Tópicos Especiais do Ensino da Matemática II

• Expressões Numéricas e Algébricas

• Apresentar formas de ensinar a resolução de expressões numéricas e algébricas bem como sua aplicação.

Tema da aula:

Objetivo:

Professor: Dr. Alcides de Castro Amorim Neto

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Expressões Numéricas Definição – É uma forma de expressar, traduzir ou descrever matematicamente uma situação. Essa descrição envolve números, associados por operações, que podem ou não estar agrupados por meio de sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) e operações (potências e raízes, multiplicações e divisões, adições e subtrações).

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Lista de Compras • 3kg de arroz – R$1,80 o quilo • 4kg de batatas – R$ 2,50 o quilo • 12 garrafas de refrigerantes – R$ 2,60 cada garrafa • 1kg de feijão – R$3,40 o quilo • 5kg de frango – R$ 5,90 o quilo

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ResoluçãoQuanto aos sinais de associação

( )

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ResoluçãoQuanto aos sinais de associação

( )[ ]

6

ResoluçãoQuanto aos sinais de associação

( )[ ]{ }

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Quanto às operações • Potenciação e/ou radiciação

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Quanto às operações • Potenciação e/ou radiciação • Multiplicação e/ou divisão

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Quanto às operações • Potenciação e/ou radiciação • Multiplicação e/ou divisão • Adição e/ou subtração

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Quanto às operações • Potenciação e/ou radiciação • Multiplicação e/ou divisão • Adição e/ou Subtração

OBS.: Sempre na ordem em que aparecem!

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Exemplos – 25 + 62 : 12 - √169 + 42 =

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Expressões Numéricas e Histórias IlustradasHistória 1

13

Expressões Numéricas e Histórias IlustradasHistória 2

.

`

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Expressões Numéricas e Histórias IlustradasHistória 3

Seu João tem um sítio onde ele planta e cria animais.

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QUESTÕES ENVOLVENDO EXPRESSÕES NUMÉRICAS

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(OBMEP) Margarida viu no quadro-negro algumas anotações da aula anterior, um pouco apagadas, conforme mostra a figura. Qual é o número que foi apagado?

a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

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Qual o valor da expressão abaixo?

a) 101b) 86c) 7d) 3e) 1

{26 x [ 1024 ; (53 + 37 x 3 - 283)2]3}0

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(CMB) Um feirante comprou 15 “quilos (kg) de alho para vender em pacotes de 150 gramas (g). A final do dia, ele tinha vendido a metade dos pacotes. Dentre as opções abaixo, a única que apresenta a sequência de operações que determina a quantidade de pacotes que restaram ao final do dia é:

a) [(15.100) : 150] : 2b) [(15:100) : 150] . 2c) [(15:1000) . 150] : 2

d) [(15:1000) : 150] : 2e) [(15.1000) : 150] : 2

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

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Índice de Massa Corporal

Onde, M é a massa (peso) e h é a altura

IMC: mh2

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Projeção de Altura[y = 5,7x + 8,5]

Onde, y é a altura esperada em cm e x é a idade da criança em anos.

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Projeção do Peso[p = 2x + 8]

Onde,p é o peso esperado em kg e x é a idade da criança em anos.

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Numeração de Sapatos

Onde, s será o número do sapato e p é o comprimento do pé em cm.

5p + 284

s =

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Altura esperada para um adulto do sexo masculino

Onde,hM será a altura esperada do meninohp é a altura do paihm é a altura da mãe

hp + hm

2hM = + 0, 10

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Altura esperada para um adulto do sexo feminino

Onde,hM será a altura esperada da meninahp é a altura do paihm é a altura da mãe

hp + hm

2hM = + 0, 04

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Testando o conhecimento

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QUESTÕES OBJETIVAS

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Produtos Notáveis(a +b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 – 2ab + b2 (a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 – 3a2b + 3abb2 – b3 (a + b)(a – b) = a2 – b2

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QUADRADO DA SOMA DE 2 TERMOS(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

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Interpretação geométricaConstruímos um quadro de lado a.

A área será a2.

31

Construímos outro quadrado de lado b.

A área será b2.

32

Agora vamos construir dois retângulos com essas unidades a e b.

Logo teremos dois retângulos onde,ab é a área do primeiro retânguloe ba a área do segundo retângulo.

33

Unindo as quatro figuras, formaremos um novo quadrado de lado (a + b)

34

Unindo as quatro figuras, formaremos um novo quadrado de lado (a + b)

35

Unindo as quatro figuras, formaremos um novo quadrado de lado (a + b)

36

Unindo as quatro figuras, formaremos um novo quadrado de lado (a + b)

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TESTANDO SEU CONHECIMENTO

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QUADRADO DA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a – b)2 = (a – b) . (a – b)

39

QUADRADO DA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b

40

QUADRADO DA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a2 – ab – ab + b2

41

QUADRADO DA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a2 – ab – ab + b2

= a2 – 2ab + b2

42

Construímos um quadrado de lado a, então sua área será a2.

Construímos outro quadrado de lado b, onde sua área será b2. 43

Agora, vamos subtrair a área do quadrado de lado b da área do quadrado de lado a.

44

Agora, vamos subtrair o quadrado b do quadrado a.

45

Vamos considerar agora apenas a área do quadrado em cinza, cuja medida dos lados é (a – b)

46

Agora, vamos subtrair o quadrado b do quadrado a.

47

A área do quadrado cinza será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

48

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

49

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ba – b2 + b2 ]

50

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ba – b2 + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ab – b2 + b2 ]

51

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ba – b2 + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ab – b2 + b2 ]

= a2 – [ab + ab – b2 – b2 + b2 ]

52

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ba – b2 + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ab – b2 + b2 ]

= a2 – [ab + ab – b2 – b2 + b2 ]

= a2 – [2ab – b2 ]

53

A área do quadrado azul será a área do quadrado maior, menos a soma das áreas das figuras em branco, ou seja,

(a-b)2 = aa – [(a – b) b + b (a – b) + bb]

= a2 – [ab – bb + ba – bb + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ba – b2 + b2 ]

= a2 – [ab – b2 + ab – b2 + b2 ]

= a2 – [ab + ab – b2 – b2 + b2 ]

= a2 – [2ab – b2 ] = a2 – 2ab + b2

54

De onde podemos concluir que:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

55

TESTANDO SEU CONHECIMENTO

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PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a + b) . (a – b) = a . a – a . b + b . a – b . b

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PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a + b) . (a – b) = a . a – a . b + b . a – b . b = a2 – ab + ba – b2

58

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a + b) . (a – b) = a . a – a . b + b . a – b . b = a2 – ab + ba – b2

= a2 – ab + ab – b2

59

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE 2 TERMOS(a + b) . (a – b) = a . a – a . b + b . a – b . b = a2 – ab + ba – b2

= a2 – ab + ab – b2

= a2 – b2

60

Sejam dois segmentos com medidas a e b.

Vamos construir um retângulo com as medidas dos lados (a + b) e (a – b)

61

Assim, podemos obter dois retângulos menores com áreas a . (a – b) e b . (a – b)

A área total da figura obtida será a soma das áreas de cada retângulo.

62

Assim, teremos:Área total = a . (a + b) + b . (a + b)

Aplicando a propriedade distributiva para efetuar as multiplicações, iremos obter:a . (a – b) + b(a – b) = a . a – a . b + b. a + b . b = a2 – ab + ba + b2

= a2 – ab + ab + b2

= a2 – b2

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TESTANDO SEU CONHECIMENTO

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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CUBO DA SOMA DE 2 TERMOS

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Relembrando:Para formar esse cubo, usamos: um cubo de aresta a, portanto de volume a3;

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Relembrando:Para formar esse cubo, usamos: um cubo de aresta a, portanto de volume a3;três paralelepípedos de volume a2b cada um, totalizando 3a2b;

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Relembrando:Para formar esse cubo usamos: um cubo de aresta a, portanto de volume a3;três paralelepípedos de volume a2b cada um, totalizando 3a2b;três prismas quadrangulares de base b e altura a com volume ab2 cada um, totalizando 3ab2.

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Relembrando:Para formar esse cubo usamos: um cubo de aresta a, portanto de volume a3;três paralelepípedos de volume a2b cada um, totalizando 3a2b;três prismas quadrangulares de base b e altura a com volume ab2 cada um, totalizando 3ab2.um cubo de aresta b, portanto de volume b3. Portanto, podemos concluir que o volume do cubo de arestas (a + b), dado pelo produto de suas dimensões, é: 75

(a+b)(b+a)(a+b) = (a+b)(a+b)(a+b) =(a+b)3

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(a+b)(b+a)(a+b) = (a+b)(a+b)(a+b) =(a+b)3 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3

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TESTANDO SEU CONHECIMENTO

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Interação – Deduzir o cubo da diferença de 2 termos

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