Post on 05-Jul-2018
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
1/27
JACKELINE MATIAS ALVES
CÔNICAS
HIPÉRBOLE, PARÁBOLA, ELIPSE E A CIRCUNFERÊNCIA
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
2/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
JACKELINE MATIAS ALVES, 20
CÔNICAS
HIPÉRBOLE, PARÁBOLA, ELIPSE E A CIRCUNFERÊNCIA
Trabalho de Pesquisa apresentado à Escola
Estadual Professora Silvana Evangelista
como um dos requisitos para obtenção de
nota na disciplina de Matemática.
Professor !obson
2SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
3/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
Sumár!
"# INTRO$U%&O......................................................................................................."
2# PARÁBOLA............................................................................................................#
".$ Equação da Parábola..............................................................................................%
"." Equação &eral da Parábola....................................................................................'
'# ELIPSE.................................................................................................................$(
).$ Equação da Elipse.................................................................................................$$
(# HIPÉRBOLE..........................................................................................................."
*.$ Elementos de uma +ip,rbole.............................................................................."*." Equação redu-ida da hip,rbole.........................................................................."
)# CIRCUNFERÊNCIA..............................................................................................."
#.$ Equação da circunferncia.................................................................................."
#." Posiç/es do ponto em relação á circunferencia................................................."
#.* Posiçoes relativas de duas circunferencias........................................................"
(# BIBLIO*RAFIA#....................................................................................................."*
3SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
4/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
"# INTRO$U%&O
0s seções cônicas são curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto
de duas folhas com um plano. E1posiç/es gerais sobre as seç/es c2nicas são
conhecidas antes da ,poca de Euclides 34 )"#5"%# a.6.7 e e1iste uma
diversidade de definiç/es para elas8 cu9a equivalncia , mostrada na &eometria
Elementar. 0tualmente8 as mais usuais referem5se à propriedade foco -
diretriz dessas curvas8 por,m8 em seu c,lebre tratado sobre as seç/es c2nicas8
0pol2nio de Perga 34 "%"5$'( a.6.7 não mencionou essa propriedade e não
e1istia um conceito num,rico que correspondia ao que chamamos de
e1centricidade. 6oube a Pierre de :ermat a descoberta de que as seç/es
c2nicas podem ser e1pressas por equaç/es do segundo grau nas
coordenadas 318;7.
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
5/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
0lgumas definiç/es de figuras geom,tricas surgem da
intersecção de outras figuras. 6omo e1emplo citamos o
surgimento da parábola atrav,s da intersecção transversal de
um cone. =e9a figura
>e uma forma mais detalhada e utili-ando conceitos matemáticos
em relação aos estudos da &eometria 0nal?tica8 podemos definir
as condiç/es de formação de uma parábola atrav,s da utili-ação
de um plano de coordenadas cartesianas.
Suponha um ei1o d vertical e dois pontos : e =8 de acordo com a
representação
0 dist@ncia entre a reta vertical d e o ponto = deve ser
a igual à dist@ncia entre os pontos = e :.
>eterminaremos uma sequncia de pontos os quais
deverão estar à mesma dist@ncia de : e d. Abserve
0 parábola , formada pela união de todos os pontos do plano que estão à mesma
dist@ncia do ponto : 3foco7 e da reta vertical d.
Todos os pontos do plano que possuem essa caracter?stica pertencem à parábola8
para tal verificação determinamos uma e1pressão matemática responsável por
essas comprovaç/es
Ande
5SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
6/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
V: vértice da parábola.
F: foco da parábola
c: coeficiente que indica a distância do foco ao vértice,
deterinando a concavidade da parábola.
2#"#E+u-.! / Prá!1• E1m34!5 / um 6rá!17
>ada uma reta d e um ponto F 8 definimos 6rá!1 como o lugar geom,trico dos
pontos equidistantes do ponto F e da reta d .
0 parábola conta com os seguintes elementos
0 reta d , chamada de /r4r8 da parábola e o ponto F , o ponto focal8 ou 9!:! da
parábola. 0l,m destes dois elementos ainda temos o ponto V 8 v,rtice da parábola e
a reta que passa pelos pontos = e F que , chamada de ;! / 5m4r.
• E+u-.! / 6rá!1 :!m m
0ntes de fornecermos a equação
geral da parábola8 vamos analisar a
equação de quatro casos particulares
onde o v,rtice das parábolas se
encontram na origem dos ei1os no
plano cartesiano.
$B = 3(C(78 >iretri- ; D 5c e foco : 3(C c7
6SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
7/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7
temos que
"B caso = 3(C(7 >iretri- ;Dc e foco :
3(C 5c7
6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7 temos que
)B = 3(C(7 >iretri- 1D5c e foco :
3cC(7
7SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
8/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7 temos que
*B caso = 3(8(7 >iretri- 1Dc e foco: 35cC(7
6omo d 3P8 :7 Dd 3P8 P7 temos que
8SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
9/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
0ssim8 para parábolas com v,rtice na origem8 = 3(8(78 temos as equaç/es 1F D *c;8
1F D 5*c;8 ;F D *c1 e ;F D 5*c1.
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
10/27
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
11/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
Elementos da Elipse
:$ e :" N são os focos
6 N 6entro da elipse
"c N dist@ncia focal
"a N medida do ei1o maior
"b N medida do ei1o menor
cOa N e1centricidade
+á uma relação entre os valores a8 b e cN a" D b"c"
).$.E+u-.! / E165#
$B caso Elipse com focos sobre o ei1o 1.
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
12/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
"B 6aso Elipse com focos sobre o ei1o
;.
etermine a equação redu-ida da elipse sabendo que um dos focos ,
:$3( 8 5)7 e que o ei1o menor mede Q.
Solução temos que
12SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
13/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
Se :$3( 8 5)7 N c D ) e o foco está sobre o ei1o ;.
"b D Q N b D *
Rsando a relação notável a" D b"c"8 obtemos
a" D *")" N a" D $% ' N a" D "# N a D #
0ssim8 a equação redu-ida da elipse será
Se :$3( 8 5)7 N c D ) e o foco está sobre o ei1o ;.
"b D Q N b D *
Rsando a relação notável a" D b"c"8 obtemos
a" D *")" N a" D $% ' N a" D "# N a D #
0ssim8 a equação redu-ida da elipse será
*. +LP!AKE
>efinição Se9am :$ e :" dois pontos do plano e se9a "c a dist@ncia entre eles8
hip,rbole , o con9unto dos pontos do plano cu9a diferença 3em mUdulo7 das
dist@ncias à :$ e :" , a constante "a 3( I "a I "c7.
13SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
14/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
*.$Elementos de uma +ip,rbole
:$ e :" N são os focos da
hip,rbole
A N , o centro da hip,rbole
"c N dist@ncia focal
"a N medida do ei1o real ou
transverso
"b N medida do ei1o
imaginário
cOa N e1centricidade
E1iste uma relação entre a8 b e c N c" D a" b"
(#2Equação redu-ida da hip,rbole
$B caso +ip,rbole com focos sobre
o ei1o 1.
:ica claro que
nesse caso os
focos terão
coordenadas :$ 35c 8 (7 e :"3 c 8 (7.
0ssim8 a equação redu-ida da
elipse com centro na origem do
plano cartesiano e focos sobre o
ei1o 1 será
14SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
15/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
"B caso +ip,rbole com focos sobre o ei1o ;.
a relação notável8 obtemosc" D a" b" N #" D )" b" N b" D"# V ' N b" D $% N b D *
0ssim8 a equação redu-ida será dada por
E1emplo ". Encontre a equação redu-ida da hip,rbole que possui dois focos com
coordenadas :" 3(8 $(7 e ei1o imaginário medindo $".
Solução Temos que
:"3(8 $(7 N c D $(
"b D $" N b D %
15SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
16/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
Rtili-ando a relação notável8
obtemos
$(" D a" %" N $(( D a" )% N
a" D $(( V )% N a" D %* N a D Q.
0ssim8 a equação redu-ida da
hip,rbole será dada por
E1emplo ). >etermine a dist@ncia focal da hip,rbole com equação
Solução 6omo a equação da hip,rbole , do tipo temos que
a" D $% e b" D'
>a relação notável obtemos
c" D $% ' N c" D "# N c D #
0 dist@ncia focal , dada por "c. 0ssim8
"c D "W# D$(
Portanto8 a dist@ncia focal , $(.
#. 6L!6R
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
17/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
A comprimento 6 de uma circunferncia de
raio r pode ser determinado retificando5se a
circunferncia
• Ar:!5 @3>u1!5
6onsideremos dois pontos8 0 e 8 em uma circunferncia de centro A. o @ngulo
formado pelos segmentos A e 0A8 com o v,rtice no centro8 , denominado @ngulo
central.
0Y D @ngulo central
A @ngulo central determina na circunfernciadois arcos de circunferncia
Se 0 e forem coincidentes8 teremos um arco
nulo e outro de uma volta.
• *ru R/3!
0s unidades de medida de arcos são grau e radiano. 0rcos de$Z , aquele cu9o comprimento , igual a $O)%( do comprimento
da circunferncia. A arco de uma volta corresponde8 portanto8 a
6D)%(Z.
0rco de um radiano 3$ rad78 , aquele cu9o comprimento ,
igual ao raio da circunferncia em que esta contido.
17SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
18/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
Se $ rad , a medida de um arco cu9o comprimento 3retificado7 ,
igual a $r8 então " rad , a medida de um arco de comprimento
igual a "r8 [rad , a medida de um arco de comprimento igual a [r e " [rad , a
medida de um arco de comprimento e " [r. A arco de uma volta corresponte8
portanto8 6 D "[r. Kogo
>enomina5se medida de uma arco em radianos a ra-ão entre seu comprimento e o
comprimento do raio da circunferncia em que está contido8 ambos na mesmaunidade de medida.
#.$EUA%&O $A CIRCUNFERÊNCIA
18SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
19/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
• . Equação redu-ida
Se9a uma circunferncia com centro no ponto G 3a8 b7 e raio rC temos o ponto P 318 ;7
pertencente à circunferncia se8 e somente se
/ , P D r ou
Então8 uma circunferncia com centro no ponto G 3a8 b7 e raio r tem equação 31 V
a7" 3; V b7" D r " 3equação redu-ida da circunferncia7.
Abservação V Se o centro da circunferncia estiver na origem8 então D D (8 esua equação será
1" ;" D r "
• Equação geral ou normal
>esenvolvendo a equação redu-ida 31 V a7" 3; V b7" D r "8 vamos obter
1" V "a1 a" ;" V "b; b" V r " D (
Portanto8 1" ;" V "a1 V "b; a" b" V r " D ( , a equação geral da circunferncia.
Abservação V 0 equação normal da circunferncia tamb,m pode ser apresentada na
forma 1
"
;" 01 V ; 6 D (8 onde
19SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
20/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
0 D 5"a8 D 5"b e 6 D a" b" V r "
0plicação
>etermine as equaç/es da circunferncia de centro 3$8 #7 e raio ".
S!1u-.!7
Sendo a D $8 b D # e r D "8 então8 temos
Sendo a D "8 b D * e r D )8 então8 temos
31 V a7" 3; V b7" D r" 31 V $7" 3; V #7" D ""
31 V $7" 3; V #7" D * 3equação redu-ida7
31 V $7" 3; V #7" D *
1" V "1 $ ;" V $(; "# V * D (
1
"
;
"
V "1 V $(; "" D ( 3equação geral7
)#2PASL\]ES >A PA
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
21/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
` P!34! P 6r43:
:r:u39r?3:7 por fim8 temos o caso no qual a
dist@ncia do ponto P ao centro , igual ao raio.
Portanto8 quando se conhece o raio da circunferncia e dese9a5se analisar a posiçãorelativa de um ponto a uma determinada circunferncia8 basta comparar a dist@ncia
do Ponto ao centro da circunferncia com o valor do raio8 feito isso voc será capa-
de determinar as posiç/es relativas. 6om isso , necessário saber como se calcula a
dist@ncia entre dois pontos8 esse estudo voc pode acompanhar no artigo >ist@ncia
entre dois Pontos.
=e9amos algumas situaç/es para reali-ar esse tipo de análise quanto às posiç/esrelativas entre um ponto e uma circunferncia.
0nalise as posiç/es relativas entre os pontos dados e a circunferncia 31$7 "
3;$7"D' 8 cu9os pontos são 035"8"7. 35*8$78 >3$8$78 E35*85$7
>evemos obter duas informaç/es necessárias para reali-ar os cálculos8 que são as
coordenadas do 6entro da circunferncia e o raio8 da equação redu-ida podemos
obter facilmente essas duas informaç/es 6 35$8 5$7 e raio ).
21SÃO PAULO
2016
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htmhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
22/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
asta calcular as dist@ncias dos pontos at, o centro e comparar com o raio.
=e9amos a representação gráfica das posiç/es relativas
desses pontos em relação à circunferncia.
=e9a que apenas com o conceito de dist@ncia entre pontos foi poss?vel abordar
vários temas da geometria anal?tica. 0 dist@ncia entre pontos está presente em
praticamente toda a geometria anal?tica8 se não8 em toda ela.
)#'POSI%ES $A RETA EM RELA%&O Á CIRCUNFERENCIA
• P!5-G5 r14
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
23/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
0 reta s , e1terna à circunferncia de centro A e
raio !8 então podemos propor a seguinte situação
a dist@ncia do centro da circunferncia à reta s ,
maior que o raio da circunferncia.
> H !
!eta tan%ente # circunfer$ncia
0 reta s , tangente à circunferncia de centro A e raio !8 isto
,8 a reta s possui um ponto em comum com a circunferncia8
por isso podemos di-er que a dist@ncia entre centro A at, a
reta s possui a mesma medida.
> D !
!eta secante # circunfer$ncia
0 reta s , secante à circunferncia de raio ! e centro A8 a reta
intersecta a circunferncia em dois pontos. I !
)#(PASL\AES !EK0TL=0S >E >R0S 6L!6R
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
24/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
• 6ircunferncias tangentes.
a7 Tangentes e1ternas
>uas circunferncias são tangentes internas quandopossuem somente um ponto em comum e uma e1terior
à outra. 0 condição para que isso ocorra , que a
dist@ncia entre os centros das duas circunferncias se9a
equivalente à soma das medidas de seus raios.
dA6 D r $ r "
b7 Tangentes internas
>uas circunferncias são tangentes internas quando possuem
apenas um ponto em comum e uma este9a no interior da outra.
0 condição para que isso ocorra , que a dist@ncia entre os dois
centros se9a igual à diferença entre os dois raios.
dA6 D r $ 5 r "
• 6ircunferncias e1ternas.
>uas circunferncias são consideradas
e1ternas quando não possuem pontos em
comum. 0 condição para que isso ocorra ,
que a dist@ncia entre os centros das circunferncias deve ser maior que a soma
das medidas de seus raios.
dA6 H r $ r "
24SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
25/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
). 6ircunferncias secantes.
>uas circunferncias são consideradas secantes quando
possuem dois pontos em comum. 0 condição para que
isso aconteça , que a dist@ncia entre os centros das
circunferncias deve ser menor que a soma das medidas
de seus raios.
d6A I r $ r "
*. 6ircunferncias internas.>uas circunferncias são consideradas internas quando
não possuem pontos em comum e uma está locali-ada no
interior da outra. 0 condição para que isso ocorra , que a
dist@ncia entre os centros das circunferncias deve ser
equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.
dA6 I r $ 5 r "
#. 6ircunferncias concntricas.
>uas circunferncias são consideradas concntricas quando
possuem o centro em comum. adas as circunferncias e 8 de equaç/es
1" ;" D '
31 V 7" ;" D $%
25SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
26/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
=erifique a posição relativa entre elas.
Solução Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a
medida do raio de cada uma das circunferncias. 0trav,s da equação de cada uma
podemos encontrar esses valores.
6omo a equação de toda circunferncia , da forma 31 V 1(7" 3; V ;(7" D r "8 teremos
6onhecidos os elementos de cada uma das circunferncias8 vamos calcular a
dist@ncia entre os centros8 utili-ando a fUrmula da dist@ncia entre dois pontos.
%. LKLA&!0:L0
&ircunfer$ncia. 3)$ de Maio de "($"7. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel em 6ol,gioeb httpOO.colegioeb.com.brOgeometria5analitica5iiOcircunferencia.htmli1--*Qdp1)
Aliveira8 &. 0. 3Sem data de Publicação7. 'osições relativas entre u ponto e uacircunfer$ncia. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel em rasil EscolahttpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOposicoes5relativas5entre5um5ponto5uma5circunferencia.htm
Pereira8 T. 3Sem >ata de Publicação7. &ircunfer$ncia. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?velem LnfoEscola httpOO.infoescola.comOgeometria5planaOcircunferenciaO
26SÃO PAULO
2016
8/15/2019 Trabalho de Matemática - Cônicas
27/27
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA SILVANA EVANGELISTA
!igonatto8 M. 3Sem data de publicação7. (ipérbole. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel emrasil Escola httpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOhiperbole.htm
!igonatto8 M. 3Sem data de publicação7. 'osiç)o relativa entre duas circunfer$ncias. 0cessoem Maio de "($%8 dispon?vel em Mundo Educação 5 RolhttpOOmundoeducacao.bol.uol.com.brOmatematicaOposicao5relativa5entre5duas5circunferencias.htm
!igonnato8 M. 3Sem data de Publicação7. *lipse. 0cesso em Maio de "($%8 dispon?vel emrasil Escola httpOObrasilescola.uol.com.brOmatematicaOelipse.htm
Silva8 M.