Post on 06-Oct-2015
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Generalizao do Conceito de Tenso Caso Simples de Traco
A tenso Tn(a), num dado
ponto de um corpo, depende
da orientao do plano que
consideramos a passar por
esse ponto.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
a
Tn
(a
)/T
x
a
x
yn
FF0A
1A
n aT
0x n a T T
1
0cosA
Aa
a0A
1A
1 0
cos
cos
n
x
A Aa a
a
F
T
TF
cosxn aa TT
Tenso de Normal e Tenso de Corte As componentes normal (s) e
de corte ou tangencial (t) da
tenso dependem da
orientao do plano que
consideramos a passar pelo
ponto.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 15 30 45 60 75 90
a
s (
a)/
sx
t ( a
)/s
x
aasat
asas
cossin)(
cos)(
x
2x
s(a)=sx(cosa2
t(a)=sxsinacosa
n
a
F x0A
1AF
y
n aT
x x T
01
cos
AA
a
02
1
2cos cos cos cosxn A Aa aa a aa T F F
01sen sen sen cos sen cosxn AAa a a a a aaa FT F
Noo de Tenso num Ponto
De um modo geral, a tenso, e particularmente as suas
componentes normal e de corte, dependem, no s da orientao
da seco (transversal ou outra), mas tambm da posio do
ponto.
Exemplo de provete de
seco varivel
F F x
y
1A 2A
1x2x
2x xT 1x xT
21 xx x x TT
21A A
Anlise geral do estado de tenso
Em Geral:
Foras de massa (volume)
Considere-se um corpo carregado em equilbrio.
Corte-se o corpo atravs de um plano P.
Anlise geral do estado de tenso
P
1F
2F
3F
1F
2F
3F
O estado de cada uma das partes manter-se- se a aco da outra parte for
substituda por foras distribudas na superfcie de separao.
Considere-se cada uma das partes e seja dA um elemento de superfcie comum,
centrado no ponto P. 5
F3
A
dA dF
2
A
dA
- dF
1
Se a fora exercida em dA pela parte 1 sobre a 2 for dF ento, a fora exercida pela parte 2
sobre a parte 1 no mesmo elemento dA, dever ser igual a dF e de sentido contrrio, pelo
Princpio da Aco e da Reaco.
Anlise geral do estado de tenso
1F
2F
3F
6
Para o plano P, define-se o vector tenso Tn no ponto P atravs do seguinte limite:
d 0
dT lim
dn
A A
F
Anlise geral do estado de tenso
A
dA dF
2
3F Tn
n(2)
s
t
ns(2)
Sendo Tn o vector tenso no ponto P, possvel
projectar esse vector segundo as direces normal
(n(2)) e tangencial (ns(2)) faceta dA, obtendo-se a
tenso normal s e a tenso de corte t. 7
Para o plano P, define-se o vector tenso Tn no ponto P atravs do seguinte limite:
d 0
dT lim
dn
A A
F
Anlise geral do estado de tenso
A
dA
dF
2
3F
Tn
Em Concluso:
As dimenses fsicas da tenso so de fora por unidade de
rea;
A tenso num ponto definida a partir de um plano ou
fronteira imaginrios que dividem o corpo em duas partes;
A tenso um vector equivalente aco de uma parte do
corpo sobre a outra;
A direco e amplitude do vector tenso so variveis de
ponto para ponto.
8
Anlise geral do estado de tenso
Tn
n(1)
s
t
Tn
n(2)
s
t Cada plano P que corta o corpo num ponto P, fica
associado a duas facetas, consoante se considere
uma ou outra das partes em que o corpo dividido.
, ,n n nP P T T n T n
9
ns(2)
ns(1)
Em Concluso:
A tenso resultante, num ponto e numa seco a passar pelo ponto, pode sempre decompor-se segundo
duas componentes:
- Normal
- De corte ou tangencial
s Tenso normal
t Tenso de corte ou tangencial
Lado 2
Anlise geral do estado de tenso
Tn
n(2)
s
t
dA P
dF
10
ns(2)
Considere-se:
um sistema de eixos cartesiano centrado no ponto P;
o corte obtido por cada um dos planos;
cada uma das facetas, pertencente a cada uma das partes em que o corpo dividido.
1x x
2y x
3z x
1Ox Ox n
xT
12xyt s
11xxs s
13xzt s
1x x
2y x
3z x
12xyt s
11xxs s
13xzt s
12xyt s
13xzt s
11xxs s
Componentes Cartesianas da Tenso
11
Considere-se:
um sistema de eixos cartesiano centrado no ponto P;
o corte obtido por cada um dos planos;
cada uma das facetas, pertencente a cada uma das partes em que o corpo dividido.
1x x
2y x
3z x
2Oy Ox n
yT
21yxt s22yys s
23yzt s
1x x
2y x
3z x
21yxt s
23yzt s22yys s
Componentes Cartesianas da Tenso
22yys s21yxt s
23yzt s
12
Considere-se:
um sistema de eixos cartesiano centrado no ponto P;
o corte obtido por cada um dos planos;
cada uma das facetas, pertencente a cada uma das partes em que o corpo dividido.
1x x
2y x
3z x
3Oz Ox n
zT
31zxt s
33zzs s
32zyt s
1x x
2y x
3z x
31zxt s
32zyt s
33zzs s
Componentes Cartesianas da Tenso
33zzs s
31zxt s 32zyt s
13
Definio:
sij a componente
cartesiana do tensor das
tenses que se exerce na
faceta de normal xi (-xi),
na direco xj (-xj).
Se i=j a tenso normal;
Se ij a tenso tangencial
Componentes Cartesianas da Tenso
13s
12s11s
P 21s
22s
23s
31s32s
33s
11s
12s
13s
31s
21s
23s22s
32s
33s1x x
2y x
3z x
a
A dimenso da aresta do cubo, a, tende para zero 14
As componentes cartesianas da tenso podem ser representadas em forma matricial,
com o primeiro ndice a indicar a linha e o segundo a indicar a coluna.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
s s s s s s s s s
T
Componentes Cartesianas da Tenso
Tensor das Tenses
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
(Plano ) n Ox
(Plano ) n Oy
(Plano ) n Oz
, , 1,2,3ijT i j
15
As Tenses Normais so positivas se actuarem no sentido da normal exterior ao plano a que
pertencem, e negativas no caso contrrio. Tenses normais positivas so tenses de traco e
tenses normais negativas so tenses de compresso.
As Tenses de Corte so positivas:
a) quando esto orientadas no sentido positivo dos eixos, em planos cuja normal exterior est
orientada no sentido positivo do respectivo eixo;
b) quando esto orientadas no sentido negativo dos eixos, em planos cuja normal exterior est
orientada no sentido negativo dos eixos.
As Tenses de Corte so negativas nos casos contrrios.
Conveno de Sinal das Tenses
16
P
22s
23s
31s32s
33s
11s
12s
13s
1x x
2y x
3z x
13s
12s11s
P
31s
21s
23s22s
32s
33s1x x
2y x
3z x
Significado Fsico do Sinal das Tenses
x
A forma final em traco (+)
diferente de compresso (-).
Do ponto de vista da
deformao, h diferena entre
traco e compresso.
xx
xx
s
s
s
s
xx
xx
Tenses Normais
Traco (+)
Compresso (-)
x
x
A forma final a mesma (para t>0
e t 0) t < 0)
17
Equaes de Equilbrio
18
1x x
2y x
3z x
12xyt s
13xzt s
11xxs s
1x x
2y x
3z x
xy xyt t
xx xxs s
xz xzt t
1x x
1x x
1x x
0
xxs
xxs
xx xxs s
Declive da recta:
Equao da recta:
xx xx
x x
s s
xxxx xxx xx
ss s
Equaes de Equilbrio
19
P y
x
z
zxt
zyt
zzs
yzt
yxt
yysxyt
xxs
xzt
zy
zy zz
tt
zxzx z
z
tt
zzzz z
z
ss
xxxx x
x
ss
xy
xy xx
tt
xzxz x
x
tt
yx
yx yy
tt
yz
yz yy
tt
yy
yy yy
ss
x
y
z
, e 0x y z
xxxx
yy
yy
zzzz
xx
yy
zz
ss
ss
ss
etc.....
Fx, Fy e Fz so as componentes de eventuais fora de massa a actuar
sobre o elemento de volume. Considera-se que as foras esto a actuar
no centride.
0yxxx zx
xx xx yx yx zx zx xx y z y x z z x y F x y zx y z
ts ts s t t t t
Equaes de Equilbrio Esttico
- Exemplo -
Equao de equilbrio (somatrio das foras segundo Ox igual a zero):
Equilbrio de foras
segundo Ox
20
P y
x
z
zxt
yxt
xxs
zxzx z
z
tt
xxxx x
x
ss
yx
yx yy
tt
x
y
z
xF
0yxxx zx
xx xx yx yx zx zx xx y z y x z z x y F x y zx y z
ts ts s t t t t
0yx yy zy
yx yx yy yy zy zy yx y z y x z z x y F x y zx y z
t s tt t s s t t
0yzxz zz
xz xz yz yz zz zz zx y z y x z z x y F x y zx y z
tt st t t t s s
0
0
0
yxxx zxx
xy yy zy
y
yzxz zzz
Fx y z
Fx y z
Fx y z
ts t
t s t
tt s
Equaes de equilbrio esttico segundo Ox, Oy e Oz (somatrio das foras igual a zero):
Equaes de Equilbrio Esttico
Equilbrio de foras
21
Equaes de Equilbrio
22
P 21
21 2
2
xx
ss
2222 2
2
xx
ss
2323 2
2
xx
ss
3131 3
3
xx
ss
3232 3
3
xx
ss
3333 3
3
xx
ss
1111 1
1
xx
ss
1212 1
1
xx
ss
1313 1
1
xx
ss
31s
21s
23s
13s
12s
11s
22s
32s
33s
1x
2x
3x
3111 211
1 2 3
3212 222
1 2 3
13 23 333
1 2 3
0
0
0
Fx x x
Fx x x
Fx x x
ss s
ss s
s s s
11,1 21,2 31,3 1
12,1 22,2 32,3 2
13,1 23,2 33,3 3
0
0
0
F
F
F
s s s
s s s
s s s
, 0ji j iT F
yxxx zxx x
xy yy zy
y y
yzxz zzz z
F ax y z
F ax y z
F ax y z
ts t
t s t
tt s
Fora de Inrcia: inF a
Equaes de Equilbrio Dinmico
Equaes de equilbrio dinmico segundo Ox, Oy e Oz
(somatrio das foras igual a zero):
23
,ji j i iT F a
Equaes de Equilbrio Esttico
- Exemplo -
24
O y
x
z
2zx
zx
z
z
tt
2zx
zx
z
z
tt
x
y
z
Equao de equilbrio (somatrio dos momentos segundo Oy igual a zero):
Equilbrio de
momentos segundo Oy
02 2 2 2 2 2 2 2
zx zx xz xzzx zx xz xz
z z z z x x x xx y x y y z y z
z z x x
t t t tt t t t
2xz
xz
x
x
tt
2
xzxz
x
x
tt
Equaes de equilbrio esttico segundo Ox, Oy e Oz (somatrio dos momentos igual a zero):
Equaes de Equilbrio Esttico
Equilbrio de momentos
02 2 2 2 2 2 2 2
zy zy yz yz
zy zy yz yz
z z z z y y y yx y x y x z x z
z z y y
t t t tt t t t
02 2 2 2 2 2 2 2
zx zx xz xzzx zx xz xz
z z z z x x x xx y x y y z y z
z z x x
t t t tt t t t
02 2 2 2 2 2 2 2
xy xy yx yx
xy xy yx yx
x x x x y y y yz y z y x z x z
x x y y
t t t tt t t t
zy yzt t
zx xzt t
xy yxt t25
Implicao das Equaes de Equilbrio de
Momentos
O tensor das tenses tem apenas 6 componentes independentes
xy yx
xz zx
yz zy
t t
t t
t t
O Tensor das Tenses simtrico
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
T
26
11 12 13
21 22 23
31 32 33
s s s s s s s s s
T
11 12 13
12 22 23
13 23 33
s s s s s s s s s
T
ji ijT T
Implicao das Equaes de Equilbrio de
Momentos
27
Anteriormente obtiveram-se as equaes de equilbrio em notao
indicial na seguinte forma:
Atendendo simetria das tenses, as equaes de equilbrio em notao
indicial podem ser escritas na forma mais habitual:
, 0ji j iT F
, 0ij j iT F
11 12 13
21 22 23
31 32 33
s s s s s s s s s
T
Tensor das Tenses
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
T
Em resumo: o tensor das tenses representa as componentes da tenso num ponto de um
corpo, isto as componentes normal (uma) e de corte (duas) que actuam em cada um de
trs planos perpendiculares entre si (cujas interseces dois a dois definem um sistema
de eixos cartesiano), a passar por esse ponto. Com base do estudo do equilbrio de um
cubo elementar, em redor de um ponto, demonstrou-se que apenas 6 componentes da
tenso so independentes em vez de 9 [=3x(2+1)]
Como veremos em seguida, o tensor das tenses define de forma completa o estado de
tenso num dado corpo de um corpo, isto , conhecendo as componentes da tenso
naqueles trs planos, possvel determinar as tenses, normal e de corte noutro
qualquer plano inclinado em relao aos trs primeiros. Assim sendo, pode-se escrever
o tensor num novo sistema de eixos, Oxyz, determinando as componentes da tenso
em trs novos planos perpendiculares, cujas interseces so Ox, Oy e Oz.
Tensor escrito no sistema
de eixos Oxyz=Ox1x2x3
28
Tenso num ponto para um plano de orientao
arbitrria (isto , inclinado em relao a Ox, Oy e Oz)
29
Tn
P
A
C
B
n
y
x
z A superfcie ABC, de rea A, uma faceta de normal n, em que se exerce um vector tenso
Tn.
2rea ABP rea ABC cos ,Oy An n
1rea APC rea ABC cos ,Ox An n
3rea BPC rea ABC cos ,Oz An n
Atendendo a que o corpo se encontra em equilbrio, pode estabelecer-
se a equao de equilbrio das foras aplicadas no tetraedro ABCP.
As foras volmicas, de componentes Fi, admitem-se aplicadas no
centride do tetraedro.
Tenso num ponto para um plano de orientao
arbitrria (isto , inclinado em relao a Ox, Oy e Oz)
30
Tn
P
A
C
B
n
22s
21s
23s
11s12s
13s
32s
33s
31s
3x
1x
2x
Equilbrio de foras
1 11 1 12 2 13 3 1
10
3nT A An An An AhFs s s
h
2 21 1 22 2 23 3 2
10
3nT A An An An AhFs s s
3 31 1 32 2 33 3 3
10
3nT A An An An AhFs s s
Tenso num ponto para um plano de orientao
arbitrria (isto , inclinado em relao a Ox, Oy e Oz)
31
Tn
P
A
C
B
n
22s
21s
23s
11s12s
13s
32s
33s
31s
3x
1x
2x
1 11 1 12 2 13 3nT n n ns s s
h
2 21 1 22 2 23 3nT n n ns s s
3 31 1 32 2 33 3nT n n ns s s
0h
n T Tn
, , 1,2,3in ij j
T T n i j
Essas expresses so geralmente designadas por Equaes de Cauchy.
O vector tenso em qualquer faceta que passe por P, pode ser expresso em
funo das componentes cartesianas da tenso Tij e da normal faceta n.
Tenso num ponto para um plano de orientao
arbitrria (isto , inclinado em relao a Ox, Oy e Oz)
Notao alternativa:
32
cos ,
cos ,
cos ,
l Ox
m Oy
n Oz
n
n n
n
cos ,
cos ,
cos ,
n
n n
n
X Ox
Y Oy
Z Oz
T n
T T n
T n
rea APC Al
rea ABP Am
rea BPC An
0
0
0
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
AX Al Am An
AY Al Am An
AZ Al Am Am
s t t
t s t
t t s
Componentes da tenso resultante Tn=(X,Y,Z), para um plano de orientao
arbitrria, em funo dos cossenos directores da normal a esse plano e das
componentes cartesianas da tenso no ponto considerado.
n
m
l
Z
Y
X
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
n T T n
nmlZ
nmlY
nmlX
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
stt
tst
tts
33
Tn
P
A
C
B
n 3x
1x
2x
Tenses normal e de corte num plano de orientao
arbitrria
ns
Tenso normal:
A tenso normal paralela a n
(direco previamente definida).
.ns T n in iT ns
n Xl Ym Zns T n
s n i ins s
2 2 2
nTt s n T
2 2 2 2
nT X Y Z
Tenso de corte:
2
i in n nT T T2 .n n nT T T
Notao alternativa:
Notao alternativa:
34
Tn
P
A
C
B
n 3x
1x
2x
Tenses normal e de corte num plano de orientao
arbitrria
ns
s
s
s
X ll
Y mm
Z nn
s
t
s
t
s
t
s
s
s
l l X
m m Y
n n Z
s t
s t
s t
Orientao da tenso de corte:
cos ,
cos ,
cos ,
s
s s
s
l Ox
m Oy
n Oz
n
ns
s
t
T nn
i
i
n i
s
T nn
s
t
Notao alternativa: