr-2015
Trigonometria e aplicações
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
- Determinação da altura de um certo prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio da
terra, por um processo muito simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um
rio para construir uma ponte, o trabalho dele é
mais fácil quando ele usa dos recursos
trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa
saber a altura de uma montanha, o comprimento
de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto.
O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Propriedades do triângulo retângulo
Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
• o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
• o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
• o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos.
As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
seno sen(x)
cosseno cos(x)
tangente tan(x)
h
y
hipotenusa
oposto cateto)sen(
h
x
hipotenusa
adjacente cateto)cos(
x
y
x
h
h
y
hx
hy
/
/
adjacente cateto
oposto cateto)tan(
Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave
Existem alguns ângulos do primeiro quadrante para os quais é possível determinar facilmente os valores tomados pelas funções trigonométricas.
Para ângulos de outros quadrantes, torna-se necessário efetuar em primeiro lugar uma redução ao primeiro quadrante.
Em resumo, temos o seguinte quadro:
Valores do argumento (radianos) 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen 0 1/2 2/2 2/3 1
cos 1 2/3 2/2 1/2 0
tan 0 3/3 1 3 ∞
cotg ∞ 3 1 3/3 0
0º 30º 45º 60º 90º Valores do argumento (graus)
Exemplos:
1) Um vaivém em órbita terrestre descreve um trajeto tipicamente circular a uma altitude de cerca de 300km acima da superfície. Sabendo que o raio da Terra é 6380km, escreva a expressão para a distância do horizonte àquela altitude, e calcule o seu valor.
Solução:
Seja R o raio da Terra e h a altitude do vaivém acima da superfície da Terra. Pretende‑se determinar a distância d.
O ângulo a é reto porque a reta a que pertence o segmento de comprimento d é perpendicular ao raio da Terra – é tangente à superfície.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
RhhdRhhdhRdR 22)( 222222
km2000km1000,230063802300 32 d
2)Determine o seno, o cosseno e a tangente do menor ângulo do triângulo retângulo cujos os catetos medem 9 cm e 12 cm.
Resolução:
Primeiro usamos o teorema de pitágoras para descobrir o valor da hipotenusa e depois calculamos os valores do seno , cosseno e da tangente.
15225225
144811292
2222
222
hh
hh
bah
12
9;
15
12cos;
15
9 tgsen
3) Um avião levanta vôo e sobe fazendo um âmgulo contante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida, quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? ( dado: sem 15º = 026 e tg 15º = 0,27).
Solução
O cálculo da altura é feito pela relação da tag de 15º.
O cálculo da distância percorrida é feito através do sen15º.
mxxx
tgAC
OCtg 54027,0.2000
2000º15
.
.º15
mxyy
xsen
h
OCsen 9,2076
15,0
540º15
.º15
4) Num triângulo retângulo um cateto mede mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm. Calcule o seno, o cosseno e a tangente do maior ângulo agudo desse triângulo.
Solução:Primeiro aplicamos o teorema de pitágoras para achar o valor do outro cateto.
Depois calculamos os valores do seno, cosseno e da tangente .
cmxx
xx
bah
864225289
22528915172
2222
222
8
15;
17
8cos;
17
15 tgsen
Redução ao primeiro quadrante
Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo:YY'
P''
P P'
y
O x
XX'
x'
Figura 9. Novamente o círculo trigonométrico (de raio unitário). A ordenada (“altura”) do ponto P’ representa a tangente de , e a abcissa do ponto P’’ representa a co-tangente de .
Sinal das Funções em cada Quadrante
Monotonia das funções trigonométricas
1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ
sen + – – +
cos – – + +
tan + + + +
cotg – – – –
"+" = crescente "–" = decrescente
Redução ao primeiro quadrante
O círculo trigonométrico é usualmente dividido segundo regiões denominadas quadrantes, como indicado na figura abaixo.
São quatro, e indicam-se de acordo com o sentido do crescimento dos ângulos sentido anti-horário.
Assim, iremos descobrir o comportamento das funções trigonométricas nos restantes quadrantes, e compará-lo com os valores tomados pelas funções trigonométricas para ângulos do primeiro quadrante.
Na figura vista anteriormente , o 1ºQ corresponde ao intervalo 0 < a < /2, o 2ºQ a /2 < a < , o 3ºQ a < a < 3/2, e o 4ºQ a 3/2 < a < 2.
Para fazer a redução do 2º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
cos)º180(cos
)º180(
x
senxsen
Para fazer a redução do 3º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
cos)º180(cos
)º180(
x
senxsen
Para fazer a redução do 4º quadrante para o 1º devemos usar a seguinte relação:
cos)º360(cos
)º360(
x
senxsen
Exercícios:
1) Calcule o seno e o cosseno dos valores abaixo:
a) 210ºb) 150ºc) 330ºd) 240ºe) 1590ºf) 2460º
FIM