SIMULAÇÃO

Anibal Vilcapoma

AULA 4

Programa

• Variáveis aleatórias

• Distribuições discretas

• Distribuições contínuas

Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias

• Variável aleatória: função real definida sobre o espaço amostral

– soma dos valores obtidos após o lançamento de dois dados

– número de caras após um certo número de lançamentos de uma moeda

– tempo entre duas chegadas sucessivas a uma fila

– tempo de processamento de uma tarefa

Variáveis aleatórias

• Valor de uma variável aleatória (v.a.) é determinado pela saída de um experimento é possível associar probabilidades aos valores que podem ser assumidos por uma V.A

• X: v.a. definida pela soma dos valores obtidos após o lançamento de dois dados

P{X=1} = P{} = 0

P{X=2} = P{(1,1)} = 1/36

P{X=3} = P{(1,2),(2,1)} = 2/36 = 1/18 ...

Variáveis aleatórias

• Y: v.a. definida pelo número de caras observadas após dois lançamentos de uma moeda

P{Y=0} = P{(B,B)} = 1/4 Acara Bcoroa

P{Y=1} = P{(A,B),(B,A)} = 1/2

P{Y=2} = P{(B,B)} = 1/4

P{Y=0} + P{Y=1} + P{Y=2} = 1

Variáveis aleatórias

• N: v.a. definida pelo número de lançamentos de uma moeda até aparecer a primeira cara, sendo p a probabilidade de observar-se cara em cada lançamento

• P{N=1} = P{A} = p

P{N=2} = P{(B,A)} = (1-p)p

P{N=3} = P{(B,B,A)} = (1-p)2p

…

P{N=n} = P{(B,B,…,B,A)} = (1-p)n-1p

Variáveis aleatórias

• Função de distribuição acumulada (fda) ou função de distribuição F(.) da v.a. X: F(b) = P{X b} - < b < +

• F(b): probabilidade de que a v.a. X assuma um valor menor ou igual a b

• Propriedades:

– F(b) é uma função não-decrescente de b

– limbF(b) = F() =1, limb-F(b) = F(-) = 0

– p{a<Xb} = P{Xb} - P{Xa} = F(b) - F(a)

Variáveis aleatórias

• Variáveis aleatórias discretas: a v.a. assume um número finito ou contável de valores possíveis.

• Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores dentro de um contínuo de valores possíveis.

Variáveis aleatórias discretas

• Variáveis aleatórias discretas: a v.a. assume um número finito ou contável de valores possíveis.

• Função de massa de probabilidade: p(a) = P{X=a}

• Se X pode assumir os valores x1, x2,… então p(xi) > 0, i=1,2,… p(x) = 0, outros valores de x

• Função de distribuição acumulada: F(a) = p(xi)

• Exemplo: p(1) = 1/2, p(2) = 1/3, p(3) = 1/6 0, a < 1, F(a) = 1/2, 1 a < 2 5/6, 2 a < 3 1, 3 a

i=1,2,…: xi a

Variáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias discretas

1 2 3

a

F(a)

1/2

1

5/6

Variáveis aleatórias discretas

• Seja X uma v.a. discreta. Então, seu valor esperado é dado por:

0)(:

)(.][Expx

xpxX

Distribuições discretas

0 1 X

1-p

p

1

p(X)

p

Distribuição de Bernoulli

• Um experimento de Bernoulli tem somente dois resultados aleatórios possíveis:

• sucesso • fracasso

• A variável aleatória que corresponde ao experimento anterior é uma variável aleatória de Bernoulli.

• A notação de uma distribuição de Bernoulli é Be(p), onde 0 p 1 é a probabilidade de obter-se sucesso.

Distribuição de Bernoulli

• Lançamento de uma moeda

– Caso obtenha-se uma cara: sucesso

– Caso obtenha-se uma coroa: fracasso

• A direção que segue um veículo em uma bifurcação (caminho A ou B)

– Se segue o caminho A: sucesso

– Se segue o caminho B: fracasso

(o resultado deste experimento é uma v.a. somente para um observador externo, mas não para o condutor)

Distribuição de Bernoulli - Exemplos

• X v.a. Be(p) (X é uma variável aleatória discreta do experimento de Bernoulli de parâmetro p).

• Domínio de X:

X {0, 1}

• Função de massa de probabilidade:

P{X = 0} = P(0) = 1 - p

P{X = 1} = P(1) = p

Distribuição de Bernoulli

Os resultados possíveis deste experimento podem

ser “mapeados” nos números reais, logo:

• Função de distribuição acumulada:

Distribuição de Bernoulli

) X ( ) ( 0

x P h x F lim h

< - +

< -

1

1 , 1 ) (

x 1,

x p x F

0

Valor esperado: pppXE -+ 0).1(1.}[

Distribuições discretas: Binomial

x

f ( x )

Distribuição binomial

• Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos (iid), cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p.

• Se a variável de interesse Y corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então Y é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p.

• Sejam X1, X2, …, Xn, onde as variáveis {Xi}, i=1,2,…,n são v.a.’s iid Be(p). Seja a v.a. Y definida por sua soma:

Distribuição binomial

n

i

iXY1

Y Bi(n, p)

Distribuição binomial

• Uma distribuição binomial de parâmetros n e p se denota Bi(n,p), onde:

– n é o número de experimentos de Bernoulli independentes realizados.

– p é a probabilidade de obter um sucesso em cada um dos n experimentos, 0 p 1.

• Uma moeda é lançada n vezes. Se em cada lançamento se obtém cara (sucesso) com probabilidade p, qual é a probabilidade de que em 0 i n experimentos se obtenha sucesso?

• Observam-se n veículos em uma bifurcação. Cada veículo segue o caminho A (sucesso) com probabilidade p. Qual é a probabilidade de que 0 i n veículos sigam o caminho A (sucesso)?

Distribuição binomial Exemplos

• Seja Y v.a. Bi(n,p) (Y é v.a. binomial de

parâmetros n e p), onde n N+ e 0 p 1

• Domínio de X: Y {0, 1, 2, …, n}

• Função de massa de probabilidade:

Distribuição binomial

Função de distribuição acumulada:

n i p p i

n i P i Y P

i n i -

-

0 , ) 1 ( ) ( } {

( ) n i p i p j

n i Y P

j n j i

j

-

-

0 , } { 0

Distribuição geométrica

• Considere n experimentos de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de êxito p

• X v.a. Ge(p) representando o número de tentativas até conseguir o primeiro êxito

• Função de massa de probabilidade:

• Função de distribuição: ( ) ( ) ,2,...1 n pp1npnXP

1n

--

pp)-(1 F(n)1-k

n

1k

Distribuição geométrica

• Exemplo: lançar a moeda até o primeiro êxito

– Êxito = cara Fracasso = coroa

• Exemplo: número de automóveis não específicos até que um siga o caminho A da bifurcação

– Êxito = A

Fracasso = B

Experimentos independentes

Distribuição geométrica

0 5 10 15 20

2

5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 F(n)

n

Função de distribuição

Função de massa de probabilidade

p=0.6

n 0 5 10 15 20 25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 F(n)

Função de distribuição

Função de massa de probabilidade

p=0.2

Distribuições contínuas: Beta

0 0,5 1 x

f ( x )

α =2

β =1 α =3

β =2

α =4

β =4

α =2

β =3

α =1,5 β =5 α =6 β =2

α =2

β =1

Aplicações mais comuns :Modelagem de tempo de conclusão de atividades

em redes de planejamento

Distribuições contínuas: Erlang

x

f ( x )

λ =0,5 k= 3

λ =0,5

λ =0,2 k= 10

Aplicações mais comuns : Modelam processos compostos por fases

sucessivas nas quais cada fase tem uma distribuição exponencial. Teoria

das filas

Distribuições contínuas: Exponencial

x

f ( x )

1/ λ

Aplicações mais comuns :Modelam tempo entre ocorrencias sucessivas de

eventos ao duração do evento

Distribuições contínuas: Gama

x

f ( x )

α =0,

α =1

α =2

Aplicações mais comuns :Devido a sua flexibilidade, modelam tempos entre

ocorrências sucessivas de eventos, duração do evento, tempo entre falhas

sucessivas, etc.

Distribuições contínuas: Lognormal

x

f ( x )

µ =1 σ =1

µ =1 σ =0,5

Aplicações mais comuns :Modelam situações em que a distribuição do

processo envolvido pode ser considerada como multiplicação de um

conjunto de processos componentes.

Distribuições contínuas: Normal

f ( x )

µ Aplicações mais comuns : Modelam situações em que a distribuição do

processo envolvido pode ser considerada como a soma de processos

componentes, por exemplo, o tempo de execução que é a soma dos tempos

de execução de etapas de operação.

Distribuições contínuas: Uniforme

b a

1 / ( b-a )

x

f ( x )

Aplicações mais comuns : Modelam processos em que todos os valores em

um intervalo são igualmente prováveis de ocorrer.

Distribuições contínuas: Triangular

x

f ( x )

a b m

Aplicações mais comuns. Modelam situações em que não se conhece a

forma exata da distribuição mas têm-se estimativas para o menor valor, o

valor mais provável de ocorrer, e o maior valor.

Distribuições contínuas: Weibull

x

f ( x )

α =0,5 β =1

α =1 β =1 α =2 β =1

α =3 β =1

α =3 β =2

Aplicações mais comuns. Modelam os tempos de vida ou falha d

equipamentos. A distribuição exponencial é um caso particulas da

distribuição de Weibull

Modelagem de dados... Sem dados!

Dicas para a simulação no Excel

• Opção de recálculo manual (Tecla recálculo: <F9>)

• Geração de valores aleatórios uniformes:

• Função Aleatório() ou Rand() [Valores Reais entre 0 e 1]

• Geração de valores aleatórios normais:

• Função Inv.Norm(aleatório(),média,dp) [Valores normais]

• Geração de valores para diferentes distribuições:

• Usar suplemento Rng.xla

Rng: Distribuições Discretas

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RNGBinomial(10,0.2)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RNGBinomial(10,0.5)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RNGBinomial(10,0.8)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

20 21 22 23

RNGDiscrete({20,21,22,23},{.15,.35,.45,.05}

)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

20 21 22 23

RNGDuniform(20,23)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RNGPoisson(0.9)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RNGPoisson(2)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

RNGPoisson(8)

Rng: Distribuições Contínuas

RNGNormal(20,1.5)

0,00

0,10

0,20

0,30

12 14 16 18 20 22 24 26 28

RNGNormal(20,3)

0,00

0,10

0,20

0,30

12 14 16 18 20 22 24 26 28

RNGTnormal(20,3,15,23)

0,00

0,10

0,20

0,30

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

RNGChisq(2)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0 2 4 6 8 10 12

RNGChisq(5)

0,00

0,10

0,200,30

0,40

0,50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

RNGExponential(5)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0 2 4 6 8 10

RNGTriang(3,4,8)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5

RNGTriang(3,7,8)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5

RNGUniform(40,60)

0,00

0,05

0,10

0,15

30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

Rng: Distribuições disponíveis

Distribuição Função RNG

Binomial RNGBinomial(n,p)

Discreta Uniforme RNGDuniform(min,max)

Discreta Genérica RNGDiscrete({x1,x2,...xn},{p1,p2,...pn})

Poisson RNGPoisson(média)

Uniforme (Contínua) RNGUniform(min,max)

Chi-quadrado RNGChisq(média)

Exponencial RNGExponential(média)

Normal RNGNormal(média,desvpad)

Normal Truncada RNGTnormal(média,desvpad,min,max)

Triangular RNGTriang(min,mais provável,max)