Sum ario da semana -...

Cenas da 2a semana Um sistema dedutivo para Logica Proposicional Consistencia

Sumario da semana

1 Cenas da 2a semana

2 Um sistema dedutivo para Logica Proposicional

3 Consistencia

Professor : jair.donadelli@ufabc.edu.br

Logica Basica

Vimos na 2a semana – pg. I

p → q: Se o time joga bem︸︷︷︸p

, entao o time ganha o campeonato︸︷︷︸q

¬p → r : Se o time nao joga bem︸︷︷︸¬p

, entao o tecnico e o culpado︸︷︷︸r

q → s: Se o time ganha o campeonato︸︷︷︸q

os torcedores estao felizes︸︷︷︸s

¬s: Os torcedores nao estao felizes.

O tecnico e culpado?

Sao 16 interpretacoes possıveis.

Logica Basica

Vimos na 2a semana – pg. II

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 1 1 0 1 00 0 1 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 00 1 0 0 1 0 0 10 1 0 1 1 0 1 00 1 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 1 01 0 1 0 0 1 1 11 0 1 0 0 1 1 01 1 0 0 1 1 0 11 1 0 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1 0 11 1 1 0 1 1 1 0

Logica Basica

Vimos na 2a semana – pg. III

So ha uma interpretacao que satisfaz p → q, ¬p → r ,q → s , ¬s

p q r s p → q ¬p → r q → s ¬s...

......

...0 0 1 0 1 1 1 1...

......

donde concluımos que e verdade r (“o tecnico e culpado”).

Logica Basica

Vimos na 2a semana – pg. IV

Se sao verdadeiras as premissas

Se o time joga bem entao o time ganha o campeonato.Se o time nao joga bem entao o tecnico e o culpado.Se o time ganha o campeonato entao os torcedores estao felizes.Os torcedores nao estao felizes.

entao uma conclusao logica e

o tecnico e culpado.

Logica Basica

Alternativamente....

Podemos obter a conclusao sem usar tabela-verdade usandoconsequencias semanticas notaveis

1. p → q, q → s sao premissas2. p → s por silogismo hipotetico a partir de 13. ¬p ∨ s pela equivalencia da implicacao em 24. ¬s premissa5. ¬p por silogismo aditivo de 3 e 46. ¬p → r premissa7. r por modus ponens com 5 e 6

Assim, {p → q,¬p → r , q → s,¬s} � r .

Logica Basica

Sistema dedutivo para Logica Proposicional

Um sistema dedutivo (ou formal) e um componente

sintatico

de uma logica.

Sao conhecidos varios: Sistema axiomatico a Hilbert, DeducaoNatural, Tableaux, Calculo de sequentes de Gentzen, por exemplo.

Logica Basica

A linguagem proposicional revisitada I

Alfabeto:

Sımbolos proposicionais atomicos p1 p2 p3 · · ·Conectivos logicos ¬ →Sımbolos de pontuacao ( )

Uma fbf e qualquer expressao que pode ser formada aplicando-se as regras:

(F1) os sımbolos atomicos sao fbf, chamadas formulas atomicas;

(F2) se α e fbf, entao (¬α) e fbf;

(F3) se α e β sao fbfs, entao (α→ β) e fbf;

(F4) nao ha outras fbfs alem das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) umnumero finito de vezes.

Logica Basica

A linguagem proposicional revisitada II

As mesmas notacoes e simplificacoes

Formulas α, β, γ, . . . .

Conjuntos de formulas Σ, Γ,Θ, . . . .

Sımbolos proposicionais atomicos p, q, r , s

Regras para omissao de parenteses

Logica Basica

A linguagem proposicional revisitada III

Definicoes

sımbolo le-se uso∧ conjuncao (α ∧ β) abrevia (¬(α→ (¬β)))∨ disjuncao (α ∨ β) abrevia ((¬α)→ β)↔ biimplica (α↔ β) abrevia ((α→ β) ∧ (β → α))⊥ falsum abrevia (α ∧ (¬α))> verum abrevia (¬⊥)

Logica Basica

Sistema de Kleene I

Axiomas

(A1) α→ (β → α)

(A2) (α→ (β → ξ))→ ((α→ β)→ (α→ ξ))

(A3) (α→ β)→ ((α→ ¬β)→ ¬α)

(A4) α→ (β → (α ∧ β))

(A5) α ∧ β → α

(A6) α ∧ β → β

(A7) α→ α ∨ β(A8) β → α ∨ β(A9) (α→ γ)→ ((β → γ)→ (α ∨ β → γ))

(A10) ¬¬α→ α

Logica Basica

Sistema de Kleene II

Regras de inferencias

(MP)α, α→ β

Logica Basica

Exemplos de deducao I

Teorema (1)

` α→ α

Prova.

1. α→ ((α→ α)→ α)) (A1)2. (α→ ((α→ α)→ α))→ ((α→ (α→ α))→ (α→ α)) (A2)3. α→ (α→ α)) (A1)4. (α→ (α→ α))→ (α→ α) (MP 2,1)5 α→ α (MP 3,4)

Logica Basica

Exemplos de deducao II

Teorema (Lei de Duns Scotus)

¬α, α ` β

Prova.1. α (premissa)2. ¬α (premissa)3. α→ (¬β → α) (A1)4. ¬α→ (¬β → ¬α) (A1)5. ¬β → α (MP 1,3)6. ¬β → ¬α (MP 2,4)7. (¬β → α)→

((¬β → ¬α)→ ¬¬β

8. (¬β → ¬α)→ ¬¬β (MP 5,7)9. ¬¬β (MP 6,8)10. ¬¬β → β (A10)11. β (MP 9,10)

Logica Basica

Exemplos de deducao III

Logica Basica

Exemplos de deducao IV

Teorema (2)

α→ β, β → γ ` α→ γ

Prova.1. α→ β (premissa)2. β → γ (premissa)3. (β → γ)→ (α→ (β → γ)) (A1)4. (α→ (β → γ) (MP 2,3)5. (α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) (A2)6. (α→ β)→ (α→ γ) (MP 4,5)7. α→ γ (MP 1,6)

Logica Basica

Exemplos de deducao V

Teorema (3)

θ → (φ→ ξ) ` φ→ (θ → ξ)

Prova.1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5.

((θ → φ)→ (θ → ξ)

)→(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))(A1)

6. φ→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(MP 3,5)

7.(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))→((

φ→ (θ → φ))→(φ→ (θ → ξ)

))(A2)

8.(φ→ (θ → φ)

)→(φ→ (θ → ξ)

)( MP 6,7)

9. φ→ (θ → ξ) (MP 4,5)�

Logica Basica

Exemplos de deducao VI

Teorema (3)

θ → (φ→ ξ) ` φ→ (θ → ξ)

Prova.1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5.

((θ → φ)→ (θ → ξ)

)→(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))(A1)

6. φ→((θ → φ)→ (θ → ξ)

)(MP 3,5)

7.(φ→

((θ → φ)→ (θ → ξ)

))→((

φ→ (θ → φ))→(φ→ (θ → ξ)

))(A2)

8.(φ→ (θ → φ)

)→(φ→ (θ → ξ)

)( MP 6,7)

9. φ→ (θ → ξ) (MP 4,5)�

Logica Basica

Exemplos de deducao VII

As linhas 1–7 da prova do teorema (2) sao “semelhantes” as linhas3–9 na prova do teorema (3).

Na linha 3, teo. (3), temos φ→ (θ → φ) e na 4 temos(θ → φ)→ (θ → ξ); o que precisamos e concluir queφ→ (θ → ξ), que e essencialmente o que o teorema (2) faz.

Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passosde uma prova com teoremas ja provados. Para dar um exemplo, aprova acima e re-escrita abaixo.

Logica Basica

Exemplos de deducao VIII

Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passosde uma prova com teoremas ja provados. Para dar um exemplo, aprova acima e re-escrita abaixo.

1. θ → (φ→ ξ) (hipotese)2.

(θ → (φ→ ξ)

)→((θ → φ)→ (θ → ξ)

3. φ→ (θ → φ) (A1)4. (θ → φ)→ (θ → ξ) (MP 1,2)5. φ→ (θ → ξ) (Teo. (2) 3,4)

Logica Basica

Exemplos de deducao IX

Teorema (4)

¬α→ ¬¬α ` α

Prova.1. ¬α→ ¬¬α (premissa)2. ¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α) (A1)3. (¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α))→ ((¬α→

→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α)) (A2)4. ¬α→ (¬α→ ¬α) (A1)5. (¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α) (MP 2,3)6. ¬α→ ¬α (MP 4,5)7. (¬α→ ¬α)→ ((¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α) (A3)8. (¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α (MP 6,7)9. ¬¬α→ α (A10)

Logica Basica

Exemplos de deducao X

Continuacao10. ((¬¬α)→ α)→ ((¬α→ ¬¬α)→

((¬¬α)→ α)) (A1)11. ((¬α→ ¬¬α)→ ((¬¬α)→ α) (MP 9,10)12. ((¬α→ ¬¬α)→ ((¬¬α)→ α))→

(((¬α→ ¬¬α)→ (¬¬α))→((¬α→ ¬¬α)→ α)) (A2)

13. ((¬α→ ¬¬α)→ (¬¬α))→((¬α→ ¬¬α)→ α) (MP 11,12)

14. (¬α→ ¬¬α)→ α (MP 8,13)15. α (MP 1,14)

Logica Basica

Exemplos de deducao XI

Prova do teorema (4) usando o teorema (2)1. ¬α→ ¬¬α (premissa)2. ¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α) (A1)3. (¬α→ ((¬α→ ¬α)→ ¬α))→

((¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α)) (A2)4. ¬α→ (¬α→ ¬α) (A1)5. (¬α→ (¬α→ ¬α))→ (¬α→ ¬α) (MP 2,3)6. ¬α→ ¬α (MP 4,5)7. (¬α→ ¬α)→ ((¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α) (A3)8. (¬α→ ¬¬α)→ ¬¬α (MP 6,7)9. ¬¬α→ α (A10)10. (¬α→ ¬¬α)→ α (Teo. (2) 8,9)11. α (MP 1,14)

Logica Basica

Exemplos de deducao XII

Teorema (5)

` α→ ¬¬α

Prova.1. ¬¬¬α→ ¬α (A10)2. (¬¬¬α→ α)→

((¬¬¬α→ ¬α)→ ¬¬¬¬α

3. (¬¬¬α→ ¬α)→((¬¬¬α→ α)→ ¬¬¬¬α

)(Teo.(3) em 2)

4. (¬¬¬α→ α)→ ¬¬¬¬α (MP 1,3)5. ¬¬¬¬α→ ¬¬α (A10)6. (¬¬¬α→ α)→ ¬¬α (Teo.(2) em 4,5)7. α→ (¬¬¬α→ α) (A1)8. α→ ¬¬α (Teo.(2) em 7,6)

Logica Basica

Regras derivadas I

(SH)α→ β, β → γ

α→ γ

(TH)θ → (φ→ ξ)

φ→ (θ → ξ)

(CP1)α→ β

¬β → ¬α

(CP2)¬β → ¬αα→ β

(DN1)α

¬¬α

(DN2)¬¬αα

Logica Basica

Regras derivadas II

Prova de α→ β ` ¬β → ¬α:1. α→ β (hipotese)2. β → ¬¬β (Teo.(5))3. α→ ¬¬β (SH 1,2)4. ¬¬α→ α (A10)5. ¬¬α→ ¬¬β (SH 3,4)6. (¬¬α→ ¬¬β)→ ((¬¬α→ ¬¬¬β)→ ¬¬¬α) (A3)7. (¬¬α→ ¬¬¬β)→ ¬¬¬α (MP 5,6)8. ¬¬¬β → (¬¬α→ ¬¬¬β) (A1)9. ¬¬¬β → ¬¬¬α (SH 8,7)10. ¬β → ¬¬¬β (Teo.(5))11. ¬β → ¬¬¬α (SH 10,9)12. ¬¬¬α→ ¬α (A10)13. ¬β → ¬α (SH 11,12)

Logica Basica

De volta ao exemplo inicial

p → q, q → s,¬p → r ,¬s ` r

1. p → q (hipotese)2. q → s (hipotese)3. ¬p → r (hipotese)4. ¬s (hipotese)5. p → s (SH 1,2)6. ¬s → ¬p (CP1 4)7. ¬p (MP 4,6)8. r (MP 3,7)

Logica Basica

Propriedades de ` I

Autodeducao Γ ` α para todo α ∈ Γ.

Monotonicidade Se Γ ` α entao Γ ∪ Σ ` α.

Regra do corte Se Γ ` α para todos α ∈ Σ e Σ ` β entao Γ ` β.

Compacidade Γ ` α se, e so se, existe ∆ ⊆ Γ finito tal que ∆ ` α.

Destacamento se Γ ` α e Γ ` α→ β entao Γ ` β.

Teorema da Deducaoα ` β se, e somente se, ` α→ β ou, mais geral,

Γ, α ` β se, e somente se, Γ ` α→ β.

Logica Basica

Propriedades de ` II

Exercıcio: Se Γ ` α e Γ ` α→ β entao Γ ` β.

Logica Basica

Prova do teorema da deducao: Γ, α ` β sse Γ ` α→ β

Prova de: Se Γ, α ` β entao Γ ` α→ β.

Se Γ, α ` β,1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Por inducao em i que Γ ` α→ ϕi .

Base: Γ ` α→ ϕ1

Hipotese: Γ ` α→ ϕ2...Γ ` α→ ϕi−1

Passo: Γ ` α→ ϕi

Em 3 casos:

1 ϕi e axioma ou premissa

2 ϕi e obtida por MP j,kcom j,k<i

Logica Basica

Prova de: Se Γ, α ` β entao Γ ` α→ β.Se Γ, α ` β,

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

1. ϕ1

...j. ϕj

...k. ϕk

...i. ϕi

...n. ϕn = β

Em 3 casos:

Logica Basica

Prova de: Se Γ ` α→ β entao Γ, α ` β.

Logica Basica

Consistencia

Um conjunto de formulas e consistente se nao e possıvel deduziruma contradicao (α ∧ ¬α), o que equivale a dizer que nao epossıvel deduzir uma formula (α) e deduzir sua negacao (¬α).

Logica Basica

Consistencia

Lema 1

Se um conjunto de formulas Γ e inconsistente, entaoΓ ` α para toda formula α.

Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 1

Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β

{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 1

Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer α

Pela regra do corte Γ ` α. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 1

Dem.:Γ ` β e Γ ` ¬β para algum β{β,¬β} ` α para qualquer αPela regra do corte Γ ` α. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Se Γ ∪ {¬α} e inconsistente entao Γ ` α.

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.

Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.

Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.

¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α

((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).

Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

Lema 2

Dem.:Γ,¬α inconsistente.Γ,¬α ` β e Γ,¬α ` ¬β.Γ ` ¬α→ β e Γ ` ¬α→ ¬β.¬α→ β, ¬α→ ¬β ` α ((A3)+teo. deducao+(A10)).Portanto Γ ` α pela regra do corte. �

Logica Basica

Consistencia

∆ e consistente maximal se

1 e consistente.

2 ∆ ∪ {α} nao e consistente para qualquer α 6∈ ∆.

Lema 3

Se Γ e consistente entao existe ∆ ⊇ Γ consistente maximal.

Logica Basica

Consistencia

∆ e consistente maximal se

1 e consistente.

2 ∆ ∪ {α} nao e consistente para qualquer α 6∈ ∆.

Lema 3

Se Γ e consistente entao existe ∆ ⊇ Γ consistente maximal.

Logica Basica

Consistencia

lema 4

Se ∆ e consistente maximal entao

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.

Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆

entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.

∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.

∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.

De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

1 Se α ∈ ∆ entao ∆ ` α.Se ∆ ` α mas α 6∈ ∆ entao ∆ ∪ {α} e inconsistente.∆, α ` β e ∆, α ` ¬β.∆ ` α→ β e ∆ ` α→ ¬β.De ∆ ` α temos ∆ ` β e ∆ ` ¬β, contradicao. �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α

∆ ` ¬α sse ∆ 6` α∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α∆ ` ¬α sse ∆ 6` α

∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

2 ¬α ∈ ∆ sse ∆ ` ¬α∆ ` ¬α sse ∆ 6` α∆ 6` α sse α 6∈ ∆ �

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.

∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

∆, α ` βSe ¬α 6∈ ∆ entao ¬¬α ∈ ∆, logo ∆ ` ¬¬α, portanto ∆ ` α(usando (A10), entao α ∈ ∆ portanto β ∈ ∆.

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.

∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆

¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆se ¬α ∈ ∆ entao ∆, α ` βse β ∈ ∆ entao ∆, α ` β

Logica Basica

Consistencia

lema 4

1 ∆ ` α se, e so se, α ∈ ∆;

2 ¬α ∈ ∆ se, e so se, α 6∈ ∆;

3 α→ β ∈ ∆ se, e so se, ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆.

3 α→ β ∈ ∆ sse ∆ ` α→ β.∆ ` α→ β sse ∆, α ` β.∆, α ` β sse ¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆ :

¬α ∈ ∆ ou β ∈ ∆se ¬α ∈ ∆ entao ∆, α ` βse β ∈ ∆ entao ∆, α ` β

Logica Basica

As demonstracoes estao escritas detalhadamente nas notas de aula.

Logica Basica

Consistencia — cenas do proximo capıtulo

Metateorema da consistencia

Γ e consistente se, e so se, Γ e satisfazıvel.

Logica Basica

Sum ario da semana -...

Documents

Transcript of Sum ario da semana -...

Produção de Biocombustíveis a partir da Biomassa ...run.unl.pt/bitstream/10362/9712/1/Carmo_2013.pdf · v Abstract An option to produce biofuels could consist in the co-processing

semana I - dehonianos.org filesemana III semana IV semana V semana santa semana de cinzas. Quarta-feira | Semana de Cinzas ... para vivermos frutuosamente este tempo da Quaresma. Todos

Semana 20 5° COPA MOGI HWT OPEN DE ITF RIO BEACH … · 20 Semana 21 Semana 22 Semana 23 Semana 24 Semana 25 Semana 26 Semana 27 Semana 29 Semana 30 Semana 31 Semana 36 Semana 37

Parte LÓGICAdePREDICADOS - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica/predicados.pdf · guagens de primeira ordem com igualdade e sem igualdade. Aqui não

2 Teoriainformaldeconjuntosprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/discreta/NotasAulaAntigas/... · 2 Teoriainformaldeconjuntos A teoria dos conjuntos é uma linguagem adequada para

SEMANA DE ATÉ VENCIMENTO FEV M AI JUN AGO NOV DEZmkt.esferatur.com.br/site/documentos/2020/ec_calendario_iata_202… · 10 semana 20 semana 30 semana 40 semana 10 semana 20 semana

RESULTADO ˜ 14ª SEMANA...SEMANA 5 13 a 19/04 SEMANA 7 27 a 03/05 SEMANA 6 20 a 26/04 SEMANA 9 11 a 17/05 SEMANA 11 25 a 31/05 SEMANA 13 08 a 14/06 SEMANA 8 04 a 10/05 SEMANA 10 18

politica.estadao.com.br · que o nunistério celebrou acordo com entidades bancária e de previdência para que a Consist acessasse dados de 2 milhões de servidores federais. Veja

professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/manuscritos/notas... Introdução à Probabilidade Jair Donadelli Sumário §0 Generalidades sobre conjuntos1 §1 Princípios

Resumo das aulas de discreta - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/manuscritos/notas-aula-pdf/... · 1 Elementos de l ogica de 1a ordem Os l ogicos contempor^aneos

1 Demonstrações: linguagemprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/discreta/... · O trabalho dos matemáticos, de um modo geral, é descobrir e comunicar cer-tas verdades e uma demonstração

alenrio e Ativiaes 2018 Janeiro - colegiojoao23.com.br · Festa Junina Semana Cultural Semana Cultural Semana Cultural Semana Cultural Semana Cultural. alenrio e Ativiaes 2018 Julho

RESULTADO ˜ 19ª SEMANA · semana 2 24 a 29/03 semana 3 30 a 05/04 semana 4 06 a 12/04 semana 5 13 a 19/04 semana 7 27 a 03/05 semana 6 20 a 26/04 semana 9 11 a 17/05 semana 11 25

SEMANA DA FITOTERAPIA SEMANA DA AULA FITOTERAPIA

Parte LÓGICAdePREDICADOS - professor.ufabc.edu.brprofessor.ufabc.edu.br/~jair.donadelli/logica/notasdeaulas-5.pdf · 67 Metateorema 54 (Princípio de indução para as fórmulas).

ACH5525 Microbiologia, Imunologia e Parasitologia 1o · such as bacteria and their toxins consist of antibody production and the activation of CD4+ helper T cells. Sistema Imune .

Quem somos - Bitcointask · quina, nÃ o É permitido c omprar ma quinas inferiores. plano de ganho com mÁquinas semana 1 semana 2 semana 3 semana 4 semana 5 semana 6 semana 7 semana

C1 Cronograma de Aulas 2020 Jean - UFPA · semana 11 semana 12 semana 13 semana 14 domingo segunda terÇa quarta quinta sexta sÁbado semana 15 semana 16 junho 25 26 27 28 29 30 31

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO - USP...The Neglected Tropical Diseases (NTDs) consist of a large number of diseases (e.g. Chagas disease, dengue, leishmaniasis, malaria, leprosy, schistosomiasis,

Manual de integração - Amazon S3 · 2016. 5. 16. · Manual de Integração Consist e.ISS 8 0 – Nenhum 1 – SUS 2 – Outros descServicos A(250) S 1-14 Discriminação dos Serviços