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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA I/2013 DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 18/7/13
TEORIA DOS JOGOS - PÓS
PROFESSOR MAURÍCIO SOARES BUGARIN ECO
bugarin@unb.br htttp://www.bugarinmauricio.com
PROVA
GABARITO
Problema 1-Direito e Economia
A área de Economia e Direito tem por objetivo desenvolver uma análise econômica
das leis. Em particular, essa área do conhecimento se preocupa em entender os incentivos que
certas leis geram no comportamento dos cidadãos. O presente problema, baseado em R. A.
MacCain, “Game Theory: A Non-Technical Introduction to the Analysis of Strategy”
(Thomson, 2004), pretende ilustrar o tipo de análise feito nessa área do conhecimento.
Descrição
Uma importante função da legislação é determinar responsabilidades em situações
envolvendo perdas. Considere a seguinte situação estratégica envolvendo dois agentes, um
pedestre e um motorista de carro. O pedestre deve atravessar a rua por onde passa o motorista.
Para tanto, pode decidir ser muito cuidadoso (M) ou pouco cuidadoso (P). Por outro lado, o
motorista também deve decidir ser muito cuidadoso em sua direção (m) ou pouco cuidadoso
(p). Ser cuidadoso envolve manter grade atenção, o que representa um custo equivalente a 10
unidades de utilidade para qualquer dos dois agentes que decida ser muito cuidadoso. Não há
custo de utilidade se o agente decidir ser pouco cuidadoso.
Se pelo menos um dos agentes for pouco cuidadoso, haverá acidente com certeza. O
acidente ocasionará um custo em termos de utilidade ao pedestre de 100 unidades, incluindo
nesse valor o custo médico-hospitalar e demais custos associados ao tratamento.
Suponha inicialmente que a legislação não prevê qualquer responsabilização pelo
acidente ao motorista, de forma que o pedestre arca com esse custo sozinho em caso de
acidente.
Se os dois agentes decidirem ser muito cuidadosos, as chances de acidente serão
reduzidas consideravelmente, mas ainda assim haverá um acidente com 10% de
probabilidade. Portanto, pela hipótese da utilidade esperada, o pedestre terá uma utilidade
2
esperada de −10=−100x10% causada pela expectativa de acidente, ao qual deve ser
adicionado o custo do elevado cuidado.
(i) Construa um jogo na forma normal correspondendo à situação estratégica acima descrita,
usando, caso lhe pareça mais simples, a forma matricial do jogo. 2
m p
1 M –20, –10 −110, 0
P –100, −10 –100, 0
(ii) Usando o conceito de Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas,
encontre o equilíbrio de Nash do jogo, descrevendo cada etapa de seu raciocínio. Há acidente
em equilíbrio?
A estratégia p é dominante para o jogador 2. Portanto, podemos excluir a estratégia m.
No jogo reduzido, a estratégia P é dominante para o jogador 1. Portanto, 1 jogará P e 2 jogará
p. O equilíbrio de Nash correspondente é: (P, p).
Portanto, nenhum dos dois agentes será muito cuidadoso e necessariamente haverá
acidente.
(iii) Preocupados em reduzir a probabilidade de acidente e, ao mesmo tempo, com o fato do
pedestre ser mais fraco que o motorista, suponha que a lei atribua ao motorista a
responsabilidade de arcar com todo o custo do acidente. Então, em caso de acidente, o
motorista terá uma perda de 100 unidades de utilidade. Lembre que, se os dois agentes forem
muito cuidadosos, ainda assim haverá acidente com probabilidade 0,1 (10%), o que
corresponde a um custo esperado de 10 unidades de utilidade, agora para o motorista, ao qual
deve ser adicionado o custo do cuidado.
Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive
seu equilíbrio de Nash. A legislação atendeu à intenção dos legisladores de reduzir a
probabilidade de acidentes? 2
m p
1 M –10, –20 −10, −100
P 0, −110 0, −100
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A estratégia P é dominante para o jogador 1. Portanto, podemos excluir a estratégia
M. No jogo reduzido, a estratégia p é dominante para o jogador 2. Portanto, 1 jogará P e 2
jogará p. O equilíbrio de Nash correspondente é o mesmo: (P, p).
Portanto, nenhum dos dois agentes será muito cuidadoso, necessariamente haverá
acidente e essa mudança na legislação não atinge o objetivo de reduzir a probabilidade de
acidentes.
(iv) Suponha agora que os legisladores, além da preocupação em reduzir a probabilidade de
acidentes, estão preocupados em atribuir responsabilidades aos agentes pouco cuidadosos, e
criem a seguinte lei: em caso de acidente, o motorista deverá arcar com os custos caso ele
tenha sido pouco cuidadoso e o pedestre tenha sido cuidadoso. Em qualquer outra situação, o
pedestre arcará com os custos. Esse é o princípio da legislação de “torts” Anglo-Americana.
Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive
seu equilíbrio de Nash. A legislação atendeu à preocupação dos legisladores em reduzir a
probabilidade de acidentes? 2
m p
1 M –20, –10 −10, −100
P −100, −10 −100, 0
A estratégia M é dominante para o jogador 1. Portanto, podemos excluir a estratégia
P. No jogo reduzido, a estratégia m é dominante para o jogador 2. Portanto, 1 jogará M e 2
jogará m. O equilíbrio de Nash correspondente é: (M, m).
Portanto, ambos os agentes serão muito cuidadosos e a probabilidade de acidente será
reduzida de 100% nos equilíbrios anteriores para 10%. Logo, essa mudança na legislação
atinge o objetivo de reduzir a probabilidade de acidentes.
(v) Suponha agora que os legisladores decidam que, toda vez que houver acidente, os custos
sejam divididos igualmente entre os agentes envolvidos.
Apresente uma forma matricial para o jogo induzido por essa nova legislação e derive
seu(s) equilíbrio(s) de Nash. A legislação resolveu atendeu à preocupação dos legisladores em
reduzir a probabilidade de acidentes? 2
4
m p
1 M –15, –15 −60, −50
P −50, −60 −50, −50
Esse jogo não possui estratégias dominantes.
Se 1 escolher M, a melhor resposta de 2 será m. E se 2 escolher m, a melhor resposta
de 1 será M. Portanto, encontramos um equilíbrio de Nash (M, m).
Se 1 escolher P, a melhor resposta de 2 será p. E se 2 escolher p, a melhor resposta de
1 será P. Portanto, encontramos um segundo equilíbrio de Nash (P, p).
Naturalmente, há um terceiro equilíbrio, em estratégias mistas, mas não havia
necessidade de calculá-lo. Quem o fez, recebeu ponto extra.
A legislação atende à preocupação de evitar acidentes se os agentes jogarem o
equilíbrio de Nash (M, m), mas não a atende se eles escolherem o equilíbrio de Nash (P, p). A
priori não se pode garantir que o objetivo seja atingido.
(vi) Na sua opinião, qual das duas legislações acima (em (iv) e em (v)) é mais apropriada?
Justifique sua resposta.
Em primeiro lugar, observe que os dois equilíbrios de Nash em (v) são comparáveis
do ponto de vista de Pareto: o equilíbrio (M, m) domina estritamente o equilíbrio (P, p) do
ponto de vista de Pareto. Portanto, também dominará o equilíbrio em estratégia mistas e
temos um forte argumento para prever que o equilíbrio (M, m) será o jogado nesse jogo.
Em segundo lugar, a legislação em (iv) apresenta algumas dificuldades em ser
aplicada na prática, pois não é tão evidente determinar se um agente foi pouco cuidadoso.
Assim sendo, a legislação em (v) parece mais apropriada dada sua simplicidade.
CARO(AS ALUNO(A): NÃO HÁ UMA RESPOSTA “CORRETA” A ESTA
QUESTÃO. BUSCO, POR MEIO DELA, TESTAR SUA CAPACIDADE
ARGUMENTATIVA.
Problema 2-Economia Industrial
Considere a seguinte variação do duopólio de Stackelberg. Uma indústria produz um
bem X cuja curva de demanda inversa é dada por p=60−X. Existe no país uma única empresa
capaz de produzir esse bem, sendo ela, portanto, um monopolista, denotada por M. O custo de
produção de uma quantidade xM para a monopolista M é cM(xM)=12xM. No entanto, esse bem
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é produzido no exterior e pode ser importado. Uma única empresa tem condições de importar
esse bem, desde que invista um montante irrecuperável S=50 em infraestrutura de
armazenamento. Essa empresa deve decidir se entra ou não no mercado, arcando com esse
custo irrecuperável S sendo, portanto, chamada de entrante e denotada por E. O custo de
importação de uma quantidade xE por E é dado pela função de custo cE(xE; i)=(16+i)xE, em
que 16 é o custo unitário do produto importado, incluído transporte, e i corresponde ao
montante do imposto de importação que S deve pagar por cada unidade importada.
O jogo se inicia com o governo, denotado por G, decidindo se cobra o imposto i=8 ou
se isenta de imposto (i=0) a importação desse bem. Tendo observado a decisão irreversível do
governo, o monopolista decide de forma irreversível quanto vai produzir, xM, decisão essa que
se torna pública. Por simplicidade, suponha que M tem apenas duas escolhas: xM=24 e xM=30.
Tendo observado as decisões de G e de M, E decide se entra (e), arcando com o custo
irrecuperável S, ou não entra (ne) no mercado. Se decidir não entrar, o jogo se encerra apenas
com a produção de M. Se decidir entrar, o jogador E tem ainda que decidir a quantidade a ser
produzida, xE. Essa escolha pode ser qualquer valor entre 0 e 60. O jogo então se conclui,
com as produções agregadas de M e de E. Os payoffs correspondentes são os seguintes. O
governo preocupa-se apenas com a quantidade do bem produzida internamente; portanto, sua
utilidade será uG=xM. O monopolista terá como utilidade seu lucro. O entrante terá utilidade 0
se não entrar e, se entrar, terá como utilidade seu lucro, subtraído do custo de entrada S.
(i) O objetivo deste primeiro item é construir uma forma extensiva para este jogo.
Para facilitar seu trabalho, calcule:
(a) Utilidade de M quando E não entra e xM=24
( ) 57624242412242460 =⋅=⋅−− .
(b) Utilidade de M quando E não entra e xM=30
( ) 54030183012303060 =⋅=⋅−− .
(c) Utilidade de E quando entra, produz xE e M produz xM, em função de i, de xE e de xM. ( )=ixxu EME ,, ( )( ) ( ) ( ) SxxxiSxixxx EEMEEME −−−−=−+−+− 441660 .
(d) O valor de xE que maximiza essa utilidade (em função de i e de xM). xE xM , i( )
6
⇔=∂
∂0
E
E
xu xE xM , i( ) = 44− i− xM
2.
(e) Os valores correspondentes do xE ótimo para xM=24 ou 30 e i=0 ou 8.
xE xM = 24, i = 8( ) , xE xM = 30, i = 8( ) , xE xM = 24, i = 0( ) , xE xM = 30, i = 0( )
( ) 6212
2248448,24 ==
−−=== ixx ME .
( ) 326
2308448,30 ==
−−=== ixx ME .
( ) 10220
2240440,24 ==
−−=== ixx ME .
( ) 7214
2300440,30 ==
−−=== ixx ME .
(f) O valor da utilidade de E calculada em (c), substituindo xE pela expressão encontrada em (d).
( ) 502
44442
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=−−−− M
EEMxiSxxxi
(g) Agora basta substituir os valores de xM=24 ou 30 e de i=0 ou 8 para encontrar a utilidade
de E correspondente. uE xM = 24, i = 8( ) , uE xM = 30, i = 8( ) , uE xM = 24, i = 0( ) ,
uE xM = 30, i = 0( )
( ) 14368,24 −=−=== Sixu ME .
( ) 4198,30 −=−=== Sixu ME .
( ) 501000,24 =−=== Sixu ME .
( ) 1490,30 −=−=== Sixu ME .
(h) Utilidade de M quando E entra, xM=24 ou 30, i=0 ou 8, dado que, ao entrar E escolherá xE
otimamente, de acordo com (e).
( )=== 8,24 ixu MM ( ) 432241824122462460 =⋅=⋅−−− .
( )=== 8,30 ixu MM ( ) 450301530123033060 =⋅=⋅−−− .
( )=== 0,24 ixu MM ( ) 3362414241224102460 =⋅=⋅−−− .
( )=== 0,30 ixu MM ( ) 330301130123073060 =⋅=⋅−−− . Apresente agora a forma extensiva procurada, em que, se decidir entrar (e), E
produzirá a quantidade ótima xE calculada em (e). Essa simplificação permite reduzir as
escolhas de E em cada um de seus nós de decisão a ne (não entrar) e e (entrar, em cujo caso já
escolhe a produção ótima). Portanto, sua forma extensiva terá 7 nós de decisão: 1 para G, 2
para M e 4 para E, cada jogador tendo apenas duas possíveis decisões em cada nó. (Há 8 nós
terminais, ou seja 8 nós contendo os payoffs do jogo).
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(ii) Encontre o equilíbrio perfeito em subjogos desse jogo, usando indução retroativa e
apresente os payoffs resultantes.
No nó t6: O jogador E escolhe ne pois 0>−1
No nó t5: O jogador E escolhe e pois 50>0
No nó t4: O jogador E escolhe ne pois 0>−41
No nó t3: O jogador E escolhe ne pois 0>−14
No nó t2: O jogador M escolhe xM=30 pois 540>336
No nó t1: O jogador M escolhe xM=24 pois 576>540
No nó t0: O jogador G escolhe i=0 pois 30>24
O equilíbrio resultante é: (0, (24, 30), (ne, ne, e, ne))
O payoff de equilíbrio é: (30, 540, 0).
(iii) Comente o resultado obtido: O que acontecerá em equilíbrio? O que este jogo nos sugere
em termos de política de importação para um governo?
Em equilíbrio, o governo reduz a zero o imposto de importação. O monopolista,
percebendo que importar se tornou potencialmente lucrativo para o entrante, decide produzir
muita quantidade (xM=30), para desestimular o importador a entrar no mercado. Observando a
i=8 i=0
G
xM=24
E
e
E
e ne ne
24 432 −14
M M
xM=30
E E
e e ne ne
24 576
0
30 450 −41
24 336
50
24 576
0
30 330 − 1
30 540
0
30 540
0
xM=24 xM=30
t0
t1 t2
t3 t4 t5 t6
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produção de M, o entrante conclui que não vale a pena incorrer no custo de abrir um negócio
de importação, mesmo sem ter que pagar impostos de importação, e permanece fora do
mercado. Então M permanece monopolista, mas graças à política do governo, produz mais do
que o ótimo de monopólio, 24. Este exercício nos mostra como o governo pode usar
estrategicamente sua política de importação para aumentar a produção interna.
Problema 3-Economia do Setor Público
O objetivo deste exercício é estender a análise de leilões aos procedimentos de
aquisição de serviços pelo setor público, ou seja, as licitações. Para tanto, considere um
governo que deseja adquirir um bem e para tanto divulga o seguinte mecanismo para a seleção
da empresa que fornecerá o bem ao governo.
Cada empresa deverá escrever em envelope lacrado um valor para o fornecimento do
bem. Os envelopes são abertos ao mesmo tempo e a empresa que apresentar o menor preço
para o fornecimento do bem será escolhida, sendo o preço solicitado aquele que será pago
pelo governo à vencedora.
Suponha que existem duas empresas i=1,2 concorrendo. A empresa i consegue
produzir o bem demandando ao custo ci∈[0,1]. A empresa i conhece seu custo ci. No entanto,
sua competidora (e o governo) sabe apenas que seu custo encontra-se uniformemente
distribuída no intervalo [0,1].
(i) Apresente a utilidade ex-post do jogador 1 quando seu custo é c1, o custo do jogador 2 é
c2 e os jogadores seguem o perfil de estratégias (d1(.), d2(.)).
u1 d1(c1),d2 (c2 )( ), c1,c2( )( ) =
d1(c1)− c1 se d1(c1)< d2 (c2 )d1(c1)− c1
2se d1(c1) = d2 (c2 )
0 se d1(c1)> d2 (c2 )
"
#
$$
%
$$
(ii) Suponha que o jogador 2 escolhe uma estratégia d2(.) estritamente crescente. Apresente a
utilidade esperada ínterim do jogador 1 quando seu custo é c1, seu lance é γ.
U1 γ,d2 (.);c1( ) = γ − c1( )Pr γ < d2 c2( )"# $%+λ1 − c12
Pr γ = d2 c2( )"# $%
9
(iii) Qual é o problema de maximização que 1 deve resolver para escolher o valor de γ que
será uma melhor resposta à estratégia d2(.) (estritamente crescente de 2), dado seu tipo c1?
Resolva esse problema supondo simetria na solução: d1(c)=d2(c)=d(c), para todo c em [0,1].
γmax γ − c1( )Pr γ < d2 c2( )"# $%+
γ − c12
Pr γ = d2 c2( )"# $%
Seja d=d1=d2. Como d é estritamente crescente, o problema acima é equivalente a:
λ1max γ − c1( )Pr γ < d(c2 )[ ]
Como γ<d(c2) ⇔ c2>d−1(γ), Pr γ < d(c2 )[ ] = Pr c2 > d−1 γ( )"# $%=1−Pr c2 < d
−1 γ( )"# $%
Portanto, o problema acima é equivalente a:
γmax γ − c1( ) 1− d−1 γ( )( )
Se a função objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a
solução. Essa condição é:
− γ − c1( ) d−1( )" (γ )+ 1− d−1(γ )( ) = 0
Em um equilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma que γ=d(c1). Assim, a equação
acima pode ser reescrita como:
d c1( )− c1( ) d−1( )" (d(c1)) =1− c1
Como d−1 é a inversa de d, temos: d−1( )
"(d(c1)) = "d (c1)( )−1 , de forma que a equação acima se
transforma em:
d c1( )− c1"d c1( )
=1− c1⇒ d c1( )− c1 = 1− c1( ) "d c1( )⇒ c1 = d c1( )− 1− c1( ) "d c1( )
Observe que ∂ − 1− c1( )d c1( )#$ %&
∂c1= d c1( )− 1− c1( ) 'd c1( ) . Portanto, integrando a equação acima
temos: k + c12
2= − 1− c1( )d c1( )
Na expressão acima k é uma constante de integração. Observe agora que quando o jogador 1
tem custo máximo, c1=1, ele não aceitará fornecer o objeto por menos que esse custo máximo,
ou seja d(1)=1. Substituindo na equação acima obtemos: k + 12= 0 , portanto k = − 1
2.
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Destarte, a equação se reduz a:
−12+c12
2= − 1− c1( )d c1( )⇔ 1− c1
2
2= 1− c1( )d c1( )
1− c1( ) 1+ c1( )2
= 1− c1( )d c1( )⇔ 1+ c12
= d c1( )
Portanto, o lance do jogador 1 em equilíbrio é: d c1( ) = 1+ c12
Por simetria, o jogador 2 também escolhe a mesma função de lance.
Em princípio deveríamos agora confirmar que, se 2 escolhe d, o problema de
maximização de 1 é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova.
(iv) Calcule o custo esperada para o governo.
O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 1 é:
d c1( )c1
1
∫ dc20
1
∫ dc1 = d c1( )0
1
∫ 1− c1( )dc1 =1+ c12
⋅ 1− c1( )0
1
∫ dc1 =12
1+ c1( ) ⋅ 1− c1( )0
1
∫ dc1
=12
1− c12( )
0
1
∫ dc1 =12c1 −
13c13#
$%&
'(0
1
=121− 13
)
*+
,
-.=13
Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 2. Portanto, o
pagamento esperado total do governo é: 23
.
(v) Suponha agora que, devido à incerteza a respeito do verdadeiro custo para as licitantes, o
governo decide adotar a política de autorizar, se solicitado pela empresa vencedora, um
aumento de até 25% do valor vencedor no momento da entrega do bem. As empresas
participantes têm conhecimento desse ajuste automático e o incorporam em seus cálculos. Os
próximos itens dizem respeito a este novo leilão com ajuste de valores.
Apresente a nova utilidade ex-post do jogador 1 quando ele incorpora o aumento que
receberá ao entregar o bem graças a esse ajuste.
Seja δ=1,25. Então,
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u1 d1(c1),d2 (c2 )( ), c1,c2( )( ) =
δd1(c1)− c1 se d1(c1)< d2 (c2 )δd1(c1)− c1
2se d1(c1) = d2 (c2 )
0 se d1(c1)> d2 (c2 )
"
#
$$
%
$$
(vi) Construa e resolva o novo problema de maximização do jogador 1. Apresente o equilíbrio
de Nash do novo jogo.
O argumento é completamente análogo àquele apresentado anteriormente, bastando
substituir d por δd. Segue a resolução.
λ1max δγ − c1( )Pr γ < d(c2 )[ ]
Como γ< d(c2) ⇔ c2 > d−1 γ( ) ,Pr γ < d(c2 )[ ] = Pr c2 > d−1 γ( )"# $%=1−Pr c2 < d
−1 γ( )"# $%
Portanto, o problema acima é equivalente a: γ
max δγ − c1( ) 1− d−1 γ( )( )
Se a função objetivo acima for côncava, a condição de primeira ordem nos dará a
solução. Essa condição é:
− δγ − c1( ) d−1( )" (γ )+δ 1− d−1(γ )( ) = 0
Em um equilíbrio de Nash bayesiano γ é escolhido de forma que γ=d(c1). Assim, a equação
acima pode ser reescrita como: δd c1( )− c1( ) d−1( )" (d(c1)) = δ 1− c1( )
Como d−1 é a inversa de d, temos: d−1( )
"(d(c1)) = "d (c1)( )−1 , de forma que a equação acima se
transforma em:
δd c1( )− c1"d c1( )
= δ 1− c1( )⇒ δd c1( )− c1 = δ 1− c1( ) "d c1( )⇒ c1 = δ d c1( )− 1− c1( ) "d c1( )#$ %&
Observe que ∂ − 1− c1( )d c1( )#$ %&
∂c1= d c1( )− 1− c1( ) 'd c1( ) . Portanto, integrando a equação acima
temos: k + c12
2= −δ 1− c1( )d c1( )
Na expressão acima k é uma constante de integração. Observe agora que quando o jogador 1
tem custo máximo, c1=1, ele não aceitará fornecer o objeto por menos que esse custo máximo,
12
ou seja d(1)=1. Substituindo na equação acima obtemos: k + 12= 0 , portanto k = − 1
2.
Destarte, a equação se reduz a:
−12+c12
2= −δ 1− c1( )d c1( )⇔ 1− c1
2
2= δ 1− c1( )d c1( )
1− c1( ) 1+ c1( )2
= δ 1− c1( )d c1( )⇔ 1+ c12δ
= d c1( )
Portanto, o lance do jogador 1 em equilíbrio é: d c1( ) = 1δ1+ c12
Por simetria, o jogador 2 também escolhe a mesma função de lance.
Em princípio deveríamos agora confirmar que, se 2 escolhe d, o problema de
maximização de 1 é côncavo. No entanto, isso não é pedido nesta prova.
(viii) Calcule o custo esperado para o governo e discuta o efeito dessa nova regra.
O pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 1 é:
δd c1( )c1
1
∫ dc20
1
∫ dc1 = δ d c1( )0
1
∫ 1− c1( )dc1 = δ1δ1+ c12
⋅ 1− c1( )0
1
∫ dc1 =1+ c12
⋅ 1− c1( )0
1
∫ dc1 =13
Por simetria, esse também é o pagamento esperado do leiloeiro ao jogador 2. Portanto, o
pagamento esperado total do comprador é: 23
.
Observe que não houve qualquer alteração no pagamento do governo, nem do ponto
de vista esperado, nem do ponto de vista ex-post, ou seja, o governo paga exatamente o
mesmo montante que antes para o vencedor do tipo c1. A razão disso é que o jogador divide
seu lance d por δ e em seguida o governo multiplica esse valor por δ, voltando ao mesmo
valor do modelo anterior.
A principal conclusão que se tira deste estudo é que a regra de aumento
(semi)automático de um percentual δ não afeta o custo em equilíbrio para o governo, mas o
mascara, ao fazer com que os valores vitoriosos não sejam os valores finais realmente pagos.
O que ocorre aqui é que os jogadores incorporam esse benefício nos seus cálculos e a
competição entre eles faz com que abaixem suas propostas na proporção inversa, fazendo com
que o efeito final seja nulo em comparação com o mecanismo original.
Pontuação:
13
Problema 1 – ½ cada item. Total 3 pontos.
Problema 2 – 2 pontos a construção, 1 ponto a resolução e o comentário. Total 3 pontos
Problema 3 – ½ ponto os dois primeiros itens, 3 pontos a resolução, mais três pontos a
questão do aumento. Total 7 pontos.
Total geral: 13 pontos sobre 10. Três pontos extras.