SISTEMAS

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Sistemas

Definição Entidade que manipula um ou vários

sinais (entrada), produzindo um ou vários sinais (saída)

Composição: Sinais de entrada Sistema (propriamente dito) Sinais de saída

Sistema

Sin

ais

de

en

trad

a

Sin

ais

de

saíd

a

Sistemas

Definição Terminologias adicionais

Entradas Excitação x(t) Saídas Resposta y(t)

Matematicamente h{} é uma operação realizada sobre uma

função x(t) para produzir uma função y(t)

h{}x(t) y(t)

Sistemas

Diagrama de Blocos Somador

w(t) = x(t) – y(t) + z(t)

+

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t)

++

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t) Σ+

-

+

x(t)

y(t)

z(t)

w(t)

Sistemas

Diagrama de Blocos Amplificador

y(t) = K x(t)

K y(t)x(t)

y(t)x(t) K

y(t)x(t)K

Sistemas

Diagramas de Blocos Integrador/diferenciador

y(t) = ∫ x(τ) dτ (de – ∞ até t)

y(t) = dx(t)/dt

∫ y(t)x(t)

d/dt y(t)x(t)

Sistemas

Exemplos Navegação de barcos

Entradas Empuxo da hélice Posição do leme Direção e velocidade da correnteza

Saída Direção do barco Velocidade do barco

Sistema Dinâmica dos fluidos Equações do movimento de corpos

Sistemas

Exemplos Suspensão automotiva

Entradas Distância entre roda e solo

Saídas Distância entre chassi e chão

Sistema Equações dinâmicas de movimento

fator de amortecimento energia elástica.

Sistemas

Exemplos Ponte

Entrada Direção do vento Velocidade do vento

Saída Deslocamento da ponte

Sistema Dinâmica dos fluidos Interação entre fluido e estrutura

exemplo: Ponte Tacoma

Sistemas

Exemplos Corpo humano

Entradas Dose de medicamento

Saídas Concentração da dose no corpo

Sistema Equação farmacocinética do medicamento Equação de infusão e eliminação do medicamento

Sistemas

Modelagem de sistemas Definir equações que “ligam” as entradas

às saídas Geralmente equações integro-diferenciais

Equações diferenciais ordinárias (por exemplo) Há sistemas complexos demais para

modelagem detalhada Uso de aproximações e simplificações Tratamento estocástico

Exemplos

Sistemas

Propriedades Resposta com entrada nula

Saída do sistema para entrada x(t) = zero Condições de contorno não-nulas

Caracteriza efeito da energia inicial do sistema na saída

Resposta com condições iniciais nulas Saída do sistema para entrada x(t) ≠ zero Condições de contorno nulas

Geralmente energia inicial do sistema é nula

Sistemas

Propriedades Resposta total ≠

Respostas com entrada nula + Respostas com condições inicias nulas Existe situações de igualdade EDOs lineares a coeficientes constantes

Solução homogênea Solução particular

Sistemas

Propriedades Homogeneidade

Um sistema é homogêneo quando sua saída é sempre proporcional à sua entrada

Condições iniciais nulas

)t(ay)t(ax)t(y)t(x {}h{}h

Sistemas

Propriedades Aditividade

Duas entradas (x1(t) e x2(t)) produzem respostas y1(t) e y2(t), respectivamente, para um sistema H.

Condições iniciais nulas O sistema é aditivo se x3(t) [= x1(t) + x2(t)]

produzir resposta y3(t) [= y1(t) + y2(t)]

)t(y)t(y)t(x)t(x

)t(y)t(x

)t(y)t(x

21{}h

21

2{}h

2

1{}h

1

Sistemas

Propriedades Linearidade

Combinação de homogeneidade e aditividade. Princípio da superposição.

“Dividir para conquistar” Método comum a classe de sistemas (lineares)

)t(by)t(ay)t(bx)t(ax

)t(y)t(x

)t(y)t(x

21{}h

21

2{}h

2

1{}h

1

Sistemas

Propriedades Linearidade

Como aplicar o método a sistemas não-lineares?

Processo de linearização Linearização

Equações diferenciais não-lineares exatas transformadas em equações diferenciais lineares aproximadas

Adição de restrições para aproximação Exemplo clássico:

Pêndulo para pequenos ângulos

Sistemas

Propriedades Invariância no tempo

Um sistema é invariante no tempo se uma entrada x(t) atrasada/adiantada t0 instantes de tempo produz uma saída atrasada/ adiantada t0 instantes de tempo

Condições iniciais nulas )tt(y)tt(x)t(y)t(x 0{}h

0{}h

Sistemas

Propriedades Linearidade e Invariância no tempo

LTI “Linear and time-invariant system”

Combinação de linearidade e invariância no tempo

Classe específica de sistemas Análise será baseada em relações em excitações

específicas Uso de convolução

Sistemas

Propriedades Estabilidade

O sistema não “explode” Critério BIBO

Para qualquer excitação limitada, o sistema produzirá sempre respostas limitadas

Condições iniciais nulas

B)}t(x{h)t(yA)t(x

Sistemas

Propriedades Estabilidade

Para um sistema descrito por uma EDO linear com coeficientes constantes, a solução homogênea (sem excitação)

Descrita por combinação linear de exponenciais complexas

Exponenciais complexas = autofunções Se Re{autovalores} ≥ zero sistema instável Se Re{autovalores} < zero sistema estável

Caso particular importante

Sistemas

Propriedades Causalidade

Um sistema é causal se ele apresenta resposta somente durante ou após a aplicação de alguma excitação.

Sistema não-antecipatório

Condições iniciais nulas

00 tt,0)t(ytt,0)t(x

Sistemas

Propriedades Causalidade

Causal Processamento tempo-real Não-causal processamento off-line

Impossibilidade de aplicações em tempo real, pois análise depende do “futuro”.

Sistemas

Propriedades Causalidade

Exemplo: Mercado de ações e filtro média-móvel.

Sistemas

Propriedades Memória

Um sistema com memória depende das excitações em instantes anteriores ou posteriores, além da excitação no instante atual.

Também chamado sistema dinâmico Um sistema sem memória depende apenas da

excitação no instante atual Também chamado sistema estático

Sistemas

Propriedades Reversibilidade/Inversibilidade

Um sistema é inversível se excitações singulares produzem respostas singulares

Condições iniciais nulas

Sistema inverso “anula” completamente os efeitos do sistema direto.

Idéia de função bijetora

)}t(y{h)t(x)}t(x{h)t(y 1

Sistemas

Convolução Estado atual:

Sistemas descritos por EDOs Solução completa soluções particular +

homogênea Solução homogênea combinação linear de

autofunções

Questão: Podemos analisar o sistema sem considerar

excitações e respostas?

Sistemas

Convolução Princípio básico

Excitação Combinação linear de sinais “elementares”

Sistema específico Sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) Uso do princípio de sobreposição

Resposta Combinação linear dos efeitos produzidos pelos

sinais “elementares”

Sinal elementar sinal impulso δ(t)

Sistemas

Convolução Sistema original

F(y, y’, y’’, ..., y(n-1), y(n)) = G(x, x’, x’’, ..., x(m-1), x(m))

y = y(t) e x = x(t)

Resposta ao impulso h(t) A(h, h’, h’’, ..., h(n-1), h(n)) = B(δ, δ’, δ’’, ..., δ(m-1),

δ(m)) h = h(t) e δ = δ(t)

Sistemas

Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t)

Encontre solução homogênea de h(t) hh(t) Características da solução particular

Derive h(t) até a n-ésima derivada e aplique no lado esquerdo da EDO: deve haver correspondência com todas as derivadas de δ(t) até m-ésima derivada

Para t = zero Combinação linear de h(t) e suas derivadas =

zero Para t ≠ zero Garantia de solução homogênea “vingar”

Sistemas

Convolução Obtenção da resposta ao impulso h(t)

n>m hh(t) u(t)

n=m hh(t) u(t) + Kδ δ(t)

n<m hh(t) u(t) + [K(m-n)u(m-n)(t) + K(m-n-1)u(m-n-1)(t) + ... +

K1u1(t) + K0u0(t)] u0(t) = δ(t), u1(t) = δ’(t), ...

Sistemas

Convolução Resposta ao impulso

Descrição do sistema para qualquer excitação Apenas para sistemas lineares e invariantes no

tempo! Como obter resposta dado h(t) e excitação?

Sistemas

Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos

Tp duração dos pulsos

Sistemas

Convolução Decomposição de x(t) em soma de pulsos

Combinação linear de pulsos deslocados no tempo.

unitário retangular pulso

p

p

pnpp

p

p

np

T

nTtrect

T

1)nT(xT

T

nTtrect)nT(x

)t(x

Sistemas

Convolução Pelo princípio da superposição...

Válido para sistemas lineares e invariantes no tempo

Lembre-se do exemplos dos filtros RC, RL, RLC, LC

x(t) = pulso unitário y(t) = hp(t) )nTt(h)nT(xT)t(y ppn

pp

Sistemas

Convolução Exemplo

Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC

Sistemas

Convolução Exemplo

Excitação senóide amortecida Sistema filtro RC

Sistemas

Convolução Considerando o limite Tpτ

Excitação

Qualquer sinal = combinação linear de δ(t)

Resposta

Integral de convolução

)tδ()t(x)tδ()x(d)t(x

)t(h)t(x)th()x(d)t(y

Sistemas

Convolução Diagrama de blocos

y(t) = h(t) * x(t)

Reforçando h(t) resposta ao impulso do sistema

h(t)x(t) y(t)

Sistemas

Propriedades da Convolução

Em relação à variável τ x(τ) é mantido é mantida fixa h(t – τ) é revertida e deslocada t instante de

tempo Reflexão h(–τ) Atraso no tempo h(–(τ – t))

d)th()x()t(h)t(x)t(y

Sistemas

Propriedades da Convolução Visualização do processo

Para cada t “fixo”, calculamos a integral (–∞ a +∞)

Sistemas

Propriedades da Convolução Convolução entre dois pulsos unitários

Sistemas

Propriedades da Convolução Amostragem do impulso

Comutativa

Distributiva

)ttx(A)ttδ(A*)t(x 00

)t(x)t(y)t(y)t(x

)t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x

Sistemas

Propriedades da Convolução Associativa

)t(z)t(y)t(x)t(z)t(y*)t(x

y(t)x(t) w(t)z(t)

y(t)x(t) w(t)z(t)

Sistemas

Propriedades da Convolução Distributiva

)t(z)t(x)t(y)t(x)t(z)t(y)t(x

w(t)x(t) ++

+y(t)

z(t)

y(t)+z(t)x(t) w(t)

Sistemas

Propriedades da Convolução Se y(t) = x(t)*h(t)

Diferenciação

Área

Escala

)t('h)t(x)t(h)t('x)t('y

)t(h de Área)t(x de Área)t(y de Área

)at(h)at(xa)at(y

Sistemas

Propriedades da Convolução Estabilidade

Se x(t) é limitado

Então

Um sistema é estável ser sua resposta ao impulso for absolutamente integrável

Existência da convolução

d)(hB)t(h)t(x)t(y

B)t(x

Sistemas

Propriedades da Convolução Causalidade

Um sistema linear e invariante no tempo é causal se

Sistema não-antecipatório Convolução em tempo-real

0t,0)t(h

Sistemas

Propriedades da Convolução Memória

Um sistema linear e invariante no tempo é estático se:

Sistema sem memória

0t,0)t(h

Sistemas

Diagrama de Blocos Genericamente

Sistema linear e invariante no tempo Pode ser representado por convolução

M

0m

)m(m

N

0n

)n(n )t(xb)t(ya

Sistemas

Diagrama de Blocos Usando integradores (forma direta I):

∫

∫

∫

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

x(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

y(t)

+

+

+

+–

Sistemas

Diagrama de Blocos Pela propriedade de comutação

∫

∫

∫

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

y(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

x(t)

+

+

+

+–

Sistemas

Diagrama de Blocos Simplificando (forma direta II)

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

y(t)

∫

∫

∫

1/an

an-1

an-2

a1

a0

x(t)

+

+

+

+–