Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto

Teoria das Comunicações

2.2 Série de Fourier

Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto

Sinais e Vetores

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Vetores

• Componente de um vetor g em x

• Produto interno ou escalar

cos, xgxgxg

x

g

cx

• Comprimento (amplitude) do vetor

xxx

• 2x

xg c

é o vetor cx , tal que c minimiza o vetor erro e = g - cx

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Vetores Ortogonais

• Se vetores são perpendiculares, então

• Vetores são ortogonais se

0xg

02/cos xgxg

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Sinais e Vetores

• Conceitos de vetores podem ser aplicados também a sinais

• Componente de g(t) em x(t) no intervalo [t1, t2] é o sinal cx(t), tal que c

minimiza a energia da função erro e(t) = g(t) – cx(t) neste intervalo

• Para vetores o produto interno é:2

xxg c

• O valor de c é: dttxtgE

ct

tx

)()(1 2

1

• Podemos definir o produto interno entre x(t) e g(t) no intervalo [t1, t2] :

dttxtgxgt

t)()(,

2

1

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Sinais e Vetores

• xxEx ,

• para funções reais g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se

2

1

0)()(,t

tdttgtxgx

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Sinais Complexos

• Para funções complexas g(t) e x(t)

• g(t) e x(t) são ortogonais no intervalo [t1, t2] se

0,, xggx

*,)(*)(,

)(*)(,

2

1

2

1

gxdttxtgxg

dttgtxgx

t

t

t

t

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Energia da Soma de Sinais Ortogonais

• se dois sinais x(t) e y(t) são ortogonais no intervalo [t1,t2],

e se z(t) =x(t) + y(t)

• Então yxz EEE

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Correlação

• Coeficiente de correlação indica a similaridade entre dois sinais

• Para vetores:

xg

xg cosnc

• Para sinais:

dttxtg

EEc

xg

n )(*)(1

11 nc

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Função de correlação

• Correlação cruzada

dttxtggx )()(*)(

• Autocorrelação

dttgtgg )()(*)(

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Representação de Sinais por Conjunto de Sinais Ortogonais

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Espaço Vetorial Ortogonal

• Ex: espaço Cartesiano tridimensional• x, y e z são ortogonais• g é um vetor qualquer

x

e1

g = ax + e1

axy

ax+by

g = ax + by + e2 , |e2| |e1|

e2

by

z

cz

g = ax + by + cz

g

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Espaço Vetorial Ortogonal

• x, y e z representam um conjunto completo de vetores ortogonais no espaço tridimensional

• Neste espaço não há nenhum vetor ortogonal a x, y e z

• Todo vetor neste espaço pode ser representado sem erro como a soma das projeções deste vetor em x, y e z

• Esta escolha de vetores base não é única

• Se |x|=|y|=|z|=1 este é um conjunto ortonormal

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Espaço Ortogonal de Sinais

• Temos um conjunto de sinais ortogonais em [t1,t2]• x1(t), x2(t), ….. xN(t)

• Se , então temos um conjunto ortonormal

2

1 ,

,0)()( *

t

tn

mnnmE

nmdttxtx

• Um sinal g(t) pode ser representado como

n

n

t

tn

n

n

NN

xgE

dttxtgE

c

tetxctxctxctg

,1

)()(1

com

)()()()()(

2

1

*

2211

• Se Ee = 0 para todos sinais g(t), o conjunto x1(t), x2(t), ….. xN(t)

é um conjunto completo ou conjunto de funções base

nEn ,1

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Espaço Ortogonal de Sinais

• Série generalizada de Fourier:

• {xn(t)} é um conjunto de sinais ou funções base ortogonais

1

21

2211

)(

)()()()(

n

nn

nn

ttttxc

txctxctxctg

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Teorema de Parseval

1

21

2211

)(

)()()()(

n

nn

nn

ttttxc

txctxctxctg

n

nn

nng

Ec

EcEcEcE

2

2

2

2

21

2

1

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Série de Fourier

Princípios de ComunicaçãoProf. André Noll Barreto

Série Trigonométrica de Fourier

• Para qualquer intervalo [t1,t1+T0] temos o conjunto trigonométrico de sinais

• Este é um conjunto completo e ortogonal neste intervalo

0

0

000000

1 onde

,2sin,2cos,,4sin,4cos,2sin,2cos,1

Tf

tnftnftftftftf

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Série Trigonométrica de Fourier

• Qualquer sinal [t1,t1+T0] no intervalo pode ser representado por uma série trigonométrica de Fourier

1

011

1

000

020201010

)2sin()2cos(

)4sin()4cos()2sin()2cos()(

n n

nn Tttttnfbtnfaa

tfbtfatfbtfaatg

• onde

01

1

01

1

01

1

)2sin()(2

)2cos()(2

)(1

0

0

0

0

0

0

Tt

tn

Tt

tn

Tt

t

dttnftgT

b

dttnftgT

a

dttgT

a

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Série Trigonométrica de Fourier Compacta

• Podemos combinar os termos seno e cosseno de mesma freqüência como:

n

nn

nnn

nnnn

a

b

baC

tnfCtnfbtnfa

1

22

000

tan

onde

)2cos()2sin()2cos(

• A série fica:

011

1

00 ,)2cos()( TttttnfCCtgn

nn

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Periodicidade da Série de Fourier

• considerando

ttnfCCtn

nn ,)2cos()(1

00

• Temos que

)()( 0 tTt

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Série Trigonométrica de Fourier

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9

)(tg

2/1)( tg

ttg cos2

2

1)(

)3cos(3

2)cos(

2

2

1)( tttg

)5cos(5

2)3cos(

3

2)cos(

2

2

1)( ttttg

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Espectro de Fourier

t

f1T0

-T0

2T0

3T0

5T0

7T0

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Condições de Dirichlet

• Condições para existência da série de Fourier

•

• g(t) tem um número finito de máximos e mínimos e um número finito de descontinuidades em [t1,t1+T0]

2

1

)(t

tdttg

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Série Exponencial de Fourier

• O conjunto de funções

é um conjunto completo de funções ortogonais em [t1,t1+T0]

0

0

4422 1,,,,,,1 0000

Tfeeee

tfjtfjtfjtfj

• Toda função g(t) pode ser representada como

0

0

0

2

0

2

)(1

onde

)(

T

tnfj

n

n

tnfj

n

dtetgT

D

eDtg

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Série Exponencial de Fourier

• Toda função g(t) pode ser representada como

n

n

j

nn

j

nn

n

tnfj

n

tnfj

n

eCD

eCD

CD

eDeDDtg

2

1

2

1

onde

)(

00

1

22

000

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Teorema de Parseval

1

22

0

1

002

1)2cos()(

n

ng

n

nn CCPtnfCCtg

2

0

2

00)(

n

ng

nn

tnfj

n DPeDDtg