Teoria de Filas – Aula 4Aula de Hoje

Variáveis aleatórias contínuas

Valor esperado de uma variável aleatória

Aula Passada

Variáveis aleatórias discretas

Bernoulli

Binominal

Uniforme

Poisson

Geométrica

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Espaço Amostral não ContávelEspaço amostral é contínuo (não contável)

não podemos enumerar o espaço

Exemplo de espaço amostral contínuo?

Exemplo de experimento aleatório?medir intervalo de tempo com precisão infinita!

Associar probabilidade a cada possível resultado?Não! Um dado resultado irá possuir probabilidade zero!

Idéia: Associar probabilidade a conjuntos de resultados

ex. intervalo de tempo entre 1 e 1.1 segundos

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Variável Aleatória ContínuaAplica-se quando espaço amostral não é contável

Mesma idéia da v.a. discretamapear o espaço amostral nos números reais

X :S ℜ

Exemplo de experimento aleatóriotempo até uma lâmpada queimar (medido com precisão infinita)

X é uma v.a. que indica exatamente este tempo (função identidade)

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Variável Aleatória ContínuaFunção de probabilidade de massa não faz sentido

probabilidade de um ponto do espaço amostral é zero

Função de distribuição cumulativa faz sentidoprobabilidade de uma região do espaço mapeado

ex. prob. da lâmpada queimar em menos de 1 dia

F X x =P [Xx ]

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Função de Densidade de Probabilidade (pdf)

Aplicada a v.a. contínuas (facilita os cálculos)

Define probabilidade da v.a. através de integrais

f X x

pdf é a derivada da cdf

P [aXb ]=∫x =a

x= b

f X x d x

Relação com cdf (função cumulativa)

dd xF X x = f X x

função de densidade da v.a. X

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Função de Densidade de Probabilidade (pdf)

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ExemploO tempo X, medido em anos, para completar um projeto de software tem a seguinte pdf:

f X x=kx 1−x ,0≤x≤1

Qual a probabilidade do projeto ser completado em menos de 4 meses?

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Uniforme

Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade

Parâmetros

[a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer

cdf:

F X x=x−ab−a

Onde ocorre o evento (em relação ao começo do intervalo)

Tamanho do intervalo

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UniformeCDF

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Uniformepdf

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Exponencial

Tempo até que um evento ocorra

Relacionada com Poisson (tempo entre eventos)

Parâmetros

l: taxa de ocorrência de eventos

cdf:

F X t =1−e−l t

pdf:

f X t =l e−l t

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Exponencialpdfcdf

t

P[X

<=

t]

t

f X(x

)

diferentes valores do parâmetro l

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V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial

Tempo entre chegadas de dois jobs sucessivos em um servidor de arquivos (interarrival time)

Tempo de serviço de um servidor em uma rede de filas; o servidor pode ser uma CPU, um dispositivo de E/S ou um canal de comunicação

Tempo para que um componente falhe (tempo de vida)

Tempo para recuperar um componente

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V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial

Para todos estes casos, estamos somente fazendo uma SUPOSIÇÃO de que podemos usar a variável exponencial para representar a probabilidade de ocorrência dos valores dos experimentos aleatórios!

Somente através de uma validação através da análise de resultados reais poderá dizer que a nossa suposição está correta ou não!

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Propriedade MemorylessPropriedade de memoryless

Distribuição da probabilidade condicional é igual a distribuição da probabilidade original (para o restante do tempo)

P [T st∣T s ]=P [T t ]

Correto

s , t0

P [T 4 0∣T 3 0]=P [T 1 0]

P [T 4 0∣T 3 0]=P [T 4 0]

Exemplo

Errado!

A chance de um evento não ocorrer nos próximos 10 segundos é igual a dos primeiros 10 segundos!

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Exemplo 1Seja a variável discreta N

t que denota o número de

requisições que chegam a um servidor de arquivos em um intervalo de tempo (0,t]. Seja X o tempo para a próxima chegada. Assuma que N

t possua

uma distribuição de Poisson com parâmetro . Qual a distribuição do tempo para a próxima chegada?

t

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Exemplo 2Considere um servidor Web com uma taxa média de requisição . Assumindo que o número de chegadas por unidade de tempo é distribuído segundo uma v.a de Poisson, o tempo entre chegadas X é exponencialmente distribuído com o parâmetro . Qual a probabilidade de que o intervalo para que ocorra uma próxima chegada seja maior que 10?

=0.1

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Erlang

Tempo até que um evento ocorra

Sequência de v.a. Exponenciais

Parâmetro

l: taxa de ocorrência de eventos

r: número de estágios (de v.a. exponenciais)

CDF:F X t =1− ∑

k=0,. .. , r−1

l t k

k !e−l x

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Erlang

CDF

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Erlang

pdf

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Erlang - Exemplo

Consideremos que um determinado componente deva passar por duas diferentes etapas para que seja finalizado. O tempo para cada uma das etapas pode ser representado por uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com taxa . O tempo total de produção pode ser representado por uma variável aleatória Erlangiana, com dois estágios e parâmetro

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NormalDistribuição fundamental em estatística

resultado do teorema do limite central

Aplicada a muitos fenômenos físicos (forma de sino

Parâmetros

u: média

s: desvio padrão

Normal padrão (média 0, desvio padrão 1)

F X x=1

2∫−∞

x

e−u 2/2du

Não possui forma fechada (consultar tabela)

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Valor Esperado, Média, Esperança

A distribuição de probabilidades (F(x)), a função densidade de probabilidade (f(x))/ função probabilidade de massa (p(x)) caracteriza completamente o comportamento de uma variável aleatória

No entanto, muitas vezes precisamos somente de uma descrição mais 'resumida' da variável aleatória

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Valor Esperado, Média, Esperança

Variável aleatória discreta

E [ X ]=∫−∞

∞

x f X x

E [ X ]=∑kx k p X x k

Variável aleatória contínua

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Propriedades da Média

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Médias

E [X ]= t Poisson

E [X ]=1 / Exponencial