Post on 05-Feb-2018
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
1/30
SRIE DE FOURIER
Ana Luza Mazalotti Teixeira1, Marcel Freitas de Souza, !ictor "icolau #a$acia%
Resumo
As s&ries de Fourier 'unciona( co(o u( $rocesso )lo*al na resolu+o de $ro*le(as(ate(-ticos, en.uanto .ue u(a s&rie de $ot/ncias a$resenta u(a 'uncionalidade & local0Atra&s da s&rie de Ta2lor de u(a 'un+o ', o*te(os o $olin3(io de Ta2lor, o .ual d- u(aa$roxi(a+o $ara a 'un+o ' nas izin4an+as de u( $onto, entretanto esta 'un+o ' te( .ueser o*ri)atoria(ente suae, lo)o $ara u(a a$roxi(a+o )lo*al, a s&rie de Ta2lor 'al4a, u(aez .ue a a$roxi(a+o de Ta2lor & local e no )lo*al0 A s&rie de Fourier & i($ortante ta(*&(
$ara o*ter o li(ite de ' e( $ontos distantes de x, *e( co(o $ara encontrar alores
a$roxi(ados $ara u(a inte)ral so*re u( interalo, $ois ela tra*al4a co( 'un+5es $eri6dicas0
Palavras-chave: S&ries de Fourier0 Fun+o $ar0 Fun+o ($ar0
1) Introduo
7ean 8a$tiste 7ose$4 Fourier 91:;
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
2/30
Muitas ezes existe( -rios nB(eros co( tal $ro$riedade, sendo .ue o (enor nB(eroreal $ositio co( essa caracterstica & c4a(ado de $erodo 'unda(ental de '0
#lara(ente se $ & $erodo da 'un+o ', todos os seus (Blti$los o sero ta(*&(0 "a'i)ura 0 ilustra=se tal conceito0
Fi)ura 0 Fun+o
$eri6dica co( $erodo 'unda(ental
3) !rie tri"onom!trica
U(a s&rie de senos e cossenos do ti$oC
nx+Bnsen nxAn cos
1
2Ao+
n=1
& dita s&rie tri)ono(&trica, onde na (aior $arte das a$lica+5es a ari-el x & real0 Estas s&riesre$resenta( 'un+5es $eri6dicas de $erodo G, e a so(a ta(*&( ser- u(a 'un+o $eri6dica de
$erodo G0As 'un+5es $eri6dicas $ode( ser re$resentadas $or (eio de u(a s&rie tri)ono(&trica,
deste .ue '9x? satis'a+a os re.uisitos de coner)/ncia esta*elecidos $or (eio das condi+5es deDiric4let0
nx+BnsennxAn cos
f(x )=1
2Ao+
n=1
#) $ondies de %irichlet
A$esar de no ser $ossel ainda deter(inar .uais so as condi+5es necess-rias esu'icientes $ara .ue u(a 'un+o $ossa ser re$resentada $or u(a s&rie tri)ono(&trica, co( as
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
3/30
condi+5es de Diric4let & $ossel )arantir a coner)/ncia da s&rie $ara u(a 'un+o, $or&(co( certa restri+o0 Essas condi+5es soC
10 A 'un+o dee ser contnua, e assi( li(itada, no interalo 9=G,G? exceto talez e( u(
nB(ero 'inito de $ontos de descontinuidade 'inita0
Exe($loC
f(x )=(1 para x 00 para 0 x , f(x+2 )=f(x )Esta 'un+o a$resenta, nu( $erodo, a$enas u( $onto de descontinuidade 'inita e(
x>0
0 Diidindo=se o interalo 9=G,G? e( u( nB(ero 'inito de su*interalos, a 'un+o seco($ortar- de 'or(a (on6tona e( cada su*interalo, a$resentando u( nB(ero 'initode (-xi(os e (ni(os e( u( $erodo0
&) 'rto"onalidade
Dois ter(os so ditos orto)onais e( rela+o a u( $erodo .uando o $roduto internoentre eles 'or nulo0 Tal $ro$riedade & (uito usada $ara a o*ten+o dos coe'icientes de Fourier,tendo e( ista .ue tais coe'icientes so calculados atra&s de $rodutos internos entre doister(os0 Hor isso atra&s da $ro$riedade de orto)onalidade & $ossel sa*er .uais $rodutossero nulos e .uais no, e .ual & a condi+o $ara isso0
Lo)o, $ode(=se esta*elecer as se)uintes rela+5es de orto)onalidade considerando ointeralo de 9=,?, as .uais sero 'unda(entais na resolu+o de $ro*le(as relacionados as&ries de Fourier0
sen(mx) ,sen(nx)=0 semn,ousem=n
sen(mx) ,cos(nx )=0paraquaisquer m en
cos(mx) , cos(nx) =0 semn,ousem=n
Hode(=se de(onstrar (ate(atica(ente as rela+5es ex$ostas aci(a, eaC
a?
sen (mx ) sen (nx ) dx=0 J $ara 9(Kn? inteiros
cos
(m+n )=cos
mxcos
nxsenmxsennx
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
4/30
cos (mn )=cos mx cosnx+senmxsennx
sen mxsennx=1
2 [cos (mn )xxos (m+n )x ]
sen (mx ) sen (nx ) dx=
1
2[cos (mn )xcos (m+n )x ] dx=0
*?
sen (mx )cos
( nx) dx=0
J $ara 9(Kn? e $ara 9(n?
sen (m+n )=senmx cosnx+sennxcosmx
sen (mn )=senmx cos nxsen nxcosmx
sen mx cosnx=1
2
[ sen (m+n )x+sen (mn )x ]
sen (mx )cos ( nx) dx=
1
2[ sen (m+n )x+sen (mn )x ] dx=0
c?
cos (mx ) cos (nx ) dx=0 J $ara (Kn
cos (m+n )=cosmx cosnxsenmxsennx
cos (mn )=cos mx cosnx+senmxsennx
cos (m+n )=12[cos (m+n )x cos (mn )x ]
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
5/30
cos (mx ) cos (nx ) dx=
1
2[cos (mn )xcos (m+n )x ]dx=0
() %eterminao dos coeicientes da s!rie de Fourier
Su$ondo .ue a 'un+o satis'a+a as condi+5es de Diric4let, $ode=se asse)urar .ue as&rie conira uni'or(e(ente no interalo @G x G, se isto ocorrer a s&rie coner)ir-uni'or(e(ente $ara todos os alores de x0 Lo)o, $ode(=se o*ter os coe'icientes da s&rie deFourier ex$lorando=se as rela+5es de orto)onalidade0
nx+BnsennxAn cos
f(x )=
1
2Ao+
n=1
1
Inte)rando=se os dois (e(*ros da e.ua+o inicial 91? entre 9=G,G?
f(x )dx=
1
2Aodx+
n=1
[
Ancos nxdx+
Bnsennx dx]
f(x )dx=12
Ao
dx=1
2Ao (2 )=Ao .
Ao=1
f(x ) dx
#-lculo de anC
Multi$licando=se a e.ua+o inicial 91? $or cos $x, sendo $, nB(ero 'ixo dado e inte)randoentre 9=G,G?
f(x ) cospx dx=
1
2Ao cospx dx+
n=1
[
Ancospx cosnxdx+
Bnsennx cospxdx ]Sendo n $
f(x ) cos nxdx=An
(cos nx)2
dx=An .
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
6/30
An=1
f(x ) cos nxdx
#-lculo de *nC
Multi$licando a e.ua+o inicial $or sen $x, sendo $, nB(ero 'ixo dado e inte)randoentre 9=G,G?
f(x ) sen pxdx=
1
2Aosen pxdx+
n=1
[
An sen px cosnxdx+
Bnsen sennx dx]
f(x ) sen px dx=
Bn(sen nx)2=Bn.
Sendo n $
Bn=1
f(x ) sennx dx
Exemplos:
A? U( exe($lo da utiliza+o da s&rie de Fourier de u(a 'un+o $eri6dica si($les & a onda.uadrada, .ue & u(a 'or(a de onda *-sica encontrada 're.uente(ente nas -reas da eletr3nicae do $rocessa(ento de sinais, ela alterna re)ular(ente e instantanea(ente entre dois neis0
"a 'i)ura ;01, te(=se u( exe($lo de u(a onda .uadrada0
Fi)ura ;01 Onda .uadrada
Hode=se deter(inar a s&rie de Fourier da onda .uadrada ex$osta na 'i)ura ;01, $or(eio do uso dos c-lculos dos coe'icientes analisados nessa se+o0
A 'un+o a$resenta a 'or(a analtica a*aixo
f(x )=(1 x 01 0 x , f(x+2 )=f(x)
Lo)o, $ode=se realizar os c-lculos re'erentes aos coe'icientes da s&rie de Fourier0
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
7/30
1dx+0
1 dx
0
Ao=1
f(x ) dx=1
cosnxdx+0
cosnxdx
0
nx dx=
1
f(x) cos
An=1
An=( sen (0 )+sen(n)n )+(sen (n)sen(0)
n )=0
sennxdx+0
sennxdx
0
Bn=1
f(x ) sennx dx=1
Bn=(cos (0 )cos (n)
n )(cos (n)cos (0)
n )= 2n
[1cos (nx)]
Se n 'or i)ual a u( nB(ero $ar bn=0 , e se n 'or i)ual a u( nB(ero ($ar
bn= 4
n 0
Lo)o, $ode=se o*ter a s&rie de Fourier da 'un+o '9x? co(o sendo i)ual aC
f(x ) 4
sen (x )+ 4
3sen (3x )+ 4
5 sen (5x )+ 4
7 sen (7x)+ 4
9 sen (9x )
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
8/30
8? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier, co(o 'oirealizado0
f(x )=( para x 0
x para0 x , f(x+2 )=f(x)
#-lculo da AoC
Ao=
f(x ) dx= 1[
0
dx+0
x dx]
Ao=1
{ [x ]
0
+1
2[x2 ]0
}=
2
#-lculo de AnC
An=
f(x ) cosnx dx=1[
0
cosnx dx+0
x cosnx dx]
An=1
{n[sen nx ]0 +0
x cosnxdx}= 10
x cos nxdx
An=1
0
x cosnx dx=1
{1n[x sennx ]0+ 1n0
sennxdx}An=
1
0
x cosnxdx=1
{1n2[ cosnx ]0}= 1 n2[1(1)n ]
#-lculo de 8nC
Bn=
f(x ) sennx dx= 1[
0
sennxdx+0
x sennx dx ]Bn=
1
{n[ cosnx ]0 +0
x sen nxdx }=1{[1(1)n ]
n +
0
x sennx dx}
#-lculo de 0
x sennx dx
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
9/30
0
x sennx dx=1n
[x cosnx ]0+
1
n
0
cosnx dx=(1)n+1
n +
1
n2[sennx ]0
=
(1)n+1
n
Bn=[1(1)n ]+(1)n+1
n
Hortanto, a s&rie de Fourier de '9x? & da 'or(aC
nx+n=1
{ [1(1)n ]+(1)n+1n }sennx
f(x )=
4
+1
n=1
[1(1)n ]n2
cos
*) Funes pares e +mpares
U(a 'un+o H9x? & dita $ar .uando H9=x? H9x?0 Ou sea, a 'un+o & si(&trica e(rela+o ao eixo ertical0 "a 'i)ura :01, $ode=se eri'icar u(a 'un+o $ar0
Fi)ura :01 Si(etria $ar
U(a 'un+o I9x? & dita ($ar .uando I9=x? =I9x?0 Ou sea, & si(&trica e( rela+o ori)e(0 "a 'i)ura :0, $ode=se eri'icar u(a 'un+o ($ar0
Fi)ura:0 Si(etria ($ar
Hode(=se esta*elecer as se)uintes $ro$riedades co( rela+o s 'un+5es $ares e ($aresC
1, A so(a de 'un+5es $ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada a so(a de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as $ares, o resultado ser-u(a 'un+o $ar .9x?
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
10/30
.9x? '9x? )9x?
.9=x? '9=x? )9=x?
.9x? .9=x?
2, A so(a de 'un+5es ($ares & u(a 'un+o ($ar0Exe($loC Dada a so(a de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as ($ares, o resultado ser-u(a 'un+o ($ar .9x?
.9x? '9x? )9x?
.9=x? = '9x? = )9x?
.9x? = .9x?
3, O $roduto de duas 'un+5es $ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as $ares, o resultado ser-
u(a 'un+o $ar .9x?
.9x? '9x? 0 )9x?
.9=x? '9=x? 0 )9=x?
.9=x? '9x? 0 )9x?
.9x? .9=x?
#, O $roduto de duas 'un+5es ($ares & u(a 'un+o $ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x? $or )9x?, a(*as ($ares, o resultadoser- u(a 'un+o $ar .9x?
.9x? '9x? 0 )9x?
.9=x? '9=x? 0 )9=x?
.9=x? = '9x? 09= )9x??
.9=x? '9x? 0 )9x?
.9x? .9=x?
&, O $roduto de u(a 'un+o $ar $or u(a 'un+o ($ar & u(a 'un+o ($ar0Exe($loC Dada o $roduto de u(a 'un+o '9x?, sendo essa $ar, $or u(a 'un+o )9x?,sendo essa ($ar, o resultado ser- u(a 'un+o .9x? ($ar
.9x? '9x? 0 )9x?.9=x? '9=x? 0 )9=x?
.9=x? '9x? 09= )9x??
.9=x? = '9x? 0 )9x?
.9=x? = .9x?
(, Toda 'un+o ' '9t? $ode ser deco($osta na so(a0 '9t? '$9t? 'i9t? , onde ' $ '$9t?& u(a 'un+o $ar e 'i 'i9t? & u(a 'un+o ($ar0
Lo)o, $ode=se a$licar os conceitos enunciados a ci(a $ara a o*ten+o da
re$resenta+o e( s&rie de Fourier de u(a 'un+o0 Hortanto, a s&rie de Fourier de u(a 'un+o$eri6dica $ar '9x?, .ue $ossui $erodo G, & u(a s&rie de Fourier e( cossenos0
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
11/30
nx
An cos
f(x )=1
2Ao+n=1
#o( coe'icientesC
Ao=2
0
f(x )dx
An=2
0
f(x) cosnx dx
#onsiderando '9x? $ar, te(=se .ueC
nx+BnsennxAn cos
f(x )=12
Ao+n=1
f(x )=1
2Ao+
n=1
[An cos (nx )+Bnsen(nx)]
#o(o ' & $ar '9=x? '9x?nxBn sennx
Ancos
f(x )=f(x )=12
Ao+n=1
So(ando as duas e.ua+5es a*aixoCnx+BnsennxAn cos
f(x )=12
Ao+n=1
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
12/30
nxBnsennxAn cos
f(x )=1
2Ao+n=1
Lo)oCnx
Ancos
2 f(x )=Ao+2n=1
nx
An cos
f(x )=Ao
2+
n=1
Hor outro ladoC
An=
1
f(x )cos
nxdx
#o(o '9x? e cos 9nx? so 'un+5es $ares, te(=se .ueC
An=1
[
0
f(x )cos nxdx+0
f(x ) cosnx dx]
1[
0
f(x ) cos (nx ) d(x )+0
f(x )cos nxdx
]
1
[
0
f(x ) cosnx dx+0
f(x )cos nxdx ]
1
[20
f(x ) cosnx dx
]
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
13/30
An=2
0
f(x) cosnx dx
A s&rie de Fourier de u(a 'un+o $eri6dica ($ar '9x?, .ue $ossui $erodo G, & u(as&rie de Fourier e( senos0
f(x )=n=1
(Bn sennx)
#o( coe'icientesC
Bn=2
0
f(x )sennxdx
#onsiderando '9x? ($ar, te(=se .ueC
nx+BnsennxAn cos
f(x )=12
Ao+n=1
f(x )=1
2Ao+n=1
[An cos (nx )+Bnsen (nx )]
#o(o ' & ($ar, '9=x? = '9x? te(=se .ueC
f(x )=1
2Ao+
n=1
[An cos (nx )Bnsen (nx )]
Su*traindo as e.ua+5es a*aixoC
nx+BnsennxAn cos
f(x )=1
2Ao+
n=1
f(x)=12
Ao+n=1
[An cos (nx )Bnsen (nx )]
Lo)oC
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
14/30
nx
Bn sen
2 f(x )=2n=1
nx
Bnsen
f(x )=n=1
Hor outro ladoC
Bn=1
f(x ) sennx dx
#o(o '9x? e sen 9nx? so 'un+5es ($ares
Bn=1
[0
f(x ) sennx dx+0
f(x ) sennx dx]
1
[
0
f(x ) sen(nx)d (x)+0
f(x ) sennx dx]
1
{
0
[f(x )] [sen (nx )][d (x)]+0
f(x ) sennx dx}
1
[0
f(x ) sen(nx)dx+0
f(x ) sennxdx ]
Bn=2
0
f(x )sennxdx
Exemplos:
S&rie de Fourier de u(a 'un+o $ar
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
15/30
A? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier, co(o 'oirealizado0
f(x )=
( x
para0 x
2x
p a r a x 2
, f(x+2 )=f(x)
#o(o '9x? & u(a 'un+o .ue a$resenta si(etria co( rela+o ao eixo ertical 9x>?,ela & considerada u(a 'un+o $ar, $ortanto $ode=se utilizar os recursos (ostrados co( rela+oa 'un+5es $ares nesse t6$ico0 Ou seaC
Bn=0
Ao=2
0
f(x ) dx=2
0
x
dx=
2x2
22 ]0
=1
An=2
0
f(x) cosnx dx= 2
0
x
cosnx dx=
2
2
0
x cosnx dx
An=
( 0 paran par
4
n2
2 paranmpar
A re$resenta+o da s&rie de Fourier 'icaC
f(x )=12
4
2(cosx+ 19 cos 3x+ 125 cos 25x+)
S&rie de Fourier de u(a 'un+o ($ar
8? Hode=se de(onstrar a utiliza+o da s&rie de Fourier $ara 'un+o ($ar $or (eio da an-lise da'un+o dente de serra0
Fi)ura :0% S&rie de Fourier de u(a 'un+o ($ar
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
16/30
f(x )=x para
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
17/30
T
2 a G * 91?
T2 =a G * 9?
So(ando=se essas duas e.ua+5es desco*ri(os .ue *>, su*stituindo o alor de * e(91? te(osC
T
2 a GJ aT
2 G, lo)o
t 9T
2 G? xJ x 92
T ? t
Ex$ressando a ari-el t e( 'un+o de x, te(os f( t)=f(T2 x) , .ue & de'inida nointeralo 9=G, G?0
nx+BnsennxAn cos
f( t)=f(T2 x )=12Ao+n=1
OndeC
Ao=1
f( T2 x)dx
An=1
f(T
2 x)cosnx dx
Bn=1
f(T2 x )sennx dx
Hara si($li'icar os c-lculos 'az=se x=2
T t e dx=
2
T dt
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
18/30
f( t)=12
Ao+n=1
Ancos( 2 nT t)+Bnsen( 2 nT t)
OndeC
Ao=1
T2
T
2
f(t)2
T dt
Ao=2
TT
2
T
2
f( t) dt
An=2
TT2
T
2
f( t)cos ( 2ntT )dt
Bn=2
TT
2
T
2
f( t) sen( 2nt
T )dt
Exemplos:
A? U( exe($lo uso da s&rie de Fourier & no estudo da onda trian)ular, .ue & u(a es$&cie *-sicade 'or(a de onda no=senoidal .ue rece*eu este no(e deido ao seu 'or(ato se(el4ante a u(trin)ulo0 "a 'i)ura
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
19/30
x dx+0
1
x dx
1
0
Ao=1
11
1
f(x )dx=
Ao=1
11
1
f(x )cos (nx)dx=1
0
xcos (nx )dx+0
1
x cos (nx)dx
An=[ 1
(n)2cos ( 0 )+ 1
nsen (n) 1
(n)2cos (n) ]
+ 1
(n)2sen (n)+
1
(n)2cos (n)
1
(n)2cos (0 )
[ 1( n)2 1(n)2 cos (n) ]+[ 1(n)2 cos (n) 1(n)2 ]
2
(n)2[cos (n)1 ]
Se n 'or i)ual a u( nB(ero $ar an=0 , e se n 'or i)ual a u( nB(ero ($ar
an=4
(n)2 0
Bn=1
11
1
f(x ) sen(nx)dx=1
0
x sen (nx)dx+0
1
x sen (nx)dx
Bn=[ 1(n)2 sen ( 0 ) 1ncos (n) 1(n)2 sen(n)]+1n
cos (n)+ 1
(n)2sen (n)
1
(n)2sen(0)
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
20/30
1
ncos (n) 1
ncos (n)=0
Lo)o, $ode=se o*ter a s&rie de Fourier da 'un+o '9x? co(o sendo i)ual aC
f(x ) 124
2cos(x)
4
9 2cos (3x )
4
252cos(5 x)
4
492cos (7x )
8? Hode=se de(onstrar a utiliza+o da s&rie de Fourier $ara 'un+o $ar $or (eio da an-lise da
'un+o $eri6dica f(x )=x2
, cuo $erodo da 'un+o & 1, ou sea, T 10
Fi)ura
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
21/30
f(x )=13+
4
2
n=1
(1)n
n2
cos(nx)
0) udana de intervalo
Hode=se )eneralizar o conceito de S&ries de Fourier $ara 'un+5es dentro de u(interalo ar*itr-rio 9a,*?, onde a e * so nB(eros reais0 Inicial(ente considerar=se o caso
$articular de u( interalo 9=$,$?0
f(x )=12
Ao+1
Ancos( nxp)+Bn sen( nxp)
Onde os coe'icientes da s&rie de Fourier so i)uais aC
An=1
pp
p
f(x )cos(nxp)dx
Bn=1
pp
p
f(x ) sen( nxp)dx
A discusso aci(a $ode ser ada$tada $elo es$a+o euclidiano c$ [a , b ] 0 #o( e'eito,
caso considere=se 2p=ba , a s&rie de Fourier $ode ser escrita da se)uinte 'or(aC
f(x )=1
2Ao+
1
[Ancos( 2 nxba)+Bnsen( 2nxba)]
Onde os coe'icientes da s&rie de Fourier $ara o res$ectio interalo so i)uais aC
Ao= 2
baa
b
f(x ) dx
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
22/30
An= 2
baa
b
f(x ) cos(2 nxba)dx
Bn= 2
baa
b
f(x ) sen( 2 nxba)dx
1) !ries em senos e cossenos
As 'un+5es $eri6dicas co( si(etria $ar e ($ar e suas res$ectias re$resenta+5es $or(eio de s&ries de Fourier 'ora( analisadas na se+o :, e $ode=se a$urar .ue se u(a 'un+o &
$ar e $eri6dica, ento essa $ode ser ex$andida e( u(a s&rie de Fourier de cossenos e caso a'un+o sea ($ar e $eri6dica, ento essa $ode ser ex$andida e( u(a s&rie de Fourier desenos0
Hor conse)uinte, $ode=se desenoler u(a s&rie de Fourier de u(a 'un+o ' de'inida
no interalo [a , b ] sendo essa re$resenta+o con4ecida co(o ex$anso e( (eio $erodo0
Sea a 'un+o '9x? de $erodo T=2 a , caso a 'un+o '9x? sea $ar a s&rie de Fourier
'ica re$resentada da se)uinte (aneiraC
f(x )=12
Ao+n=1
[Ancos
(
nx
a
)]#o( coe'icientes i)uais aC
Ao=2
a
0
a
f(x ) dx
An=2
a0
a
f(x ) cos
(nx
a
)dx
"a 'i)ura 1>01 o*sera=se u(a 'un+o '9x? de'inida no interalo [0,a ]
Fi)ura 1>01 Fun+o '9x?
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
23/30
E'etuando=se u( $rolon)a(ento $eri6dico $ar, a 'un+o '9x? anterior $ode serre$resentada )ra'ica(ente $ela 'i)ura 1>00
Fi)ura 1>0 Hrolon)a(ento $eri6dico $ar de '9x?
#onsiderando=se a 'un+o '9x? co(o sendo ($ar, a s&rie de Fourier 'icar-
re$resentada da se)uinte 'or(aC
f(x )=n=1
[Bnsen (nxa) ]#o( coe'iciente i)ual aC
Bn=2
a0
a
f(x ) sen( nxa)dx
Realizando=se u( $rolon)a(ento $eri6dico ($ar, a 'un+o '9x? re$resentada na'i)ura 1>01 $ode ser re$resentada )ra'ica(ente $ela 'i)ura 1>0%0
Fi)ura 1>0% Hrolon)a(ento $eri6dico ($ar de '9x?
Exemplos:
A? Dada a 'un+o a*aixo, $ode=se o*ter u(a re$resenta+o e( s&rie de Fourier co( u(a
ex$anso $ar0
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
24/30
Fi)ura 1>0 Hrolon)a(ento $eri6dico $ar
f(x )=x ,0 x
#-lculo de AoC
Ao= 4
20
x dx=2
[
x2
2
]0
=2
[
2
20
]=
#-lculo de AnC
An= 4
2
0
x cosnx dx=2
[xnsennx+ 1n2 cosnx ]0
= 2
n2
[ cosn1 ]
An=
(
0 paran par
4
n2
para nmpar
Hortanto, a re$resenta+o da 'un+o e( s&rie de Fourier 'icaC
f(x )=
2
4
cosx
4
9 cos3x
4
25 cos5x
8? Dada a (es(a 'un+o do exe($lo anterior $ode=se realizar u(a ex$anso $eri6dica ($ar,sendo .ue o resultado o*tido & exata(ente o alor encontrado $ara a 'un+o dente de serra, a.ual - 'oi a*ordada anterior(ente no t6$ico re'erente a 'un+5es $ares e ($ares0 Suare$resenta+o & da 'or(aC
f(x )=2n=1
(1)n
n sen(nx )
11) !rie de Fourier na orma complea
A s&rie de Fourier $ode ser ex$ressa ta(*&( na 'or(a co($lexa, nessa 'or(a oster(os so re$resentados co(o 'un+5es ex$onenciais, ao in&s de sere( re$resentados e(ter(os de 'un+5es tri)ono(&tricas co(o era( anterior(ente0
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
25/30
#onsiderando u(a 'un+o '9x? de'inida no interalo (T2 ,T
2 ) sua re$resenta+o na'or(a tri)ono(&trica & i)ual a
f( t)=12
Ao+n=1
[Ancos(2 n
T x)+Bnsen(
2 nT
x )]
#o( coe'icientes i)uais aC
Ao=2
TT2
T
2
f(x ) dx
An=2
TT
2
T
2
f(x ) cos( 2nT)dx
Bn=2
TT2
T
2
f(x ) sen(2n
T )dx
Hela de'ini+o de ex$onencialC
ex+iy=ex [cos (y )+isen(y )]
Lo)oC
e2nix
T =[cos( 2nixT )+ isen(2 nixT )] 1e2nix
T =[cos(2 nixT )isen( 2nixT )]
So(ando as 'un+5es 1 e C
cos(2 nixT )=12 [e2 nix
T +e2 nix
T ] %
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
26/30
Su*traindo a e.ua+o da e.ua+o 1, e le(*rando .ue i=1
i , lo)oC
sen (2nix
T )=i
2 [e2nix
T e2nix
T
]
Su*stituindo as e.ua+5es % e no so(at6rio da e.ua+o da s&rie de Fourier na 'or(atri)ono(&trica , te(=se .ueC
n=1
[An cos(2 nT x )+Bnsen ( 2nT x)]=n=1
An
2[e
2 nix
T +e2 nix
T ] iBn2
[e2 nix
T e2 nix
T ]
n=1
[ (AniBn)2 e2 nix
T +(An+iBn)
2e2 nix
T ]De'inindo o coe'iciente #n co(oC
Cn=1
2(AniBn)
E ta(*&(C
Cn=1
2(An+iBn )
Assi( a e.ua+o $ode ser reescrita co(o sendoC
n=1
[An cos
(2 n
T
x
)+Bnsen
(2n
T
x
)]=
n=1
[Cne2 nix
T + Cne2 nix
T ]
Hode=se o*serar .ue os coe'icientes da s&rie de Fourier na 'or(a tri)ono(&trica $ara
o interalo (T2 ,T
2 ) so i)uais aC
An= 2TT
2
T
2
f(x ) cos(2nT)dx=
2TT
2
T
2
f(x ) cos(2 nT )dx=An
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
27/30
Bn=2
T
T2
T
2
f(x ) sen
(
2n
T
)dx=
2
T
T2
T
2
f(x ) sen
(
2n
T
)dx=Bn
HortantoC
Cn=1
2(An+iBn )=Cn=1
2(Ani Bn )=Cn
Hor conse.P/ncia, o so(at6rio & i)ual aC
n=1
[An cos
(2 n
T x
)+Bnsen
(2nT
x
)]=n=1
[Cne2 nix
T +Cn e2 nix
T
]Fazendo n ariar e( todo o conunto dos nB(eros naturais, exceto zero, entoC
n=0
[An cos(2nT x )+Bnsen (2nT x)]=n Cne2nix
T
Os coe'iceintes #o e #n $ode( ser calculados $elas e.ua+5esC
Cn=1
TT2
T
2
f(x ) e2nix
T dx,n
Co=1
TT
2
T
2
f(x ) dx
Desse (odo, a s&rie de Fourier na 'or(a co($lexa $ara u( interalo ar*itr-rio
(T2 , T2 ) & i)ual aC
f(x )=Co+n
Cn e2 nix
T
Exemplos:
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
28/30
A? Hode=se re$resentar a onda .uadrada do exe($lo ;01 co(o u(a s&rie de Fourier co($lexa,sendo a re$resenta+o da 'un+o na 'or(a analtica a se)uinteC
f(x
)=(1 x 0
1 0 x , f
(x+
2 )=
f(x)
Atra&s das '6r(ulas o*tidas $ara o c-lculo dos coe'icientes da s&rie de Fourierde(onstrados anterior(ente, lo)oC
f(x ) e2nix
T dx= 1
2
f(x ) einx dx
Cn=1
TT2
T
2
1
2 [0
enix dx+0
enix
dx]
1
2 [ 21 ( ein+ein)]
1
2 [ 22 cos (n) ]
1
in[ 1cos (n)]
i
n[cos (n)1 ]
Cn=( 0 sen ! par2 in
sen ! mpar
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
29/30
f(x ) dx= 12
f(x ) dx= 12[
0
1dx+0
1dx]= 12[+]=0
Co=1
TT2
T
2
Lo)o, a re$resenta+o da s&rie de Fourier na 'or(a co($lexa da onda .uadrada &i)ualC
f(x ) 2 i
5 e
5 ix2 i
3 e
3 ix2i
e
ix2 i
e
ix 2i
3 e
3ix2 i
5 e
5ix
8? Hode=se re$resentar a onda trian)ular - analisada anterior(ente na 'or(a de u(a s&rie deFourier co($lexa co(o est- de(onstrado a*aixoC
f(x )=(x 1 x 0x 0 x1 , f(x+2)=f(x)
#-lculo de #nC
f(x ) einx dx=12 [1
0
x einx dx+0
1
x einx
d x ]f(x ) e
2nixT dx=
1
21
1
Cn=1
TT2
T
2
Cn=1
2 [(ixn+ 1(n)2 )einx|10
+(ixn+ 1(n)2 )einx|0
1
]Cn=
1
2 [ 1(n)2+(in+ 1(n)2 )ein+( in+ 1(n)2 )ein 1(n)2 ]
7/21/2019 Trabalho Sc3a9rie de Fourier
30/30
Cn=1
2 [ 2(n)2+ 2cosn(n)2 ]= 1(n)2[cosn1 ]
Dee=se calcular #o se$ara(ente, $ois se a$licar(os n > na e.ua+o aci(a oresultado ser- nulo, $ois 4- u(a diiso $or zero0
f(x ) dx= 12 [1
0
x dx+0
1
xd x ]=12Co=
1
21
1
Lo)o, a re$resenta+o da 'un+o &C
f(x )= 2
252e
5 ix 2
9 2e3 ix
2
2eix+
1
22
2e
ix 2
92e
3 ix
$oncluso
Hode=se $erce*e .ue os estudos desenolidos $or 7ean 8a$tiste 7ose$4 Fourier
ultra$assara( os li(ites da *arreira dos $ro*le(as relacionados condu+o do calor, ea$resenta( u(a )rande i($ortncia nas resolu+5es de $ro*le(as $r-ticos relacionados 'sica e en)en4aria, sendo .ue $ode(os citar co(o exe($lo o c-lculo da intensidade dacorrente de u( circuito el&trico sueito a u(a 'or+a eletro(otriz ari-el $eri6dica e ade'lexo de u(a i)a uni'or(e(ente carre)ada co( u(a car)a . $or unidade deco($ri(ento0
4i.lio"raia
A$ostila S&rie de Fourier >1>0 8utQo, Eu)ene = Fsica Mate(-tica = editora uana*ara oo)an, 1