Post on 18-Apr-2015
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Transformada de Laplace
Análise de comportamento de sistemas Extensão natural da transformada de
Fourier Novo domínio s = σ + jΩ
Transformada de Fourier Autofunção de senóides complexas
Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas
Transformada de Laplace
Autofunção e autovalor Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)
)s(H)t(x
de)(hAe)t(y
Ae)t(xautovalor
s
autofunção
st
st
Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier
e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em
FT Lembrar
fator de convergência é e-|σ|t
Deve-se aplicar o limite σzero
Quando σ = zero, temos a FT de x(t)
te)t(xFT)s(X
Transformada de Laplace
Definição A partir da definição da FT
Em que situações as integrais convergem?
j
j
st
st
dse)s(X2j
1)t(x
dte)t(x)s(X
Transformada de Laplace
Região de convergência (ROC) Define a existência da integral envolvida
na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência
de X(s) Convergência absoluta
Considere que |ejΩt|=zero para todo t
0dte)t(x
0dte)t(x
t)j(
st
Transformada de Laplace
Exemplos Lembrando
Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s
Transformada de Laplace
Relação com Transformada de Fourier Se ROC de X(s) contém {σ = zero}
x(t) possui FT
)j(X)s(Xjs
Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Restrição de funções nulas para t<zero
t=0- X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0
ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s) x(t) é causal
j
j
st
0
st
dse)s(X2j
1)t(x
dte)t(x)s(X
Transformada de Laplace
Transformada unilateral de Laplace Exemplos
Transformada de Laplace
Propriedades Linearidade
)s(bY)s(aX)s(Z)t(by)t(ax)t(z
)s(Y)t(y
)s(X)t(x
LT
LT
LT
Transformada de Laplace
Propriedades Deslocamento tempo
t0>0 para garantir causalidade de y(t)
Deslocamento em freqüência
0stLT0
LT
e)s(X)s(Y)tt(x)t(y
)s(X)t(x
)ss(X)s(Ye)t(x)t(y
)s(X)t(x
0LTst
LT
0
Transformada de Laplace
Propriedades Escala no tempo
a>0 para garantir causalidade de x(t) Escala em freqüência
)asX(a1)s(Y)at(x)t(y
)s(X)t(xLT
LT
)as(X)s(Y)atx(a1)t(y
)s(X)t(xLT
LT
Transformada de Laplace
Propriedades Modulação
Convolução
j
j
FT
LT
LT
dw)ws(X)w(Y2j
1)s(Z)t(y)t(x)t(z
)s(Y)t(y
)s(X)t(x
)s(X)s(Y)s(Z)t(y)t(x)t(z LT
Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação
Para o caso de TL bilateral:
)0(x)s(Xs)s(Ydt
)t(dx)t(y
)s(X)t(x
LT
LT
)s(Xs)s(Ydt
)t(dx)t(y LT
Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação sucessiva
Para o caso de TL bilateral:
0t
N
1k1n
1nkNNLT
N
N
LT
)t(xdx
ds)s(Xs)s(Y)t(x
dx
d)t(y
)s(X)t(x
)s(Xs)s(Ydt
)t(xd)t(y NLT
N
N
Transformada de Laplace
Propriedades Diferenciação complexa
Integração
s
)s(X)s(Yd)(x)t(y LTt
0
)s(Xds
d)s(Y)t(xt)t(y
)s(X)t(x
LT
LT
Transformada de Laplace
Propriedades Teorema do valor inicial
Teorema do valor final
Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s garantia de convergência
)s(sXlim)0(xs
)s(sXlim)t(xlim0st
Transformada de Laplace
Frações parciais Representação dos sinais por funções
racionais de s
Fatorando o denominador raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)
011N
1NN
011M
1MM
M
asasas
bsbsbsb)s(G
)ps()ps)(ps(
)s(N)s(G
N21
Transformada de Laplace
Frações parciais Fatorando o denominador raízes de G(s)
Determinação dos pólos de G(s)
Esta forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador
Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?
)ps(
K
)ps(
K
)ps(
K)s(G
N
N
2
2
1
1
Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, sem repetição
Multiplicidade nula
No tempo, temos:
ipsii )s(G)ps(K
)(
)(
tueK
tueK
ps
Ktp
i
tpi
i
i
i
i
Transformada de Laplace
Frações parciais Para pólos pi, com m repetições
Multiplicidade m
No tempo, temos:
m,,2,1k,)s(G)ps(ds
d
)!km(
1K
ipsm
ikm
km
k,i
)()!1(
)()!1(
1
1
tuen
tK
tuen
tK
ps
K
tpn
i
tpn
i
ni
i
i
i
Transformada de Laplace
Frações parciais O que fazer quando ordem do numerador é
maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios
Quociente funções descontínuas no tempo Resto/Denominador método das frações parciais
Transformada de Laplace
Frações parciais Exemplos