Post on 17-Apr-2015
Tratamento de ruídos em imagens e aplicações da transformada de
Fourier
Redução de ruídos• Dada uma imagem I com um ruído n, reduza n o
máximo que puder (preferencialmente elimine n completamente) sem alterar significativamente I.
),(),(),(ˆ jinjiIjiI
n
sSNR
n
sdBSNR
10log10
100n
s
20 dB significam
Dois tipos básicos de ruídos• Ruído Gaussiano branco : processo estocástico
de média zero, independente do tempo e dos espaço.
2
2
2
2
1)(
x
exG
0),( jin
),(~),( 00 jjiinjin é o mesmo processo estocástico que não varia no tempo.
),( jin é uma variável aleatória com a distribuição:
Dois tipos básicos de ruídos• Ruído impulsivo: causado por erro de
transmissão, CCDs defeituosos, etc... Também chamado de pico e de sal e pimenta.
lxiiyi
lxjinsp )(
0),(
minmaxmin
1,0, yx são v.a. uniformemente distribuídas
imin, imax, e l são parâmetos de controle da quantidade de ruídos.
Exemplo de ruído Gaussiano (=5) e Impulsivo ( =0.99)
Imagem com ruído impulsivo
223 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 204 223
171 120 120 120 18 120 50 120 120 120 120 120 120 171
171 120 120 120 116 120 120 120 120 120 120 120 120 171
138 120 120 120 120 120 50 120 97 120 120 120 120 171
171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 187 120 120 242
172 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171
171 120 120 120 120 120 179 120 120 120 120 167 120 171
171 120 120 120 120 120 120 235 120 120 120 120 120 171
171 120 120 120 120 120 120 235 120 76 175 120 120 171
171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 171
171 120 120 120 120 120 120 120 123 120 120 214 120 114
171 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 143 171
171 120 120 120 232 120 120 198 120 120 120 120 120 171
203 171 171 171 171 171 171 171 171 205 171 171 171 203
Uso da mediana
Iij = mediana Ωij
Sinal com ruído := ( )f3 x 10 ( )cos 2 x 6 ( )sin 10 x .8 ( )cos 40 x
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Filtragem Gaussiana
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
w1+w2+w3 filtro w1+w2
4
2 11 iii
i
fffh
Mascara ou Filtro
4
2 11 iii
i
fffh
1
0)(
n
kiiki fgh
10
14/1
04/2
14/1
10
lse
lse
lse
lse
lse
gl
ou:
Convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
1
0)(
n
kiiki fgh
duuxgufgfxh )()()(
Ilustação da convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
Ilustração da convolução
t
t
dtxfxtgxh )()()(
Discretização da Gaussiana 1D
0.1
0.2
0.3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2
2
2
2
1)(
x
exG
1214
1 14641
16
1
161520156164
1
Discretização da Gaussiana 2D
2
22
2
2
1),(
yx
eyxG
121
242
121
16
1
14741
41626164
72641267
41626164
14741
273
1
Separabilidade do filtro gaussiano
207 247 38 131 38
62 90 129 234 231
211 175 44 1 26
236 58 75 128 112
210 141 125 168 58
121
242
121
16
1
130 117 129
125 90 88
129 93 92
1214
1
1214
1
185 113 84
93 145 207
151 66 18
107 84 111
154 140 130
130 117 129
125 90 88
129 93 92
Série de Fourier
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
t
f(t)
0T
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
Coeficientes da Série
)2
sin2
cos(2)(1
0 T
ktb
T
ktaatf k
kk
T
k kdtT
kttf
Ta
0,...3,2,1,0)
2cos()(
1
T
k kdtT
kttf
Tb
0,...3,2,1)
2sin()(
1
t
f(t)
0 T
T
kk
2
T
2
Eixo de freqüência
Domínios
t
f(t)
0 T
T
2
w
ak
0
w
bk
0
tempo ou espaço
freqüencia
Coeficientes de funções pares e ímpares
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cos cos sin sin
f-ímpar ak= 0
f-par bk= 0
Série de Fourier com números complexos
10
2sin
2cos2)(
knk T
ktb
T
ktaatf
2cos
ii ee
i
ee ii
2sin
1
22
0)(k
T
kti
kT
kti
k eFeFFtf
nnkkkk ibaFibaFaF ,,00
k
T
kti
keFtf2
)(
kk FF
1
2222
0)(k
T
kti
T
kti
kT
kti
T
kti
k eei
beeaatf
1
22
0)(k
T
kti
kk
T
kti
kk e
i
bae
i
baatf
T
T
kti
k kdtetfT
F0
)2
(,...3,2,1)(
1
i
12i
ii
i
1
Escrevendo em complexos
k
T
kti
kkk
k eFT
ktb
T
ktaatf
2
10 )
2sin
2cos(2)(
T T
kk kdtT
kttf
Tbdt
T
kttf
Ta
0 0,...3,2,1,0)
2sin()(
1,)
2cos()(
1
T
T
kti
k kdtetfT
F0
)2
(,...3,2,1,0)(
1
kkk ibaF
)2
sin()2
cos()
2(
T
kti
T
kte T
kti
Periodicidade da Série de Fourier
)()(2
sin)(2
cos2)(1
0 tfTtT
kbTt
T
kaaTtf
kkk
t
f(t)
0 T
t
f(t)
0 T
Transformada de Fourier
dwewFxf wxi 2)()(
dxexfwF wxi 2)()(
Sinal discreto
t0 1 2 3 4 5 6 N-1
rf
r
)(tf
tNT
ttrt
,,,,,,,, 1221 NNro ffffff
T
k dtT
kttf
Ta
0)
2cos()(
1
01 2 3 4 5 N
)2
cos()(T
kttf
tt
trtr
ttN
tkrf
tN
N
rk
1
0
2cos
1
TtNT
1
0
)2
cos(1 N
rrk N
rkf
Na
1
0
2sin
1 N
rkk N
rkf
Nb
. . .
1
0
)2
cos(1 N
rrk N
rkf
Na
1
0
2sin
1 N
rkk N
rkf
Nb
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
ccc
ccc
ccc
N
a
a
a
)2
cos(N
krckr
onde:
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
sss
sss
sss
N
b
b
b
)2
sin(N
krskr
onde:
1
0
)2
(1 N
s
N
ksi
skkk efN
ibaF
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
1
NNNNN
N
N
N f
f
f
EEE
EEE
EEE
N
F
F
F
N
kri
kr eE2
onde:
1
0
)2
(N
r
N
kri
rk eFf
1
1
0
)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
1
1
0
'''
'''
'''
NNNNN
N
N
N F
F
F
EEE
EEE
EEE
f
f
f
N
kri
kr eE2
'
onde:
Transformada de Fourier
dwewFxf wxi 2)()(
dxexfwF wxi 2)()(
Transformada de Fourier (discreta e normalizada)
1
0
1
0
)//(2),(1
),(w
x
h
y
hyswxrieyxfwh
srF
1
0
1
0
)//(2),(1
),(w
r
h
s
hyswxriesrFwh
yxf
Transformada normalizada de Fourier: separação
)/(21
0
1
0
)/(2),(11
),( wxriw
x
h
y
hysi eeyxfhw
srF
1
0
1
0
)//(2),(1
),(w
x
h
y
hyswxrieyxfwh
srF
),( sxT
Transformada normalizada de Fourier: Matriz H
1
0
)/(21),(),(
h
y
hysieh
yxfsxT
),( syH
sy
h
ihysi e
he
hsyH
2)/(2 11
),(
)1(0)1)(1(1)1(0)1(
)1(11110
)1(00100
hhhhh
h
h
ffff
fff
fff
f
fHT
)1()1(21)1(20)1(2
)1(12112012
)1(02102002
1
hh
h
ih
h
ih
h
i
h
h
i
h
i
h
i
h
h
i
h
i
h
i
eee
eee
eee
h
H
fHT
1
0
2
),(1
),(w
x
rx
w
i
sxTew
srF
),( xrW
xr
w
i
ew
xrW
21),(
)1()1(21)1(20)1(2
)1(12112012
)1(02102002
1
ww
h
iw
h
iw
h
i
w
h
i
h
i
h
i
w
h
i
h
i
h
i
eee
eee
eee
w
H
WfHWTF
Problemas com a Transformada de Fourier
)(2121
21),(),( bkakiekkFbxaxf
),(),( 2121 kkFxxf
),(1
),( 2121
kkFxxf
)cossin,sincos(
)cossin,sincos(
2121
2121
kkkkF
xxxxf
Transformada de Mellin
0
1)()( dxxxfsM s
deefdxxxfsM ss )()()(0
1
ex dedx
eefdeeefiM i )()()( 2
wis 2
))(())(( axfMxfM
Transformada de Mellin
0 0
1121
21),(),( dxdyyxyxfzzM zz
dedxex dedyey
))((),(
),(
)1()1(
21
21 dedeeeeef
zzM
zz
Transformada de Mellin
ddeeeefzzM zz 21),(),( 21
uiz 21 viz 22
ddeeeefvuM viui 22),(),(
Transformada de Mellin
1
0
1
0
22lnln ),(
1),(
w
x
h
y
sh
irw
iyx eeeef
whsrM
ddeeeefvuM viui 22),(),(
xwu
1
yhv
1
)1()1(21)1(20)1(2
)1(12112012
)1(02102002
1
ww
h
iw
h
iw
h
i
w
h
i
h
i
h
i
w
h
i
h
i
h
i
eee
eee
eee
w
H
WfHWTF
Transformada de Mellin
0 0
1121
21),(),( dxdyyxyxfzzM zz
dedxex dedyey
0 0
1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri
riz 21 siz 22
xln
dedyey
0 0
1212),(),( dxdyyxyxfsrM siri
dedxex
0 0
1212),(),( dxdyeeeefsrM siri
Resultados daTransformada de Fourier
Exemplo 1: Função caixa (box)
f(x)
x
]2,
20
2[
20
)( b
bxse
bxsea
bxse
xf
a
dxexfwF wxi 2)()(
2/
2/2
2
b
bwxie
wi
a
2/
2/
2b
b
wxi dxea
wbiwbi eewi
a
2
i
ee
w
a wbiwbi
2
)sin( wb
w
a
b
wb
wbabwF
)sin(
)(
Transformada da função box
bw
bwabwF
)sin(
)(
F(w)
0 1/b 2/b 3/b-1/b-2/b-3/b
ab
w
sinc(bw)
wb
wbabwF
)sin(
)( f(x)
x
a
b
Distribuição normal: Gaussiana
2
2
22
1)(
x
exGaus
:= ( )gaus x e( ) x
2
Exemplo 2: Gaussiana
-0.02
0.03
0.08
0.13
0.18
-0.02
0.03
0.08
0.13
0.18
2
2
2
2
1)(
x
exf
2
2
12)(
w
ewF
f(x)
x
|| F(w) ||
w
1
Transformada do Delta de Dirac
f(x)
x
1)()( 02
edxexwF wxi (x)
|| F(w) ||
w
1
Exemplo 4: Cosseno
)
2()
2(
2
1)(
w
ww
wwF
|| F(w) ||
ww w
)( ww )( ww
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5)cos( tw
x
Cosseno e Harmônicos
sincos iei sincos ie i
)(cos 21 ii ee
)(cos 21 titi eet
t
t
1-1
i
-i
o cosseno corresponde a média de dois harmônicos de freqüências w e -w
Exemplo 5: Sequência de impulsos
w
f(x)
x1b 2b3b-1b-2b
|| F(w) ||
1/b 2/b2/b-1/b-2/b
f(x)
x1b 2b 3b-1b-2b
|| F(w) ||
w1/b 2/b2/b-1/b-2/b
Pares importantes
Propriedades da transformada
convolução
Filtragem nos domínios espacial e de freqüência
• Filtragem no domínio espacial pode ser obtida pela convolução• Filtragem no domínio da frequencia pode ser obtida por uma
transformada, seguida de um produto e de uma transformada inversa.
)()()( GFH )()( xfF
)()( Hxh
)()( xgG
duuxgufgfxh )()()(
ou:
Tipos de Filtros
F G
=
=
=
H
Passa baixa
Passa alta
Passa banda
Imagem filtrada com um filtro passa baixa
Imagem filtrada com um filtro passa alta
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2sin(28t), SR = 8.5 Hz
An undersampled signal
http://lcni.uoregon.edu/fft/fft.ppt
Amostragem e Reconstrução
Observando os domínio do espaço e das freqüências
Sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências
Amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências
produto convolução
Sinal discretizado
domínio do espaço domínio das freqüências
Reconstruçãodomínio do espaço domínio das freqüências
convolução produto
Retorno ao sinal original
domínio do espaço domínio das freqüências
Sinal original com mais altas freqüências
domínio do espaço domínio das freqüências
Mesma taxa de amostragemdomínio do espaço domínio das freqüências
produto convolução
Sinal amostrado
domínio do espaço domínio das freqüências
Não temos como reconstruir sem introduzir artefatos!
Teorema de Nyquist
Para que um sinal de banda limitada (i.e. aqueles cuja a transformada resultam em zero para freqüências f > B) seja reconstruido plenamente ele precisa ser amostrado numa freqüência f >= 2B. Um sinal amostrado na freqüência (f=2B) é dito amostrado por Nyquist e f=2B é a freqüência de Nyquist.
Não há perda de informação nos sinais amostrados na freqüência de Nyquist, e não adicionamos nenhuma informação se amostrarmos numa freqüência maior.
Aliasing
• Esta mistura de espectros é chamada de aliasing. • Existem duas maneiras de lidarmos com aliasing.
– Passar um filtro passa-baixa no sinal.
– Aumentar a freqüência de amostragem.
Alias
Texture errors