Post on 17-Feb-2020
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
7
NOME: ALUNO GENÉRICO Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (1)2 − 2m = 3, (2)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (3)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (4)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
6
NOME: GEOVANA THAIS COLOMBO Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (5)2 − 2m = 3, (6)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (7)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (8)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
5
NOME: KELLY KATHLEEN ALMEIDA HEYLMANN Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (9)2 − 2m = 3, (10)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (11)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (12)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
4
NOME: LARISSA CARRÉRA BAGINSKI Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (13)2 − 2m = 3, (14)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (15)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (16)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
3
NOME: PAOLA CRISTINE HUNGERBUHLER Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (17)2 − 2m = 3, (18)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (19)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (20)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
2
NOME: RODRIGO BRANCO RODAKOVISKI Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (21)2 − 2m = 3, (22)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (23)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (24)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒
TEA752 Métodos Matemáticos em Eng. AmbientalPrograma de Pós-Graduação em Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 05 abr 2017Prof. Nelson Luís Dias
1
NOME: MAUREN MARQUES Assinatura:
1 [50] Considere a seguinte abordagem relativamente geral para o método da transformação de similaridade. Dada umaequação diferencial cuja incógnita é u (x , t ), tentamos as seguintes transformações
u = λU ,
x = λmX ,
t = λnT .
A substituição deve levar a uma equação diferencial cuja incógnita éU (X ,T ) “similar” à equação original. Por exemplo,considere a equação diferencial parcial não-linear
∂u
∂t= u∂2u
∂x2 − u3.
Aplicando as transformações acima,
λ1−n ∂U
∂T= λ2−2mU
∂2U
∂X 2 − λ3U 3.
Para que essa equação seja similar à original, devemos ter
1 − n = 3, (25)2 − 2m = 3, (26)
e portantom = −1/2, n = −2, e n = 4m. Em termos de λ, temos
λ =u
U=
[ xX
]1/m=
[ tT
]1/n.
Podemos escolher duas variáveis de similaridade:
υ =u
t1/n =U
T 1/2n , (27)
ξ =x
tm/n =X
Tm/n . (28)
Prevemos portanto que a solução de similaridade será do tipo
u
t−1/2 = f( x
t1/4
).
Agora obtenha a EDO, cuja incógnita é f (ξ ), correspondente à EDP original (em u (x , t )).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
−12f −
ξ
4f ′ = f f ′′ − f 3.
Continue a solução no verso =⇒
CONTINUAÇÃO DA QUESTÃO
Continue a solução no verso =⇒
2 [50] Calcule a transformada de Fourier da equação de Burger,
∂u
∂t+ u∂u
∂x= ν∂2u
∂x2 .
Para o cálculo da transformada do termo não-linear u ∂u∂x , utilize o Teorema da convolução da transformada inversa de
Fourier:F−1 {
u (k ) ∗ v (k )}= u (x )v (x ).
com v = ∂u∂x . OBSERVE QUE A TRANSFORMADA É NO PAR u (x , t ) ↔ u (k, t ).
SOLUÇÃO DA QUESTÃO:
∂u
∂t+F
{u∂u
∂x
}= i2k2νu;
∂u
∂t+F {uv} = −k2νu .
Mas
F {uv} = F[F−1 {
u ∗ v}]
= u ∗ v
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t )F
{∂u (κ, t )
∂x
}dκ
=
∫ κ=+∞
κ=−∞u (k − κ, t ) × iκu dκ
= i∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ .
Portanto,∂u
∂t+ i
∫ +∞κ=−∞
κu (k − κ, t )u (κ, t ) dκ + k2νu = 0
Continue a solução no verso =⇒